TWI696928B - 結構體解析方法、電腦程式產品與裝置 - Google Patents

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TWI696928B
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鍾昆潤
張顥
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Abstract

本發明主要關於一種結構體解析方法，其特徵為經由電腦執行如下處理：為不連續非線性結構體建立基於有限元素分析之時空離散控制模型，該時空離散控制模型包含在現在時步上之等效節點割線阻尼係數以及等效節點割線勁度係數；經由電腦迭代演算，從前一時步上之已知參數、該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，反複計算割線阻尼係數斜率以及割線勁度係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線阻尼係數斜率以及該割線勁度係數斜率，分別取代該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數為下一時步之初始係數。

Description

結構體解析方法、電腦程式產品與裝置
本發明係有關於一種解析結構體的方法、電腦產品以及裝置，尤其是以有限元素分析為基礎且用於解析或模擬不連續非線性結構體的方法、電腦程式產品以及裝置。
有限元素分析(finite element analysis、FEA)、有限元素法、或稱基於變分原理的差分方法，是一種求解微分方程組或積分方程組數值解的一種數值分析方法(numerical analysis method)，其透過將一個發生在二維(2D)、或者三維(3D)有限幾何區域中的微分或積分問題，將問題的控制方程轉換為對應的積分方程即代數方程，再將問題所對應的有限幾何區域，分割與離散成許多由多節點(nodes)組成的元素(elements)，元素之間以節點相連並共同形成一個對應於有限幾何區域的網格(mesh)，最後聯立所有元素的代數方程組，經由計算其聯立方程解而獲得問題在有限幾何區域中的數值解。
FEA可說是目前最廣為受到學術界與工業界使用的數值分析工具之一，其應用領域相當廣泛，舉凡固力、流力、熱傳、製造、以及結構設計等，都可以利用FEA進行分析或模擬，FEA強大的優點在於可以輕易定義各種不規則與複雜的幾何形狀，在數值計算過程中輕易給定各種不 同的負載狀況和邊界條件，分析在這個負載和邊界條件下，結構體產生的應力、變形量，甚至做結構振動上的分析等，尤其FEA可以很容易的透過增減元素的分佈密度，輕易調整局部區域的網格密度，在重要區域，局部增加元素的分佈密度，提高系統在該區域的計算精度，相對的也可在不重要的區域，局部減少元素的分佈密度，以減輕系統計算負荷。
但FEA在計算過程中無可避免的必須求解反矩陣(inverse matrix)，則是其先天之重大缺點，舉例而言，當習用FEA應用在真實大型複雜結構體之分析時，過程中FEA必須計算質量(mass)矩陣、阻尼(damping)矩陣、或者勁度(stiffness)矩陣的反矩陣，其中的勁度矩陣通常是大型複雜矩陣，且難以簡化為帶寬矩陣(bandwidth matrix)、或者對角線矩陣(diagonal matrix)等，造成勁度矩陣反矩陣的計算，是一個非常耗時且消耗運算資源的過程，且複雜勁度矩陣反矩陣的運算有很高機率最後是發散的結果，上述種種因素都造成FEA進行非線性系統歷時分析的低效率，以及FEA整體計算品質的降低。
以商用套裝FEA軟體為例，常用之商業FEA軟體如SAP2000與ETABS等，其分析大型複雜結構物時，或執行非線性動力歷時分析，就時常發生數值發散情形，導致無法順利完成分析，或者須要以日為單位計算的超長計算分析時間，另外如學術界經常使用之LS-DYNA、ABAQUS及OpenSees等FEA軟體，雖然功能相對比SAP2000與ETABS較為齊全，但也常常發生數值發散或分析時間過長之情形，且上述軟體都不能模擬結構不連續破壞情形。
另一方面，現有商用套裝軟體如：LS-DYNA、 ABAQUS-Explicit等軟體，也對使用者提供FEA以外的方法進行分析與計算，例如：提供顯式中央差分法、或者顯示前項差分法等，但為維持運動方程式之非耦合特性，以及提高整體計算效率，通常省略控制方程式中的勁度阻尼(Stiffness-proportional damping)項，僅保留與計算質量阻尼(mass-proportional damping)項，因此計算結果會包含一系列高頻震盪解，但這些高頻解在真實結構體中是不存在的，也直接導致分析結果品質不佳。
尤其近年來，性能設計(performance-based design)已成為世界先進國家，如歐美、日本及我國耐震設計之新趨勢，性能設計主要是訂定不同地震等級下之結構物狀態，區分為fully operational、operational、life safe、或near collapse等幾類狀態，尤其在最大可能地震下，結構物韌性容量完全發揮，但須避免崩塌(near collapse)，因為結構物在即將崩塌之前，將歷經材料降伏(yielding)、開裂(cracking)，及構件損傷、斷裂、分離、墜落、碰撞，最後整體結構坍塌，屬於高度非線性且不連續之動力行為，但因為前述種種因素，現今習用FEA的各種電腦數值結構動力模型，無法處理與解析有關不連續結構物的動力行為，因此仍然無法有效率地使用電腦模型來驗證所設計之結構物在不同地震等級下，是否確實達到所設定之性能目標。
因此為了解決現有貼合技術中所存在的各項缺點，申請人經過悉心試驗與研究，並一本鍥而不捨之精神，終構思出本案「結構體解析方法、電腦程式產品與裝置」，能夠克服上述缺點，以下為本發明之簡要說明。
鑑於習用技術中存在的缺點，本發明以隱式結構動力有限元 素分析為基礎，提出在離散控制方程式中採用等效節點割線阻尼係數、以及等效節點割線勁度係數之概念，使得結構勁度矩陣(K矩陣)與勁度阻尼矩陣對角化，等同不須建立結構勁度矩陣與阻尼矩陣，並採集中質量方式建立質量矩陣，使運動方程式為非耦合，且僅須計算元素之節點內力與阻尼力，再採用任何隱式直接積分法，配合增量-迭代程序，在每一步幅上都可以收斂，當採用無條件隱定之隱式直接積分法時，可採取較大之時間步幅，大幅提高計算效率。
因配合迭代計算，在求得同等精度解時，本發明之計算效率遠高於顯式中央差分法，經由數值驗證，本發明之收斂速率(convergence rate)等同於傳統擬牛頓法(quasi-Newton method)迭代程序之收斂速度，數值解的穩定性(stability)與正確性(accuracy)，等同於傳統隱式直接積分法之穩定性與正確性；由於不須建立結構勁度矩陣與阻尼矩陣，且僅須計算元素之節點內力與阻尼力，任何形式之有限元素與阻尼元件均可直接加入本分析程序中，故本發明可廣泛用於分析各種非線性與不連續之問題。
據此本發明提出一種結構體解析方法，其特徵為經由電腦執行如下處理：為不連續非線性結構體建立基於有限元素分析之時空離散控制模型，該時空離散控制模型包含在現在時步上之等效節點割線阻尼係數以及等效節點割線勁度係數；經由電腦迭代演算，從前一時步上之已知參數、該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，反複計算割線阻尼係數斜率以及割線勁度係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線阻尼係數斜率以及該割線勁度係數斜率，分別取代該時空離散控制模型所包含在現在時步上之該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係 數。
較佳的，所述之結構體解析方法，還包含以下步驟其中之一：將該不連續非線性結構體在空間上分割成複數元素，並建立每一該等元素的該時空離散控制模型；對該時空離散控制模型導入等效雷利阻尼，以形成第二時空離散控制模型；以及對該第二時空離散控制模型導入前一時步上之已知的該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，以形成第三時空離散控制模型。
本發明進一步提出一種結構體解析電腦程式產品，其特徵為經由電腦載入該程式執行如下處理：為不連續非線性結構體建立基於有限元素分析之時空離散控制模型，該時空離散控制模型包含在現在時步上之等效節點割線阻尼係數以及等效節點割線勁度係數；經由電腦迭代運算，從前一時步上之已知參數、該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，反複計算割線阻尼係數斜率以及割線勁度係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線阻尼係數斜率以及該割線勁度係數斜率，分別取代該時空離散控制模型所包含在現在時步上之該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
較佳的，所述之結構體解析電腦程式產品還包含經由電腦載入該程式執行如下處理其中之一：將該不連續非線性結構體在空間上分割成複數元素，並建立每一該等元素的該時空離散控制模型；對該時空離散控制模型導入等效雷利阻尼，以形成第二時空離散控制模型；以及對該第二時空離散控制模型導入前一時步上之已知的該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，以形成第三時空離散控制模型。
本發明進一步提出一種結構體解析裝置，其特徵為經由處理器載入該程式執行如下處理：為不連續非線性結構體建立基於有限元素分析之時空離散控制模型，該時空離散控制模型包含在現在時步上之等效節點割線阻尼係數以及等效節點割線勁度係數；經由迭代運算，從前一時步上之已知參數、該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，反複計算割線阻尼係數斜率以及割線勁度係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線阻尼係數斜率以及該割線勁度係數斜率，分別取代該時空離散控制模型所包含在現在時步上之該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
較佳的，所述之結構體解析裝置還包含經由處理器載入該程式執行如下處理其中之一：將該不連續非線性結構體在空間上分割成複數元素，並建立每一該等元素的該時空離散控制模型；對該時空離散控制模型導入等效雷利阻尼，以形成第二時空離散控制模型；以及對該第二時空離散控制模型導入前一時步上之已知的該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，以形成第三時空離散控制模型。
D、D1-D3‧‧‧橋面
M1-M3‧‧‧活動支承
F1‧‧‧固定支承
A1-A2‧‧‧橋台
P1-P2‧‧‧橋墩
L1-L8‧‧‧連結元素
11‧‧‧桌上型電腦
13‧‧‧筆記型電腦
15‧‧‧智慧型手機
17‧‧‧平板裝置
步驟1101‧‧‧基於有限元素分析將一個不連續非線性結構體在空間上分割成多個元素，並建立每一元素的時空離散控制模型
步驟1102‧‧‧對該時空離散控制模型導入等效雷利阻尼形成第二時空離散控制模型
步驟1103‧‧‧對該第二時空離散控制模型導入前一時步上之已知的該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數形成第三時空離散控制模型，該第三時空離散控制模型包含在現在時步上之一等效節點割線阻尼係數以及一等效節點割線勁度係數
步驟1104‧‧‧經由電腦迭代演算，從前一時步上之已知參數、已知的該等效節點割線阻尼係數、以及已知的該等效節點割線勁度係數，反複計算一割線阻尼係數斜率以及一割線勁度係數斜率直到收斂
步驟1105‧‧‧以收斂後之該割線阻尼係數斜率以及該割線勁度係數斜率，分別取代該第三時空離散控制模型包含在現在時步上之該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數
第1圖係揭示利用已知參數並配合使用擬牛頓法迭代逼近等效節點割線阻尼係數之示意圖；第2圖係揭示利用已知參數並配合使用擬牛頓法迭代逼近等效節點割線勁度係數之示意圖；第3圖係揭示祭畤大橋在崩塌前之實際構造示意圖； 第4圖係揭示祭畤大橋其橋墩截面之實際構造示意圖；第5圖係揭示祭畤大橋在橋軸向方向與垂直方向的二維數值模型結構示意圖；第6(a)圖係揭示祭畤大橋受地震破壞後現場實際損壞狀態之照片；第6(b)圖係揭示祭畤大橋受地震破壞後損壞狀態之示意圖；第7(a)圖到第7(c)圖係揭露祭畤大橋崩塌過程中由KiK-NET強震觀測網第WITH25號觀測站所記錄到的地面加速度時變歷程圖；第7(d)圖到第7(f)圖係揭露祭畤大橋崩塌過程中由KiK-NET強震觀測網第WITH25號觀測站所記錄到的地面加速度時變歷程圖經兩次積分後之地面位移量時變歷程圖；第8(a)圖係揭露祭畤大橋崩塌過程中、下方支撐岩盤沒有滑移情況下，沿橋體橋軸向方向的地面位移量時變歷程圖；第8(b)圖係揭露祭畤大橋崩塌過程中、下方支撐岩盤產生滑移情況下，沿橋體橋軸向方向的地面位移量時變歷程圖；第9(a)圖到第9(h)圖係揭露以本發明不連續非線性結構體解析方法，模擬祭畤大橋遭受岩手宮城內陸地震襲擊後之崩塌過程模擬示意圖；第10圖揭示本發明的結構體解析裝置；以及第11圖係揭示本發明結構體解析方法之實施步驟流程圖。
本發明將可由以下的實施例說明而得到充分瞭解，使得熟習本技藝之人士可以據以完成之，然本發明之實施並非可由下列實施案例而被限制其實施型態；本發明之圖式並不包含對大小、尺寸與比例尺的限定， 本發明實際實施時其大小、尺寸與比例尺並非可經由本發明之圖式而被限制。
本文中用語“較佳”是非排他性的，應理解成“較佳為但不限於”，任何說明書或請求項中所描述或者記載的任何步驟可按任何順序執行，而不限於請求項中所述的順序，本發明的範圍應僅由所附請求項及其均等方案確定，不應由實施方式示例的實施例確定；本文中用語“包含”及其變化出現在說明書和請求項中時，是一個開放式的用語，不具有限制性含義，並不排除其他特徵或步驟。
本發明提出一種基於有限元素分析(FEA)的結構動力計算程式，利用等效節點割線勁度係數與等效節點割線阻尼係數，使結構勁度矩陣與勁度阻尼矩陣對角化，並採集中質量方式建立質量矩陣，使運動方程式為非耦合，再採用任何隱式直接積分法，配合增量-迭代程序，使每一步幅均達到收斂條件。
對於不連續非線性結構體而言，當採用有限元素分析來進行數值解析時，其控制方程式經過時間(temporal)與空間(spatial)離散化後，在時步t+△t之時間空間離散方程式係如下列所示但不限於下列方程式：
Figure 108121267-A0101-12-0008-1
其中(r)代表第r次迭代、M為質量矩陣、C為阻尼矩陣、
Figure 108121267-A0101-12-0008-2
為第(r-1)次迭代後之切線勁度矩陣、R為外力向量、
Figure 108121267-A0101-12-0008-3
為元素節點內力向量、
Figure 108121267-A0101-12-0008-4
及
Figure 108121267-A0101-12-0008-5
分別為節點加速度向量以及速度向量、△U (r)為第r次迭代之增量位移向量；當結構阻尼採用雷利阻尼(Rayleigh damping)時，令C=a 0 M+a 1 K I ，其中K I 為結構初始勁度、a 0及a 1為常數。
上述控制方程式在時間t+△t、第r次迭代、以及自由度(DOF) i 上的離散控制方程式為：
Figure 108121267-A0101-12-0009-6
其中
Figure 108121267-A0101-12-0009-7
以及
Figure 108121267-A0101-12-0009-8
分別為第r次迭代之增量速度向量以及增量位移向量、
Figure 108121267-A0101-12-0009-9
為前一次迭代考量勁度阻尼a 1 K Ｉ 之元素節點阻尼力向量、
Figure 108121267-A0101-12-0009-10
為前一次迭代元素節點內力向量、
Figure 108121267-A0101-12-0009-11
及
Figure 108121267-A0101-12-0009-15
分別為等效節點割線阻尼係數及等效節點割線勁度係數，令其定義如下：
Figure 108121267-A0101-12-0009-13
Figure 108121267-A0101-12-0009-14
其中
Figure 108121267-A0101-12-0009-16
及
Figure 108121267-A0101-12-0009-17
分別為前一次迭代之元素增量勁度阻尼力及節點內力。
對於方程式(3)與(4)，由於
Figure 108121267-A0101-12-0009-18
以及
Figure 108121267-A0101-12-0009-19
在第r次迭代皆為未知，因此
Figure 108121267-A0101-12-0009-20
無法直接透過方程式(3)計算得知，相同的，由於
Figure 108121267-A0101-12-0009-21
以及
Figure 108121267-A0101-12-0009-22
在第r次迭代也是未知，因此
Figure 108121267-A0101-12-0009-23
也無法直接從方程式(4)計算得知。
但值得注意的是，本發明提出使用擬牛頓法(quasi-Newton iterative method)、或者割線法(secant method)，利用前一次迭代中已知的
Figure 108121267-A0101-12-0009-24
以及
Figure 108121267-A0101-12-0009-25
，來逼近並取代離散控制方程式(2)中，在第r次迭代上未知的
Figure 108121267-A0101-12-0009-26
以及
Figure 108121267-A0101-12-0009-27
，得到近似離散控制方程式如下：
Figure 108121267-A0101-12-0010-28
第1圖係揭示利用已知參數並配合使用擬牛頓法迭代逼近等效節點割線阻尼係數之示意圖；第2圖係揭示利用已知參數並配合使用擬牛頓法迭代逼近等效節點割線勁度係數之示意圖；因為初始條件
Figure 108121267-A0101-12-0010-29
以及
Figure 108121267-A0101-12-0010-30
皆為已知再配合其他已知條件，因此如方程式(6)與(7)所示、以及第1圖與第2圖所揭示，透過例如：擬牛頓法，即可經由多次反複迭代而分別精準逼近
Figure 108121267-A0101-12-0010-31
以及
Figure 108121267-A0101-12-0010-32
：
Figure 108121267-A0101-12-0010-33
Figure 108121267-A0101-12-0010-34
本發明透過巧妙採用擬牛頓法來逼近
Figure 108121267-A0101-12-0010-35
以及
Figure 108121267-A0101-12-0010-36
，從而避免習用有限元素分析，在求解方程式(2)過程中必須計算大型反矩陣(inverse matrix)，造成數值計算負荷(computation demanding)與發散可能的困擾，本發明所提出的方法，可採用任何隱式直接積分法求解，例如：配合隱式紐馬克積分法(implicit Newmark integration method)，在不須建立結構勁度矩陣
Figure 108121267-A0101-12-0010-37
與阻尼矩陣C，也不須計算對應的反矩陣的情況下，僅須計算元素之節點內力與阻尼力，任何形式之有限元素與阻尼元件均可直接加入本分析程序中，本發明所提出之方法，可廣泛用於分析各種非線性與不連續之問題，尤其適用於結構不連續問題，例如：材料在降伏點後之計算與模擬、結構破壞與破裂之計算與模擬、結構不連續問題之計算與模擬等。
本方法可以計算個別元素勁度阻尼，可分別計算不同結構部 分之個別元素勁度阻尼力，輕易解決傳統顯式積分法無法有效處理之問題，同時保有運動方程式非耦合之特性。此外，本計算程序亦可用於開發各種不同的有限元素，如：結構控制新元件之特殊支承元件(變頻支承)、特殊阻尼元件(變勁度阻尼)等，均可簡易快速加入本計算程序。
本發明對隱式結構動力有限元素計算程序提出等效節點割線勁度與阻尼係數之概念，使結構勁度矩陣與勁度阻尼矩陣對角化，並採集中質量方式建立質量矩陣，使運動方程式為非耦合，再採用任何隱式直接積分法，配合增量-迭代程序，使每一步幅均達到收斂條件。當採用無條件隱定之隱式直接積分法時，可採取較大之時間步幅，大幅提高計算效率。因配合迭代計算，在求得同等精度解時，本法計算效率遠高於顯式中央差分法。經由數值驗證，本法之收斂速度(convergence rate)等同於傳統quasi-Newton迭代程序之收斂速度，數值解的穩定性(stability)與正確性(accuracy)等同於傳統隱式直接積分法之穩定性與正確性。由於不須建立結構勁度矩陣與阻尼矩陣，且僅須計算元素之節點內力與阻尼力，任何形式之有限元素與阻尼元件均可直接加入本分析程序中，故本法可廣泛用於分析各種非線性與不連續之問題。
本發明所提出之結構體解析方法，由於不須求解聯立控制方程式的勁度矩陣反矩陣，改由利用割線阻尼係數與割線勁度係數來逼近真實解，故非常適合應用於對不連續非線性結構體進行解析，例如：模擬或者分析結構體超過降伏點後之行為，本發明在以下實施例將以實際發生的橋梁受地震破壞而崩塌，即多支承振動(multiple-support excitation、MSE)的橋梁崩塌問題作為實施例，說明本發明之解析方法在模擬與分析不連續 非線性結構體的強大效能。
本實施例以日本岩手縣(Iwate)一關市(city of Ichinoseki)的祭畤大橋(Matsurube bridge)受地震破壞之歷時模擬為例說明，祭畤大橋係建於1987年其跨越岩井河(Iwai river)之河槽連接一關市(Ichinoseki)與秋田市(Akita)，在2008年6月14日日本當地時間8時43分受到規模6.9-Mw的岩手宮城內陸地震(Iwate-Miyagi inland earthquake)之襲擊而崩塌，其在崩塌前、後等階段都保有完整的紀錄，非常適合用來驗證本發明在不連續非線性結構體之解析。
第3圖係揭示祭畤大橋在崩塌前之實際構造示意圖；第4圖係揭示祭畤大橋其橋墩截面之實際構造示意圖；如第3圖所揭示，祭畤大橋主要構造是一座三跨橋(three-span bridge)，橋梁跨度總長度為27公尺+40公尺+27公尺=94公尺，橋面D本身是由四根工字鋼梁和鋼筋混凝土板組成，總質量為980公噸，橋面D由兩個鋼筋混凝土(RC)橋墩P1與P2、和兩個RC橋台A1與A2所支撐，每根橋墩高25公尺並具有擴展基礎，橋墩P1與P2的柱長為23公尺並具有6.2公尺×1.8公尺的RC截面如第4圖所示，設置在橋面兩端的RC橋台A1與A2具有倒T字型的基礎，橋面與橋台A2之間是以固定支承F1連接，橋面與橋墩P1與P2以及橋台A1之間則是以活動支承M1-M3連接，固定支承不允許橋面移動，而活動支承則允許橋面沿著橋面橋軸向方向移動。
第5圖係揭示祭畤大橋在橋軸向方向與垂直方向的二維數值模型結構示意圖；在本實施例，將本發明提出的結構體解析方法，應用在橋梁結構的強震分析，由於橋梁強震分析通常會須要處理經過破壞的不連續結構體，因此習用FEA一般無法解析橋梁強震問題，但本發明尤其適用於 處理不連續結構體之解析、分析、與模擬；如第5圖所揭示，將祭畤大橋的各項細部結構組件，在空間幾何上簡化為二維數值模型，並將祭畤大橋解構與離散為由多個非線性梁元素、柱元素、支承元素、連結元素、以及支撐元素等所共同組成的FEA模型，其中梁元素與柱元素以，例如但不限於：歐拉-伯努利梁模型(Euler-Bernoulli beam model)來模擬，建立不連續非線性動力模型，祭畤大橋本身的各項結構參數，都有對應的詳實記錄如以下表1到表3所記載，可供作為各種邊界條件。
表1係記載祭畤大橋橋墩之RC柱與橋面的工字鋼梁的各種材料與斷面參數。
Figure 108121267-A0101-12-0013-39
表2係記載FEA中各連結元素之參數。
Figure 108121267-A0101-12-0013-40
表3係記載祭畤大橋各個支承的參數。
Figure 108121267-A0101-12-0014-41
第6(a)圖係揭示祭畤大橋受地震破壞後現場實際損壞狀態之照片；第6(b)圖係揭示祭畤大橋受地震破壞後損壞狀態之示意圖；根據地震後實地調查，祭畤大橋的崩塌主因在於橋體下方支撐岩盤的滑移，根據記錄岩盤的滑移主要是沿著橋體的橋軸向方向，因此橋體的崩潰行為可以大致經由在由橋軸向方向與垂直方向所組成的平面來描述，因此將橋體以如第5圖所示的二維數值模型來表示，並使用第4圖所示的二維數值模型來模擬與調查祭畤大橋在地震中的崩塌行為，祭畤大橋受2008年岩手宮城內陸地震破壞後，現場實際崩塌狀態如第6(a)圖的照片所示，而實際崩塌狀態對應的示意圖則如第6(b)圖所揭示。
第7(a)圖到第7(c)圖係揭露祭畤大橋崩塌過程中由KiK-NET強震觀測網第WITH25號觀測站所記錄到的地面加速度時變歷程圖；第7(d)圖到第7(f)圖係揭露祭畤大橋崩塌過程中由KiK-NET強震觀測網第WITH25號觀測站所記錄到的地面加速度時變歷程經兩次積分後之地面位移量時變歷程圖；假設忽略地面運動的分散和不連貫(dispersion and incoherence)，根據日本防災科學技術研究所(national research institute for earth science and disaster resilience)所屬的強震觀測網(KiK-NET)、位於祭畤大橋西南方約1.5公里處、編碼第WITH25號觀測站的紀錄，此觀測站完整記錄岩手宮城內陸地震過程中，地面加速度在EW向、NS向、以及UD向的時變歷程圖，如第 7(a)圖到第7(c)圖所揭示，大致上地面加速度在EW向、NS向、以及UD向的峰值分別為14.32m/s2、11.43m/s2、38.66m/s2。
根據實地調查結果，橋台A2與橋墩P2的崩塌原因不只是因為強烈的地面振動(ground excitation)，也因為橋體下方支撐岩盤的滑移，支撐岩盤的滑移分別導致橋台A2產生11.2公尺以及橋墩P2產生10.8公尺的永久位移，如第6(b)圖所揭示，因此不同的地面運動條件必須預先設定給橋台A2與橋墩P2，在本實施例中係採用絕對座標下的運動方程式(EOM)，並將問題假設為多支承振動(MSE)問題，而地面位移量的時變歷程圖，則如第7(d)圖到第7(f)圖所揭示。
第8(a)圖係揭露祭畤大橋崩塌過程中、下方支撐岩盤沒有滑移情況下，沿橋體橋軸向方向的地面位移時變歷程圖；第8(b)圖係揭露祭畤大橋崩塌過程中、下方支撐岩盤產生滑移情況下，沿橋體橋軸向方向的地面位移時變歷程圖；祭畤大橋在朝向一關市的橋軸方向，與正北方呈現約-133°(度)的傾斜角度，因此在祭畤大橋橋軸方向的位移量使用EW向、以及NS向的資料來計算；祭畤大橋之橋台A1與橋墩P1，由於下方支撐岩盤沒有滑移情況，因此使用第8(a)圖所揭露的地面位移時變歷程資料作為地面位移量之輸入條件，而對於橋台A2與橋墩P2，由於下方支撐岩盤產生滑移情況，因此使用第8(b)圖所揭露的地面位移時變歷程資料作為地面位移量之輸入條件。第7(a)圖到第7(f)圖與第8(a)圖到第8(b)圖等圖所揭示之資料，可提供作為初始條件。
第9(a)圖到第9(h)圖係揭露以本發明不連續非線性結構體解析方法，模擬祭畤大橋遭受岩手宮城內陸地震襲擊後之崩塌過程模擬示意 圖；當FEA的各項參數輸入並設定完畢後，開始實施本發明不連續非線性結構體解析方法，模擬祭畤大橋遭受岩手宮城內陸地震襲擊後，從完好之結構體受地震破壞而隨時間崩塌的完整過程，完整模擬結果如第9(a)圖到第9(h)圖所揭示。
根據模擬結果顯示，當祭畤大橋遭受地震開始後歷時25秒時，祭畤大橋已呈現出與第6(b)圖所揭示的實地崩塌狀態非常接近的模擬結果，橋台A2的固定支承F1在歷時2.03秒時就開始遭受到MSE破壞，支撐岩盤在歷時3.4秒時開始產生滑移，此時橋台A2與橋墩P2也開始隨支撐岩盤朝向-關市的方向移動，而後橋面開始受到橋台A2的推擠與撞擊並產生橋軸向位移，最終也撞擊到橋台A1，如第9(b)圖所揭示在歷時3.79秒時，橋台A1的上層結構開始與本體發生分離，上層結構持續受到橋面的橋軸向推擠，且橋面持續推擠橋墩P1與P2，如第9(c)圖所揭示在歷時9.03秒時，橋墩P1開始因為橋面的推擠而斷裂，且橋台A1的上層結構也被橋面往一關市的方向推擠產生約4公尺的位移量，但因為橋墩P2隨支撐岩盤移動，因此橋墩P2在歷時9.03秒時沒有產生斷裂破壞。
如第9(d)圖所揭示在歷時10.45秒時，橋墩P1的上半段開始因斷裂而朝地面落下，導致產生了總長度約65公尺長的無支撐橋面，因此橋面也開始彎折為兩段橋面D1與D2，同時橋面D1與D2也開始向地面掉落，而橋面D1與橋台A1間的活動支承M1開始破壞，橋面D1開始與橋台A1分離，這時橋面D3也開始被朝向一關市的方向拖拉，而開始與橋台A2的固定支承F1分離。
如第9(e)圖所揭示在歷時10.75秒時，橋面D1與橋面D2暫時 受到橋墩P1的支撐而暫停朝地面落下，但橋台A1的活動支承M1、以及橋台A2的固定支承F1，已經完全受到地震破壞，橋面D1已經完全與橋台A1活動支承M1分離，橋面D3經過一段時間拖拉後，已經掉落到橋台A2下方的地面，如第9(f)圖到第9(g)圖所揭示在歷時14.62秒到16.02秒時，由於橋墩P1已經斷裂成三截，並掉落到地面，因此橋墩P1對橋面D1與橋面D2已無任何支撐力，且橋面D1已經完全與橋台A1活動支承M1分離，因此橋面D1沿著在一關市側的河槽斜坡，往中央與下方滑移到大約河槽中央處並落入河床，這時因為地震仍然持續，地面與下方岩盤仍持續在朝向一關市方向移位，因此橋面D3、橋墩P2、橋台A2、橋台A2下方岩盤等，仍然持續往一關市方向產生橋軸向位移，而掉落的橋面D2也開始斷裂成好幾截。
如第9(h)圖所揭示在歷時25.00秒時地震結束，地震對祭畤大橋的破壞，大致在第9(f)圖所揭示的歷時14.62秒時就大致成形，在第9(f)圖到第9(h)圖歷時14.62秒到25.00秒之間，祭畤大橋的結構損壞大致相同，根據模擬結果顯示，從歷時大約24.8秒起，祭畤大橋就沒有再發生進一步的結構損壞，而第9(h)圖顯示地震停止時，祭畤大橋的模擬損壞狀態，與第6(a)圖照片所顯示的現場實際損壞狀態、以及第6(b)圖所顯示的示意損壞狀態，三者間都非常相似。
上述針對祭畤大橋受2008年岩手宮城內陸地震襲擊的模擬運算，其過程是高度非線性且結構不連續，祭畤大橋從原本的一個完整的動力連續系統，在地震過程中逐漸倒塌斷裂成許多個分離且不連續的數個結構件，這種高度非線性且結構不連續的結構體，是無法使用習用FEA進行解析或模擬，但本發明提出的結構體解析方法、及其電腦程式產品，透過 使用割線阻尼係數斜率以及割線勁度係數斜率，來取代求解勁度矩陣反矩陣，因此可以輕易的對這種高度非線性且結構不連續的結構體進行動力模擬與解析，也以此證明本發明在非線性和不連續結構體分析的高度可行性。
故運用本發明隱式結構動力有限元素計算程序可簡易地處理上述高度非線性與不連續問題，且具有穩定性、強健性與高效率的特點，可推廣至工程界，瞭解所設計結構物達極限狀態之破壞順序與倒塌情形，並驗證所設計結構物在不同地震等級下，是否達到所設定之性能目標，更可運用於結構物耐震設計檢核，驗證並確認所設計結構物在不同地震等級下，是否達到所設定之性能目標。
第10圖揭示本發明的結構體解析裝置；本發明所提出之結構體解析方法，具體是經由編寫成包含本發明結構體解析邏輯之電腦程式產品、行動裝置應用程式(App)、或者電腦軟體，經由電腦之處理器載入該程式而執行，本發明所稱之電腦程式產品、行動裝置應用程式、或者電腦軟體，係指載有電腦可讀取之程式且不限外在形式之物，當任何電腦裝置載入包含本發明的電腦程式產品後，就成為本發明結構體解析裝置，舉例來說，如第10圖所揭示，當第10圖的桌上型電腦11、筆記型電腦13、智慧型手機15、平板裝置17、或者任何行動裝置，載入包含有本發明結構體解析方法之電腦可讀取程式產品後，該裝置就成為本發明所提出之結構體解析裝置。
本發明所述之結構體解析裝置較佳是任何運算裝置，當任何運算裝置之處理器，載入包含有本發明結構體解析方法之電腦可讀取程式產品後，該運算裝置就成為本發明所提出之結構體解析裝置，該運算裝置 可能是特定目的裝置，經製作專門用於實施本案發明的結構解析方法，該運算裝置可以具有、或者不具有輸入元件，以及該運算裝置可以具有、或者不具有輸出介面。
再者，由於電腦科技與網路技術之進步與普及，電腦軟體與電腦程式產品，除了可以儲存於記錄媒體外，亦可在網路上直接傳輸提供給使用者使用，運用例如：平台即服務(PaaS)、軟體即服務(SaaS)等技術，而將包含本發明方法之電腦軟體與電腦程式產品，透過網站、網頁、即時通訊(instant messaging、IM)、IM上的聊天機器人(ChatBot)、使用者介面(UI)、或者網路瀏覽器(browser)等，經由網際網路服務而提供給使用者操作，因此載有本發明方法的電腦程式產品，並不限定於必須在有記錄媒體的電腦上使用，亦可透過網際網路提供給使用者使用。
第11圖係揭示本發明結構體解析方法之實施步驟流程圖；總結而言，本發明之結構體解析方法包含以下步驟：步驟1101：基於有限元素分析將一個不連續非線性結構體在空間上分割成多個元素，並建立每一元素的時空離散控制模型；步驟1102：對該時空離散控制模型導入等效雷利阻尼形成第二時空離散控制模型；以及步驟1103：對該第二時空離散控制模型導入前一時步上之已知的該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數形成第三時空離散控制模型，該第三時空離散控制模型包含在現在時步上之一等效節點割線阻尼係數以及一等效節點割線勁度係數。
步驟1104：經由電腦迭代演算，從前一時步上之已知參數、已知的該等效節點割線阻尼係數、以及已知的該等效節點割線勁度係數，反複計算一割線阻尼係數斜率以及一割線勁度係數斜率直到收斂；以及步 驟1105：以收斂後之該割線阻尼係數斜率以及該割線勁度係數斜率，分別取代該第三時空離散控制模型包含在現在時步上之該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
小結而言，本有限元素動力分析程序，結合傳統顯式與隱式直接積分法之優點，且未有其缺點，同時於結構模型中可以考量加入結構勁度阻尼，特別適用於分析高度非線性且不連續之大型結構動力系統，具強健性且高效率。歷史地震災害中，經常可見結構物倒塌之案例，地震後，因無法重現地震當下之破壞順序與狀況，故只能以推測方式探討結構物坍塌成因。目前現有軟體仍無法模擬高度非線性且不連續之結構破壞坍塌行為，本分析程序中，可自由加入多項高度非線性分析方法，例如，多支承地震波輸入功能，模擬結構物單側發生邊坡滑移情形，碰撞元素模擬構件之碰撞以及掉落構件與其他構件之碰撞，甚至掉落地面情形，非線性連結元素模擬結構支承行為與損壞、構件塑鉸行為與斷裂，以及土壤被動土壓力等。相較於現有有限元素動力分析程序，本法具有簡易性、穩定性、強健性與高效率，可用於模擬結構物在極大外力作用下，如何達到極限狀態之破壞順序與倒塌情形。
本發明以上各實施例彼此之間可以任意組合或者替換，從而衍生更多之實施態樣，但皆不脫本發明所欲保護之範圍，茲進一步提供更多本發明實施例如次：
實施例1：一種結構體解析方法，其特徵為經由電腦執行如下處理：基於有限元素分析為不連續非線性結構體建立時空離散控制模型，該時空離散控制模型包含在現在時步上之等效節點割線阻尼係數以及 等效節點割線勁度係數；經由電腦迭代演算，從前一時步上之已知參數、該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，反複計算割線阻尼係數斜率以及割線勁度係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線阻尼係數斜率以及該割線勁度係數斜率，分別取代該時空離散控制模型所包含在現在時步上之該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
實施例2：如實施例1所述之結構體解析方法，還包含以下步驟其中之一：將該不連續非線性結構體在空間上分割成複數元素，並建立每一該等元素的該時空離散控制模型；對該時空離散控制模型導入等效雷利阻尼，以形成第二時空離散控制模型；以及對該第二時空離散控制模型導入前一時步上之已知的該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，以形成第三時空離散控制模型，該第三時空離散控制模型包含該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
實施例3：如實施例1或2所述之結構體解析方法，其中該時空離散控制模型、該第二時空離散控制模型以及該第三時空離散控制模型，係分別透過以下方程式而定義：
Figure 108121267-A0101-12-0021-42
，其中(r)代表第r次迭代、M為質量矩陣、C為阻尼矩陣、
Figure 108121267-A0101-12-0021-43
為第(r-1)次迭代後之切線勁度矩陣、R為外力向量、
Figure 108121267-A0101-12-0021-44
為元素節點內力向量、
Figure 108121267-A0101-12-0021-45
及
Figure 108121267-A0101-12-0021-46
分別為節點加速度向量以及速度向量、△U (r)為第r次迭代之增量位移向量；
Figure 108121267-A0101-12-0021-47
；以及
Figure 108121267-A0101-12-0022-48
，其中該等效雷利阻尼係為C=a 0 M+a 1 K I 、K I 為結構初始勁度、a 0及a 1為常數、
Figure 108121267-A0101-12-0022-49
以及
Figure 108121267-A0101-12-0022-50
分別為第r次迭代之增量速度向量以及增量位移向量、
Figure 108121267-A0101-12-0022-51
為前一次迭代考量勁度阻尼a 1 K I 之元素節點阻尼力向量、
Figure 108121267-A0101-12-0022-52
為前一次迭代元素節點內力向量、
Figure 108121267-A0101-12-0022-53
及
Figure 108121267-A0101-12-0022-54
分別為等效節點割線阻尼係數以及等效節點割線勁度係數。
實施例4：如實施例1所述之結構體解析方法，其中該等效節點割線阻尼係數以及等效節點割線勁度係數係分別透過以下方程式而定義：
Figure 108121267-A0101-12-0022-55
以及
Figure 108121267-A0101-12-0022-56
，其中
Figure 108121267-A0101-12-0022-57
及
Figure 108121267-A0101-12-0022-58
分別為前一次迭代之元素增量勁度阻尼力及節點內力。
實施例5：如實施例1所述之結構體解析方法，其中該不連續非線性結構體係為超出降伏強度結構體、不連續損壞結構體、不連續破裂結構體、不連續破斷結構體、或者不連續斷裂結構體。
實施例6：如實施例1所述之結構體解析方法，其中該電腦迭代演算係為擬牛頓迭代法、或者割線逼近法。
實施例7：一種結構體解析電腦程式產品，其特徵為經由電腦載入該程式執行如下處理：基於有限元素分析為不連續非線性結構體建立時空離散控制模型，該時空離散控制模型包含在現在時步上之等效節點割線阻尼係數以及等效節點割線勁度係數；經由電腦迭代運算，從前一時步上之已知參數、該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係 數，反複計算割線阻尼係數斜率以及割線勁度係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線阻尼係數斜率以及該割線勁度係數斜率，分別取代該時空離散控制模型所包含在現在時步上之該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
實施例8：如實施例7所述之結構體解析電腦程式產品，還包含經由電腦載入該程式執行如下處理其中之一：將該不連續非線性結構體在空間上分割成複數元素，並建立每一該等元素的該時空離散控制模型；對該時空離散控制模型導入等效雷利阻尼，以形成第二時空離散控制模型；以及對該第二時空離散控制模型導入前一時步上之已知的該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，以形成第三時空離散控制模型，該第三時空離散控制模型包含該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
實施例9：一種結構體解析裝置，其特徵為經由處理器載入該程式執行如下處理：基於有限元素分析為不連續非線性結構體建立時空離散控制模型，該時空離散控制模型包含在現在時步上之等效節點割線阻尼係數以及等效節點割線勁度係數；經由迭代運算，從前一時步上之已知參數、該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，反複計算割線阻尼係數斜率以及割線勁度係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線阻尼係數斜率以及該割線勁度係數斜率，分別取代該時空離散控制模型所包含在現在時步上之該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
實施例10：如實施例9所述之結構體解析裝置，還包含經由 處理器載入該程式執行如下處理其中之一：將該不連續非線性結構體在空間上分割成複數元素，並建立每一該等元素的該時空離散控制模型；對該時空離散控制模型導入等效雷利阻尼，以形成第二時空離散控制模型；以及對該第二時空離散控制模型導入前一時步上之已知的該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，以形成第三時空離散控制模型，該第三時空離散控制模型包含該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
本發明各實施例彼此之間可以任意組合或者替換，從而衍生更多之實施態樣，但皆不脫本發明所欲保護之範圍，本發明保護範圍之界定，悉以本發明申請專利範圍所記載者為準。
11‧‧‧桌上型電腦
13‧‧‧筆記型電腦
15‧‧‧智慧型手機
17‧‧‧平板裝置

Claims (10)

  1. 一種結構體解析方法，其特徵為經由電腦執行如下處理：基於有限元素分析為一不連續非線性結構體建立一時空離散控制模型，該時空離散控制模型包含在現在時步上之一等效節點割線阻尼係數以及一等效節點割線勁度係數；經由一電腦迭代演算，從前一時步上之已知參數、該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，反複計算一割線阻尼係數斜率以及一割線勁度係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線阻尼係數斜率以及該割線勁度係數斜率，分別取代該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
  2. 如請求項第1項所述之結構體解析方法，還包含以下步驟其中之一：將該不連續非線性結構體在空間上分割成複數元素，並建立每一該等元素的該時空離散控制模型；對該時空離散控制模型導入一等效雷利阻尼，以形成一第二時空離散控制模型；以及對該第二時空離散控制模型導入前一時步上之已知的該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，以形成一第三時空離散控制模型，該第三時空離散控制模型包含該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
  3. 如請求項第1或2項所述之結構體解析方法，其中該時空離散控制模型、該第二時空離散控制模型以及該第三時空離散控制模型，係分別透過以下方程式而定義：
    Figure 108121267-A0101-13-0001-59
    ，其中(r)代表第r 次迭代、M為質量矩陣、C為阻尼矩陣、
    Figure 108121267-A0101-13-0002-60
    為第(r-1)次迭代後之切線勁度矩陣、R為外力向量、
    Figure 108121267-A0101-13-0002-61
    為元素節點內力向量、
    Figure 108121267-A0101-13-0002-62
    及
    Figure 108121267-A0101-13-0002-63
    分別為節點加速度向量以及速度向量、△U (r)為第r次迭代之增量位移向量；
    Figure 108121267-A0101-13-0002-64
    ；以及
    Figure 108121267-A0101-13-0002-65
    ，其中該等效雷利阻尼係為C=a 0 M+a 1 K I 、K I 為結構初始勁度、a 0及a 1為常數、
    Figure 108121267-A0101-13-0002-67
    以及
    Figure 108121267-A0101-13-0002-66
    分別為第r次迭代之增量速度向量以及增量位移向量、
    Figure 108121267-A0101-13-0002-68
    為前一次迭代考量勁度阻尼a 1 K I 之元素節點阻尼力向量、
    Figure 108121267-A0101-13-0002-69
    為前一次迭代元素節點內力向量、
    Figure 108121267-A0101-13-0002-70
    及
    Figure 108121267-A0101-13-0002-71
    分別為等效節點割線阻尼係數以及等效節點割線勁度係數。
  4. 如請求項第1項所述之結構體解析方法，其中該等效節點割線阻尼係數以及等效節點割線勁度係數係分別透過以下方程式而定義：
    Figure 108121267-A0101-13-0002-72
    以及
    Figure 108121267-A0101-13-0002-73
    ，其中
    Figure 108121267-A0101-13-0002-74
    及
    Figure 108121267-A0101-13-0002-75
    分別為前一次迭代之元素增量勁度阻尼力及節點內力。
  5. 如請求項第1項所述之結構體解析方法，其中該不連續非線性結構體係為一超出降伏強度結構體、一不連續損壞結構體、一不連續破裂結構體、一不連續破斷結構體、或者一不連續斷裂結構體。
  6. 如請求項第1項所述之結構體解析方法，其中該電腦迭代演算係為一擬牛頓迭代法、或者一割線逼近法。
  7. 一種結構體解析電腦程式產品，其特徵為經由電腦載入該程式執行如下 處理：基於有限元素分析為一不連續非線性結構體建立一時空離散控制模型，該時空離散控制模型包含在現在時步上之一等效節點割線阻尼係數以及一等效節點割線勁度係數；經由電腦迭代運算，從前一時步上之已知參數、該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，反複計算一割線阻尼係數斜率以及一割線勁度係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線阻尼係數斜率以及該割線勁度係數斜率，分別取代該時空離散控制模型所包含在現在時步上之該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
  8. 如請求項第7項所述之結構體解析電腦程式產品，還包含經由電腦載入該程式執行如下處理其中之一：將該不連續非線性結構體在空間上分割成複數元素，並建立每一該等元素的該時空離散控制模型；對該時空離散控制模型導入一等效雷利阻尼，以形成一第二時空離散控制模型；以及對該第二時空離散控制模型導入前一時步上之已知的該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，以形成一第三時空離散控制模型，該第三時空離散控制模型包含該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
  9. 一種結構體解析裝置，其特徵為經由處理器載入該程式執行如下處理：基於有限元素分析為一不連續非線性結構體建立一時空離散控制模型，該時空離散控制模型包含在現在時步上之一等效節點割線阻尼係數以及一等效節點割線勁度係數； 經由迭代運算，從前一時步上之已知參數、該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，反複計算一割線阻尼係數斜率以及一割線勁度係數斜率直到收斂；以及以收斂後之該割線阻尼係數斜率以及該割線勁度係數斜率，分別取代該時空離散控制模型所包含在現在時步上之該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
  10. 如請求項第9項所述之結構體解析裝置，還包含經由處理器載入該程式執行如下處理其中之一：將該不連續非線性結構體在空間上分割成複數元素，並建立每一該等元素的該時空離散控制模型；對該時空離散控制模型導入一等效雷利阻尼，以形成一第二時空離散控制模型；以及對該第二時空離散控制模型導入前一時步上之已知的該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數，以形成一第三時空離散控制模型，該第三時空離散控制模型包含該等效節點割線阻尼係數以及該等效節點割線勁度係數。
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