JP2022098497A - 反応－拡散方程式によるトポロジ最適化 - Google Patents

Abstract

【課題】材料中に形成された機械部品を表す３Ｄモデル化されたオブジェクトを設計するための改善された方法を提供する。【解決手段】本開示は特に、機械的部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計するためのコンピュータ実装方法に関する。この方法は、３Ｄ有限要素メッシュ及び関連データを提供することを含む。３Ｄ有限要素メッシュに関連するデータは、各々がそれぞれの荷重ケースを形成する１つ以上の力と、１つ以上の境界条件と、材料に関連する１つ以上のパラメータとを含む。この方法は、有限要素メッシュと、有限要素メッシュに関連するデータとに基づいてトポロジ最適化を実行することをさらに含む。トポロジ最適化は、反応－拡散方程式の系の解にそれぞれ対応する候補材料分布の間で実行される。これは、材料中に形成された機械部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計するための改良された方法を形成する。【選択図】図６

Description

本開示はコンピュータプログラム及びシステムの分野に関し、より具体的には、材料に形成された機械的部品を表す３Ｄモデル化されたオブジェクトを設計するための方法、システム及びプログラムに関する。

オブジェクトの設計、エンジニアリング及び製造のために、多数のシステム及びプログラムが市場に提供されている。ＣＡＤはコンピュータ支援設計の頭字語であり、例えば、オブジェクトを設計するためのソフトウェア解に関する。ＣＡＥはコンピュータ支援エンジニアリングの頭字語であり、例えば、将来の製品の物理的挙動をシミュレートするためのソフトウェア解に関連する。ＣＡＭはコンピュータ支援製造の頭字語であり、例えば、製造処理及び動作を定義するためのソフトウェア解に関する。そのようなコンピュータ支援設計システムでは、グラフィカルユーザインターフェースが技法の効率に関して重要な役割を果たす。これらの技術は、製品ライフサイクル管理（ＰＬＭ）システム内に組み込まれてもよい。ＰＬＭとは、企業が製品データを共有し、共通の処理を適用し、企業知識を活用して、長期的な企業のコンセプトを越えて、コンセプトから生涯にわたる製品の開発に役立てることを支援するビジネス戦略のことをいう。（ＣＡＴＩＡ、ＥＮＯＶＩＡ及びＤＥＬＭＩＡの商標で）ダッソーシステムズによって提供されるＰＬＭ解は、製品工学知識を編成するエンジニアリングハブと、製造工学知識を管理する製造ハブと、エンタープライズハブ及びエンジニアリングハブ及び製造ハブの両方への接続を可能にする企業ハブとを提供する。全体として、システムは最適化された製品定義、製造準備、生産、及びサービスを駆動する動的な知識ベースの製品作成及び意思決定サポートを可能にするために、製品、プロセス、リソースをリンクするオープンオブジェクトモデルを提供する。

これらのシステムのいくつかは、トポロジ最適化を採用する機能を提供する。トポロジ最適化は、製品設計及び物理シミュレーションの分野を橋渡しするコンピュータ実装技術である。本発明は、材料内に形成され、使用時に荷重を受け、１つ又は複数の拘束境界を有する機械部品を表すモデル化されたオブジェクトを設計するために適用される。この技法は、有限要素解析（ＦＥＡ）を通して典型的にシミュレートされるそれらの物理的性質と挙動を修正することに基づいて、最適化された生成設計を自動的に生成することに焦点を当てている。より具体的には、トポロジ最適化が有限要素（ＦＥ）メッシュを提供することによって、例えば、小さな要素内の設計空間と、メッシュに関連付けられたデータとを離散化することによって機能する。次いで、この技法は与えられた目的関数（例えば、設計の剛性に関連する）及び一連の制約（例えば、許容材料の総量に関連する）に関して最も効率的な要素を反復的に見つけることによって、与えられた離散的な空間における材料の最適分布及びレイアウトを見つける。

以下の文書はこの分野に関するものであり、本明細書において参照される。
[1] Andreassen, Erik, et al. "Efficient topology optimization in MATLAB using 88 lines of code." Structural and Multidisciplinary Optimization 43.1 (2011): 1-16.
[2] Allaire, Gregoire. “Shape optimization by the homogenization method.” Vol. 146. Springer Science & Business Media, 2009.
[3] Bendsoe, Martin Philip, and Ole Sigmund. “Topology optimization: theory, methods, and applications.” Springer Science & Business Media, 2004.

この文脈の中で、材料中に形成された機械部品を表す３Ｄモデル化されたオブジェクトを設計するための改善された方法が依然として必要とされている。

したがって、３Ｄモデル化オブジェクトを設計するためのコンピュータ実装方法が提案される。３Ｄモデル化オブジェクトは、材料に形成された機械部品を表す。この方法は、３Ｄ有限要素メッシュ、及び３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータを提供することを含む。３Ｄ有限要素メッシュに関連するデータは、１つ又は複数の力、１つ又は複数の境界条件、及び材料に関連する１つ又は複数のパラメータを含む。各力は、それぞれの荷重ケースを形成する。３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータは、有限要素メッシュ内の材料のグローバル量に相対的なグローバル量制約を更に含む。この方法は、有限要素メッシュと、有限要素メッシュに関連するデータとに基づいてトポロジ最適化を実行することをさらに含む。トポロジ最適化は、候補材料分布の間で実行される。各候補物質分布は、反応－拡散方程式の系の解に対応する。

この方法は、以下のうちの１つ又は複数を含むことができる。
・各候補物質分布が前記反応－拡散方程式系の解へのマッピング関数のアプリケーションに等しい。
・前記マッピング関数は前記反応－拡散方程式の系の解を材料密度の間隔にマッピングする形状保存関数であり、前記候補材料分布は、前記間隔内の値をとる。
・前記反応－拡散方程式系は状態変数を有し、前記形状保存関数は、少なくとも１つの状態変数の単調関数である。
・前記形状保存関数は、前記状態変数のうちの１つの線形関数である。
・前記反応－拡散方程式系は各々が前記トポロジ最適化の自由変数であり、各々が制限区間（Ｕ_ａｄ）に属する１つ以上のパラメータを含む。
・前記１つ以上のパラメータの各値について、前記反応－拡散方程式の系は初期時刻における初期状態から最終時刻における最終状態への状態変数の進化を表し、前記方程式の系の解は前記状態変数の最終状態に等しい。
・前記１つ又は複数のパラメータのそれぞれの値は、時間及び／又は空間に依存する。
反応－拡散方程式の系が状態変数を有し、前記トポロジ最適化が収束までの複数の反復を含み、各反復が以下を含む。初期時刻の状態変数の初期状態の値を設定するステップ。状態変数の値と共役状態変数の値を前記３Ｄ有限要素メッシュ上で、初期時刻と最終時刻の間の複数の時間ステップにわたって計算するステップ。
・１回目の繰り返しでは、各状態変数の初期状態の値が所定の値に設定され、最初の反復以外の反復では、各変数の初期状態の値が前の反復の対応する状態変数の最終状態の値に設定される。
・反応－拡散方程式の系がグレイ＝スコットモデルである。
・前記グレイ＝スコットモデルは反応項を有し、前記グレイ＝スコットモデルにおける前記反応項の少なくとも１つのパラメータは、前記トポロジ最適化の自由変数である。

本方法を実行するための命令を含むコンピュータプログラムがさらに提供される。

さらに、コンピュータプログラムが記録されたコンピュータ可読記憶媒体が提供される。

さらに、メモリに結合されたプロセッサとグラフィカルユーザインターフェースとを含むシステムが提供され、メモリは、その上に記録されたコンピュータプログラムを有する。

システムのグラフィカルユーザインターフェースの一例を示す。 システムの一例を示す。 この方法を示す。 この方法を示す。 この方法を示す。 この方法を示す。

これにより、３Ｄモデル化オブジェクトを設計するためのコンピュータ実装方法が提案される。３Ｄモデル化オブジェクトは、材料に形成された機械部品を表す。この方法は、３Ｄ有限要素メッシュ、及び３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータを提供することを含む。３Ｄ有限要素メッシュに関連するデータは、１つ又は複数の力、１つ又は複数の境界条件、及び材料に関連する１つ又は複数のパラメータを含む。各力は、それぞれの荷重ケースを形成する。３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータは、有限要素メッシュ内の材料のグローバル量に相対的なグローバル量制約を更に含む。この方法は、有限要素メッシュと、有限要素メッシュに関連するデータとに基づいてトポロジ最適化を実行することをさらに含む。トポロジ最適化は、候補材料分布の間で実行される。各候補物質分布は、反応－拡散方程式の系の解に対応する。

これは、材料に形成された機械部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計するための改良された方法を構成し、特に機械部品の改良された構造を達成する。
トポロジ最適化の方法は、１つ以上の力及び１つ以上の境界条件を含む、機械部品の使用条件を表すデータに基づく。これにより、力に応じて、また実際に適用される運動学的制約に応じて、機械部品の物理的性能が向上する。これは、工業設計において特にかつ客観的に関連し、設計された３Ｄモデル化オブジェクトが現実世界で製造されることを可能にする。

さらに、この方法は反応－拡散方程式系の解と同じパターンを持つ候補間を探索することにより、ある機械的性質に関してトポロジを最適化する。数学及び生物学の分野でそれ自体知られているように、反応－拡散方程式の系は、それらの解として複雑なパターンを生成することができる。従って、反応－拡散方程式系の解のパターンを持つ構造を得ることにより、トポロジ最適化の出力として多孔質構造を作ることができる。多孔質構造は、及ぼされる１つ以上の力又は１つ以上の運動学的拘束における摂動に対してよりロバストであることが知られている。これは、機械部品の実用化のための改善された解を形成する。言い換えれば、反応－拡散方程式の系の解に対応する（すなわち、同じパターンを示す）候補へのトポロジ最適化の制限は、多孔度及びパターンに関して、荷重ケースの周りの変動に対して、及び提供されたデータ（力及び境界条件）によって表される適用された運動学的制約に対して、よりロバストである構造に到達することを可能にする。

さらに、反応－拡散方程式系の解に対応する材料分布候補間のトポロジ最適化を実行することにより、標準的なトポロジ最適化と比較して、可能な３Ｄ形状の空間をより効率的に探索することができ、特に、局所的最小値に収束するリスクを低減することができる。

この方法は、コンピュータで実施される。この手段は、本方法のステップ（又は実質的に全てのステップ）が少なくとも１つのコンピュータ又は任意のシステムによって実行されることである。したがって、本方法のステップはコンピュータによって、場合によっては完全に自動的に、又は半自動的に実行される。例では、本方法のステップのうちの少なくともいくつかのトリガがユーザ／コンピュータ対話を介して実行され得る。必要とされるユーザ／コンピュータ対話のレベルは予測される自動化のレベルに依存し、ユーザの希望を実施する必要性とバランスをとることができる。例では、このレベルがユーザ定義及び／又は事前定義され得る。

方法のコンピュータ実装の典型的な例は、この目的のために適合されたシステムを用いて方法を実行することである。システムはメモリに結合されたプロセッサと、グラフィカルユーザインターフェース（ＧＵＩ）とを備えることができ、メモリには、本方法を実行するための命令を含むコンピュータプログラムが記録されている。メモリはまた、データベースを記憶してもよい。メモリはそのような記憶装置に適合された任意のハードウェアであり、場合によっては、いくつかの物理的に別個の部分（例えば、プログラムのための部分、及び場合によってはデータベースのための部分）を備える。

この方法は一般に、モデル化されたオブジェクトを操作する。モデル化されたオブジェクトは、例えばデータベースに格納されたデータによって定義される任意のオブジェクトである。拡張により、表現「モデル化オブジェクト」は、データ自体を指定する。システムのタイプに応じて、モデル化されたオブジェクトは、異なる種類のデータによって定義されてもよい。システムは、実際にはＣＡＤシステム、ＣＡＥシステム、ＣＡＭシステム、ＰＤＭシステム、及び／又はＰＬＭシステムの任意の組み合わせであってもよい。これらの異なるシステムでは、モデル化されたオブジェクトが対応するデータによって定義される。したがって、ＣＡＤオブジェクト、ＰＬＭオブジェクト、ＰＤＭオブジェクト、ＣＡＥオブジェクト、ＣＡＭオブジェクト、ＣＡＤデータ、ＰＬＭデータ、ＰＤＭデータ、ＣＡＭデータ、ＣＡＥデータについて言うことができる。しかしながら、モデル化オブジェクトはこれらのシステムの任意の組み合わせに対応するデータによって定義され得るので、これらのシステムは他のシステムのうちの１つを排他的にするものではない。したがって、システムは以下に提供されるそのようなシステムの定義から明らかになるように、ＣＡＤシステム及びＰＬＭシステムの両方であってもよい。

ＣＡＤシステムとは、さらに、ＣＡＴＩＡのような、モデル化オブジェクトのグラフィック表現に基づいてモデル化オブジェクトを少なくとも設計するように適合された任意のシステムを意味する。この場合、モデル化オブジェクトを定義するデータは、モデル化オブジェクトの表現を可能にするデータを含む。ＣＡＤシステムは例えば、ある場合には、面又は表面を有するエッジ又は線を使用してＣＡＤモデル化オブジェクトの表現を提供することができる。線、エッジ、又は表面は様々な方法、例えば、不均一有理Ｂスプライン（ＮＵＲＢＳ）で表すことができる。具体的には、ＣＡＤファイルは仕様を含み、そこからジオメトリを生成することができ、これにより表現を生成することができる。モデル化されたオブジェクトの仕様は、単一のＣＡＤファイル又は複数のＣＡＤファイルに格納することができる。ＣＡＤシステム内のモデル化オブジェクトを表すファイルの典型的なサイズは、部品当たり１メガバイトの範囲内である。そして、モデル化オブジェクトは、典型的には何千もの部品のアセンブリであってもよい。

ＣＡＤの文脈では、モデル化されたオブジェクトが典型的には例えば、部品又は部品のアセンブリ、又は場合によっては製品のアセンブリなどの製品を表す３Ｄモデル化されたオブジェクトとすることができる。「３Ｄモデリングされたオブジェクト」とは、その３Ｄ表現を可能にするデータによってモデリングされる任意のオブジェクトを意味する。３Ｄ表現は、全ての角度から部品を見ることを可能にする。例えば、３Ｄモデル化オブジェクトは３Ｄ表現される場合、その軸のいずれかの周り、又は表現が表示される画面内のいずれかの軸の周りで取り扱われ、回転され得る。これは特に、３Ｄモデル化されていない２Ｄアイコンを除外する。３Ｄ表現の表示は設計を容易にする（すなわち、設計者が統計的に彼らのタスクを達成する速度を増加させる）。これは、製品の設計が製造工程の一部であるため、産業界における製造工程を高速化する。

３Ｄモデル化されたオブジェクトは、例えばＣＡＤソフトウェアソリューションまたはＣＡＤシステムによる仮想設計の完了後に実世界で製造される製品の形状を表すことができ、例えば（例えば機械）部品または部品の組立品（または同等に、部品の組立品は方法の観点から部品そのものと見なすことができ、または方法は組立品の各部分に独立して適用できる）、またはより一般的には任意の剛体組立品（例えば移動機構）であってもよい。ＣＡＤソフトウェアソリューションは、航空宇宙、建築、建設、消費財、ハイテク機器、産業機器、輸送、海洋、オフショア石油・ガス生産・輸送など、さまざまな産業分野で製品の設計を可能にする。本手法で設計された３Ｄモデル化オブジェクトは、工業製品であり、いかなる機械部品であってもよい。例えば以下のとおりである。陸上車両の部品（例：自動車・小型トラック用機器、レーシングカー、オートバイ、トラック・モーター用機器、トラック・バス、列車を含む。）航空機の部品（例：機体機器、航空宇宙機器、推進機器、防衛製品、航空機器、宇宙機器など）。艦艇の部品（海軍の装備、商業船舶、オフショア機器、ヨットや作業船、海洋機器を含む）。一般機械部品（例：産業用製造機械、重機械または機器、設置機器、産業機器製品、金属加工製品、タイヤ製造製品を含む。）電気機械または電子部品（家電製品、セキュリティおよび/または制御および/または計測器製品、コンピューティングおよび通信機器、半導体、医療機器および装置など）。消費財（家具、家庭用品、園芸用品、レジャー用品、ファッション用品、硬質製品小売店製品、軟質製品小売店製品などを含む）。包装材（例：食品および飲料、タバコ、美容およびパーソナルケア、家庭用製品包装を含む）。

図１はシステムのＧＵＩの一例を示し、システムはＣＡＤシステムである。特に、トポロジ最適化の方法の出力はユーザがその上で設計エディションを実行できるように、ＧＵＩ２１００にインポートすることができる。ＧＵＩ２１００は、標準的なメニューバー２１１０、２１２０、ならびに底部及び側部ツールバー２１４０、２１５０を有する、典型的なＣＡＤ様インターフェースであり得る。このようなメニューバー及びツールバーはユーザが選択可能なアイコンのセットを含み、各アイコンは当技術分野で知られているように、１つ又は複数の操作又は関数に関連付けられている。これらのアイコンのいくつかは、ＧＵＩ２１００に表示された３Ｄモデル化オブジェクト２０００を編集及び／又は作業するように適合されたソフトウェアツールに関連付けられる。ソフトウェアツールは、ワークベンチにグループ化することができる。各ワークベンチは、ソフトウェアツールの部分集合を含む。特に、ワークベンチの１つは、モデル化された製品２０００の幾何学的特徴を編集するのに適した編集ワークベンチである。動作中、設計者は例えば、オブジェクト２０００の一部を事前に選択し、次いで、適切なアイコンを選択することによって、動作（例えば、寸法、色などを変更する）又は幾何学的制約を編集することができる。例えば、典型的なＣＡＤ動作は、画面上に表示される３Ｄモデル化オブジェクトの打ち抜き加工又は折り畳みのモデル化である。ＧＵＩは例えば、表示された製品２０００に関連するデータ２５００を表示することができる。図の例では「特徴木」として表示されるデータ２５００、及びそれらの３Ｄ表現２０００はブレーキキャリパ及びディスクを含むブレーキアセンブリに関する。ＧＵＩは編集された製品の動作のシミュレーションをトリガするために、又は表示された製品２０００の様々な属性をレンダリングするために、例えば、オブジェクトの３Ｄ配向を容易にするための様々なタイプのグラフィックツール２１３０、２０７０、２０８０をさらに示すことができる。カーソル２０６０はユーザがグラフィックツールと対話することを可能にするために、触覚デバイスによって制御され得る。

本方法を実行するための命令を含むコンピュータプログラムも提案される。コンピュータプログラムはコンピュータによって実行可能な命令を含むことができ、命令は、上記装置に該方法を実行させるための手段を含む。プログラムは、システムのメモリを含む任意のデータ記憶媒体に記録可能であってもよい。プログラムは例えば、デジタル電子回路において、又はコンピュータハードウェア、ファームウェア、ソフトウェアにおいて、又はそれらの組み合わせにおいて実装されてもよい。プログラムは装置、例えば、プログラマブルプロセッサによる実行のための機械可読記憶デバイスに有形に具現化された製品として実装されてもよい。方法のステップは入力データに対して動作し、出力を生成することによって、方法の機能を実行するための命令のプログラムを実行するプログラマブルプロセッサによって実行されてもよい。したがって、プロセッサはプログラム可能であり、データ記憶システム、少なくとも１つの入力デバイス、及び少なくとも１つの出力デバイスからデータ及び命令を受信し、それらにデータ及び命令を送信するように結合され得る。アプリケーションプログラムは、高レベルの手続き型又はオブジェクト指向プログラミング言語で、あるいは必要に応じてアセンブリ言語又は機械語で実装することができる。いずれの場合も、言語は、コンパイルされた言語又は解釈された言語であってもよい。プログラムはフルインストールプログラムであってもよいし、更新プログラムであってもよい。システム上にプログラムを適用すると、いずれにしても、この方法を実行するための命令が得られる。

図２はシステムがクライアントコンピュータシステム、例えば、ユーザのワークステーションであるシステムの一例を示す。この例のクライアントコンピュータは、内部通信バス１０００に接続された中央処理装置（ＣＰＵ）１０１０と、やはりバスに接続されたランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）１０７０とを備える。クライアントコンピュータには、さらに、ＢＵＳに接続されたビデオランダムアクセスメモリ１１００に関連するグラフィカルプロセッシングユニット（ＧＰＵ）１１１０が設けられている。ビデオＲＡＭ １１００は、当技術分野ではフレームバッファとしても知られている。大容量記憶装置コントローラ１０２０は、ハードドライブ１０３０などの大容量記憶装置へのアクセスを管理する。コンピュータプログラム命令及びデータを有形に具現化するのに適した大容量メモリデバイスは、例として、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、及びフラッシュメモリデバイスなどの半導体メモリデバイス、内部ハードディスク及びリムーバブルディスクなどの磁気ディスク、光磁気ディスク、ならびにＣＤ－ＲＯＭディスク１０４０を含む、すべての形態の不揮発性メモリを含む。前述のいずれも、特別に設計されたＡＳＩＣ（特定用途向け集積回路）によって補足されるか、又はその中に組み込まれてもよい。ネットワークアダプタ１０５０は、ネットワーク１０６０へのアクセスを管理する。クライアントコンピュータは、カーソル制御デバイス、キーボードなどの触覚デバイス１０９０も含むことができる。ユーザがディスプレイ１０８０上の任意の所望の位置にカーソルを選択的に位置決めすることを可能にするために、カーソル制御装置がクライアントコンピュータ内で使用される。さらに、カーソル制御装置はユーザが様々なコマンドを選択し、制御信号を入力することを可能にする。カーソル制御装置は、システムに制御信号を入力するための多数の信号発生装置を含む。典型的にはカーソル制御装置がマウスであってもよく、マウスのボタンは信号を生成するために使用される。代替的に又は追加的に、クライアントコンピュータシステムは、センシティブパッド及び／又はセンシティブスクリーンを含むことができる。

「３Ｄモデル化オブジェクトを設計する」とは、３Ｄモデル化オブジェクトを作成するプロセスの少なくとも一部である任意のアクション又は一連のアクションを指す。したがって、この方法は、３Ｄモデル化オブジェクトをスクラッチから作成することを含むことができる。あるいは、本方法が以前に作成された３Ｄモデル化オブジェクトを提供するステップと、次いで、３Ｄモデル化オブジェクトを修正するステップとを含むことができる。例えば、この方法はトポロジ最適化を実行し、３Ｄモデル化オブジェクトを取得し、次いで、前記３Ｄモデル化オブジェクトを既存のアセンブリに追加することを含むことができる。

方法は製造プロセスに含まれてもよく、製造プロセスは方法を実行した後に、モデル化されたオブジェクトに対応する物理的製品を生成することを含んでもよい。いずれの場合も、本方法によって設計されたモデル化オブジェクトは、製造オブジェクトを表すことができる。したがって、モデル化されたオブジェクトはモデル化された立体（すなわち、立体を表すモデル化されたオブジェクト）とすることができる。製造対象物は、部品などの製品、又は部品のアセンブリであってもよい。この方法はモデル化されたオブジェクトの設計を改善するので、この方法はまた、製品の製造を改善し、したがって、製造プロセスの生産性を増加させる。

実際、この方法は三次元であるモデル化オブジェクトして設計する。したがって、この方法はソリッドモデリングのためのものであり、すなわち、この方法は一旦製造された現実世界におけるように、３Ｄにおける機械部品を表すソリッド（例えば、３Ｄ閉鎖体積）を生じる。この方法は従って、製造ＣＡＤの分野に属し、この方法は業界では決して製造されないであろうオブジェクトの単なる２Ｄ設計を実行せず、３Ｄ機械部品を表す固体を出力し、その出力は製造プロセスの後続のステップ（例えば、さらなる設計動作、テスト、シミュレーション及び／又は製造）での使用に適している。

この方法は、例えばユーザ対話を介してトポロジ最適化の入力を提供することを含む。

トポロジ最適化の入力は、３Ｄ有限要素（ＦＥ）メッシュ又はＦＥＭを含む。３Ｄ ＦＥメッシュは、設計されるべきモデル化されたオブジェクトを含む空間を表す。モデル化されたオブジェクトを含む空間は、「設計空間」と呼ばれる。ＦＥメッシュは、規則的であっても不規則であってもよい。通常のＦＥメッシュは、トポロジ最適化中のより容易な計算を可能にする。ＦＥメッシュは任意のタイプのものでよく、例えば、各有限要素は、四面体又は六面体である。ＦＥメッシュを提供するステップは、設計空間を規定するステップと、設計空間のメッシュを規定するステップとを含んでもよい。この方法は、ＦＥメッシュをユーザに表示するステップと、ユーザによって、例えば、表示されたＦＥメッシュ上でのグラフィカルユーザ対話を含む、トポロジ最適化の他の入力を定義するステップとを含んでもよい。

要素を定義することに関する「グラフィカルユーザ対話」とは、本明細書では設計者が触覚システム（例えば、マウス、又は感知／タッチ・スクリーン又は感知／タッチ・パッドなどのタッチ・デバイス）を使用して、ディスプレイユニットの１つ又は複数の位置をアクティブ化し、要素が配置されることになる任意のユーザ対話を意味する。シーンの位置をアクティブにすることは、その上にマウスのカーソルを位置決めすること、又はその上でタッチを実行することを含むことができる。アクティブ化後の実質的にリアルタイムで、定義された要素の表現が表示される場合がある。

トポロジ最適化の入力は、ユーザが設計したい機械部品に依存するＦＥメッシュに関連するデータをさらに含む。

これらの関連データは材料に関連する１つ又は複数のパラメータ、すなわち、機械部品が形成される材料を表すデータ（例えば、材料のヤング率及び／又はポアソン比、又は材料の仕様などのその計算を可能にする任意の情報を含む）を含む。ユーザは例えばリストからの選択によって材料を指定することができ、かつ／又はシステムは例えば１つ又は複数の公式及び／又はデータベースに基づいて、材料パラメータを自動的に決定し、かつ／又は材料パラメータの選択をユーザに提案することができる。材料は任意の材料、例えば、金属（例えば、鋼、銀、金、チタン）、プラスチック（ナイロン、ＡＢＳ、ポリカーボネート、樹脂）、セラミック、又は複合材料などの固体及び／又は等方性材料であってもよい。

関連データは、グローバル量制約をさらに含むことができる。グローバル量制約は、３Ｄ ＦＥメッシュ内の材料のグローバル量に対するものである。言い換えれば、グローバル量制約は、３Ｄ ＦＥメッシュ全体における材料の総量の値を制限する。グローバル量制約は例えば、材料で満たすことができる（全体の）３ＤＦＥメッシュのフラクションの境界、例えば、前記フラクションの上限として提供することができる。あるいは、グローバル量制約が境界ではなく、到達しなければならない値を提供することができる。しかしながら、トポロジ最適化は最適化された結果において利用可能な限り多くの材料を使用する傾向がある目的関数を最適化し、そのような等価制約を上限制約と同等にすることができる。すべての場合において、フラクションは、体積フラクション（「グローバル体積制約」のような場合にはＧＶＣとも呼ばれる）であってもよい。他の例では、グローバル量制約が材料の重量を表す値を含むことができる。

トポロジ最適化の分野からそれ自体知られているように、関連するデータは機械部品の使用条件を表すデータをさらに含み、それに基づいて、トポロジ最適化は、そのような予測される使用を考慮して機械部品モデルを最適化することができる。

関連するデータは特に、１つ以上の力を含む。各力は、それぞれの荷重ケースを形成する。言い換えれば、関連する（デジタル）データは（ニュートン又はその倍数の大きさを有する）（デジタル）ベクトルを含み、各ベクトルはＦＥメッシュの１つ又は複数の有限要素に適用可能であり、リンクされる。これらの（デジタル／仮想）力は、使用時に機械部品が受ける現実世界の荷重を表す。言い換えれば、それぞれの力がデータ内に存在するＦＥメッシュの１つ又は複数の有限要素ごとに、データは、前記１つ又は複数の有限要素に対応する位置にある機械部品の材料が現実世界で対応する荷重を受けることになるという事実を表す。しかし、機械部品は理論的には無数の荷重を受けることがあるため、すべての荷重がデータに存在するデジタル力で表されるわけではない。デジタル力は、荷重のセット全体、例えば最も重要な荷重及び／又は最も代表的な荷重のセットの制約のみを表す。デジタル力は各モデリング問題に対して決定され、オブジェクトがその寿命の間に受けることができる最高（すなわち、最高大きさの）現実世界力となるように選択され得る。なぜなら、これらの現実世界力は、最高変形及び機械的応力を引き起こす傾向があるからである。ＣＡＤの製造分野からそれ自体知られているように、同じ働く１つ又は複数の現実世界力のセットは、いわゆるロードケースにグループ化することができる。２つ以上の荷重ケースが存在する場合、それらは必ずしも機械部品に同時に加えられるわけではなく、互いに蓄積／補償することができない。産業上の問題は例えば、１～十数の荷重ケースを有することがある。例では、ユーザがＦＥメッシュのグラフィカルユーザ対話有限要素を介して選択し、次いで、それに適用可能な力を指定することができる。

言い換えると、荷重ケースは、一度に物理的オブジェクトに作用する実世界の荷重／力のセットを含むことができる。モデルでは、さまざまな時間にさまざまな荷重ケースを経験することができる（たとえば、突風を受ける建物を考える）。したがって、関連するデータ内のデジタル力は、同時に物理的オブジェクトに加えられるいくつかの実世界の力、すなわち荷重ケースを表すことができる。

関連するデータはまた、１つ以上の境界条件を含む。境界条件は、３Ｄモデル化オブジェクトの境界に対する制約である。各境界条件は、メッシュの１つ又は複数の有限要素に適用され、リンクされ、機械部品が使用される境界上のそれぞれの制約を表す。境界条件は、運動学的制約と同等に呼ばれてもよい。

換言すれば、各境界条件は、前記１つ以上の有限要素に対応する位置における機械部品の材料が例えば、ディリクレ境界条件を使用して、その変位に対する制約を受けるという事実を表す。要素は（とりわけ）平面に沿って、曲線に沿って、軸に沿って／周りに、又は点に／の周りに、その変位を拘束されてもよく、及び／又はその変位は並進のみ、回転のみ、又は並進及び回転の両方において拘束されてもよい。並進及び回転の両方の点に拘束された変位の場合、要素は３Ｄ空間に固定され、「クランプ」されていると言われる。しかしながら、要素は平面に沿った並進運動に拘束された変位を有するが、（例えば、それが軸受上に取り付けられたオブジェクトに属する場合）前記平面上で自由に、軸に沿った並進運動ではあるが前記軸上で自由に（例えば、ピストン内で）、又は軸（例えば、ロボットアームの関節）の周りの回転運動で動くことができる。

例では、境界条件がすべての制約境界を表す。言い換えると、最終的には拘束された（例えば、固定されたままにする）材料を含むことを意図したＦＥメッシュの各有限要素に対して、境界（例えば、クランプ）条件を関連付けて、この事実をトポロジ最適化に統合することができる。例では、ユーザがＦＥメッシュのグラフィカルユーザ対話有限要素を介して選択し、次いで、境界条件がそれに適用可能であることを指定することができる。

例では機械部品の１つ又は複数の拘束境界が１つ又は複数の固定境界を含むか、又はそれからなり（すなわち、前記１つ又は複数の境界における材料は移動できない）、対応する１つ又は複数の境界条件はクランプ条件である。

力及び境界条件は機械的試験によって、例えば、ある面積上の機械部品に加えられる力の値を測定することによって得ることができる。また、ユーザ、例えば設計者は、静的計算又は動的計算に基づいて、設計標準による推奨値に基づいて、又は工学設計の分野で知られている数値シミュレーションに基づいて、それらを計算することができる。

トポロジ最適化は広く知られているように、入力に基づいて目的関数を（例えば、自動的に）最適化することを含むことができる。トポロジ最適化を実行するとき、最適化が３Ｄ有限要素メッシュ及び３Ｄ有限要素メッシュに関連するデータを含む入力を考慮に入れるという「入力に基づく」手段。例えば、トポロジ最適化は所与のインプット仕様に対する力及び境界条件をとり、それらをＦＥメッシュの要素及びノードに適用することができる。トポロジは、グローバル剛性マトリックスを組み立て、構造平衡の節変位を解くことができる。言い換えれば、トポロジ最適化は、印加された力及び境界条件について、その現在の状態における構造の変形を計算することができる。

目的関数は、最適化されるべき任意の機械的特性を表すことができる。トポロジ最適化は特に、剛性を最大にすることができる。目的関数はそのために、コンプライアンス関数であってもよい。コンプライアンスは、構造については構造の剛性の逆数である。従って、コンプライアンスは、指定された荷重シナリオと固定された境界条件を考慮して、構造物の変形量をカプセル化する。同等に、コンプライアンスは、前記荷重シナリオ及び境界条件を考慮して、構造物内に蓄積されたひずみエネルギーを表す。従って、最適化プロセスがコンプライアンスを最小化するとき、これは与えられた質量に対する設計の剛性を最大化することに対応する。

トポロジ最適化は、候補材料分布の間で実行される。各候補物質分布は、反応－拡散方程式の系の解に対応する。各候補材料分布はＦＥメッシュ上の材料の量（例えば、体積分率）の分布（すなわち、レイアウト）であってもよい。「反応－拡散方程式系の解に対応する」とは、各候補物質分布が反応－拡散方程式系の解に依存することを意味する。反応－拡散方程式系はＦＥメッシュで表される空間上で定義され、ＦＥメッシュ上で離散化される可能性がある。ＦＥメッシュ上の方程式系の離散化は例えば、一次、又は高次有限要素又は有限差分離散化によって、文献中の任意の既知の方法に従って実行されてもよい。方程式系の解は、方程式の数値解法の任意のよく知られた方法に従って、ＦＥメッシュ上の反応拡散系の離散化数値解として得られ得る。

既知のように、トポロジ最適化は目的関数を最適化するために、設計変数として、ＦＥメッシュの各要素における材料量（例えば、体積分率）を変化させることによって、候補材料分布を探索することができる。例では、目的関数の自由変数がＦＥメッシュ上の材料の量（例えば、体積分率）の分布（すなわち、レイアウト）であってもよい。目的関数は材料パラメータに依存することができ（すなわち、目的関数の固定変数は、材料パラメータを含むことができる）、最適化はグローバル量制約を含む制約（すなわち、制約付き最適化）の下で実行することができる。ＦＥメッシュの各要素は、値「０」及び「１」によってそれぞれ定義される、空であるか又は材料で満たされているかを定義する所与の相対密度値を有する。さらに、最適化問題を連続的にするために、一般的なトポロジ最適化は、要素が０と１との間の任意の値をとることを可能にし得る。これを「緩和」と呼ぶことができる。中間密度を有する要素の解釈はあいまいであり得るので、一般的なトポロジ最適化ワークフローは、中間要素密度を、それぞれ０又は１の下限及び上限を有する要素よりも構造挙動について全体的に効率的でないように強制するペナルティ化アプローチを導入し得る。最適化は、任意のアルゴリズム、例えば反復アルゴリズムに従って実行することができる。

材料量が材料の体積分率である場合、最適化プロセスは、有限要素法の材料体積分率の分布をもたらす。そのような場合、トポロジ最適化又は方法はフィルタリングする（例えば、自動的に）、すなわち、そのような体積分率分布に基づいて、各有限要素が材料で（完全に）充填されているかどうかを、各有限要素について判定する、さらなるステップを含むことができる。例えば、これは（例えば、所定の）閾値（例えば、０．１又は０．２より高く、及び／又は０．９又は０．８より低く、例えば、０．５程度）との比較に基づくことができ、最適化から生じる体積分率が閾値よりも高い（それぞれ低い）場合、有限要素は材料で完全に充填されている（それぞれ完全に空である）と考えられる。本方法は例では結果に基づいて、境界表現（Ｂ－Ｒｅｐ）モデルなどの３Ｄモデル化オブジェクトを（例えば、自動的に）計算することをさらに含むことができる。例えば、本方法は、最適化及び／又はフィルタ処理リングから生じる一連の有限要素に基づいて、及びそれに沿って掃引体積を計算することができる。トポロジ最適化の出力は、入力仕様にできるだけ適合する最適化デザインのジオメトリである。

この方法は、各材料分布が反応－拡散方程式の系の解に対応する候補材料分布の間でトポロジ最適化を実行することによって、このような一般的なトポロジ最適化を超える。「に対応する」とは、候補物質分布が反応－拡散方程式の系の解と同様のパターン構造を示さなければならないことを意味する。

対応関係は、対応関係が制約として追加される制約付き最適化を使用する一般的なトポロジ最適化に含まれてもよい。これは、最適化問題の探索空間を制限する。この制約のおかげで、トポロジ最適化はより良好に、局所的な最小値に固着することを回避し、したがって、精度を改善する。さらに、この特定の制限は、より多孔性である最終構造に到達することを可能にする。これは、トポロジ最適化の方法に提供されたデータの周りの摂動における、例えば、及ぼされた１つ以上の力又は１つ以上の運動学的制約における、構造の性能を改善する。これは、機械部品の実用化のための改善された解を形成する。

各候補物質分布は、反応－拡散方程式系の解へのマッピング関数の適用に等しくてもよい。反応－拡散方程式系は過渡的、すなわち、時間に依存する方程式系であってもよい。過渡方程式系は十分長い時間で定常状態に達する可能性がある。「定常状態」とは、方程式の系の解が時間的に変化しない終端状態である状態を意味する。マッピング関数は、１ つ以上の入力引数を受け入れることができる。入力引数は、反応－拡散方程式の過渡系の特定の時点における反応－拡散方程式系の解の１つ以上の値、又は定常状態に達した後の反応－拡散方程式の過渡系の解の１つ以上の値であってもよい。

例では、マッピング関数が１つ又は複数の反応－拡散方程式の系の解を材料密度の間隔にマッピングする形状保存関数とすることができる。したがって、候補材料分布は、前記間隔内の値をとる。前記間隔は例えば、単位間隔［０，１］であってもよい。形状保存関数は、入力変数のパターンを有意に保存する。したがって、形状保存関数自体の使用は、各候補材料分布が系の解に対応することを保証する。「パターン」とは、方程式系の解を空間領域で描くことによって作り出される形状を意味する。形状保存関数は滑らかであるが、入力のパターンを破壊しないように強すぎる平滑化、すなわち均質化効果を有しない。例では、形状保存関数が入力変数のうちの１つ又は複数に回転及び／又は並進を適用することを含むことができる。

反応－拡散方程式系は、反応－拡散方程式系の研究から得られる状態変数をもつ。言い換えれば、状態変数は反応－拡散方程式系の未知数である。偏微分方程式系（ＰＤＥ）の場合、状態変数は空間領域の関数であり、方程式系が過渡的な場合は時間領域の関数である。この方法は、反応－拡散方程式の系についてのいくつかの初期条件及び／又は境界条件によって提供され得る。状態変数は、方程式が初期及び／又は境界条件と同様に方程式を満たす場合、方程式系の解を定義する。例では、方程式系に対する境界条件がディクリレ、ノイマン、又はロビン境界条件の任意の組み合わせであってもよい。この系の解は、初期条件及び／又は境界条件を設定することによって一意にすることができる。

例では、形状保存関数が少なくとも１つの状態変数の単調関数であってもよい。代替的に、又は追加的に、形状保存関数は１つ又は複数の関数の線形結合を含むことができ、各関数は、以下の関数のクラスのうちの１つに属する
－１つ以上の状態変数の線形結合。
－各状態変数に関する多項式関数。
－各状態変数に関する三角関数。
－双曲線関数、好ましくはｔａｎｈ関数。
－有理関数。

特に効率的な例では、形状保存関数は状態変数の一つの線形関数である。確かに、ゼロ以外の線形関数は知られているように、形状保持性である。線形関数値は、係数を有する前記状態変数の値に比例することができる。係数は、候補材料分布が材料密度の間隔の値をとるように選択されてもよい。前記間隔が単位間隔であり、状態変数値が間隔（例えば、［ｕ_ｍｉｎ，ｕ_ｍａｘ］）内にあることによって制限される特定の例では、係数が単位を間隔の長さ（例えば、

）で割ったものとすることができる。

次に、この方法の実施例について説明する。

この方法は、設計空間としてある空間領域Ωにわたる最良の材料分布を見出すことができる。最良の材料分布は、次のような制約Ｃの下で、エネルギー関数Ｊを最小化し得る。

ここで、

は特性関数である。

は材料があることを意味し、

は何もないことを意味する。制約Ｃは、１つ又は複数の境界条件及び／又はグローバル量制約を含むことができる。

この材料は、弾性テンソル

を有する２つの相ＡとＢから構成される等方性線形弾性材料であってもよい。２つの相の合体は、領域Ωを満たすことができる。もし、χが相Ａの特性関数であるならば、材料全体の弾性テンソルは、以下のように２つの位相の線形結合として表されてもよい。

例では、相のうちの１つ（例えば、Ｂ）は「弱い」と考えることができ、空きをモデル化すると想定される。弱相の機械的特性は、例えばヤング率に応じて設定され、例えば１０^－９と小さく設定される。

エネルギー関数は、２つの相から構成される材料のコンプライアンスを含むことができる。すなわち、

であり、ここで、

は点ｘ∈Ωにおけるひずみであり、

であり、ここで、

は、１つ又は複数の力及び１つ又は複数の境界条件の影響下の点ｘ∈Ωにおける変位である。制約は特に、領域の体積で所与の体積

に関するグローバル量制約

とすることができる。ここで、

は領域Ωの体積である。

特性関数は｛０，１｝の値をとるだけで、最適化問題を不連続にし、解への収束を難しくする。例えば、最適化問題が反復アルゴリズムで解かれる場合などである。したがって、この方法は特性関数の急激な変化を緩和するために、ペナルティ化を伴う固体等方性材料（ＳＩＭＰ）法を含むことができる。ＳＩＭＰ方法は、特性関数を密度関数

で置き換え、領域全体の材料分布を次のように記述する

このような密度関数は前述のように、各ＦＥメッシュ上の体積分率と呼ぶことができる。ＳＩＭＰ方法は、次数ｐ＞０を有する２つの相を有するヤング率の多項式補間によって、中間密度

に対する弾性テンソルを以下のように定義することができる。

ここで、Ｅ_Ａ及びＥ_Ｂは、それぞれ相Ａ及び相Ｂのヤング率である。

この次数ｐはペナルティと呼ばれる。例では、（ＴＯ－ＳＩＭＰ）の解が（ＴＯ）と比較して著しい変化なく最適化をするためにＳＩＭＰの解が滑らかさ特性を改善するように、ペナルティ化が選択される。

ＳＩＭＰ法はこの方法によって得られる材料の最適化されたレイアウトのタイプに対する制御を依然として提供せず、得られるレイアウトは通常、非常に複雑ではない。さらに、トポロジの大きな空間を効率的に探索することができず、局所的な最小値に留まる可能性がある。

反応－拡散方程式系の例をここで議論する。

特に、反応－拡散方程式系は、領域Ω上の変数ベクトル

に関するｄ（≧２）個の方程式を以下のように含む。

の形態の常微分方程式の系、すなわち拡散項

のない上記の反応－拡散方程式の系の解は、ｔ→∞になると安定した均質な定常状態に収束し得ることは周知である。また、例えば、Turing, A. M. (1990). “The chemical basis of morphogenesis”. Bulletin of mathematical biology, 52(1-2), 153-197によって周知なように、拡散項を加えることによって、そして関数Ｒ及びマトリックスＤ上のいくつかの追加の条件下で、安定な定常状態が線形的に不安定な平衡点に変わり、反応－拡散方程式の系の解が不均一な状態に向かって収束し、複雑なパターンを作り出す。これらのパターンはチューリングパターンとも呼ばれ、一般的であり、自然界、より具体的には生物（例えば、動物の皮）におけるパターンの出現を説明するために使用されている。例では、トポロジ最適化の方法がこれらのパターンを使用して、非常に簡潔な方程式のセットから３Ｄの構造の複雑なパターンを得ることができる。

特定の例では、反応拡散系が２つの方程式（及びそれに応じて２つの状態変数）を含むことができ、この無次元一般形式の下で書くことができる。

チューリングパターン形成及び拡散駆動不安定性に関する一般的な条件は先行技術、例えば、J. D. Mathematical biology II: spatial models and biomedical applications. Vol. 3. Springer-Verlag, 2001及びPearson, John E. "Complex patterns in a simple system." Science 261, no. 5118 (1993): 189-192.に従って選択されてもよい。特に、ｄは、ｄ≠１（例えば０．５）となるように選択される。

反応－拡散方程式系は、グレイ＝スコットモデルとすることができる。グレイ＝スコットモデルは、以下の形式で書くことができる。

ここで、ｕ及びｖはスカラー関数でありＤ_ｕ、Ｄ_ｖ、Ｆ、ｋはスカラー係数である。パラメータＤ_ｕ、Ｄ_ｖ、Ｆ、ｋの特定の選択のために、グレイ＝スコットモデルの解はチューリングパターンを生成する。

上述のように、反応－拡散方程式系を用いると、単純なモデルから複雑なパターンが得られる可能性がある。複雑なパターンは例えば、前述のようなマッピング関数を使用して、３Ｄ構造を表す材料分布に対応して直接使用することができる。しかしながら、これらの構造は、低コンプライアンスのような許容可能な機械的特性を必ずしも提供しない。

反応－拡散方程式の系は、１つ以上のパラメータを含んでもよい。反応－拡散方程式の各システムは、１つ又は複数のパラメータの値を設定することによって完全に定義することができる。したがって、候補材料分布は、１つ又は複数のパラメータの値によって完全に定義することができる。最適な制御用語に類似して、そのようなパラメータは、同等に「制御パラメータ」と呼ばれることがある。これらのパラメータは以下に説明するように、最適制御の分野における既知の用語に関して「制御機能」と同等に呼ばれることがある。１つ又は複数のパラメータのそれぞれは、トポロジ最適化の自由変数とすることができる。言い換えれば、トポロジ最適化は、トポロジ最適化によって得られた材料分布に対応する反応－拡散方程式の系の１つ以上のパラメータの各々について最適化された値を見つけることを含んでもよい。トポロジ最適化は、目的関数を最適化するために自由変数の各々を変化させることができる。各パラメータは、制限された間隔に属することができる。間隔は、対応するパラメータの許容値を表す。この方法はトポロジ最適化を実行する前に、各インターバルを定義することができる。この方法はいくつかの数学的基準又は物理的制約に基づいて、自動的に、又はユーザによって入力された値に従って、各間隔を設定することができる。各パラメータの値は単一の値であってもよいし、ＦＥメッシュ上の値のセットであってもよい。各値は、ＦＥメッシュの単一の要素に対応し得る。

例では、１つ又は複数のパラメータの各値について、反応－拡散方程式の系は初期時刻（例えば、０）における初期状態から最終時刻（例えば、１）における最終状態への状態変数の進化を表すことができる。方程式系の解は、状態変数の最終状態に等しくてもよい。初期状態は、先に説明した初期条件として設定されてもよい。最終時刻は状態変数がその瞬間値でもはや変化しないように、すなわち反応－拡散方程式系の定常状態に達するように、大きな値に設定することができる。

１つ又は複数のパラメータのそれぞれの値は、時間及び／又は空間に依存し得る。言い換えると、１つ又は複数のパラメータのそれぞれは、初期時刻と最終時刻との間の時間の関数、及び／又はＦＥメッシュ内の位置の関数とすることができる。

次に、トポロジ最適化を実行する例について説明する。

トポロジ最適化の方法は、１つ以上の境界条件、グローバル量制約、及び反応－拡散方程式の系の解に対する候補材料分布の対応関係を考慮する。トポロジ最適化の方法は、文献中の公知の方法、特に最適制御及びＰＤＥ制約最適化による反応－拡散方程式の系の解への対応を含むことができる。

トポロジ最適化は、収束するまでの複数の反復を含むことができる。各反復は、初期時刻における状態変数の初期状態の値を設定することを含むことができる。反復は、３Ｄ有限要素メッシュにわたって、及び初期時刻と最終時刻との間の複数の時間ステップにわたって、状態変数の値及び余弦変数の値を計算することをさらに含むことができる。以下、共状態変数は、等価的に「二重変数」と呼ぶことができる。さらに、プロセス内の設計変数の数が多いため、トポロジ最適化は、状態変数の値及び余剰変数の値を勾配ベースの方法で計算することを実行することができる。したがって、この方法は、各自由変数に関する目的関数の導関数を計算することもできる。言い換えれば、トポロジ最適化方法は、目的関数を低減するために各自由変数をどのように変更するかを計算することができる。これは、既知の古典的な「Adjoint Sensitivity Analysis」を使用して実行することができる。特に、自由変数は、反応－拡散方程式の系における１つ以上のパラメータであり得る。

上述のように、トポロジ最適化は、余剰変数の値を計算することを含むことができる。各共役状態変数は、１つ又は複数の境界条件及び／又はグローバル量制約のうちの１つ、及び／又は候補の反応－拡散方程式の解への対応に対応することができる。本方法は１つ以上の境界条件及び／又はグローバル量制約、及び／又は候補の反応－拡散方程式の解への対応を満たすために、共役状態変数の値を計算することができる。各余弦変数の計算は、対応する随伴方程式に従って実行することができる。対応する随伴方程式は、文献中の任意の既知の方法に従って得ることができる。特に、この方法は、ポントリャーギンの最大原理を用いて随伴方程式を得ることができる。

ここで、ポントリャーギンの最大原理の例を、一般的な問題を参照して説明する。トポロジ最適化の方法におけるポントリャーギンの最大原理の明示的な適用については、後述する。

最終時刻（＞０）、時間各Ｉ＝［０，Ｔ］、許容可能な制御

を有するＩについて定義される制御関数Ｕの組、及び

なるｕに対し、常微分方程式（ＯＤＥ）タイプの問題について、以下のようにΩについて考慮することができる。

コーシー＝リプシッツ定理によれば、∈Ｕなるすべてに対し上記を考慮すると、問題Ｐ（ｕ）は、固有の解

（これは初期条件

を伴う問題Ｐ（ｕ）によるシステムの状態である）を認める。ここで、

は状態の時間発展を定義する。

次に、典型的な最適制御問題を以下のように定式化することができる。

ここで、コスト関数を用いれば、

は、上述のシステムの許容可能な最終状態の組である。最小化するためのコストはシステムの最終状態に依存し得るが、より一般的なコストも考慮され得る。この例では、各候補がパラメータｕに対するＰ（ｕ）の解に等しい。

（ＯＣＰ）を解くために、ハミルトニアンＨを以下のように定義することができる。

ここで、（ＯＣＰ）における最適条件ｕについては、ポントリャーギンの最大原則に従い、以下の条件（１）～（３）が成立する。
（１）

なるアプリケーションが存在する。

ここでｘ_ｕは未だＰ（ｕ）の解である。
（２）

（３）

ここで、

は点ｘ_ｕ（Ｔ）におけるＭ_１への接線空間である。

トポロジ最適化の方法は、有限要素メッシュと、ＳＩＭＰ方法を使用する有限要素メッシュに関連付けられたデータとに基づいて、目的関数の１つ又は複数の感度の計算を含むことができる。アルゴリズムは、複数の時間ステップにわたって状態変数及び余剰変数の更新された値を計算するステップをさらに含むことができる。トポロジ最適化の方法は反応－拡散方程式系を、数値解法の分野における任意の公知の方法、例えば、前進オイラー法、後退オイラー法又は他の高度な陰的陽的スキームに従って、時間変数領域で離散化することを含んでもよい。

収束は、以下のうちの少なくとも１つが満たされる場合に達成されてもよい。
－反復回数が所定の最大反復回数（例えば、１０００回又は１００００回）に達する。
－得られた目的関数の値の２つの連続する反復における絶対差分が所定の値（例えば、１０^－３又は１０^－６）より小さい。
－二つの連続した反復における目的関数の得られた値と二つの反復のうちの一つの絶対値との絶対差分の比率が所定の値（例えば、１０^－２又は１０^－３）より小さい。
－２つの連続する反復における状態変数のうちの少なくとも１つの最終状態の値の絶対差が、所定の値未満である
－２つの連続する反復における状態変数のうちの少なくとも１つの最終状態の値と、２つの反復のうちの１つにおける対応する状態変数の絶対値との間の絶対差の比は、所定の値未満である。

第１の反復において、本方法は、状態変数の初期状態の値を所定の値に設定することができる。所定の値は、初期状態でのマッピング関数の適用後の対応する値が例えば、前記間隔、例えば［０，１］内に留まるように選択されてもよい。特に、全ての状態変数は、ＦＥメッシュにわたって一定値に設定されてもよい。第１の反復以外の反復では、各状態変数の初期状態の値が先行する反復の対応する状態変数の最終状態の値に設定されてもよい。このような初期化は比較的短い時間隔（すなわち、各反復の初期時刻と最終時刻との間の差）で各反復を実行し、反復の数を増加させることによってより大きな最終時刻に到達する能力を追加することによって、改善された方法を形成する。反応－拡散方程式の解におけるチューリングパターンを得るには、大きい最終時刻が有用である。

一旦収束が達成されると、トポロジ最適化は、各要素が最適化された相対密度値を有する設計空間において最終的な設計を提示することができる。簡単なしきい値処理によって、全体的なトポロジ最適化ワークフローはその比濃度値があるしきい値（例えば、０．５に選択される）を超える要素の集合によって定義されるジオメトリを抽出することができる。

本明細書で論じる方法の特に効率的な例では、反応－拡散方程式の系が上記で提示したグレイ＝スコットモデルであってもよい。特に、グレイ＝スコットモデルは反応項を有してもよく、グレイ＝スコットモデルにおける反応項の少なくとも１つのパラメータはトポロジ最適化の自由変数であってもよい。選択されたパラメータは、上述の（Ｇ－Ｓ）系におけるパラメータｋであってもよい。グレイ＝スコットモデルの初期条件はある所定の値に設定することができ、したがって、所与の時間における解は、反応項におけるパラメータの値によって完全に定義することができる。すなわち、グレイ＝スコットモデルの他の係数、すなわちＤ_ｕ，Ｄ_ｖ、及びＦはパラメータの少なくとも１つの可能な値に対してチューリングパターンを提供するために、既知の文献に従って選択されてもよい。

次に、この方法の実施について説明する。

これらの実装は、材料分布に従って形成された３Ｄモデル化オブジェクトの総コンプライアンスを最小にするために、いたるところで有界直方体領域

の材料分布を見つけることに焦点を当てる。材料はヤング率とＥ_０ポアソン比νで等方的である。オブジェクトはいくつかの運動学的制約

を満たしながら、所与の組の力

を受ける。最終的な時刻Ｔはあらかじめ定義された値に設定されるため、時間隔は、Ｉ＝［０，Ｔ］である。さらに、初期材料分布

がΩについて設定される。

反応拡散系は、反応項に自由パラメータθを有するグレイ＝スコットモデルに設定される。これにより、反応－拡散方程式の次の系が導かれる。

ここで、∂Ωは、領域Ωの境界を指定し、ｎ_ΩはΩの境界上の外向き単位法線ベクトルである。

他の例では、境界条件が次のようにディリクレ条件の形成で設定されてもよい。

すべての固定されたθ∈Ｕ及び任意のｔ∈［０，Ｔ］について、Ｐ_θの解は、（ｕ_θ，ｖ_θ）によって示される。

許容制御パラメータ［θ_ｍ，θ_Ｍ］、拡散係数Ｄ_ｕ及びＤ_ｖ、並びに係数Ｆの組はパラメータの組が常に、当該技術分野で公知のようなチューリングパターンの形成を可能にするように設定される。係数Ｆは０．０３５に、［θ_ｍ，θ_Ｍ］＝［０．０６１５；０．０７６］に設定される。比率ｄ＝Ｄ_ｖ／Ｄ_ｕは、離散レベルで０．５に設定され、したがって、Ｄ_ｕ及びＤ_ｖの明示的な値は、以下の空間離散化パラメータ及び時間離散化パラメータとの関係において設定される。さらに、初期条件（ｕ_０，ｖ_０）は、（０．５，０．５）／βに設定される（βは、β＜０なる実数である）。しかしながら、この係数はこの例示的な値の周りで、例えば、０．１と１５との間、０．５と１０との間、又は特に２．５と３．５との間で変化してもよい。

次に、最小コンプライアンスを得るための以下の最適化問題を解く。

なお、

は、パラメータθでパラメータ化された最終時刻Ｔにおける材料分布を指定する。
ここで、ＢとＣが（ひずみテンソル

のように）２次のテンソルであり、

が（弾性テンソル

のように）４次のテンソルである場合における

のような二項積表記は、力学と弾性学の分野でよく定義されている。弾性テンソル

は次式のようにヤング率の内挿に従いＳＩＭＰ方法で定義した。

ここで、ｐ＝３である。最も一般的な場合、Ｅ_Ａ＝Ｅ_０である。さらに、Ｅ_Ｂ＝Ｅ_ｍｉｎは、空隙領域に割り当てられた算術ヤング率Ｅ_ｍｉｎであり、Ｅ_ｍｉｎ＝１０^－９に設定される。ひずみテンソルは、

に基づいて計算される。ポアソン比ｖは力学の分野で知られている。

ひずみテンソル

は、以下のように連続材料の力学的平衡方程式及び境界条件から導かれる。

ここで、ｆは１つの荷重ケースを表し、おそらく同時に加えられるいくつかの力を含む。この方程式は、荷重の場合ごとに解くことができる。

（ＯＣ）のマッピング関数は、上記で導入されたβに対し

で定義される。さらに、材料の総量の上限は、Ｖ_０に対し３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータとして以下のように設定される。

ここで、最終時刻ρ_Ｔにおける物質分布は、自由パラメータθによって課されるグレイ＝スコットモデルの解に対応する候補の中から選択される。

次に、この問題は空間的に離散化される。寸法Ωは、３つの間隔

のデカルト積として以下のように表現可能であると考えられる。

ここで、

であり、

であり、ｈはある離散化サイズｈ＞０である。したがって、領域Ωは、

と表される。実装は、Ωで定義されるいかなるジェネリック関数

を、離散化された空間

内の離散化された関数によって、すなわち離散化された領域

上で定義された数

によって置き換える。離散化された領域はまた、ＦＥメッシュと見なされてもよい。

さらに、

上の離散勾配演算子は、以下のように定義される。

離散的なラプラス演算子は次のように定義される

ここで、

は以下を満たす畳み込みカーネルである。

特定の選択肢として、

であり、ここで、

であり、さらに、

である。

上で定義した離散ラプラシアン演算子を用いて、反応－拡散方程式系Ｐ_θを次のように時間変数に関してＯＤＥの系に変換することができる。

ここで、ｕ，ｖは時間的に平滑な関数であり、空間的に離散化されている。すなわち

である。さらに、パラメータθについて、

が成り立つ。ここで、ｕ（ｔ）ｖ（ｔ）は、離散化された空間

内におけるｕ（ｔ）及びｖ（ｔ）の要素毎の積を示す。同様に、ｖ（ｔ）^２＝ｖ（ｔ）ｖ（ｔ）である。

ＯＤＥ

の系は、上述の最適制御の例による。ポントリャーギンの最大原理を使用するために、系

のハミルトニアンは以下のように定義される。

である。ここで、ｐ及びｑは共役状態変数である。

Ｒ_ｕ（ｕ，ｖ）がパラメータθに依存しないので、

であり、これは、ハミルトニアンを次のように分割することができる。

（ここで、θ^＊は（ｕ，ｖ）の最適状態を表す）及び最適制御パラメータを考慮すると、以下の特性を満たさなければならない。

これは、最適制御がそれぞれの時間ｔ∈Ｉで極値しかとれないということを意味する。

したがって、各時間において、最適制御パラメータ

は、ｑ（ｔ）及びｖ（ｔ）の値に応じて、θ_ｍｉｎ又はθ_ｍａｘのいずれかに等しい。従来技術による上述のようなパラメータの選択が与えられると、もしｕ_０及びｖ_０が正であれば、ｖ及びｕの値は常に正のままである。（すなわち、ゼロよりも大きい）、したがって、離散化された空間

の少なくとも各点において、θ^＊（ｔ）の値はｑ（ｔ）の符号に依存する。

ポントリャーギンの最大原理は、以下の随伴方程式を与える。

ここで、演算子

は

の随伴である。最後の方程式は、次式のようによりコンパクトな形式で書くことができる。

ここで、

は共役状態変数のベクトルであり、

は状態変数のベクトルである。

は系の状態及び制御パラメータの値の両方に依存する行列である。

ポントリャーギンの最大原理はまた、許容可能な最終状態の組Ｍ_１が、グローバルな量の制約として

を用いて

で定義される場合、共役状態は以下を満たさなければならない。

γ（ｕ，ｖ）＝βｕである場合、

である。ここで、

はベクトル（１，…，１）^Ｔである。

ここで、λは、グローバルな量の制約を課すために使用されるラグランジェ変数（又はラグランジェ乗数）を示す。∇Ｊは、当技術分野で公知の随伴方法などの感度の計算によって計算される。

そして、Ｐは以下を満たす。

この式では、θ（ｓ）は依然としてＰ（ｓ）の値に依存し、Ｕ（ｓ）はθ（ｖ）に依存し、したがって、Ｕ（ｓ）は０≦ｖ≦ｓなるすべてのＰ（ｖ）に依存する。実装は継続時間の問題を解く代わりに、（ｔ_０，ｔ_１，…，ｔ_Ｎ）∈Ｉ^Ｎ＋１と設定することにより以下のように時間離散化を実行する。

時間変数はダミー変数として使用され、他の時間隔はそれｔ_０＝０からが開始するように変換することができる。特に、実装は、

に設定し、δｔ＝Ｔ／Ｎであり、ファミリー

によって与えられる離散版の時間依存関数を含む。

特に、拡散パラメータは、

に設定される。このような設定は離散化の下でＤ_ｖ及びＤ_ｕの比率が１ではないことを強制することにより、方程式系の解におけるチューリングのパターンの出現を保証する。

時間関連デリバティブは、以下のように定義することができる。全身オイラー法を用いる。

したがって、状態変数の変化は以下のとおりである。

一方、共役状態方程式は以下のとおりである。

（ＤＲＤ）では、（ｐ^ｎ，ｑ^ｎ）_ｎは、（ｕ^ｎ，ｖ^ｎ）_ｎを計算することが要求され、（ＤＣＥ）では、（ｐ^ｎ，ｑ^ｎ）_ｎは、（ｕ^ｎ，ｖ^ｎ）_ｎから得られる。この相互依存性を解決するために、最終時刻Ｔ、すなわち時間隔［０、Ｔ］は、かなり小さくなるように選択され、したがって、ｕ及びｖはＩの全域であまり変化せず、（ＤＣＥ）において、（ｕ^ｎ，ｖ^ｎ）_ｎは（ｕ^０，ｖ^０）で置換される。このバージョンの（ＤＣＥ）は、次のようにコンパクトな形式で書くことができる。

ここでθ^ｎは、式（＊）により与えられるｆを用いて、θ^ｎ＝ｆ（Ｐ^ｎ）から既知である。

さらに、小さな変化を仮定したために、∇Ｃ（Ｕ（Ｔ））は、∇Ｃ（Ｕ^０）で近似される。

実装は、形式のいくつかの小さな時間隔［０，Ｔ］で計算を繰り返す。この場合、それらの間隔の１つに対して取得された最終値が次の間隔の初期化として使用される。

要約すると、実装のアルゴリズムは、以下のように要約されてもよい。
１．３ＤＦＥメッシュの設定
ａ．Ω：立方体空間領域
ｂ．（Ｋ_ｉ）_{１≦ｉ≦３}：空間離散化整数
２．ＦＥメッシュに関連付けられたデータの設定
ａ．Ｆ，構造物に加えられる力の組
ｂ．Ｃ，境界条件の組
ｃ．Ｅ_０，ベースヤング率とポアソン比ν
３．時間離散化パラメータと反応拡散系の初期値の設定
ａ．Ｔ：時間隔のサイズ
ｂ．Ｎ：時間離散化整数
４．ラグランジュ乗数パラメータの設定
ａ．初期「ラグランジュ」変数としてλを設定（λ＞０）
ｂ．ラグランジュ変数増加率としてηを設定（η＞０）
５．（Ｆ，Ｃ）及びＥ_０からＳＩＭＰ法を用いて∇Ｊ（γ（Ｕ^０））を計算
６．（＊＊）からをＰ^Ｎ推論
７．Ｆｏｒ ｎ＝Ｎ ｔｏ １：
ａ．θ^ｎ←ｆ（Ｐ^ｎ）（（＊）から）

８．Ｆｏｒ ｎ＝０ ｔｏ Ｎ－１：
ａ．（ＤＲＤ）を介してＵ^ｎからＵ^ｎ＋１を計算

９．Ｕ^０←Ｕ^Ｎに設定し、収束基準に従って収束が達成されるまでステップ５から９を繰り返す。

ラグランジュ可変増加率ηは、０．０５と１との間、特に０．０５と０．２との間に設定されてもよい。ηが大きいほど収束が速くなり、ηが小さいほど最適化空間の探索が向上する。

ここで、トポロジ最適化法の議論された実装によって得られたいくつかの結果が、図３～６に関して提示される。

図３は、本方法による旋削三脚を設計するための、提供された力（矢印で表される）及び境界条件（板で表される）を示す。

図４（ａ）～（ｇ）は、ｔ＝２０ｓからｔ＝２５０ｓまで、図３に提示した力及び境界条件に基づく方法に従って得られた３Ｄモデル化オブジェクトの時間発展を示す。図４（ｈ）は、図４（ｇ）の得られた３Ｄモデル化オブジェクトの異なる図を示す。

図５は、本方法によるスクーター部品を設計するための、提供された力（矢印で表される）及び境界条件（板で表される）を示す。

図６は、先行技術（左側）に従って得られた３Ｄモデル化オブジェクトと、図５に示された力及び境界条件に対する本実装（右側）による手法とを、種々の図から比較したものである。図示されているように、本方法の実装は従来技術の方法のように、より微細でより多孔性の局所パターンを有する構成の全体的な形を提供することができる。

Claims (15)

1. 材料中に形成された機械的部品を表す３Ｄモデル化されたオブジェクトを設計するためのコンピュータ実装される方法であって、
   以下を提供するステップと、
   ・３Ｄ有限要素メッシュ（Ω_ｉｎｄ）及び
   ・前記３Ｄ有限要素メッシュに関連し、以下を含むデータ
   ・・各々がそれぞれの荷重ケースを形成する１以上の力（Ｆ）、
   ・・１以上の境界条件（Ｃ）、
   ・・材料に関連する１つ以上のパラメータ（Ｅ）、
   ・・有限要素メッシュ内の材料のグローバル量（Ｖ_０）に対するグローバル量制約（数１）
   

   

   前記有限要素メッシュ及び前記有限要素メッシュに関連したデータに基づいてトポロジ最適化（数２）を実行し、トポロジ最適化が候補（ρ）材料分布の間で実行され、各候補材料分布は反応－拡散方程式系（数３）の解に対応する
   

   

   

   方法。
2. 各候補物質分布が前記反応－拡散方程式系の解へのマッピング関数（γ）のアプリケーションに等しい
   請求項１に記載の方法。
3. 前記マッピング関数は前記反応－拡散方程式の系の解を材料密度の間隔（［０，１］）にマッピングする形状保存関数であり、前記候補材料分布は、前記間隔内の値をとる
   請求項２に記載の方法。
4. 前記反応－拡散方程式系は状態変数（ｕ，ｖ）を有し、前記形状保存関数は、少なくとも１つの状態変数の単調関数である
   請求項３に記載の方法。
5. 前記形状保存関数は、前記状態変数のうちの１つ（ｕ）の線形関数（γ（ｕ，ｖ）＝βｕ）である
   請求項４に記載の方法。
6. 前記反応－拡散方程式系は各々が前記トポロジ最適化の自由変数であり、各々が制限区間（Ｕ_ａｄ）に属する１つ以上のパラメータ（θ）を含む
   請求項１～５のいずれか１項に記載の方法。
7. 前記１つ以上のパラメータの各値（θ∈［θ_ｍ，θ_Ｍ］）について、前記反応－拡散方程式の系は初期時刻（０）における初期状態（ｕ^０，ｖ^０）から最終時刻（Ｔ）における最終状態（ｕ^Ｔ，ｖ^Ｔ）への状態変数（ｕ、ｖ）の進化を表し、前記方程式の系の解は前記状態変数の最終状態に等しい
   請求項６に記載の方法。
8. 前記１つ又は複数のパラメータ（θ）のそれぞれの値は、時間及び／又は空間に依存する
   請求項６又は７に記載の方法。
9. 反応－拡散方程式の系が状態変数を有し、前記トポロジ最適化が収束までの複数の反復を含み、各反復が以下を含む
   初期時刻の状態変数の初期状態の値（ｕ^０，ｖ^０）を設定するステップ、
   状態変数（ｕ，ｖ）の値と共役状態変数の値を前記３Ｄ有限要素メッシュ上で、初期時刻（０）と最終時刻（Ｔ）の間の複数の時間ステップ（ｔ_ｉ）にわたって計算するステップ
   請求項１～８のいずれか１項に記載の方法。
10. １回目の繰り返しでは、各状態変数の初期状態の値が所定の値に設定され、
    最初の反復以外の反復では、各変数の初期状態の値が前の反復の対応する状態変数の最終状態の値に設定される
    請求項９に記載の方法。
11. 反応－拡散方程式の系がグレイ＝スコットモデル（数４）である
    

    

    請求項１～１０に記載の方法。
12. 前記グレイ＝スコットモデルは反応項（Ｆ＋θ）を有し、前記グレイ＝スコットモデルにおける前記反応項の少なくとも１つのパラメータ（θ）は、前記トポロジ最適化の自由変数である
    請求項１１に記載の方法。
13. 請求項１～１２のいずれか１項に記載の方法を実行するための命令を含むコンピュータプログラム。
14. 請求項１３に記載のコンピュータプログラムを記録したコンピュータ可読記憶媒体。
15. メモリに結合されたプロセッサと、グラフィカルユーザインターフェースとを備え、前記メモリが、請求項１３に記載のコンピュータプログラムを記録する、システム。

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