BRPI0820830B1

BRPI0820830B1 - método para modelar em um computador uma região física

Info

Publication number: BRPI0820830B1
Application number: BRPI0820830A
Authority: BR
Inventors: Maliassov Serguei
Original assignee: Exxonmobil Upstream Res Co
Priority date: 2007-12-14
Filing date: 2008-10-20
Publication date: 2019-08-13
Also published as: BRPI0820830A2; CA2703253A1; US20100211370A1; EP2223158A1; US8396699B2; CN101903803B; WO2009079088A1; CN101903803A; CA2703253C; EP2223158A4

Abstract

método para modelar em um computador uma região física formas de realização da invenção envolvem formar uma grade prismática e resolver um problema de difusão por convecção empregando-se a grade prismática e análise de elemento finito mista. a grade prismática pode ser formada provendo-se uma malha triangular em um plano de um modelo. a malha é então tornada áspera para produzir as células que são menos desejáveis maiores. a grade áspera é então projetada para formar a grade prismática. cada célula da grade é então atribuída uma pluralidade de graus de liberdade. a análise de elemento finito mista da grade produz uma matriz, que é então resolvida para produzir uma solução para o problema de difusão por convecção.

Description

“MÉTODO PARA MODELAR EM UM COMPUTADOR UMA REGIÃO FÍSICA” REFERÊNCIA A PEDIDO NÃO RELACIONADO [0001] Este pedido reivindica o benefício do Pedido de Patente Provisória U.S. 61/007.761, depositado em 14 de dezembro de 2007, intitulado MODELINGSUBSURFACE PROCESSES ON UNSTRUCTURED GRID, cuja totalidade é incorporada aqui por referência.

CAMPO TÉCNICO [0002] Este pedido refere-se em geral a modelagem de computador e em específico a processos de subsuperfície de modelagem com uma grade nãoestruturada.

FUNDAMENTOS DA INVENÇÃO [0003] Em exploração geológica é desejável obter-se informação referente a várias formações e estruturas que existe embaixo da superfície da terra. Tal informação pode incluir determinar estratos geológicos, densidade, porosidade, composição etc. Esta informação é então usada para modelar a bacia da subsuperfície usando-se os dados obtidos para predizer o local das reservas hidrocarbonadas e auxiliar na extração do hidrocarboneto.

[0004] As grades não estruturadas têm muitas características atrativas para modelar os processos físicos em estruturas geológicas complexas, tais como bacias de subsuperfície. Tais grades podem também ser usadas em outras indústrias, por exemplo, na indústria aeroespacial ou na indústria automotiva. A bacia ou domínio de interesse pode ser modelado ou representado como um conjunto de camadas de diferente espessuras empilhadas entre si. As camadas geológicas podem ser fraturadas ao longo das superfícies verticais ou inclinadas e degenerar-se criando os chamados “pinch-outs”. Os pinch-outs são definidos como partes de camadas geológicas com espessura quase zero. Esta complexidade deve ser considerada pela grade para produzir um bom modelo de camadas geológicas. Uma grade não estruturada provê um melhor modelo do que uma grade estruturada. Uma grade não estruturada pode compreender um conjunto de elementos poliédricos ou células definidos por seus vértices e ter uma topologia completamente arbitrária. Por

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2/36 exemplo, um vértice da grade pode pertencer a numerosas células e cada célula pode ter qualquer número de bordas ou faces.

[0005] Muitos processos de subsuperfície física podem ser descritos por equações matemáticas do tipo difusão-convecção. Exemplos de tais processos podem ser fluxo de fluido em meio poroso, distribuição de temperatura e/ou distribuição de pressão. Um processo importante para exploração de óleo é a distribuição de temperatura ou modelagem térmica. A modelagem térmica envolve o calor movendo-se do magma embaixo da crosta e através de camadas sedimentares e rocha fonte. As rochas fonte são rochas que estão envolvidas na formação de óleo e outros materiais hidrocarbonados. O óleo e/ou outros materiais hidrocarbonados seriam expelidos das rochas fonte e migrariam para outra parte. A qualidade do hidrocarboneto é determinada pelas condições de temperatura e pressão infligidas nas rochas fonte e sua área circundante. A qualidade é também afetada pelas condições de temperatura e pressão do trajeto de migração entre as rochas fonte e sua localização atual. Assim, as condições de pressão e temperatura da bacia por toda sua história é importante.

[0006] Para mais precisamente modelar os processos, é importante modelar não somente as variáveis primárias, tais como pressão ou temperatura, mas também modelar seus fluxos, ou as taxas de fluxo de energia, fluidos etc. através de qualquer dada superfície. Há uma variedade de abordagens conhecidas para modelar estes processos, tais como diferença finita, volume finito ou métodos de elemento finito. Nestas abordagens, onde um processo físico é considerado, o domínio é coberto por uma grade. Em seguida o domínio é aproximado a uma grade introduzindo-se um conjunto de incógnitas chamadas os graus de liberdade em locais específicos das células de grade e derivando-se equações algébricas para cada local que conecta o grau de liberdade naquele local com outros graus de liberdade. A maneira de derivar tais equações, bem como os locais dos graus de liberdade, é diferente para diferentes abordagens mencionadas acima, porém todos estes métodos têm um aspecto comum, isto é, eles somente envolvem variáveis primárias, tais como temperatura ou pressão.

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3/36 [0007] Para computar fluxos, uma pessoa interessada primeiro computaria a desejada variável primária empregando uma das abordagens acima descritas e então utilizaria diferenciação numérica para computar o fluxo da variável primária. Todos os métodos existentes de diferenciação numérica sendo precisos em grades reguladores, p. ex., grades retangulares ou paralelepípedo, são imprecisos e muito computacionalmente dispendiosos em grades não-estruturadas, especialmente se o domínio em que o processo físico é considerado for altamente heterogêneo. Além disso, as abordagens para resolver problemas de difusão-convecção empregando métodos de diferença finita requerem grades Cartesianas e, assim, não são aplicáveis em muitas aplicações de subsuperfície, que têm que empregar grades desestruturadas. Os métodos de elemento finito, sendo capazes de modelar geometrias complexas, não têm propriedade de conservação local e podem não ser aplicados em muitos processos de subsuperfície. Contrariamente, as abordagens de volume finito são localmente conservativas e podem ser aplicadas em um subconjunto de grades desestruturadas, que são localmente ortogonais. Entretanto, quando a grade desestruturada não possui propriedade ortogonalmente local, o método de volume finito provê solução imprecisa. Assim, de todas três classes das abordagens mencionadas acima, nenhuma é aplicável para descrição de processos de convecção-difusão de subsuperfície em uma base modelada com uma grade desestruturada.

[0008] Há outra abordagem matemática para simultaneamente aproximar incógnitas primárias e seus fluxos, chamada método de elemento finito, que é descrito em F. Brezzi e M. Fortin “Mixed and Hybrid finite element methods”, Springer Verlag, Berlin 1991. Tal método provou-se ser localmente conservativo de massa, preciso na presença de meio heterogêneo e provê aproximações precisas de tanto incógnitas primárias como de fluxos. Até recentemente, os métodos de elemento finito misturados não podiam ser diretamente aplicados aos domínios cobertos por grades poliédricas desestruturadas, que são muito comuns para as aplicações de subsuperfície. Uma nova versão de método de elemento finito misturado para equações de tipo de difusão em grades poliédricas arbitrárias, é

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4/36 proposta em Yu. Kuznetsov e S. Repin, “New mixed finite element method on polygonal and polyhedral meshes”, Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modeling, v. 18, pgs. 261 -278, 2003.

BREVE RESUMO DA INVENÇÃO [0009] A presente invenção é dirigida a sistemas e métodos que proveem um modelo preciso de transferência de energia e/ou distribuição de pressão em bacias sendo desenvolvidas através de tempos geológicos. A qualquer dado tempo, uma bacia é representada como um conjunto de camadas de diferentes espessuras empilhadas entre si. Em alguns locais da bacia, a espessura de uma camada degenera em zero, formando um pinch-out. As formas de realização da invenção utilizam uma malha prismática e análise de elemento finito misturado para modelar vários processos da bacia, incluindo transferência de energia, p. ex., energia térmica e pressão. Assim, as formas de realização da invenção resolvem ambas incógnitas primárias, p. ex., temperatura ou pressão e incógnitas secundárias, p. ex., fluxo de temperatura ou fluxo de pressão. Um ou mais dos seguintes aspectos podem ser usados para prover um modelo preciso de transferência de energia e/ou distribuição de pressão, p. ex., um processo físico, em bacias sendo desenvolvidas através do tempo geológico. O modelo pode ser usado para interpretar um reservatório diurno moderno e, por sua vez, pode-se basear no controle das atividades de produção com base em resultados simulados do modelo. A produção de hidrocarbonetos pode ser controlada, p. ex., taxas de produção de instalações de superfície podem ser controladas, poços podem ser estrategicamente colocados e/ou um reservatório geralmente caracterizados com base em resultados interpretados de modelo(s) de bacia simulado(s), gerados por um ou mais dos seguintes aspectos.

[0010] Em um aspecto geral, um método para modelar em um computador uma região física, em que a região física inclui uma pluralidade de estratos, o método inclui receber dados que definem pelo menos uma característica física da região física; prover uma malha triangular em um plano de um modelo da região física, em que a malha compreende uma pluralidade de células; tornar áspera a malha triangular em uma maneira não-uniforme, de modo que as células que sejam menos

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5/3Q desejáveis sejam maiores; e projetar a malha triangular tomada áspera em uma direção ortogonal ao plano da região física, para formar uma grade prismática, em que cada uma das células da malha triangular tomada áspera seja separada em sub-células, de acordo com os estratos.

[0011] Implementações deste aspecto podem incluir um ou mais dos seguintes aspectos. Por exemplo, a tornar áspero pode incluir projetar os dados sobre um plano; e utilizar os dados para determinar que células são menos desejáveis. O modelo pode incluir aspectos modelados que modelam os aspectos físicos na região física e em que a utilização pode incluir atribuir um valor de prioridade para cada célula, em que o valor é determinado com base em se cada célula está próxima a um aspecto modelado e um tipo do aspecto modelado. Prover uma malha triangular pode incluir prover uma malha retangular no plano; e dividir cada célula da malha retangular ao longo de pelo menos uma diagonal. A tornar áspero pode incluir fundir dois triângulos adjacentes eliminando-se um lado comum aos dois triângulos adjacentes. A grade prismática pode incluir uma pluralidade de células prismáticas, uma pluralidade de células piramidais e uma pluralidade de células tetraédricas. O método pode ser usado para modelar pelo menos um fluxo de um processo físico na região física, o método incluindo ainda atribuir uma pluralidade de graus de liberdade para o fluxo de cada sub-célula; aplicar análise de elemento finito misto a cada uma das sub-células para produzir uma matriz; e resolver a matriz para determinar o fluxo do processo físico da região.

[0012] A atribuição pode incluir para cada célula designar um grau de liberdade para o processo físico; e designar outro grau de liberdade para cada face da célula. A aplicação pode incluir utilizar uma abordagem constante-div para formar o espaço do elemento finito. O processo físico pode ser um processo de convecção-difusão. O processo físico pode ser um de temperatura e pressão e a região física é uma bacia geológica de subsuperfície. O processo físico pode envolver a formação de material hidrocarbonado. O processo físico pode envolver o movimento de material hidrocarbonado. Os dados podem ser derivados de informação de um sensor que mediu a pelo menos uma característica física da região física.

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6/36 [0013] Em outro aspecto geral, um método para modelar um processo físico e um fluxo do processo físico em um computador inclui formar uma grade prismática, desestruturada, que modele uma região física, em que o processo físico opera dentro da região física e a grade prismática compreende uma pluralidade de células; atribuir uma pluralidade de graus de liberdade para o processo físico e o fluxo para cada célula; aplicar análise de elemento finito misto a cada uma das células, para produzir uma matriz; e resolver a matriz para determinar o processo físico e o fluxo na região.

[0014] Implementações deste aspecto podem incluir um ou mais dos seguintes aspectos. Por exemplo, a formação pode incluir prover uma malha triangular em um plano de um modelo da região física, em que a malha compreende uma pluralidade de células; tornar áspera a malha triangular em uma maneira não-uniforme, de modo que as células que forem menos desejáveis sejam maiores; e projetar a malha triangular tornada áspera em uma direção ortogonal ao plano da região física, para formar a grade prismática. A grade prismática pode incluir uma pluralidade de células prismáticas, uma pluralidade de células piramidais e uma pluralidade de células tetraédricas. A atribuição pode incluir designar um grau de liberdade para o processo físico para cada célula; e designar outro grau de liberdade para cada face da célula para cada célula. Aplicar pode incluir utilizar uma abordagem de constantediv. para formar o espaço de elemento finito. O processo físico determinado e o fluxo podem ser usados para afetar uma mudança na região física. O processo físico pode ser um da temperatura e pressão e a região física é uma bacia geológica de subsuperfície.

[0015] Em outro aspecto geral, um produto de programa de computador tendo um meio legível por computador tendo lógica de programa de computador gravada para modelar em um processo físico e um fluxo do processo físico em uma região física, o produto de programa de computador incluindo código para formar uma grade desestruturada, prismática, que modela a região física; código para aplicar análise de elemento finito misto à grade prismática, para produzir uma matriz; e código para resolver a matriz, desse modo determinando o processo físico e o fluxo

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7/36 da região.

[0016] Implementações deste aspecto podem incluir um ou mais dos seguintes aspectos. Por exemplo, o código para formar pode incluir código para prover uma malha triangular em um plano de um modelo da região física, em que a malha compreende uma pluralidade de células; tornar áspera a malha triangular em uma maneira não-uniforme, de modo que as células que forem menos desejáveis sejam maiores; e projetar a malha triangular tornada áspera em uma direção ortogonal ao plano da região física para formar a grade tornada áspera. A grade prismática pode incluir uma pluralidade de células e o código para aplicar pode incluir designar um grau de liberdade para o processo físico de cada célula; designar outro grau de liberdade para cada face da célula para cada célula; e utilizar uma abordagem de constante-div para formar o espaço de elemento finito. O código para resolver pode incluir utilizar análise de gradiente conjugado pré-condicionado para resolver a matriz.

[0017] As formas de realização da invenção operam projetando-se alguns ou a maioria dos aspectos geológicos e geométricos, tais como limites pinch-out em plano horizontal. Observe-se que a projeção pode ser não-ortogonal ou inclinada. As formas de realização da invenção então criam uma grade desestruturada resolvendo todos os aspectos desejados daquela plano. Observe-se que a grade pode ser compreendida de polígonos, quadriláteros, triângulos ou suas combinações. As formas de realização da invenção então projetam a grade obtida de volta sobre as superfícies limite de todas as camadas, desse modo construindo uma grade prismática. A grade prismática pode compreender uma pluralidade de células, que podem ser prismas, formatos tetraédricos, pirâmides ou suas combinações. Observe-se que a grade prismática desestruturada aproxima as superfícies limite de todas as camadas.

[0018] As formas de realização da invenção podem então operar associando-se um grau de liberdade por célula no centro da célula para incógnita primária e um grau de liberdade para cada face das células no centro da face para componentes normais do fluxo. As formas de realização da invenção então discretizam o problema

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8/36 empregando uma abordagem de elemento finito misto, por exemplo, a abordagem de Yu. Kuznetsov e S. Repin. A discretização espacial produz uma equação de matriz esparsa. As formas de realização da invenção podem então resolver a equação de matriz para obter tanto incógnitas primárias como componentes normais do fluxo nas faces das células. Assim, as formas de realização da invenção proveem modelagem mais precisa sem grandemente expandir o número de incógnitas que são requeridas serem resolvidas.

[0019] As formas de realização da invenção podem formar a grade prismática provendo uma malha triangular que cubra um plano horizontal da região física. A malha pode então ser tornada áspera em uma maneira não-uniforme, de modo que as células que são menos desejáveis sejam maiores, enquanto deixando as células desejáveis com um formato mais finito. A malha tomada áspera é então projetada em uma direção vertical na região física, para formar a malha prismática.

[0020] O precedente resumiu um tanto largamente os aspectos e vantagens técnicas da presente invenção, a fim de que a descrição detalhada da invenção que segue possa ser melhor entendida. Aspectos adicionais e vantagens da invenção serão descritos a seguir, que formam o assunto das reivindicações da invenção. Deve ser observado por aqueles hábeis na arte que a concepção e forma de realização específica descritas podem ser especificamente utilizadas com uma base para modificar ou projetar outras estruturas para realizar as mesmas finalidades da presente invenção. Deve também ser entendido por aqueles hábeis na arte que tais construções equivalentes não se desviam do espírito e escopo da invenção como exposto nas reivindicações anexas. Os novos aspectos que se acredita serem característicos da invenção, tanto quanto a sua organização e método de operação, juntos com outros objetivos e vantagens, serão melhor entendidos pela seguinte descrição quando considerados com relação às FIGURAS acompanhantes. Deve ser expressamente entendido, entretanto, que cada uma das Figuras é provida para fins de ilustração e descrição somente e não se destina como uma definição dos limites da presente invenção.

BREVE DESCRIÇÃO DOS DESENHOS

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9/36 [0021] Para um entendimento mais completo da presente invenção, é feita referência agora à seguinte descrição, tomada em conjunto com o desenho anexo, em que:

[0022] A Figura 1 representa um domínio sendo dividido em camadas, de acordo com formas de realização da invenção;

[0023] As Figuras 2A e 2B representam um domínio e o domínio coberto com uma malha retangular, de acordo com as formas de realização da invenção;

[0024] A Figura 3 representa uma grade triangular não uniformemente tornada áspera, de acordo com formas de realização da invenção;

[0025] A Figura 4 representa diferentes tipos de células formadas de acordo com as formas de realização da invenção;

[0026] A Figura 5 representa uma grade prismática 3D formada de acordo com as formas de realização da invenção;

[0027] A Figura 6 representa uma célula tetraédrica usada pelas formas de realização da invenção;

[0028] A Figura 7 representa uma célula piramidal usada pelas formas de realização da invenção;

[0029] As Figuras 8A-8D representam uma célula prismática usada pelas formas de realização da invenção e separada em três tetraedros, de acordo com as formas de realização da invenção;

[0030] A Figura 9 representa divisão de face independente de células vizinhas, de acordo com formas de realização da invenção.

[0031] A Figura 10 representa um método de formar uma grade prismática, de acordo com formas de realização da presente invenção;

[0032] A Figura 11 representa um método de resolver uma matriz, de acordo com as formas de realização da presente invenção; e [0033] A Figura 12 representa um diagrama de blocos de um sistema de computador, que é adaptado para utilizar a presente invenção.

DESCRIÇÃO DETALHADA DA INVENÇÃO [0034] As formas de realização da presente invenção são úteis para modelar

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10/36 campos de óleo de subsuperfície. Os exemplos das formas de realização descritas aqui podem referenciar tais campos de óleo. Entretanto, as formas de realização podem ser usadas para modelar outros domínios envolvendo outros materiais e/ou processos. Por exemplo, outros materiais hidrocarbonados podem ser envolvidos, tais como hulha. As formas de realização da invenção podem ser úteis para mineração ou construção de túneis. As formas de realização da invenção podem ser usadas para outros tipos de domínio, p. ex., a atmosfera, e podem ser úteis para modelagem do tempo, temperatura e/ou poluição. Outro domínio podem ser os oceanos e formas de realização podem ser usadas para medir som, temperatura, saliência e/ou poluição. Qualquer tipo de domínio estratificado pode ser modelado utilizando-se formas de realização da invenção. Qualquer tipo de material que se mova através de um processo de convecção-difusão pode ser modelado utilizandose formas de realização da invenção. Qualquer tipo de fluxo que esteja presente no domínio ou material pode ser modelado utilizando-se formas de realização da invenção.

[0035] Como citado anteriormente, as formas de realização da invenção podem ser aplicadas a qualquer processo de difusão convencional. O seguinte é um exemplo de uma equação de tipo de convecção-difusão 3D

(El) onde p é uma função incógnita (chamada como pressão), K=K(x) é um tensor de difusão, c é uma função não negativa, f é uma função fonte e Ω d R³ é um domínio computacional limitado. É adotado que K é uma matriz definida uniformemente positiva e o limite 3Ω do domínio Ω é dividido em dois conjuntos nãosobrepondo-se Td e Γν.

[0036] A equação (1.1) é complementada com as condições limite

P = Sd eni Γρ (Κνρ)·Λ+σ·ρ = ein Γ_Λ onde n é o vetor normal unitário externo para Γν, σ é uma função não

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11/36 negativa e gD e gN são funções dadas. É adotado que as equações (1.1)-(1.2) têm uma única solução.

[0037] As equações diferenciais parciais (1.1)-(1.2) podem ser substituídas pelo sistema de primeira ordem equivalente:

u +	K\'_P = 0	em	Ω Ω	(1.3)
V ‘U +	= f	em
	P = íír	em		(1-4)
-u♦η + σ	P =	em	Fv

[0038] As equações (1.3) - (1.4) são a formulação mista de equações (1.1)-(1.2). Observe-se que desta maneira a incógnita primária p e seu fluxo u podem ser aproximados simultaneamente.

[0039] Como citado anteriormente, as formas de realização da invenção podem operar com diferentes domínios. Assim, admitamos que G seja um domínio de R²com um limite regularmente conformado 3G, p. ex., alisamento em forma de pedaço e ângulos entre peças são maiores do que 0. Admitamos que o domínio computacional Ω seja definido como segue.

Ω = {(χ,ν,ζ) e R^s: Xv) e G,Xy)<z< Z^íxj)} em que Zmin (x, y) e Zmax(x,y) são superfícies lisas.

[0040] Admitamos que m seja um inteiro positivo e z = Zi(x,y), i = 0,..., m sejam funções contínuas de único valor definida em G, de modo que = ZJxj) in G __ < A<x,y) ín G i = ^ín g [0041] Estas funções definem as interfaces entre as camadas geológicas. Em outras palavras, o domínio computacional Ω pode ser dividido em subdomínios m (tiras ou camadas) que são definidos como segue para todos i = 1,..., m.

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Ω_ί = {(χ, y,z) &Ω. (χ,ν) e β,Ζ^ίχ,γ) <ζ< Ζ^χ,γ)}.

[0042] A Figura 1 representa um exemplo da divisão do domínio computacional Ω 100 em uma pluralidade de subdomínios ou camadas 101 - 107. Observe-se que a Figura 1 representa as diferentes camadas de uma vista explodida, entretanto para computação, a camada não necessita ser separada. Observe-se ainda que é adotado que o subdomínio Ωί satisfaz a condição de cone, onde os limites dos subdomínios não têm pontos singulares (ângulos zero etc.) e, além disso, que todos os conjuntos

P_t = j(x_sy) g G: Z_w(xj) = compreendem um número finito de polígonos. O limite do correspondente conjunto Pi é indicado por 3Pi.

[0043] A Figura 1 representa os diferentes estratos de uma bacia. Os dados usados para formar as diferentes camadas da Figura 1 podem ser determinados por várias técnicas, tais como análise estratigráfica e/ou inversão sísmica, utilizando-se sensores para medir várias características da bacia.

[0044] Os limites dos conjuntos Pi podem ser projetados para o plano chato da seguinte maneira. Para qualquer ponto dado (x,y,z) de 3Pi, o ponto projetado tem coordenadas (x,y,0). Todos tais pontos organizam o conjunto de linha fechada como aqueles da Figura 2A, que são usados para criar triangulação plana, exemplos da qual são mostrados na Figura 2B e Figura 3.

[0045] A formulação mista variacional das diferentes equações (1.3)-(1.4) pode ser escrita como segue: resolver ϋ€^(Ω),/»€4(Ω),β ^el₂(]_x) de modo que

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Γ(κ ^lii)‘ vdx	-	+ Íâ(v ti)d$	= Jgp(v
Ω
- j(V ’ ujqdx Si j (u tt)/id$ Γ*-	- jc’ pqdx	- J Γ_Λ·	= -ffydx (1.5) Ω = [ Sx/tâ

para todos v e Η _Λ-_ν(Ω), q € (Ω), _e μ e £> (1 _v), onde [0046] Observamos que λ é a restrição da função de pressão p =p(x) sobre Γν. Nesta formulação, todas as condições limite são naturais.

[0047] No caso σ = 0 em Γν a formulação pode ser escrita em diferente forma como segue: resolver u e Λ*ν(^Ω>» ^υon Fjy e p e Ι_;(Ω) de modo que jJ/C ¹uj-vdx Ώ.

J(V-ufe<Zv + o

Ω j yj(v v)dx Ώ.

| c - pqdx

Ω

(L6) para foclos v e íi _Jir(Ω), v n = 0 em 1 'n e qeLJQ) [0048] Na seguinte análise, a equação (1.5) é considerada, embora as conclusões possam também ser aplicadas à equação (1.6), sem perda de generalidade.

[0049] As formas de realização da invenção utilizam grades prismáticas, que suprem muitas características agradáveis em processos de subsuperfície de convecção-difusão de modelagem. Em muitos casos, um domínio pode ser representado como um conjunto de camadas de diferentes espessuras entre si. Os aspectos geométricos estruturados e desestruturados geológico em forma de fatias em camadas empilhadas são representados por grades prismáticas satisfatoriamente. Os dados geométricos 2D são providos por pós-processamento de informação geoestatística. Usualmente, os dados são propriedades materiais associadas com os nodos ou células de uma grade retangular fina 2D. Observe-se

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14/36 que pode haver milhões de nodos. A presença de dados materiais em um nodo implica em um nodo computacional, enquanto que sua ausência implica em um nodo de valor atípico. O conjunto de nodos computacionais define o domínio computacional.

[0050] As interfaces entre as camadas geológicas são dados geoestatísticos e podem intersectar cada outro resultando em situações topologicamente incorretas. A interface de base é o limite de base da camada geológica mais baixa e é representada por dados geoestatísticos também. As camadas geológicas podem ser fraturadas ao longo de superfícies verticais e degenerar. Pinch-outs são definidos como partes de camadas geológicas com módulo de espessura não maior do que um limite definido por usuário δ> 0. As polilinhas de falhas são definidas como interseções das interfaces e falha geológicas de base.

[0051] Para simplificar a descrição dos algoritmos, as grades a serem usadas nas formas de realização da invenção devem satisfazer algumas exigências muito naturais. A grade de objetivo prismático deve ser um produto lógico de uma grade 1D e uma triangulação 2D, cujos nodos formam um subconjunto da grade retangular geoestatística sem valores atípicos de nodos, com a densidade de nodo igual àquela da grade original de regiões de interesse específicas de usuário. Além disso, a triangulação deve ser refinada nas vizinhanças das falhas e poços definidos por usuário, bem como pich-outs automaticamente detectados. Também o número de triângulos da grade 2D não deve ser maior do que um número definido por usuário. Com referência à grade prismática, faces laterais dos prismas têm que se aproximar das interfaces geológicas e formar triangulações 2D regulares de formato.

[0052] O processo descrito abaixo é um exemplo de um processo que pode ser usado para construir grade prismática. Observe-se que outros processos podem ser usados. Além disso, o método de elemento de finito misto não é ligado por aquele tipo de grade prismática. Primeiro, é a geração de triangulação regular 2D refinada em direção às projeções dos pinch-outs sobre a interface geológica de base, polilinhas de falha e pontos representando poços. Em seguida, a triangulação 2D é projetada sobre superfícies definidas pelas funções Zi(x,y), i = 1,..., m, para formar a

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15/36 grade prismática 3D resultante. Este processo é ainda descrito nos seguintes parágrafos.

[0053] Para formar a grade triangular regular 2D, o processo exemplar pode começar com uma grade retangular. Dadas as coordenadas dos nodos na direção-x e y, uma malha de conformação G^h cobrindo o domínio G é gerado, que é composto de células tendo pelo menos um dos quatro nodos com dados materiais. Por exemplo, a Figura 2A representa um domínio 200 e a Figura 2B representa uma grade retangular 201, cobrindo o domínio 200. Sem perda de generalidade, é adotado que a malha G^h é composta de quadrados, isto é, os tamanhos de malha na direção-x e y são iguais, hx=h_y=h.

[0054] Em seguida, de acordo com uma forma de realização, cada célula retangular é dividida por sua diagonal em dois triângulos. Um processo que pode ser usado para formar os triângulos é descrito abaixo, observe-se que outros processos podem ser usados. A escolha entre duas possíveis diagonais pode ser feita de acordo com a seguinte regra. Admitamos que a cada célula retangular pode ser atribuído um inteiro igual à soma de índices-x e y mínimos de seus nodos. Para as células com números pares, a diagonal divisora tem o nodo da célula com índices-x e y mínimos. Para as células com número ímpar, a outra diagonal é escolhida. O processo acima especifica a triangulação unicamente para um dado conjunto de nodos com uma dada distribuição de dados materiais. Alternando-se as direções das diagonais reduz-se a orientação da grade. Como um processo alternativo para formar triângulos, cada célula retangular pode ser dividida em quatro triângulos utilizando-se ambas as diagonais.

[0055] A triangulação gerada é projetada sobre a superfície geológica de base como descrito anteriormente. Observe-se que podem ser definidas regiões de interesse ωι no domínio G, em que a modificação da grade não é necessária ou não desejada.

[0056] Admitamos que Pi^h indica o subconjunto máximo dos elementos retangulares de G^h, que pertence a Pi. Se não houver elemento de G^h que pertença a Pi mas haja o vértice de G^h que pertence a Pi, então este vértice é dito pertencer a

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P^hi. Então o conjunto é definido =u<^* i=L que é conhecido como uma projeção “pinch-out”. Com base nessa definição, as projeções “pinch-out” são o subconjunto de bordas e vértices pertencentes a G^h.

[0057] Em seguida, de acordo com uma forma de realização, diferentes prioridades são designadas para os triângulos. Uma prioridade, ou um marcador inteiro, é designada para cada ângulo da grade fina. Valores do controle de prioridade asperizando o processo.

[0058] No início, prioridade zero é atribuída a todos os triângulos. Para triângulos cujos fechamentos intersectam falhas, suas prioridades são mudadas para 1. Para encontrar triângulos intersectando falhas, o seguinte método pode ser usado. Primeiro, os triângulos são extraídos das triangulações de falha, que intersectam a interface geológica mais do fundo. Segundo, cada triângulo extraído é verificado para a interseção com os triângulos de grade fina. Para triângulos cujos fechamentos intersectam pinch-outs, suas prioridades são mudadas para 2. Estes triângulos são definidos como aqueles onde a seguinte condição é violada: em todos os nodos de triângulo, a espessura de uma camada geológica é maior do que δ ou menor do que -δ. Para triângulos cujos fechamentos contêm pontos de poço, suas prioridades são mudadas para 3. Para triângulos que pertencem a uma região de interesse definida por usuário ωι, suas prioridades são mudadas para 4. Para triângulos que satisfazem diversas condições, suas prioridades são mudadas para o valor de prioridade máxima.

[0059] Após as prioridades terem sido designadas, a grade triangular pode ser não-uniformemente tomada áspera. A parte fina da grade pode ter um grande número de triângulos igualmente pequenos. Estas áreas são mais desejáveis porque contêm mais informações, incluem aspectos geológicos interessantes, p. ex., poços, falhas, pinch-outs e/ou são indicadas como desejáveis pelo usuário. A partes

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17/36 tornada ásperas da grade não são tão desejáveis quanto as partes mais finas da grade. A grade pode ter uma faixa de tornar áspero, onde a mais tornada áspera indica as partes tendo pouca ou nenhuma qualidade desejável e as áreas sem tornar áspero indicam as áreas mais desejáveis. As áreas tomada ásperas entre as mais tomada ásperas e não tomada ásperas indicam área com alguns aspectos desejáveis.

[0060] Tornar áspero é uma sequência de procedimentos de fundição de triângulos. Por exemplo, dois triângulos podem se acoplados em um por eliminação de seu lado comum. Este procedimento compreende dois estágios. Primeiro, certos triângulos são comercializados para tornar áspero. Segundo, eles são tomados ásperos. Deve ser citado que a conformidade da grade pode tornar áspero de triângulos não-marcados. Cada triângulo asperizado herda a prioridade máxima dos dois triângulos incorporados. Além da prioridade, a cada triângulo é designado outro inteiro indicado como nível. Qualquer triângulo da grade fina inicial tem o nível 1. Tornar áspero pode ser aplicado a um par de triângulos do mesmo nível j e resultar em um triângulo mais áspero com nível j+1.

[0061] Abaixo é dado um exemplo de um procedimento de tornar áspero de acordo com s formas de realização da invenção. Observe-se que outros procedimentos podem ser usados.

[0062] O procedimento de tornar áspero pode ser descrito como o lupe:

1) Ajustar k=1.

2) Formar o conjunto M de triângulos com prioridade zero, cujo tornar áspero não causará tornar ásperos outros triângulos com prioridade não-zero.

3) Se M estiver vazio, então vá para 6.

4) Asperizar os triângulos de M.

5) Ir para 2.

6) Se o número de triângulos da nova grade não for maior do que o limiar definido pelo usuário Ntusr, então Parar.

7) Formar o conjunto M dos triângulos com prioridade não-zero não maior do que k, cujo tornar áspero não causará tornar ásperos outros triângulos com

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18/36 prioridade maior do que k.

8) Asperizar os triângulos de M.

9) Se k>3, então ajustar k=k+1, de outro modo ajustar k=1.

10) Ir para 1.

[0063] A grade triangular de saída Gh tem nodos coincidindo com certos nodos da malha retangular de entrada projetada e os triângulos finos na região de interesse, bem como triângulos definindo em direção a pontos de poço, polilinhas de falha e pinch-outs. A Figura 3 representa um exemplo do procedimento de tornar áspero de grade acima. A grade resultante 300 representa áreas não-uniformes dos triângulos mais ásperos 301, triângulos asperizados 302 e triângulos finos 303. Observe-se que os triângulos fios podem ter alguma aspereza ou nenhuma aspereza. Observe-se que na Figura 3 os triângulos foram formados utilizando-se o método de duas diagonais descrito acima.

[0064] Após tornar áspera, a grade prismática 3D pode ser formada. Admitamos eh ser um triângulo na triangulação Gh de G e a^(k) = (a^(k)k, a^(k) _y), k = 1,2,3, serem os vértices de eh. Consideremos três linhas verticais (x,y) = a<^k\ k = 1,2,3, em R³ e indiquemos por a(^ki\ k=1,3,3, suas interseções com as superfícies z = Zi(x, y), i = 0,...m. Em seguida qualquer poliedro com os vértices localizados nas superfícies vizinhas ser um prisma vertical (todos seis vértices são diferentes) ou uma pirâmide (dois vértices coincidem, p. ex., o correspondente vértice a<^k\ k =1,2,3, pertence a P^h= nPi^h), ou um tetraedro (dois pares dos vértices coincidem, isto é, dois vértices do conjunto a<^h\ k = 1,2,3 pertencem à p^k). A Figura 4 representa uma parte de uma grade prismática 3D com os três tipos de prismas, isto é, um prisma vertical 401, uma pirâmide 402 e um tetraedro 403. Em outras palavras, uma pirâmide é um prisma com uma borda desaparecendo e um tetraedro é um prisma com duas bordas desaparecendo.

[0065] Realizando-se a operação acima para todos os triângulos de Gh proverá divisão Qh do domínio Ω. Em célula particular, cada superfície z= Z/^h) (x, y), que compreende os triângulos de topo (fundo) dos prismas, bem como as faces particulares das pirâmides e tetraedros. A Figura 5 representa um exemplo de um

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19/36 grade prismática 3D 500.

[0066] Após término da grade prismática 3D, a grade pode ser submetida a análise elementar finita mista. Na seção anterior foi indicado que a grade Qh compreende elementos {Ek} que são prismas verticais ou pirâmides, ou tetraedros. Para formular o método de elemento finito misto (MFE) para a equação (1.5), os subespaços do elemento finito dos espaços Hdiv(Q) e Ι_2(Ω) e Ι_2(Γν) devem ser definidos.

[0067] O espaço de elemento finito Lh cz Qh. compreende as funções ph que são constantes de cada célula de grade Ex cz Ωή. O espaço de elemento finito Ah cz l_2 (Γν) compreende funções Àh que são constantes de cada interseção de uma célula de grade Ek em Qh com a parte limite Γν. Estas interseções podem ser quadrilaterais ou triângulos.

[0068] Um problema dos métodos de elemento finito misto é o projeto dos subespaços de elemento finito Vh do espaço Hdiv (Ω). Para eficiência computacional somente aquelas funções de vetor de elemento finito devem ser consideradas tendo constantes componentes normais nas interfaces Fki entre as células vizinhas Ek e Ei, k>l, bem como nas interseçõesrkN de uma célula Ek com limite Γν. A dimensão do subespaço de elemento finito do espaço Hdiv (Ω) é igual ao número total de diferentes interfaces {Πι} e {Πν}. Este espaço de elemento finito pode ser construído com base na abordagem “div-constant” descrita em Yu. Kuznetsov e S. Repin, “New mixed finite element method on polygonal e polyedral meshes”, Russian Journal of Numerical Analysis e Mathematical Modeling, v. 18, pgs. 261 -278, 2003.

[0069] Para uma célula tetraédrica, T, o espaço de elemento finito Vh|T coincide com um espaço de elemento finito de Raviart-Thomas da mais baixa ordem, clássico, RTo (T) (vide F. Brezzi e M. Fortin, “Mixed and Hybrid finite element methods”, Springer Verlag, Berlin 1991). Um função avaliada-vetor elemento infinito Wh 8 RTo(T) tem quatro graus de liberdade (DOF), isto é,

W_â(x) = ^H^(x) y=i

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20/36 onde φί(χ) são as funções de vetor base associadas com as faces y do tetraedro T, i= 1,2,3,4.

[0070] Indicada por y a face do tetraedro T oposta ao vértice A4A1A2 e y4 é a face A1A2A3. Admitamos que nj seja o vetor da unidade externa na face y e hi seja o comprimento da perpendicular do vértice Aj sobre a face 7, j= 1,2,3,4. Tal célula tetraédrica 600 é mostrada na Figura 6.

[0071] O espaço dos elementos Raviart-Thomas de mais baixa ordem de um tetraedro T pode ser definido como /?T₀(T) = span^_f &}, onde as funções de vetor de base φί satisfazem as condições φΐ|^ . nj = ôij e ôij é o símbolo Kronecker, que é igual a 1, se i = j e 0 de outro modo.

[0072] Os cálculos diretos mostram que as funções de base podem ser definidas explicitamente por $ (x) =—(x - ) = -yi(x - ), ' V ^f 3|Tp ⁷ em que x<') são as coordenadas dos vértices Ai, i = 1,2,3,4.

[0073] Para uma célula piramidal, P, quando uma célula P EQh for uma pirâmide quadrilateral do espaço de elemento finito, Vh|_P é construído usando-se a abordagem “div-constant”.

[0074] As faces da pirâmide P são indicadas por 7 , j = 1,2,3,4,5, ito é, γι é a face ΑβΑθΑδ, Y2 é face A1A3A4, 73 é a face A1A2A4A5, 74 é a face A1A2A3 e 75 é a face A3A4A5. Uma tal célula de pirâmide 700 é mostrada na Figura 7.

[0075] Para descrever a abordagem “div-const”, a pirâmide P é posicionada dentro de dois tetraedros T1 e T1. Poe ser feito em duas diferentes maneiras e ambas as maneiras proveem o algoritmo trabalhável descrito abaixo. Assim, sem perda de generalidade, presume-se que a pirâmide P é dividida em dois tetraedros Τι = A1A2A3A4 e T2 = A2A3A4A5. Admitamos que m indique os vetores normais externos unitários para as faces 7, i = 1,2,3,4,5 e por πθο vetor normal unitário para

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21/36 a interface γ6 = A2A3A4 entre os tetraedros T1 e T2 dirigidos de T1 para T2.

[0076] Em cada tetraedro, o espaço Raviart-Thomas de ordem mais baixa clássica das funções vetoras é construído, os conjuntos de funções de base

são determinados e o campo vetor Uh de P é definido como segue:

+ w₂^’(x) + ’(x) Ín T, + iq$²⁾(x) + in T, [0077] Esta representação mostra que a função vetora Uh é linear em cada um dos tetraedros T1 e T2, pertence ao espaço Hdiv(P) e satisfaz as condições requeridas

J l»2,3,4_t5 [0078] Para determinar o valor incógnita U6 do componente normal do fluxo sobre a interface γ6 a seguinte condição deve ser operativa

V Uh ξ const de P.(2.2) [0079] Pela definição (2.1) de Uh a expressão para divergência de Uh em T1 e T2 são obtidas. A aplicação do operador de divergência para ambos os lados de (2.1) produz

V u„ |_Ti = u₆V + u,V 0f‘> + K,V · a¹¹’ + u„V $'>(2.3) e

V uJ_Tj = -u₆V >(2.4)

Uma vez que v · ul = V u 1 seaue-se que [0080] _ u₅V φ^ + u₃V φΡ + w,V - w.V. - u₄V φ^ „ [0081] O valor de U6 sob adoção (2.2) pode ser encontrado de diferentes

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22/36 maneiras. Primeira, a fórmula de Stokes é aplicada | V ⁼ f

.. -«,ν-^+Μ,ν.^’+^ν-^-ν.ιΐπ »6- _y l/W [0082] Neste ponto as funções de base {Qi}⁵im=i da pirâmide P são reconstruídas satisfazendo as condições φί|_γι . nj = Uj<’> = ôij, i,j= 1,2,3,4,5.

[0083] Uma vez que os valores dos componentes normais das funções de base nas faces da pirâmide P são conhecidos, os valores de seus componentes normais U6⁽ⁱ⁾ , i = 1,2,3,4,5 na face interna γ6 podem ser encontrados pelas fórmulas (2,5) e (2.6). Portanto, a representação explícita das funções de base é dada por

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		ín	λ
		ín	12

+ ^Tt

- in T₂ ₊ in T_L in T₂

+ ízJV¹* in T_t

in T,

Of in T₂ [0084] Para uma célula prismática com uma base triangular, admitamos Π 8 Qh. O espaço de elemento finito Vh/π é construída usando-se a abordagem “div-const”.

[0085] Indicada por γ as faces do prisma Π, isto é, γι é a face A2A3A5A6, 72 é a face A1A3A4A6, y3 é a face A1A2A4A5’ 74 é a face de base A1A2A3 e 75 é a face de topo A4A5A6. Um tal célula de prisma 800 é mostrada na Figura 8A.

[0086] A fim de aplicar a abordagem “div-const” de acordo com uma forma de realização, o prisma Π é dividido em três tetraedros Τι, T2 e T3. Os tetraedros divididos 801, 802, 803 são mostrados nas Figuras 8B-8D. Sem perda de generalidade, pode ser assumido que o prisma Π é dividido em tetraedros T1 = A1A2A3A6, T2 = A1A4A5A6 e T3 = A1A2A5A6. Os tetraedros divididos 801, 802, 803 são mostrados nas Figuras 8B-8D.

[0087] Admitamos que m , i = 1,2,3,4,5, indique os vetores normais externos unitários às faces 7, n6 indique o vetor normal unitário para a interface 76 = A1A2A6 entre os tetraedros T1 e T3 direcionados de T1 para T3 e, finalmente, por n7 o vetor

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24/36 normal unitário pra a interface y7 = A1A5A6 entre tetraedros T2 e T3 dirigidos de T2 para T3. Em cada tetraedro o espaço de elemento finito Raviart-Thomas da mais baixa ordem clássica é construído, os conjuntos das funções de base {φί^(Κ)}⁴ί=ι, k = 1,2,3, são determinados e o campo vetor Uh em Π é definido como segue [0088]

Μ™**)

Com esta representação,

ΜΓ(^χ) + ζ^Γ’(χ) + M₃$³⁾(x) in fj in T, (2,7) in I, a vetor-função Uh é linear em cada um dos tetraedros Τι, T2 e T3, pertence ao espaço Hdiv(n) e satisfaz as condições requeridas ./=1,2,3,4,5.

[0089] A escolha natural para os componentes normais incógnita U6 e U7 são obtidos de uma maneira similar, como discutido com respeito às células piramidais. Primeiro, o valor de V.Uh de Π é determinado usando-se a fórmula de Stokes

Vih = const em Π, (2,8) [0090] Os valores desconhecidos u6 e u7 são obtidos de uma maneira similar como discutida em respeito às células primordiais. Primeiro, o valor de V.Uh de Π é determinado usando a fórmula de Stokes

Jdivu_Aí/x= ttds, π ÍT1 [0091] Portanto, _v. _{u t =} «iHI+Mihl+wshl+^M+M.Irsl, _{(2 9)} em que |y| é a área da face correspondente γ e |Π| é o volume do prisma. Segundo, os valores de U6 e U7 são computados como

Petição 870190036472, de 16/04/2019, pág. 31/49 (2.10)

25/36 (2.U) ⁶ ν-$·>

e ν-ϋ,-κ,ν-^-κ,ν ^-»,V·^⁰¹ [0092] Neste ponto, as funções de base {φϊ}⁵ί = 1 do prisma Π são reconstruídas satisfazendo as seguintes condições:

' ⁿj ⁼ ' = ^δ»' ¹ >²’³’⁴’⁵ [0093] Uma vez que os valores dos componentes normais das funções de base nas faces do prisma Π sejam conhecidas, os valores dos componentes normais U6⁽ⁱ⁾ e U7⁽ⁱ⁾, i = 1,2,3,4,6, nas faces internas γε e γ podem ser determinados, respectivamente, pelas fórmulas (1.20) e (2.11). Portanto, a representação explícita das funções de base é dada por

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O'		em	T,
		em	t.
	-	em	T₃

	+ «W		em	η
		+ *4²V<²¹	em
L	- w	-	em	T₃

	em	T
+	em	^T2
-	em	η

	em	T
	em	T₂
	em	T_s

em T_L + em T, ί4'ΜΓ - wí^LW’ e»¹ T₃ [0094] É razoável enfatizar a seguinte distinção da abordagem “div-const”. A divisão de uma célula de grade em tetraedros é independente da divisão de suas células vizinhas, p. ex., uma face quadrilátero que é comum paro duas células vizinhas pode ser divida em diferentes modos por diferentes lados. Por exemplo, a Figuro 9 representa duas células vizinhas 901, 902, que têm superfícies contíguas 903, 904 divididas em diferentes maneiros.

[0095] Este aspecto simplifica a geração de grades prismáticas e discretização de problemas de valor limite nelas comparando-se com as grades tetraédricas.

[0096] Paro as células prismáticas grais, a abordagem descrita acima paro uma célula prismática com uma base triangular pode ser estendida paro cobrir um prisma genérico Π. Cada prima pode ser independentemente dividido em tetraedro e o espaço de elemento finito Vh|n é construído usando-se a abordagem “div-const”

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27/36 descrita na seções anteriores.

[0097] Os parágrafos descritos acima tendo um grau de liberdade para cada faze das células no centro da face para componentes normais de fluxo. A cada célula é também designado um grau de liberdade associado no centro da célula para cada incógnita primária. Por exemplo, as incógnita(s) primária(s) pode(m) incluir temperatura ambiente e/ou pressão de fluido.

[0098] Os seguintes parágrafos descrevem o uso de uma versão híbrida de análise de elemento finito misto (MFE) nas células da grade prismática 3D com a introdução de graus adicionais de liberdade associados com as faces dos prismas. Estes graus de liberdade permitem a separação do fluxo de uma célula do fluxo de outra célula. Estes graus de liberdade são conhecidos na literatura matemática como multiplicadores LaGrange. A introdução dos graus adicionais de liberdade permite a simplificação da estrutura do problema numérico, visto que as variáveis originais, tais como a temperatura centrada (ou pressão) e fluxos nos limites de uma coluna de perfuração, tornam-se desconectadas da temperatura e fluxos de quaisquer outras células. Assim, aquelas incógnitas podem ser eliminadas, o ue permite a redução do número de incógnitas.

[0099] Com as definições providas acima para os graus de liberdade, o método MFE pode ser introduzido como segue: resolver Uh £ Vh, ph £ Lk, e Àk £ Ãh, de modo que j(/U'u_A)-vJ.r - |_Λ(ν·ν)ώ + p_ft(v-rt)A = -jg_D(v-«U

Ω Λ Γ„ r_D

- jc-p^dx = -\fqdx (3.1) £1 ft Ω

para todos v £ Vh, q £ Lh e μ £ Ãh. O problema do elemento finito (3.1) resulta no sistema das equações algébricas lineares

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A	Sq ^1 _ II	7

com (3.2) a matriz de ponto de sela

B^T

-D (3.3) onde M = M^T é uma atriz definida positiva e D = D^T e Σ = Σ^τ são matrizes definidas positivas ou semi-definidas positivas. Pode ser mostrado que o sistema (3.2) tem a única solução.

[00100] Métodos iterativos para sistemas algébricos com matrizes de ponto de sela simétricas são bem desenvolvidos. Entretanto, a técnica de precondicionamento eficiente para s matrizes de ponto de sela que surgem das discretizações MFE das grades poliédricas é ainda uma preocupação. As matrizes definidas positivas simétricas são objetos muito melhores para precondicionamento eficiente. O sistema (3.2) pode ser transformado para o sistema equivalente com uma matriz definida positiva simétrica utilizando-se a hibridização do problema de elemento finito misto (3.1). Nos parágrafos a seguir, este método é descrito como maneira preferível de resolver o problema (3.1).

[00101] Para hibridização de análise de elementos finito misto, admitamos que Ek seja uma célula de grade em Qh e Vh^(k) e Lh^(k) sejam as restrições dos espaços de elemento finito Vh e Lh sobre Ek, respectivamente. Também novo espaço de elemento finito Ãh é criado, que é o espaço das funções λή = Àh(x) que são definidas nas interfaces Fki entre as células de grade bem como nas interseções de células de grade com as partes limite de Γν. Em cada uma das interfaces uma função Àh £ Ah iguala a uma constante.

[00102] Para introduzir o problema de elemento finito híbrido misto (MHFE) dois espaços de elemento finito adicionais e numerosas formas bilineares e funcionais

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29/36 lineares têm que ser definidos. Dois novos espaços de elemento finito são

v.=nvr e 4 = fW’·

Jt=l í=t em que n é o número de células Ek em Qh. Observe-se que a dimensão de qualquer um dos espaços Vh^(k) é no máximo cinco e a dimensão de cada Lh^(k) é igual a um.

[00103] Para os elementos u,v £ Vh, p, q 8 Lh, e λ, μ 8 Ah as seguintes formas bilineares são introduzidas _e(u,v) = £f(K» ^t=l E_t

Ir b(y,p) = Σ f = -Σ À f ^v ’ *=' ^t=1 » . « , « , v,z) = £ J z(v_À - Σ J *(v_ft + Σ J Â(v_fr' tt)ds ^ί=ΙΓ„ *='Γ_λ t='a£_tnr„ i>k I<Jt r ” = Σ r ^Ξ Σ^Μ í = l f _f „

a) = Σ J AvÂjv *=1 onde Uk Vk 8 Vh^(k), pk e qk são os valores de pk, qk 8 Lh^(k), àn , μΝ são os valores de λ, μ £ Ah, nw é a unidade normal para Fki dirigida de Ek para Ei k <1, e <A = j cdx , σ_κ = [ ctfs

HE_t Γ.Γ;/ [00104] Também as seguintes funcionais lineares são definidas

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30/36 >}

W^v) = -Z J^(^vrO<* *⁼¹ £_t

-fi.

onde ví 8 Vh^(k), qk 8 Lh^(k) e μ 8 Ah.

[00105] Com as definições acima, a formulação híbrida mista equivalente do problema do elemento finito (3.1) lê-se como segue: resolver Uh 8 Vh, pk 8 Lh, e Àh 8 Ah, de modo que

«(u_ó,v) + b(y\p_h) + c(v,AJ =
Xm) -		=
	—	= Z_N(/z)

(3.4) para todos v 8 Vk, q 8 Lh e μ 8 Ah.

[00106] O problema do elemento finito (3.4) resulta algébricas lineares no sistema de equações

(3.5) com a matriz de ponto de sela

	7/	B^T			X	⁰ Ί
A =	B	-D	0	» where A/ =		* k
		0	T			M »7

ser a matriz diagonal do bloco com as submatrizes definidas positivas simétricas Mk, k=1,...,n_i D é a matriz semi-definida e Σ é uma matriz semi-definida positiva diagonal. Os componentes dos subvetores laterais direitos gD, f, são

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31/36 definidos pelas funcionais lineares de (3.4).

[00107] A matriz A tem uma representação muito boa A =

ΣΜ4Χ f=l

onde
		$ c.q
4 =		-D, 0
		ο -Σ,

(3.6) é a matriz de ponto de sela local para a célula Ei e Ni é a correspondente matriz de montagem.

[00108] Respectivamente, o lado direito do sistema (3.5) pode ser escrito como segue:


7	II	7-
	i = l

[00109] É importante observar que a matriz A I e subvetores gDj, fi , e gNj podem ser obtidos aplicando-se a discretização do elemento finito misto local para o seguinte problema:

m. + EVp,	=	0 ín
V · M_f -I- C p-_t		7 ín
	on	í£- í~i
	on	cE. η I ’_jV
	on	r/ if ec

em que r^ki, k = 1,..., si são as faces da célula Ei [00110] As importantes propriedades das matrizes Mi, Bi, Ci, Di e Σι de (2.6) podem ser demonstradas em uma célula interna Ei, isto é 3Ei η 3Ω = 0. Admitamos

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32/36 que a célula Ei tenham faces si então Mi 8 R^sxs é uma matriz definida positiva simétrica, então

em que Ve, é o volume da célula Ei ci = (COPIAR EXPRESSÃO NA PÁG.

26). Para uma matriz de célula interna Σι = 0.

[00111] Admitamos êi = (1 1 ... 1)^T 8 R^si. Em seguida Bi = -Ciêi. Esta propriedade serve para qualquer Ai de (3.6).

[00112] É pertinente observar que as variáveis primárias 0i e pi, i = 1, ..., n, são somente conectadas dentro de uma única célula. Assim, estas incógnitas podem facilmente ser excluídas:

(3.7) e

p = [s^TM+ Ζ.ψ- f -ff^TM^_iCâ). (3.8) [00113] Devido à estrutura das matrizes Μ, B e D, a matriz B^T M^_1+ D é diagonal, portanto, é invertível.

[00114] Usando-se as relações (3.7) e (3.8) o sistema (3,5) é transformado para o sistema:

SZ-ξ (3.9) onde = C^TM ⁴C - C^TM ~¹Cü(b^tM + d)' 8^TM ^lC + Σ e

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33/36 f =C^IM-'gD-C^IM-^lB{B^TM 'B + D)'{,/' +B^rM-'gD)-g_K [00115] A matriz S é chamada “matriz condensada”. Esta matriz é simétrica e definida positiva, exceto o caso de condições limites de Neumann quando S é definida semi-positiva, porém tem vetor cerne - constante simples. Esta matriz é global por natureza, conectando todos os nodos ou células entre si. O sistema grande de equações lineares pode ser resolvido simultaneamente.

[00116] Qualquer método iterativo pode ser aplicado para resolver o sistema de equações lineares (3.9) com aquela matriz. Um método é método de Gradiente Conjugado Precondicionado (PCG), entretanto outros métodos podem ser usaDOS. Observe-se que em caso de definição semi-positiva PCG deve ser realizado no subespaço ortogonal ao cerne. Após resolver o sistema (3.9), as incógnitas primárias p e ü podem ser recuperadas localmente elemento-por-elemento usando-se as equações (3.8) e (3.7) respectivamente.

[00117] A matriz S podem ser também apresentadas como

J-1

J onde

5, = cfwfc, - c[m[c,b,(b1m;'b, + d,)'b[m, 'c_t + Σ;

e M são as matrizes de montagem correspondentes. O lado direito de (3.9) tem uma representação similar.

[00118] Observe-se que as formas de realização da invenção podem operar com uma única incógnita primária, p. ex., temperatura ou pressão e seu fluxo associado. Outras formas de realização podem operar com mais do que uma incógnita primária. [00119] Os vários processos e métodos resumidos acima podem ser combinados em um ou mais diferentes métodos, usados em um ou mais diferentes sistemas, usados em um ou mais diferentes produtos de programa de computador, de acordo

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34/36 com várias formas de realização da invenção.

[00120] Por exemplo, um método exemplar 1000 pode formar uma grade prismática, como mostrado na Figura 10. Os aspectos geológicos e geométricos de interesse, tais como limites pinch-out, linhas de falha, ou locais de poços, são projetados em plano horizontal, empregando-se projeção ortogonal 1001. Uma malha de conformação retangular fina é gerada que cobre todos os aspectos do domínio projetado do mesmo tamanho que a grade fina em que os dados do material são providos.

[00121] A grade retangular é separada em triângulos 1003. As várias linhas e pontos da grade podem representar, por exemplo, as linhas de falha e locais de poço. Os triângulos são asperizados de maneira não-uniforme 1004. É desejável manter-se a triangulação fina próximo de alguns aspectos geológicos ou geométricos, porém tendo resolução mais grosseira afastada destes aspectos permitirá análise mais fácil. Uma tal grade consiste somente de triângulos. A grade mais tomada áspera é projetada verticalmente sobre todas as superfícies limite de todas as camadas, para formar a grade prismática 1005. Tal grade conterá células, que podem ser prismas triangulares, tetraedros ou pirâmides. A grade prismática desestruturada, construída de tal maneira a aproximar as superfícies limite de todas as camadas. Observe-se que em problemas de subsuperfície de convecção-difusão os dados de entrada são associados com milhões de nodos.

[00122] Outro método pode ser resolver um problema de convecção-difusão para uma bacia geológica 1100 como mostrado na Figura 11. Uma grade é formada que modela a bacia 1101. Observe-se que a grade pode ser formada pelo método 1000 mostrado na Figura 10 ou outro método pode ser usado. O método associa um grau de liberdade por célula da grade no centro da célula para incógnita primária e um grau de liberdade por cada face das células no centro da face para componentes normais de fluxo 1102. A grade, com graus associados de liberdade, é analisada usando-se uma abordagem de elemento finito misto 1103. Esta análise produz uma equação de matriz esparsa. O método pode então resolver a equação de matriz para obter tanto a(s) incógnita(s) primária(s) como os componentes normais do fluxo da(s)

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35/36 incógnita(s) nas faces das células 1104.

[00123] Observe-se que qualquer uma das funções descritas aqui pode ser implementada em hardware, software e/ou firmware e/ou qualquer de suas combinações. Quanto implementados em software, os elementos da presente invenção são essencialmente os segmentos código para realizar as tarefas necessárias. O programa ou segmentos de código podem ser armazenados em um meio legível por computador ou transmitido por um sinal de dados de computador. O “meio legível por computador” pode incluir qualquer médio que possa armazenar ou transferir informações. Exemplos do meio legível por computador incluem um circuito eletrônico, um dispositivo de memória semicondutor, uma ROM, uma memória flash, uma ROM apagável (EROM), um disquete, um disco compacto CD-ROM, um disco óptico, um disco rígido, um meio óptico de fibra etc. O sinal de dados de computador pode incluir qualquer sinal que possa propagar-se através do meio de transmissão, tal como canais de rede eletrônica, fibras ópticas, ar, eletromagnético, ligações RF etc. Os segmentos de código podem ser baixados via redes de computador, tais como a Internet, Intranet etc.

[00124] A Figura 12 ilustra um sistema de computador 1200, adaptado para usar a presente invenção. A unidade de processamento central (CPU) 1201 é acoplada ao barramento de sistema 1202. A CPU 1201 pode ser qualquer CPU de finalidade geral, tal como um processador Intel Pentium. Entretanto, a presente invenção não é restringida pela arquitetura da CPU 1201, contanto que a CPU 1201 suporte as operações inventivas como descrito aqui. O barramento 1202 é acoplado à memória de acesso aleatório (RAM) 1203, que pode ser SRAM, DRAM ou SDRAM. A ROM 1204 é também acoplada ao barramento 1202, que pode ser PROM, EPROM ou EEPROM. As RAM 1203 e ROM 1204 mantêm dados e programas de usuário e de sistema, como é bem conhecido na arte.

[00125] O barramento 1202 é também acoplado ao cartão controlador de entrada/saída (l/O) 1205, cartão adaptador de comunicações 1211, cartão de interface de usuário 1208 e cartão de monitor 1209. O cartão adaptador l/O 1205 conecta-se aos dispositivos de armazenagem 1206, tal como uma ou mais unidade

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36/36 de disco rígido, uma unidade CD, uma unidade de disquete, uma unidade de fita, ao sistema de computador. O adaptador l/O 1205 pode ser conectado à impressora, o que permitiría que o sistema imprimisse cópias de papel de informações, tais como documento, fotografias, artigos etc. Observe-se que a impressora pode ser uma impressora (p. ex., jato de tinta, leiser etc.), uma máquina de fax ou uma máquina copiadora. O cartão de comunicações é adaptado para acoplar-se ao sistema computador 1200 a uma rede 1212, que pode ser uma ou mais de uma rede de telefone, uma rede local (LAN) e/ou uma de larga área (WAN), uma rede Ethernet e/ou a rede Internet. O cartão de interface de usuário 1208 acopla os dispositivos de entrada do usuário, tais como um teclado 1213 e dispositivos de apontamento 1207, para o sistema de computador 1200. O cartão de interface de usuário 1208 pode também prover saída de som para o usuário via alto-falante(s). O cartão de monitor 1209 é acionado pela CPU 1201 para controlar o monitor do dispositivo de display 1210.

[00126] Embora a presente invenção e suas vantagens tenham sido descritos em detalhes, deve ser entendido que várias mudanças, substituições e alterações podem ser feitas aqui sem desvio do espírito e escopo da invenção, como definido pelas reivindicações anexas. Além disso, o escopo do presente pedido não é para ser limitado às formas de realização particulares do processo, máquina, manufatura, composição de matéria, meios, métodos e etapas descritas na especificação. Como uma pessoa de habilidade comum na arte prontamente apreciará pela descrição da presente invenção, processos, máquinas, manufatura, composições de matéria, meios, métodos ou etapas presentemente existentes ou a serem posteriormente desenvolvidos que realizem substancialmente a mesma função ou obtenham essencialmente o mesmo resultado que as formas de realização correspondentes descritas aqui, podem ser utilizados de acordo com a presente invenção. Por conseguinte, as reivindicações anexas são para incluir dentro de seu escopo tais processos, máquinas, manufatura, composições de matéria, meios, métodos ou etapas.

Claims

REIVINDICAÇÕES

1. Método para modelar um processo físico e um fluxo do processo físico em um computador, o dito método sendo caracterizado pelo fato de compreender:

receber dados que definem pelo menos uma características física da região física;

formar (1101) uma grade prismática desestruturada, que modele uma região física, em que o processo físico opera dentro da região física e a grade prismática compreende uma pluralidade de células, e em que a etapa de formar compreende:

(i) prover (1003) uma malha triangular em um plano de um modelo da região física, em que a malha compreende uma pluralidade de células;

(ii) tornar áspera (1004) a malha triangular em uma maneira nãouniforme, de modo que as células que são menos desejáveis sejam maiores; e (iii) projetar (1005) a malha triangular tornada áspera em uma direção ortogonal ao plano da região física, para formar a grade prismática.

designar (1102) uma pluralidade de graus de liberdade para o processo físico e o fluxo para cada célula;

aplicar (1103) análise de elemento finito misto a cada uma das células, para produzir uma matriz; e resolver (1104) a matriz para determinar o processo físico e o fluxo na região.
2. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de a grade prismática compreender uma pluralidade de células prismáticas (401), uma pluralidade de células piramidais (402) e uma pluralidade de células tetraédricas (403).
3. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de atribuir compreender:

atribuir um grau de liberdade para o processo físico para cada célula; e atribuir outro grau de liberdade para cada face da célula para cada célula,
4. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de

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2/3 aplicar compreender:

utilizar uma abordagem div-constante parta formar o espaço de elemento finito.
5. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de compreender ainda:

utilizar o processo físico determinado e fluxo para afetar uma mudança na região física.
6. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de o processo físico ser um de temperatura e pressão e a região física ser uma bacia geológica de subsuperfície.
7. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de que a região física compreende uma pluralidade de estratos (101-107), e em que cada uma das células da malha triangular tornada áspera é separada em sub-células de acordo com os estratos.
8. Método de acordo com a reivindicação 7, caracterizado pelo fato de tornar áspero compreender:

projetar os dados sobre um plano; e utilizar os dados para determinar que células são menos desejáveis.
9. Método de acordo com a reivindicação 8, caracterizado pelo fato de o modelo incluir aspectos modelados que modelam os aspectos físicos da região física e em que a utilização compreender:

designar um valor de prioridade para cada célula, em que o valor é determinado com base em se cada célula está próxima de um aspecto modelado e um tipo do aspecto modelado.
10. Método de acordo com a reivindicação 7, caracterizado pelo fato de prover uma malha triangular compreender:

prover uma malha retangular no plano; e dividir cada célula da malha retangular ao longo de pelo menos uma diagonal.
11. Método de acordo com a reivindicação 7, caracterizado pelo fato de

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3/3 tornar áspero compreender:

fundir dois triângulos adjacentes pela eliminação de um lado comum aos dois triângulos adjacentes.
12. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de o processo físico ser um processo de convecção-difusão.
13. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de o processo físico envolver a formação de material hidrocarbonado.
14. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de o processo físico envolver o movimento de material hidrocarbonado.
15. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de compreender ainda:

derivar os dados de informação de um sensor que mediu pelo menos uma característica física da região física.