CN107908900A - 一种基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法。以凸模型描述优化模型的不确定性参数，由设计域节点位移响应建立非概率可靠性指标；建立可靠性位移差作为新的可靠性指标改善原非概率可靠度指标对设计变量求灵敏度的缺陷；利用了复合函数求导法则、伴随向量法以及有限差分法求解可靠性位移差对设计变量的灵敏度；运用移动渐近线(MMA)算法更新设计变量，迭代优化直至获得最优设计方案。本发明在进行可靠性拓扑优化设计过程中合理表征了以凸模型描述的不确定性参数对连续体结构性能的影响，在实现重量最小的优化目标的前提下，结构的安全性能以及经济性都得到有效提升。

Description

一种基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优 化方法

技术领域

本发明涉及连续体结构的拓扑优化设计领域，特别涉及一种基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法。

背景技术

拓扑优化技术指的是在满足平衡方程、物理关系、几何关系和边界条件下在给定的设计空间内寻求最佳的材料布局。有别于结构优化中的形状优化和尺寸优化，拓扑优化在概念设计阶段就能给出满足工作要求的构件的构型以及材料布局，所以它对于结构优化设计有极大的启发参考意义，此外还有良好经济效益和工程应用价值，能够有效降低结构优化设计的难度以及提高工作效率。

由于结构的材料在生产过程其弹性模量等材料属性就存在着无法消除的分散性，且结构在实际的工程环境中受到的载荷等外在因素并不是一成不变的，所以如果忽略这些不确定因素的影响，那么结构的安全将难以达到要求。而从保证安全的角度考虑，加大结构设计的安全系数，将会导致结构超重，经济效益也会大大降低，特别是在航空航天等对重量有很高要求的领域。因此，随着结构优化方法和理论研究的不断取得进步以及计算机计算能力的不断增强，不确定性结构优化的研究正在引起人们的重视。基于可靠性理论的优化设计是考虑不确定性结构在极限状态下失效问题重要手段。

基于概率模型的可靠性优化设计在结构设计中已经得到了成功应用。但是概率可靠性模型需要的不确定参数的完整概率分布信息在工程实际中通常难以获得。概率可靠性对概率模型参数很敏感，概率数据的小误差可能导致结构可靠性计算出现较大误差。在许多情况下，虽无法得到不确定参数的精确概率分布数据，但参数不确定性的幅度或界限则易于确定。凸模型(包括超立方盒模型和超椭球模型等)适于处理这类不确定但有界的参数。基于参数的凸模型描述，提出结构非概率可靠性的概念。

将不确定参数以凸模型描述，并将其应用于工程实际的拓扑优化技术尚未得到充分发展和有效应用，所以我们的工作不仅一定程度上丰富了连续体结构的拓扑优化设计研究，而且对于考虑不确定性的非概率可靠性拓扑优化在工程中的应用具有重大意义。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法。本发明充分考虑实际工程问题中普遍存在的不确定性因素，以提出的非概率可靠性度量指标作为优化模型的约束条件，所得到的设计结果更加符合实际情况，工程适用性更广可靠性更高。

本发明采用的技术方案实现步骤如下：一种基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，该方法包括如下步骤：

第一步：以结构的体积最小即重量最小作为优化目标，以结构关心的重要位置的位移作为约束条件，采用带惩罚因子的固体各向同性材料插值模型(Solid IsotropicMaterial with Penalization，简称SIMP)，建立拓扑优化模型如下：

优化目标:

约束函数:Ku＝F

u_i≤u_c,i＝1,2,…,NC

0<ρ_min≤ρ_e≤1

其中，V是优化区域的体积，ρ_e和V_e分别为第e个单元的相对密度和体积，NE为优化区域划分的单元总数，ρ_min为单元相对密度的下限；K为单元的总体刚度矩阵，u为单元的总体位移列向量，F为总体载荷列向量；u_i是第i个位移约束点的实际位移值，u_c是第i个位移约束的容许位移值，NC为位移约束的个数。对于SIMP模型,单元的弹性模量是材料相对密度的函数：

其中P>1是惩罚因子，用于实现对中间密度单元的惩罚。按照经验，一般取P＝3，E₀是完全实心材料的弹性模量。

第二步：以凸模型描述优化模型的不确定性参数，通过静力平衡方程K(b)u(b)＝F(b)以及凸集合理论方法可以得到设计域节点位移响应，进而建立优化模型的非概率可靠性指标。可建立如下非概率拓扑优化模型：

优化目标:

约束条件:K(b)u(b)＝F(b)

R_i≥R_c,i＝1,2,…,NC

0<ρ_min≤ρ_e≤1

第三步：在原非概率可靠性指标的基础上建立可靠性位移差指标，从而改善原非概率可靠度指标对设计变量求灵敏度的缺陷，计算相应的可靠性位移差。利用可靠性位移差可以将原优化模型改写为如下非概率可靠性优化模型：

优化目标:

约束条件:K(b)u(b)＝F(b)

0<ρ_min≤ρ_e≤1

b∈Ω_C＝{b|(b-b^c)^TW(b^r,ρ_b)(b-b^c)≤θ²}

其中，R_i ^*为可靠性位移差；

第四步：根据第三步得到的可靠性位移差的表达式，通过复合函数求导法则对设计变量进行求导，并运用伴随向量法和有限差分法得到可靠性位移差对设计变量的灵敏度；

第五步：利用第三步中得到的可靠性位移差以及第四步中得到的可靠性位移差对设计变量的灵敏度代入MMA算法中对非概率可靠性优化模型进行求解，得到新的设计变量；

第六步：判定新的设计变量是否满足收敛性条件，若不满足收敛性条件，则将已经完成的迭代次数增加1，并返回第二步；否则，迭代过程结束。

本发明与现有技术相比的优点在于：

本发明提供了一种考虑参数不确定性的连续体结构可靠性拓扑优化方法，以凸模型描述参数的不确定程度，使得载荷条件等与结构的实际工况更加接近，结构材料属性在材料加工制造过程中产生分散性对结构安全的影响也能得到充分考虑，建立的以可靠性位移差作为非概率可靠性指标度量标准，方法可靠数值计算简单，不仅能保证结构刚度降低结构重量，而且能有效降低设计周期和经济成本。参数不确定性的凸模型描述能够把超椭球凸集合与区间变量统一起来，极大扩展了非概率可靠性优化模型在缺乏足够数据实施概率可靠性分析时的运用范围。

附图说明

图1是本发明基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法的流程图；

图2是本发明提出的基于凸模型建模方法的二维不确定性量化分析示意图；

图3是本发明提出的计算非概率可靠度的示意图，其中，图3(a)为二维情况下计算非概率可靠度示意图，图3(b)为三维情况下计算非概率可靠度示意图；

图4是本发明提出的计算可靠性位移差的原理图；

图5是本发明一个拓扑优化算例的示意图，其中，图5(a)为拓扑优化设计域示意图；图5(b)为确定性拓扑优化结果示意图；图5(c)为0.90可靠度拓扑优化结果示意图；图5(d)为0.999可靠度拓扑优化结果示意图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提出了一种基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，包括以下步骤：

(1)考虑结构材料的弹性模量和载荷的不确定性，采用带惩罚因子的固体各向同性微结构/材料插值模型(Solid Isotropic Material with Penalization，简称SIMP)，以结构的最小重量为优化目标，以结构的某些位置位移的非概率可靠性指标作为约束，建立相应的非概率可靠性拓扑优化模型如下：

其中，V是优化区域的体积，ρ_e和V_e分别为第e个单元的相对密度和体积，NE为优化区域划分的单元总数，ρ_min为单元相对密度的下限；K为单元的总体刚度矩阵，u为单元的总体位移列向量，F为总体载荷列向量；u_i是第i个位移约束点的实际位移值，u_c是第i个位移约束的容许位移值，NC为位移约束的个数。对于SIMP模型,单元的弹性模量是材料相对密度的函数：

其中P>1是惩罚因子，用于实现对中间密度单元的惩罚。按照经验，一般取P＝3，E₀是完全实心材料的弹性模量。

(2)以凸模型描述优化模型的不确定性参数，通过静力平衡方程K(b)u(b)＝F(b)以及凸集合理论方法可以得到设计域节点位移响应,进而建立优化模型的非概率可靠性指标。具体实施方式如下：

通过对不确定参数的相关特征的综合考虑，我们建立了一个合理的凸模型，不确定参数的所有可能值都在多维椭球面Ω_C内：

b∈Ω_C＝{b|(b-b^c)^TW(b^r,ρ_b)(b-b^c)≤θ²} (5)

其中b为m维不确定向量，b^c为椭球中心值向量，b^r椭球半长短轴向量，是一个对称正定矩阵，由向量b^r和相关系数矩阵ρ_b＝(ρ(b_j1,b_j2))决定；参数θ量化了向量b的不确定程度。

通过特征值分解，可以得到：

Q^TWQ＝Λ以及Q^TQ＝I (6)

其中Q和Λ分别为超椭球形状矩阵W的特征向量和特征值对角矩阵，I是一个单位矩阵，引入标准化向量：

则式(5)可表示为：

其中向量ζ＝[ζ₁,ζ₂,...,ζ_m]^T建立了一个m维单位超球域Ω_s＝{ζ|ζ^Tζ≤1}，δb为摄动量。

考虑不确定因素的影响，任何材料布局下的结构响应都由b的特性决定，所以静力平衡方程应为：

K(b)u(b)＝F(b) (9)

由凸集合理论方法，可以得到u(b)的数值近似，即：

其中导数矩阵为[g₁,g₂,...,g_n]，由b的固有相关特性，可得到如下的拉格朗日方程：

L_k＝g_k ^Tδb+λ_k(δb^TWδb-θ²),k＝1,2,...,n (11)

其中λ_k是拉格朗日乘数，对上式求偏导数可得：

将式(12)代入(10)式，可得：

在方程(1)确定性约束条件下，拓扑状态通常由一系列极限状态方程M_i(b)＝u_c-u_i(b),i＝1,2,...,NC表示，其中M_i(b)≥0表明结构安全而M_i(b)<0表示结构有可能失效。由方程(8)的标准化操作，我们也可以将极限状态方程转化为M_i ^*(ζ)，即：

其中C_i＝[C_i1,C_i2,...,C_im]是ζ的系数向量。

失效超平面和可行超球面域Ω_s之间的干涉条件决定了当前拓扑构型的安全程度，由此我们提出将安全域的超体积与整个区域的比值作为度量凸模型可靠度的指标，即：

其中HV表示从多椭球凸模型得到的超体积。由于Ω_s域几何对称的性质，可以得到求解凸模型可靠度的显式表达式：

以及m>3时

其中d_i表示从坐标原点到失效超平面的距离。

(3)在原非概率可靠性指标的基础上建立可靠性位移差指标，从而改善原非概率可靠度指标对设计变量求灵敏度的缺陷,计算相应的可靠性位移差。具体实施过程如下：

当和Ω_s之间没有干涉时，原非概率可靠性指标R_i是失效的。因此我们定义了与原非概率可靠性指标等价的改进的指标即：

其中d_i(R_c)是从原点到给定的非概率可靠度R_c确定的极限状态超平面的距离。综上所述，将式(16)-(18)代入式(1)，可得改善的优化模型：

(4)根据第三步得到的可靠性位移差的表达式，通过复合函数求导法则对设计变量进行求导，并运用伴随向量法和有限差分法得到可靠性位移差对设计变量的灵敏度。具体实施过程如下：

为了克服式(19)的优化模型的稳定性问题，我们运用了基于梯度的MMA算法，所以我们需要求解可靠性位移差对设计变量的灵敏度。根据微分的链式法则，有：

其中e＝1,2,...,NE,i＝1,2,...,NC,j＝1,2,...,m，所以求解式(20)主要工作在于以及的推导。

(a)对于我们注意到其中，

方程K(b)u(b)＝F(b)两边对ρ_e求偏导，有：

计算可得：

引入伴随向量λ₁，满足：

将λ₁代入式(23)，有：

其中λ_1e是第e个元素的位置决定的λ₁的子向量；和分别为全实体材料名义状态下的单元刚度矩阵以及当前拓扑构型下的单位位移向量。

(b)从式(14)可以知道，C_ij是导数向量g_i的解析函数，从而得到下式复合函数的推导：

其中显然，由式(10)和(14)容易得到而需要通过数值近似求解。首先，令平衡方程对b_j求偏导，同时运用有限差分法，可得：

其中Δb_j＝[0,0,…,△b_j,…0]^T，△b_j是受凸变量b_j的影响的小量。然后，式(27)对ρ_e求偏导，可得：

与(a)的操作类似，式(28)右边的前两项推导可得：

然而，由于存在计算的困难，Φ₃的推导需要引入另一个伴随向量λ₂。由式(22)可得：

将伴随向量λ₂插入式(31)，可得：

则Φ₃可以表示为：

(5)利用第三步中得到的可靠性位移差以及第四步中得到的可靠性位移差对设计变量的灵敏度代入MMA算法中对非概率可靠性优化模型进行求解，得到新的设计变量。

(6)判定新的设计变量是否满足收敛性条件。收敛性的两个条件为结构的位移可靠度满足约束以及设计变量迭代前后的变化量之和小于一个设定值。若不满足收敛性条件，则将已经完成的迭代次数增加1，并返回第二步；否则，迭代过程结束。

综上所述，本发明提出了一种基于凸模型不确定的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法。首先，该方法以重量最小作为优化目标并以结构位移作为约束条件建立拓扑优化模型；其次，以凸模型描述优化模型的不确定性参数，通过运用静力平衡方程K(b)u(b)＝F(b)以及凸集合理论方法得到设计域节点位移响应,进而建立优化模型的非概率可靠性指标；进一步，为了改善建立的非概率可靠度指标对设计变量求灵敏度的缺陷，进一步建立可靠性位移差作为新的可靠性指标并利用复合函数求导法则、伴随向量法以及有限差分法来求解可靠性位移差对设计变量的灵敏度；最后，运用MMA算法更新设计变量，反复迭代优化直至满足收敛条件，从而获得最优设计方案。

如图5所示为一L形平板的拓扑优化设计域和优化结果示意图。其设计域大小为(0.12×0.12+0.12×0.3)m，厚度为0.001m。设计域上端固定，右端受到三个不确定程度由凸模型描述的载荷作用。对载荷作用点出的位移进行约束，以结构重量作为优化目标进行拓扑优化。载荷的名义值为别为不确定程度描述为：

其他不确定量如表1所示。

表1

确定性拓扑优化与非概率可靠性拓扑优化结果如表2所示。

表2

从上表和图5可以看到，考虑以凸模型描述的参数不确定性得到的拓扑优化结果比确定性拓扑优化结果有着更高的可靠度，拓扑构型的区别和剩余重量的不同也表明考虑参数的不确定性的设计更加安全有效。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于位移约束下的连续体结构拓扑优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (6)

1.一种基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：实现步骤如下：

第一步：以结构的体积最小即重量最小作为优化目标，以结构关心的重要位置的位移作为约束条件，采用带惩罚因子的固体各向同性材料插值模型(Solid IsotropicMaterial with Penalization，简称SIMP)，建立拓扑优化模型如下：

优化目标:

约束条件:Ku＝F

u_i≤u_c,i＝1,2,…,NC

0<ρ_min≤ρ_e≤1

其中，Vol是优化区域的体积，ρ＝[ρ₁,ρ₂,...,ρ_NE]^T是相对密度向量，ρ_e和V_e分别为第e个单元的相对密度和体积，NE为优化区域划分的单元总数，ρ_min为单元相对密度的下限；K为单元的总体刚度矩阵，u为单元的总体位移列向量，F为总体载荷列向量；u_i是第i个位移约束点的实际位移值，u_c是第i个位移约束的容许位移值，NC为位移约束的个数，对于SIMP模型,单元的弹性模量是材料相对密度的函数：

<mrow> <msub> <mi>E</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>e</mi> <mi>p</mi> </msubsup> <msub> <mi>E</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow>

其中P>1是惩罚因子，用于实现对中间密度单元的惩罚，按照经验，一般取P＝3，E₀是完全实心材料的弹性模量；

第二步：以凸模型描述优化模型的不确定性参数，通过静力平衡方程K(b)u(b)＝F(b)以及凸集合理论方法可以得到设计域节点位移响应，进而建立优化模型的非概率可靠性指标，可建立如下非概率拓扑优化模型：

优化目标:

约束条件:K(b)u(b)＝F(b)

R_i≥R_c,i＝1,2,…,NC

0<ρ_min≤ρ_e≤1

第三步：在原非概率可靠性指标的基础上建立可靠性位移差指标，从而改善原非概率可靠度指标对设计变量求灵敏度的缺陷，计算相应的可靠性位移差，利用可靠性位移差可以将原非概率可靠性优化模型修改如下：

优化目标:

约束条件:K(b)u(b)＝F(b)

<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>&amp;DoubleRightArrow;</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mi>i</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mi>C</mi> </mrow>

0<ρ_min≤ρ_e≤1

b∈Ω_C＝{b|(b-b^c)^TW(b^r,ρ_b)(b-b^c)≤θ²}

其中，为可靠性位移差；

第四步：根据第三步得到的可靠性位移差的表达式，通过复合函数求导法则对设计变量进行求导，并运用伴随向量法和有限差分法得到可靠性位移差对设计变量的灵敏度；

第五步：利用第三步中得到的可靠性位移差以及第四步中得到的可靠性位移差对设计变量的灵敏度代入MMA算法中对非概率可靠性优化模型进行求解，得到新的设计变量；

第六步：判定新的设计变量是否满足收敛性条件，若不满足收敛性条件，则将已经完成的迭代次数增加1，并返回第二步；否则，迭代过程结束。

2.根据权利要求1所述的一种基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：以凸模型来描述参数的不确定性，以结构的体积最小即重量最小作为优化目标，以结构关心的重要位置的位移作为约束条件，采用带惩罚因子的固体各向同性材料插值模型建立拓扑优化模型。

3.根据权利要求1所述的一种基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤二中由静力平衡方程K(b)u(b)＝F(b)以及凸集合理论方法，得到节点的位移响应,建立非概率可靠性指标。

4.根据权利要求1所述的一种基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤三中在非概率可靠性指标的基础上建立可靠性位移差指标来改善非概率可靠度指标对设计变量求灵敏度时收敛性方面的缺陷，可靠性位移差定义为实际失效平面与目标失效平面到标准化空间原点的距离差，并且目标失效平面与实际失效平面平行。

5.根据权利要求1所述的一种基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：将步骤三得到可靠性位移差的表达式，通过复合函数求导法则对设计变量进行求导，并运用伴随向量法和有限差分法得到可靠性位移差对设计变量的灵敏度。

6.根据权利要求1所述的一种基于凸模型不确定性的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤五利用步骤四中得到的可靠性位移差以及可靠性位移差对设计变量的灵敏度代入MMA算法中对原拓扑优化问题进行求解，从而更新设计变量。