JP5589198B2 - 有限要素法において8ノード六面体エレメントの剪断ロッキングを低減する方法 - Google Patents
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Description
ここで、uiはノードの変位である。それぞれのノードには3つの並進変位があり、したがって、8ノードの六面体エレメントでは、iは24である(つまり、8つのノードに、それぞれ3つの変位がある)。
は、以下のように計算される。
を修正するよう、以下のように代入される。
は、擬似的な数値的剪断ロッキング効果を低減するよう、ヤコビアンマトリックスの非対角項の関連する成分を修正するように用いられる。この修正を説明するには、3つの座標系が必要であり、図5Bに示す。わかりやすく例示するために、座標系を二次元(2−D)で示す。当業者には、二次元座標系から三次元座標系に簡単に拡張できることは理解されよう。まず、エレメント512(三次元では8ノードのソリッドエレメントである)を、グローバル座標システム(X−Y)510およびローカル空間的座標系(xL−yL)520に示す。グローバル座標系とローカル座標系との関係は、変換(矢印515として示す)によって表わすことができる。グローバル座標システム510は、一般に、有限要素解析法モデル全体を定義するよう、構成される。ローカル空間的座標系520は、アスペクト比を計算するよう、そして同じく適切にヤコビマトリックスを修正するよう、構成される。ローカル空間的座標系520の原点は、どこに設定してもよい(図5Bではエレメントの中心にある)。
である。
はローカル空間的座標(例えば2−Dにおける(xL,yL))であり、はアイソパラメトリック座標(例えば2−Dにおける(ξ1,ξ2))である。数式3の最後の表現は、数式2を用いることによって得られる。
)、i≠jであり、ある
はローカル空間的座標系の一つに依存する。疑似的な横剪断ロッキング効果は、項
によって生じる。ある項は、そのような剪断ロッキング効果を解消するよう、この定数を単に0と設定する(
=0)ことができる(図4Bのステップ424)。
を用いて行うことができる。指標表記法および指標(indicial notation)にわたって繰り返しとる和(summation over repeated indeces)を用いて、完全積分型8ノードのソリッドエレメントのヤコビアンマトリックスを以下のように書くことができる。
はローカル空間的座標系におけるヤコビアン−座標変換マトリックスである。マトリックス
は216(9x24)個の項を含んでいる。9つの項は3x3ヤコビアンマトリックスにおける成分であり、24個の項は8積分点に対する空間的な項(つまり1つの点当たり3つの空間的変位)を表わす。
を0に設定することによって、ヤコビアンアン−座標変換マトリックス
が216の項を有する十分に密なマトリックス(フル・デンス・マトリックス(full dense matrix))となる。これは計算上望ましくない。なぜなら、元の方法ではFEAにおける明示的求解器(explict solver)に対してわずか72の項しか必要としないからである(つまり、およそ3倍計算コストがかかる)。しかしながら、このスキームは、計算コストの大部分が方程式求解器(equation solver)にある暗黙求解器(implicit solver)において用いることができる。フル・デンス・マトリックスとなる理由は、標準アイソパラメトリック・アプローチにおけるマトリックス
を以下のように書くことができるからである。
は次の通りである。
を0に設定することによって、数式6における
の希薄さ(sparsity)が消え(希薄な行列(sparse matrix)でなくなり)、またマトリックス
における希薄さも消える。
102 積分点
200 細長い六面体エレメント
202 積分点
300 曲げモーメント
310 略図
320 略図
500 アイソパラメトリック座標系
501 8ノードのソリッドエレメント
510 グローバル座標システム
512 エレメント
515 変換
520 ローカル空間的座標系
525 変換
530 アイソパラメトリック座標系
531〜534 コーナーノード
600 コンピュータシステム
602 バス
604 プロセッサ
606 アプリケーションモジュール
608 メインメモリ
610 二次メモリ
612 ハードディスクドライブ
614 リムーバブルストレージドライブ
618 リムーバブルストレージユニット
620 インタフェース
622 リムーバブルストレージユニット
624 通信インタフェース
630 I/Oインタフェース
Claims (10)
- 有限要素解析法において、完全積分型(fully-integrated)8ノードの六面体エレメントの横剪断ロッキング効果を低減する方法であって、
有限要素解析法モデル定義ステップであって、コンピュータシステムにおけるアプリケーションモジュールによって、少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントを有する改善するべき工業製品を定義するステップと、
前記アプリケーションモジュールによって、前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントのそれぞれに対して1セットのアスペクト比に基づいたスケール係数を計算するステップと、
前記アプリケーションモジュールによって、前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントの前記それぞれの横剪断ロッキング効果が低減されるよう、それぞれがアスペクト比に基づいたスケール係数を有するアイソパラメトリック形状関数の偏導関数を修正することによって、前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントの前記それぞれの修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスを作成するステップと、
前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントおよび修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスを有する有限要素解析法モデルを用いて、前記コンピュータシステムにおいて有限要素解析法を用いて工学シミュレーションを行うステップであって、工学シミュレーションの結果を用いて、ユーザが前記工業製品の改良に関する設計判断を行うことを支援するステップと、
を備える方法。 - 請求項1に記載の方法であって、前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントの前記それぞれは、3つのローカル空間的寸法を有する方法。
- 請求項2に記載の方法であって、前記1セットのアスペクト比に基づいたスケール係数は次式によって定義される
L1,L2およびL3は、前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントの前記それぞれにおける前記3つのローカル空間的寸法のそれぞれの長さであり、
は前記1セットのアスペクト比に基づいたスケール係数のうちの1つを表わしている方法。 - 請求項3に記載の方法であって、前記偏導関数は、
を
(jは、j=1,2,3)へと修正する
(ここでξ1,ξ2およびξ3はそれぞれ、前記3つアイソパラメトリック寸法におけるアイソパラメトリック座標であり、N I は前記アイソパラメトリック形状関数である)方法。 - 請求項4に記載の方法であって、修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスJijは以下のように計算される
(ここで、
はローカル座標系とグローバル座標系との間の逆変換であり、
はローカル空間的座標系におけるヤコビアン−座標変換マトリックスであり、qmkはローカル座標系とグローバル座標系との間の変換であり、
はグローバル座標系の節点座標ベクトルであり、δikはクロネッカーデルタ関数である)方法。 - 請求項1に記載の方法であって、前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントの前記それぞれは、8つの積分点を有する方法。
- 有限要素解析法において、完全積分型8ノードの六面体エレメントの横剪断ロッキング効果を低減するシステムであって、
有限要素解析法アプリケーションモジュールに関するコンピュータ可読コードを記憶しているメインメモリと、
前記メインメモリに連結される少なくとも1つのプロセッサであって、該少なくとも1つのプロセッサが前記メインメモリ内の前記コンピュータ可読コードを実行して、前記有限要素解析法アプリケーションモジュールを実行させるシステムであって、
少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントを有する改善するべき工業製品を表現する有限要素解析法モデルを定義する手段と、
前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントのそれぞれに対して1セットのアスペクト比に基づいたスケール係数を計算する手段と、
前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントの前記それぞれの横剪断ロッキング効果が低減されるよう、それぞれがアスペクト比に基づいたスケール係数を有するアイソパラメトリック形状関数の偏導関数を修正することによって、前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントの前記それぞれの修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスを作成する手段と、
前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントおよび修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスを有する有限要素解析法モデルを用いて、有限要素解析法を用いて工学シミュレーションを行う手段であって、工学シミュレーションの結果を用いて、ユーザが前記工業製品の改良に関する設計判断を行うことを支援する手段と、
を備えているシステム。 - 請求項7に記載のシステムであって、前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントの前記それぞれは、3つのアイソパラメトリック寸法を有しており、
前記1セットのアスペクト比に基づいたスケール係数は次式によって定義され、
(L1,L2およびL3は、前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントの前記それぞれにおける前記3つのアイソパラメトリック寸法のそれぞれの長さであり、
は前記1セットのアスペクト比に基づいたスケール係数のうちの1つを表わしている)
アイソパラメトリック形状関数の前記導関数は
を
(jは、j=1,2,3)へと修正する
(ここでξ1,ξ2およびξ3は、それぞれ、前記3つアイソパラメトリック寸法におけるアイソパラメトリック座標であり、N I は前記アイソパラメトリック形状関数である)システム。 - 有限要素解析法において、完全積分型8ノードの六面体エレメントの横剪断ロッキング効果を低減するコンピュータシステムを制御する命令を有するコンピュータ可読記録媒体であって、前記コンピュータシステムに、
少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントを有する有限要素解析法モデルを定義するステップであって、前記有限要素解析法モデルが工業製品を表現しているステップと、
前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントのそれぞれに対して1セットのアスペクト比に基づいたスケール係数を計算するステップと、
前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントの前記それぞれの横剪断ロッキング効果が低減されるよう、それぞれがアスペクト比に基づいたスケール係数を有するアイソパラメトリック形状関数の偏導関数を修正することによって、前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントの前記それぞれの修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスを作成するステップと、
前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントおよび修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスを有する有限要素解析法モデルを用いて、前記コンピュータシステムにおいて有限要素解析法を用いて工学シミュレーションを行うステップであって、工学シミュレーションの結果を用いて、ユーザが前記工業製品の改良に関する設計判断を行うことを支援するステップと、
を実行させる前記命令を有するコンピュータ可読記録媒体。 - 請求項9に記載のコンピュータ可読記録媒体であって、前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントの前記それぞれは、3つのアイソパラメトリック寸法を有しており、
前記1セットのアスペクト比に基づいたスケール係数は次式によって定義され、
(L1,L2およびL3は、前記少なくとも1つの完全積分型8ノードの六面体エレメントの前記それぞれにおける前記3つのアイソパラメトリック寸法のそれぞれの長さであり、
は前記1セットのアスペクト比に基づいたスケール係数のうちの1つを表わしている)
アイソパラメトリック形状関数の前記導関数は
を
(jは、j=1,2,3)へと修正する
(ここでξ1,ξ2およびξ3は、それぞれ、前記3つアイソパラメトリック寸法におけるアイソパラメトリック座標であり、N I は前記アイソパラメトリック形状関数である)コンピュータ可読記録媒体。
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