JP2021105988A - 配向最適化による３ｄモデル化オブジェクトの設計 - Google Patents

Abstract

【課題】機械部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計するための方法、システム及びプログラムを提供する。【解決手段】３Ｄ有限要素メッシュと、３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータとを提供する方法であって、３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータは、複数の力および境界条件を含む。複数の力は、複数の荷重ケースを形成する。さらに、物理的特性に関して配向連続性に報酬を与える目的関数に関して３Ｄ有限要素メッシュ上に分布する配向場７８を最適化する。最適化は、３Ｄ有限要素メッシュと、３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータとに基づく。【選択図】図７

Description

本発明は、コンピュータプログラムおよびシステム分野に関し、より詳細には、機械部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計するための方法、システム、およびプログラムに関する。

オブジェクトの設計、エンジニアリングおよび製造のために、多くのシステムおよびプログラムが市場に提供されている。ＣＡＤは、コンピュータ支援設計（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ−Ａｉｄｅｄ Ｄｅｓｉｇｎ）の略語であり、例えば、オブジェクトを設計するためのソフトウェア・ソリューションに関する。ＣＡＥは、コンピュータ支援エンジニアリング（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ−Ａｉｄｅｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）の略語であり、例えば、将来の製品の物理的挙動をシミュレートするためのソフトウェア・ソリューションに関する。ＣＡＭは、コンピュータ支援製造（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ−Ａｉｄｅｄ Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ）の略語であり、例えば、製造プロセスおよび動作を定義するためのソフトウェア・ソリューションに関する。このようなコンピュータ支援設計システムでは、グラフィカル・ユーザ・インターフェースは、技術の効率に関して重要な役割を果たす。これらの技術は、製品ライフサイクル管理（Ｐｒｏｄｕｃｔ Ｌｉｆｅｃｙｃｌｅ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ：ＰＬＭ）システムに組み込むことができる。ＰＬＭとは、企業が、拡張エンタープライズの概念全体にわたって、製品データを共有し、共通の工程を適用し、構想に始まり製品寿命の終わりに至る製品開発のための企業知識を活用するのを支援するビジネス戦略を指す。ダッソー・システムズが提供するＰＬＭソリューション（製品名ＣＡＴＩＡ、ＥＮＯＶＩＡ、ＤＥＬＭＩＡ）は、製品エンジニアリング知識をオーガナイズするエンジニアリング・ハブ、製品エンジニアリング知識を管理する製造ハブ、およびエンジニアリング・ハブと製造ハブの両方に対するエンタープライズ統合と接続を可能にするエンタープライズ・ハブを提供する。全体として、システムは、製品、工程、リソースを結ぶオープンなオブジェクトモデルを提供し、最適化された製品定義、製造準備、生産およびサービスを推進する、動的な知識ベースの製品作成および意思決定支援を可能にする。

工業設計のこの状況においては、物理的特性に対して異方性挙動を有する材料で形成された機械部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計することが、広く重要性を増している。

次の論文が、本分野に関連し、以下で参照されている。

［１］：Ｒ．Ｈｏｇｌｕｎｄ ａｎｄ Ｄ．Ｅ．Ｓｍｉｔｈ，“Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ Ｆｉｂｅｒ Ａｎｇｌｅ Ｔｏｐｏｌｏｇｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｐｏｌｙｍｅｒ Ｆｕｓｅｄ Ｆｉｌａｍｅｎｔ，”２０１６，
［２］：Ａ．Ａ．Ｓａｆｏｎｏｖ，“３Ｄ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｉｂｅｒ−ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｖｕｌｉａ ｎａｔｕｒａｌ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，”２０１９，
［３］：Ｊ．Ｌｅｅ，Ｄ．Ｋｉｍ，Ｔ．Ｎｏｍｕｒａ，Ｅ．Ｍ．Ｄｅｄｅ ａｎｄ Ｊ．Ｙｏｏ，“Ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ａｎｄ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ ｇｒａｄｅｄ ｆｉｂｅｒ−ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，”２０１８，
［４］：Ｎ．Ｒａｎａｉｖｏｍｉａｒａｎａ，Ｆ．−Ｘ．Ｉｒｉｓａｒｒｉ，Ｄ．Ｂｅｔｔｅｂｇｈｏｒ ａｎｄ Ｂ． Ｄｅｓｍｏｒａｔ， “Ｏｐｔｉｍａｌ ｏｒｔｈｏｔｒｏｐｙ ａｎｄ ｄｅｎｓｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｗｏ−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，”Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｏｆ Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２０１８，
［５］：Ｔ．Ｎｏｍｕｒａ，Ｅ．Ｍ．Ｄｅｄｅ，Ｔ．Ｍａｔｓｕｍｏｒｉ ａｎｄ Ａ．Ｋａｗａｍｏｔｏ，“Ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｔｏｐｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ Ｍａｔｅｒｉａｌ ｕｓｉｎｇ Ｉｓｏｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ，”２０１５，
［６］：Ｂ．Ｓ．Ｌａｚａｒｏｖ，Ｆ．Ｗａｎｇ ａｎｄ Ｏ．Ｓｉｇｍｕｎｄ，“Ｌｅｎｇｔｈ ｓｃａｌｅ ａｎｄ ｍａｎｕｆａｃｔｕｒａｂｉｌｉｔｙ ｉｎ ｄｅｎｓｉｔｙ−ｂａｓｅｄ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，”２０１６，
［７］：Ｏ．Ｓｉｇｍｕｎｄ ａｎｄ Ｊ．Ｐｅｔｅｒｓｓｏｎ，“Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｉｅｓ ｉｎ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ：ａ ｓｕｒｖｅｙ ｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓ ｄｅａｌｉｎｇ ｗｈｉｔｈ ｃｈｅｃｋｅｒｂｏａｒｄｓ，ｍｅｓｈ−ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｉｅｓ ａｎｄ ｌｏｃａｌ ｍｉｎｉｍａ，”１９９８，
［８］：Ｍ．Ｚｈｏｕ，Ｂ．Ｓ．Ｌａｚａｒｏｖ，Ｆ．Ｗａｎｇ ａｎｄ Ｏ．Ｓｉｇｍｕｎｄ，“Ｍｉｎｉｍｕｍ ｌｅｎｇｔｈ ｓｋａｌｅ ｉｎ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｂｙ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ，”２０１５，
［９］：Ｔ．Ｎｏｍｕｒａ ａｎｄ Ｅ．Ｍ．Ｄｅｄｅ，“ＭＥＴＨＯＤＳ ＦＯＲ ＯＲＩＥＮＴＩＮＧ ＭＡＴＥＲＩＡＬ ＰＨＹＳＩＣＡＬ ＰＲＯＰＥＲＴＩＥＳ ＵＳＩＮＧ ＣＯＮＳＴＲＡＩＮＴ ＴＲＡＮＳＦＯＲＭＡＴＩＯＮ ＡＮＤ ＩＳＯＰＡＲＡＭＥＴＲＩＣ ＳＨＡＰＥ ＦＵＮＣＴＩＯＮＳ”．２０１４．Ｐｅｎｄｉｎｇ Ｐａｔｅｎｔ，
［１０］：Ｆｅｌｉｐｅ Ｆｅｒｎａｎｄｅｚａ，Ｗ．Ｓｃｏｔｔ Ｃｏｍｐｅｌｂ，Ｊａｍｅｓ Ｐ．Ｌｅｗｉｃｋｉｂ ａｎｄ Ｄａｎｉｅｌ Ａ．Ｔｏｒｔｏｒｅｌｌｉａ， “Ｏｐｔｉｍａｌ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｆｉｂｅｒ ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｄｉｒｅｃｔ ｉｎｋ ｗｒｉｔｅ ｆａｂｒｉｃａｔｉｏｎ”． Ｃｏｍｐｕｔ． Ｍｅｔｈｏｄｓ Ａｐｐｌ．Ｍｅｃｈ．Ｅｎｇｒｇ．３５３（２０１９）２７７-３０７，
［１１］：Ｊｉｕｃｈｕｎ Ｇａｏ，“Ｏｐｔｉｍａｌ Ｍｏｔｉｏｎ Ｐｌａｎｎｉｎｇ ｉｎ Ｒｅｄｕｎｄａｎｔ Ｒｏｂｏｔｉｃ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｆｏｒ Ａｕｔｏｍａｔｅｄ Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ Ｌａｙ−ｕｐ Ｐｒｏｃｅｓｓ”．Ｃｏｍｐｕｔ．Ｍｅｔｈｏｄｓ Ａｐｐｌ．Ｍｅｃｈ．Ｅｎｇｒｇ．３５３（２０１９）２７７-３０７．，および
［１２］：Ｍ．Ｐ．Ｂｅｎｄｓｏｅ ａｎｄ Ｏ．Ｓｉｇｍｕｎｄ，Ｔｏｐｏｌｏｇｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ−Ｔｈｅｏｒｙ，Ｍｅｔｈｏｄｓ，ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００４．

これらの方法は、精度に欠き、かつ／あるいは現実的に製造可能な機械部品を表す設計を生成しない。それらのいくつかは、工業的に実現可能でない、かつ／あるいは工業的に非現実的である結果を生じる。

これに関連して、物理的特性に関して異方性挙動を有する材料に形成された機械部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計するための改善された方法が必要とされている。

したがって、３Ｄモデル化オブジェクトを設計するための、コンピュータで実行される方法が提供される。３Ｄモデル化オブジェクトは、物理的特性に対して異方性挙動を有する材料に形成された機械部品を表す。本方法は、３Ｄ有限要素メッシュと、前記３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータとを提供することを含む。前記３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータは、複数の力および境界条件を含む。前記複数の力は、複数の荷重ケースを形成する。本方法はさらに、目的関数に関して前記３Ｄ有限要素メッシュ上に分布する配向場を最適化することを含む。前記目的関数は、物理的特性に関して配向連続性に報酬を与える。前記最適化することは、前記３Ｄ有限要素メッシュと、前記３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられた前記データとに基づく。

本方法は、以下のうちの１つまたは複数を含むことができる。

前記目的関数は、前記３Ｄ有限要素メッシュ上で定義された角度変数に依存し、前記角度関数は、前記３Ｄ有限要素メッシュのそれぞれの要素上の配向をそれぞれ記述し、
前記目的関数は非凸関数であり、前記最適化することは、非凸感度に基づく最適化方法を適用することを含み、
前記非凸感度に基づく最適化方法は角度反復ステップを有し、前記角度反復ステップは３０度より大きく９０度より小さい値で初期化され、
前記角度反復ステップは、前記非凸感度に基づく最適化方法の各反復において減少し、
前記最適化することは、前記非凸感度に基づく最適化方法の各反復において、前記配向場をフィルタリングすることを含み、
前記配向場の前記フィルタリングは、前記３Ｄ有限要素メッシュの各要素について、前記要素上の配向を記述する前記角度変数をフィルタリングすることを含み、
前記角度変数の前記フィルタリングすることは、
前記角度変数を、デカルト座標で表される３Ｄ配向ベクトル上にマッピングすることと、
前記３Ｄ配向ベクトルをフィルタリングすることと、
前記フィルタリングされた３Ｄ配向ベクトルを角度変数にマッピングし直すことと、を含み、
前記３Ｄ配向ベクトルの前記フィルタリングすることは、他の３Ｄ配向ベクトルの線形結合を計算することを含み、前記線形結合における他の３Ｄ配向ベクトルの各々の寄与は、前記他の３Ｄ配向ベクトルに対応する前記有限メッシュの要素と、前記３Ｄ配向ベクトルに対応する前記有限メッシュの要素との間の距離の減少関数であり、
前記減少関数は、所定の半径と前記距離との間の差を定量化し、
前記所定の半径は、１．５要素よりも大きいか、２要素よりも大きいか、または３要素よりも大きく、かつ／あるいは、
前記異方性挙動は、直交異方性挙動である。

本方法を実行するための命令を含むコンピュータプログラムがさらに提供される。

前記コンピュータプログラムが記録されたコンピュータ可読記憶媒体がさらに提供される。

メモリに結合されたプロセッサと、グラフィカル・ユーザ・インターフェースとを含むシステムがさらに提供され、前記メモリは、前記コンピュータプログラムを記録している。
本発明の実施形態を、非限定的な例として、添付の図面を参照して説明する

本願のシステムの一例を示す図。 本願の方法を例示する図。 本願の方法を例示する図。 本願の方法を例示する図。 本願の方法を例示する図。 本願の方法を例示する図。 本願の方法を例示する図。 本願の方法を例示する図。 本願の方法を例示する図。 本願の方法を例示する図。 本願の方法を例示する図。 本願の方法を例示する図。 本願の方法を例示する図。 本願の方法を例示する図。 本願の方法を例示する図。

したがって、３Ｄモデル化オブジェクトを設計するための、コンピュータで実行される方法が提供される。３Ｄモデル化オブジェクトは、物理的特性に対して異方性挙動を有する材料に形成された機械部品を表す。この方法は、３Ｄ有限要素メッシュと、３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータとを提供することを含む。３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータは、複数の力および境界条件を含む。複数の力は、複数の荷重ケースを形成する。この方法はさらに、目的関数に関して３Ｄ有限メッシュ上に分布する配向場を最適化することを含む。目的関数は、物理的特性に関して配向連続性に報酬を与える。最適化は、３Ｄ有限要素メッシュと、３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータとに基づく。

これは、物理的特性に関して異方性挙動を有する材料に形成された機械部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計するための改善された方法を構成する。

これは、物理的特性に関して異方性挙動を有する材料で形成された機械部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計するための改善された方法を構成する。

特に、本方法は、３Ｄ有限要素メッシュ上に分布する配向場を最適化する。配向場は、機械部品を形成する材料の物理的特性の配向の場を表す。本方法は、目的関数に関して配向場を最適化する。言い換えれば、本方法は、目的関数に可能な限り準拠する、機械部品を形成する材料の物理的特性の配向の場（すなわち、最適化された配向場）の表現を決定する。目的関数は配向の連続性を補償し、それによって最適化された配向場は連続的になる傾向がある。さらに、最適化は、複数の力に基づいており、複数の力は、機械部品に及ぼされる力を表し、最適化すべき配向場に対する制約を形成する。言い換えれば、本方法は、連続的であるとともに複数の力に適合する傾向がある材料の物理的特性の配向の場（すなわち、最適化された配向場）の表現を決定する。特に、最適化された場の配向は、力の支配的な方向と連続的に整列する傾向がある。これにより、力に応じた機械部品の物理的特性が向上する。これは、工業設計において特に、かつ客観的に関連する。

実際のところ、材料が物理的特性に関して異方性挙動を有するので、この方法のように材料の配向場を最適化することは、機械部品を設計することに特に関連している。実際、物理的特性は、材料内の方向／配向に従って変化する。したがって、そのような材料で形成された機械部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計するとき、材料の物理的特性の配向の場を最適化することは、設計のリアリズムを改善する。言い換えれば、それは、現実世界にあるように、すなわち製造されると、機械部品の現実的な３Ｄ視覚表現である３Ｄモデル化オブジェクトをもたらす。最終的には、これは、設計された３Ｄモデル化オブジェクトが現実世界で製造されることを可能にする。

本方法は、特に、例えば複合材または積層体に形成された連続繊維製造部品（「構造体」と呼ばれることもある）を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計することができる。そのような部品の例は、連続繊維３Ｄ印刷、連続繊維巻回、または連続繊維テープ敷設によって製造される部品である。そのような部品は、自動車、風力、航空宇宙、および消費財などの産業に広く存在する。そのような連続繊維設計（すなわち、連続繊維製造部品を表す３Ｄモデル化オブジェクト）のために最適化された配向場は、３Ｄモデル化オブジェクトによって表される部品を製造するための所与の製造プロセスにおいて適用される異方性（例えば、直交異方性）構成材料の材料配向を直接定義する。異方性（例えば、直交異方性）構成材料の材料配向は、単一の構成要素であるとき、および／または、例えば、剛性、強度、安定性、堅牢性、動力学、熱伝導、または磁場のための完全な構造に組み立てられたサブ構成要素であるとき、製造された部品の物理的性能および特性において重要な役割を果たす。その点で、本方法は、本方法によって最適化された配向場が連続的である傾向があり、力の支配的な方向と整列する傾向がある配向を有するので、連続繊維製造部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトの設計を改善する。これは、力の支配的な方向と整列する傾向があり、連続的である傾向がある繊維をもたらし、それによって、本方法は、加えられる複数の力に応じるときに改善された物理的性能を示す、連続繊維製造部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを生成する。

さらに、上述したように、最適化された配向場は、機械部品に加えられる力に可能な限り従う傾向があり、配向は、力の支配的な方向と連続的に整列する傾向がある。複数の力は、複数の荷重ケースを形成する。工業設計の分野でそれ自体知られているように、荷重ケースは、機械部品に同時に加えられる１つまたは複数の力の集合である。力は、２つ以上の集合が存在するときに複数の荷重ケースを形成し、これらの力のうちの１つ以上の各々は、機械部品に同時に印加されず、互いに蓄積／補償することができない。複数の荷重ケースを形成する複数の力に基づいて、配向が荷重ケースに従い、それらの支配的な方向と整列する傾向があるように、配向場を最適化することによって、本方法は、複数の荷重ケースを受ける３Ｄモデル化オブジェクトを現実的に設計することを可能にする。１つの荷重ケースを処理するだけでは工業的に実現可能ではない部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトが得られるので、複数の荷重ケースを処理する本方法の能力は、工業設計における改善である。実際に、現実世界では、機械部品は、複数の荷重ケースにさらされている。

さらに、本方法は、トポロジ最適化コンテキストにおいて実行され得る。

例えば、本方法は、トポロジ的に最適化された３Ｄモデル化オブジェクト、すなわち、トポロジ最適化プロセス／方法／プログラムから得られる３Ｄモデル化オブジェクトに対して実行することができる。機械設計の分野からそれ自体知られているように、トポロジ最適化は、加えられる力に応答して改善された機械的性能を示す機械部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計することを目的とする。トポロジ最適化は、入力として、有限要素メッシュ、力、および機械部品に対する空間および／または機械的制約をとる。次いで、トポロジ最適化は、機械部品が力に応答して改善された物理的性能を達成するために、機械部品を形成する材料の最適化された分布を決定する。言い換えれば、トポロジ最適化は、そのような改善された物理的性能を示す材料で形成された機械部品を表すモデル化オブジェクトを出力する。例えば、機械部品は、改善された機械的剛性を示すことができる。本方法は、そのような３Ｄモデル化オブジェクトに対して実行され得る。結果として、本方法は、加えられる力および制約に関して最適化された材料の分布を有する３Ｄモデル化オブジェクトを入力として取る。次いで、本方法は、前述のように、複数の力（トポロジ最適化に関連する力と異なっていても、異なっていなくてもよい）に関してモデル化オブジェクト上の物理的特性の向きを最適化する。言い換えれば、本方法によって出力される３Ｄモデル化オブジェクトは、加えられる力に対して機械部品を形成する材料の最適化された分布、および同じ力または他の力に対して材料の物理的特性の比較的連続的な配向場を示すことができる。さらに、これは全て、本方法が、トポロジ最適化（すなわち、材料の分布）に関連する変数と、配向最適化（すなわち、配向場）に関連する変数とを別々に独立して取り扱うことを意味する。変数のこの分離は、入力３Ｄモデル化オブジェクトを提供するためのトポロジ最適化の様々な技法、例えば、幾何学的局所体積制約（例えば、多孔性を強化するため）のような追加の制約を特徴とするトポロジ最適化の任意の技法を使用することを可能にする。

さらに他の例では、本方法は、トポロジ最適化および配向場最適化を実行することができる。そのような例では、物理的特性は剛性である。そのような場合、本方法は、複数の力に応答して機械部品が改善された剛性を示すことを可能にする材料の分布と、力の支配的な方向と整列する材料の剛性の連続的な配向との両方を決定し、それによって剛性をさらに改善する。

したがって、本方法がトポロジ最適化コンテキストに統合される場合、本方法は、配向場および密度場の両方を同時に（すなわち、本方法がトポロジおよび配向最適化を共に行うとき）、または非同時に（例えば、本方法がトポロジ最適化後に配向最適化を行うとき）最適化するための選択を提供する。これは、特に、各々がそれ自体の感度を有する別個の可変フィールドを形成する配向および密度によって可能になる。

本方法は、コンピュータによって実行される。これは、本方法のステップ（または、実質的にすべてのステップ）が、少なくとも１つのコンピュータ、または任意のシステムによって同様に実行されることを意味する。したがって、本方法のステップは、場合によっては完全に自動的に、または半自動的に、コンピュータによって実行される。例示的には、本方法の少なくともいくつかのステップのトリガーは、ユーザとコンピュータの対話を介して実行され得る。必要とされるユーザとコンピュータの対話のレベルは、予測される自動化のレベルに依存し、ユーザの希望を実現する必要性とバランスをとることができる。例示的に、このレベルは、ユーザ定義および／または事前定義され得る。

本方法のコンピュータ実行の典型的な例は、この目的のために適合されたシステムを用いて、本方法を実行することである。システムは、メモリに結合されたプロセッサと、グラフィカル・ユーザ・インターフェース（ＧＵＩ）とを含むことができ、メモリは、本方法を実行するための命令を含むコンピュータプログラムを記録している。メモリはまた、データベースを記憶してもよい。メモリは、場合によってはいくつかの物理的に別個の部品（例えば、１つはプログラム用、場合によっては、１つはデータベース用）を備える、そのような記憶に適合された任意のハードウェアである。

本方法は、一般的に、モデル化オブジェクトを操作する。モデル化オブジェクトは、例えばデータベースに記憶されたデータによって定義される任意のオブジェクトである。ひいては、「モデル化オブジェクト」という表現は、データ自体を指す。システムのタイプに応じて、モデル化オブジェクトは、異なる種類のデータによって定義されてもよい。システムは、実際には、ＣＡＤシステム、ＣＡＥシステム、ＣＡＭシステム、ＰＤＭシステム、および／またはＰＬＭシステムの任意の組み合わせであってもよい。これらの異なるシステムでは、モデル化オブジェクトは、対応するデータによって定義される。したがって、ＣＡＤオブジェクト、ＰＬＭオブジェクト、ＰＤＭオブジェクト、ＣＡＥオブジェクト、ＣＡＤデータ、ＰＬＭデータ、ＰＤＭデータ、ＣＡＭデータ、ＣＡＥデータと呼ぶことができる。しかしながら、モデル化オブジェクトは、これらのシステムの任意の組み合わせに対応するデータによって定義することができるので、これらのシステムは互いに排他的なものではない。したがって、システムは、ＣＡＤシステムとＰＬＭシステムの両方であってよい。

ＣＡＤシステムとは、さらに、少なくとも、ＣＡＴＩＡなどの、モデル化オブジェクトのグラフィカル表現に基づいてモデル化オブジェクトを設計するように適合された任意のシステムを意味する。この場合、モデル化オブジェクトを定義するデータは、モデル化オブジェクトの表現を可能にするデータを含む。ＣＡＤシステムは、例えば、エッジまたは線を用いて、場合によっては面または表面を用いて、ＣＡＤモデル化オブジェクトの表現を提供することができる。線、エッジ、または表面は、様々な方法、例えば非一様有理Ｂスプライン（ＮＵＲＢＳ）で表すことができる。具体的には、ＣＡＤファイルは仕様を含み、この仕様からジオメトリを生成することができ、これにより表現を生成することができる。モデル化オブジェクトの仕様は、単一のＣＡＤファイルまたは複数のＣＡＤファイルに格納することができる。ＣＡＤシステムにおけるモデル化オブジェクトを表すファイルの典型的なサイズは、部品当たり１メガバイトの範囲である。また、モデル化オブジェクトは、通常、数千の部品のアセンブリであり得る。

ＣＡＤのコンテキストでは、モデル化オブジェクトは、典型的には、例えば、部品または部品のアセンブリ、あるいは場合によっては製品のアセンブリなどの製品を表す３Ｄモデル化オブジェクトとすることができる。「３Ｄモデル化オブジェクト」とは、その３Ｄ表現を可能にするデータによってモデル化される任意のオブジェクトを意味する。３Ｄ表現は、すべての角度から部品を見ることを可能にする。例えば、３Ｄモデル化オブジェクトは、３Ｄ表現されるとき、その軸のいずれかの周りで、または表現が表示されるスクリーン内のいずれかの軸の周りで扱われ、回転され得る。これは、特に、３Ｄモデル化されていない２Ｄアイコンを除外する。３Ｄ表現の表示は、設計を容易にする（すなわち、設計者がタスクを統計的に達成する速度を増加させる）。これは、製品の設計が製造プロセスの一部であるため、産業における製造プロセスを高速化する。

本方法によって設計された３Ｄモデル化オブジェクトは、例えば、（例えば、機械的な）部品または部品のアセンブリ（または、部品のアセンブリが本方法の観点から部品自体として見られてもよく、または本方法がアセンブリの各部品に独立して適用されてもよいため、等価的には部品のアセンブリ）、またはより一般的には任意の剛体アセンブリ（例えば、可動機構）などの、例えば、ＣＡＤソフトウェア・ソリューションまたはＣＡＤシステムを用いた仮想設計の完了に続いて現実世界で製造される製品の幾何学形状を表すことができる。ＣＡＤソフトウェア・ソリューションは、航空宇宙、建築、建設、消費財、ハイテクデバイス、産業機器、輸送、船舶、および／または海上石油／ガス生産または輸送を含む、様々な無制限な産業分野における製品の設計を可能にする。したがって、本方法によって設計された３Ｄモデル化オブジェクトは、地上車両（例えば、自動車および軽トラック機器、レーシングカー、オートバイ、トラックおよびモータ機器、トラックおよびバス、列車を含む）の一部、航空機（例えば、機体機器、航空宇宙機器、推進機器、防衛製品、航空機器、宇宙機器を含む）の一部、海軍車両（例えば、海軍機器、民間船、洋上設備、ヨットおよび作業船、海洋機器を含む）の一部、一般機械部品（例えば、工業製造機械、大型移動機械または機器、設置機器、工業機器製品、加工金属製品、タイヤ製造製品を含む）の一部、電気機械または電子部品（例えば、消費者電子機器、セキュリティおよび／または制御および／または計装用製品、コンピューティングおよび通信機器、半導体、医療装置および機器を含む）、消費財（例えば、家具、家庭および庭用製品、レジャー製品、ファッション製品、ハード商品小売業者の製品、ソフト商品小売業者の製品を含む）、包装（例えば、食品および飲料およびタバコ、美容およびパーソナルケア、家庭用製品包装を含む）などの、任意の機械部品であり得る工業製品を表し得る。

図１はシステムの例を示し、システムはクライアントコンピュータ、例えばユーザのワークステーションである。

この例のクライアントコンピュータは、内部通信バス１０００に接続された中央処理装置（ＣＰＵ）１０１０と、同じくバスに接続されたランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）１０７０とを備える。クライアントコンピュータには、バスに接続されたビデオランダムアクセスメモリ１１００に関連付けられたグラフィック処理ユニット（ＧＰＵ）１１１０がさらに接続される。ビデオＲＡＭ１１００は、当技術分野ではフレームバッファとしても知られている。大容量記憶装置コントローラ１０２０は、ハードドライブ１０３０などの大容量記憶装置へのアクセスを管理する。コンピュータプログラム命令およびデータを有形に具現化するのに適した大容量メモリデバイスは、例として、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、およびフラッシュメモリデバイスなどの半導体メモリデバイス、内部ハードディスクおよびリムーバルディスクなどの磁気ディスク、光磁気ディスク、ならびにＣＤ―ＲＯＭディスク１０４０を含む、すべての形態の不揮発性メモリを含む。前述のいずれも、特別に設計されたＡＳＩＣ（特定用途向け集積回路）によって保管されてもよく、またはそれに組み込まれてもよい。ネットワークアダプタ１０５０は、ネットワーク１０６０へのアクセスを管理する。クライアントコンピュータは、また、カーソル制御デバイス、キーボードなどの触覚デバイス１０９０を含んでもよい。カーソル制御装置は、ユーザがディスプレイ１０８０上の任意の所望の位置にカーソルを選択的に位置決めすることを可能にするためにクライアントコンピュータで使用される。さらに、カーソル制御装置は、ユーザが様々なコマンドを選択し、制御信号を入力することを可能にする。カーソル制御装置は、システムに制御信号を入力するための多数の信号発生装置を含む。典型的には、カーソル制御装置はマウスであってもよく、マウスのボタンは信号を生成するために使用される。代替的にまたは追加的に、クライアントコンピュータシステムは、感知パッドおよび／又は感知スクリーンを備えてもよい。

コンピュータプログラムは、コンピュータによって実行可能な命令を含むことができ、命令は、上記のシステムに、本方法を実行させるための手段を含む。プログラムは、システムのメモリを含む任意のデータ記憶媒体に記録可能であってもよい。プログラムは、例えば、デジタル電子回路で、またはコンピュータハードウェア、ファームウェア、ソフトウェアで、またはそれらの組み合わせで実行されてもよい。プログラムは、装置として、例えば、プログラマブルプロセッサによる実行のための機械可読記憶デバイスにおいて有形に具現化される製品として実装され得る。方法ステップは、入力データに対して動作し、出力を生成することによって、本方法の機能を実行するための命令のプログラムを実行するプログラマブルプロセッサによって実行され得る。したがって、プロセッサは、プログラム可能であり、データ記憶システム、少なくとも１つの入力デバイス、および少なくとも１つの出力デバイスからデータおよび命令を受信し、命令を送信するように結合され得る。アプリケーションプログラムは、高水準手続き型プログラミング言語またはオブジェクト指向プログラミング言語で、あるいは必要に応じてアセンブリ言語または機械語で実行することができる。いずれの場合も、言語は、コンパイルされた言語または解釈された言語とすることができる。プログラムは、完全インストールプログラムまたは更新プログラムであってもよい。システム上でのプログラムの適用は、いずれの場合も、本方法を実行するための命令をもたらす。
「３Ｄモデル化オブジェクトの設計」は、３Ｄモデル化オブジェクトを作成するプロセスの少なくとも一部である任意のアクションまたは一連のアクションを指定する。したがって、本方法は、スクラッチから３Ｄモデル化オブジェクトを作成することを含むことができる。あるいは、本方法は、以前に作成された３Ｄモデル化オブジェクトを提供することと、次いで、その３Ｄモデル化オブジェクトを修正することを含むことができる。

本方法は、製造プロセスに含まれてもよく、製造プロセスは、本方法を実行した後に、モデル化オブジェクトに対応する物理的製品を製造することを含んでもよい。いずれの場合も、本方法によって設計されたモデル化オブジェクトは、製造オブジェクトを表すことができる。したがって、モデル化オブジェクトは、モデル化された立体（すなわち、立体を表すモデル化オブジェクト）とすることができる。製造オブジェクトは、部品または部品のアセンブリなどの製品であってもよい。本方法は、モデル化オブジェクトの設計を改善するので、製品の製造も改善し、したがって製造プロセスの生産性を高める。

実際、本方法は、３次元であるモデル化オブジェクトを設計する。したがって、本方法は、立体モデリングのためのものであり、すなわち、本方法は、一度製造された現実世界におけるような３Ｄにおける機械部品を表す立体（例えば、３Ｄ閉容積）をもたらす。したがって、本方法は、産業界では決して製造されないオブジェクトの単なる２Ｄ設計を実行するのではなく、３Ｄ機械部品を表す立体を出力し、この出力は製造プロセスの後続のステップ（例えば、さらなる設計アクション、試験、シミュレーション、および／または製造）で使用するのに適しているので、製造ＣＡＤの分野に属する。

本方法は、物理的特性に関して異方性挙動を有する材料に形成された機械部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計するためのものである。

物理的特性は、任意の物理的特性であってよい。例えば、物理的特性は、剛性、強度、安定性、堅牢性、動力学、熱／熱伝導、磁気／磁場、電気伝導、誘導体、多孔質媒体中の拡散または流れのいずれか１つであってもよい。

機械部品を形成する材料は、物理的特性に関して異方性挙動を有し、すなわち、材料の物理的特性は、方向に依存する（すなわち、方向に応じて変化する）。すなわち、物理的特性は、異なる方向から測定されると変化する。異方性挙動は、直交異方性挙動であってもよく、すなわち、材料は３つの直交対称面を有し、材料の物理的特性は、３つの主方向に沿って異なる。材料は、簡潔にするために、単に「異方性材料」と呼ばれることがある。

物理的特性が剛性である例では、材料の剛性が方向依存性である場合、材料は剛性に対して異方性挙動を有する。言い換えれば、材料の剛性は、材料が測定される方向に応じて同じではない。材料が剛性に対して直交異方性挙動を有する場合、材料は、より大きい剛性の方向を含む、３つの主な／主要剛性方向を有する。

物理的特性が熱／熱伝導である例では、材料は、材料内の熱／熱伝導が方向依存性であるとき、熱／熱伝導に対して異方性挙動を有する。すなわち、熱伝導は、方向によって異なる。材料が熱／熱伝導に対して直交異方性挙動を有する場合、材料は、より大きな熱／熱伝導の方向を含む、熱／熱伝導の３つ主な／主要方向を有する。

物理的特性が多孔質媒体中の流れである例では、材料は、材料内の流れが方向依存性であるとき、流れに対して異方性挙動を有する。すなわち、流体は、方向に応じて、異なって材料を通って流れる。材料が流れに対して直交異方性挙動を有する場合、材料は、より大きな方向を含む３つの主な／主要流れ方向を有する。

機械部品は、異方性材料に形成された任意の機械部品、例えば、複合材料または積層体で形成された自動車部品または航空宇宙部品であってもよい。例示的に、機械部品は、連続繊維製造部品／構造体である。これらの例の例では、機械部品は、特に、連続繊維３Ｄ印刷、連続繊維巻回、または連続繊維テープ敷設によって製造された連続繊維構造であってもよい。このような機械部品は、自動車、風力、航空宇宙および消費財などの産業に広く存在する。図２から図４は、そのような機械部品の例を示す。図２は、連続繊維３Ｄ印刷によって製造された連続繊維構造を示す。図３は、連続繊維巻回によって製造された連続繊維構造体を示す。図４は、連続繊維テープ敷設によって製造された連続繊維構造体を示す。

本方法は、配向最適化によって３Ｄモデル化オブジェクトを設計するためのものである。「配向最適化によって」とは、本方法が配向場の最適化を含むことを意味する。したがって、配向場の最適化は、以下では単に「配向最適化」と呼ぶことがある。したがって、本方法は、例えばユーザ対話を介して、配向最適化への入力を提供することを含む。

配向最適化の入力は、簡潔にするために、３Ｄ ＦＥＭとも呼ばれる３Ｄ有限要素メッシュを含む。３Ｄ ＦＥＭは、設計される３Ｄモデル化オブジェクトを含む空間を表す。３Ｄ ＦＥＭは規則的であっても、不規則であってもよい。規則的な３Ｄ ＦＥＭは、配向最適化中の、より容易な計算を可能にする。３Ｄ ＦＥＭは、例えば、各有限要素が四面体または六面体である任意のタイプのものであってもよい。３Ｄ ＦＥＭを提供することは、設計空間および設計空間のメッシュ化を定義することを含むことができる。本方法は、３Ｄ ＦＥＭをユーザに表示することと、ユーザによって、例えば表示されたＦＥＭ上でのグラフィカル・ユーザ対話を含む、トポロジ最適化の他の入力を定義することを含むことができる。

要素を定義することに対する「グラフィカル・ユーザ対話」とは、本明細書では、設計者が触覚システム（例えば、マウス、または感知／タッチスクリーンもしくは感知／タッチパッドなどのタッチデバイス）を使用して、ディスプレイユニットの１つまたは複数の位置および要素が配置される場所をアクティブ化する任意のユーザ対話を意味する。シーンの位置をアクティブ化することは、その上にマウスのカーソルを配置すること、またはその上でタッチを実行することを含むことができる。起動後に実質的にリアルタイムで、定義された要素の表現を表示することができる。

配向最適化の入力はさらに、ＦＥＭに関連付けられ、ユーザが設計したい機械部品に依存するデータを含む。

これらの関連付けられたデータは、材料に関連するパラメータ、言い換えれば、機械部品が形成される材料を表すデータを含むことができる。これらの材料パラメータは、特に、材料の物性、例えば、物理的特性に関する材料の特性を表すことができる。材料パラメータは、例えば、物理的特性に関する材料の構成法則に関連し得る。例えば、材料パラメータは、構成法則に関連する任意の物理量を含むことができる。例示的に、ユーザは、例えばリストからの選択によって材料（例えば、木材、ガラス繊維、炭素繊維、セラミックマトリックス材料またはアルミナマトリックス材料などの積層体および／または複合材）を指定することができ、および／またはシステムは、例えば１つまたは複数の式および／またはデータベースに基づいて、材料パラメータを自動的に決定し、および／または、その選択をユーザに提案することができる。

構成法則は、材料の異方性挙動を表す構成関係を提供する行列

である。構成関係は、次のように表すことができる。

ここで、

および

は、それぞれが構成関係に関与する物理量を表す２つのベクトルである。

物理的特性が剛性である例では、構成法則

は剛性行列であり、ベクトル

および

は、力学の分野からそれ自体知られているように、それぞれがストレスおよび歪みを表す。

は、それ自体力学の分野から知られているように、ヤング率、ポアソン比、およびせん断弾性率に依存する。材料パラメータは、これらの弾性率および比を含むことができる。これらの例では、異方性挙動は直交異方性挙動であり、行列

は、以下の行列の逆行列として定義される。

ここで、

は方向

におけるヤング率であり、

は、方向

および方向

との間のポアソン比であり、

は方向

と方向

との間のせん断弾性率である。

物理的特性が電気伝導である例では、構成法則

は電気伝導度であり、ベクトル

および

は、電気の分野からそれ自体知られているように、それぞれ電場および電流を表す。

物理的特性が誘電体である例では、構成法則

は電気誘電率であり、ベクトル

および

は、電気の分野からそれ自体知られているように、それぞれ電場および電気変位を表す。

物理的特性が磁気である例では、構成法則

は磁気透過性であり、ベクトル

および

は、磁気の場からそれ自体が知られているように、それぞれ磁場および磁気誘導を表す。

物理的特性が熱伝導である例では、構成法則

は熱伝導性であり、ベクトル

および

は、熱工学の分野からそれ自体知られているように、それぞれ温度勾配および熱流速を表す。

物理的特性が拡散である例では、構成法則

は拡散率であり、ベクトル

および

は、拡散の分野からそれ自体知られているように、それぞれ濃度勾配および粒子流束を表す。

物理的特性が多孔質媒体中の流れである例では、構成法則

は流体透過性であり、ベクトル

および

は、流体力学の分野からそれ自体知られているように、それぞれ圧勾配および加重流束を表す。

関連付けられたデータは、大域的な量制約をさらに含むことができる。大域的な量制約は、３Ｄ ＦＥＭ内の材料の大域的な量に対するものである。言い換えれば、大域的な量制約は、３Ｄ ＦＥＭ全体における材料の総量の値を制限する。大域的な量制約は、例えば、材料で充填することができる（全体の）３Ｄ ＦＥＭの部分の境界、例えば前記部分の上限として提供することができる。あるいは、大域的な量制約は、境界ではなく、到達しなければならない値を提供することができる。しかしながら、配向最適化は、最適化された結果において利用可能な限り多くの材料を使用する傾向がある目的関数を最適化することができ、そのような等式制約を上限制約と等価にする。全ての場合において、割合は、体積分率（「大域的な体積制約」のように、そのような場合にはＧＶＣとも呼ばれる）であってもよい。他の例では、大域的な量制約は、材料の重量を表す値を含むことができる。

３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータは、機械部品の使用条件を表すデータを含み、それに基づいて、配向最適化は、そのような予測される使用を考慮して、機械部品モデルを形成する材料の物理的特性の配向を最適化することができる。

関連付けられたデータは、特に、複数の荷重ケースを形成する複数の力を含む。言い換えれば、関連付けられたデータは、それぞれが適用可能であり、３Ｄ ＦＥＭの１つまたは複数の有限要素にリンクされたベクトル（例えば、ニュートン単位またはその倍数単位の大きさを有する）を含む。これらの力は、使用時に機械部品が受ける荷重を部分的に表す。言い換えれば、それぞれの力がデータ内に存在する３Ｄ ＦＥＭの１つまたは複数の有限要素ごとに、データは、前記１つまたは複数の有限要素に対応する位置における機械部品の材料が対応する荷重を受けることになるという事実を表す。しかし、機械部品は理論的には無限数の荷重を受けることがあるので、すべての荷重がデータに存在する力によって表されるわけではない。力は、例えば最も重要な荷重および／または最も代表的な荷重など、荷重の集合全体の制限を表すだけである。力は、各モデリング問題に対して決定されてもよく、物体がその寿命の間に受けることができる最大の（すなわち、最大の大きさの）力であるように選択されてもよい。なぜなら、これらの力は、構造に対して最も重要な影響を有する傾向があり、例えば、最大の変形および機械的応力を引き起こすからである。複数の力は、複数の荷重ケースを形成し、すなわち、力は、荷重ケースと呼ばれる１つまたは複数の力の集合にグループ化される。ＣＡＤ製造の分野からそれ自体知られているように、荷重ケースは、機械部品に同時に加えられる１つまたは複数の力の集合である。力は、２つ以上の集合が存在するときに複数の荷重ケースを形成し、これらの力のうちの１つ以上の各々は、機械部品に同時に印加されず、互いに蓄積／補償することができない。例示的に、ユーザは、グラフィカル・ユーザ対話を介して、３Ｄ ＦＥＭの有限要素を選択し、次いで、それに適用可能な力を指定することができる。

関連付けられたデータは、境界条件も含む。境界条件は、３Ｄモデル化オブジェクトの境界に対する制約である。各境界条件は、メッシュの１つまたは複数の有限要素に適用され、リンクされ、機械部品が使用中に受ける境界に対するそれぞれの制約を表す。言い換えれば、各境界条件は、前記１つ以上の有限要素に対応する位置における機械部品の材料が、例えば、ディリクレ境界条件を用いて、その変位に対する制約を受けるという事実を表す。要素は、（とりわけ）平面に沿って、曲線に沿って、軸に沿って／軸の周りに、または点の周りに拘束されたその変位を有してもよく、かつ／あるいは、その変位は、並進のみ、回転のみ、および並進および回転の両方において拘束されてもよい。並進および回転の両方において点に制約される変位の場合、要素は、３Ｄ空間内で固定され、「クランプされる」と言われる。しかしながら、要素は、平面に沿った並進に拘束されるが、前記平面上で自由に移動する（例えば、軸受上に取り付けられた物体に属する場合）、軸に沿った並進に拘束されるが、前記軸上で自由に移動する（例えば、ピストン内で）、または軸の周りの回転に拘束される（例えば、ロボットアームの関節）変位を有していてもよい。

物理的特性が熱伝導である例では、有限要素解析（ＦＥＡ）は、部品内の各要素の温度を予測する。これらの例では、境界条件は、要素の部分集合を所与の温度にロックすることであり得、したがって、一般に「ヒートシンク」と呼ばれるものとして作用する。これらの例の一例は、使用中の電気部品の温度をシミュレートする場合である。構成要素内のマイクロプロセッサは、構成要素内で拡散し、ヒートシンクで「排気」される熱を生成する。なお、境界条件が要素の変位を制約する剛性と同様に、熱伝導において、境界条件は要素の温度を制約する。

例示的に、境界条件は、すべての制約された境界を表す。言い換えれば、（例えば、固定されたままであるように）制約される材料を最終的に含むことが意図される３Ｄ ＦＥＭの各有限要素に対して、境界（例えば、クランプ）条件が、配向最適化においてこの事実を統合するために関連付けられ得る。例示的に、ユーザは、グラフィカル・ユーザ対話を介して３Ｄ ＦＥＭの有限要素を選択し、次いで、境界条件がそれに適用可能であることを指定することができる。

例示的に、機械部品の１つまたは複数の制約された境界は、１つまたは複数の固定された境界（すなわち、前記１つまたは複数の境界における材料は移動することができない）を含むか、またはそれからなり、対応する１つまたは複数の境界条件はクランプ条件である。

配向最適化は、入力に基づいて、目的関数に対して３Ｄ有限要素メッシュ上に分布する配向場を（例えば自動的に）最適化する。「入力に基づいて」とは、最適化が、配向場を最適化するときに、３Ｄ有限要素メッシュおよび３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータを含む入力を考慮することを意味する。例えば、最適化は、最適化された配向場の配向が、力の支配的な方向と整列する傾向があるように、複数の力を考慮する。本方法は、目的関数自体を最適化することができ、すなわち、自由変数として配向場を有する目的関数に関する最適化問題を解くことができる。最適化問題は、例えば、制約に関して目的関数を最小化することにある。配向場は、それぞれがメッシュの有限要素上にある一組の配向であり、配向は、例えば一組の（例えば２つの）方向変数（例えば角度）からなる。配向場は、３Ｄ要素メッシュの各有限要素が配向を含むという点で、３Ｄ有限要素メッシュ上に分布する。したがって、配向場は、３Ｄ有限要素メッシュ上にベクトル場を形成する。配向場は、材料の物理的特性の配向の場を表す。

配向最適化は、目的関数に関して、配向場を最適化する。目的関数は、有限要素上の配向に依存し（すなわち、その関数であり）、配向最適化は、配向を修正することによって関数の値を最適化する（例えば、最小化する）。目的関数は、物理的特性に関して最適化されるべき任意の物性を表すことができる。

例えば、物理的特性が剛性である場合、目的関数は、剛性の逆数である、機械部品のコンプライアンスを表すことができる。コンプライアンスは、特定の荷重ケースおよび固定化された境界条件を考慮して、構造の変形量を包含する。したがって、最適化がコンプライアンスを最小にするとき、これは所与の質量に対する設計の剛性を最大にすることに対応する。このような場合、本方法は、連続的である傾向があり、配向が力の支配的な方向と整列するような最適化された配向場を決定することができる。この結果、機械部品は、加えられる荷重ケースに応じて、改善された剛性性能を示す。

物理的特性が熱伝導である他の例では、関数は熱伝導率であってもよい。熱伝導率は、特定の荷重ケースおよび固定された境界条件を考慮して、構造内の熱拡散の量を包含する。最適化は、そのような例において、熱伝導率を最大化する傾向がある。言い換えれば、本方法は、連続的である傾向があり、配向が温度勾配方向と整列する傾向がある配向場をもたらす。この結果、機械部品は、特定の配向に熱を拡散する。これらの例の例では、配向場の最適化は、機械部品の温度を下げるために熱拡散を最大にする。これは、電気部品が過熱するのを防ぐのに有用であり得る。

目的関数は、物理的特性に関して配向連続性に報酬を与える。言い換えれば、目的関数の値を最適化する（例えば、最小化する）傾向があるように配向を修正することは、配向場が物理的特性に関して連続的である傾向があるという結果をもたらす。「連続的」とは、ベクトル場である配向場が、特定の連続性、例えばＧ１連続性を有するか、または少なくとも有する傾向があることを理解されたい。Ｇ１連続性の概念は、数学の分野から知られており、これ以上は詳述しない。言い換えれば、材料の物理的特性の配向は、目的関数の値を最適化するときに連続配向場を形成する傾向がある。

目的関数の自由変数は、前述のように、３Ｄ ＦＥＭ上に分布した向きを表す変数を含む。したがって、配向最適化は、配向を表す変数を修正することによって、目的関数を最適化するために３Ｄ ＦＥＭの各有限要素における配向を変化／修正する。したがって、配向最適化は、修正された配向によって形成される配向場をもたらし（例えば、出力し）、配向場は、前述のように、連続的であり、力の支配的な方向と整列する傾向がある。目的関数の自由変数は、３Ｄ ＦＥＭにわたる材料の量（例えば、体積分率）の分布（すなわちレイアウト）をさらに含むことができる。最適化は、そのような場合、目的関数を最適化するためにメッシュの各有限要素における材料量（例えば、体積分率）を変化させてもよい。あるいは、３Ｄ ＦＥＭにわたる材料の量の分布は、自由変数の代わりに目的関数の固定変数であってもよい。そのような場合、最適化は、有限要素上の配向のみを変化させ、有限要素内の材料量を変化させなくてもよい。目的関数は、材料パラメータに依存し得て（すなわち、目的関数の固定変数は、材料パラメータを含み得る）、最適化は、大域的な量制約を含む制約下で実行され得る。配向最適化の自由変数は、「設計変数」とも呼ばれる。

配向最適化は、いずれの場合も、任意のアルゴリズム、例えば反復アルゴリズムに従って実行され得る。本方法は、例では、最適化された配向場、例えば、材料の分布に基づいて、境界条件（Ｂ−Ｒｅｐ）モデルなどの３Ｄモデル化オブジェクトを（例えば、自動的に）計算することをさらに含むことができる。例えば、本方法は、最適化から得られた一連の有限要素に基づいて、およびそれに沿って、掃引容積を計算することができる。そのような３Ｄモデル化オブジェクトは、材料の物理的特性の最適化された配向、すなわち、連続配向場を形成する傾向があり、力の支配的方向と整列する傾向がある配向を有する機械部品を表す。

本方法は、一般的な最適化オリエンテーションワークフローのステップを統合することができ、そのようなステップは、一般的なトポロジ最適化ワークフローの例を通してここで説明される。

配向最適化シナリオの仕様を示す図５に示されるように、一般的な配向最適化ワークフローは、入力として、設計空間５２（ここでは、小さな正方形要素に細分される）と、図５に一例５４が示される１組の荷重ケースと、境界条件５６（ここでは、設計空間５２の左側全体で、設計が変形のために制約される、例えば「クランプされる」位置）とを必要とする。前述のように、追加のパラメータを定義することができる。

配向最適化の目標が（設計空間である）空のキャンバスから最適化された設計を生成することである場合、設計ワークフローは、設計空間定義以外から初期ジオメトリの提供を除外することができる。あるいは、設計ワークフローは、モデル化オブジェクトの初期ジオメトリの提供を含むことができる。初期ジオメトリは、例えば、トポロジ最適化から生じてもよく、配向最適化の目標は、この場合、トポロジ的に最適化された初期ジオメトリに対して物理的特性の配向を最適化することである。

一般的なトポロジ最適化ワークフローの出力は、物理的特性の配向が入力仕様に可能な限り適合する３Ｄモデル化オブジェクトのジオメトリである。

図６に示すように、一般的な配向最適化ワークフローは、例示的に、以下に説明する９つのステップに従うことができる。

１．設計空間のメッシュ化
図５に示すような、設計空間の離散化を作成する。これは、空間を小さな単純な連結要素、例えば四面体、六面体に細分することを意味する。これらの小さな要素は、後に、シミュレーションのための有限要素メッシュとして、および最適化のための設計変数としての両方の役割を果たす。

２．荷重ケースおよび境界条件を適用する
ここで、一般的な配向最適化ワークフローは、所与の入力仕様に対して複数の力およびクランプされた境界条件を取り、それらを３Ｄ ＦＥＭのノードに適用することができる。図５は、設計空間が規則的に正方形要素に細分されるメッシュを示す。左側のノードをクランプし（３Ｄ空間に固定し）、設計空間の中央右側に下向きの力を加える。

３．設計変数を初期化する
各要素は、要素上の材料の物理的特性の配向を規定する所与の配向を有する。配向は、材料の物理的特性の１つ以上の向きの仕様を含んでもよい。異方性挙動が直交異方性挙動である場合、仕様は、材料の物理的特性の主方向を記述する角度からなり得る。図７は、設計空間７２が規則的な正方形要素に分割されるメッシュを示す。左側のノード７６がクランプされ、下向きの力７４が設計空間の中央右側に加えられる。図７は、初期化された配向場７８をさらに示し、各配向は、対応する有限要素上の矢印によって表される。各要素は、それぞれが値「０」および「１」によって定義される、要素が空であるか材料で満たされているかを定義する所与の相対密度値を有する。一般的なトポロジ最適化ワークフローは、要素が０と１の間の任意の値を取ることを可能にし得る。これは、しばしば緩和と呼ばれる。

４．平衡を解く
この時点で、一般的な配向最適化ワークフローは、力および境界条件でメッシュ化され、取り付けられる完全に定義化された有限要素モデルを有することができ、各要素は配向および相対密度値を有する。それによって、一般的な配向最適化ワークフローは、材料の構成法則を包含する大域的な物理的特性行列を組み立て、配向平衡のノード変位を解くことができる。言い換えれば、一般的な配向最適化ワークフローは、印加された力および境界条件について、その現在の状態における構造の配向場を計算することができる。

５．目的関数値および導関数を計算する
配向最適化において使用され得る目的関数は、構成法則に基づき得る。そのような関数は、物理的特性に関する構造の物理的性能を捕捉し、複数の力を、この物理的特性に関する構造に対するそれらの効果と結びつける。さらに、プロセスにおける多数の設計変数により、最適化は勾配ベースの方法で実行されてもよい。したがって、一般的な配向最適化ワークフローは、各設計変数に関する目的関数の導関数を計算することもできる。一般的な配向最適化ワークフローは、物理的特性に関する機械部品の物理的性能を改善し、制約を満たすために、各要素の相対的な配向をどのように変更すべきかを計算することができる。これは、周知かつ古典的な「随伴感度解析」を用いて行うことができる。さらに、導関数が計算された後、これらの導関数は、数値的安定性を改善するためにフィルタリングによって平滑化され得る。一般的な配向最適化ワークフローは、誤ったチェッカーボードパターンを低減し、最適化に長さスケールを導入して、よく定義されるようにすることができる。

６．制約値および導関数を計算する
一般的な配向最適化ワークフローにおける制約関数は、構造の大域的な体積分率を含むことができる。このようなＧＶＣは、使用可能な最大材料体積、したがって設計を構成する材料の最大質量を規定する。したがって、オプティマイザは、設計空間における、この質量に対する物理的特性の最適化された配向場を見出さなければならない。体積は方向には依存しないので、配向変数に関するこの制約の導関数は０である。密度に関するこの制約の導関数は、要素体積に等しく、要素のサイズが等しい場合、導関数は、各要素に対して一定であり、したがって計算するのが容易である。

７．数学的プログラミングを用いて設計変数を更新する
目的関数および制約の値ならびにそれらの導関数が既知である場合、一般的な最適化ワークフローは、勾配ベースの数学的プログラミングを使用して、各要素上の相対配向を修正し、指定された制約に違反することなく、配向場の連続性を改善することができる。この問題に対して、最も単純で最も一般的に使用される数学的プログラミングは、いわゆる最適性基準（ＯＣ）である。より一般的な数学的プログラミングは、ＭＭＡ（Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｍｏｖｉｎｇ Ａｓｙｍｐｔｏｔｅｓ、最初に、Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｍｏｖｕｌｉｎｇ ａｓｙｍｐｔｏｔｅｓ-ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ“， Ｋｒｉｓｔｅｒ Ｓｖａｎｂｅｒｇ， Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏｒ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｆｅｂｒｕａｒｙ １９８７，に記載され、参照により本明細書に組み込まれる）である。ＭＭＡは、特に、複数の非線形制約を扱うことができ、これにより、本方法の場合に特に効率的になる。しかしながら、他の数学的プログラミングアルゴリズムも使用することができる。各要素の相対的な配向が数学的プログラミングによって修正され、最適化プロセスにおける所与の修正された設計がまだ収束していない場合、ステップ４にループバックする。

８．計算変数の様々なフィルタリング
設計変数をフィルタリングすることは、設計変数を正則化する、すなわち設計変数の連続性および／または規則性を改善するのに適した任意に方法を指定する。フィルタリングは、設計変数の更新中に、すなわちステップ７において、例えば数学的プログラミングの各反復において実行されてもよい。代替的にまたは追加的に、フィルタリングは、ステップ７の後、すなわち設計変数が更新された後に実行されてもよい。

９．最終設計を出力する
収束が達成されると、一般的な配向最適化ワークフローは、各要素が最適化された相対的な配向を有する設計空間において、最終的な設計を提示することができる。ここで、一般的な配向最適化ワークフローは、一般的な配向最適化ワークフローの出力である、最適化された設計のジオメトリを提示することができる。

本方法による配向場の最適化は、この一般的な配向最適化ワークフローのすべてのステップ、またはそれらの少なくとも一部を実施することができる。

例示的に、目的関数では、３Ｄ ＦＥＭ上で定義された角度変数に依存する。すなわち、目的関数は、角度関数の関数である。角度変数は、３Ｄ ＦＥＭのそれぞれの要素上のそれぞれの物理的特性の配向を記述する。言い換えれば、角度変数は、（例えば２つの）角度の集合を形成し、配向場の各配向は、この角度の集合（すなわち、角度の値からなる集合）の値に対応する。角度変数は、配向を記述する簡単で効率的な方法を形成する。これらの例を説明する。

角度変数は、それぞれ角度を記述する設計変数である。角度変数は、２つの角度を形成することができる。例示的に、特に異方性挙動が直交異方性挙動である例では、角度は、材料の物理的特性の主方向を表す。例示的に、角度変数は、一種の球面座標系を形成する。具体的には、

を、デカルト座標における所与の有限要素の配向を表すベクトルとする。３つのデカルト方向／座標軸は、材料が物理的特性に関して直交異方性挙動を有する例における材料の３つの直交異方性方向に対応し得ることに留意されたい。

は、方位角とも呼ばれる２つの角度変数

と、仰角とも呼ばれる

とによって表される。すなわち、

は、

と

の両方の関数として表される。例えば、配向は、

で表すことができる。角度変数に対する制約は、

と

の両方が、

に属さなければならないことである。デカルト座標系の一方の座標軸は、式

によって記述される。Ｙ軸をこの軸とし、この選択は純粋な慣例であり、Ｘ軸またはＺ軸も完全に選択することができる。このような場合、デカルト座標

と球面座標

との間のマッピングは、以下の関係によって表される。

（１）
図８は、角度変数

および

を有する座標系の例の表現を示す。再び図６を参照すると、本方法は、最適化プロセスのステップ３において、メッシュの各要素について角度

および

の値を初期化するステップを含むことができる。メッシュの所与の要素

において、角度は、

および

と記される。

さらに図６を参照すると、最適化プロセスのステップ４において、本方法は、角度変数を使用して目的関数を計算することができる。具体的には、一連の変換

を定義することを含むことができ、ここで、各有限要素

について、

であり、ここで

かつ

であり、また、

であり、ここで

かつ

である。

さらに図６を参照すると、ステップ４において、本方法は、各有限要素

において、以下のタイプの局所物理的特性行列

を定義することを含むことができる。

（２）
ここで、

は有限要素

における密度変数であり、ここで

はペナルティ指数であり、

（３）
であり、ここで

は有限要素の集合であり、

は形状関数導関数行列である。本質的に、この行列は、要素の挙動が、考慮される物理にかかわらず、その形状に依存するという事実を包含する。具体的には、正立方体要素は、四面体要素、またはビーム要素と同じようには挙動しない。ペナルティ指数は、０または１のいずれかの密度値を優先的に使用し、中間値（例えば、０．４）を回避する最適化方式を促進するためのトポロジ最適化における周知の技術である。そのモチベーションは、０の密度が空／空隙であり、１の密度が満たされている／中空ではないことである。しかしながら、０．５の密度は、意味のある方法で物理的に解釈することは容易ではない（すなわち、「半分満たされている」と言うのは曖昧である）。

さらに図６を参照すると、ステップ４において、本方法は、各要素について局所物理的特性行列

を累算することによって、すなわち以下の演算を実行することによって、大域的な物理的特性行列を組み立てることを含むことができる。

（４）

さらに図７を参照すると、ステップ４において、本方法は、配向平衡のノード変位について解くことを含むことができる。その目的のために、本方法は、以下のタイプの最小化問題を解くことができる。

（５）
であり、ここで
・

は、最適化の目的関数であり、
・

は、複数の力によって形成される複数の荷重ケースの集合であり、
・

は、荷重ケースであり、各

は、３Ｄ ＦＥＭのノードの数の３倍に等しいサイズの行列であり、３Ｄ ＦＥＭの各ノードに対して各方向（すなわち、各デカルト方向）に印加される荷重ケースを記述し、
・

は、ノード変位ベクトルであり、各

は、３Ｄ ＦＥＭ内のノードの数の３倍に等しいサイズの行列であり、荷重ケース

に応答した３Ｄ ＦＥＭの各ノードの各方向（すなわち、各デカルト方向）における変位を記述し、
・

は機械部品の体積であり、

は機械部品の最大許容体積であり、
・

は、ノード変位ベクトル

を、荷重ケース

を形成する力に関連付ける状態方程式である。本方法は、各荷重ケース

について、この式を解く。

さらに図６を参照すると、最適化プロセスのステップ５において、本方法は、目的関数の導関数を以下のように計算することができる。

かつ

であり、ここで

かつ

である。

角度変数については、以下のことが言える。本方法は、上述したように、複数の荷重ケースのコンテキストにおいて配向場を最適化する。これらのコンテキストにおいて、力の複数の異なる方向があり、配向は、それらのすべてと同時に整列することができない。角度変数アルファおよびシータを用いた配向問題の上述の式（５）は、配向の力の支配的な方法と整列させることを可能にする。

さらに図６を参照すると、最適化プロセスのステップ７において、目的関数が角度変数に依存する前述の例では、目的関数は非凸関数であってもよい。制約は、非凸関数であってもよい。そのような場合、最適化は、非凸の感度に基づく最適化方法を適用することを含む。非凸最適化法の適用は、ステップ７の一部である。

関数は、各要素における配向を表す角度変数に依存するので、非凸であってもよい。したがって、関数は、各角度変数に対して周期性を有する。ここで、配向最適化は、目的関数が全体的な最小値（または、問題が目的関数を最大化することである場合には、最大値）に達するように、各要素内の角度変数を変化させる。しかしながら、角度変数における関数の周期性に起因して、関数は２つ以上の極小値を有し得る。これは、ステップ７を実行するための多くの標準的な数学的プログラミング方法が、目的関数が大域的なものではなく局所的な最小値に達するまで、各要素内の角度変数を修正することができるので、ステップ７を複雑にする。したがって、これらの標準的な数学的プログラミング方法は、ステップ７を実行するのに適していない可能性がある。これは、特に、異方性挙動が直交異方性挙動である場合に当てはまり、最適化問題（１）は、そのような場合には非凸である。

しかしながら、本方法は、目的関数が大域的な最小値に達するように各要素における角度変数を変化させるために、ステップ７におけるような非凸の感度に基づく最適化方法を実行することによって、これらの困難を回避する。

最適化のための数学的プログラミングの分野からそれ自体知られているように、非凸の感度に基づく最適化方法は、角度変数に関する目的関数の導関数を含む、角度変数に沿った勾配降下を含むことができる。「感度に基づく」とは、特に、最適化が、勾配降下を実行するための角度変数に関する目的関数の導関数を計算するという事実を指す。それ自体知られているように、勾配降下は「ステップサイズ」とも呼ばれる反復ステップを有する。反復ステップは、降下が角度変数に沿っているので、本明細書では「角度反復ステップ」と呼ばれる。

例示的に、角度反復ステップは、３０度よりも大きく９０度よりも小さな値で初期化される。言い換えれば、ステップ７は、角度反復ステップを３０度より大きく９０度よりも小さい値、例えば４５度に等しいか実質的に等しい値に初期化するサブステップを含むことができる。これにより、最適化方法が目的関数の極小値をもたらすように角度変数を変化させないようにすることができる。数値実験では、角度反復ステップのためのそのような初期値が、最適化方法が目的関数の極小値をもたらすように角度変数を変化させないようにすることに寄与することを実際に示した。特に、初期角度反復ステップは、配向変数が極小値から離れて変化するのに十分大きい。

角度反復ステップは固定されてもよく、すなわち、いったん初期化されると、角度反復ステップは一度だけ設定される。あるいは、角度反復ステップは、例えば最適化方法の各反復において変化してもよい。例示的に、角度反復ステップは、最適化方法の各反復において減少する。言い換えれば、最適化は、各反復において、角度反復ステップを、例えば、それに０．９５などの固有値を乗算することによって、（例えば、自動的に）減少させることを含むことができる。例えば、反復０において角度反復ステップが４５である場合、反復１において角度反復ステップは

となり、反復２において角度反復ステップは

となり、以下同様である。すなわち、角度反復ステップは指数関数的に減少する。これにより、最適化方法は、角度変数の変動の範囲を反復的に狭めることを可能にし、その結果、角度変数は最終的には目的関数の大域的な最小値の周りで変動し、それに達する傾向がある。言い換えれば、角度反復ステップを３０度と９０度との間の値で初期化し、各反復ステップでこの値を減少させることにより、以下のことが可能になる：変化するとき、角度変数は最終的に目的関数の大域的な最小値に近づき、角度反復ステップに対するこれらの制約は、それらが大域的な最小値に近いままであり、最終的には、その大域的な最小値に達する傾向があることを確実にする傾向がある。さらに別の言い方をすれば、変化する角度変数は、非凸最適化プロセスの間は、ある極小値から別の極小値へ「ジャンプ」しない。

さらに図６を参照すると、最適化プロセスのステップ８において、最適化は、非凸感度に基づく最適化の各反復において、配向場をフィルタリングすることを含んでもよい。

配向場をフィルタリングすることは、各有限要素上の配向をフィルタリングする（すなわち、正則化する）ことを含む。言い換えれば、配向場のフィルタリングは、３Ｄ ＦＥＭの有限要素上の相対配向を正則化する。目的関数自体を最適化することは、少なくともいくつかの場合において連続的である配向場をもたらす傾向があるが、最適化された配向場が適切な連続性を特徴としない、例えば、Ｇ１連続性を特徴としないことが、他の場合で起こり得る。配向場のフィルタリングは、これを補正するか、または少なくとも補正する傾向があり、それによって、本方法の効率および堅牢性を改善する。

配向場のフィルタリングは、３Ｄ有限要素メッシュの各要素について、要素上の配向を記述する角度変数をフィルタリングすることを含むことができる。言い換えれば、配向場のフィルタリングは、配向を記述する角度変数を直接フィルタリングすることができる。これにより、角度変数において実行される非凸感度に基づく最適化方法へのフィルタリングの単純かつ効率的な統合を可能にする。フィルタリングは、３Ｄ ＦＥＭの各要素について同時に実行されてもよいことを理解されたい。

周期性および相互依存性のために、要素上の配向を記述する角度変数は、例えば、これらの変数に対する単純な畳み込み方法を使用することによって、別々に正則化することができない。例示的に、本方法は、以下のようにこの困難を回避する。角度変数のフィルタリングは、
前記角度変数を、デカルト座標で表される３Ｄ配向ベクトル上にマッピングすることと、
前記３Ｄ配向ベクトルをフィルタリングすることと、
前記フィルタリングされた３Ｄ配向ベクトルを角度変数にマッピングし直すことと、を含む。

角度変数を３Ｄ配向ベクトルにマッピングすることは、要素上の配向を記述する角度変数の集合を、例えば関係（１）の集合に従って、デカルト座標で表される３Ｄベクトルに変換することを含む。デカルト座標で表される３Ｄ配向ベクトル上に角度変数をマッピングすることは、デカルト座標が角度変数の周期性または相互依存性を特徴としないので、３Ｄ配向ベクトル上で任意のタイプのフィルタリング／正則化を実行することを可能にする。したがって、３Ｄ配向ベクトルをフィルタリングすることは、デカルト座標において配向場を形成する配向ベクトルの相対的連続性を改善するための任意の適切な方法によって実行され得る。３Ｄ配向ベクトルは、フィルタリングされると、角度変数にマッピングし直される。フィルタリングされた３Ｄ配向ベクトルを角度変数にマッピングし直すことは、フィルタリングされた３Ｄ配向ベクトルを、例えば関係（１）の集合に従って、角度変数の集合に変換することを含む。角度変数のこの集合は、最適化方法の後続の反復において使用するために、要素上のフィルタリングされた配向を記述する。

例示的に、３Ｄ配向ベクトルのフィルタリングには、他の３Ｄ配向ベクトルの線形結合を計算することを含む。線形結合における他の各３Ｄ配向ベクトルの寄与は、他の３Ｄ配向ベクトルに対応する有限要素メッシュの要素と、上記３Ｄ配向ベクトルに対応する有限要素メッシュとの間の距離の減少関数である。

他の３Ｄ配向ベクトルは、上記３Ｄ配向ベクトルが、それに相対的にフィルタリングされる、３Ｄ配向ベクトルの任意の集合であり得る。例えば、他の３Ｄ配向ベクトルは、すべての他の３Ｄ配向ベクトル、すなわち、それぞれが、配向が上記３Ｄ配向ベクトルに対応する有限要素以外の有限要素における配向を表すすべての３Ｄ配向ベクトルを含んでもよい。他の３Ｄ配向ベクトルは、また、上記３Ｄ配向ベクトルを備え得る。それ自体知られているように、ベクトルの線形結合では、各ベクトルは、「重み」または「係数」と呼ばれることもある寄与を有する。ここで、各他の３Ｄ配向ベクトルの寄与は、他の配向ベクトルに対応する有限要素メッシュの要素（すなわち、デカルト座標における配向が他の３Ｄ配向ベクトルによって表される要素）と、上記３Ｄ配向ベクトルに対応する有限要素メッシュの要素（すなわち、デカルト座標における配向が上記３Ｄ配向ベクトルによって表される要素）との間の距離の減少関数である。言い換えれば、他の３Ｄ配向ベクトルに対応する要素が上記３Ｄ配向ベクトルに対応する要素に近いほど、他の３Ｄ配向ベクトルは線形結合に、より多く寄与する。さらに言い換えると、上記３Ｄ配向ベクトルのフィルタリングは、上記３Ｄ配向ベクトルを他の３Ｄ配向ベクトルの線形結合に変更し、ベクトルが上記３Ｄ配向ベクトルに近いほど、線形結合に寄与する。

距離は、任意の距離、例えば３Ｄユークリッド距離であってもよい。例示的に、減少関数は、所定の半径と距離との間の差を定量化し、これは、３Ｄ配向ベクトルをフィルタリングする特に単純かつ効率的な方法である。半径は、機械部品を製造するための製造プロセスが取り扱うことができる長さスケールに依存し得る。「所定の」とは、半径が、ユーザによって、例えば、事前に（すなわち、本方法の初期段階で）、例えば、製造考慮事項（例えば、機械部品の組み立て、制御および／または検査の容易さ）に基づいて設計されることを意味し得る。あるいは、所定の半径は固定されてもよく、すなわち、所定の半径は、本方法の変更不可能なパラメータを形成してもよい。代替的にまたは追加的に、所定の半径は、１．５要素よりも大きくてもよく、２要素よりも大きくてもよく、または３要素よりも大きくてもよい。「１．５（または２、または３）要素よりも大きい」とは、３Ｄ ＦＥＭの要素が同一であり、すべて同じサイズを有し、半径がこのサイズの１．５（または２、または３）より大きいことを意味し得る。あるいは、３Ｄ ＦＥＭの要素は異なるサイズを有してもよく、その場合、「１．５（または２、または３）要素よりも大きい」とは、「３Ｄ ＦＥＭの要素の平均サイズの１．５（または２、または３）よりも大きい」ことを意味してもよい。

次に、３Ｄ配向ベクトルのフィルタリングの例について説明する。

を、３Ｄ ＦＥＭのｉ番目の要素上の角度変数の

へのマッピングから得られるデカルト座標における３Ｄ配向ベクトルとする。

のフィルタリングは、フィルタリングされたベクトル

を線形結合として計算することを含み、

（６）
であり、ここで、

は３Ｄ ＦＥＭにおける有限要素の数であり、

は、他の３Ｄ配向ベクトルであり、

を含み、すべての

について、

は、線形結合における

の寄与である。

は、次式で表される。

（７）
ここで、

は所定の半径であり、

は３Ｄ ＦＥＭのｉ番目の要素とｊ番目の要素との間のユークリッド距離であり、

はユークリッド距離がＲよりも厳密に小さい３Ｄ ＦＥＭの有限要素の集合である。

前述のように、本方法は、トポロジ最適化のコンテキストで実行され得る。これについて、さらに説明する。

例示的に、本方法は、トポロジ最適化によって既に最適化されている３Ｄモデル化オブジェクトに対して実行され得る。これらの例を説明する。

例示的に、３Ｄ ＦＥＭの提供は、モデル化オブジェクトの初期ジオメトリの提供を含み、前記ジオメトリは、事前に、すなわち本方法の前に実行されたトポロジ最適化から得られる。本方法は、このトポロジ最適化を実行することを含んでも、含まなくてもよい。例えば、初期ジオメトリの提供は、トポロジ最適化を実行することを含むことができる。あるいは、初期ジオメトリの提供は、初期ジオメトリがトポロジ最適化の後に記憶された（例えば、離れた）メモリから初期ジオメトリを取り出すことを含むことができる。

工業設計の分野からそれ自体知られているように、トポロジ最適化は、製品設計および物理シミュレーションの分野を橋渡しするコンピュータによって実行される技術である。本方法は、使用中に荷重を受け、１つまたは複数の制約された境界を有する、材料に形成された機械部品を表すモデル化オブジェクトを設計するために適用される。この技術は、有限要素解析（ＦＥＡ）によって典型的にシミュレートされる物理的特性および挙動を修正することに基づいて、最適化された生成設計を自動的に生成することに焦点を当てている。より具体的には、トポロジ最適化は、例えば、設計空間を小さな要素に離散化することによって有限要素メッシュ（ＦＥＭ）を提供し、メッシュに関連付けられたデータを提供することで機能する。次に、この技術は、所与の（例えば設計の剛性に関連する）目的関数、および（例えば、許容可能な材料の総量に関連する）１組の制約に関して最も効率的な要素を反復的に見つけることによって、所与の離散空間における材料の最適化された分布およびレイアウトを見つける。

図９は、トポロジ最適化を示す。図９は、反復トポロジ最適化プロセス中に最適化される設計を示し、最適化プロセス中の設計進化を示す。図９は、初期設計９２、５回の最適化反復後の設計９４、１０回の最適化反復後の設計９６、および２５回の最適化反復後の最終収束設計９８を示す。

現在説明している例では、トポロジ最適化から得られる提供された初期ジオメトリは、したがって、目的関数および制約に関して最適化された材料の分布を有する。具体的には、図６に戻って参照すると、ステップ３において、各要素の相対密度値は、トポロジ最適化から得られ、トポロジ最適化は、すべての有限要素上の材料のすべての相対密度を、これらの密度が所与の目的関数および制約の集合に対する材料の最適化された分布およびレイアウトを表す密度場を形成するように計算している。

現在説明している例では、材料の相対密度／分布は、配向最適化によって最適化された目的関数の自由変数ではない。配向のみが、この関数の自由変数を形成する。これは、ステップ４において、最適ワークフローが、密度平衡ではなく、配向平衡のノード変位を解くことを意味する。さらに、トポロジ最適化に関する所与の目的関数は、配向最適化に関する目的関数と同じであっても、なくてもよい。例えば、トポロジ最適化は、剛性を最適化することができ、一方、配向最適化は、（例えば、熱伝導に対して）異なり得るか、または剛性であり得る目的関数を最適化する。また、ステップ７において、数学的プログラミングは、各要素上の相対配向を修正するが、相対密度は修正しない。

したがって、現在説明している例では、本方法の結果は、３Ｄモデル化オブジェクトであり、３Ｄモデル化オブジェクトは、
トポロジ的に最適化されており、これはオブジェクトの材料の分布が最適化されることを意味し（すなわち、機械部品に加えられる力に対して最適化された剛性を確保する傾向があり）、そして
最適化された配向場を有し、これは材料の物理的特性の配向場が、前述のように、連続的であり、複数の力に適合する傾向があることを意味する。

他の例では、本方法は、前述した配向最適化とトポロジ最適化の両方を実行する。それにも関わらず、最適化は、簡潔にするために依然として「配向最適化」と呼ばれるが、そのような例では、本方法は、配向最適化およびトポロジ最適化を介して３Ｄモデル化オブジェクトを設計するので、「配向およびトポロジ最適化」と呼ばれることもある。これらの例では、物理的特性は機械的剛性（単に剛性と呼ばれる）であり、構成法則はコンプライアンス行列である。これらの例を説明する。

したがって、本方法は、依然として、前述のように、配向最適化に入力を提供することを含む。提供および入力は、いくつかの変形を除いて、前述のものと同一である。

例えば、材料パラメータは、機械部品の機械的特性を表すパラメータを含むことができる。材料パラメータは、例えば、材料のヤング率、および／または材料のポアソン比を含むことができる。保持されなければならない外殻、材料の機械的構成特性、目標質量、および／または最大許容変形などの追加のパラメータが含まれてもよい。

本方法は、トポロジ最適化と、配向最適化とを統合する。したがって、目的関数は、関数の任意の機械的特性を表すことができる。最適化は、特に、剛性を最大化することができる。そのためには、目的関数は、コンプライアンス関数であってもよい。コンプライアンスは、構造については、構造の剛性の逆数である。したがって、コンプライアンスは、特定の荷重ケースおよび固定された境界条件と考えられる構造の変形量を包含する。したがって、最適化プロセスがコンプライアンスを最小にするとき、これは、所与の質量に対する設計の剛性を最大にすることに対応する。したがって、現在説明している例では、目的関数の自由変数は、配向に加えて、３Ｄ ＦＥＭ全体にわたる材料の質（例えば、体積分率）の分布（すなわち、レイアウト）を含むことができる。したがって、最適化は、目的関数を最適化するために、メッシュの各有限要素における材料量（例えば、体積分率）を変化させることができる。目的関数は、材料パラメータに依存し得て（すなわち、目的関数の固定変数は、材料パラメータを含み得る）、最適化は、大域的な量制約を含む制約下で実行され得る。材料量が材料の体積分率である場合、最適化プロセスは、最適化された配向に加えて、有限要素単位の体積分率の分布をもたらす。そのような場合、最適化または本方法は、材料フィルタリングのさらなるステップ、すなわち、そのような体積分率に基づいて、各有限要素が材料で（完全に）満たされているかどうかを（例えば、自動的に）決定することをさらに含むことができる。例えば、これは、（例えば、所定の）閾値との比較（例えば、０．１または０．２よりも大きく、かつ／あるいは、０．９または０．８よりも小さく、例えば０．５程度）に基づくことができ、最適化から得られた体積分率が閾値よりも大きい（または、小さい）場合、有限要素は材料で完全に満たされている（または、完全に空である）と考えられる。

したがって、現在説明している例では、一般的な最適化ワークフローまたは本方法の結果／出力は、設計／３Ｄモデル化オブジェクトであり、設計／３Ｄモデル化オブジェクトは、
トポロジ的に最適化されており、これはオブジェクトの材料の分布が最適化されている（すなわち、複数の力に対して、最適化された剛性を確保する傾向がある）ことを意味し、そして
最適化された配向場を有し、これは材料の剛性の配向場が、前述のように、連続的であり、複数の力に適合する傾向があることを意味する。

本方法は、図６を参照して説明したように、例えば、先に説明した例のいずれか１つに従って、一般的な最適化ワークフローのステップを統合することができる。

現在説明している例では、ステップ３において、中間密度を有する要素の解釈は曖昧であり得るので、一般的なトポロジ最適化ワークフローは、中間密度を、それぞれ０または１の下限および上限を有する要素よりも構造的挙動に対して全体的に効率が低くなるように強制するペナルティ化アプローチを導入し得る。これは、図９に示されるように、連続的な定式化を依然として維持しながら、いくつかの中間密度を有する最終設計を生成するようにオプティマイザを駆動する効果を有する。

さらに図６を参照すると、ステップ４において、現在説明している例では、前に説明した大域的な物理的特性行列は剛性行列であってもよく、その場合、配向最適化は、例えば式（２）から式（４）に従って、大域的な剛性行列を組み立てる。次いで、配向最適化は、例えば最適化問題（５）を解くことによって、配向および密度平衡の両方のノード変位について解くことができる。言い換えれば、一般的な配向最適化ワークフローは、配向場と、印加された力および境界条件に対する現在の状態における構造の変形とを計算することができる。

さらに図６を参照すると、ステップ５において、現在説明している例では、目的関数は構造のコンプライアンスであってもよい。これは剛性の逆数であり、したがって、荷重ケースおよび境界条件を考慮して、構造の変形量を包含する。したがって、最適化プロセスがコンプライアンスを最小にするとき、これは所与の質量に対する設計の剛性を最大にすることになる。したがって、設計変数に関する目的関数の導関数は、配向に関する目的関数の導関数に加えて、材料の密度に関する目的関数の導関数を含むことができる。したがって、配向ワークフローは、コンプライアンスを改善し、制約を満たすために、各要素の相対的な配向および密度の両方をどのように変更すべきかを計算することができる。これは、上述したように、周知の古典的な「随伴感度分析」を用いて実行することができる。

さらに図６を参照すると、ステップ７において、現在説明している例では、最適化ワークフローは、前述のように最適化問題（５）を解くことができ、ここで

は大域的な剛性行列であり、

はローカルな剛性行列であり、

はひずみ変位行列であり、

はコンプライアンス行列である。ステップ８において、現在説明されている例による方法は、例えば式（６）および（７）に従って、前に説明されたような配向のフィルタリングを依然として実行することができる。

これらの現在説明している例の例が、ここで説明される。これらの例では、本方法は、式（１）から式（４）に従って大域的な剛性行列を組み立て、最適化問題（５）を解き、式（６）および式（７）に従って配向フィルタリングを実行する。

図１０は、これらの例のうちの第１の例を示す。具体的には、図１０は、密度場のみの最適化（ａ）と、密度場、次いで配向場の逐次最適化（ｂ）と、密度場および配向場の両方の同時最適化（ｃ）、（ｄ）、（ｅ）との間の差を示す。さらに、図１０はまた、フィルタ正則化なしで得られた結果（ｃ）と、フィルタ正則化ありで得られた結果（ｄおよびｅ）とを比較することによって、設計の製造可能性を保証するための配向フィルタリングの効果を強調する。（ｃ）では、配向フィルタリングは行われない。（ｄ）では、配向フィルタリングは、１．５要素に等しい半径で実行される。（ｅ）では、３要素に等しい半径で配向フィルタリングが実行される。半径は、円１００で表される。これは、密度設計変数および配向設計変数の両方のための設計に対して長さスケール制御を実施する、このアプローチの能力を示す。

図１１は、これらの例のうちの第２の例を示しており、本方法は、複数の荷重ケース有する工業最適化セットアップ（ａ）において、ヘリコプターフレームの構造を最適化するために使用される。フィルタによる正則化の使用は、角度繊維配向の均一性を改善し、数値的極小を防止し、製造可能性を保証する。図１１は、繊維配向フィルタリングを使用しないトポロジ的密度変形変数および繊維角度配向変数の同時最適化（ｂ）と、半径が１．５要素に等しい繊維配向フィルタリングを使用する同じ最適化（ｃ）との比較を示す。半径は、円１１０で表される。

図１２は、３Ｄ最適化問題に適用される方法の能力を示す。所与の最適化セットアップ（ａ）は、定義された設計空間に対して流線（ｂ）として示される連続繊維で最適化されるべきクワッドコプタードローンフレームに対するものである。ここで、１．５要素に等しい半径（ここでは、設計の隣の球１２０として示される）を有するフィルタリングが示される。

図１２に示す例のように、本方法は、例えば最適化後に、３Ｄモデル化オブジェクトを流線として表示することを含むことができる。この流線表示は、最適化された配向場が実際に連続的であるか、または反対に不規則であるかを検証することを可能にし、これは他の表示では不可能である。これは、図１３から図１５に示されている。図１３は、本方法によって設計されたＧＥジェットブラケットを示す。図１４は、ＧＥジェットブラケットの配向場の表示を示し、この表示は、配向場が十分に規則的であることを示す傾向がある。図１５は、同じ配向場の流線表示を示し、この表示は、配向場が強い不規則性を有する局所領域を特徴とすることを示す。

Claims (15)

1. 物理的特性に対して異方性挙動を有する材料に形成された機械部品を表す３Ｄモデル化オブジェクトを設計するための、コンピュータで実行される方法であって、
   ３Ｄ有限要素メッシュと、
   前記３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられたデータであって、
   複数の荷重ケースを形成する複数の力と、
   境界条件と
   を含むデータと、
   を提供することと、
   前記３Ｄ有限要素メッシュ上に分布する配向場を、前記物理的特性に関して配向連続性に報酬を与える目的関数に関して最適化することであって、前記３Ｄ有限要素メッシュと、前記３Ｄ有限要素メッシュに関連付けられた前記データとに基づいて最適化することと
   を含む
   ことを特徴とする方法。
2. 前記目的関数は、前記３Ｄ有限要素メッシュ上で定義された角度変数に依存し、前記角度変数は、前記３Ｄ有限要素メッシュのそれぞれの要素上の配向をそれぞれ記述する
   ことを特徴とする請求項１に記載の方法。
3. 前記目的関数は非凸関数であり、前記最適化することは、非凸感度に基づく最適化方法を適用することを含む
   ことを特徴とする請求項２に記載の方法。
4. 前記非凸感度に基づく最適化方法は、角度反復ステップを有し、前記角度反復ステップは、３０度よりも大きく９０度よりも小さい値で初期化される
   ことを特徴とする請求項３に記載の方法。
5. 前記角度反復ステップは、前記非凸感度に基づく最適化方法の各反復において減少する
   ことを特徴とする請求項４に記載の方法。
6. 前記最適化することは、前記非凸感度に基づく最適化方法の各反復において、前記配向場をフィルタリングすることを含む
   ことを特徴とする請求項３、請求項４、または請求項５に記載の方法。
7. 前記配向場の前記フィルタリングは、前記３Ｄ有限要素メッシュの各要素について、前記要素上の配向を記述する前記角度変数をフィルタリングすることを含む
   ことを特徴とする請求項６に記載の方法。
8. 前記角度変数の前記フィルタリングは、
   前記角度変数を、デカルト座標で表される３Ｄ配向ベクトル上にマッピングすることと、
   前記３Ｄ配向ベクトルをフィルタリングすることと、
   前記フィルタリングされた３Ｄ配向ベクトルを角度変数にマッピングし直すことと、を含む
   ことを特徴とする請求項７に記載の方法。
9. 前記３Ｄ配向ベクトルの前記フィルタリングは、他の３Ｄ配向ベクトルの線形結合を計算することを含み、前記線形結合における他の３Ｄ配向ベクトルの各々の寄与は、前記他の３Ｄ配向ベクトルに対応する前記３Ｄ有限要素メッシュの要素と、前記３Ｄ配向ベクトルに対応する前記３Ｄ有限要素メッシュの要素との間の距離の減少関数である
   ことを特徴とする請求項８に記載の方法。
10. 前記減少関数は、所定の半径と、前記距離との間の差を定量化する
    ことを特徴とする請求項９に記載の方法。
11. 前記所定の半径は、１．５要素よりも大きいか、２要素よりも大きいか、または３要素よりも大きい
    ことを特徴とする請求項１０に記載の方法。
12. 前記異方性挙動は直交異方性挙動である
    ことを特徴とする請求項１から請求項１１のいずれか一項に記載の方法。
13. 請求項１から請求項１２のいずれか一項に記載の方法を実行するための命令を含むコンピュータプログラム。
14. 請求項１３に記載のコンピュータプログラムを記録したコンピュータ可読記憶媒体。
15. メモリに結合されたプロセッサと、グラフィカル・ユーザ・インターフェースとを備えるコンピュータであって、前記メモリは、請求項１３に記載のコンピュータプログラムを記憶していることを特徴とするコンピュータ。

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