CN102142049A - 一种有限元素分析的方法、系统及可被电脑读取的媒体 - Google Patents

Abstract

本发明是有关于一种有限元素分析的方法、系统及可被电脑读取的媒体。本发明通过改善的八节点六面体元素来减少有限元素分析方法里的剪切锁定，其以基于宽高比的比例因子，来修正六面体元素的等参数形状函数的偏导数，修正偏导数的方法是应用在计算雅可比矩阵，其中，雅可比矩阵相关于应变的变化率。比例因子是以一个未变形的完美方正固体元素比上一个有特定改变量的元素，该有特定改变量的元素有粗劣的宽高比，即宽高比粗劣的元素可使用基于宽高比的比例因子来映衬到一未变形的完美方正元素；另外在局部雅可比矩阵内非对角线的要素可直接以取消相关剪切变形模式来修正，即便是完美形状的元素，这种修正的值仍可缓和不自然的剪切锁定效应。

Description

一种有限元素分析的方法、系统及可被电脑读取的媒体

技术领域

本发明涉及一种可帮助电脑工程分析的方法(基于有限元素方法的分析)，特别是涉及一种对于全积分六面体元素、实心元素或砖块状物元素，用有限元素方法来减少剪切锁定效应的方法，该有限元素方法可用于一时间逼进的工程模拟试验来协助使用者设计并决定一个工程产品(像汽车、飞机、或其相关的元件)的改善。

背景技术

有限元素方法(finite element method)〔有时会说有限元素分析(finite element analysis)〕是一种用于求偏微分方程组或积分方程组的近似解的数值技术，这一近似解法基于完全消除微分方程，即将微分方程转化为代数方程组(稳定情形)，或将偏微分方程(组)改写为常微分方程(组)的逼近，这样可以用标准的数值技术(例如欧拉法(Euler’s method)，龙格-库塔方法(Runge-Kutta)等〕求解。

在模拟机械的构造时，一个工程结构或是产品〔像是车，移动电话，飞机等〕能够以一组有限元素来当模型，该组有限元素彼此间是由多个交差点或是节点彼此连接组成。每一个有限元素是用于建立一个形体及该形体的自然特性，该自然特性像是密度、杨式模数(Young’s Modulus)、剪力模数、及波森模数(Possion’s Ratio)之类的。有限元素可以是一维度、二维度或是三维度。通常，在一个三维度的元素会用来表示一个固体元素(一个有体积有限元素〕。最常见的固体元素，是一个八节点六面体元素100或者如图1A中所示砖块状的元素，八节点的六面体元素100是一个一阶有限元素，包括八个角落的节点，而图1B中所示的是从图1A中的八节点六面体元素的一边看过去的二维度示意图。

为了估算出有限元素的解(像是交差点作用力以一元素转换成应力)，每一个六面体元素为了数值积分，以一个或更多个积分点组成，例如，高斯-勒让得计算法(Gauss-Legendre quadrature)数值积分计划，一六面体元素的数值积分可以单个高斯-勒让得(Gauss-Legendre)积分点来完成，只是这样的元素会是下积分(under-integrated)或是秩缺(rank deficient)元素(图中未示)，所以，一个六面体元素100在每个空间方向(spatial direction)不得不用到两个高斯-勒让得(Gauss-Legendre)积分点102，使之总共会有八个点。这样如前述的元素才会有全积分或是秩足量积分(rank sufficient integration)，而全积分可以保证当一元素受到应力作用时，所有的可能的变形会完全呈现。

而且，有限元素方法对每一个元素会用一组形状函数(shapefunction)N来逼进任何一个位置的位移u^h，该元素会符合下列方程序：

其中，u_i是一个交差点的位移，每一个节点有三个转换位移，因此，在八节点的六面体元素里，∑下方的i会是24(八个节点都各有三个位移)。

一个全积分八节点六面体元素受到所谓的剪切锁定(shear locking)效应，也就是当八节点的六面体元素受到内置的剪力而产生变形时，多个积分点会有位置上不自然的重新配置，这个不自然的变形会突显出一个具有粗劣宽高比的元素，就像是该元素的某一空间维度(spatial dimensions)上的尺寸会比其他的大很多。例如，请参考图2A所示，其是如前面所述的一长形六面体元素200，具有一粗劣宽高比，为了比较清楚的表现出积分点202与元素200间的关系，图2B以一二维度(two-dimensional)的方式来表现，其中，宽高比是由两边长的比例定义的，如图2B中的W212与H214，同理，在三维空间(three dimension)里，每一个空间维度(spatial dimension)就会有三个宽高比。

有时候，一粗劣的宽高比，对于以固体元素建立一几何工程结构或产品的有限元素分析模型，是比较有优势的，其优势至少包括：(1)比较容易建立该模型，(2)由于元素比较少，所以电脑计算比较容易。

通常情况下，当模拟一全积分八节点固体元素纯弯曲作用时，会因为横向的剪切锁定效应，造成数值上的缺陷，而且，剪切锁定效应会因为固体元素有粗劣的宽高比而更加强化。请参考图3A所示，其是表现出一八节点固体元素产生剪切锁定效应时的二维示意图，其中，图3A中的图解310是表现出当一个长方体结构或是菱柱体受到纯弯曲力矩300时的真实情况，而图3B中的图解320是表现出当一个有粗劣宽高比的八节点固体元素，受到相同弯曲力矩300的情况，且从图中非常明显的可以看出八节点六面体元素在节点之间表现出无弯曲的样子；因此，模拟的八节点六面体元素相比较于真实结构应有的行为就显得很僵硬，对于这个全积分八节点固体元素而言，当受到剪切锁定效应时，积分点(integration)〔图2A中的202〕不会再落于固体元素的质量中心(centroid)。

一个现有习用的解决剪切锁定效应的方法是增加元素的阶数，例如，20个节点的元素〔每一边皆多一个节点，图中未示〕，然而，在实际应用里真实世界中的产品，越高阶的元素将耗费更多的计算成本。由此，本发明人提出出一种新的有限元素方法，以一个改善的八节点六面体元素来减少剪切锁定效应。

发明内容

本发明的目的在于，揭露一种新的有限元素分析的方法、系统及可被电脑读取的媒体，所要解决的技术问题是通过在一有限元素分析的方法内改善的八节点六面体元素来减少剪切锁定效应，其中全积分六面体元素是由八个角落节点和八个积分点所组成，本发明通过一基于宽高比的比例因子，来修正等参数形状函数的偏导数，其中，该些参数形状函数是分别相对于一八节点六面体元素的等参数座标轴，修正的偏导数是应用在计算雅可比矩阵(Jacobian matrix)，而该雅可比矩阵是相关于应变的变化率，而比例因子则是以一个未变形的完美方正固体元素，比上一个有特定改变量且具有粗劣宽高比的元素，换句话说，粗劣宽高比的元素是以一基于宽高比的比例因子来映衬到一未变形的完美方正元素，如此，经由上述有限元素分析所得到的结构响应，不自然的横向剪切锁定效应得以被减少。

本发明的另一目的在于，提供一种新的有限元素分析的方法、系统及可被电脑读取的媒体，所要解决的技术问题是通过在局部雅可比矩阵内非对角线的要素直接以取消相关剪切变形模式来修正，即便是完美形状的元素(方正元素的宽高比是1)，这种修正的值仍可缓和不自然的剪切锁定效应，从而更加适于实用。

本发明的目的及解决其技术问题是采用以下技术方案来实现的。依据本发明提出的一种有限元素分析的方法，可以减少在一全积分八节点六面体元素(fully-integrated 8-node hexahedral element)的横向剪切锁定效应(transverse shear locking effect)，该方法包括以下步骤：定义，是经由一电脑系统内的一应用模块(application module)来执行，以一有限元素分析模型(finite element analysis model)定义一待改善的工程产品(engineering product)，该有限元素分析模型包含至少一个全积分八节点六面体元素；计算，是经由该应用模块来执行，以计算出该每一个至少一全积分八节点六面体元素的一组宽高比的比例因子(aspect-ratio based scale factors)；产生，是经由该应用模块来执行，经由修改与宽高比的比例因子相关的等参数形状函数(isoparametric shape function)的多个偏导数(partial derivative)，产生该每一个至少一全积分八节点六面体元素的一修改的等参数雅可比矩阵(isoparametric Jacobian matrix)，以减少该每一个至少一全积分八节点六面体元素的横向剪切锁定效应；以及处理，利用该电脑系统中的该有限元素分析模型来进行有限元素分析，以进行一工程模拟试验(engineering simulation)，其中，该有限元素分析模型包含该每一个至少一全积分八节点六面体元素及一修改的等参数雅可比矩阵，而该工程模拟试验的结果可帮助使用者对该工程产品的改善作出设计的决定。

本发明的目的及解决其技术问题还可采用以下技术措施进一步实现。

前述的有限元素分析的方法，其中所述的每一个至少一全积分八节点六面体元素具有三个区域维度(local spatial dimensions)。

前述的有限元素分析的方法，其中一组宽高比的比例因子(aspect-ratio based scale factors)，是根据以下公式定义：

${\mathrm{\λ}}_i^j=\min (1,\frac{L_j}{L_i}),i,j=\mathrm{1,2,3}$

其中，L1、L2及L3分别是该每一个至少一全积分八节点六面体元素的三个区域维度(local spatial dimensions)的长度，而λ^j _i是表示该组宽高比的比例因子之中的一个因子。

前述的有限元素分析的方法，其中所述的多个偏导数是以及来被修正，j＝1，2，3，其中，ξ₁，ξ₂及ξ₃分别是等参数座标(isoparametric coordinates)中的三个等参数座标轴(isoparametric dimensions)。

前述的有限元素分析的方法，其中所述的修改的等参数雅可比矩阵J_ij是以下式计算得到：

$J_{\mathrm{ij}}=\underset{p,m,k}{\mathrm{\Σ}}{q}_{\mathrm{ip}}^{-I}{C}_{\mathrm{pjm}}^I{q}_{\mathrm{mk}}{x}_k^I,i,j=\mathrm{1,2,3}$

$C_{\mathrm{ijk}}^I={\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ik}}\frac{\∂N_I}{\∂{\mathrm{\ξ}}_j}({\mathrm{\λ}}_1^j{\mathrm{\ξ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2^j{\mathrm{\ξ}}_2,{\mathrm{\λ}}_3^j{\mathrm{\ξ}}_3),j=\mathrm{1,2,3}$

其中，q_mk是一种区域座标系统与全球座标系统之间的转换，而δ_ik是一克罗内克函数〔kronecker delta function〕。

前述的有限元素分析的方法，其中所述的每一个至少一全积分八节点六面体元素包含八个积分点。

本发明的目的及解决其技术问题还采用以下技术方案来实现。依据本发明提出的一种有限元素分析的系统，可以减少在一全积分八节点六面体元素(fully-integrated 8-node hexahedral element)的横向剪切锁定效应(transverse shear locking effect)，该系统包括：一主存储器，用于储存电脑可读取式代码，该电脑可读取式代码是用于一有限元素分析应用模块；至少一处理器与该主存储器连接，该至少一处理器可执行储存于主存储器内的电脑可读取式代码，并使有限元素分析应用模块可照下列方法执行作业：定义一有限元素分析模型，来表示一待改善的工程产品，该有限元素分析模型包含至少一个全积分八节点六面体元素；计算出该每一个至少一全积分八节点六面体元素的一组宽高比的比例因子；经由修改与宽高比的比例因子相关的等参数形状函数(isoparametric shape function)的多个偏导数(partial derivative)，产生该每一个至少一全积分八节点六面体元素的一修改的等参数雅可比矩阵(isoparametric Jacobian matrix)，以减少该每一个至少一全积分八节点六面体元素的横向剪切锁定效应；及用有限元素分析模型来进行有限元素分析，以处理一工程模拟试验(engineering simulation)，其中，该有限元素分析模型包含该每一个至少一全积分八节点六面体元素及一修改的等参数雅可比矩阵，而该工程模拟试验的结果可帮助使用者对该工程产品的改善作出设计的决定。

本发明的目的及解决其技术问题还可采用以下技术措施进一步实现。

前述的有限元素分析系统，其中所述的每一个至少一全积分八节点六面体元素具有三个区域维度(local spatial dimensions)，而该组宽高比的比例因子(aspect-ratio based scale factors)，是根据以下公式定义：

${\mathrm{\λ}}_i^j=\min (1,\frac{L_j}{L_i}),i,j=\mathrm{1,2,3}$

其中，L1、L2及L3分别是该每一个至少一全积分八节点六面体元素的三个区域维度(local spatial dimensions)的长度，而λ^j _i是表示该组宽高比的比例因子之中的一个因子，等参数形状函数(isoparametric shape function)的多个偏导数是以

及

来被修正，j＝1，2，3，其中，ξ₁，ξ₂及ξ₃分别是等参数座标(isoparametric coordinates)中的三个等参数座标轴(isoparametric dimensions)。

本发明的目的及解决其技术问题另外再采用以下技术方案来实现。依据本发明提出的一种可被电脑读取的媒体，其包含的结构可以一有限元速分析的方法控制一电脑系统，来减少在一全积分八节点六面体元素(fully-integrated 8-node hexahedral element)的横向剪切锁定效应(transverse shear locking effect)，该有限元速分析的方法包括：定义，在一电脑系统里，一有限元素分析模型包含至少一个全积分八节点六面体元素，且该有限元素分析模型表示一待改善的工程产品；计算出该每一个至少一全积分八节点六面体元素的一组宽高比的比例因子；经由修改与宽高比的比例因子相关的等参数形状函数(isoparametric shape function)的多个偏导数(partial derivative)，产生该每一个至少一全积分八节点六面体元素的一修改的等参数雅可比矩阵(isoparametric Jacobian matrix)，以减少该每一个至少一全积分八节点六面体元素的横向剪切锁定效应；以及以电脑中的有限元素分析模型来进行有限元素分析，以处理一工程模拟试验(engineering simulation)，其中，该有限元素分析模型包含该每一个至少一全积分八节点六面体元素及一修改的等参数雅可比矩阵，而该工程模拟试验的结果可帮助使用者对该工程产品的改善作出设计的决定。

本发明的目的及解决其技术问题还可采用以下技术措施进一步实现。

前述的可被电脑读取的媒体，其中所述的每一个至少一全积分八节点六面体元素具有三个区域维度(local spatial dimensions)，而该组宽高比的比例因子(aspect-ratio based scale factors)，是根据以下公式定义：

${\mathrm{\λ}}_i^j=\min (1,\frac{L_j}{L_i}),i,j=\mathrm{1,2,3}$

其中，L1、L2及L3分别是该每一个至少一全积分八节点六面体元素的三个区域维度(local spatial dimensions)的长度，而λ^j _i是表示该组宽高比的比例因子之中的一个因子，等参数形状函数(isoparametric shape function)的多个偏导数是以

及

来被修正，j＝1，2，3，其中，ξ₁，ξ₂及ξ₃分别是等参数座标(isoparametric coordinates)中的三个等参数座标轴(isoparametric dimensions)。

本发明与现有技术相比具有明显的优点和有益效果。借由上述技术方案，本发明一种有限元素分析的方法、系统及可被电脑读取的媒体至少具有下列优点及有益效果：本发明通过在一有限元素分析的方法内改善的八节点六面体元素来减少剪切锁定效应，其中全积分六面体元素是由八个角落节点和八个积分点所组成，本发明通过一基于宽高比的比例因子，来修正等参数形状函数的偏导数，其中，该些参数形状函数是分别相对于一八节点六面体元素的等参数座标轴，修正的偏导数是应用在计算雅可比矩阵(Jacobian matrix)，而该雅可比矩阵是相关于应变的变化率，而比例因子则是以一个未变形的完美方正固体元素，比上一个有特定改变量且具有粗劣宽高比的元素，换句话说，粗劣宽高比的元素是以一基于宽高比的比例因子来映衬到一未变形的完美方正元素，如此，经由上述有限元素分析所得到的结构响应，不自然的横向剪切锁定效应得以被减少。

另一方面，本发明还通过在局部雅可比矩阵内非对角线的要素直接以取消相关剪切变形模式来修正，即便是完美形状的元素〔方正元素的宽高比是1〕，这种修正的值仍可缓和不自然的剪切锁定效应。

综上所述，本发明是有关于一种有限元素分析的方法、系统及可被电脑读取的媒体。本发明通过改善的八节点六面体元素来减少有限元素分析方法里的剪切锁定，其以基于宽高比的比例因子，来修正六面体元素的等参数形状函数的偏导数，修正偏导数的方法是应用在计算雅可比矩阵，其中，雅可比矩阵相关于应变的变化率。比例因子是以一个未变形的完美方正固体元素比上一个有特定改变量的元素，该有特定改变量的元素有粗劣的宽高比，即宽高比粗劣的元素可使用基于宽高比的比例因子来映衬到一未变形的完美方正元素；另外在局部雅可比矩阵内非对角线的要素可直接以取消相关剪切变形模式来修正，即便是完美形状的元素，这种修正的值仍可缓和不自然的剪切锁定效应。本发明在技术上有显著的进步，具有明显的积极效果，诚为一新颖、进步、实用的新设计。

上述说明仅是本发明技术方案的概述，为了能够更清楚了解本发明的技术手段，而可依照说明书的内容予以实施，并且为了让本发明的上述和其他目的、特征和优点能够更明显易懂，以下特举较佳实施例，并配合附图，详细说明如下。

附图说明

图1A是示范一八节点六面体元素的立体图。

图1B是以一二维度视野展现图1A所示的固体元素的一边的示意图。

图2A是示范一有粗劣宽高比的八节点六面体元素的立体图。

图2B是以一二维度视野展现图2A所示固体元素的一边的示意图。

图3A是以一二维度视野展现一个受到纯弯曲力矩的一个长形结构的变形图。

图3B是说明当模拟一八节点六面体元素受到跟图3A一样的弯曲力矩时，其一边所展现的结构延展的情形的示意图。

图4A是根据本发明的一实施例，用有限元素分析，来减少一八节点六面体元素的横向剪切锁定效应的流程图。

图4B是根据本发明的另一实施例，用有限元素分析，来减少横向剪切锁定效应的流程图。

图5A是根据本发明的一实施例，所展现一八节点六面体元素的三维度等参数座标系统的说明图。

图5B是根据本发明的一实施例，所展现一八节点六面体元素的多种座标系统的说明图。

图6是展现可让本发明大小一实施例嵌入进去的一计算装置及其元件的功能说明图。

100：八节点六面体元素

102：高斯-勒让得积分点

200：长形六面体元素

202：积分点

300：纯弯曲力矩

310：长形结构受到纯弯曲作用时的真实情况

320：有粗劣的宽高比的八节点固体元素，且受到相同弯曲作用的情况

500：等参数座标系统

501：长形固体元素

510：全球座标系统(X-Y)

512：在二维度视野下的元素

515：全球座标系统510与局部空间座标系统520之一个转换过程

520：局部空间座标系统(x_L，y_L)

525：等参数座标系统530与局部空间座标系统520之之一个转换过程

530：等参数座标系统

531：元素的节点

532：元素的节点

533：元素的节点

534：元素的节点

600：电脑系统

602：汇流排

604：处理器

606：模块

608：主存储器

610：第二存储器

612：硬盘驱动器

614：可移除式的储存驱动器

618：可移除式储存单元

620：接口

622：可移除式的储存单元

624：沟通接口

630：资料进出控管接口

具体实施方式

为更进一步阐述本发明为达成预定发明目的所采取的技术手段及功效，以下结合附图及较佳实施例，对依据本发明提出的一种有限元素分析的方法、系统及可被电脑读取的媒体

其具体实施方式、方法、步骤、特征及其功效，详细说明如后。

请参阅图4A所示，是根据本发明的一实施例，用有限元素分析，来减少一八节点六面体元素的横向剪切锁定效应的流程图，该流程图说明了减少在一有限元素分析内的一八节点六面体元素的横向剪切锁定效应的流程400，该流程400可在软件内被执行。有限元素分析是用于模拟一工程产品〔像是车，飞机，结构，消费产品〕的结构行为，让有限元素分析的使用者更方便于设计和决定如何让一个产品更好。

流程400开始时，在步骤402中，一在电脑系统内的有限元素分析模块可执行有限元素分析，该有限元素分析模块定义了一个被设计或是被改良的工程产品，如一自动移动车，一结构及一消费产品等。一个使用有限元素分析来进行时间逼进的工程模拟试验，可在一设计的负载下模拟出工程产品结构的响应和行为，而时间逼进的模拟包括一步骤的时间或者是整个求解的时间，而有限元素分析模块包括至少一全积分八节点六面体元素〔像是图1A和图2A所示的元素〕

根据第一个实施例，在步骤404中，对于每一个八节点六面体元素而言，三个基于宽高比的比例因子，每一个皆对应到一个空间方向(spatial direction)，并可在一个具有八节点固体元素501的等参数座标系统500里被计算，如图5A所示，图5B是根据本发明的一实施例，所展现一八节点六面体元素的多种座标系统的说明图。其中ξ₁、ξ₂及ξ₃分别为三个用于定义八节点固体元素的等参数座标轴(isoparametric dimensions)，而基于宽高比的比例因子λ^j _i可被下式计算：

${\mathrm{\λ}}_i^j=\min (1,\frac{L_j}{L_i}),i,j=\mathrm{1,2,3}---\left(1\right)$

其中，L1、L2及L3分别是固体元素在三个等参数座标轴(isoparametric dimensions)所对应到的长度，如图5A中的图示；由于上式的解是求出最小值min(a，b)，取a或b其中之一，而无论那个最小，基于宽高比的比例因子永远等于或者小于1。

在下一个步骤406中，基于宽高比的比例因子会被应用于修正偏导数γ^I _j，并以此来计算下列的雅可比矩阵(Jacobian matrix)，其中，该偏导数λ^j _i是八节点固体元素的等参数形状函数(isoparametric shape function)N_I。

${\mathrm{\γ}}_j^I=\frac{\∂N_I}{\∂{\mathrm{\ξ}}_j}({\mathrm{\λ}}_1^j{\mathrm{\ξ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2^j{\mathrm{\ξ}}_2,{\mathrm{\λ}}_3^j{\mathrm{\ξ}}_3),j=\mathrm{1,2,3}---\left(2\right)$

导数γ^I _j会被应用于修正雅可比矩阵(Jacobian matrix)内非对角项的相关要素，来减少不自然的剪切锁定效应，为了说明这个修正方法，请参阅图5B所示的三轴座标系统，且为了阐述容易，座标系统是以二维度的方式呈现。在这个通知的技术领域内，三维度座标系统是这个二维度座标系统的延伸，首先，元素512〔在三维度里，这会是个八节点的固体元素〕会在一个全球座标系统(global coordinate system)(X-Y)510里，以及在一个局部空间座标系统(local spatial coordinate system)(x_L，y_L)520里，而全球座标系统510与局部空间座标系统520之间的关系以一个转换过程〔如图中的箭头515〕来表示，全球座标系统510通常用于定义一个整体的有限元素分析模型，局部空间座标系统520是用于计算宽高比，同时也就是修正雅可比矩阵(Jacobian matrix)，而一开始的局部空间座标系统520可以被设定在任何一个地方〔如图5B中在中间的元素〕。

元素512可以被表示在一个等参数座标系统(ξ₁，ξ₂)530内(就像图5A那样)，这等参数座标的四个角落点531-534分别为(1，1)、(1，-1)、(-1，-1)、及(-1，1)。一个转换过程〔如图中所示的箭头525〕是表示等参数座标系统530与局部空间座标系统520之间的关系，这个转换过程是一个局部的雅可比矩阵(Jacobain matrix)，如下：

${\stackrel{\‾}{J}}^L=\frac{\∂{\stackrel{\‾}{x}}^L}{\∂\stackrel{\‾}{\mathrm{\ξ}}}=\underset{I}{\mathrm{\Σ}}{\stackrel{\‾}{x}}_I^L\frac{\∂N_I}{\∂\stackrel{\‾}{\mathrm{\ξ}}}=\underset{I}{\mathrm{\Σ}}{\stackrel{\‾}{x}}_I^L{\stackrel{\‾}{\mathrm{\γ}}}^I---\left(3\right)$

其中，

是一局部空间座标(像(x_L，y_L)在二维)，ξ是一等参数座标轴(像(ξ₁，ξ₂)在二维)，而公式(3)是由公式(2)获得。

如图4B所示的实施例，本发明的目的是藉由设定局部雅可比矩阵(Jacobian matrix)非对角线的相关要素为零，来消除不自然的剪切锁定效应，以其要素的形式来表示，局部雅可比矩阵(Local Jacobian matrix)

可以被写成就等参数座标而言的多项式形式：

$J_{\mathrm{ij}}^L={\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^L{\mathrm{\ξ}}_i+......\left(4\right)$

i列在局部雅可比矩阵

中没有总合，其中，i≠j，一些取决于局部空间座标(local spatial coordinate)。不自然的横向剪切锁定效应就是由该项

所引起，可以直接把这项设成零，以消除剪切锁定效应〔如图4B中的步骤424〕。

为了计算雅可比矩阵(Jacobian matrix)，可使用雅可比座标转换矩阵

再运用标记法(indicial notation)和指标加总(summation over repeated indeces)，就可得到如下全积分八节点固体元素的雅可比矩阵(Jacobian matrix)：

$J_{\mathrm{ij}}=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{B}_{\mathrm{ijk}}^I{x}_k^I=\underset{p,m,k}{\mathrm{\Σ}}{q}_{\mathrm{ip}}^{-1}{C}_{\mathrm{pjm}}^I{q}_{\mathrm{mk}}{x}_k^I,i,j=\mathrm{1,2,3}---\left(5\right)$

其中，q_ik表示局部座标系统与全球座标系统的转换，

是在局部空间座标系统里的雅可比座标转换矩阵，矩阵

共包括有216(9x24)项，其中，“9”是来自3x3雅可比矩阵内的要素，而“24”则是表示各八个积分点的三个空间位移(spatial displacement)。

在实际状况里，把

设成零，会使雅可比座标转换矩阵

变成一共有216项的全密度矩阵(dense matrix)，如此，可能会有不佳的计算效益(需花费几乎是三倍的计算能力)，因为原本在有限元素分析里，显式求解器(explicit solver)所能做到的项数最多只有72项，虽然，这种结构是可以在隐式求解器(implicit solver)里使用的，因为隐式求解主要耗费的计算是在方程序求解(equation solver)。会造成全密度矩阵的原因，是因为矩阵在标准的等参数逼进(isoparametric approach)法可以被写成如下式：

$C_{\mathrm{ijk}}^I={\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ik}}{\mathrm{\γ}}_j^I---\left(6\right)$

其中δ_ik是克罗内克函数(Kronecker delta)，而γ^I _j则如下式：

${\mathrm{\γ}}_j^I=\frac{\∂N_I}{\∂{\mathrm{\ξ}}_j}({\mathrm{\ξ}}_1,{\mathrm{\ξ}}_2,{\mathrm{\ξ}}_3),j=\mathrm{1,2,3}---\left(7\right)$

上式中N_I是在等参数座标系统内的形状函数，通过过将

项设成零，(6)式中

的稀疏项(sparsity)会被破坏，同样的，

矩阵中的稀疏项(sparsity)也会被破坏。

再看第一实施例，(1)式的比例因子和(2)式修正后的偏导数可用于减少全积分八节点六面体元素的不自然的剪切锁定效应，这修正保有原本的计算效率，并改变这些粗劣宽高比固体元素的特性，对于完美正方体(perfect cubic)固体元素，比例因子根据(1)式是等于一，于此，(7)式中原始形状函数的偏导数得以维持〔(2)式与(7)式就会完全一样〕。具有大的宽高比元素的雅可比矩阵明显的可以被(1)式与(2)式的比例因子修正，如此，横向的剪切锁定效应得以被减少。

在流程400的步骤408，在修正的雅可比矩阵在有限元素分析模块里的八节点固体元素被计算后，有限元素分析被应用在获得在时间逼近模拟试验(time marching simulation)里工程产品的结构响应(structural responses)，而模拟结果或者结构响应(Phil ip：如何修改，请再确认！指的是翻译名词是否恰当！)是被用于帮助使用者，来设计并决定工程产品的改善。

根据图4B所示，是根据本发明的另一实施例，用有限元素分析，来减少横向剪切锁定效应的流程图。其中，该图是本发明另一相关于减少一全积分八节点固体元素的剪切锁定效应的实施例，类似于流程400，流程420更适合嵌入于软件内。

流程420包括一些相似或相同于流程400的步骤，例如，步骤422与流程400里的步骤402相同，同样的，步骤428也跟步骤408一样。步骤424包括一修正的雅可比矩阵的计算，也就是通过将相关非对角的要素设成零来完成，这些相关的要素就是不自然的剪切锁定效应的来源，且位置是由(4)式来定义。

根据这个观念，本发明是导向由一个或多个电脑来完成上述的功能，如图6所示的电脑系统600，电脑系统600包括一个或多个处理器，像是处理器604，该处理器604与电脑内部的总线602彼此连接沟通。有多种的软件是根据此电脑系统来描述，之后，任一个熟知该项技艺的技术人员，都会知道怎么用其他电脑系统或是电脑结构来嵌入本发明。

电脑系统600还包括一主存储器608，也就是所谓的随取存储器(random access memory)，同时也可能包括一第二存储器610，而该第二存储器610可能包括像是一个或多个硬盘驱动器612，以及/或者，一个或多个可移除式的储存驱动器614，代表的像是一软盘机驱动器、一磁带驱动器及一光盘驱动器等等。可移除式的储存驱动器614是以一个现有习知的方法来读取或者是写入一个可移除式储存单元618，这可移除式储存单元618可能是一个软盘、磁带或是光盘等等，另外，如图中所示，可移除式储存单元618包括一电脑读取媒体，该电脑读取媒体是储存有电脑软件资料。

第二存储器610可能包括其它类似容许电脑程序或其他结构可以被载入电脑系统600的介质，这介质可能会是一可移除式的储存单元622和一接口接口620，例如，一个包含有程序的卡带和卡带接口接口(如电动玩具之类的装置)，一可移除式的存储芯片(如EPROM，通用串行总线(USB)的快闪存储器，或者PROM)及其相关的针脚，或是其他储存单元622又或是一接口接口620可容许软件或是资料从可移除式的储存单元622传送到电脑系统600。通常，电脑系统600会被操作系统(OS)来控制，该操作系统(OS)会执行如处理时序、存储安排、网络、和资料进出管控的任务。

一沟通接口接口624是连接于总线602，该沟通接口接口624容许软件和资料可以在电脑系统600和外接装置之间传输，这种沟通接口接口624可能会是一数据机、一网络接口接口〔如乙太网卡〕、一沟通端子、一内存(PCMCIA)槽和一内存(PCMCIA)卡等等。

电脑600是以一组特别的规定〔或协议〕来与其他电脑装置做网络的资料沟通，在一网络中最常见的协议就是TCP/IP(Transmission Control Protocol/Internet Protocol)，通常，沟通接口接口624是处理一资料档案分装成较小的封包，或者将小的封包重新组成原资料档案，其中，该封包可用于网络传输，此外，沟通接口接口624还掌控每一个封包位址使之能传送到正确的电脑600，或者，截取预定的封包到电脑600。

在这里，如“可记录式电脑储存媒体”(computer recordable storage medium)、“可记录式电脑媒体”(computer recordable medium)及“可读取式电脑媒体”(computer readable medium)之类的描述，都属于可移除式的储存驱动器614，以及/或者一个已安装硬盘驱动器612的硬盘，这电脑程序产品是提供软件给电脑系统600，而这个发明就是导向这样的电脑软件产品。

电脑系统600可能还包括一资料进出管控接口接口630，资料进出管控接口接口630是提供电脑系统600存取荧幕、键盘、滑鼠、打印机、扫瞄机、及绘图机等等使用。

电脑程序(或电脑控制逻辑)以应用模块606的方式被储存于主存储器608，和/或者第二存储器610，电脑程序可以通过沟通接口接口624被接收，这样的电脑程序，被执行的时候，会启动电脑系统600来执行如前述的本发明，特别地是，电脑程序被执行的时候，会启动处理器604来执行本发明，依此，这样的电脑程序就如电脑系统600的控制器一般。

在本发明的一个实施例里，是被嵌入一软件，该软件可能存有一电脑程序产品并且经过可移除式的储存驱动器614、硬盘驱动器612或者沟通接口接口624载入到电脑系统600，当应用模块606被处理器604执行时，处理器604就会执行本发明前述相关的函数。

主存储器608可能被一个或多个应用模块606载入，该应用模块606是被一个或多个处理器604执行，无论使用者是否有通过资料进出管控接口接口630来输入指令以完成想要的任务，在操作的时，当至少一处理器604执行其中一个应用模块606时，解会被计算并储存在第二存储器610内，此时，有限元素分析方法的时间逼近工程模拟就会把结果，通过资料进出控管接口接口630呈现给使用者，无论是以文字还是图像的方式。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容作出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (10)

1.一种有限元素分析的方法，其特征在于其可以减少在一全积分八节点六面体元素的横向剪切锁定效应，该方法包括以下步骤：

定义，是经由一电脑系统内的一应用模块来执行，以一有限元素分析模型定义一待改善的工程产品，该有限元素分析模型包含至少一个全积分八节点六面体元素；

计算，是经由该应用模块来执行，以计算出该每一个至少一全积分八节点六面体元素的一组宽高比的比例因子；

产生，是经由该应用模块来执行，经由修改与宽高比的比例因子相关的等参数形状函数的多个偏导数，产生该每一个至少一全积分八节点六面体元素的一修改的等参数雅可比矩阵，以减少该每一个至少一全积分八节点六面体元素的横向剪切锁定效应；以及

处理，利用该电脑系统中的该有限元素分析模型来进行有限元素分析，以进行一工程模拟试验，其中，该有限元素分析模型包含该每一个至少一全积分八节点六面体元素及一修改的等参数雅可比矩阵，而该工程模拟试验的结果可帮助使用者对该工程产品的改善作出设计的决定。

2.根据权利要求1所述的有限元素分析的方法，其特征在于其中所述的每一个至少一全积分八节点六面体元素具有三个区域维度。

3.根据权利要求2所述的有限元素分析的方法，其特征在于其中一组宽高比的比例因子，是根据以下公式定义：

${\mathrm{\λ}}_i^j=\min (1,\frac{L_j}{L_i}),i,j=\mathrm{1,2,3}$

其中，L1、L2及L3分别是该每一个至少一全积分八节点六面体元素的三个区域维度的长度，而λ^j _i是表示该组宽高比的比例因子之中的一个因子。

4.根据权利要求3所述的有限元素分析的方法，其特征在于其中所述的多个偏导数是以

及来被修正，j＝1，2，3，其中，ξ₁，ξ₂及ξ₃分别是等参数座标中的三个等参数座标轴。

5.根据权利要求4所述的有限元素分析的方法，其特征在于其中所述的修改的等参数雅可比矩阵J_ij是以下式计算得到：

$J_{\mathrm{ij}}=\underset{p,m,k}{\mathrm{\Σ}}{q}_{\mathrm{jp}}^{-I}{C}_{\mathrm{pjm}}^I{q}_{\mathrm{mk}}{x}_k^I,i,j=\mathrm{1,2,3}$

$C_{\mathrm{ijk}}^I={\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ik}}\frac{\∂N_I}{\∂{\mathrm{\ξ}}_j}({\mathrm{\λ}}_1^j{\mathrm{\ξ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2^j{\mathrm{\ξ}}_2,{\mathrm{\λ}}_3^j{\mathrm{\ξ}}_3),j=\mathrm{1,2,3}$

其中，q_mk是一种区域座标系统与全球座标系统之间的转换，而δ_ik是一克罗内克函数。

6.根据权利要求1所述的有限元素分析的方法，其特征在于其中所述的每一个至少一全积分八节点六面体元素包含八个积分点。

7.一种有限元素分析的系统，其特征在于其可以减少在一全积分八节点六面体元素的横向剪切锁定效应，该系统包括：

一主存储器，用于储存电脑可读取式代码，该电脑可读取式代码是用于一有限元素分析应用模块；

至少一处理器与该主存储器连接，该至少一处理器可执行储存于主存储器内的电脑可读取式代码，并使有限元素分析应用模块可照下列方法执行作业：

定义一有限元素分析模型，来表示一待改善的工程产品，该有限元素分析模型包含至少一个全积分八节点六面体元素；

计算出该每一个至少一全积分八节点六面体元素的一组宽高比的比例因子；

经由修改与宽高比的比例因子相关的等参数形状函数的多个偏导数，产生该每一个至少一全积分八节点六面体元素的一修改的等参数雅可比矩阵，以减少该每一个至少一全积分八节点六面体元素的横向剪切锁定效应；及

用有限元素分析模型来进行有限元素分析，以处理一工程模拟试验，其中，该有限元素分析模型包含该每一个至少一全积分八节点六面体元素及一修改的等参数雅可比矩阵，而该工程模拟试验的结果可帮助使用者对该工程产品的改善作出设计的决定。

8.根据权利要求7所述的有限元素分析系统，其特征在于其中所述的每一个至少一全积分八节点六面体元素具有三个区域维度，而该组宽高比的比例因子，是根据以下公式定义：

${\mathrm{\λ}}_i^j=\min (1,\frac{L_j}{L_i}),i,j=\mathrm{1,2,3}$

其中，L1、L2及L3分别是该每一个至少一全积分八节点六面体元素的三个区域维度的长度，而λ^j _i是表示该组宽高比的比例因子之中的一个因子，等参数形状函数的多个偏导数是以

及来被修正，j＝1，2，3，其中，ξ₁，ξ₂及ξ₃分别是等参数座标中的三个等参数座标轴。

9.一种可被电脑读取的媒体，其特征在于所包含的结构可以一有限元速分析的方法控制一电脑系统，来减少在一全积分八节点六面体元素的横向剪切锁定效应，该有限元速分析的方法包括：

定义，在一电脑系统里，一有限元素分析模型包含至少一个全积分八节点六面体元素，且该有限元素分析模型表示一待改善的工程产品；

计算出该每一个至少一全积分八节点六面体元素的一组宽高比的比例因子；

经由修改与宽高比的比例因子相关的等参数形状函数的多个偏导数，产生该每一个至少一全积分八节点六面体元素的一修改的等参数雅可比矩阵，以减少该每一个至少一全积分八节点六面体元素的横向剪切锁定效应；以及

以电脑中的有限元素分析模型来进行有限元素分析，以处理一工程模拟试验，其中，该有限元素分析模型包含该每一个至少一全积分八节点六面体元素及一修改的等参数雅可比矩阵，而该工程模拟试验的结果可帮助使用者对该工程产品的改善作出设计的决定。

10.根据权利要求9所述的可被电脑读取的媒体，其特征在于其中所述的每一个至少一全积分八节点六面体元素具有三个区域维度，而该组宽高比的比例因子，是根据以下公式定义：

${\mathrm{\λ}}_i^j=\min (1,\frac{L_j}{L_i}),i,j=\mathrm{1,2,3}$

其中，L1、L2及L3分别是该每一个至少一全积分八节点六面体元素的三个区域维度的长度，而λ^j _i是表示该组宽高比的比例因子之中的一个因子，等参数形状函数的多个偏导数是以及来被修正，j＝1，2，3，其中，ξ₁，ξ₂及ξ₃分别是等参数座标中的三个等参数座标轴。

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