JP6854636B2 - 物理座標におけるモーダル減衰を用いた構造動力学問題を効果的に解くこと - Google Patents

Description

本発明は、一般にコンピュータプログラムおよびシステムの分野に関し、詳細には、コンピュータ支援設計（ＣＡＤ）、コンピュータ支援エンジニアリング（ＣＡＥ）、モデル化、およびシミュレーションの分野に関する。

部品または部品のアセンブリの設計のために、いくつかのシステムおよびプログラムが市場で提供されている。これらのいわゆるＣＡＤシステムは、ユーザがオブジェクトまたはオブジェクトのアセンブリの複雑な３次元モデルを構築および操作することを可能にする。したがって、ＣＡＤシステムは、実世界オブジェクトなどモデル化オブジェクトの表現を、エッジまたはラインを使用して、場合によってはフェイスを使用して提供する。ライン、エッジ、フェイス、またはポリゴンは、様々に、たとえば非一様有理Ｂスプライン（ＮＲＵＢＳ：ｎｏｎ−ｕｎｉｆｏｒｍ ｒａｔｉｏｎａｌ ｂａｓｉｓ−ｓｐｌｉｎｅｓ）で表現されてよい。

これらのＣＡＤシステムは、主にジオメトリの仕様であるモデル化オブジェクトの部品または部品のアセンブリを管理する。具体的には、ＣＡＤファイルが仕様を含み、そこからジオメトリ（ｇｅｏｍｅｔｒｙ）が生成される。ジオメトリから、表現が生成される。仕様、ジオメトリ、および表現は、単一のＣＡＤファイルまたは複数のＣＡＤファイル内に記憶されてよい。ＣＡＤシステムは、モデル化オブジェクトを設計者に対して表現するためのグラフィックツールを含み、これらのツールは、複雑なオブジェクトの表示専用である。たとえば、アセンブリは、数千の部品を含むことがある。

ＣＡＤシステムおよびＣＡＥシステムの出現は、オブジェクトのための広範な表現可能性を可能にする。１つのそのような表現は、有限要素解析モデルである。有限要素解析モデル、有限要素モデル、有限要素メッシュ、およびメッシュという用語は、本明細書で交換可能に使用される。有限要素モデルは、一般にＣＡＤモデルを表し、したがって１または複数の部品または部品のアセンブリ全体を表してよい。有限要素モデルは、メッシュと称される格子を作るために相互接続される、ノードと呼ばれる点のシステムである。有限要素モデルは、それが表す、下にある１または複数のオブジェクトの特性をＦＥＭが有するようにプログラムされてよい。有限要素モデルは、そのようにプログラムされるとき、それが表すオブジェクトのシミュレーションを実施するように使用されてもよい。たとえば、有限要素モデルを使用し、車両の内部空洞、構造を囲む音響流体、および、たとえばステントなど医療デバイスを含む任意の数の実世界オブジェクトを表してもよい。所与の有限要素モデルがオブジェクトを表し、そのようにプログラムされるとき、それを使用し、実世界オブジェクトそれ自体をシミュレーションしてもよい。たとえば、ステントを表す有限要素モデルは、実生活の医療セッティングにおけるステントの使用をシミュレーションするために使用されてもよい。

これらのシミュレーションを使用し、シミュレーションされている実世界オブジェクトの設計を改善することができる。たとえば、動的システムの有限要素モデルをシミュレーションにおいて使用し、システムの破損点を識別することができる。次いで、有限要素モデルによって表され、最終的に実世界オブジェクトそれ自体を表す３次元ＣＡＤモデルを、シミュレーションからのフィードバックを使用して改善することができる。有限要素モデルのシミュレーションを実施するための、また下にあるＣＡＤモデルを改善するための方法論があるが、これらの既存の方法論は、効率を改善するための機能から利益を得ることができる。

Ａｂａｑｕｓ Ｔｈｅｏｒｙ Ｇｕｉｄｅ， Ｒｅｌｅａｓｅ ６．１４ Ｃｒａｉｇ ｅｔ ａｌ．， Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ， ２ｄ ｅｄ．， Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ ＆ Ｓｏｎｓ， Ｉｎｃ．， （２００６） Ｇｉｒａｒｄ ｅｔ ａｌ．， Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｉｎ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ， Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ ＆ Ｓｏｎｓ， Ｉｎｃ．， （２００８） Ｈｉｌｂｅｒ ｅｔ ａｌ．， "Ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎ， Ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ ａｎｄ ’Ｏｖｅｒｓｈｏｏｔ’ ｆｏｒ Ｔｉｍｅ Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ Ｓｃｈｅｍｅｓ ｉｎ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ，" Ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ， ｖｏｌ． ６， ｐｐ． ９９−１１７ Ｈｉｌｂｅｒ ｅｔ ａｌ．， "Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｔｉｍｅ Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ Ｓｃｈｅｍｅｓ ｉｎ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ，" Ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ， ｖｏｌ． ５， ｐｐ， ２８３−２９２， （１９７７） Ｈｉｌｂｅｒ ｅｔ ａｌ．， "Ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎ， Ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ， ａｎｄ ’Ｏｖｅｒｓｈｏｏｔ’ Ｆｏｒ Ｔｉｍｅ Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ Ｓｃｈｅｍｅｓ ｉｎ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ，" Ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ， ｖｏｌ． ６， ｐｐ． ９９−１１７ （１９７８） Ｎｅｗｍａｒｋ， "Ａ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ，" Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ Ｄｉｖｉｓｉｏｎ， ＡＳＣＥ， ｐｐ． ６７−９４， （１９５９） Ｂａｔｈｅ， Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ａｎａｌｙｓｉｓ， Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌ， （１９８２） Ｃｒａｉｇ， Ｒ．Ｒ．， Ｋｕｒｄｉｌａ， Ａ．Ｊ． Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ −２ｎｄ ｅｄ．， Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ ＆ Ｓｏｎｓ， Ｉｎｃ．， （２００６） Ｇｉｒａｒｄ， Ａ． Ｒｏｙ， Ｎｉｃｏｌａｓ． Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｉｎ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ， Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ ＆ Ｓｏｎｓ， Ｉｎｃ．， （２００８） Ｗｉｌｓｏｎ Ｅ．Ｌ， Ｐｅｎｓｉｅｎ Ｊ．， "Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｄａｍｐｉｎｇ ｍａｔｒｉｃｅｓ"， Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏｒ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ｖｏｌ． ４， ｐｐ． ５−１０， （１９７２） Ｃｌｏｕｇｈ Ｒ．Ｗ．， Ｐｅｎｚｉｅｎ Ｊ．， Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ， ３ｒｄ ｅｄ．， Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ＆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ， （２００３） Ｂｉａｎｃｈｉ， Ｊ．−Ｐ， Ｂａｌｍｅｓ， Ｅ．， Ｖｅｒｍｏｔ Ｇ． ｄｅｓ Ｒｏｃｈｅｓ， Ｂｏｂｉｌｌｏｔ Ａ．， "Ｕｓｉｎｇ Ｍｏｄａｌ Ｄａｍｐｉｎｇ ｆｏｒ Ｆｕｌｌ Ｍｏｄｅｌ Ｔｒａｎｓｉｅｎｔ Ａｎａｌｙｓｉｓ． Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ Ｐａｎｔｏｇｒａｐｈ−Ｃａｔｅｎａｒｙ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ"， Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ２４ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｎｏｉｓｅ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ （ＩＳＭＡ２０１０）， （２０１０） Ｋｏｒｏｔｋｏｖ， Ｖ．Ａ．， Ｉｖａｎｏｖ， Ｎａｕｍｋｉｎ， "Ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ Ｍｏｄａｌ Ｄａｍｐｉｎｇ Ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ Ｒａｙｌｅｉｇｈ Ｄａｍｐｉｎｇ ｉｎ Ｆｌｏｏｒ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ Ｓｐｅｃｔｒａ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｎ Ｃｉｖｉｌ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｏｆ Ｎｕｃｌｅａｒ Ｐｏｗｅｒ Ｐｌａｎｔｓ （ＮＰＰ） Ｕｎｄｅｒ Ａｉｒｃｒａｆｔ Ｃｒａｓｈ"， Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ Ｓｉｍｕｌｉａ Ｃｕｓｔｏｍｅｒ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ， （２０１４） Ｈａｇｅｒ Ｗ．Ｗ． "Ｕｐｄａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ａ ｍａｔｒｉｘ"， ＳＩＡＭ Ｒｅｖｉｅｗ， ｖｏｌ． ３１， Ｎｏ． ２， ｐｐ． ２２１−２３９， （１９８９） ａｎｄ Ｈｉｇｈａｍ， Ｎ．， Ａｃｃｕｒａｃｙ ａｎｄ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ， ２ｎｄ ｅｄ． ＳＩＡＭ， （１９９６） Ｄｅｍｍｅｌ Ｊ．Ｗ． Ａｐｐｌｉｅｄ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ， ＳＩＡＭ （１９９７） Ｂａｋｈｖａｌｏｖ， Ｎ．Ｓ．， Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ： Ａｎａｌｙｓｉｓ， Ａｌｇｅｂｒａ， Ｏｒｄｉｎａｒｙ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ， ＭＩＲ， （１９９７） Ｓａａｄ， Ｙ．， Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ｓｐａｒｓｅ Ｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ＳＩＡＭ， （２００３） ｖａｎ ｄｅｒ Ｖｏｒｓｔ， Ｈ．Ａ．， Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｋｒｙｌｏｖ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ｌａｒｇｅ Ｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ， Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， （２００３） Ａｂａｑｕｓ Ｔｈｅｏｒｙ Ｇｕｉｄｅ， Ｒｅｌｅａｓｅ ６．１４． Ｄａｓｓａｕｌｔ Ｓｙｓｔｅｍｅｓ， （２０１４） Ｈｉｌｂｅｒ， Ｈ．Ｍ．， Ｈｕｇｈｅｓ， Ｔ．Ｊ．Ｒ．， Ｔａｙｌｏｒ， Ｒ．Ｉ．， "Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｔｉｍｅ Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｉｎ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ"， Ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ， Ｖｏｌ． ５， ｐｐ． ２８３−２９２， （１９７７） Ｈｉｌｂｅｒ， Ｈ．Ｍ．， Ｈｕｇｈｅｓ， Ｔ．Ｊ．Ｒ．， "Ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎ， Ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ ａｎｄ ’Ｏｖｅｒｓｈｏｏｔ’ ｆｏｒ Ｔｉｍｅ Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ Ｓｃｈｅｍｅｓ ｉｎ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ，" Ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ， ｖｏｌ． ６， ｐｐ． ９９−１１７， （１９７８）

本発明は、物理座標におけるモーダル減衰を用いた構造動力学問題を効果的に解くために、構造動的システムの機械的特徴をモデル化するための改善された方法およびシステムを提供する。

本発明の実施形態は、ＣＡＥのための技法を改善し、エンジニアリングシステムの動的シミュレーションのための方法および装置を提供する。たとえば、実施形態を利用し、自動車騒音振動または耐久性シミュレーション、航空宇宙動力学、および安全関連の原子力構造および原子力発電所建築物の地震解析をモデル化することができる。

本発明の一実施形態は、構造動的システムの機械的特徴をモデル化するコンピュータ実装方法を提供する。そのような実施形態は、コンピュータメモリ内で、構造動的システムを表す有限要素モデルを提供することによって始まる。次いで、モデルを記憶するコンピュータメモリに結合されたプロセッサ内で、連立方程式が解かれ、連立方程式は、有限要素モデルの質量、剛性、および減衰の線形結合を表す第１の項と、モーダル減衰（ｍｏｄａｌ ｄａｍｐｉｎｇ）を表す第２の項とを有する。そのような実施形態では、連立方程式は、シャーマン−モリソン−ウッドベリー（Ｓｈｅｒｍａｎ−Ｍｏｒｒｉｓｏｎ−Ｗｏｏｄｂｕｒｙ）の公式または予め条件付けされた反復法を使用して解かれる。次いで、表される構造動的システムの機械的特徴をモデル化するために、有限要素モデルおよびモーダル減衰を用いて解かれた連立方程式の結果を使用して、有限要素モデルに基づく実世界オブジェクトの改善された３Ｄモデルが形成される。

本発明の一実施形態によれば、連立方程式は、シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式を使用して、未知数の補助ベクトルを連立方程式の未知数のセットに含めることによって連立方程式の行列を展開し、次いで展開された行列を有する連立方程式を解くことによって解かれる。一実施形態によれば、未知数の補助ベクトルは、モーダル減衰を表す第２の項内で使用されるいくつかの固有モードと同等であるサイズを有する。

本発明の実施形態は、当技術分野で知られている任意の様々な反復法を使用してもよい。たとえば、一実施形態では、反復法は、リチャードソン反復方式、予め条件付けされた最小残差法、共役勾配法、および一般化最小残差法のうちの少なくとも１つを含む。本発明の１つのそのような実施形態では、予め条件付けされた反復法は、モーダル減衰なしの有限要素モデルの質量、剛性、および減衰の線形結合を表す第１の項を、プレコンディショナとして使用する。

一実施形態によれば、有限要素モデルを提供すること、および連立方程式を解くことは、既存の線形方程式ソルバ内で実施されてもよく、したがって本方法の実施形態を実装する効率をさらに高める。

本発明の実施形態は、任意の様々な構造動的システムをシミュレーションするために使用されてもよい。例示的なシステムは、自動車騒音振動システム、自動車耐久性システム、航空宇宙動力学システム、および地震システムを含む。さらに、実施形態は、速度、加速度、ひずみ、応力、周波数、密度、振動、変位、および力など、これらのシステムの機械的特徴をモデル化してもよい。

本発明の他の実施形態は、構造動的システムの機械的特徴をモデル化するためのコンピュータシステムを対象とする。そのような実施形態によれば、システムは、プロセッサと、コンピュータコード命令が記憶されたメモリとを備える。プロセッサ、およびコンピュータコード命令を有するメモリは、システムに、構造動的システムを表す有限要素モデルを提供させ、提供された有限要素モデルの質量、剛性、および減衰の線形結合を表す第１の項と、モーダル減衰を表す第２の項とを有する連立方程式を解かせるように構成される。そのような実施形態では、連立方程式は、シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式または予め条件付けされた反復法を使用して解かれる。さらに、そのようなコンピュータシステムは、一実施形態によれば、表される構造動的システムの機械的特徴をモデル化するために、有限要素モデルおよびモーダル減衰を用いて解かれた連立方程式の結果を使用することによって、有限要素モデルに基づく実世界オブジェクトの改善された３Ｄモデルを形成するように構成される。

コンピュータシステムの他の実施形態では、シャーマン−モリソン−ウッドベリー公式を使用して連立方程式を解くことは、未知数の補助ベクトルを連立方程式の未知数のセットに含めることによって連立方程式の行列を展開し、次いで展開された行列を有する連立方程式を解くことを含む。そのような実施形態では、補助ベクトルは、モーダル減衰を表す第２の項内で使用される固有モードの数と同等のサイズを有する。

システムの一実施形態によれば、予め条件付けされた反復法は、リチャードソン反復方式、予め条件付けされた最小残差法、共役勾配法、および一般化最小残差法のうちの少なくとも１つを含む。一代替方法では、予め条件付けされた反復法は、モーダル減衰なしの有限要素モデルの質量、剛性、および減衰の線形結合を表す第１の項をプレコンディショナとして使用する。他の実施形態では、システムは、提供すること、および解くことを既存の線形方程式ソルバ内で実装する。

本発明の他の実施形態は、構造動的システムの機械的特徴をモデル化するためのクラウドコンピューティング実装を対象とする。そのような実施形態は、ネットワークをわたって１または複数のクライアントと通信するサーバによって実行されるコンピュータプログラム製品を対象とする。そのような実施形態では、コンピュータプログラム製品は、プログラム命令を含むコンピュータ可読媒体を備え、プログラム命令は、プロセッサによって実行されたとき、構造動的システムを表す有限要素モデルを提供させ、有限要素モデルの質量、剛性、および減衰の線形結合を表す第１の項と、モーダル減衰を表す第２の項とを有する連立方程式を解かせる。そのような実施形態では、連立方程式は、シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式または予め条件付けされた反復法を使用して解かれる。さらに、一実施形態によれば、プログラム命令は、プロセッサによって実行されたとき、さらに、表される構造動的システムの機械的特徴をモデル化するために、有限要素モデルおよびモーダル減衰を用いて解かれた連立方程式の結果を使用することによって、有限要素モデルに基づく実世界オブジェクトの改善された３Ｄモデルを形成させる。

前述は、同様な符号が異なるビュー全体を通じて同じ部品を指す添付の図面に示されている本発明の例示的な実施形態の以下のより特定の説明から明らかになる。これらの図面は、必ずしも原寸に比例しておらず、それどころか本発明の実施形態を例示することに力点が置かれている。

少なくとも１つの実施形態による構造動的システムの機械的特徴をモデル化するコンピュータ実装方法の流れ図である。 本発明の実施形態の原理を使用して構造動的システムをモデル化する際に達成された収束の改善を示すグラフである。 本発明の実施形態の原理を使用して構造動的システムをモデル化する際に達成された収束の改善を示すグラフである。 本発明の実施形態による構造動的システムを解くために必要とされる反復の推定数を示すグラフである。 本発明の実施形態による構造動的システムを解くために必要とされる反復の推定数を示すグラフである。 一実施形態による構造動的システムの機械的特徴をモデル化するためのコンピュータシステムの簡易ブロック図である。 本発明の実施形態が実装されるコンピュータネットワーク環境の簡易図である。

以下は、本発明の例示的な実施形態の説明である。

本明細書に記載のすべての特許、公表されている出願、および参考文献は、それらの全体が参照により組み込まれている。

本発明の実施形態は、構造動的システムの機械的特徴をモデル化するための方法およびシステムを提供する。Ｄａｓｓａｕｌｔ Ｓｙｓｔｅｍｅｓによる非特許文献１に記載されているように、有限要素法で解かれる非線形構造動力学問題の運動方程式は、下記の式（１）の一般的な形態をとる。

上式で、左側の第１の項

は、慣性力ベクトルを表し、左側の第２の項

は、内力ベクトルを表し、ｆ（ｔ）は、外的に加えられる力のベクトルであり、ｕは、変位の未知のベクトルである。本明細書では、「オーバードット」という表記を使用し、時間導関数を表す。線形構造動力学問題の場合、式（１）は、

の形態をとり、Ｍ、Ｋ、およびＣをそれぞれ質量行列、剛性行列、および粘性減衰行列として有する。

過渡動的問題を解くことは、式（１）または式（２）を、時間ｔ＝０での変位および速度を指定する適用された初期条件と積分することを必要とする。これは、関係（３）によって下記に示される。

定常状態動的解析をエンジニアリングシステムの構造動的シミュレーションにおいて広く使用し、定常状態時間高調波励起に対するシステムの応答を計算する。減衰弾性構造のための定常状態動的問題は、励起周波数の所与のセットからの各周波数で解かれる以下の連立複素線形代数方程式に還元される。
（−ω²Ｍ＋ｉωＣ＋Ｋ＋ｉＳ）Ｕ＝Ｆ，ω∈｛ω₁，ω₂，．．．，ω_N｝ （４）
式（４）において、ωは、時間高調波励起の角周波数であり、

であり、Ｆは、複素負荷であり、Ｕ＝Ｕ（ω）は、複素周波数応答である。式（４）の左側において、Ｍ、Ｋ、およびＣは、それぞれ質量行列、剛性行列、および粘性減衰行列であり、Ｓは、周波数領域動的解析で使用される構造減衰行例である。多数のエンジニアリングシミュレーションにおいて、式（４）の左側および右側の行列は、励起周波数ωに基づくことができる。

エンジニアリングシステムのシミュレーションを実施するために使用される様々な技法がある。エンジニアリングシステムの動的応答計算を実施するための非直接法および直説法など。本明細書で使用されるとき、「直接（ｄｉｒｅｃｔ）」は、動的応答を物理座標において計算する構造動的解法を指す。たとえば、周波数応答のために式（４）など連立複素線形方程式を、ガウスの消去法の変形形態を使用して、または反復法を使用して解くことは、この分類による直接解法である。同様に、式（１）および式（２）など運動方程式の１つずつの数値積分もまた、直接構造動力学解法と考えられる。

非直接方法論は、モード重ね合わせである。モード重ね合わせまたは正規モード法は、非減衰系の固有モードの線形結合の形態にある動的応答表現に基づく適切な技法である。そのような方法論は、非特許文献２および非特許文献３にさらに記載されている。モード重ね合わせ法は、システムの運動方程式を主座標に変換し、還元された運動方程式の得られたセットを解くことによって大きな線形システムの動的応答を得るために広く使用される。しかし、非線形性を有するシステムまたは周波数依存性の機械的特性を有する周波数領域問題など、いくつかの構造動力学問題は、このようにして効果的に処理することができない。そのようなシステムは、運動方程式を有限要素節点自由度または物理座標に対して直接法によって解くことを必要とする。

また、エンジニアリングシステムの動的応答を計算するための様々な直接時間積分法がある。過渡動的問題を解くための直接数値積分アルゴリズムは、陰または陽として広く特徴付けることができる。陽方式は、時間ｔでの使用可能な値に全体的に基づいて、時間ｔ＋Δｔでの力学的量のための値を得る。そのような方法論では、Δｔは、時間増分である。陽方式は、条件付き安定であるにすぎず、安定性限界は、シミュレーションされているモデル内の最も小さい要素寸法を弾性波が横断するための時間にほぼ等しい。陰方式は、時間ｔ＋Δｔでの力学的量をｔでの値だけでなくｔ＋Δｔでのこれらの同じ量にも基づいて解くことによって、時間ステップサイズに対するこの上界を除去する。さらに、これらが陰であるので、非線形方程式は、非線形動的解析の時間増分ごとに解かれなければならない。非特許文献４に記載されているように、陰積分方式を使用して解かれる構造問題は、通常、陽方式の安定性限界より一般に１桁または２桁大きい時間ステップで受け入れられる解を与えるが、応答予測は、時間ステップΔｔが典型的な応答モードの周期Ｔに対して増大するにつれて劣化することになる。許容される時間ステップサイズを選択するとき、一般に、３つのファクタ、すなわち加えられる負荷の変動率、非線形減衰の複雑さ、および構造の振動の典型的な周期が考慮される。一般に、

の最大増分対周期比が、信頼できる結果を得るための良好な規則である。下記は、陽および陰時間積分の例であるが、下記で論じられる様々な方法論が、他の陽または陰動的積分アルゴリズムにも適用可能であることに留意されたい。

陽動的積分手順の一例が、Ｄａｓｓａｕｌｔ Ｓｙｓｔｅｍｅｓによる非特許文献１に記載されているように、Ａｂａｑｕｓ（登録商標）に使用されている。Ａｂａｑｕｓ（登録商標）に使用されている陽動的積分手順は、陽積分規則を、対角または「集中（ｌｕｍｐｅｄ）」有限要素質量行列の使用と共に実装することに基づく。式（１）によって与えられる運動方程式は、陽中心差分積分規則を使用して積分され、下記の式（５）を生み出す。

上式で、ｕ、

および

は、それぞれ変位ベクトル、速度ベクトル、および加速度ベクトルである。ここで、および下記では、下付文字ｎは、第ｎステップの時間値、すなわち

を指す。下付文字ｎ−０．５およびｎ＋０．５は、中間ステップ値を指す。中心差分積分演算子は、運動状態を、前のステップからの

および

の既知の値を使用して進めることができるという意味で陽である。

陽積分規則（５）は非常に単純であるが、陽動力学手順に関連する計算効率をそれ自体提供しない。陽手順の計算効率に対する鍵は、式（６）の形態で慣性力ベクトルを対角または集中質量行列と共に使用することである。

なぜなら、質量行列の反転が、

によって与えられる増分の開始時に加速のために計算で使用されるからである。

別の直接方法論は、陰の動的積分アルゴリズムである。１つのそのような陰の動的積分アルゴリズムは、非特許文献５、６でヒルバー、ヒューズ、およびテイラーによって提案されているα法である。α法は、（式（８）によって示されている）以下の内挿に依拠し、これは、非特許文献７によって説明されているように、構造動力学解アルゴリズムのニューマークタイプの系統にとって一般的である。

式（８）において、ｕ_n、

および

は、時間ｔ_nでの変位ベクトル、速度ベクトル、および加速度ベクトルであり、γおよびβはパラメータである。

式（８）は、主未知数としてのｕ_n+1で、式（９）に示されているように解くことができる。

α法演算は、時間ステップの終了時における慣性力のバランス、ならびに時間ステップの開始時および終了時における内力および外力の加重平均で式（１）を置き換え、式（１０）を生み出す。

得られる連立非線形代数方程式は、解の近傍で２次収束を有するニュートン−ラフソン反復法（Ｎｅｗｔｏｎ−Ｒａｐｈｓｏｎ）、セカント（ｓｅｃａｎｔ）法、または疑似ニュートン法によって解くことができ、これについては、非特許文献８に記載されている。前述の方法論はすべて、１時間ステップ当たりいくつかの反復で反復ごとに線形化された方程式を解く。たとえば、式（１０）の残差を次のように定義することができるニュートン−ラフソン反復法を考えてみる。

式（１１）の（ｎ＋１）番目の時間ステップについてのニュートン法のｋ回目の反復において、以下の連立線形方程式が解かれる。

上式で、

そのような方法論を使用して、残差（１１）を微分することによって、行列

が得られ、式（９）を使用することにより、下記の式（１４）が生み出される。

α法は、線形構造動力学問題（２）に適用することができ、これは以下の連立方程式を与える。

次いで連立方程式（１５）を、各時間ステップで解くことができる。時間増分がステップ間で変化しない、Δｔ_n+1＝Δｔ＝ｃｏｎｓｔである場合には、式（１５）の左側でｕ_n+1を乗じる行例は、時間ステップで変化しない。この制約行列が因数分解された後で、各時間ステップでの変位のための解は、右側の計算と、前進消去および後退代入とを必要とするだけである。

減衰は、構造動力学において重要な問題であるが、減衰は、構造動的システムをシミュレーションすることをさらに複雑にする可能性がある。速度依存性の粘性減衰、変位依存性の構造減衰、接触表面上の摺動摩擦を考慮した接触減衰、減衰との線形接続および非線形接続、粘弾性材料および弾塑性材料、ならびに多数の他のものなど、減衰の様々な異なるモデルが使用可能である。様々な減衰モデルが、非特許文献９、１０、１１に記載されている。

粘性減衰は、速度依存性である。直接構造動的解法は、線形または非線形のダッシュポットおよびコネクタ要素、表面相互作用減衰、材料減衰、時間領域または周波数領域粘弾性、ならびに比例レイリー減衰を含むことができる一般的な粘性減衰をサポートする。異なる粘性減衰源は、内力ベクトルに貢献し、異なる減衰源は、シミュレーションされる構造動的システムに基づく線形化されたモデルのグローバル粘性減衰行列を形成する。グローバル粘性減衰行列は、通常、有限要素法の他のグローバル演算子がそうであるように疎である。

いわゆる「ヒステリシス減衰」または「構造減衰」は、有用な、しかし複雑な減衰モデルである。エネルギー放散が複素剛性によりモデル化され、これは、変位依存性の減衰をもたらす。複素剛性は、物理法則を使用して導出することができない。これは、周波数領域でのみ適用可能である。構造減衰演算子は、材料減衰、複素ばね、およびコネクタからの貢献を含むことができる。さらに、構造減衰演算子は、実際の剛性に比例するように設定することができ、または、行列として定義しモデル内にインポートすることができる。直接周波数応答解析が、周波数領域における一般的なグローバルの疎な構造減衰演算子をサポートする。エンジニアリングシミュレーションにおいて一般的な粘性および構造減衰を使用することは、減衰モデルを測定結果および実験データに対して調整することを必要とし、これは挑戦的なタスクとなる。

別の減衰モデルは、モーダル減衰である。モーダル減衰は、モーダル重ね合わせ法に関連して定義される。モーダル減衰では、矩形行列Φ_1...mおよび対角行列Ω_1...m＝ｄｉａｇ（ω₁，．．．，ω_m）は、式（１６）によって与えられる一般化固有値問題の部分解である。

上式で、ＭおよびＫは、それぞれ質量行列および剛性行列であり、Ｉは、ｍ×ｍ単位行列である。行列Φ_mの列は、質量正規化固有ベクトル（モード形状）であり、ｍは、固有モードの数を示し、ω₁，ｉ＝１，．．．，ｍは、線形システムの固有周波数である。モーダル粘性および構造減衰行列は、非特許文献９、１１、１２に、
Ｃ_modal＝ΨＤΨ^T，Ｓ_modal＝ΨＨΨ^T （１７）
として定義されており、上式で、
Ψ＝ＭΦ_1...m （１８）
である。

そのような方法論を実装する際、行列ＤおよびＨは、システム内のエネルギー放散を表すことを容易にするために正の定符号である。さらに、そのような方法論では、関係（１９）が真である。

通常、ｍ×ｍ行列ＤおよびＨは、対角となるように選ばれる。
Ｄ＝ｄｉａｇ（ｄ₁，．．．，ｄ_m）、Ｈ＝ｄｉａｇ（ｈ₁，．．．，ｈ_m） （２０）
しかし、これらの比較的「小さい」行列が密になるための基本的な制限はない。対角モーダル減衰は、モードがあるのと同数の減衰係数をもたらし、これは、測定結果に対してこれらの係数を容易に調整することを容易にすることができる。典型的には、対角粘性および構造減衰エントリは、

によって与えられる減衰率および固有周波数ω_iを通じて表され、上式で、ζ_iは、ｉ番目の固有モードについての粘性モーダル減衰率であり、ζ_i＝１は、ｉ番目の固有モードが臨界減衰され、より大きな値は過減衰され、より小さな値は不足減衰されることに対応し、η_i＝１は、ｉ番目の固有モードについてのヒステリシス減衰比である。ζ_iの典型的な値は、０．０１≦ζ_i≦０．１の範囲内にある。さらに、減衰率ζ_iおよびη_iを決定するための実験的方法は、とりわけ非特許文献９、１０に論じられている。

モーダル減衰は、広い周波数範囲について減衰の比較的正確な表現を提供する。非線形過渡動的解析を含む構造動的シミュレーションのすべてのタイプは、モーダル減衰を使用することから利益を得ることができる。これは、非特許文献９に記載されており、非特許文献１３、１４など、いくつかの出版物において比較的単純な機械システムの研究を通じて提供されている。モーダル減衰行列は、主座標において予め定義された単純な形態を有し、モード重ね合わせにおいてモーダル減衰行列を使用することを自然かつ効果的にする還元されたモーダル部分空間に対応する。これは、非特許文献９、１０、１２で観察されている。これは有益となるが、物理座標においてモーダル減衰を用いて構造動力学問題を解くことは、行列Ｃ_modalおよびＳ_modalが「大きな」密なグローバル行列であるため、著しい計算上の挑戦課題をもたらす。疎行列のために設計された直接線形代数ソルバは、モーダル減衰行列で効果的に機能することができない。

本発明の実施形態は、物理座標においてモーダル減衰を用いて動的問題を解くための方法およびシステムを提供する。そのような方法論は、本明細書において下記で述べる、式（３２）など特別な形態Ａ＝Ｂ＋ΨＧΨ^Tの連立線形方程式を解くことを必要とする。前述の連立方程式では、右側の第１の行列は、モーダル減衰なしの動的解析におけるものと同じである。右側の第２の項は、モーダル減衰を定義する比較的低いランクの行列である。実施形態は、そのような行列で数百万の未知数を有する連立方程式を効果的に解く。

したがって、本発明の実施形態は、物理座標においてモーダル減衰を用いて構造動的問題を効果的に解くために利用することができる。実施形態は、物理座標におけるモーダル減衰を用いた動的解析のユースケースのために典型的なものである、本明細書において下記に記載されている式（３１）など構造動的システムの機械的特徴をモデル化するための連立方程式を解くために複数の手法を提供する。１つのそのような手法は、シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式に基づくものであり、（式３３によって示されているように）公式を直接使用するのではなく、そのような実施形態は、式（３４）によって与えられる展開された連立方程式を解く。本発明の別の実施形態は、モーダル減衰なしの従来の演算子で予め条件付けされた反復法を、モーダル減衰を用いて問題を解くための反復アルゴリズムに対するプレコンディショナとして使用する。

本発明の実施形態を使用することは、非線形性、周波数依存性の機械的特徴、および物理座標において解析が実施されることを必要とする他の進んだ機械的特徴を有する構造動的システムにおいて減衰の現実的なモデル化を可能にする技法を提供する。これは、既存の有限要素シミュレーション技法を使用して使用可能でない数百万の自由度を有する機械モデルのために物理座標におけるモーダル減衰を用いた動的解析を可能にする。さらに、実施形態は、モーダル減衰を含むことがシステムのより現実的なモデルを生み出すので高い精度のエンジニアリングシミュレーションを提供する。さらに、実施形態は、物理座標空間における有限要素動的解析においてモーダル減衰を含む高性能なスケーラブルアルゴリズムで、より大きな計算効率を提供する。

そのような方法論を実装することにより、実施形態は、他の方法では使用可能でない環境のために現実的なモデル化を提供する。たとえば、実施形態は、とりわけ原子力発電所の陽時間積分動的解析、自動車騒音、振動および不快感のための直接定常状態動的解析、ならびにドアおよびフードを強く閉めることなど車体の非線形過渡動的解析を含む、広範なエンジニアリングシミュレーションにおいてモーダル減衰を実装するために使用することができる。

図１は、本発明の一実施形態による構造動的システムの機械的特徴をモデル化する方法１１０の流れ図である。方法１１０は、ステップ１１１にて、コンピュータメモリ内で、構造動的システムを表す有限要素モデルを提供することによって始まる。そのような実施形態では、有限要素モデルは、モデルが表す構造動的システムの特性を有するようにプログラムされる。たとえば、有限要素モデルは、構造システムの、とりわけ速度、加速度、ひずみ、応力、周波数、密度、振動、変位、および力など機械的特性を有するようにプログラムされてよい。さらに、有限要素モデルは、粘性減衰、構造減衰、乾燥摩擦、非線形接続および相互作用、ならびに他の非保存性の力など、エネルギー放散特性を有するようにプログラムすることができる。同様に、ステップ１１１で提供されるモデルは、自動車騒音振動システム、自動車耐久性システム、航空宇宙動力学システム、および地震システムなど、当技術分野で知られている任意の構造動的システムを表してもよい。同様に、モデルは、とりわけエンジニアリング機器、エレクトロニクス、およびライフサイエンスなど、他の産業応用領域におけるエンジニアリングシステムを表すことができる。

一実施形態によれば、有限要素モデルは、当技術分野で知られている任意の手段を通じてコンピュータメモリ内に獲得されてよい。たとえば、有限要素モデルを任意の通信可能に結合された点からコンピュータメモリに転送することによる。他の実施形態では、モデルは、従来のモデル生成技法を使用してユーザによって作成される。さらに、他の実施形態では、構造動的システムの３次元ＣＡＤモデルが獲得され、次いで１または複数の使用可能なモデル化ソフトウェアパッケージを使用して、３ＤＣＡＤモデルが有限要素モデルに変換される。さらに、コンピューティングデバイス内に実装された方法１１０の一実施形態では、有限要素モデルが提供されるメモリは、コンピューティングデバイスに対して任意の通信可能に結合された点に、たとえば遠隔に、またはローカルに位置してもよい。

ステップ１１１で有限要素モデルを提供した後で、方法１１０は続行し、ステップ１１２で、有限要素モデルの質量、剛性、および減衰の線形結合を表す第１の項と、モーダル減衰を表す第２の項とを有する連立方程式を、メモリに結合されたプロセッサが解く。方法１１０では、連立方程式は、ステップ１１２で、シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式または予め条件付けされた反復法を使用して解かれる。一実施形態によれば、特性、たとえば有限要素モデルの質量、剛性、および減衰は、ステップ１１１で提供された有限要素モデルから自動的に導出されてもよい。他の実施形態では、連立方程式に含まれることになる質量、剛性、および減衰の必要な要素をユーザが提供する。同様に、ユーザは、モーダル減衰を表す項の特性を提供してもよい。さらに、一実施形態では、ユーザは、たとえば異なるステップでモーダル減衰を含める、または除外することによって、解析中にモーダル減衰の使用を制御することができる。たとえば、ユーザは、モーダル減衰を用いて、およびなしでモデルのための解析を実施し、結果上で減衰の効果を見ることができる。

方法１１０の一実施形態によれば、ステップ１１２でのシャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式を使用して連立方程式を解くことは、未知数の補助ベクトルを連立方程式の未知数のセットに含めることによって連立方程式の行列を展開することを含む。そのような実施形態では、補助ベクトルは、モーダル減衰を表す第２の項内で使用される固有モードの数と同等のサイズを有する。前述の展開された行列を解くことに関するさらなる詳細については、本明細書において下記で述べる。

方法１１０の一実施形態によれば、連立方程式は、ステップ１１２で、反復法を使用して解かれてもよい。方法１１０の一実施形態は、当技術分野で知られている任意の反復法を使用してよい。たとえば、実施形態は、リチャードソン反復方式、予め条件付けされた最小残差法、共役勾配法、および一般化最小残差法を使用してもよい。プレコンディショナのための提案されている選択肢は、広範な反復方式について良好な収束をサポートする。したがって、特定の反復法を選択することには主要な違いがなく、反復法は、解析ソフトウェアの使用可能性、開発労力見積もり、または本発明の実施形態に直接関係しない何らかの他の指向に基づいて選ぶことができる。ステップ１１２で連立方程式を解く際に効率を高めるために、方法１１０の一実施形態は、反復法においてプレコンディショナを使用する。一実施形態によれば、プレコンディショナは、モーダル減衰なしの有限要素モデルの質量、剛性、および減衰の線形結合を表す第１の項をプレコンディショナ（ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ）として使用する。

本明細書に記載されているように、方法１１０は、ステップ１１２でシャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式または反復法を使用し、連立方程式を解く。方法１１０のさらなる実施形態は、これらの２つのうちどの方法をステップ１１２で連立方程式を解く際に使用するか決定する。そのような実施形態では、この決定は、解析ソフトウェアの使用可能性、開発労力見積もり、または典型的な有限要素問題のサイズを含む他の指向に基づく。数百万の自由度を有する大規模有限要素シミュレーションのためには、反復手法の方がシャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式に基づく手法より効果的である可能性が高い。しかし、両手法の効果的な応用の領域は、分散メモリシステムのためのアルゴリズムの並列化、対称マルチプロセッシングシステム、および高性能コンピューティングのためのグラフィックプロセッサ（ＧＰＵ）を使用することを含む実装に強く依存する。

方法１１０はステップ１１３で続行し、有限要素モードおよびモーダル減衰を用いて連立方程式を解き、表される構造動的システムの機械的特徴をモデル化することから生成された結果を使用して、有限要素モデルによって表される実世界オブジェクトの改善された３Ｄモデルを形成する。換言すれば、ステップ１１２からの連立方程式を解いた結果をステップ１１３で使用し、構造動的システムのモデルに対する設計変更を通知する。たとえば、構造動的システムが車を表し、シミュレーションが車のドアを強く閉めることをモデル化する場合、結果は、時間の経過につれて、現在のドアヒンジに伴う品質問題があることを示すことがある。そのような破損点は、方法１１０の使用を通じて識別することができ、ヒンジまたはヒンジをドアフレームに接着する溶接部の材料を変更することなど変更を、車のＣＡＤモデルに加え、設計を改善してもよい。

本明細書に記載されているように、方法１１０は、コンピュータによって実装される。したがって、当技術分野で知られている任意の方法を使用してコンピューティングデバイス内に実装されてもよい。たとえば、この方法は、コンピューティングデバイス上に記憶されたプログラムコードを実行することによって実施されてもよい。さらに、一実施形態では、方法１１０は、すでに存在する既存の線形方程式ソルバ内で実装されてもよい。そのような実施形態では、方法１１０のステップ１１１〜１１３を実施するために、既存の線形ソルバが修正される。既存の線形ソルバを使用して方法が実装される代替実施形態によれば、提供すること、および解くことのそれぞれステップ１１１およびステップ１１２は、３Ｄモデル化ソフトウェアプログラムに通信可能に結合される既存の線形ソルバ内に組み込まれ、ステップ１１２で実施される解いた結果を使用して３Ｄモデルを改善することを容易にする。さらに、一実施形態は、本明細書に記載の原理に従って解くこと１１２を実施するために既存の線形ソルバを修正することによって実装されてもよく、既存の線形ソルバは、ステップ１１１で提供された有限要素モデルにアクセスすることができ、ステップ１１３でモデルを改善するように、３Ｄモデルにアクセスすることができる。

本明細書に記載されているように、本発明の実施形態は、構造動的システムの機械的特徴をモデル化するための方法を提供する。本明細書に記載の実施形態を使用できる１つのそのようなモデル化技法は、モーダル減衰を用いた周波数応答解析である。モーダル減衰を用いた周波数応答解析の定常状態動的問題は、式（２２）によって与えられる下記の形態を有する。
［−ω²Ｍ＋ｉω（Ｃ＋Ｃ_modal）＋Ｋ＋ｉ（Ｓ＋Ｓ_modal）］Ｕ＝Ｆ （２２）
上式で、Ｍ、Ｋ、Ｃ、およびＳは、それぞれ一般グローバルの疎な質量行列、剛性行列、粘性減衰行列、および構造減衰行列であり、Ｃ_modalおよびＳ_modalは、式（１７）で定義されたモーダル粘性減衰行列およびモーダル構造減衰行列である。式（２２）は、
［Ｂ＋Ψ（ｉωＤ＋ｉＨ）Ψ^T］Ｕ＝Ｆ （２３）
の形態で書き換えることができ、
Ｂ＝−ω²Ｍ＋ｉωＣ＋Ｋ＋ｉＳ （２４）
である。

本発明の原理を使用して実装することができる別のシミュレーションは、粘性モーダル減衰を用いた非線形過渡解析である。一般式（１）は、左側にモーダル減衰項を追加することによって修正することができ、下記の式（２５）を生み出す。

陽時間積分をそのような実施形態で使用することができ、モーダル減衰項は、式（７）の右側で計算され、式２６を与える。

粘性モーダル減衰を用いて非線形過渡問題をモデル化するための実施形態は、陰時間積分方法論を使用してもよい。陰積分アルゴリズム、たとえば、前述のα法を適用することにより、演算子内でモーダル減衰項が生み出される。たとえば、ｎ＋１番目の時間ステップのためのニュートン法のｋ回目の反復での連立方程式（１２）は、

の形態をとり、上式で、

であり、Ｒ（ｕ_n+1）は、式（１１）によって定義される。

シミュレーションされる構造システムの機械的性質が、非線形性が固有モードに著しく影響を及ぼさないようなものである場合には、式（２５）の左側で

を乗じるモーダル減衰行列を、有限要素モデルの初期の未変形状態から計算し、解析中、一定に保つことができる。しかし、多くの実際の場合、固有モードは、モデルの非線形の変形された構成に依存する。そのような依存性は、時間積分アルゴリズムのいくつかのステップの後でモーダル減衰行列を再計算することによって考慮することができる。そのような再計算は、構造の現在の変形された状態について固有問題を解くことを含む。

本発明の原理を使用して実施することができる別のモデル化解析は、粘性モーダル減衰を用いた線形過渡問題である。そのような解析では、α法を使用しているが、陰積分アルゴリズムの毎回、連立方程式（２９）が解かれる。

上式で、

である。時間増分が一定、Δｔ_n+1＝Δｔ＝ｃｏｎｓｔである場合には、行列Ｂ_n+1は、ステップ間で変化せず、本明細書で上記したように、解アルゴリズム実装内で考慮することができる。

本明細書で上記されているものは、本発明の一実施形態の原理を使用して解くことができる連立方程式（２３）（２７）（２９）を生み出すモーダル減衰を組み込むことができる様々なモデル化技法、たとえば周波数応答解析、非線形過渡問題、および線形過渡問題である。式（２３）（２７）（２９）は、物理座標内でモーダル減衰を用いて周波数応答または過渡動的問題を解くことは、
Ａｘ＝ｂ （３１）
である連立線形方程式を解くことを必要とし、上式で行列Ａは、
Ａ＝Ｂ＋ΨＧΨ^T （３２）
の特別な形態を有する。

動的解の実施は、主にそのような連立方程式を解くことに依存する。式（３１）の左側において、Ｂは、モーダル減衰なしの問題のための直接解法の「従来の」演算子であり、第２の項は、モーダル減衰に関係する。行列Ｂは、物理座標の空間内の有限要素モデルの質量、剛性、および減衰演算子の線形結合を表す。したがって、有限要素法の性質によって、Ｂは、「大きな」ｎ×ｎ疎行列である。現代のアルゴリズムおよびソフトウェアは、そのような構造の行列を有する線形方程式を非常に効果的に解くことができる。たとえば、モーダル減衰なしの動的解析を実施する場合。式（３２）の右側のモーダル減衰では、行列Ψは、固有モードの行列にグローバル質量演算子を乗じたものを表す「高い」ｎ×ｍ密行列であり、Ｇは、モーダル空間内でモーダル減衰を定義する「小さな」ｍ×ｍ非特異行列である。行列Ｇは密とすることもできるが、通常、それは対角である。ここで、ｎは、数百万または数千万とすることができる有限要素モデルの自由度の数であり、ｍは、数千単位とすることができるモーダル減衰定義のために使用される固有モードの数である。本明細書で上記したように、連立方程式（３１）を解く実際のエンジニアリングシミュレーションは、疎行列と共に機能するように設計された高性能線形方程式ソルバを使用して効果的計算することができない。なぜなら、ΨＧΨ^Tが「大きな」密行列であるからである。したがって、本明細書で上記されている方法１１０など本発明の実施形態は、連立方程式（３２）を解くための方法を提供する。

図１に関連して本明細書で上記されているように、実施形態は、シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式または予め条件付けされた反復法を使用して構造動的システムをモデル化するための連立方程式を解いてもよい。以下では、連立方程式（３１、３２）を解くことにおける各方法論の一例の形態におけるさらなる詳細について述べる。これらの手法は、対称マルチプロセッシングシステムのための高性能スケーラブル実装を提供し、したがって、物理座標におけるモーダル減衰を用いた大規模構造動力学問題を効果的に解くことを可能にする。

シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式に基づく直接解は、行列Ａの構造を使用し、シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式を使用して解を式（３１）に書き換え、下記の式（３３）を生み出す。シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式に関するさらなる詳細は、非特許文献１５に記載されている。
ｘ＝Ｂ^-1ｂ−Ｂ^-1Ψ（Ｇ^-1＋Ψ^TＢ^-1Ψ）^-1ΨＴＢ^-1ｂ （３３）

式（３３）を解くために、行列Ｇ^-1およびΨ＝ＭΦが予め計算されと仮定することができ、一般性を失うことなしに、行列Ｂは、正の定符号、Ｂ＝Ｂ^T、Ｂ＞０であると仮定することができる。シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式を使用して式（３３）解くための典型的な方法は、以下の演算を含む。
（１）行列Ｂを因数分解する。すなわち、Ｂ＝ＬＬ^T
（２）因数分解された行列を有するシステムを解く。すなわち、Ｂｙ＝ｂ
（３）ｚ＝Ψ^Tｙ
（４）ｕ＝（Ｇ^-1＋Ψ^TＢ^-1Ψ）^-1ｚ
ａ）複数の右側で前進消去を実施する。すなわち、Ｑ＝Ｌ^-1Ψ
ｂ）Ｒ＝Ｑ^TＱ
ｃ）（Ｇ^-1＋Ｒ）ｕ＝ｚを解く
（５）ｖ＝Ψｕ
（６）因数分解された行列を有するシステムを解く。すなわち、Ｂｗ＝ｖ
（７）ｘ＝ｙ−ｗ

前述のステップ（１）およびステップ（２）は、直接解を計算するとき常に提示されるが、ステップ（３）からステップ（７）は、モーダル減衰に特有のものであり、ステップ（４）は、これらの中でも最も計算量のかかるものである。本発明の実施形態では、式（３３）を解くためにステップ（１）からステップ（７）を使用する代わりに、本発明の実施形態は、式（３４）によって与えられる、展開された行列を有する連立方程式を解く方法論を使用する。

上式で、ｙは、サイズｍの未知の補助ベクトルである。式（３４）の左側の行列ブロックは、それぞれＢ − モーダル減衰なしの問題のための直接動的解法の演算子、Ψ − 固有モードの行列に左からのグローバル質量演算子を乗じたもの、Ｇ − モーダル領域内のモーダル減衰演算子である。

連立方程式（３４）の解に由来するベクトルｘが式（３３）を満たし、したがって式（３１）の解を表すことをチェックすることができる。ステップ（１）からステップ（７）を使用する浮動小数点演算の総数、および連立方程式（３４）を解くことは、おおよそ同じであるが、式（３４）を使用することは、対称マルチプロセッシングシステムの効果的な使用に、またグラフィックプロセッサ（ＧＰＧＰＵ）を用いた計算により適している。ブロックΨを画する展開された行列を用いた事実上すべての計算を、行列ブロック上で、非特許文献１６に記載されているように、非常に効果的なＢＬＡＳ３レベル演算の形態で実装することができる。実施形態では、ファクタＬがアクセスされなければならない回数は、ステップ（１）からステップ（７）における３に比べて１に等しい。

さらに、使用可能な高性能線形方程式ソルバを、少ない変更で連立方程式（３４）を解くために使用することができる。したがって、公式（３４）は、コストのかかるソフトウェア開発作業なしに達成することができる物理座標におけるモーダル減衰を用いた構造動力学問題を解く方法を提供する。さらに、一定の時間ステップでの線形動的解析の場合、ステップ（１）からステップ（７）を実施するとき、式（３４）の左側の行列、または行列Ｂは、動的解析当たり１回だけ因数分解されるべきであり、これは解をはるかに効率的にする。

本発明の他の実施形態は、反復法を使用して構造動的システムをモデル化するために連立方程式を解く。シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式を使用する直接アルゴリズムは、モーダル減衰を定義するために使用される固有モードの数が大きい、たとえば数千単位であるとき数百万の自由度を有する有限要素モデルのための大規模動的解析において計算上非効率となる可能性がある。そのような状況の場合、実施形態は、非特許文献１７、非特許文献１８、非特許文献１９、および非特許文献１６に記載されているものなど、反復法を使用して連立方程式、たとえば式（３１）を解いてもよい。

そのような実施形態では、モーダル減衰なしの問題のための直接動的解法の演算子、Ｂを、プレコンディショナとして使用することができる。行列Ａと行列Ｂは、ｎ次元空間の比較的「小さな」ｍ次元部分空間上で定義されるモーダル減衰項によってのみ異なる。したがって、演算子Ｂは、演算子Ａに「近く」、式（３１）を解くための反復方式に対する「良好な」プレコンディショナとすることができる。これは、モーダル減衰のレベルが高くない場合特に真である。

この概念は、式（２９）および式（３０）で上記に提示されているように、モーダル減衰を用いた線形過渡モデル解析を考えることによって証明することができる。簡単にするために、時間増分が一定、Δｔ_n＝Δｔであり、一定の減衰率、ζ_i＝ζ、ｉ＝１，．．．，ｍを有するモーダル減衰を除いて、モデル内に他の減衰源がないと仮定することができる。これらの仮定の場合、行列Ａおよび行列Ｂは、

の形態をとる。

予め条件付けされたリチャードソン反復方式が式（３１）を解くために使用される例は、下記の式（３６）を生み出す。
ｘ^(k+1)＝ｘ^(k)−τＢ^-1（Ａｘ^(k)−ｂ） （３６）
上式で、τは、ｘ^(k)のシーケンスが収束するように選ばれなければならないスカラパラメータである。次いで、ｘ＝Ａ^-1ｂを式（３１）の正確な解であるとすると、これは下記の式（３７）を生み出す。
（ｘ^(k+1)−ｘ）＝（Ｉ−τＢ^-1Ａ）（ｘ^(k)−ｘ） （３７）
上式で、ｒ^(k)＝ｘ^(k)−ｘは、誤差ベクトルであり、収束推定値は、
｜｜ｘ^(k)−ｘ｜｜₂≦ρ^k｜｜ｘ⁽⁰⁾−ｘ｜｜₂ （３８）
として書くことができ、上式で、｜｜・｜｜₂は、ユークリッドノルム（Ｅｕｃｌｉｄｉａｎ ｎｏｒｍ）

であり、収束係数

は、演算子Ｉ−τＢ^-1Ａのスペクトル半径である。

非特許文献１７、１８に記載されているように、リチャードソン反復方式の収束の最適な速さは、以下の対応する最適なスペクトル半径を与える以下の最適なパラメータで達成される。

上式で、μ_minおよびμ_maxは、行列Ｂ^-1Ａの最小固有値および最大固有値である。

μ_minおよびμ_maxを推定するために、ｎ×ｎ行列ΦおよびΩを、下記の式（４０）によって示されているように完全対称固有値問題の解とする。
ＫΦ＝ＭΦΩ²、Φ^TＭΦ＝Ｉ （４０）
行列ΦおよびΩ＝ｄｉａｇ（ω₁，．．．，ω_n）は、固有問題（１６）Φ_1...mおよびΩ_1...mの解を部分行列として含む。

式（３５）および式（４０）を使用して、

と書かれ、上式で、Λ_A＝ｄｉａｇ（λ₁ ^A，．．．，λ_n ^A）およびΛ_B＝ｄｉａｇ（λ₁ ^B，．．．，λ_n ^B）であり、対角値

である。

したがって、行列Ｂ^-1Ａは、（４４）によって与えられる実固有値を有する。

最小固有値は、μ_min＝１である。式（４４）の右側をωΔｔの関数として処理して、最大値μ_*＝μ（ω_*Δｔ）が決定され、ここで、

ヒルバー、ヒューズ、およびテイラーの動的積分アルゴリズムの許容されるパラメータ値は、非特許文献２０、２１、２２に記載されており、

時間ステップがｍ番目の固有振動モードについて

を満たす場合、それは

を生み出す。

関数μ（ωΔｔ）が０≦ωΔｔ＜ω_*Δｔの間増大する単調であるとき、それは

と結論することができる。
ここで、パラメータδは、ｍ番目の固有振動モードの期間に対して時間増分を定義する時間積分精度ファクタ、

である。

式（４８）を使用して、また変換を行うことによって、最適なパラメータ、および反復方式（３６）の収束の対応する速さ（３９）を、

の形態で表すことができる。

（４９）において、最適な反復パラメータは、モーダル減衰定義において使用される時間積分器パラメータ、時間増分、および最大固有周波数を使用して計算することができる。

上記のプロセスは、本発明の任意の実施形態において実装することができる。たとえば、式（３４）に関連して記載されているシャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式、および式（３６）に関連して記載されている反復法は、図１に関連して本明細書で上記されている方法１１０のステップ１１２で実装することができる。

図２Ａおよび図２Ｂは、モーダル減衰率ζおよび精度ファクタδの異なる値について計算された、線２２１ａ、２２１ｂによって示されている最適な収束係数ρ_optの推定値を示すグラフ２２０ａ、２２０ｂであり、非特許文献２０に記載されヒルバー、ヒューズ、およびテイラー時間積分器の典型的なパラメータ設定
α＝−０．０５、β＝０．２７５６２５、γ＝０．５５ （５０）
を用いている。

図２Ａは、０≦ζ≦２、

の場合のρ_optを示す。図２Ｂは、範囲０≦ζ≦０．２内のモーダル減衰率を用いた図２Ａの拡大版を示す。図２Ａおよび図２Ｂは、より良好な収束が、モーダル減衰のより低いレベルについて、また時間増分のより小さい値について達成されることを示す。最も典型的な範囲０．０１≦ζ≦０．１の場合、収束係数は、反復方式の非常に速い収束を示す最も大きい合理的な時間増分について、０．０３未満である。

本発明の実施形態は、解を得るための反復の数を調べることによって解析することができる。不等式

、ここで

、を使用して、不等式（５１）を式（３８）から得ることができる。

初期ベクトルが０である、ｘ⁽⁰⁾＝０である場合、不等式（５１）は、

を生み出す。（５２）の左側は、解の正しい小数位の数を推定する。したがって、Ｎ個の正しい小数位を有する解を得るための反復の数は、

として推定される。

図３Ａおよび図３Ｂは、それぞれグラフ３３０ａ、３３０ｂであり、これらは、モーダル減衰率ζ、精度ファクタδの異なる値３３１ａ、３３１ｂについて、また時間積分器パラメータ設定（４６）で、百万個の自由度ｎ＝１０⁶を有する有限要素モデルについて１２個の正しい小数位を有する構造動的モデル化問題に対する解を得るための最適な収束係数ρ_optでの反復の推定数を示す。

図３Ａは、０≦ζ≦２、

の場合の反復の数を示す。図３Ｂは、範囲０≦ζ≦０．２内のモーダル減衰率を拡大する。図３Ａおよび図３Ｂは共に、より小さいモーダル減衰率および時間増分には、より少ない反復しか必要とされないことを示す。図３Ｂは、モーダル減衰率範囲０．０１≦ζ≦０．２の場合、解における正しい小数位の数は、少なくとも反復当たり１つだけ増大することを示す。

図２Ａ、図２Ｂ、図３Ａ、図３Ｂは、モーダル減衰を用いた線形動的問題の特別な場合について予め条件付けされたリチャードソン反復方式の収束、および最適な反復パラメータおよび収束係数のための導出された公式を調査したことからの結果を示す。決定された推定値は、モーダル減衰率の実際的な範囲について反復プロセスの良好な収束を実証する。一般的な場合において、反復解のより良好な収束は、予め条件付けされた最小残差法、共役勾配法、一般化最小残差法など、より進んだ、予め条件付けされた反復法を使用することによって得ることができる。これらの方法は、非特許文献１８、１９、１６に記載されている。同様に、反復アルゴリズムの良好な収束は、中程度のレベルの非線形性での非線形動的解析において連立方程式（３１）を解くために、達成することができる。したがって、モーダル減衰なしの問題のための直接動的解法の演算子は、物理座標におけるモーダル減衰を用いた動的問題の反復解のための良好なプレコンディショナを表す。

本明細書に記載の実施形態は、物理座標におけるモーダル減衰を用いた構造動力学問題の解を計算するために使用することができる連立方程式（３１）を解くために２つの手法を提示する。周波数応答解析問題では、式（３４）に基づくシャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式を使用し、周波数領域（２３）においてモーダル減衰項を用いた運動方程式を解くことができる。右側の演算子、およびこの場合のための式（３４）の解は、それぞれ複素行列およびベクトルである。周波数応答解析問題を解くために反復法を使用しないことがよい。なぜなら、行列Ｂ（２４）は、一般的な場合において正の定符号であるからである。

モーダル減衰を用いたモデルの過渡動的応答は、シャーマン−モリソン−ウッドベリーの方法論または反復法を使用することによって計算することができる。モーダル減衰を用いた線形動的解析では、時間ステップ（２９）ごとの連立方程式が形態（３１）を有し、展開された形態（３４）で前述のシャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式を使用して、または予め条件付けされた反復法を使用することによって解くことができる。どちらの場合にも、陰時間積分法の従来の動的演算子Ｂ（モーダル減衰なし）が形成され、モーダル減衰を定義する行列Ψおよび行列Ｇが、シャーマン−モリソン−ウッドベリーまたは反復法による物理座標における解計算に必要とされる行列演算で使用される。

モーダル減衰を用いた非線形動的シミュレーションの場合、非線形動的解を得るために、ニュートン（または同様の）方法の反復ごとに、連立線形方程式（２７）が、時間ステップごとに解かれる。また、連立方程式（２７）は、形態（３１）を有し、線形解析の場合と同様に、シャーマン−モリソン−ウッドベリー技法によって、または反復法を使用して、効果的に解くことができる。

過渡動的問題を効果的に解くためにシャーマン−モリソン−ウッドベリー技法または反復法を選ぶことは、実際上の経験、使用可能なハードウェア、有限要素モデルサイズ、ならびにモーダル減衰レベルおよびモデルの非線形性に基づくことができる。中程度のレベルの非線形性を有する非常に大きな有限要素システム（数百万の自由度）について、非常の多く（数千）の固有モードを使用しモーダル減衰を定義するとき、反復法の方がシャーマン−モリソン−ウッドベリー技法より経済的となる。

図４は、本発明の一実施形態による構造動的システムの機械的特徴をモデル化するために使用されるコンピュータベースのシステム４４０の簡易ブロック図である。システム４４０は、バス４４３を備える。バス４４３は、システム４４０の様々な構成要素の相互接続として働く。バス４４３には、キーボード、マウス、ディスプレイ、スピーカなど様々な入力および出力デバイスをシステム４４０に接続するための入力／出力デバイスインターフェース４４６が接続される。中央処理装置（ＣＰＵ）４４２がバス４４３に接続され、コンピュータ命令を実行する。メモリ４４５は、コンピュータ命令を実施するために使用されるデータのための揮発性ストレージを提供する。ストレージ４４４は、オペレーティングシステム（図示せず）などソフトウェア命令のための不揮発性ストレージを提供する。システム４４０はまた、ワイドエリアネットワーク（ＷＡＮ）およびローカルエリアネットワーク（ＬＡＮ）を含む、当技術分野で知られている様々なネットワークに接続するためにネットワークインターフェース４４１を備える。

本明細書に記載の例示的な実施形態は、多数の異なる方法で実装されることを理解されたい。場合によっては、本明細書に記載の様々な方法および機械はそれぞれ、コンピュータシステム４４０など物理的、仮想、もしくはハイブリッドの汎用コンピュータ、または図５に関連して本明細書において下記で述べるコンピュータ環境５５０などコンピュータネットワーク環境によって実装されてもよい。コンピュータシステム４４０は、たとえば、ソフトウェア命令を、ＣＰＵ４４２によって実行するためにメモリ４４５または不揮発性ストレージ４４４にロードすることによって、本明細書に記載の方法（たとえば、１１０）を実行する機械に変換されてよい。当業者なら、システム４４０およびその様々な構成要素は、本明細書に記載の本発明の任意の実施形態を実施するために構成され得ることをさらに理解すべきである。さらに、システム４４０は、システム４４０に内的または外的に動作可能に結合されたハードウェア、ソフトウェア、およびファームウェアモジュールの任意の組合せを使用して、本明細書に記載の様々な実施形態を実装してよい。

図５は、本発明の一実施形態が実装されるコンピュータネットワーク環境５５０を示す。コンピュータネットワーク環境５５０では、サーバ５５１が通信ネットワーク５５２を通じてクライアント５５３ａ〜ｎにリンクされる。環境５５０は、クライアント５５３ａ〜ｎが単独で、またはサーバ５５１との組合せで本明細書に記載の方法（たとえば、１１０）のいずれかを実行することができるように使用されてもよい。

実施形態、またはそれらの態様は、ハードウェア、ファームウェア、またはソフトウェアの形態で実装されてよい。ソフトウェアで実装される場合、ソフトウェアは、プロセッサがソフトウェアまたはその命令のサブセットをロードすることを可能にするように構成される任意の非一時的なコンピュータ可読媒体上に記憶されてもよい。次いで、プロセッサは命令を実行し、本明細書に記載のように動作するように装置を操作する、または装置を動作させるように構成される。

さらに、ファームウェア、ソフトウェア、ルーチン、または命令は、本明細書では、データプロセッサのいくつかのアクションおよび／または機能を実施するものとして記載されてよい。しかし、本明細書に含まれるそのような記載は単に便宜上のものであること、そのようなアクションは、実際には、ファームウェア、ソフトウェア、ルーチン、命令などを実行するコンピューティングデバイス、プロセッサ、コントローラ、または他のデバイスに起因することを理解されたい。

流れ図、ブロック図、およびネットワーク図は、より多くの、もしくはより少ない要素を含んでもよく、異なるように配置されてもよく、または異なるように表されてもよいことを理解されたい。しかし、いくつかの実装は、実施形態の実行を示すブロック図およびネットワーク図ならびにブロック図およびネットワーク図の数が特定の方法で実装されることを指示することをさらに理解されたい。

したがって、さらなる実施形態はまた、様々なコンピュータアーキテクチャ、物理的、仮想、クラウドコンピュータ、および／またはそれらの何らかの組合せで実装されてもよく、したがって、本明細書に記載のデータプロセッサは、例示のためのものにすぎず、実施形態を限定するものではないことが意図されている。

本発明について、その例示的な実施形態を参照して特に示し、述べたが、当業者なら、形態および詳細の様々な変更が、添付の特許請求の範囲によって包含される本発明の範囲から逸脱することなしにそれらに加えられることを理解されたい。

Claims (16)

1. 構造動的システムの機械的特徴をモデル化するコンピュータ実施方法であって、
   コンピュータメモリ内で、構造動的システムを表す有限要素モデルを提供するステップと、
   前記コンピュータメモリに結合されたプロセッサ内で、前記有限要素モデルの質量、剛性、および減衰の線形結合を表す第１の項と、モーダル減衰を表す第２の項とを有する連立方程式を解くステップであって、前記連立方程式は、シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式または予め条件付けされた反復法を使用して解かれる、該ステップと、
   前記表される構造動的システムの機械的特徴をモデル化するために、前記有限要素モデルおよびモーダル減衰を用いて前記解かれた連立方程式の結果を使用することによって、前記有限要素モデルに基づく実世界オブジェクトの改善された３Ｄモデルを形成するステップと
   を備えたことを特徴とする方法。
2. 前記シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式を使用して前記連立方程式を解くことは、
   未知数の補助ベクトルを連立方程式の未知数のセットに含めることによって連立方程式の行列を展開することであって、前記補助ベクトルは、前記モーダル減衰を表す前記第２の項内で使用される固有モードの数と同等のサイズを有すること、および
   前記展開された行列を有する前記連立方程式を解くこと
   を備えたことを特徴とする請求項１に記載の方法。
3. 前記予め条件付けされた反復法は、リチャードソン反復方式、予め条件付けされた最小残差法、共役勾配法、および一般化最小残差法のうちの少なくとも１つを含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
4. 前記予め条件付けされた反復法は、モーダル減衰なしの前記有限要素モデルの質量、剛性、および減衰の前記線形結合を表す前記第１の項をプレコンディショナとして使用することを特徴とする請求項１に記載の方法。
5. 前記提供するステップおよび解くステップは、既存の線形方程式ソルバ内で実装されることを特徴とする請求項１に記載の方法。
6. 前記構造動的システムは、自動車騒音振動システム、自動車耐久性システム、航空宇宙動力学システム、および地震システムのうちの少なくとも１つであることを特徴とする請求項１に記載の方法。
7. 前記表される構造動的システムの前記機械的特徴は、
   速度、加速度、ひずみ、応力、周波数、密度、振動、変位、および力のうちの少なくとも１つを含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
8. 構造動的システムの機械的特徴をモデル化するためのコンピュータシステムであって、
   プロセッサと、
   コンピュータコード命令が記憶されたメモリとを備え、前記プロセッサおよび前記メモリに備えられた前記コンピュータコード命令は、当該システムに、
   構造動的システムを表す有限要素モデルを提供させ、
   前記有限要素モデルの質量、剛性、および減衰の線形結合を表す第１の項と、モーダル減衰を表す第２の項とを有する連立方程式を解かせ、前記連立方程式は、シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式または予め条件付けされた反復法を使用して解かれ、
   前記表される構造動的システムの機械的特徴をモデル化するために、前記有限要素モデルおよびモーダル減衰を用いて前記解かれた連立方程式の結果を使用することによって、前記有限要素モデルに基づく実世界オブジェクトの改善された３Ｄモデルを形成させるように構成されたことを特徴とするシステム。
9. 前記シャーマン−モリソン−ウッドベリーの公式を使用して前記連立方程式を解くことは、
   未知数の補助ベクトルを連立方程式の未知数のセットに含めることによって連立方程式の行列を展開することであって、前記補助ベクトルは、前記モーダル減衰を表す前記第２の項内で使用される固有モードの数と同等のサイズを有すること、および
   前記展開された行列を有する前記連立方程式を解くこと
   を含むことを特徴とする請求項８に記載のシステム。
10. 前記予め条件付けされた反復法は、リチャードソン反復方式、予め条件付けされた最小残差法、共役勾配法、および一般化最小残差法のうちの少なくとも１つを含むことを特徴とする請求項８に記載のシステム。
11. 前記予め条件付けされた反復法は、モーダル減衰なしの前記有限要素モデルの質量、剛性、および減衰の前記線形結合を表す前記第１の項をプレコンディショナとして使用することを特徴とする請求項８に記載のシステム。
12. 前記提供すること、および前記解くことは、既存の線形方程式ソルバ内で実装されることを特徴とする請求項８に記載のシステム。
13. 前記構造動的システムは、自動車騒音振動システム、自動車耐久性システム、航空宇宙動力学システム、および地震システムのうちの少なくとも１つであることを特徴とする請求項８に記載のシステム。
14. 前記表される構造動的システムの前記機械的特徴は、
    速度、加速度、ひずみ、応力、周波数、密度、振動、変位、および力のうちの少なくとも１つを含むことを特徴とする請求項８に記載のシステム。
15. コンピュータに、請求項１ないし７のいずれか１つに記載の方法を実行させることが可能な命令を有することを特徴とするコンピュータプログラム。
16. 請求項１５記載のコンピュータプログラムを記録したことを特徴とするコンピュータ可読媒体。

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