CN109063283B - 一种刚-强度融合约束下的连续体结构可靠性拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种刚‑强度融合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，该方法首先由设计变量采用密度过滤方法得到单元相对密度，然后使用有限元方法计算结构的位移，运用ε‑松弛方法计算结构的应力，并利用p形式的应力综合函数约束对全局应力进行处理，接着利用顶点组合法得到位移和全局应力的上下界；采用优化特征距离代替原有的非概率可靠性指标来解决收敛性问题，并运用伴随向量法和复合函数求导法则求解优化特征距离的灵敏度；最后运用移动渐进方法进行迭代计算，直至满足相应的收敛性条件，得到满足可靠度约束的最优设计方案。本发明可实现有效减重，确保设计本身兼顾安全性和经济性。

Description

一种刚-强度融合约束下的连续体结构可靠性拓扑优化方法

技术领域

本发明涉及含连续体结构的可靠性拓扑优化设计领域，特别涉及一种刚-强度融合混合约束下的连续体结构可靠性拓扑优化方法，该方法考虑材料弹性模量和载荷大小的不确定性对结构的刚度和强度的影响以及基于刚-强度融合约束的下连续体结构的非概率可靠性拓扑优化方案的制定。

背景技术

随着人类工业和生产技术的飞速发展和人类对于太空、海洋领域的探索不断延伸，结构优化研究的范围越来越广泛，人们对工程中各种高精尖的设备的零部件也提出了更高的使用要求，结构优化设计也日益成为工程中至关重要的一环。根据设计变量的范围，结构优化设计可以分为三个层次：截面尺寸优化、几何形状优化和拓扑布局优化。与尺寸优化和形状优化相比，拥有更大的优化收益，故常常作为结构优化设计中的概念设计环节，用以得到一个初步设计，然后在此基础上施展形状优化和尺寸优化，得到最终的设计结果。在设计显得不那么直观时，拓扑优化的概念设计作用便显现了出来，它能帮助设计者节约时间和物资成本。因此，对于连续体结构，如板件、壳体等的拓扑优化研究具有重要的工程实用价值。

目前对于位移约束的结构拓扑优化方法研究已经比较成熟，已经有多种方法来高效地达到设计要求，然而对采用应力约束的结构拓扑优化方法研究却相对很少。这主要是因为应力约束拓扑优化问题主要面临着以下三个问题：

第一个问题就是所谓的应力“奇异性”问题，这个问题最初是在设计应力约束的桁架结构时发现的：在n维可行设计空间中包含的退化子空间维数低于n，全局优化设计结果通常是这种退化子空间内的一个元素，而非线性规划算法不能识别这些区域，因此，收敛获得的结果往往是局部优化设计，而非全局最优结果。为了解决这个问题，常用的方法是对应力约束进行松弛来消除这些退化子空间，使得非线性规划算法能够寻找全局最优解。

第二个问题是应力的局部性。在一个连续结构中，结构中每一个材料点都应该考虑应力约束，这极大地增加了优化算法和灵敏度分析的复杂程度，使原本就已考虑大量设计变量的拓扑优化问题的计算难度雪上加霜。尽管可以通过离散单元使约束的数目成为有限个，但是对于实际工程应用，这个数目仍然过于庞大。这个问题的一个可行的解决方法是用一个单独的、整合的应力约束来替代局部应力约束，这个综合应力约束可以认为近似于最大应力。

最后一个问题是应力相对于设计变量的非线性。应力水平的大小强烈依赖于邻近区域的密度变化，这种现象在具有较大空间应力梯度的区域非常显著。因此，设计优化算法的公式和求解算法应保持一致以避免收敛问题。

然而在实际工程中不确定性具有相当广泛的来源，材料性能、结构几何和载荷环境等均具有不确定性。此外，由于技术水平的不同，加工制造的误差，材料质量的差异，执行标准的区别，使用环境的变化以及测量数据的不准确，不确定性亦是客观存在的。因此，在结构优化设计中考虑不确定性的影响是十分必要的。拓扑优化作为结构优化的概念设计阶段，对最终的结构形式有着决定性的影响，因此，研究刚-强度融合约束下的连续体结构可靠性优化设计方法具有重大意义。

事实上，概率可靠度优化设计对于非确定性参数的概率分布非常敏感，并且这些数据不易得到，这限制了概率可靠度优化设计在工程实际中的应用。但是，尽管参数不确定信息难以获取，其幅度或界限却是易于得到的。近年来，利用边界信息而非分布信息分析不确定信息的非概率可靠性理论得到了迅速发展。因此，研究结构刚-强度融合约束下的非概率可靠性拓扑优化方法具有显著的现实意义。目前，相关的研究尚不充分，现有的方法计算成本太高，亦或是安全冗余度过大，造成时间成本损耗与严重的资源浪费。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种刚-强度融合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法。本发明充分考虑实际工程问题中普遍存在的不确定性因素，所得到的设计结果更加符合真实情况，工程适用性更强。

本发明采用的技术方案：一种刚-强度融合约束下的连续体结构可靠性拓扑优化方法，实现步骤如下：

步骤一：采用变密度法来描述设计变量，运用区间模型来描述结构材料属性和载荷的不确定性，以结构的体积作为优化目标，以结构位移和全局应力作为约束，建立非概率可靠性拓扑优化模型如下：

其中，V是优化区域的体积，ρ_i和V_i分别为第i个单元的相对密度和体积，并且ρ_i是设计变量r的函数，N为优化区域划分的单元总数。

是第j个位移约束点的实际位移区间值，

是第j个位移约束的容许位移区间值，m为位移约束的个数。

是第i个应力约束点的实际应力区间值，

是应力约束的许用应力区间值。

是位移非概率集合可靠性指标，

是应力非概率集合可靠性指标，

是第j个位移约束对应的目标非概率可靠度，

是第k个应力约束对应的目标非概率可靠度，

为设计变量的下限；

为设计变量的下限。

步骤二：采用密度过滤方法对设计变量进行过滤，得到各个单元的相对密度值。用区间量来描述材料弹性模量和载荷的不确定性，采用顶点组合法，并采用ε-松弛方法对单元的弹性模量以及应力计算进行松弛。得到结构的位移和各个单元的应力后，对所有单元的应力进行综合，得到相应的p形式应力综合函数值和全局应力约束公式，进行比较得到结构位移的上下界和全局应力的上下界及其相应的顶点组合。

步骤三：根据位移的上下界以及全局应力的上下界，得到位移和全局应力约束的非概率集合可靠度。

步骤四：采用优化特征距离代替非概率可靠性指标来改善收敛性问题。利用优化特征距离可以将原优化模型改写为：

其中，

为位移优化特征距离，

为应力优化特征距离。

步骤五：根据位移和全局应力相应的顶点组合，运用伴随向量法得到结构位移上下界以及p形式应力综合函数上下界对单元密度的灵敏度，然后利用复合函数的求导法则得到位移和p形式应力综合函数的优化特征距离对设计变量的灵敏度，进而得到全局应力上下界对单元密度的灵敏度。先求解位移(p形式应力综合函数)的优化特征距离对位移(p形式应力综合函数)上下界的灵敏度，然后再求解位移上下界(p形式应力综合函数上下界)对单元密度的灵敏度，接着求解单元密度对设计变量的灵敏度，最后将三者相乘得到位移(p形式应力综合函数)的优化特征距离对设计变量的灵敏度，全局应力上下界对单元密度的灵敏度是p形式应力综合函数的优化特征距离对设计变量的灵敏度除去一个系数。

步骤六：将得到的位移和全局应力约束条件值及其对设计变量的灵敏度信息作为移动渐进方法(MMA)的输入条件，对优化问题进行求解，进行设计变量的更新。

步骤七：重复步骤二至步骤六，进行设计变量的多次更新，直至当前设计满足可靠度约束，并且目标函数的相对变化百分比小于预设值ξ时，则停止优化过程。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明在结构的概念设计阶段就考虑不确定性因素的影响，能够最大限度地提升结构的经济效益，并兼顾安全性；

(2)本发明所采用的非概率可靠性指标能够合理考虑不确定因素对结构性能带来的影响，并且对样本容量需求较小，非常适合于工程应用；

(3)本发明采用MMA算法进行优化计算，使得所提出的方法能够适用于多约束的情况，适用范围更加广泛。

附图说明

图1是本发明针对刚-强度融合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化流程图；

图2是本发明实施例中拓扑优化设计区域以及边界和载荷条件示意图；

图3是本发明针对连续体结构拓扑优化的优化结果示意图，其中，图3(a)为确定性优化，图3(b)为非概率可靠性优化(R＝0.90)，图3(c)为非概率可靠性优化(R＝0.95)，图3(d)为非概率可靠性优化(R＝0.99)；

图4是本发明针对连续体结构拓扑优化迭代历程曲线，其中，图4(a)为确定性优化，图4(b)为非概率可靠性优化(R＝0.90)，图4(c)为非概率可靠性优化(R＝0.95)，图4(d)为非概率可靠性优化(R＝0.99)；

图5是两个区间在数轴上的表示；

图6是非概率可靠性模型在标准化空间的示意图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提出了一种刚-强度融合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，包括以下步骤：

步骤一：采用变密度法来描述设计变量，运用区间模型来描述结构材料属性和载荷的不确定性，以结构的体积作为优化目标，以结构位移和全局应力作为约束，建立非概率可靠性拓扑优化模型如下：

其中，V是优化区域的体积，ρ_i和V_i分别为第i个单元的相对密度和体积，并且ρ_i是设计变量r的函数，N为优化区域划分的单元总数。

是第j个位移约束点的实际位移区间值，

是第j个位移约束的容许位移区间值，m为位移约束的个数。

是第i个应力约束点的实际应力区间值，

是应力约束的许用应力区间值。

是位移非概率集合可靠性指标，

是应力非概率集合可靠性指标，

是第j个位移约束对应的目标非概率可靠度

是第k个应力约束对应的目标非概率可靠度，

为设计变量的下限；

为设计变量的下限。

步骤二：采用密度过滤方法对设计变量进行过滤，得到各个单元的密度值。用区间量来描述材料弹性模量和载荷的不确定性，采用顶点组合法，并采用松弛法则对单元的弹性模量以及应力计算进行松弛。得到结构的位移和各个单元的应力后，对所有单元的应力进行综合，得到相应的p形式应力综合函数值，进行比较得到结构位移的上下界和p形式应力综合函数的上下界及其相应的顶点组合。

单元密度可以通过单元的设计变量过滤得到：

其中ρ_i是第i个单元的密度值，d_j为第j个单元对应的设计变量。Ω_i为所有与单元i距离小于或等于r₀(过滤半径)的单元的集合，r_j是单元j与单元i的中心点的距离。

得到单元的密度之后，对单元的弹性模量进行如下的松弛：

E(ρ)＝ρ³E₀

其中E(ρ)为某个单元的弹性模量，ρ为该单元的密度，E₀为实心材料的弹性模量。

得到单元的弹性模量后，可以进行有限元计算，得到单元节点的位移。

为了更好地表征结构的应力水平，采用冯米塞斯应力来表征单元应力。其数学表达式为：

其中，σ₁,σ₂,σ₃分别指第一、二、三主应力。

根据得到的单元节点位移以及相应的位移形函数和应变矩阵可以得到单元各方向的正应力和切应力为：

σ＝Dε＝DBu^e＝Su^e

式中，D是弹性矩阵，ε是形变向量，B是应变矩阵，u^e是位移向量，S是应力矩阵。

为了简化计算，并且考虑到单元内应力变化较小，因此选取单元中心点的应力作为单元应力的表征。

根据单元中心点各方向的正应力和切应力可以得到中心点的冯米塞斯应力为：

其中，σ_c＝[σ_cx,σ_cy,σ_cz,τ_axy,τ_ayz,τ_azx]^T为单元中心点的载荷列向量。

采用ε-松弛方法，可以计算应力为：

σ_cr(ρ)＝ρ³(σ_e)_VM

为了定义全局应力约束，我们首先考虑原始的局部应力约束，对于每一个单元e，应力约束的表述如下：

σ_e≤[σ]，e＝1,2,...,n

其中σ≡σ_cr，是松驰过后的单元应力，[σ]是许用应力，e是单元编号。

这n个约束可以重写为：

然而上式是不可微分的，它需要进行平滑处理。为了达到此目的，我们选用p形式的全局应力函数。

由于[σ]是松弛过后的许用应力，在ρ_e>0的情况下，先将上面的约束简化为：

移项得：

这个式子等价于：

引入松弛因子ε，上式变为：

上式在相对密度为1时，约束失效。故对应力约束进行强化(因数(1-ρ_e)保证了在密度为1时对结构应力依然能够实际约束)：

故全局应力写为：

应用p形式的全局应力函数进行全局应力约束：

故全局应力函数的表述如下(注意σ_cr(ρ)＝ρ³(σ_e)_VM)：

其中，c是修正系数，其值为：

采用顶点组合法，对材料弹性模量以及载荷列向量中的每一个不确定量分别取上下边界值进行组合，对每一种组合按照上述方法计算结构的位移以及全局应力值，然后对所有组合下的这些值进行比较，得到结构位移的上下界和全局应力的上下界及其相应的顶点组合。

步骤三：取u_j,a为第j个位移约束的实际位移，u_j,s为第j个位移约束的安全位移，这两个变量均为基本区间变量，即：

这两个区间在数轴上的表示如图5所示，可以看到由于不确定性的存在，两个区间可能存在一定的相交区域。

其中

和

分别为实际位移u_j,a和安全位移u_j,s的中值。

为了对可靠度进行计算，我们取结构功能函数如下：

M(u_j,s,u_j,a)＝u_j,s-u_j,a

定义失效平面(即极限状态)为：

M(u_j,s,u_j,a)＝u_j,s-u_j,a＝0

显然，对于此函数，M(u_j,s,u_j,a)>0表示结构满足约束；M(u_j,s,u_j,a)<0表示结构不满足约束。

下面我们对实际位移和安全位移区间变量u_j,a∈u_j,a ^I、u_j,s∈u_j,s ^I做标准化变换：

其中，

δu_j,a∈[-1,1]，δu_j,s∈[-1,1]。

带入失效平面公式可以得到

于是，δu_j,s和δu_j,a之间的关系可以写为下面的形式：

将其表示在直角坐标系中，标注出各个变量的取值范围，我们得到了如下的非概率可靠性模型在标准化空间的示意图6。

我们先求解失效平面和边界线δu_j,s＝1的交点，令δu_j,s＝1可以得到交点

类似的，我们可以求解出失效平面与边界线δu_j,a＝-1的交点

结构的非概率可靠度R的定义是满足约束条件的区域面积S_AEF与变量区域的总面积S_ABCD之比，则可靠度的表达式书写如下：

代入交点，则可得到：

这就是结构的非概率可靠度R的计算公式。实际上失效平面与变量区域有多种相交形式，表1给出所有相交形式，依此给出了每种相交形式的可靠度计算方式。

表1

表1所示的六种不同情况对应的非概率可靠度的表达式如下所示：

步骤四：采用优化特征距离代替非概率可靠性指标来改善收敛性问题。利用优化特征距离可以将原优化模型改写为：

其中，

为位移优化特征距离，

为应力优化特征距离。

优化特征距离d定义为实际失效平面到目标失效平面的移动位移。其中目标失效平面是与原失效平面平行的平面，并且其可靠度为目标值。

由于目标可靠度一般大于50％，所以目标失效平面一般位于不确定域的右下方。

临界情况下失效平面的斜率为k₁＝1/2(1-R)，k₂＝2(1-R)，针对原失效平面斜率k取值的不同情况，使用直线间的距离公式，定义原失效平面在目标失效平面上方的距离为正，原失效平面在目标失效平面上方的距离为负，给出优化特征距离d的表达式：

由前面定义可知，d>0时，失效平面在与目标非概率可靠度R对应的目标失效平面上方，此时由于安全区域的面积小于目标值，对应的非概率可靠度R_d<0<R，不满足设计要求。d≤0时，失效平面在与目标非概率可靠度R对应的目标失效平面下方，此时由于安全区域的面积大于等于目标值，对应的非概率可靠度R_d<0≥R，满足设计要求。换句话说，对于优化特征距离d的定义，d>0对应非概率可靠度R<R_targ，不满足要求；d≤0对应非概率可靠度R≥R_targ，满足要求。

步骤五：根据位移和p形式应力综合函数相应的顶点组合，运用伴随向量法得到结构位移上下界以及p形式应力综合函数上下界对单元密度的灵敏度，然后利用复合函数的求导法则得到位移和p形式应力综合函数的优化特征距离对设计变量的灵敏度。

由于结构位移的优化特征距离对设计变量的灵敏度在一些文献中已经有所推导，下面仅推导p形式应力综合函数对设计变量的灵敏度。首先，考虑p形式应力综合函数为：

修正系数取为：

修正系数取定后为常数，不参与后面的灵敏度分析。

则p形式应力综合函数对单元密度的灵敏度为：

其中：

整理得：

由于上式中的第一项不涉及到位移关于设计变量的导数

而且式中

或

具体含义为某单元的体积或密度对该单元密度的导数为1，对其它单元密度的导数为零。即第一项可简化为：

第二项可采用伴随向量法进行计算，设：

那么：

计算结果如下：

计算结果如下：

至此得到了应力综合函数关于单元密度的导数，乘上单元密度关于设计变量的灵敏度，则可以得到应力综合函数关于设计变量的灵敏度。

单元密度ρ_i对设计变量d_j的灵敏度为

其中

类似的，某函数f(d)对设计变量d的导数可以由式(2.12)求解为：

其中

至此，应力综合函数Φ关于设计变量ρ_i的灵敏度计算公式已经推导完成。

运用复合函数的求导法则即可以得到p形式应力综合函数上下界关于设计变量的灵敏度。

对于p形式应力综合函数上界的灵敏度分析，则可以将其对应的不确定量的顶点组合代入进行计算，得到p形式应力综合函数上界对设计变量的灵敏度，同理可以求解p形式应力综合函数下界对设计变量的灵敏度。

结构位移和全局应力优化特征距离对设计变量的灵敏度求解为：

其中：

和

可以直接进行计算，但是

和

不能直接计算，下面采用伴随向量法计算

和

构造如下的约束函数的增广拉格朗日函数：

其中，λ_j(j＝1,2,…,m)为与平衡方程关联的任意的乘子向量(即伴随向量)。由于F-Ku＝0，故

对设计变量x_i求全导数得：

其中：

显然上式对任意λ均成立，因此可以选取适当的λ使得du/dx_i所在项的系数为零，即令

对比有限元平衡方程Ku＝F，可以将

视为虚拟载荷，利用有限元位移求解过程，得到虚拟位移λ(即伴随向量)。于是得到了约束点位移上下界对设计变量的灵敏度，书写如下：

其中

分别为对应于位移上界

的伴随向量、总体刚度矩阵和位移向量，

分别为对应于位移下界

的伴随向量、总体刚度矩阵和位移向量。本文载荷F与设计变量无关，即

故上式简化为：

所以约束函数优化特征距离d_j(j＝1,2,…,m)对设计变量的灵敏度为：

至此，得到了结构位移和p形式应力综合函数的优化特征距离对设计变量的灵敏度。

全局应力优化特征距离灵敏度计算公式推导如下。为方便书写，将全局应力

记作为s。对于第j(j＝1,2,…,m)个约束，其应力优化特征距离d_j对单个设计变量x_i(i＝1,2,…,N)的全导数为：

其中，

的计算方法

相同，此处不再推导，而

的计算公式推导如下：

首先，观察可得，前文得到的应力函数

及其灵敏度计算格式：

可以改写为：

比较两式(注意ρ_i＝x_i)可得到：

于是，全局应力优化特征距离对单元密度的灵敏度与p形式应力综合函数的优化特征距离对单元密度的灵敏度只相差一个系数。最后

和

两项组装起来即可得到应力优化特征距离对单元密度的灵敏度

即：

至此，位移和应力的可靠度灵敏度公式均已推导完成。可以进行程序实现工作。

步骤六：将得到的位移和全局应力约束条件值及其对设计变量的灵敏度信息作为移动渐进方法(MMA)的输入条件，对优化问题进行求解，进行设计变量的更新。

步骤七：重复步骤二至步骤六，进行设计变量的多次更新，直至当前设计满足可靠度约束，并且目标函数的相对变化百分比小于预设值ξ时，则停止优化过程。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图2所示所示的固支L形梁进行拓扑优化设计。按照平均每个矩形单元尺寸为1×1，将整个设计域离散为6155个四节点矩形单元。给定材料的弹性模量为70GPa，泊松比0.3。梁的右端受到竖直向上集中载荷作用，载荷大小为100N。初始时材料相对密度为1，相对体积分数100％，选取惩罚因子p＝3，应力综合函数罚值P＝4。设弹性模量E、载荷F相对名义值均有10％的波动，即F＝[90N，110N]，E＝[63GPa，77GPa]；用刚强度融合约束2mm&200MPa，设位移约束u和许用应力[σ]相对名义值有5％的波动，即u＝[1.9,2.1]cm,σ＝[190,210]Mpa。

图3分别为确定性拓扑优化结果和非概率可靠性分别为R＝0.90、R＝0.95和R＝0.99时拓扑优化结果对比。可以看到，确定性拓扑优化和不同非概率可靠性拓扑优化出来的结构的构型存在较大的区别，相比于确定性拓扑优化结果，非概率可靠性拓扑优化结果结构更加合理，结构更为稳定。显然确定性优化的结果不足以应对不确定性变量的影响。拓扑优化过程中的迭代历史如图4所示，相较于初始设计，减重效果明显；随着可靠度许用值增加，结构趋于安全，重量有所增加。

本发明提出了一种刚-强度融合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法。首先建立了以结构重量作为优化目标，以结构位移和全局应力作为约束的连续体结构非概率可靠性拓扑优化模型；然后采用密度过滤方法由单元设计变量得到单元密度，接着运用松弛法则计算结构的位移和应力，利用p形式应力综合函数约束对全局应力约束进行近似处理，利用顶点组合法得到位移和全局应力的上下界，从而得到位移和全局应力的非概率可靠性指标；接着采用优化特征距离代替非概率可靠性指标来解决收敛性问题，并运用伴随向量法和复合函数求导法则求解优化特征距离的灵敏度；最后运用移动渐进方法进行迭代计算，直至满足相应的收敛性条件，得到满足可靠度约束的最优设计方案。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于刚-强度融合约束下的连续体结构拓扑优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (1)

1.一种刚-强度融合约束下的L型梁结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：首先建立了以结构重量作为优化目标，以结构位移和全局应力作为约束的L型梁结构非概率可靠性拓扑优化模型；然后采用密度过滤方法由单元设计变量得到单元密度，接着运用松弛法则计算结构的位移和应力，利用p形式应力综合函数约束对全局应力约束进行近似处理，利用顶点组合法得到位移和全局应力的上下界，从而得到位移和全局应力的非概率可靠性指标；接着采用优化特征距离代替非概率可靠性指标来解决收敛性问题，并运用伴随向量法和复合函数求导法则求解优化特征距离的灵敏度；最后运用移动渐进方法进行迭代计算，直至满足相应的收敛性条件，得到满足可靠度约束的最优设计方案；

该刚-强度融合约束下的L型梁结构可靠性拓扑优化方法实现步骤如下：

步骤一：采用变密度法来描述设计变量，运用区间模型来描述结构材料属性和载荷的不确定性，以L型梁结构的体积作为优化目标，以结构位移和全局应力作为约束，建立非概率可靠性拓扑优化模型如下：

其中，V是优化区域的体积，ρ_i和V_i分别为第i个单元的相对密度和体积，并且ρ_i(r)是设计变量r的函数，N为优化区域划分的单元总数，

是第j个位移约束点的实际位移区间值，

是第j个位移约束的容许位移区间值，m为位移约束的个数，

是第i个应力约束点的实际应力区间值，

是应力约束的许用应力区间值，

是位移非概率集合可靠性指标，

是应力非概率集合可靠性指标，

是第j个位移约束对应的目标非概率可靠度，

是第k个应力约束对应的目标非概率可靠度，r为设计变量的下限；

步骤二：采用密度过滤方法对设计变量进行过滤，得到各个单元的相对密度值，用区间量来描述材料弹性模量和载荷的不确定性，采用顶点组合法，并采用ε-松弛方法对单元的弹性模量以及应力计算进行松弛，得到结构的位移和各个单元的应力后，对所有单元的应力进行综合，得到相应的p形式应力综合函数值和全局应力约束公式，进行比较得到结构位移的上下界和全局应力的上下界及其相应的顶点组合；

应用p形式的全局应力函数进行全局应力约束：

故全局应力函数的表述如下，注意σ_cr(ρ)＝ρ³(σ_e)_VM：

其中，c是修正系数，其值为：

步骤三：根据位移的上下界以及全局应力的上下界，得到位移和全局应力约束的非概率集合可靠度；

步骤四：采用优化特征距离代替非概率可靠性指标来改善收敛性问题，利用优化特征距离可以将原优化模型改写为：

其中，

为位移优化特征距离，

为应力优化特征距离；

步骤五：根据位移和全局应力相应的顶点组合，运用伴随向量法得到结构位移上下界以及p形式应力综合函数上下界对单元密度的灵敏度，然后利用复合函数的求导法则得到位移和p形式应力综合函数的优化特征距离对设计变量的灵敏度，进而得到全局应力上下界对单元密度的灵敏度，先由p形式应力综合函数求解位移的优化特征距离对位移上下界的灵敏度，然后再求解位移上下界对单元密度的灵敏度，接着求解单元密度对设计变量的灵敏度，最后将三者相乘得到位移的优化特征距离对设计变量的灵敏度，全局应力上下界对单元密度的灵敏度是p形式应力综合函数的优化特征距离对设计变量的灵敏度除去一个系数；

步骤六：将得到的位移和全局应力约束条件值及其对设计变量的灵敏度信息作为移动渐进方法MMA的输入条件，对优化问题进行求解，进行设计变量的更新；

步骤七：重复步骤二至步骤六，进行设计变量的多次更新，直至当前设计满足可靠度约束，并且目标函数的相对变化百分比小于预设值ξ时，则停止优化过程。

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