TWI764312B - 基於等效節點割線質量逼近之結構體分析方法、裝置與電腦程式產品 - Google Patents

基於等效節點割線質量逼近之結構體分析方法、裝置與電腦程式產品

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TWI764312B
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Abstract

本發明關於一種結構體分析方法，其包含：按照實體結構之結構幾何，將該實體結構分割成複數虛擬元素，並建立該等虛擬元素的離散增量割線迭代模型，該離散增量割線迭代模型包含等效節點割線質量係數以及等效節點割線質量阻尼係數；實施增量割線迭代演算法以反覆計算該等效節點割線質量係數對應之割線質量係數斜率以及該等效節點割線質量阻尼係數對應之割線質量阻尼係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線質量係數斜率以及該割線質量阻尼係數斜率分別取代該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數。

Description

基於等效節點割線質量逼近之結構體分析方法、裝置與電腦程式產品
本發明係有關於一種分析結構體的方法、電腦產品以及裝置，尤其是透過增量割線演算法逼近等效節點割線質量係數，而用於分析或模擬結構體的方法、電腦程式產品以及裝置。
習用技術中對於各式結構體，諸如機械金屬構件、鋼筋混凝土建築物結構等結構體，尤其是針對結構體的非線性(non-linear)動力歷時數值分析，皆使用隱式有限元素分析法(FEA)進行，FEA是目前最受到各領域廣泛使用的數值分析工具之一，舉凡從學術研究、固力、流力、熱傳、製造到結構設計等領域，幾乎都採用FEA進行結構體之非線性動力歷時數值分析。
許多業界常用之商業軟體SAP2000與ETABS等，也都採用FEA作為標準數值分析工具，但這些商業軟體往往都有許多限制與缺點，舉例來說，分析大型複雜結構物時，執行非線性動力歷時分析經常發生數值發散情形，無法順利完成分析，或分析時間過長，而學術界經常使用之 LS-DYNA、ABAQUS及OpenSees等有限元素軟體，雖然功能較SAP2000與ETABS齊全，亦經常發生數值發散或分析時間過長之情形，且該等軟體不易模擬結構不連續破壞情形。
常見的LS-DYNA、ABAQUS-Explicit等軟體，為維持運動方程式之非耦合特性，以便控制方程式離散後能形成對角化矩陣而避免反矩陣之運算，因此通常省略勁度阻尼(Stiffness-proportional damping)，數值計算過程只考慮質量阻尼(mass-proportional damping)，導致無法消除數值模型產生之高頻反應，該高頻反應並非真實存在，經常影響分析結果之準確性。
綜合來說，習用FEA數值分析或模擬，大致有兩大硬傷，第一就是反矩陣之運算，反矩陣之運算往往引起諸多問題，諸如導致數值發散、消耗超長的計算時間、計算效能不佳、不易應用於大型複雜結構物分析、不連續結構分析、或結構破壞模擬等情境；第二個硬傷則是，習用FEA數值分析或模擬，包含各種商業軟體，在面對大型複雜結構物分析時，只能採用集中質量法(lumped mass)進行質量矩陣之計算。
結構物之質量矩陣通常使用兩種方法計算，第一種為集中質量法(lumped mass)，第二種為諧和質量法(consistent mass)，集中質量法是將元素的質量集中到元素的端點上，使質量矩陣形成對角化矩陣，故無須求解反矩陣，但是諧和質量法則是依據結構物之形狀幾何函數建立質量矩陣，所形成之質量矩陣逼近真實情況，且與勁度矩陣保持高度耦合，但按照諧和質量法建立的質量矩陣無法對角化，因此必須求解反矩陣。
因此習用的習用FEA數值分析或模擬，包含各種商業軟體，在遇到必需採用諧和質量來計算的問題時，由於必須進行反矩陣運算，導 致這些軟體照樣發生數值發散情無法順利完成分析，或分析時間過長，當分析大型複雜結構物、或是不連續結構、或結構破壞時，現有這些商用軟體可說束手無策。
因此為了解決現有貼合技術中所存在的各項缺點，申請人經過悉心試驗與研究，並一本鍥而不捨之精神，終構思出本案「基於等效節點割線質量逼近之結構體分析方法、裝置與電腦程式產品」，能夠克服上述缺點，以下為本發明之簡要說明。
鑑於習用技術中存在的缺點，本發明以能夠無條件穩定的隱式結構動力有限元素分析為基礎，提出在離散控制方程式中導入等效節點割線質量與質量阻尼係數，使得動力方程式全面解耦合(decoupled)，並可配合諧和質量假設進行數值模擬，計算過程不須建立質量矩陣與質量阻尼矩陣，僅須計算元素之節點慣性力、阻尼力與內力，再採用任何隱式直接積分法，配合增量割線迭代演算法，在每一步幅上都可以收斂，更可採取較大之時間步幅，大幅提高計算效率。
在獲得同等精度解的條件下，本發明之計算效率遠高於顯式中央差分法，經由數值驗證，本發明之收斂速率(convergence rate)等同於傳統擬牛頓法(quasi-Newton method)迭代程序之收斂速度，數值解的穩定性(stability)與正確性(accuracy)，等同於傳統隱式直接積分法之穩定性與正確性；由於不須建立質量矩陣，任何形式之有限元素與阻尼元件均可直接加入本分析程序中，故本發明可廣泛用於分析各種非線性與不連續之問題。
據此本發明提出一種結構體分析方法，其包含：按照實體結 構之結構幾何，將該實體結構分割成複數虛擬元素，並建立該等虛擬元素的離散增量割線迭代模型，該離散增量割線迭代模型包含等效節點割線質量係數以及等效節點割線質量阻尼係數；實施增量割線迭代演算法以反覆計算該等效節點割線質量係數對應之割線質量係數斜率以及該等效節點割線質量阻尼係數對應之割線質量阻尼係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線質量係數斜率以及該割線質量阻尼係數斜率分別取代該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數。
較佳的，所述之結構體分析方法還包含以下步驟其中之一：實施諧和質量(consistent mass)法以依照該實體結構之形狀函數建立該等虛擬元素，其中該形狀函數係高度近似於該結構幾何；在該離散增量割線迭代模型中加入等效節點割線阻尼係數以及等效節點割線勁度係數；採用直接積分法建立該等虛擬元素的該離散增量割線迭代模型；對該離散增量割線迭代模型選擇性導入比例阻尼力，以形成第二離散增量割線迭代模型；對該第二離散增量割線迭代模型選擇性導入前一時步上之已知的該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數，以形成第三離散增量割線迭代模型；以及從該第三離散增量割線迭代模型導出該等效節點割線質量係數方程式以及該等效節點割線質量阻尼係數方程式。
較佳的，該增量割線迭代演算法係選自牛頓法、擬牛頓法、牛頓-拉弗森以及割線逼近法其中之一，該直接積分法係選自隱式紐馬克積分法、HHT-α隱式積分法以及Bathe複合隱式積分法其中之一。
據此本發明進一步提出一種結構體分析電腦程式產品，其特徵為經由電腦載入該程式執行如下處理：按照實體結構之結構幾何，將該 實體結構分割成複數虛擬元素，並建立該等虛擬元素的離散增量割線迭代模型，該離散增量割線迭代模型包含等效節點割線質量係數以及等效節點割線質量阻尼係數；實施增量割線迭代演算法以反覆計算該等效節點割線質量係數對應之割線質量係數斜率以及該等效節點割線質量阻尼係數對應之割線質量阻尼係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線質量係數斜率以及該割線質量阻尼係數斜率分別取代該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數。
據此本發明進一步提出一種結構體分析裝置，其特徵為經由處理器載入並執行以下步驟：按照實體結構之結構幾何，將該實體結構分割成複數虛擬元素，並建立該等虛擬元素的離散增量割線迭代模型，該離散增量割線迭代模型包含等效節點割線質量係數以及等效節點割線質量阻尼係數；實施增量割線迭代演算法以反覆計算該等效節點割線質量係數對應之割線質量係數斜率以及該等效節點割線質量阻尼係數對應之割線質量阻尼係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線質量係數斜率以及該割線質量阻尼係數斜率分別取代該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數。
上述發明內容旨在提供本揭示內容的簡化摘要，以使讀者對本揭示內容具備基本的理解，此發明內容並非揭露本發明的完整描述，且用意並非在指出本發明實施例的重要/關鍵元件或界定本發明的範圍。
A:節點
C:節點
P:節點
11:桌上型電腦
13:筆記型電腦
15:平板裝置
17:智慧型手機
500:本發明結構體分析方法
501~505:實施步驟
第1圖揭示本發明結構體分析裝置；
第2圖係揭示本發明第一與第二實施例分析對象鋼筋混凝土柱之結構模型示意圖；
第3圖係揭示第一實施例在不考慮比例阻尼條件下鋼筋混凝土柱位移之時變圖；
第4圖係揭示第一實施例在不考慮比例阻尼條件下鋼筋混凝土柱底層剪力之時變圖；
第5圖係揭示第二實施例導入5%阻尼比條件下鋼筋混凝土柱位移之時變圖；
第6圖係揭示第二實施例導入5%阻尼比條件下鋼筋混凝土柱底層剪力之時變圖；
第7圖係揭示本發明第三實施例分析對象鉸接剛性單擺之桁架模型示意圖；
第8圖係揭示本發明第三實施例分析對象鉸接剛性單擺之運動軌跡示意圖；
第9圖係揭示本發明第三實施例所模擬剛性單擺位移之時變圖；
第10圖係揭示本發明第三實施例所模擬剛性單擺速度之時變圖；
第11圖係揭示本發明第三實施例所模擬剛性單擺加速度之時變圖；
第12圖係揭示本發明第四實施例計算對象三維空間構架元素之結構模型示意圖；
第13圖到第15圖係分別揭示本發明第四實施例使用之輸入震波在東西向、南北向以及垂直方向上的加速度歷時圖；
第16圖到第18圖係分別揭示本發明第四實施例計算對象三維空間構 架元素在東西向、南北向以及垂直方向上的位移歷時圖；以及
第19圖係揭示本發明結構體分析方法之實施步驟流程圖。
本發明將可由以下的實施例說明而得到充分瞭解，使得熟習本技藝之人士可以據以完成之，然本發明之實施並非可由下列實施案例而被限制其實施型態；本發明之圖式並不包含對大小、尺寸與比例尺的限定，本發明實際實施時其大小、尺寸與比例尺並非可經由本發明之圖式而被限制。
本文中用語“較佳”是非排他性的，應理解成“較佳為但不限於”，任何說明書或請求項中所描述或者記載的任何步驟可按任何順序執行，而不限於請求項中所述的順序，本發明的範圍應僅由所附請求項及其均等方案確定，不應由實施方式示例的實施例確定；本文中用語“包含”及其變化出現在說明書和請求項中時，是一個開放式的用語，不具有限制性含義，並不排除其他特徵或步驟。
本發明提出一種混合增量割線迭代演算法(increment-secant iterative algorithm)、隱式直接積分法以及有限元素分析法(FEA)的結構體分析方法與對應之電腦程式產品(computer program product)，對真實的非線性(non-linear)結構體之動力控制方程式進行離散與解耦，使運算過程中所有矩陣的型態對角線化，並按照非線性結構體之實際幾何形式處理質量分布，包含結構動力方程式中涉及質量(mass)的微分項，例如慣性項(inertia term)或者阻尼項(damping term)等項次，使得數值動力模擬過程中，質量分布與結構體形狀保持高度一致。
對於具有非線性行為的結構體、或者不連續結構體，例如但不限於：金屬鈑件、金屬桿件、機構本體、機械零件、縱樑、橫樑、鋼筋混凝土建築物結構例如：超出降伏強度結構體、不連續損壞結構體、不連續破裂結構體、不連續破斷結構體、或者不連續斷裂結構體，較佳可以由虛位移法建立結構動力離散平衡方程式：
F I (t)+F D (t)+F S (t)=R(t) (1)
其中F I (t),F D (t),F S (t)等分別為等效節點慣性力、等效節點阻尼力與元素等效節點內力，R(t)為作用於節點之等效外力。
在質量不隨時間改變的假設之下，考量結構幾何、非線性材料及比例阻尼(proportional damping)力等假設，以隱式直接積分法以及FEA為基礎，按照非線性結構體實際的結構幾何、結構構型或者結構型式，將非線性結構體之實體結構轉換、且分割為多個虛擬元素(elements)，對方程式(1)進行時間(temporal)與空間(spatial)離散，方程式(1)在時步t+△t之時間離散增量迭代運動方程式如下：
Figure 109135024-A0101-12-0008-48
其中，
Figure 109135024-A0101-12-0008-57
與
Figure 109135024-A0101-12-0008-58
分別為節點加速度與速度向量，M為質量矩陣，a 0 M為比例質量阻尼係數，a 1K I 為比例勁度阻尼係數，K I 為結構初始勁度矩陣，a 0及a 1為常數， t+△t F mD 係由質量阻尼力
Figure 109135024-A0101-12-0008-59
所產生之節點質量阻尼力， t+△t F kD 係由勁度阻尼力
Figure 109135024-A0101-12-0008-60
所產生之節點阻尼力，(r)代表第r次迭代，(r-1)代表第r-1次迭代，M為質量矩陣，
Figure 109135024-A0101-12-0008-74
為第(r-1)次迭代後之切線勁度矩陣，R為外力向量， t+△t F S (r-1)為元素節點內力向量，Ü 及
Figure 109135024-A0101-12-0009-56
分別為節點加速度向量以及速度向量，△U (r)為第r次迭代之增量位移向量。
進一步引入等效節點割線概念，以導出方程式(2)所內含的等效節點割線質量係數、等效節點割線質量阻尼係數、等效節點割線阻尼係數、與等效節點割線勁度係數等，並解耦方程式(2)，方程式(2)在增量迭代程序中，在時間t+△t、第r次迭代、以及第i自由度(DOF)上的離散化增量割線迭代動力平衡方程式如以下方程式(3)：
Figure 109135024-A0101-12-0009-3
其中
Figure 109135024-A0101-12-0009-49
、
Figure 109135024-A0101-12-0009-50
和
Figure 109135024-A0101-12-0009-83
分別為第r次迭代之加速度、速度與位移增量，n為結構系統中自由度個數，
Figure 109135024-A0101-12-0009-52
為前一次迭代考量勁度阻尼a 1 K I 之元素節點阻尼力向量，
Figure 109135024-A0101-12-0009-53
為前一次迭代元素節點內力向量。
而
Figure 109135024-A0101-12-0009-8
和
Figure 109135024-A0101-12-0009-9
分別為第(r-1)次迭代時第i自由度方向之等效節點割線質量與質量阻尼係數，
Figure 109135024-A0101-12-0009-10
和
Figure 109135024-A0101-12-0009-11
分別為第(r-1)次迭代時第i自由度方向之等效節點割線阻尼與勁度係數，可透過如下方程式(4)到(7)定義與計算：
Figure 109135024-A0101-12-0009-4
Figure 109135024-A0101-12-0009-5
Figure 109135024-A0101-12-0009-6
Figure 109135024-A0101-12-0009-7
其中
Figure 109135024-A0101-12-0009-54
和
Figure 109135024-A0101-12-0009-55
分別為前一次迭代之慣性力 增量與質量阻尼力增量，
Figure 109135024-A0101-12-0010-62
和
Figure 109135024-A0101-12-0010-63
分別為前一次迭代之勁度阻尼力增量與元素節點內力增量。
本發明提出應用增量割線迭代演算法，來逼近方程式(4)到(7)包含的前一次迭代之等效節點割線質量係數
Figure 109135024-A0101-12-0010-12
、等效節點割線質量阻尼係數
Figure 109135024-A0101-12-0010-14
、等效節點割線阻尼係數
Figure 109135024-A0101-12-0010-13
和等效節點割線勁度係數
Figure 109135024-A0101-12-0010-15
等係數，並將收斂後的前一次迭代第(r-1)次迭代之係數，取代現在第r次迭代之係數，巧妙地避免習用有限元素分析，在求解方程式(3)過程中對大型反矩陣(inverse matrix)之計算，造成數值計算負荷(computation demanding)與發散可能的困擾。
本發明所提出的方法，可採用任何隱式直接積分法求解，應用增量割線迭代演算法之後，FEA計算過程不須建立質量矩陣M、質量阻尼矩陣a 0 M、勁度矩陣K與阻尼矩陣C等，也不須計算對應的反矩陣，只須計算元素之節點內力與阻尼力，任何形式之有限元素與阻尼元件均可直接加入本分析程序中，本發明所提出之方法，可廣泛用於分析各種非線性與不連續之問題，尤其適用於結構不連續問題，例如：材料在降伏點後之計算與模擬、結構破壞與破裂之計算與模擬、結構不連續問題之計算與模擬等。
直接積分法係選自但不限於：隱式紐馬克積分法(implicit Newmark integration method)、HHT-α隱式積分法(Hilber-Hughes-Taylor-α implicit integration method)或者Bathe複合隱式積分法(Bathe composite implicit integration method)等；增量割線迭代演算法係選自例如但不限於：牛頓法(Newton method)、擬牛頓法(quasi-Newton method)、牛頓-拉弗森(Newton-Raphson method)或者割線逼近法(secant approximation method)等。
本發明提出的方法，可以採用按照諧和質量假設、或者與諧和質量假設保持一致的方式，透過增量割線迭代法而計算個別元素之慣性項與阻尼項，輕易解決習用非線性結構體之數值分析或模擬，無法採用諧和質量假設進行計算之問題，且計算過程不需求解反矩陣，並克服傳統顯式積分法尚無法有效處理反矩陣之問題。
本發明之計算程序亦適用於不連續非線性結構體之數值分析與模擬，還可用於開發各種不同的有限元素，如：結構控制新元件之特殊支承元件(變頻支承)、特殊阻尼元件(變勁度阻尼)等，均可簡易快速加入本計算程序。
本發明對隱式結構動力有限元素計算程序提出等效節點割線質量與質量阻尼係數之概念，當使用本發明方法進行歷時分析時，無需建立結構體之質量矩陣、質量阻尼矩陣、勁度矩陣、阻尼矩陣等，亦不需求解反矩陣，再採用任何隱式直接積分法，配合增量-割線-迭代程序，使每一步幅均達到收斂條件，再者由於元素節點內力、阻尼力、質量阻尼、慣性力皆可於各元素內計算求得，故任何種類之元素皆可輕易地加入於本發明之分析方法。
本發明所提出之結構體分析方法，由於不須求解反矩陣，改由利用等效節點割線係數來逼近真實解，故非常適合應用於對不連續非線性結構體進行解析，例如：模擬或者分析結構體超過降伏點後之行為，本發明在以下實施例將以實際發生的橋梁受地震破壞而崩塌，即多支承振動(multiple-support excitation、MSE)的橋梁崩塌問題作為實施例，說明本發明之分析方法在模擬與分析不連續非線性結構體的強大效能。
第1圖揭示本發明結構體分析裝置；本發明所提出之結構體分析方法，具體是經由編寫成包含本發明結構體分析邏輯之電腦程式產品、行動裝置應用程式(App)、或者電腦軟體，經由電腦之處理器載入該程式而執行，本發明所稱之電腦程式產品、行動裝置應用程式、或者電腦軟體，係指載有電腦可讀取之程式且不限外在形式之物，當任何電腦裝置載入包含本發明的電腦程式產品後，就成為本發明結構體分析裝置，舉例來說，如第1圖所揭示，當第1圖的桌上型電腦11、筆記型電腦13、平板裝置15、智慧型手機17、或者任何行動裝置，載入包含有本發明結構體分析方法之電腦可讀取程式產品後，該裝置就成為本發明所提出之結構體分析裝置。
本發明所述之結構體分析裝置較佳是任何運算裝置，當任何運算裝置之處理器，載入包含有本發明結構體分析方法之電腦可讀取程式產品後，該運算裝置就成為本發明所提出之結構體分析裝置，該運算裝置可能是特定目的裝置，經製作專門用於實施本案發明的結構分析方法，該運算裝置可以具有、或者不具有輸入元件，以及該運算裝置可以具有、或者不具有輸出介面。
再者，由於電腦科技與網路技術之進步與普及，本發明提出的電腦程式產品，除了可以儲存於記錄媒體外，亦可儲存在遠端伺服器20上，運用例如：平台即服務(PaaS)、軟體即服務(SaaS)等技術，而將包含本發明方法之電腦軟體與電腦程式產品，透過網站、網頁、即時通訊(instant messaging、IM)、IM上的聊天機器人(ChatBot)、使用者介面(UI)、或者網路瀏覽器(browser)等，經由網際網路而直接提供給使用者操作，因此載有本發 明方法的電腦程式產品，並不限定於必須在有記錄媒體的電腦上使用，亦可透過網際網路提供給使用者使用。
本發明以鋼筋混凝土柱之非線性動力分析作為第一與第二實施例說明本發明非線性結構體分析方法，第一與第二實施例在質量處理的部分皆導入諧和質量假設(consistent mass)，並採用隱式HHT-α積分法作為增量割線迭代法，並計算結果將與現有商用有限元素分析軟體ABAQUS進行驗證比對；第一與第二實施例係測試本發明提出之結構體分析方法其對應的電腦程式產品，對於處理非線性動力問題之能力與收斂性，由於本發明之結構體分析方法是建立於動力基礎下，可較直觀地應用於固體之振動分析之場景。
第2圖係揭示本發明第一與第二實施例分析對象鋼筋混凝土柱之結構模型示意圖；第2圖揭示的鋼筋混凝土柱具有柱高20公尺，長度2公尺，寬度4公尺，單位體積重量2.4ft/m3，楊氏係數取混凝土抗壓強度f c '為240kgf/cm2時之值E
Figure 109135024-A0101-12-0013-65
232379kgf/cm2，柏松比v=0.15係考慮平面應力狀態，位移檢核點為圖中節點A之水平位移反應，輸入之地表加速度為阪神大地震日本氣象廳神戶測站(JMA Kobe)之南北向紀錄，為使結構高頻振動明顯，茲將地震倍率放大為2倍。
第3圖係揭示第一實施例在不考慮比例阻尼條件下鋼筋混凝土柱位移之時變圖；第4圖係揭示第一實施例在不考慮比例阻尼條件下鋼筋混凝土柱底層剪力之時變圖；第3圖與第4圖係經本發明方法計算所得之無阻尼之位移反應歷時時變圖，對於一般靜力問題而言大多屬於低頻震盪，使用質量阻尼即可有效將之消散，在本實施例係將鋼筋混凝土柱分割為20 片四節點等參數元素，從第3圖與第4圖可看出，當震波超過其最大地動加速度值(PGA)後使結構產生高頻振盪，且反應持續進行無法消散，圖中本案發明之計算結果以實線表示，商用軟體ABAQUS的計算結果以虛線表示，經檢視第3圖與第4圖後可發現兩線高度重合，驗證與表明本發明方法之正確性與可行性。
第5圖係揭示第二實施例導入5%阻尼比條件下鋼筋混凝土柱位移之時變圖；第6圖係揭示第二實施例導入5%阻尼比條件下鋼筋混凝土柱底層剪力之時變圖；當結構物受地震震動時，由於震波通常包含高頻之能量，致使結構物之反應同時產生高頻振盪模態，力學分析時對於此部分之效應須藉由勁度比例阻尼之作用方可建物消除其高頻現象，方可符合自然界之物理現象。
在第二實施例中，相同的將鋼筋混凝土柱分割為20片四節點等參數元素，計算參數給定為，第一振態與第二振態之阻尼比為5%，並據此求得比例阻尼係數a 0與a 1，分析時間步幅則設為△t=10-4s，檢視第5圖與第6圖後可發現本發明分析結果顯示與ABAQUS分析結果高度重合，驗證本發明方法對勁度比例阻尼與質量阻尼計算之正確性。
本發明第三實施例係以剛性單擺之非線性動力分析為例說明，第三實施例藉由等效割線質量係數以處理諧和質量問題，配合採用不同的隱式積分法計算節點物理量，數值算例之結果均可證明本發明方法之正確性與穩健性。
第7圖係揭示本發明第三實施例分析對象鉸接剛性單擺之桁架模型示意圖；第8圖係揭示本發明第三實施例分析對象鉸接剛性單擺之運 動軌跡示意圖；第7圖與第8圖揭示的剛性單擺之長度l 0為3.0443m，單位體積重量ρ 0 A 0為6.57kg/m，楊氏模數與斷面積之乘積EA 0 為1010N，週期為2.4777秒，其中節點C朝X方向之初始速度
Figure 109135024-A0101-12-0015-75
為7.72m/s。
第9圖係揭示本發明第三實施例所模擬剛性單擺位移之時變圖；第10圖係揭示本發明第三實施例所模擬剛性單擺速度之時變圖；第11圖係揭示本發明第三實施例所模擬剛性單擺加速度之時變圖；當結構體包含超高勁度元素或具有高度幾何非線性等特性時，Newmark平均加速度法於加速度計算上會有問題，隱式積分法改以Bathe複合式積分法實施。
在本實施例中，採用桁架元素配合Bathe複合式積分法進行模擬，時間步幅取0.01秒，經過400個週期後，節點C的計算結果如第9圖到第11圖所揭示，振幅衰減(amplitude decay,AD)約為0.0037%，週期延遲(period elongation,PE)約為2.43%；經多組算例分析結果顯示，當時間步幅取10-4s時，能有最高的計算效率，此外，該時間步幅也能將AD與PE減至最低，AD為0.0029%，PE則幾乎為零，且整體計算分析結果亦與解析解高度符合。
在本實施例中，採用桁架元素配合Bathe複合式積分法進行模擬，時間步幅取0.01秒，經過400個週期後，節點C的計算結果如第9圖到第11圖所揭示，振幅衰減(amplitude decay,AD)約為0.0037%，週期延遲(period elongation,PE)約為2.43%；經多組算例分析結果顯示，當時間步幅取10-4s時，能有最高的計算效率，此外，該時間步幅也能將AD與PE減至最低，AD為0.0029%，PE則幾乎為零，且整體計算分析結果亦與解析解高度符合。
第12圖係揭示本發明第四實施例計算對象三維空間構架元素之結構模型示意圖；為驗證本方法的準確性與計算效率，利用如第12圖所示之三維空間構架元素(SAP2000建模結果截圖)，建立一組九層樓抗彎構架模型，在本實施例，九層樓抗彎構架鋼結構設計模型，例選用FEMA-335C附件B提供之鋼結構設計模型，簡化後模型資料參數如下表所揭露，結構模型示意圖如第12圖所揭示：
Figure 109135024-A0101-12-0016-16
第13圖到第15圖係分別揭示本發明第四實施例使用之輸入震波在東西向、南北向以及垂直方向上的加速度歷時圖；在本實施例，輸入震波為1994年美國北嶺大地震(Northridge earthquake)所測得之震波，其在X方向或東西向、Y方向或南北向、以及Z方向或垂直方向上的加速度歷時，分別如第13圖到第15圖所揭示，且為了明顯分析大變形之幾何非線性行為，本實施例將輸入震波調整為原始震波之五倍；值得注意的是，雖然本實施例是採用集中質量的方式建立節點質量，但旋轉自由度轉動慣量受幾何非線性影響，節點上旋轉自由度慣性力與質量阻尼力相互耦合，因此本 實施例選擇透過等效節點割線質量、質量阻尼係數的方式，處理旋轉自由度之慣性力與質量阻尼力。
第16圖到第18圖係分別揭示本發明第四實施例計算對象三維空間構架元素在東西向、南北向以及垂直方向上的位移歷時圖；本實施例以商用結構計算軟體SAP2000作為比較基準，在與SAP2000使用相同的隱式積分法與計算條件下進行非線性動力歷時分析，並考量比例阻尼，計算與分析第12圖揭示的九層樓抗彎三維空間構架元素之非線性動力歷時行為，以第12圖的節點P為例，經本發明方法計算與分析後，其位移歷時行為如第16圖到第18圖所示。
根據第16圖到第18圖之揭示可知，本發明提出之計算方法之計算結果，與SAP2000之計算結果完全重合，驗證本發明之高度準確性，但極為突出的是，在相同的分析條件下，兩者獲得相同計算結果所花費之計算時間差距甚大，本發明方法僅花費21秒進行計算，SAP2000則耗時3112秒，本發明在保有計算準確性的同時，也能大幅節省運算時間，本發明方法約能節省將近一百甚至兩百倍的計算時間，顯著提升分析計算效率。
根據上述第一實施例到第四實施例之揭露可知，本發明隱式結構動力有限元素計算程序可簡易地處理上述高度非線性與不連續問題，且具有穩定性、強健性與高效率的特點，可推廣至各類工程計算領域，瞭解所設計結構物達極限狀態之破壞順序與倒塌情形，並驗證所設計結構物在不同地震等級下，是否達到所設定之性能目標，更可運用於結構物耐震設計檢核，驗證並確認所設計結構物在不同地震等級下，是否達到所設定之性能目標。
第19圖係揭示本發明結構體分析方法之實施步驟流程圖；總結而言，本發明之結構體分析方法500包含以下步驟：按照實體結構之結構幾何，將該實體結構分割成複數虛擬元素(步驟501)；選擇性實施諧和質量法以依照該實體結構之形狀函數建立該等虛擬元素，其中該形狀函數係高度近似於該結構幾何(步驟502)；採用直接積分法並導入比例阻尼力，以建立該等虛擬元素的離散增量割線迭代模型，該離散增量割線迭代模型包含等效節點割線質量係數以及等效節點割線質量阻尼係數(步驟503)；實施增量割線迭代演算法以反覆計算該等效節點割線質量係數對應之割線質量係數斜率以及該等效節點割線質量阻尼係數對應之割線質量阻尼係數斜率直到收斂(步驟504)；以及以收斂後之該割線質量係數斜率以及該割線質量阻尼係數斜率分別取代該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數(步驟505)。
小結而言，本有限元素動力分析程序，結合傳統顯式與隱式直接積分法之優點，且未有其缺點，同時於結構模型中可以考量加入結構勁度阻尼，特別適用於分析高度非線性且不連續之大型結構動力系統，具強健性且高效率，尤其適用於分析在許多地震災害中，經常可見結構物倒塌之案例分析。
相較於習用FEA軟體仍無法模擬高度非線性且不連續之結構破壞坍塌行為，本發明方法允許自由加入多項高度非線性分析方法，例如，多支承地震波輸入功能，模擬結構物單側發生邊坡滑移情形，碰撞元素模擬構件之碰撞以及掉落構件與其他構件之碰撞，甚至掉落地面情形，非線性連結元素模擬結構支承行為與損壞、構件塑鉸行為與斷裂，以及土 壤被動土壓力等。
相較於習用FEA動力分析程序，本法具有簡易性、穩定性、強健性與高效率，可用於模擬結構物在極大外力作用下，如何達到極限狀態之破壞順序與倒塌情形。
本發明以上各實施例彼此之間可以任意組合或者替換，從而衍生更多之實施態樣，但皆不脫本發明所欲保護之範圍，茲進一步提供更多本發明實施例如次：
實施例1：一種結構體分析方法，其包含：按照實體結構之結構幾何，將該實體結構分割成複數虛擬元素，並建立該等虛擬元素的離散增量割線迭代模型，該離散增量割線迭代模型包含等效節點割線質量係數以及等效節點割線質量阻尼係數；實施增量割線迭代演算法以反覆計算該等效節點割線質量係數對應之割線質量係數斜率以及該等效節點割線質量阻尼係數對應之割線質量阻尼係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線質量係數斜率以及該割線質量阻尼係數斜率分別取代該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數。
實施例2：如實施例1所述之結構體分析方法，還包含以下步驟其中之一：實施諧和質量(consistent mass)法以依照該實體結構之形狀函數建立該等虛擬元素，其中該形狀函數係高度近似於該結構幾何；在該離散增量割線迭代模型中加入等效節點割線阻尼係數以及等效節點割線勁度係數；採用直接積分法建立該等虛擬元素的該離散增量割線迭代模型；對該離散增量割線迭代模型選擇性導入比例阻尼力，以形成第二離散增量割線迭代模型；對該第二離散增量割線迭代模型選擇性導入前一時步上之已 知的該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數，以形成第三離散增量割線迭代模型；以及從該第三離散增量割線迭代模型導出該等效節點割線質量係數方程式以及該等效節點割線質量阻尼係數方程式。
實施例3：如實施例1所述之結構體分析方法，其中該等效節點割線質量係數係透過以下方程式而定義：
Figure 109135024-A0101-12-0020-42
，其中
Figure 109135024-A0101-12-0020-18
為前一次迭代之該等效節點割線質量係數、
Figure 109135024-A0101-12-0020-44
為前一次迭代之加速度增量、以及
Figure 109135024-A0101-12-0020-76
為前一次迭代之慣性力增量。
實施例4：如實施例1所述之結構體分析方法，其中該等效節點割線質量阻尼係數係透過以下方程式而定義：
Figure 109135024-A0101-12-0020-77
，其中
Figure 109135024-A0101-12-0020-20
為前一次迭代之該等效節點割線質量阻尼係數、
Figure 109135024-A0101-12-0020-46
為前一次迭代之速度增量、以及
Figure 109135024-A0101-12-0020-79
為前一次迭代之質量阻尼力增量。
實施例5：如實施例1所述之結構體分析方法，其中該增量割線迭代演算法係選自牛頓法、擬牛頓法、牛頓-拉弗森以及割線逼近法其中之一。
實施例6：如實施例1所述之結構體分析方法，其中該直接積分法係選自隱式紐馬克積分法、HHT-α隱式積分法以及Bathe複合隱式積分法其中之一。
實施例7：如實施例1所述之結構體分析方法，其中該實體結構係為超出降伏強度結構體、不連續損壞結構體、不連續破裂結構體、不連續破斷結構體、或者不連續斷裂結構體。
實施例8：一種結構體分析電腦程式產品，其特徵為經由電 腦載入該程式執行如下處理：按照實體結構之結構幾何，將該實體結構分割成複數虛擬元素，並建立該等虛擬元素的離散增量割線迭代模型，該離散增量割線迭代模型包含等效節點割線質量係數以及等效節點割線質量阻尼係數；實施增量割線迭代演算法以反覆計算該等效節點割線質量係數對應之割線質量係數斜率以及該等效節點割線質量阻尼係數對應之割線質量阻尼係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線質量係數斜率以及該割線質量阻尼係數斜率分別取代該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數。
實施例9：如實施例8所述之結構體分析電腦程式產品，還包含經由電腦載入該程式執行如下處理其中之一：實施諧和質量(consistent mass)法以依照該實體結構之形狀函數建立該等虛擬元素，其中該形狀函數係高度近似於該結構幾何；在該離散增量割線迭代模型中加入等效節點割線阻尼係數以及等效節點割線勁度係數；採用直接積分法建立該等虛擬元素的該離散增量割線迭代模型；對該離散增量割線迭代模型選擇性導入比例阻尼力，以形成第二離散增量割線迭代模型；對該第二離散增量割線迭代模型選擇性導入前一時步上之已知的該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數，以形成第三離散增量割線迭代模型；以及從該第三離散增量割線迭代模型導出該等效節點割線質量係數方程式以及該等效節點割線質量阻尼係數方程式。
實施例10：一種結構體分析裝置，其特徵為經由處理器載入並執行以下步驟：按照實體結構之結構幾何，將該實體結構分割成複數虛擬元素，並建立該等虛擬元素的離散增量割線迭代模型，該離散增量割線 迭代模型包含等效節點割線質量係數以及等效節點割線質量阻尼係數；實施增量割線迭代演算法以反覆計算該等效節點割線質量係數對應之割線質量係數斜率以及該等效節點割線質量阻尼係數對應之割線質量阻尼係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線質量係數斜率以及該割線質量阻尼係數斜率分別取代該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數。
本發明各實施例彼此之間可以任意組合或者替換，從而衍生更多之實施態樣，但皆不脫本發明所欲保護之範圍，本發明保護範圍之界定，悉以本發明申請專利範圍所記載者為準。
500:本發明結構體分析方法
501~505:實施步驟

Claims (10)

  1. 一種結構體分析方法，其包含：按照一實體結構之一結構幾何，將該實體結構轉換並分割成複數虛擬元素，並基於一諧和質量假設建立該等虛擬元素的一離散增量割線迭代模型，該離散增量割線迭代模型包含一質量項，該質量項包含一等效節點割線質量係數以及一等效節點割線質量阻尼係數，其中該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數係基於該諧和質量假設而按照每一個該等虛擬元素在空間中的位置而分散地建立；實施一增量割線迭代演算法以反覆計算該等效節點割線質量係數對應之一割線質量係數斜率以及該等效節點割線質量阻尼係數對應之一割線質量阻尼係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線質量係數斜率以及該割線質量阻尼係數斜率分別取代該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數。
  2. 如請求項1所述之結構體分析方法，還包含以下步驟其中之一：實施該諧和質量(consistent mass)假設以依照該實體結構之一形狀函數建立該等虛擬元素，其中該形狀函數係按照該結構幾何而建立；在該離散增量割線迭代模型中加入一等效節點割線阻尼係數以及一等效節點割線勁度係數；採用一直接積分法建立該等虛擬元素的該離散增量割線迭代模型；對該離散增量割線迭代模型選擇性導入一比例阻尼力，以形成一第二離散增量割線迭代模型；對該第二離散增量割線迭代模型選擇性導入前一時步上之已知的該等 效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數，以形成一第三離散增量割線迭代模型；以及從該第三離散增量割線迭代模型導出該等效節點割線質量係數方程式以及該等效節點割線質量阻尼係數方程式。
  3. 如請求項1所述之結構體分析方法，其中該等效節點割線質量係數係透過以下方程式而定義：
    Figure 109135024-A0305-02-0026-1
    ，其中
    Figure 109135024-A0305-02-0026-2
    為前 一次迭代之該等效節點割線質量係數、
    Figure 109135024-A0305-02-0026-3
    為前一次迭代之加速度增量、以及
    Figure 109135024-A0305-02-0026-4
    為前一次迭代之慣性力增量。
  4. 如請求項1所述之結構體分析方法，其中該等效節點割線質量阻尼係數係透過以下方程式而定義：
    Figure 109135024-A0305-02-0026-5
    ，其中
    Figure 109135024-A0305-02-0026-6
    為前一次迭代之該等效節點割線質量阻尼係數、
    Figure 109135024-A0305-02-0026-7
    為前一次迭代之速度增量、以及
    Figure 109135024-A0305-02-0026-8
    為前一次迭代之質量阻尼力增量。
  5. 如請求項1所述之結構體分析方法，其中該增量割線迭代演算法係選自一牛頓法(Newton method)、一擬牛頓法(quasi-Newton method)、一牛頓-拉弗森(Newton-Raphson method)以及一割線逼近法(secant approximation method)其中之一。
  6. 如請求項1所述之結構體分析方法，其中該直接積分法係選自一隱式紐馬克積分法(implicit Newmark integration method)、一HHT-α隱式積分法(Hilber-Hughes-Taylor-α implicit integration method)以及一Bathe複合隱式積分法(Bathe composite implicit integration method)其中之一。
  7. 如請求項1所述之結構體分析方法，其中該實體結構係為一超出降伏強度結構體、一不連續損壞結構體、一不連續破裂結構體、一不連續破斷結構體、或者一不連續斷裂結構體。
  8. 一種結構體分析電腦程式產品，其特徵為經由電腦載入該程式執行如下處理：按照一實體結構實際之一結構幾何，將該實體結構分割成複數虛擬元素，並基於一諧和質量假設建立該等虛擬元素的一離散增量割線迭代模型，該離散增量割線迭代模型包含一質量項，該質量項包含一等效節點割線質量係數以及一等效節點割線質量阻尼係數，其中該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數係基於該諧和質量假設而按照每一個該等虛擬元素在空間中的位置而分散地建立；實施一增量割線迭代演算法以反覆計算該等效節點割線質量係數對應之一割線質量係數斜率以及該等效節點割線質量阻尼係數對應之一割線質量阻尼係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線質量係數斜率以及該割線質量阻尼係數斜率分別取代該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數。
  9. 如請求項8所述之結構體分析電腦程式產品，還包含經由電腦載入該程式執行如下處理其中之一：實施一諧和質量假設以依照該實體結構之一形狀函數建立該等虛擬元素，其中該形狀函數係按照該結構幾何而建立；在該離散增量割線迭代模型中加入一等效節點割線阻尼係數以及一等 效節點割線勁度係數；採用一直接積分法建立該等虛擬元素的該離散增量割線迭代模型；對該離散增量割線迭代模型選擇性導入一比例阻尼力，以形成一第二離散增量割線迭代模型；對該第二離散增量割線迭代模型選擇性導入前一時步上之已知的該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數，以形成一第三離散增量割線迭代模型；以及從該第三離散增量割線迭代模型導出該等效節點割線質量係數方程式以及該等效節點割線質量阻尼係數方程式。
  10. 一種結構體分析裝置，其特徵為經由處理器載入並執行以下步驟：按照一實體結構實際之一結構幾何，將該實體結構分割成複數元素，並基於一諧和質量假設建立該等虛擬元素的一離散增量割線迭代模型，該離散增量割線迭代模型包含一質量項，該質量項包含一等效節點割線質量係數以及一等效節點割線質量阻尼係數，其中該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數係基於該諧和質量假設而按照每一個該等虛擬元素在空間中的位置而分散地建立；實施一增量割線迭代演算法以反覆計算該等效節點割線質量係數對應之一割線質量係數斜率以及該等效節點割線質量阻尼係數對應之一割線質量阻尼係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線質量係數斜率以及該割線質量阻尼係數斜率分別取代該等效節點割線質量係數以及該等效節點割線質量阻尼係數。
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