CN107016154A - 在物理坐标中有效地求解具有模态阻尼的情况下的结构动力学问题 - Google Patents

在物理坐标中有效地求解具有模态阻尼的情况下的结构动力学问题 Download PDF

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Abstract

实施例提供了用于对结构动力学系统的机械特征进行建模的方法以及系统。根据实施例的方法在计算机存储器中提供了表示结构动力学系统的有限元模型。接下来，在耦合至计算机存储器的处理器中，对具有表示有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合的第一项以及表示模态阻尼的第二项的方程组进行求解。根据这样的实施例，使用Sherman‑Morrison‑Woodbury公式或者预处理迭代法来求解该方程组。接着，通过利用借助于有限元模型和模态阻尼的方程组的求解结果对所表示的结构动力学系统的机械特征建模来形成基于有限元模型的现实世界对象的改进的3D模型。

Description

在物理坐标中有效地求解具有模态阻尼的情况下的结构动力 学问题
背景技术
本发明的实施例总体上涉及计算机程序和系统领域，具体而言涉及计算机辅助设计(CAD)、计算机辅助工程(CAE)、建模和仿真领域。
在市场上提供了很多用于零件或零件的组装件的设计的系统和程序。这些被称为CAD系统的系统允许用户构建对象或者对象组装件的复杂三维模型并对该模型进行操纵。因而，CAD系统采用边或线(在某些情况下借助于面)提供了对建模对象(例如，现实世界对象)的表示。可以通过各种方式来表示线、边、面或多边形，例如，非均匀有理B样条(NURBS)。
这些CAD系统对主要是几何图形的规范的建模对象的零件或者零件的组装件进行管理。具体而言，CAD文件包含据以生成几何图形的规范。根据几何图形来生成表示。可以将规范、几何图形和表示存储在单个CAD文件或者多个CAD文件中。CAD系统包括用于为设计者呈现建模对象的图形工具，这些工具专用于复杂对象的显示。例如，组装件可以包含数千个零件。
CAD和CAE系统的出现允许对象的广泛表示的可能性。一种这样的表示是有限元分析模型。在本文中，术语有限元分析模型、有限元模型、有限元网络和网格可互换使用。有限元模型通常表示CAD模型，因而可以表示一个或多个零件或者零件的整个组装件。有限元模型是由点构成的系统，该点被称为节点，它们被互连而形成被称为网格的栅格。可以以使FEM具有底层(underlying)对象或其所表示的对象的特性的这样的方式来对有限元模型进行编程。在以这种方式对有限元模型进行编程时，有限元模型可以用于执行对其所表示的对象进行仿真。例如，有限元模型可以用于表示车辆的内部腔室、结构周围的声流以及任何数量的现实世界对象，包括例如医疗设备(例如，支架)。在给定的有限元模型表示对象并且被相应地编程时，其可以用于对现实世界对象本身进行仿真。例如，可以采用表示支架的有限元模型来对支架在现实生活中的医疗环境中的使用进行仿真。
可以采用这些仿真来改进对被仿真的现实世界对象的设计。例如，可以将动力学系统的有限元模型用到识别系统的故障点的仿真中。反过来，能够采用来自仿真的反馈来改进该有限元模型所表示的并且最终表示现实世界对象本身的三维CAD模型。尽管存在用于执行有限元模型的仿真以及改进底层CAD模型的方法，但是这些现有方法可以得益于功能性而提高效率。
发明内容
本发明的实施例改进了用于CAE的技术，并且提供了用于工程系统的动力学仿真的方法和装置。例如，能够利用实施例对汽车噪声和振动仿真或者耐久性仿真、空间动力学以及安全相关的核结构及核电站建筑物的地震分析进行建模。
本发明的实施例提供了一种对结构动力学系统的机械特征进行建模的计算机实施方法。这样的实施例开始于在计算机存储器中提供表示结构动力学系统的有限元模型。之后，在耦合至存储该模型的计算机存储器的处理器中，求解方程组，其中，该方程组具有表示有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合的第一项以及表示模态阻尼的第二项。在这样的实施例中，使用Sherman-Morrison-Woodbury公式或者预处理迭代法来求解该方程组。接着，利用借助于有限元模型和模态阻尼的方程组的求解结果对所表示的结构动力学系统的机械特征建模来形成基于有限元模型的现实世界对象的改进3D模型。
根据本发明实施例，通过以下操作使用Sherman-Morrison-Woodbury公式来求解该方程组：通过将辅助未知数向量包括到方程组的一组未知数来对方程组的矩阵进行扩展，以及继而借助于扩展矩阵来求解该方程组。根据实施例，该辅助未知数向量的大小等于表示模态阻尼的第二项中所使用的本征模的数量。
本发明的实施例可以利用本领域已知的任何多种多样的迭代法。例如，在实施例中，该迭代法包括以下各项的至少其中之一：Richardson迭代方案、预处理最小残量法、共轭梯度法以及广义最小残量法。在本发明的一个这样的实施例中，该预处理迭代法在没有模态阻尼的情况下利用表示有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合的第一项作为预处理算子。
根据实施例，可以在现有的线性方程求解器中执行提供该有限元模型和求解该方程组，由此进一步提高实施本发明的实施例的效率。
本发明的实施例可以用于仿真任何多种多样的结构动力学系统。示例性系统包括汽车噪声和振动系统、汽车耐久性系统、空间动力学系统以及地震系统。此外，实施例可以对这些系统的任何机械特征进行建模，该机械特征例如是速度、加速度、应变、应力、频率、密度、振动、位移以及力。
本发明的另一实施例涉及一种用于对结构动力学系统的机械特征进行建模的计算机系统。根据这样的实施例，该系统包括处理器以及具有存储于其上的计算机代码指令的存储器。该处理器和具有计算机代码指令的存储器被配置为使系统进行以下操作：提供表示结构动力学系统的有限元模型，以及对具有表示所提供的有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合的第一项以及表示模态阻尼的第二项的方程组进行求解。在这样的实施例中，使用Sherman-Morrison-Woodbury公式或者预处理迭代法对方程组进行求解。此外，根据实施例的此类计算机系统被配置为：通过利用借助于有限元模型和模态阻尼的方程组的求解结果对所表示的结构动力学系统的机械特征建模来形成基于有限元模型的现实世界对象的改进3D模型。
在计算机系统的又一实施例中，使用Sherman-Morrison-Woodbury公式来求解该方程组包括：通过将辅助未知数向量包括到方程组的一组未知数来对方程组的矩阵进行扩展，以及继而借助于扩展矩阵来求解该方程组。在这样的实施例中，该辅助向量的大小等于表示模态阻尼的第二项中所使用的本征模的数量。
根据系统的实施例，预处理迭代法包括以下各项的至少其中之一：Richardson迭代方案、预处理最小残量法、共轭梯度法以及广义最小残量法。在替代方法中，预处理迭代法在没有模态阻尼的情况下利用表示有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合的第一项作为预处理算子。在又一实施例中，该系统在现有的线性方程求解器中实施该提供和求解。
本发明的又一实施例涉及一种用于对结构动力学系统的机械特征进行建模的云计算实施方式。这样的实施例涉及一种由跨越网络与一个或多个客户端进行通信的服务器执行的计算机程序产品。在这样的实施例中，该计算机程序产品包括包含程序指令的计算机可读介质，该程序指令在被处理器执行时使得：提供表示结构动力学系统的有限元模型，并且对具有表示有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合的第一项以及表示模态阻尼的第二项的方程组进行求解。在这样的实施例中，使用Sherman-Morrison-Woodbury公式或者预处理迭代法对方程组进行求解。此外，根据实施例，该程序指令在由处理器执行时还使得：通过利用借助于有限元模型和模态阻尼的方程组的求解结果对所表示的结构动力学系统的机械特征建模来形成基于有限元模型的现实世界对象的改进3D模型。
附图说明
根据以下对本发明的示例性实施例所做的更为具体的描述，上述内容将变得显而易见，如在附图中所例示的，在附图中贯穿不同的视图类似的附图标记指代相同的零件。附图未必是按比例绘制的，相反其重点在于对本发明的实施例进行例示。
图1是根据至少一个示例性实施例的对结构动力学系统的机械特征进行建模的计算机实施方法的流程图。
图2A-B是例示了在利用本发明的实施例的原理对结构动力学系统进行建模的过程中取得的收敛的改善的图。
图3A-B是描绘了根据本发明的实施例的解一个结构动力学系统所需的估计迭代次数的图。
图4是根据实施例的用于对结构动力学系统的机械特征进行建模的计算机系统的简化框图。
图5是其中可以实施本发明的实施例的计算机网络环境的简化图。
具体实施方式
下文将描述本发明的示例性实施例。
通过引用将本文中援引的所有专利、公开的申请和参考文献的教导全文并入本文。
本发明的实施例提供了用于对结构动力学系统的机械特征进行建模的方法和系统。如在Dassault Systemes的6.14版Abaqus Theory Guide中所指出的，采用有限元法求解非线性结构动力学问题的运动方程采取下文的方程(1)的通用式：
其中，左手侧第一项表示惯性力向量，左手侧第二项表示内力向量,f(t)是外加力的向量，u是未知的位移向量。文中的“上方点”标志用于表示时间导数。对于线性结构动力学问题而言，方程(1)采取下述形式：
其中，M、K和C分别为质量、刚度和粘滞阻尼矩阵。
求解瞬态动力学问题需要借助于指定时间t＝0时的位移和速度的外加初始条件对方程(1)或方程(2)进行积分。下面通过关系(3)示出了这一点。
在工程系统的结构动力学仿真中广泛采用稳态动力学分析以计算该系统对稳态时谐激励的响应。受到阻尼的弹性结构的稳态动力学问题简化为下面的复数线性代数方程组，以给定的一组激励频率中的每一频率来求解该线性代数方程组。
(-ω2M+iωC+K+iS)U＝F,ω∈{ω1,ω2,...,ωN} (4)
在方程(4)中，ω是时谐激励的角频率，F是复载荷，U＝U(ω)是复频率响应。在方程(4)的左手侧，M、K和C分别是质量、刚度和粘滞阻尼矩阵，并且S是频域动力学分析中采用的结构阻尼矩阵。在很多工程仿真中，方程(4)的左手侧和右手侧的矩阵可以取决于激励频率ω。
存在用于执行工程系统的仿真的各种技术。例如，用于执行工程系统的动力学响应计算的非直接方法和直接方法。如文中使用的，“直接”是指直接以物理坐标计算动力学响应的结构动力学求解方法。例如，根据这一分类，采用高斯消元法的变型或者采用迭代法来求解复线性方程组(例如，方程(4))以求得频率响应是一种直接求解方法。类似地，对诸如方程(1)和方程(2)之类的运动方程的逐步数值积分也被认为是直接的结构动力学求解方法。
一种非直接方法是模态叠加。模态叠加法或者简正模态法是一种基于动力学响应表示的近似技术，其中，该动力学响应表示采用无阻尼系统的固有模态的线性组合的形式。在Craig et al.,Fundamentals of Structural Dynamics,2d ed.,John Wiley&Sons,Inc.,(2006)以及Girard et al.,Structural Dynamics in Industry,John Wiley&Sons,Inc.,(2008)中进一步描述了这样的方法。模态叠加法广泛用于通过将系统的运动方程变换至理论坐标并对所得到的一组简化的运动方程求解来获得大线性系统的动力学响应。但是，一些结构动力学问题不能通过这种方式有效地处理，例如具有频率相关机械特性的频域问题或非线性的系统。这样的系统需要通过直接法相对于有限元节点自由度或物理坐标来求解该运动方程。
还有用于计算工程系统的动力学响应的各种直接时间积分法。可以将用于求解瞬态动力学问题的直接数值积分算法表征为是隐式的或者是显式的。显式方案完全基于时间t时的可用值来获得时间t+Δt时的动力学量的值。在这样的方法中，Δt是时间增量。隐式方案只是有条件地稳定的；该稳定性限度大致等于弹性波跨越所仿真的模型中的最小元尺度的时间。隐式方案通过不仅基于t时的值还基于t+Δt时的那些相同量求解时间t+Δt时的动力学量来去除对时间步长的这一上限。此外，由于它们是隐式的，因而必须以非线性动力学分析的每一时间增量来求解非线性方程。如在Hilber et al.,“Collocation,Dissipation and‘Overshoot’for Time Integration Schemes in StructuralDynamics,”Earthquake Engineering and Structural Dynamics,vol.6,pp.99-117中所指出的，采用隐式积分方案求解的结构问题往往会以通常比显式方案的稳定性极限大一个或两个数量级的时间步长而给出可接受的解，但是随着时间步长Δt相对于典型响应模式的周期T增大响应预测将恶化。在选择可允许的时间步长时通常考虑三个因素：所施加的载荷的变化速率、非线性阻尼和刚度特性的复杂性以及结构的典型振动周期。一般而言，最大增量与周期之比满足是获得可靠结果的良好准则。下文是显式和隐式时间积分方案的示例，但是应当指出下文讨论的各种方法也适用于其它显式或隐式动力学积分算法。
在中采用了显式动力学积分过程的一个示例，如Dassault Systemes的6.14版的Abaqus Theory Guide中所述。中采用的显示动力学积分过程基于显式积分准则的实施以及对角或“集总”有限元质量矩阵的使用。采用显式中心差分积分准则对方程(1)所给出的运动方程进行积分，从而得到了下述方程(5)：
其中，u、和分别是位移向量、速度向量和加速度向量。在此以及下文中，下标n指代第n步时间值：下标n-0.5和n+0.5指代中间步值。从能够使用根据前一步的和的已知值来推进运动状态的意义上来讲，中心差分积分算子是显式的。
显示积分准则(5)相当简单，但是凭借其本身无法提供与显示动力学过程相关联的计算效率。显式过程的计算效率的关键在于采用具有对角或集总质量矩阵的方程(6)
的形式的惯性力向量，因为在由下式给出的在递增开始时对加速度的计算中采用了该质量矩阵的逆：
另一种直接方法是隐式动力学积分算法。一种这样的隐式动力学积分算法是Hilber、Hughes和Taylor在Hilber et al.,“Improved Numerical Dissipation for TimeIntegration Schemes in Structural Dynamics,”Earthquake Engineering andStructural Dynamics,vol.5,pp,283-292,(1977)以及Hilber et al.,“Collocation,Dissipation,and‘Overshoot’For Time Integration Schemes in StructuralDynamics,”Earthquake Engineering and Structural Dynamics,vol.6,pp.99-117(1978)中提出的α法。该α法依赖于下述插值(由方程(8)所示)，其对于如Newmark,“AMethod of Computation for Structural Dynamics,”Journal of the EngineeringMechanics Division,ASCE,pp.67-94,(1959)所述的Newmark型结构动力学求解算法系列而言是常用的。
在方程(8)中，un、和是时间tn时的位移、速度和加速度；并且γ和β为参数。
可以利用un+1作为主要未知数来求解方程(8)，如在方程(9)中所描绘的：
该α法操作利用该时间步的开始和结束时内力和外力的加权平均以及该时间步结束时的惯性力的平衡来代替方程(1)，这得到方程(10)：
可以通过在解的附近具有二次收敛的Newton-Raphson迭代法、正割法或准Newton法来求解所得到的非线性代数方程组(10)，在Bathe,Finite Element Procedures inEngineering Analysis,Prentice-Hal,(1982)中对此给出了描述。前述方法全部通过在每一时间步进行若干迭代来求解每一迭代的线性化方程。例如，考虑Newton-Raphson迭代法，其中，可以将方程(10)的残差定义为：
在Newton法的针对方程(11)的第(n+1)个时间步的第k次迭代中，求解下述线性方程组：
其中
采用这样的方法，通过对残差(11)进行微分而获得矩阵并且使用方程(9)获得下述方程(14)：
可以将α法应用于线性结构动力学问题(2)，其给出以下方程组：
接着可以在每一时间步求解方程组(15)。如果时间增量并不一步步变化，Δtn+1＝Δt＝常数，那么在方程(15)的左手侧乘以un+1的矩阵并不随时间步而发生变化。一旦这一约束矩阵被因子分解，在每一时间步对位移的求解就将只需右手侧的计算加上正消和回代。
阻尼是结构动力学中的重要议题；但是阻尼可能使所述结构动力学系统的仿真进一步复杂化。有各种不同的阻尼模型可用，例如速度相关的粘滞阻尼、位移相关的结构阻尼、考虑接触表面上的滑动摩擦的接触阻尼、与阻尼的线性和非线性连接、粘弹性和弹塑性材料以及很多其它模型。在Craig,R.R.,Kurdila,A.J.Fundamentals of StructuralDynamics–2nd ed.,John Wiley&Sons,Inc.,(2006)、Girard,A.Roy,Nicolas.StructuralDynamics in Industry,John Wiley&Sons,Inc.,(2008)以及Wilson E.L,Pensien J.,“Evaluation of orthogonal damping matrices”,International Journal forNumerical Methods in Engineering,vol.4,pp.5-10,(1972)中描述了各种各样的阻尼模型。
粘滞阻尼是速度相关的。直接结构动力学求解方法支持一般的粘滞阻尼，其可以包括：线性或非线性缓冲器和连接器元件、表面相互作用阻尼、材料阻尼、时域或频域粘弹性以及比例瑞利阻尼。不同的粘滞阻尼源对内力向量起作用，并且不同的阻尼源形成了基于所仿真的结构动力学系统的线性化模型的全局粘滞阻尼矩阵。该全局粘滞阻尼矩阵通常如有限元法的其它全局算子一样稀疏。
所谓的“迟滞阻尼”或“结构阻尼”是一种有用但复杂的阻尼模型。通过借助于导致位移相关阻尼的复刚度对能量耗散进行建模。复刚度不能使用物理定律导出。其仅在频域中适用。该结构阻尼算子可以包括来自材料阻尼、复杂弹簧和连接器的贡献。此外，能够将结构阻尼算子设置为与实刚度成比例，或者可以将其定义为矩阵并输入到模型中。直接频率响应分析支持频域中的一般全局稀疏结构阻尼算子。在工程仿真中采用一般粘滞阻尼和结构阻尼需要针对测量数据和实验数据对阻尼模型进行调整，这可能是一项具有挑战性的任务。
又一种阻尼模型是模态阻尼。模态阻尼是结合模态叠加法定义的。在模态阻尼中，矩形矩阵Φ1...m和对角矩阵Ω1...m＝diag(ω1,...,ωm)是一般化本征值问题的部分解，该问题由方程(16)给出
其中，M和K分别是质量矩阵和刚度矩阵，并且I是m×m单位矩阵。矩阵Φm的列是质量归一化本征向量(振型)，m表示本征模的数量，并且ωi,i＝1,...,m是该线性系统的固有频率。在Craig,R.R.,Kurdila,A.J.Fundamentals of Structural Dynamics–2nd ed.,John Wiley&Sons,Inc.,(2006)、Wilson E.L,Pensien J.,“Evaluation of orthogonaldamping matrices”,International Journal for Numerical Methods in Engineering,vol.4,pp.5-10,(1972)以及Clough R.W.,Penzien J.,Dynamics of structures,3rded.,Computers&Structures,(2003)中将模态粘滞阻尼矩阵和模态结构阻尼矩阵定义为
Cmodal＝ΨDΨT,Smodal＝ΨHΨT (17)
其中
Ψ＝MΦ1...m (18)
在这样的方法的实施中，矩阵D和H是正定的，以便便于对该系统中的能量耗散的表示。此外，在这样的方法中，关系(19)成立，其中：
通常，将m×m矩阵D和H选择为是对角的，其中
D＝diag(d1,...,dm),H＝diag(h1,...,hm) (20)
但是，对于这些相对较“小”的矩阵而言不存在其为密集矩阵的基本限制。对角模态阻尼导致了与所存在的模态一样多的阻尼系数，其能够有助于针对测量结果容易地调节这些系数。典型地，对角粘滞和结构阻尼项通过下式给出的阻尼因子和本征频率ωi表达
其中，ξi是i阶本征模的粘滞模态阻尼因子：ξi＝1对应于临界阻尼的i阶本征模，其中较大值为过阻尼，较小值为欠阻尼；ηi＝1是i阶本征模的滞后阻尼比。ξi的典型值处于0.01≤ξi≤0.1的范围内。此外，除了其它示例外，还在Craig,R.R.,Kurdila,A.J.Fundamentals of Structural Dynamics–2nd ed.,John Wiley&Sons,Inc.,(2006)和Girard,A.Roy,Nicolas.Structural Dynamics in Industry,John Wiley&Sons,Inc.,(2008)中讨论了用于确定阻尼因子ξi和ηi的实验方法。
模态阻尼提供了对宽频率范围的阻尼的相对准确的表示。所有类型的结构动力学仿真(包括非线性瞬态动力学分析)均能够受益于利用模态阻尼。这一点曾在Craig,R.R.,Kurdila,A.J.Fundamentals of Structural Dynamics–2nd ed.,John Wiley&Sons,Inc.,(2006)中指出过，并且通过研究若干公开文献中的相对简单的机械系统而被证实，该公开文献例如是Bianchi,J.-P,Balmes,E.,Vermot G.des Roches,Bobillot A.,“Using ModalDamping for Full Model Transient Analysis.Application to Pantograph-CatenaryVibration”,Proceedings of 24th International Conference on Noise andVibration engineering(ISMA2010),(2010)和Korotkov,V.A.,Ivanov,Naumkin,“Accountof Modal Damping Instead of Rayleigh Damping in Floor Response SpectraAnalysis in Civil Structures of Nuclear Power Plants(NPP)Under AircraftCrash”,Proceedings of Simulia Customer Conference,(2014)。模态阻尼矩阵在主坐标中具有预定义的简单形式，对应于简化的模态子空间，其使得在模态叠加中自然、有效地使用模态阻尼矩阵。这一点曾在Craig,R.R.,Kurdila,A.J.Fundamentals of StructuralDynamics–2nd ed.,John Wiley&Sons,Inc.,(2006)、Girard,A.Roy,Nicolas.StructuralDynamics in Industry,John Wiley&Sons,Inc.,(2008)以及Clough R.W.,Penzien J.,Dynamics of structures,3rd ed.,Computers&Structures,(2003)中被观察到。尽管其可能是有利的，但是在物理坐标中求解具有模态阻尼的情况下的结构动力学问题将带来显著的计算困难，因为矩阵C模态和S模态是“大”的密集全局矩阵。针对稀疏矩阵设计的直接线性代数求解器不能有效地对模态阻尼矩阵起作用。
本发明的实施例提供了用于在物理坐标中求解在具有模态阻尼的情况下的动力学问题的方法和系统。这样的方法需要利用特殊形式的矩阵来求解线性方程组A＝B+ΨGΨT(例如，下文所述的方程(32))。在前述方程组中，右手侧的第一矩阵与在没有模态阻尼的情况下的动力学分析中相同。右手侧的第二项是定义模态阻尼的具有相对较低的秩的矩阵。实施例借助于这样的矩阵有效地求解了具有数百万未知数的方程组。
因而，能够利用本发明的实施例在物理坐标中有效地求解在具有模态阻尼的情况下的结构动力学问题。实施例提供了多种方案来求解对结构动力学系统的机械特征建模的方程组，例如本文指出的方程(31)，该方程对于在物理坐标中在具有模态阻尼的情况下的动力学分析的使用情况而言是典型的。一种这样的方案是基于Sherman-Morrison-Woodbury公式，其中未直接使用公式(如通过方程33所示)，相反这样的实施例对方程(34)所给出的扩展方程组进行求解。本发明的另一实施例采用预处理迭代法，其在不具有模态阻尼的情况下利用常规算子作为该迭代算法的预处理算子以求解模态阻尼的问题。
利用本发明的实施例提供了允许对具有非线性频率相关机械特性以及需要在物理坐标系中执行的分析的其它高级机械特征的结构动力学系统中的阻尼进行实际建模的技术。其实现了针对具有数百万自由度的机械模型在物理坐标系中在具有模态阻尼的情况下的动力学分析，这对于采用现有的有限元仿真技术的情况而言是不可实现的。此外，实施例提供了提高的工程仿真准确度，因为包括模态阻尼将得到更加实际的系统模型。此外，在物理坐标空间中在有限元动力学分析中，实施例借助于包括模态阻尼的高性能可缩放算法提供了更高的计算效率。
通过实施这样的方法，实施例提供了否则将无法获得的对环境的实际建模。例如，可以采用实施例在宽泛范围的工程仿真中实施模态阻尼，包括对核电站的隐式时间积分动力学分析、对汽车噪声、振动和粗糙度的直接稳态动力学分析以及对车身的非线性瞬态动力学分析(例如，对车门和引擎盖猛关的仿真)以及其它。
图1是根据本发明的实施例的对结构动力学系统的机械特征进行建模的方法110的流程图。方法110开始于在步骤111处在计算机存储器中提供表示结构动力学系统的有限元模型。在这样的实施例中，该有限元模型被编程，从而具有该模型所表示的结构动力学系统的特性。例如，该有限元模型可以被编程以具有该结构系统的机械特性，例如速度、加速度、应变、应力、频率、密度、振动、位移、和力以及其它。此外，该有限元模型还可以被编程以具有能量耗散特性，例如粘滞阻尼、结构阻尼、干摩擦、非线性连接和相互作用以及其它非保守力。类似地，在步骤111处所提供的模型可以代表本领域已知的任何结构动力学系统，例如汽车噪声和振动系统、汽车耐久性系统、空间动力学系统和地震系统。类似地，该模型能够表示其它工业应用领域内的工程系统，例如工程装置、电子、生命科学以及其它。
根据实施例，该有限元模型可以在计算机存储器中通过本领域已知的任何手段来获取。例如，通过将有限元模型从任何通信耦合点转移到计算机存储器中。在又一实施例中，该模型是由用户使用常规模型生成技术来创建的。此外，根据又一实施例，获得该结构动力学系统的三维CAD模型，之后通过使用一个或多个可用的建模软件包，将该3D CAD模型转化为有限元模型。此外，在计算设备中实施的方法110的实施例中，在其上提供有限元模型的存储器可以处于相对于该计算设备的任何通信耦合点处(例如，远程地位于或本地位于)。
在步骤111处提供有限元模型之后，方法110继续，并且在步骤112处由耦合至该存储器的处理器来求解方程组，该方程组的第一项表示该有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合，第二项表示模态阻尼。在方法110中，在步骤112处使用Sherman-Morrison-Woodbury公式或者预处理迭代法来求解该方程组。根据实施例，有限元模型的特性(例如，质量、刚度和阻尼)可以从步骤111处所提供的有限元模型自动导出。在另一实施例中，用户提供被包括在方程组中的必要的质量、刚度和阻尼元素。类似地，用户可以提供表示模态阻尼的项的特性。再者，在实施例中，用户能够在分析期间例如通过从不同步骤处的分析中包含或者从其中排除模态阻尼来控制模态阻尼的使用。例如，用户可以在具有模态阻尼和没有模态阻尼的情况下执行对模型的分析，以查看阻尼对结果的影响。
根据方法110的实施例，在步骤112处使用Sherman-Morrison-Woodbury公式对方程组的求解包括通过将未知数辅助向量包括到该方程组的一组未知数来扩展该方程组的矩阵。在这样的实施例中，该辅助向量具有与表示模态阻尼的第二项中使用的本征模的数量相等的大小。下文将描述有关对上述扩展矩阵进行求解的额外细节。
根据方法110的实施例，可以使用迭代法在步骤112处求解该方程组。方法110的实施例可以使用本领域已知的任何迭代法。例如，实施例可以使用Richardson迭代方案、预处理最小残量法、共轭梯度法、广义最小残量法以及其它方法。针对预处理算子所提出的选择支持各种各样的迭代方案的良好收敛。因而，选择特定的迭代法不会带来原则的差异，并且可以基于分析软件的可用性、开发工作估计或者不与本发明的实施例直接有关的某些其它偏好来选择迭代法。为了提高步骤112处对方程组求解的效率，方法110的实施例在迭代法中使用预处理算子。根据实施例，预处理算子在没有模态阻尼的情况下利用该方程组的表示有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合的第一项作为预处理算子。
如文中所指出的，方法110在步骤112处使用Sherman-Morrison-Woodbury公式或者迭代法来求解方程组。方法110的另一实施例确定在步骤112处使用这两个方法中的哪个方法来求解方程组。在这样的实施例中，该确定基于分析软件的可用性、开发工作估计或者包含典型的有限元问题规模的一些其它偏好。对于具有数百万自由度的大规模有限元仿真而言，迭代方案有可能比基于Sherman-Morrison-Woodbury公式的方案更加有效。但是，两种方案的有效应用领域强烈地依赖于实施方式，其包括用于分布式存储器系统、对称多重处理系统的算法的并行化并且使用图形处理器(GPU)以用于高性能计算。
方法110继续至步骤113，并且利用借助于有限元模型和模态阻尼求解方程组所生成的结果对所表示的结构动力学系统的机械特征建模，来形成有限元模型所表示的实际对象的改进的3D模型。换言之，在步骤113处使用来自步骤112的求解方程组的结果来告知结构动力学系统的模型的设计变化。例如，如果结构动力学系统表示汽车，并且该仿真对猛关车门进行建模，那么结果可以示出随着时间的推移当前的门铰链存在质量问题。可以通过使用方法110来识别这样的故障点，并且在该汽车的CAD模型中做出改变(例如，改变铰链的材料或者改变将铰链附接到门框的焊接)以改进设计。
如文中所指出的，方法110是计算机实现的。因而，可以利用本领域已知的任何方法将其实施在计算设备中。例如，可以通过执行被存储在计算设备上的程序代码来执行该方法。此外，在实施例中，可以在已经存在的现有线性方程求解器中实施方法110。在这样的实施例中，对现有的线性求解器加以修改，以执行方法110的步骤111-113。根据其中使用现有线性求解器来实施该方法的替代实施例，将分别执行提供和求解操作的步骤111和步骤112并入现有线性求解器中，该求解器通信耦合至3D建模软件程序，以便于使用步骤112处所执行的求解的结果来改进3D模型。此外，可以通过对现有线性求解器予以修改使得根据本文中所描述的原理执行求解112来对实施例进行实施，其中现有线性求解器能够访问在步骤111处所提供的有限元模型，并且能够访问3D模型，以便在步骤113处对该模型进行改进。
如文中所述，本发明的实施例提供了用于对结构动力学系统的机械特征进行建模的方法。可以采用文中描述的实施例的一种这样的建模技术是对模态阻尼的频率响应分析。具有模态阻尼的情况下的频率响应分析的稳态动力学问题具有通过方程(22)给出的下述形式：
[-ω2M+iω(C+Cmodal)+K+i(S+Smodal)]U＝F (22)
其中，M、K、C和S分别是一般全局稀疏质量、刚度、粘滞阻尼和结构阻尼矩阵；C模态和S模态是在方程(17)中定义的模态粘滞阻尼矩阵和模态结构阻尼矩阵。可以将方程(22)重写为下述形式:
[B+Ψ(iωD+iH)ΨT]U＝F (23)
其中，
B＝-ω2M+iωC+K+iS (24)
可以使用本发明的原理实施的又一仿真是在具有粘滞模态阻尼的情况下的非线性瞬态分析。可以通过在左侧添加模态阻尼项来对通用方程(1)加以修改，从而得到下面的方程(25)：
可以在这样的实施例中使用显式时间积分，其中在方程(7)的右手侧计算模态阻尼项，从而给出了方程26。
对具有粘滞模态阻尼的情况下的非线性瞬态问题进行建模的实施例还可以利用隐式时间积分方法。应用隐式积分算法(例如，前述α法)在算子中得到模态阻尼项。例如，在第k次迭代中第n+1个时间步的方程组(12)采取下述形式：
其中，
并且R(un+1)是由方程(11)所定义的。
如果所仿真的结构系统的机械性质使得非线性不对本征模造成显著影响，那么可以根据有限元模型的初始未变形状态来计算在方程(25)的左手侧乘以的模态阻尼矩阵，并使之在分析过程中保持恒定。然而，在很多实际情况中，本征模取决于模型的非线性变形的构造。可以通过在时间积分算法的若干步骤之后重新计算模态阻尼矩阵来考虑这样的依赖性。这样的重新计算包括解该结构的当前变形状态的本征问题(eigenproblem)。
可以使用本发明的原理执行的又一建模分析是具有粘滞模态阻尼情况下的线性瞬态问题。在这样的分析中，可以在使用α法的同时在每一次隐式积分算法时求解方程组(29)。
其中，
如果时间增量是常数，即Δtn+1＝Δt＝常数，那么在各步之间矩阵Bn+1不发生变化，并且可以如上文所指出的在求解算法实施中考虑该矩阵。
上文描述了各种建模技术，例如频率响应分析、非线性瞬态问题和线性瞬态问题，它们能够结合模态阻尼，得到能够利用本发明的实施例的原理求解的方程组(23)、(27)和(29)。方程(23)、(27)和(29)表明在物理坐标系中求解具有模态阻尼的情况下的频率响应或瞬态动力学问题需要求解线性方程组，其中
Ax＝b (31)
其中，矩阵A具有下述具体形式
A＝B+ΨGΨT (32)
动力学解算性能主要取决于对这样的方程组的求解。在方程(31)的左手侧，B是在没有模态阻尼的情况下针对问题的直接解算方法的“常规”算子，第二项与模态阻尼有关。矩阵B表示物理坐标空间中的有限元模型的质量、刚度和阻尼算子的线性组合。因此，根据有限元方法的性质，B是“大”的n×n稀疏矩阵。现代化的算法和软件能够非常有效地求解带有这种结构的矩阵的线性方程组。例如，在执行没有模态阻尼的情况下的动力学分析中。在方程(32)的右手侧的模态阻尼项中，矩阵Ψ是表示本征模乘以全局质量算子的矩阵的“高”n×m密集矩阵，G是定义模态空间中的模态阻尼的“小”m×m非奇异矩阵。矩阵G可以是密集的，但是通常其为对角矩阵。这里，n是以数百万或数千万计的有限元模型的自由度的数量，m是能够以数千计的用于模态阻尼定义的本征模的数量。如上文所指出的，使用被设计用于处理稀疏矩阵的高性能线性方程求解器不能有效地计算求解方程组(31)的实际工程仿真，因为ΨGΨT是“大”的密集矩阵。因而，本发明的实施例(例如，上文所述的方法110)提供了求解方程组(32)的方法。
如上文关于图1所述的，实施例可以使用Sherman-Morrison-Woodbury公式或者预处理迭代法来求解用于对结构动力学系统建模的方程组。下文中将在方程组(31，32)的求解中描述以每种方法的示例的形式的额外细节。这些方案提供了用于对称多重处理系统的高性能可缩放实施方式，并且因此允许在物理坐标中有效地求解具有模态阻尼的情况下的大规模结构动力学问题。
基于Sherman-Morrison-Woodbury公式的直接求解利用了矩阵A的结构，并且使用Sherman-Morrison-Woodbury公式改写方程(31)的解，从而得到了下面的方程(33)。有关Sherman-Morrison-Woodbury公式的额外细节在Hager W.W.“Updating the inverse of amatrix”,SIAM Review,vol.31,No.2,pp.221-239,(1989)以及Higham,N.,Accuracy andStability of Numerical Algorithms,2nd ed.SIAM,(1996)中有所描述。
x＝B-1b-B-1Ψ(G-1+ΨTB-1Ψ)-1ΨTB-1b (33)
为了求解方程(33)，可以假设矩阵G-1和Ψ＝MΦ是预先计算出的，并且在不丧失一般性的情况下可以假设矩阵B是正定的：B＝BT，B＞0。使用Sherman-Morrison-Woodbury公式求解方程(33)的典型方式包括以下操作：
(1)对矩阵B进行因式分解：B＝LLT
(2)求解具有经因式分解的矩阵的方程组：By＝b
(3)z＝ΨTy
(4)u＝(G-1+ΨTB-1Ψ)-1z
a)执行具有多重右手侧的正消：Q＝L-1Ψ
b)R＝QTQ
c)求解：(G-1+R)u＝z
(5)v＝Ψu
(6)求解具有经因式分解的矩阵的方程组：Bw＝v
(7)x＝y-w
在计算直接解时，总是存在上述步骤(1)和(2)，但是步骤(3)到(7)是模态阻尼所特有的，步骤(4)是其中最计算密集的。在本发明的实施例中，不使用步骤(1)到(7)来求解方程(33)，本发明的实施例而是利用对方程(34)所给出的借助于扩展矩阵对方程组进行求解的方法
其中，y是具有尺寸m的辅助未知向量。位于方程(34)的左手侧的矩阵块分别为：B—在没有模态阻尼的情况下针对问题的直接动力学求解方法的算子；Ψ—乘以来自左侧的全局质量算子的本征模的矩阵；G—模态域中的模态阻尼算子。
可以检查来自方程组(34)的解的向量x满足方程(33)，并且因此其表示方程(31)的解。尽管利用步骤(1)到(7)并且对方程组(34)进行求解的总浮点运算计数大致相同，但是使用方程(34)更适于有效地使用对称多重处理系统，并且更适于借助于图像处理器(GPU)的计算。实际上，借助于扩展矩阵边界块Ψ的所有计算都可以在矩阵块上以DemmelJ.W.Applied Numerical Linear Algebra,SIAM(1997)中所述的高度有效的BLAS3级运算的形式被实施。在实施例中，必须访问因子L的次数等于一，与之相比，在步骤(1)到(7)中该数量为三。
此外，能够利用可用的高性能线性方程求解器来求解具有很少变化的方程组(34)。因而，公式(34)提供了一种能够在无需高成本的软件开发工作的情况下实现的在物理坐标中求解在具有模态阻尼的情况下的结构动力学问题的方法。此外，在具有恒定时间步的线性动力学分析的情况下，方程(34)左手侧的矩阵或者执行步骤(1)到(7)时的矩阵B应当在每次动力学分析中被因式分解一次，这使得解有效率得多。
本发明的又一实施例使用迭代法来求解用于对结构动力学系统进行建模的方程组。在用于定义模态阻尼的本征模的数量很高(例如，数以千计)时，使用Morrison-Morrison-Woodbury的直接算法在针对具有数百万自由度的有限元模型的大规模动力学分析中可能变得计算效率低下。对于这种情况，实施例可以使用迭代法来求解方程组(例如，方程(31))，该迭代法例如是在Bakhvalov,N.S.,Numerical Methods:Analysis,Algebra,Ordinary Differential Equations,MIR,(1997)、Saad,Y.,Iterative Methods forSparse Linear Systems,SIAM,(2003)、van der Vorst,H.A.,Iterative Krylov Methodsfor Large Linear Systems,Cambridge University Press,(2003)以及DemmelJ.W.Applied Numerical Linear Algebra,SIAM(1997)中所描述的那些迭代法。
在这样的实施例中，在没有模态阻尼的情况下针对问题的直接动力学求解方法的算子(即，矩阵B)可以用作预处理算子。矩阵A和B的差别仅在于在n维空间的相对较“小”的m维子空间上定义的模态阻尼项。因而，算子B“接近”算子A，而且其对于用于求解方程(31)的迭代方案而言可以是“良好”的预处理算子。在模态阻尼的水平不高的情况下尤其是这样。
这一概念可以通过考虑对模态阻尼的线性瞬态模态分析来证实，如上文在方程(29)和(30)中所呈现的。为了简单起见，可以假设时间增量是恒定的：Δtn＝Δt，并且在该模型中除了具有恒定阻尼因数的模态阻尼ξi＝ξ,i＝1,...,m之外没有其它阻尼源。在这些假设的情况下，矩阵A和B采取下述形式：
使用预处理Richardson迭代方案来求解方程(31)的示例得到了下述方程(36)：
x(k+1)＝x(k)-τB-1(Ax(k)-b) (36)
其中，τ是必须选择以使得x(k)的序列收敛的标量参数。之后，令x＝A-1b是方程(31)的精确解，于是得到了下面的方程(37)
(x(k+1)-x)＝(I-τB-1A)(x(k)-x) (37)
其中，r(k)＝x(k)-x是误差向量，并且可以将收敛估计写为
||x(k)-x||2≤ρk||x(0)-x||2 (38)
其中，||·||2是Euclidian范数||v||2＝√vTv，并且收敛因数是算子I-τB-1A的谱半径。
如在Bakhvalov,N.S.,Numerical Methods:Analysis,Algebra,OrdinaryDifferential Equations,MIR,(1997)以及Saad,Y.,Iterative Methods for SparseLinear Systems,SIAM,(2003)中所述的，已知Richardson迭代方案的最佳收敛速率是通过下述最佳参数实现的，该参数给出了下述相对应的最佳谱半径
其中，μ最小和μ最大是矩阵B-1A的最小和最大本征值。
为了估算μ最小和μ最大，令n×n矩阵Φ和Ω是如下面的方程(40)所示的整个对称本征值问题的解：
KΦ＝MΦΩ2,ΦTMΦ＝I (40)
矩阵Φ和Ω＝diag(ω1,...,ωn)包含本征问题(16)的解Φ1...m和Ω1...m作为子矩阵
使用方程(35)和(40)可以将其写为
ΦTAΦ＝ΛA，A＝(ΦT)-1ΛAΦ-1,
其中，并且其对角值为
因此，矩阵B-1A具有通过(44)给出的实际本征值
最小本征值μ最小＝1。将方程(44)的右手侧处理为ωΔt的函数，确定最大值μ*＝μ(ω*Δt)，其中，
在Abaqus Theory Guide,Release 6.14.Dassault Systèmes,(2014)、Hilber,H.M.,Hughes,T.J.R.,Taylor,R.I.,“Improved Numerical Dissipation for TimeIntegration Algorithms in Structural Dynamics”,Earthquake Engineering andStructural Dynamics,Vol.5,pp.283-292,(1977)以及Hilber,H.M.,Hughes,T.J.R.,“Collocation,Dissipation and`Overshoot'for Time Integration Schemes inStructural Dynamics,”Earthquake Engineering and Structural Dynamics,vol.6,pp.99–117,(1978)中指出了Hilber、Hughes和Taylor的动力学积分算法的允许参数值，
并且在时间步满足m阶固有振动模式的准确度标准的情况下，得到了
由于对于0≤ωΔt＜ω*Δt函数μ(ωΔt)是单调递增的，因而能够推断出
μmin＝1,
这里，参数δ是相对于m阶固有振动模式的周期定义时间增量的时间积分准确度因数。
使用方程(48)并且通过实施变换，迭代方案(36)的最佳参数和相对应的收敛速率(39)能够被表达为下述形式
在(49)中，可以使用在模态阻尼定义中使用的时间积分器参数、时间增量和最大固有频率来计算最佳迭代参数。
可以在本发明的任何实施例中实施上文描述的过程。例如，可以在上文结合图1所描述的方法110的步骤112处实施结合方程(34)所描述的Sherman-Morrison-Woodbury求解方法以及结合方程(36)所描述的迭代法。
图2A和2B是对借助于Hilber、Hughes和Taylor时间积分器的典型参数设置(如在Abaqus Theory Guide,Release 6.14.Dassault Systèmes,(2014)中所述的)针对模态阻尼因数ξ和准确度因数δ的不同值所计算出的如线221a和221b所示的最佳收敛因数ρopt的估算值进行说明的图220a和220b，其中，
α＝-0.05,β＝0.275625,γ＝0.55 (50)
图2A示出了对于0≤ξ≤2，的ρopt。图2B示出了在模态阻尼因数处于0≤ξ≤0.2的范围内的情况下图2A的放大版本。图2A和2B表明对于较低水平的模态阻尼以及较小的时间增量值实现了更好的收敛。对于最为典型的范围0.01≤ξ≤0.1，最大合理时间增量的收敛因数低于0.03，这指示该迭代方案的非常快速的收敛。
可以通过检验用于获得解的迭代次数来对本发明的实施例进行分析。使用不等式其中能够由方程(38)获得不等式(51)
如果初始向量为零：x(0)＝0，那么由不等式(51)得到：
(52)左手侧估算解的正确小数位的数量。因此，用于获得具有N个正确小数位的解的迭代次数被估计为
图3A和3B是图330a和330b，其分别对借助于时间积分器参数设置(46)针对模态阻尼因数ξ和准确度因数δ331a和331b的不同值用于获得具有百万个自由度n＝106的有限元模型的具有12个正确小数位的结构动力学建模问题的解的在最佳收敛因数ρopt情况下的迭代的估计次数进行说明。
图3A示出了对于0≤ξ≤2，的迭代次数。图3B放大至模态阻尼因数范围0≤ξ≤0.2。图3A和3B表明较小的模态阻尼因数和时间增量需要较少的迭代。图3B表明，对于模态阻尼因数范围0.01≤ξ≤0.2，每次迭代该解中的正确小数位的数量至少增大一位。
图2A、2B、3A和3B描绘了针对具有模态阻尼的情况下的线性动力学问题的特殊情况对预处理Richardson迭代方案的收敛进行研究以及对最佳迭代参数和收敛因数的导出公式的收敛进行研究所得到的结果。所确定的估值论证了对于模态阻尼因数的实际范围该迭代过程的良好收敛性。在一般情况下，能够通过使用更加先进的预处理迭代法(例如，预处理最小残量法、共轭梯度法、广义最小残量法等)来获得更好的迭代解收敛。在Saad,Y.,Iterative Methods for Sparse Linear Systems,SIAM,(2003)、van der Vorst,H.A.,Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems,Cambridge University Press,(2003)以及Demmel J.W.Applied Numerical Linear Algebra,SIAM(1997)中描述了这些方法。对于在具有中等程度非线性的非线性动力学分析中求解方程组(31)而言同样能够实现迭代算法的良好收敛。因此，在没有模态阻尼的情况下针对问题的直接动力学解算方法的算子表示用于在物理坐标中对具有模态阻尼的情况下的动力学问题进行迭代求解的良好预处理算子。
文中所描述的实施例呈现了用于对方程组(31)求解的两种方法，该方程组(31)能够用于在物理坐标中计算具有模态阻尼的情况下的结构动力学问题的解。在频率响应分析问题中，可以使用基于方程(34)的Sherman-Morrision-Woodbury技术来求解在频域中具有模态阻尼项的运动方程(23)。对于这种情况而言，方程(34)的右手侧的算子和解分别为复矩阵和向量。最好不要利用迭代法来求解频率响应分析问题，因为矩阵B(24)在一般情况下不是正定的。
可以通过使用Sherman-Morrison-Woodbury方法或者迭代法来计算具有模态阻尼的情况下的模型的瞬态动力学响应。在具有模态阻尼的情况下的线性动力学分析中，每一时间步的方程组(29)具有形式(31)，并且能够使用前述具有扩展形式的Sherman-Morrison-Woodbury公式(34)来求解或者使用预处理迭代法来求解。在两种情况下，均形成了隐式时间积分方法的常规动力学算子B(没有模态阻尼)，并且在通过Sherman-Morrison-Woodbury法或迭代法在物理坐标中进行求解计算所需的矩阵运算中使用定义模态阻尼的矩阵Ψ和G。
在对模态阻尼的非线性动力学仿真的情况下，在Newton(或类似)方法的每次迭代的每一时间步对线性方程组(27)进行求解，以获得非线性动力学解。方程组(27)还具有形式(31)，并且能够通过Sherman-Morrison-Woodbury技术或者可以与线性分析情况类似地使用迭代法来有效地求解。
选择Sherman-Morrison-Woodbury技术还是迭代方案来有效地求解瞬态动力学问题可以基于实际经验、可用硬件、有限元模型尺寸以及模型的模态阻尼水平和非线性度。当使用非常多(数千个)的本征模来定义模态阻尼时，对于具有中等程度的非线性的非常大的有限元系统(数百万的自由度)，迭代法可以比Sherman-Morrison-Woodbury技术更加经济。
图4是根据本发明实施例的可以用于对结构动力学系统的机械特征进行建模的基于计算机的系统440的简化框图。系统440包括总线443。总线443用作系统440的各个部件之间的互连件。用于将诸如键盘、鼠标、显示器、扬声器等之类的各个输入和输出设备连接至系统440的输入/输出设备接口446被连接至总线443。中央处理单元(CPU)442连接至总线443，并且提供对计算机指令的执行。存储器445为用于执行计算机指令的数据提供易失性存储。存储装置444为软件指令(例如，操作系统(未示出))提供了非易失性存储。系统440还包括网络接口441，其用于连接至本领域公知的任何各种网络，包括广域网(WAN)和局域网(LAN)。
应当理解，可以通过很多不同的方式来实施文中描述的示例性实施例。在一些情况下，本文描述的各种方法和机器均可以通过物理、虚拟、或混合通用计算机(例如，计算机系统440)或者通过计算机网络环境(例如，下文结合图5描述的计算机环境550)来实现。可以将计算机系统440转变成执行本文描述的方法(例如，110)的机器，例如通过将软件指令加载到存储器445或非易失性存储设备444中以由CPU 442执行。本领域技术人员还应当理解，系统440及其各个部件可以被配置为执行文中描述的本发明的任何实施例。此外，系统440可以利用操作耦合至系统440的或者相对于系统440处于内部或外部的硬件、软件和固件模块的任何组合来实施文中描述的各个实施例。
图5示出了其中可以实施本发明的实施例的计算机网络环境550。在计算机网络环境550中，服务器551通过通信网络552链接至客户端553a-n。可以使用环境550以允许客户端553a-n单独地或者与服务器551相结合来执行上文描述的方法中的任何方法(例如，110)。
可以通过硬件、固件或者软件的形式来实施实施例或其方面。如果通过软件实施，那么可以将该软件存储在任何非暂态计算机可读介质上，该非暂态计算机可读介质被配置为使处理器能够加载该软件或者其指令的子集。之后，处理器执行该指令，并且被配置为按照文中描述的方式对装置进行操作或者使该装置按照文中描述的方式进行操作。
此外，固件、软件、例程或指令在文中可以被描述为执行数据处理器的某些动作和/或功能。但是，应当认识到，文中包含的此类描述只是为了方便起见，并且这些动作实际上由计算设备、处理器、控制器或执行固件、软件、例程、指令的其它设备等产生。
应该理解的是，流程图、框图、以及网络图可以包括更多或更少的元素、被不同地布置、或被不同地表示。但是还应该理解的是，某些实施方式可以规定对以特定的方式实施的实施例的执行进行例示的框图和网络图以及框图和网络图的编号。
因此，其它实施例也可以通过各种计算机架构、物理计算机、虚拟计算机、云计算机和/或其某种组合来实施，并且因此文中描述的数据处理器仅旨在进行例示，而非对实施例构成限制。
尽管已经参考本发明的示例性实施例对本发明给出了具体的图示和描述，但是本领域技术人员应当理解，在不脱离所附权利要求所涵盖的本发明的范围的情况下可以做出形式和细节上的各种改变。

Claims (20)

1.一种对结构动力学系统的机械特征进行建模的计算机实施方法，所述方法包括：
在计算机存储器中提供表示结构动力学系统的有限元模型；
在耦合至所述计算机存储器的处理器中，对具有表示所述有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合的第一项以及表示模态阻尼的第二项的方程组进行求解，使用Sherman-Morrison-Woodbury公式或者预处理迭代法来求解所述方程组；以及
通过利用借助于所述有限元模型和模态阻尼的所述方程组的求解结果对所表示的结构动力学系统的机械特征建模来形成基于所述有限元模型的现实世界对象的改进的3D模型。
2.根据权利要求1所述的方法，其中，使用所述Sherman-Morrison-Woodbury公式来求解所述方程组包括：
通过将辅助未知数向量包括到所述方程组的一组未知数来扩展所述方程组的矩阵，所述辅助向量的大小等于表示所述模态阻尼的所述第二项中所使用的本征模的数量；以及
借助于所述扩展矩阵来求解所述方程组。
3.根据权利要求1所述的方法，其中，所述预处理迭代法包括以下各项的至少其中之一：Richardson迭代方案、预处理最小残量法、共轭梯度法以及广义最小残量法。
4.根据权利要求1所述的方法，其中，所述预处理迭代法在没有模态阻尼的情况下利用表示所述有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合的第一项作为预处理算子。
5.根据权利要求1所述的方法，其中，在现有的线性方程求解器中实施所述提供和所述求解。
6.根据权利要求1所述的方法，其中，所述结构动力学系统是以下各项的至少其中之一：汽车噪声和振动系统、汽车耐久性系统、空间动力学系统以及地震系统。
7.根据权利要求1所述的方法，其中，所表示的结构动力学系统的所述机械特征包括以下各项的至少其中之一：
速度、加速度、应变、应力、频率、密度、振动、位移以及力。
8.一种用于对结构动力学系统的机械特征进行建模的计算机系统，所述计算机系统包括：
处理器；以及
存储器，所述存储器具有存储于其上的计算机代码指令，所述处理器以及具有所述计算机代码指令的所述存储器被配置为使所述系统执行以下操作：
提供表示结构动力学系统的有限元模型；
对具有表示所述有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合的第一项以及表示模态阻尼的第二项的方程组进行求解，使用Sherman-Morrison-Woodbury公式或预处理迭代法来求解所述方程组；以及
通过利用借助于所述有限元模型和模态阻尼的所述方程组的求解结果对所表示的结构动力学系统的机械特征建模来形成基于所述有限元模型的现实世界对象的改进的3D模型。
9.根据权利要求8所述的系统，其中，使用所述Sherman-Morrison-Woodbury公式来求解所述方程组包括：
通过将辅助未知数向量包括到所述方程组的一组未知数来扩展所述方程组的矩阵，所述辅助向量的大小等于表示所述模态阻尼的所述第二项中所使用的本征模的数量；以及
借助于所述扩展矩阵来求解所述方程组。
10.根据权利要求8所述的系统，其中，所述预处理迭代法包括以下各项的至少其中之一：Richardson迭代方案、预处理最小残量法、共轭梯度法以及广义最小残量法。
11.根据权利要求8所述的系统，其中，所述预处理迭代法在没有模态阻尼的情况下利用表示所述有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合的第一项作为预处理算子。
12.根据权利要求8所述的系统，其中，在现有的线性方程求解器中实施所述提供和所述求解。
13.根据权利要求8所述的系统，其中，所述结构动力学系统是以下各项的至少其中之一：汽车噪声和振动系统、汽车耐久性系统、空间动力学系统以及地震系统。
14.根据权利要求8所述的系统，其中，所表示的结构动力学系统的所述机械特征包括以下各项的至少其中之一：
速度、加速度、应变、应力、频率、密度、振动、位移以及力。
15.一种用于对结构动力学系统的机械特征进行建模的计算机程序产品，所述计算机程序产品由跨越网络与一个或多个客户端进行通信的服务器来执行，并且所述计算机程序产品包括：
计算机可读介质，所述计算机可读介质包括程序指令，所述程序指令在被处理器执行时使得：
提供表示结构动力学系统的有限元模型；
对具有表示所述有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合的第一项以及表示模态阻尼的第二项的方程组进行求解，使用Sherman-Morrison-Woodbury公式或预处理迭代法来求解所述方程组；以及
通过利用借助于所述有限元模型和模态阻尼的所述方程组的求解结果对所表示的结构动力学系统的机械特征建模来形成基于所述有限元模型的现实世界对象的改进的3D模型。
16.根据权利要求15所述的计算机程序产品，其中，使用Sherman-Morrison-Woodbury公式来求解所述方程组包括：
通过将辅助未知数向量包括到所述方程组的一组未知数来扩展所述方程组的矩阵，所述辅助向量的大小等于表示所述模态阻尼的所述第二项中所使用的本征模的数量；以及
借助于所述扩展矩阵来求解所述方程组。
17.根据权利要求15所述的计算机程序产品，其中，所述预处理迭代法包括以下各项的至少其中之一：Richardson迭代方案、预处理最小残量法、共轭梯度法以及广义最小残量法。
18.根据权利要求15所述的计算机程序产品，其中，所述预处理迭代法在没有模态阻尼的情况下利用表示所述有限元模型的质量、刚度和阻尼的线性组合的第一项作为预处理算子。
19.根据权利要求15所述的计算机程序产品，其中，在现有的线性方程求解器中实施所述提供和所述求解。
20.根据权利要求15所述的计算机程序产品，其中，所述结构动力学系统是以下各项的至少其中之一：汽车噪声和振动系统、汽车耐久性系统、空间动力学系统以及地震系统。
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