CN105808884B - 一种基于分形理论的有界不确定性平面裂纹应力强度因子上下界的预测方法 - Google Patents

一种基于分形理论的有界不确定性平面裂纹应力强度因子上下界的预测方法 Download PDF

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CN105808884B CN201610191155.7A CN201610191155A CN105808884B CN 105808884 B CN105808884 B CN 105808884B CN 201610191155 A CN201610191155 A CN 201610191155A CN 105808884 B CN105808884 B CN 105808884B
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Abstract

本发明公开了一种基于分形理论的有界不确定性平面裂纹应力强度因子上下界的预测方法，根据含裂纹结构的几何模型，用人工边界将其划分为常规区域和裂纹尖端的分形区域，建立常规域内的有界不确定性结构静力响应求解模型；以William’s一般解作为插值函数建立分形域内的有界不确定性结构静力响应求解模型；然后组装得到整体含裂纹结构的有界不确定性结构静力响应求解模型，依据一阶Taylor展开的区间分析方法进行求解得到有界不确定性广义坐标的上、下界，进而求得有界不确定性应力强度因子的上下界。本发明精确、高效的获得有界不确定性平面裂纹应力强度因子的上下界，为结构的可靠性评估和设计提供客观有效的数据。

Description

一种基于分形理论的有界不确定性平面裂纹应力强度因子上 下界的预测方法
技术领域
本发明适用于有界不确定性平面裂纹应力强度因子上下界的预测，具体涉及一种基于分形理论和非概率区间分析方法的有界不确定性平面裂纹应力强度因子上下界的预测方法。
背景技术
在工程实际中，机械设备和金属结构的构件中往往存在因制造、使用或材料本身缺陷所致的宏观裂纹。这时要确定构件能否继续安全使用，最重要的就是判断裂纹是否会失稳扩展从而导致结构和设备的破坏。应力强度因子反映了裂纹尖端附近区域的应力场和位移场，是裂纹扩展趋势和裂纹扩展推动力的度量。按断裂力学的观点：裂纹尖端的应力强度因子若是小于材料的断裂韧性，则构件是安全的，否则，构件是危险的。因此，如何准确、有效的求得构件裂纹尖端的应力强度因子一直是学术界和工程界普遍关注的问题。
然而，由于作用在结构上的外载荷不确定地波动和组成结构的材质、结构工艺的内在不均匀性，使得机械设备和金属结构的构件存在着相当大的分散性。由此可见，考虑不确定性是非常必要的。虽然在多数情况下这些误差或不确定性可能很小，但是这些误差或不确定性累积在一起就可能对结构系统的分析和设计产生大的、意想不到的偏差或不可预知性。因此，研究这些不确定性对含裂纹结构应力强度因子的影响有着广泛的工程背景和重要的理论意义与学术价值，有必要对其进行研究。
当前，国内外学者与工程技术人员对平面裂纹应力强度因子的研究主要集中在两个方面：
(1)基于新的理论的半解析数值方法及新型单元及单元法的研究。目前，分形理论成为研究应力强度因子的有效手段。分形理论用于研究自然界中具有自相似规律的图形，根据这种自相似性可在裂纹尖端形成无限细化的自相似网格，从而提高计算精度，避免了现有的有限元方法计算精度不高、存储容量过大的缺陷。
(2)基于概率理论的结构不确定性传播分析方法研究。上述工作一定程度上丰富了平面裂纹应力强度因子的分析，但是忽略了概率方法对样本信息的依赖性，大大限制了其理论的工程实际化进展。由于实际工程中贫信息、少数据的情况时有发生，建立以非概率理论框架为基础的应力强度因子边界预测方法具有显著的意义，目前，相关研究工作尚不成熟，无法满足实际工程需要。
发明内容
本发明解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种基于分形理论的有界不确定性平面裂纹应力强度因子上下界的预测方法，充分考虑实际工程问题中普遍存在的不确定性因素，结合分形理论与非概率传播分析方法，所得到的设计结果更加符合真实情况，工程适用性更强。
本发明采用的技术方案，首先根据含裂纹结构的几何模型，用一人工边界将其划分为常规区域和裂纹尖端的分形区域，考虑有限样本条件下载荷、裂纹尺寸、几何尺寸等参数的不确定性效应，建立常规域内的有界不确定性结构静力响应求解模型；根据裂纹尖端位移场的William’s一般解建立广义坐标与应力强度因子的关系，进而以William’s一般解作为插值函数建立分形域内的有界不确定性结构静力响应求解模型；然后组装得到整体含裂纹结构的有界不确定性结构静力响应求解模型，依据一阶Taylor展开的区间分析方法进行求解得到有界不确定性广义坐标的上、下界，进而求得有界不确定性应力强度因子的上下界。本发明可以精确、高效的获得有界不确定性平面裂纹应力强度因子的上下界，为结构的可靠性评估和设计提供客观有效的数据。
具体实现步骤如下：
第一步：有界不确定性参数是以区间形式表示的不确定性参数，
Figure GDA0001704216400000021
为载荷、裂纹尺寸、几何尺寸等有界不确定性参数；利用有界不确定性参数向量
Figure GDA0001704216400000022
表征贫信息、少数据条件下的结构参数和载荷的有界不确定性，表示为：
Figure GDA0001704216400000023
i＝1,2,…,m
其中，
Figure GDA0001704216400000024
和
Figure GDA0001704216400000029
分别为有界不确定性参数向量α的上、下界，
Figure GDA0001704216400000025
和
Figure GDA00017042164000000210
i＝1,2,…,m分别为第i个有界不确定性参数的上、下界，m为有界不确定性参数的个数，
Figure GDA0001704216400000026
为有界不确定性参数向量α的中心值，
Figure GDA0001704216400000027
为有界不确定性参数向量α的半径，
Figure GDA0001704216400000028
和Δαi，i＝1,2,…,m分别为第i个有界不确定性参数的中心值和半径。
有界不确定性参数向量还可表示为：
Figure GDA0001704216400000031
其中，e∈Ξm，Ξm定义为所有元素包含在[-1,1]内的m维向量集合，符号“×”定义为两个向量各对应元素相乘的算子，乘积仍为维数为m的向量。
第二步：根据含裂纹结构的几何模型及裂纹位置，用人工边界Γ，将几何模型划分为常规区域Ω和靠近裂纹尖端的分形区域D，分别建立常规区域Ω和分形区域D的几何模型。其中，人工边界Γ是圆形边界，圆心在裂纹尖端端点，半径是r，0≤r≤a，a为裂纹长度。
第三步：对第二步建立的常规区域Ω的几何模型进行离散，在有界不确定性参数约束
Figure GDA0001704216400000032
的条件下，建立常规区域Ω内的有界不确定性结构静力响应求解模型：
KR(α)uR＝fR(α)
其中，KR(α)、fR(α)、uR分别为常规区域Ω内的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量和节点位移向量，具体表示为：
Figure GDA0001704216400000033
Figure GDA0001704216400000034
Figure GDA0001704216400000035
其中，
Figure GDA0001704216400000036
ur分别为区域Ω内节点的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量和节点位移向量，
Figure GDA0001704216400000037
um分别为边界Γ上主节点的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量和节点位移向量，
Figure GDA0001704216400000038
和
Figure GDA0001704216400000039
为区域Ω和边界Γ上的有界不确定性结构耦合刚度矩阵。
第四步：根据第二步建立的分形区域D的几何模型，采用比例系数为ξ的自相似网格进行离散，建立分层自相似单元。根据裂纹尖端位移场的William’s一般解建立广义坐标与应力强度因子的关系，并将William’s一般解作为整体插值函数，将分形区域D内的有界不确定性结构节点位移向量表示为：
uS＝TSa
Figure GDA0001704216400000041
其中，uS为分形区域D内的有界不确定性结构节点位移向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数，TS为分形区域D内的转换矩阵，a为分形区域D内的有界不确定性广义坐标向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数，
Figure GDA0001704216400000042
为分形区域D内的有界不确定性广义坐标。比例系数0＜ξ＜1，自相似单元的层数为k,其中k为大于等于1的正整数。
第五步：利用分形区域D内的转换矩阵TS和有界不确定性广义坐标向量a，在有界不确定性参数约束
Figure GDA0001704216400000043
的条件下，建立分形区域D内的有界不确定性结构静力响应求解模型：
KS(α)uS＝fS(α)
其中，KS(α)为分形区域D内的有界不确定性结构刚度矩阵，fS(α)为分形区域D内的有界不确定性结构节点载荷向量，uS为分形区域D内的有界不确定性结构节点位移向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数；
KS(α)、uS、fS(α)分别表示为：
Figure GDA0001704216400000044
Figure GDA0001704216400000045
Figure GDA0001704216400000046
其中，
Figure GDA0001704216400000047
分别为区域D第1层单元主节点的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量，um为边界Γ上主节点的有界不确定性节点位移向量，
Figure GDA0001704216400000048
分别为区域D第1层单元从节点的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量，a为分形区域D内的有界不确定性广义坐标向量，
Figure GDA0001704216400000049
和
Figure GDA00017042164000000410
为区域D第1层单元的有界不确定性结构耦合刚度矩阵，
Figure GDA00017042164000000411
为区域D第1层单元从节点的转换矩阵，
Figure GDA00017042164000000412
和
Figure GDA00017042164000000413
分别为分形区域D内的第2至k层单元的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量。
第六步：结合第三步和第五步的有界不确定性结构静力响应求解模型，建立含裂纹结构的有界不确定性结构静力响应求解模型；
K(α)u＝f(α)
其中，K(α)为含裂纹结构的有界不确定性结构刚度矩阵，f(α)为含裂纹结构的有界不确定性结构节点载荷向量，u为含裂纹结构的有界不确定性结构节点位移向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数；
K(α)、u、f(α)分别表示为：
Figure GDA0001704216400000051
Figure GDA0001704216400000052
Figure GDA0001704216400000053
第七步：采用基于一阶Taylor展开的区间分析方法求解第六步中建立的含裂纹结构的有界不确定性结构静力响应求解模型，得到有界不确定性节点位移向量u的上界
Figure GDA0001704216400000054
和下界
Figure GDA00017042164000000512
提取相应的有界不确定性广义坐标
Figure GDA0001704216400000055
的上界
Figure GDA0001704216400000056
和下界
Figure GDA0001704216400000057
根据第四步中建立的广义坐标
Figure GDA0001704216400000058
与应力强度因子KΙ,ΙΙ的关系，得到有界不确定性平面裂纹应力强度因子KΙ,ΙΙ的上界
Figure GDA0001704216400000059
和下界
Figure GDA00017042164000000513
其中，KI为Ι型平面裂纹的有界不确定性应力强度因子，KΙΙ为ΙΙ型平面裂纹的有界不确定性应力强度因子，二者均是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数。
基于一阶Taylor展开的区间分析方法得到的有界不确定性结构节点位移向量u的上、下界分别表示为：
Figure GDA00017042164000000510
Figure GDA00017042164000000511
j＝1,2,…,p
其中，p为有界不确定性结构节点位移的个数，
Figure GDA0001704216400000061
与
Figure GDA0001704216400000067
为第j个有界不确定性结构节点位移的上、下界，uj(αC)为有界不确定性参数向量α取中心值αC时的节点位移，
Figure GDA0001704216400000062
为uj(α)在有界不确定性参数向量α的中心值αC处的灵敏度，Δαi为第i个有界不确定性参数的区间半径。
本发明与现有技术相比的优点在于：
(1)本发明提出了一种基于分形理论求解应力强度因子的半解析方法，根据分形理论的自相似性可以在裂纹尖端形成无限细化的网格，提高精度，克服了现有方法计算应力强度因子时精度不高的缺点，且提高了计算效率；
(2)本发明可以处理贫数据、少信息的有界不确定性平面裂纹应力强度因子上下界预测问题，无需知道有界不确定性参数的概率分布，只要知道有界不确定性参数的上下界就可以预测有界不确定性平面裂纹应力强度因子的上下界。
附图说明
图1是本发明方法实现流程图；
图2是本发明中含裂纹结构常规区域的离散示意图；
图3是本发明实施例中带一条单边裂纹的弹性板几何模型示意图；
图4是本发明实施例中弹性板的分区示意图；
图5是本发明实施例中弹性板常规区域的离散示意图；
图6是本发明实施例中弹性板分形区域的自相似网格示意图；
图7是本发明提出的方法与概率分析方法所得有界不确定性应力强度因子上下界的结果对比图。
具体实施方式
如图1所示，本发明提出了一种基于分形理论的有界不确定性平面裂纹应力强度因子上下界的预测方法，其具体实现步骤是：
(1)有界不确定性参数是以区间形式表示的不确定性参数，
Figure GDA0001704216400000063
为载荷、裂纹尺寸、几何尺寸等有界不确定性参数。利用有界不确定性参数向量
Figure GDA0001704216400000064
合理表征贫信息、少数据条件下的结构参数和载荷的有界不确定性，表示为：
Figure GDA0001704216400000065
i＝1,2,…,m
其中，
Figure GDA0001704216400000066
和
Figure GDA0001704216400000068
分别为有界不确定性参数向量α的上、下界，
Figure GDA0001704216400000071
和
Figure GDA00017042164000000715
i＝1,2,…,m分别为第i个有界不确定性参数的上、下界，m为有界不确定性参数的个数。
Figure GDA0001704216400000072
为有界不确定性参数向量α的中心值，
Figure GDA0001704216400000073
为有界不确定性参数向量α的半径，
Figure GDA0001704216400000074
和Δαi，i＝1,2,…,m分别为第i个有界不确定性参数的中心值和半径。有界不确定性参数向量还可表示为：
Figure GDA0001704216400000075
其中，e∈Ξm，Ξm定义为所有元素包含在[-1,1]内的m维向量集合，符号“×”定义为两个向量各对应元素相乘的算子，乘积仍为维数为m的向量。
(2)根据含裂纹结构的几何模型及裂纹位置，用人工边界Γ，将几何模型划分为常规区域Ω和靠近裂纹尖端的分形区域D，分别建立常规区域Ω和分形区域D的几何模型；其中，人工边界Γ是圆形边界，圆心在裂纹尖端端点，半径是r，0≤r≤a，a为裂纹长度。
(3)对第(2)步建立的常规区域Ω的几何模型进行离散，见图2，在有界不确定性参数约束
Figure GDA0001704216400000076
的条件下，建立常规区域Ω内的有界不确定性结构静力响应求解模型，表示为：
KR(α)uR＝fR(α)
其中，KR(α)为常规区域Ω内的有界不确定性结构刚度矩阵，表示为：
Figure GDA0001704216400000077
其中，
Figure GDA0001704216400000078
为区域Ω内节点的有界不确定性结构刚度矩阵，
Figure GDA0001704216400000079
为边界Γ上主节点的有界不确定性结构刚度矩阵，
Figure GDA00017042164000000710
和
Figure GDA00017042164000000711
为区域Ω和边界Γ上的有界不确定性结构耦合刚度矩阵。
fR(α)为常规区域Ω内的有界不确定性结构节点载荷向量，表示为：
Figure GDA00017042164000000712
其中，
Figure GDA00017042164000000713
为区域Ω内节点的有界不确定性结构节点载荷向量，
Figure GDA00017042164000000714
为边界Γ上主节点的有界不确定性结构节点载荷向量。
uR为区域Ω内的有界不确定性结构节点位移向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数。表示为：
Figure GDA0001704216400000081
其中，ur为区域Ω内节点的有界不确定性结构节点位移向量，um为边界Γ上主节点的有界不确定性结构节点位移向量。
(4)根据第(2)步建立的分形区域D的几何模型，采用比例系数为ξ的自相似网格进行离散，建立k层自相似单元。其中，0＜ξ＜1，k为大于等于1的正整数。
以裂纹尖端端点为原点构造极坐标系，裂纹尖端位移场的William’s一般解具体表示为：
Figure GDA0001704216400000082
Figure GDA0001704216400000083
其中，u,v分别为直角坐标系下裂纹尖端沿x和y方向的位移分量，G为剪切模量，r为极坐标系下节点的极径，n为William’s级数的项数。
Figure GDA0001704216400000084
和
Figure GDA0001704216400000085
n＝1,2,…，为广义坐标，fn,ij(n,θ),i,j＝1,2，具体表达式为：
Figure GDA0001704216400000086
Figure GDA0001704216400000087
Figure GDA0001704216400000088
Figure GDA0001704216400000089
其中，θ为极坐标系下节点的极角，κ为常数，对于平面应变问题，κ＝3-4ν，平面应力问题，κ＝(3-ν)/(1+ν)，其中ν为泊松比。
利用裂纹尖端位移场的William’s一般解作为整体插值函数，将分形区域D内的有界不确定性结构节点位移向量表示为：
uS＝TSa
Figure GDA00017042164000000810
其中，uS为分形区域D内的有界不确定性结构节点位移向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数，TS为分形区域D内的转换矩阵，a为分形区域D内的有界不确定性广义坐标向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数，
Figure GDA00017042164000000811
均为分形区域D内的有界不确定性广义坐标。
根据、式，有界不确定性平面裂纹应力强度因子KΙ,ΙΙ与有界不确定性广义坐标
Figure GDA0001704216400000091
有关，表示为：
Figure GDA0001704216400000092
Figure GDA0001704216400000093
其中，KI为Ι型平面裂纹的有界不确定性应力强度因子，KΙΙ为ΙΙ型平面裂纹的有界不确定性应力强度因子，二者均是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数。由此可见，有界不确定性应力强度因子可由有界不确定性广义坐标得到。
(5)在有界不确定性参数约束
Figure GDA0001704216400000094
的条件下，建立分形区域D内第1层单元的有界不确定性结构静力响应求解模型，表示为：
Figure GDA0001704216400000095
其中，
Figure GDA0001704216400000096
分别为区域D第1层单元主节点的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量，um为边界Γ上主节点的有界不确定性节点位移向量，
Figure GDA0001704216400000097
Figure GDA0001704216400000098
分别为区域D第1层单元从节点的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量和节点位移向量，
Figure GDA0001704216400000099
和
Figure GDA00017042164000000910
为区域D第1层单元的有界不确定性结构耦合刚度矩阵。
利用分形区域D内的转换矩阵TS和有界不确定性广义坐标向量a，将
Figure GDA00017042164000000911
表示为：
Figure GDA00017042164000000912
其中，
Figure GDA00017042164000000913
为区域D第1层单元从节点的转换矩阵。进而，将分形区域D内第1层单元的有界不确定性结构静力响应求解模型表示为：
Figure GDA00017042164000000914
或
Figure GDA00017042164000000915
其中，I为单位矩阵。
分形区域D内的第k1层单元，其中2≤k1≤k，k为分形区域D内自相似单元的总层数，其有界不确定性结构静力响应求解模型表示为：
Figure GDA00017042164000000916
其中，
Figure GDA00017042164000000917
为分形区域D内第k1层单元的有界不确定性结构刚度矩阵，
Figure GDA00017042164000000918
为分形区域D内第k1层单元的有界不确定性结构节点载荷向量，
Figure GDA0001704216400000101
为分形区域D内第k1层单元的有界不确定性结构节点位移向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数。
将上式表示成广义坐标的形式：
Figure GDA0001704216400000102
其中，
Figure GDA0001704216400000103
为分形区域D内第k1层单元的转换矩阵。根据分形区域D内单元的自相似性，每一层单元的刚度矩阵相等，即：
Figure GDA0001704216400000104
其中，
Figure GDA0001704216400000105
为分形区域D内第2层单元的有界不确定性结构刚度矩阵。
根据自相似性，将式中的
Figure GDA0001704216400000106
表示为：
Figure GDA0001704216400000107
其中，
Figure GDA0001704216400000108
为分形区域D内第2层单元的转换矩阵。Diag[ηi]为对角元素为ηi的对角矩阵，ηi具体表示为：
Figure GDA0001704216400000109
其中，ξ为比例系数，ni具体表示为：
Figure GDA00017042164000001010
其中，1≤i≤2n，n为William’s级数的项数。结合、、、四式，将分形区域D内的第2至k层的有界不确定性结构刚度矩阵叠加，表示为：
Figure GDA00017042164000001011
其中，1≤j≤2n，n为William’s级数的项数，
Figure GDA00017042164000001012
为分形区域D内的第2至k层的有界不确定性结构刚度矩阵，αij和[kij(α)]具体表示为：
Figure GDA00017042164000001013
Figure GDA00017042164000001014
同样，分形区域D内第2至k层的有界不确定性结构节点载荷向量表示为：
Figure GDA0001704216400000111
其中，
Figure GDA0001704216400000112
为分形区域D内第2至k层的有界不确定性结构节点载荷向量，[fij(α)]具体表示为：
Figure GDA0001704216400000113
其中，
Figure GDA0001704216400000114
为分形区域D内第2层单元的有界不确定性结构节点载荷向量。
叠加式、、，建立整个分形区域D内的有界不确定性结构静力响应求解模型，表示为：
KS(α)uS＝fS(α)
其中，KS(α)为分形区域D内的有界不确定性结构刚度矩阵，fS(α)为分形区域D内的有界不确定性结构节点载荷向量，uS为分形区域D内的有界不确定性结构节点位移向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数。
KS(α)、uS、fS(α)分别表示为：
Figure GDA0001704216400000115
Figure GDA0001704216400000116
Figure GDA0001704216400000117
(6)组合第(3)步和第(5)步的有界不确定性结构静力响应求解模型，建立含裂纹结构的有界不确定性结构静力响应求解模型，表示为：
K(α)u＝f(α)
其中，K(α)为含裂纹结构的有界不确定性结构刚度矩阵，f(α)为含裂纹结构的有界不确定性结构节点载荷向量，u为含裂纹结构的有界不确定性结构节点位移向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数。
K(α)、u、f(α)分别表示为：
Figure GDA0001704216400000118
Figure GDA0001704216400000121
Figure GDA0001704216400000122
(7)采用基于一阶Taylor展开的区间分析方法求解第(6)步中建立的含裂纹结构的有界不确定性结构静力响应求解模型，得到有界不确定性节点位移向量u的上界
Figure GDA00017042164000001213
和下界
Figure GDA00017042164000001214
提取相应的有界不确定性广义坐标
Figure GDA0001704216400000123
的上界
Figure GDA0001704216400000124
和下界
Figure GDA0001704216400000125
根据第(4)步中建立的广义坐标
Figure GDA0001704216400000126
与应力强度因子KΙ,ΙΙ的关系，得到有界不确定性平面裂纹应力强度因子KΙ,ΙΙ的上界
Figure GDA0001704216400000127
和下界
Figure GDA00017042164000001215
其中，KI为Ι型平面裂纹的有界不确定性应力强度因子，KΙΙ为ΙΙ型平面裂纹的有界不确定性应力强度因子，二者均是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数。
基于一阶Taylor展开的区间分析方法的具体实施步骤是：首先将有界不确定性节点位移向量u在有界不确定性参数向量α的中心点向量αC处进行一阶Taylor级数展开，得到：
Figure GDA0001704216400000128
其中，u(αC)为有界不确定性参数向量α取中心值αC时的节点位移向量，通过求解线性系统K(αC)u(αC)＝f(αC)获得，K(αC)和f(αC)分别为有界不确定性参数向量α取中心值αC时的结构刚度矩阵和节点载荷向量。
Figure GDA0001704216400000129
为u在有界不确定性参数向量α的中心值αC处的灵敏度。
将式两边关于α求导并整理，得到：
Figure GDA00017042164000001210
其中，
Figure GDA00017042164000001211
和
Figure GDA00017042164000001212
分别为有界不确定性结构节点位移向量f和有界不确定性结构刚度矩阵K在有界不确定性参数向量α的中心值αC处的灵敏度，利用差分代替微分的方式求得：
Figure GDA0001704216400000131
Figure GDA0001704216400000132
其中，δα为关于向量α的小摄动。
根据自然区间扩张定理和区间数相等的充分必要条件，得到有界不确定性结构节点位移向量u(α)的区间界，表示为：
Figure GDA0001704216400000133
因此，得到有界不确定性结构节点位移向量u(α)的上界：
Figure GDA0001704216400000134
j＝1,2,…,p
有界不确定性结构节点位移向量u(α)的下界：
Figure GDA0001704216400000135
j＝1,2,…,p
其中，p为有界不确定性结构节点位移的个数，
Figure GDA0001704216400000136
与
Figure GDA00017042164000001312
为第j个有界不确定性结构节点位移的上、下界，uj(αC)为有界不确定性参数向量α取中心值αC时的节点位移，
Figure GDA0001704216400000137
为uj(α)在有界不确定性参数向量α的中心值αC处的灵敏度，Δαi为第i个有界不确定性参数的区间半径。
从得到的有界不确定性结构节点位移向量u(α)的上界和下界中提取有界不确定性广义坐标
Figure GDA0001704216400000138
的上界
Figure GDA0001704216400000139
和下界
Figure GDA00017042164000001310
进而得到有界不确定性平面裂纹应力强度因子KΙ,ΙΙ的上界
Figure GDA00017042164000001311
和下界
Figure GDA00017042164000001313
实施例：
为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图3所示的带一条单边裂纹的弹性板进行有界不确定性应力强度因子边界评估。图3中弹性板的宽w＝400mm，高h＝2000mm，裂纹长度为a，弹性模量E＝2×105MPa，泊松比ν＝0.167，受到均布拉力F的作用。由于制造和测量误差，裂纹长度a和均布拉力F均为有界不确定性参数，裂纹长度a的中心值为aC＝50mm，均布拉力F的中心值为FC＝300MPa，并且有a＝[50-1.5β,50+1.5β]，F＝[300-9β,300+9β]，β为可以变化的变异系数，分别取0.05,0.10,0.15,0.20,0.25。本例中需要预测弹性板裂纹尖端应力强度因子的边界。
本例中裂纹类型为I型，因此，KΙΙ＝0。用一个圆心在裂纹尖端端点，半径为r＝30mm的圆将弹性板分为常规区域Ω和分形区域D，见图4。由于弹性板是对称结构，故取一半模型进行分析。对常规区域Ω采用四节点的四边形等参单元离散，见图5，共有32个单元，47个节点。对分形区域D采用比例系数为ξ＝0.5的自相似单元离散，建立k＝10层自相似单元，见图6，其中仅显示了其中四层自相似单元。裂纹尖端位移场William’s一般解取10项，即n＝10。通过编程得到分形区域D内的有界不确定性结构静力响应求解模型。表1给出了不同变异系数下，根据本发明所提出的方法得到的有界不确定性应力强度因子的上、下界。
为了验证本发明所提方法的精确性，将其与精确解进行对比。取有界不确定性参数的中心值，aC＝50mm，FC＝300MPa，得到应力强度因子的精确解为
Figure GDA0001704216400000141
本发明方法计算得到应力强度因子中心值为
Figure GDA0001704216400000142
误差为1.4％，验证了本发明方法的精确性。
为了验证本发明所提的方法，同样采用概率分析方法计算了本例的有界不确定性应力强度因子的上下界。设裂纹长度a和均布拉力F都服从正态分布，裂纹长度均值μa＝50mm，均布拉力均值μF＝300MPa，根据概率中的3σ法则，可以确定裂纹长度的标准差σa＝0.5，均布拉力的标准差σF＝3。概率分析方法得到的有界不确定性结构节点位移的均值和标准差分别为：
Figure GDA0001704216400000143
Figure GDA0001704216400000144
对应有界不确定性结构节点位移的上界为：
Figure GDA0001704216400000145
下界为：
Figure GDA0001704216400000146
本发明方法与概率分析方法的结果对比见表2。
表1
Figure GDA0001704216400000151
表2
Figure GDA0001704216400000152
图7显示了本发明所提方法与概率分析方法计算有界不确定性应力强度因子结果的对比，从图中可以看出，本发明方法得到的有界不确定性应力强度因子的宽度比概率分析方法得到的宽度大。也就是说，本发明方法的下界小于概率分析方法的下界，上界大于概率分析方法的上界，由此证明本发明方法所得的结果是可信的。此外，工程实际中很难获知载荷、结构参数等有界不确定性参数的真实概率分布情况，只能得到其分布的上下界，此时，本发明方法的易用性和有效性优势更加得以凸显。此外，本发明提出的一种基于分形理论求解应力强度因子的半解析方法，计算精度高，弥补了现有方法不精确的缺点，且通过对实施例的计算发现，本发明方法与传统有限元方法相比计算效率提高了90％，存储容量减少了60％。以上实例验证了本发明方法针对有界不确定性平面裂纹应力强度因子上下界预测的可行性和优越性。
本发明可以精确、高效的获得有界不确定性平面裂纹应力强度因子的上下界，为结构的可靠性评估和设计提供客观有效的数据。
以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制。
本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (3)

1.一种基于分形理论的有界不确定性平面裂纹应力强度因子上下界的预测方法，其特征在于实现步骤如下：
第一步：有界不确定性参数是以区间形式表示的不确定性参数，
Figure FDF0000006109450000011
为载荷、裂纹尺寸、几何尺寸有界不确定性参数；利用有界不确定性参数向量
Figure FDF0000006109450000012
表征贫信息、少数据条件下的结构参数和载荷的有界不确定性，表示为：
Figure FDF0000006109450000013
其中，
Figure FDF0000006109450000014
和α＝(α i)＝[α 1 α 2 … α m]分别为有界不确定性参数向量α的上、下界，
Figure FDF0000006109450000015
和α i，i＝1,2,…,m分别为第i个有界不确定性参数的上、下界，m为有界不确定性参数的个数，
Figure FDF0000006109450000016
为有界不确定性参数向量α的中心值，
Figure FDF0000006109450000017
为有界不确定性参数向量α的半径，
Figure FDF0000006109450000018
和Δαi，i＝1,2,…,m分别为第i个有界不确定性参数的中心值和半径；
第二步：根据含裂纹结构的几何模型及裂纹位置，用人工边界Γ，将几何模型划分为常规区域Ω和靠近裂纹尖端的分形区域D，分别建立常规区域Ω和分形区域D的几何模型；
第三步：对第二步建立的常规区域Ω的几何模型进行离散，在有界不确定性参数约束
Figure FDF0000006109450000019
的条件下，建立常规区域Ω内的有界不确定性结构静力响应求解模型；
第四步：根据第二步建立的分形区域D的几何模型，采用比例系数为ξ的自相似网格进行离散，建立分层自相似单元；根据裂纹尖端位移场的William’s一般解建立广义坐标与应力强度因子的关系，并将William’s一般解作为整体插值函数，将分形区域D内的有界不确定性结构节点位移向量表示为：
uS＝TSa
Figure FDF00000061094500000110
其中，uS为分形区域D内的有界不确定性结构节点位移向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数，TS为分形区域D内的转换矩阵，a为分形区域D内的有界不确定性广义坐标向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数，
Figure FDF00000061094500000111
为分形区域D内的有界不确定性广义坐标；
第五步：利用分形区域D内的转换矩阵TS和有界不确定性广义坐标向量a，在有界不确定性参数约束
Figure FDF0000006109450000021
的条件下，建立分形区域D内的有界不确定性结构静力响应求解模型；
第六步：结合第三步和第五步的有界不确定性结构静力响应求解模型，建立含裂纹结构的有界不确定性结构静力响应求解模型；
第七步：采用基于一阶Taylor展开的区间分析方法求解第六步中建立的含裂纹结构的有界不确定性结构静力响应求解模型，得到有界不确定性节点位移向量u的上界
Figure FDF0000006109450000022
和下界u，提取相应的有界不确定性广义坐标
Figure FDF0000006109450000023
的上界
Figure FDF0000006109450000024
和下界
Figure FDF0000006109450000025
根据第四步中建立的广义坐标
Figure FDF0000006109450000026
与应力强度因子KΙ,ΙΙ的关系，得到有界不确定性平面裂纹应力强度因子KΙ,ΙΙ的上界
Figure FDF0000006109450000027
和下界K Ι,ΙΙ；其中，KI为Ι型平面裂纹的有界不确定性应力强度因子，KΙΙ为ΙΙ型平面裂纹的有界不确定性应力强度因子，二者均是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数；
所述第三步中建立常规区域Ω内的有界不确定性结构静力响应求解模型如下：
KR(α)uR＝fR(α)
其中，KR(α)、fR(α)、uR分别为常规区域Ω内的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量和节点位移向量，具体表示为：
Figure FDF0000006109450000028
Figure FDF0000006109450000029
Figure FDF00000061094500000210
其中，
Figure FDF00000061094500000211
ur分别为区域Ω内节点的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量和节点位移向量，
Figure FDF00000061094500000212
um分别为边界Γ上主节点的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量和节点位移向量，
Figure FDF00000061094500000213
和
Figure FDF00000061094500000214
为区域Ω和边界Γ上的有界不确定性结构耦合刚度矩阵；
所述第二步中人工边界Γ是圆形边界，圆心在裂纹尖端端点，半径是r，其中0≤r≤a，a为裂纹长度；
所述第四步中比例系数0＜ξ＜1，自相似单元的层数为k,其中k为大于等于1的正整数；
所述第一步中有界不确定性参数向量还可表示为：
Figure FDF0000006109450000031
其中，e∈Ξm，Ξm定义为所有元素包含在[-1,1]内的m维向量集合，符号“×”定义为两个向量各对应元素相乘的算子，乘积仍为维数为m的向量；
所述第七步中基于一阶Taylor展开的区间分析方法得到的有界不确定性结构节点位移向量u的上、下界分别表示为：
Figure FDF0000006109450000032
Figure FDF0000006109450000033
其中，p为有界不确定性结构节点位移的个数，
Figure FDF0000006109450000034
与u j(α)为第j个有界不确定性结构节点位移的上、下界，uj(αC)为有界不确定性参数向量α取中心值αC时的节点位移，
Figure FDF0000006109450000035
为uj(α)在有界不确定性参数向量α的中心值αC处的灵敏度，Δαi为第i个有界不确定性参数的区间半径。
2.根据权利要求1所述的一种基于分形理论的有界不确定性平面裂纹应力强度因子上下界的预测方法，其特征在于：所述第五步中建立分形区域D内的有界不确定性结构静力响应求解模型如下：
KS(α)uS＝fS(α)
其中，KS(α)为分形区域D内的有界不确定性结构刚度矩阵，fS(α)为分形区域D内的有界不确定性结构节点载荷向量，uS为分形区域D内的有界不确定性结构节点位移向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数；
KS(α)、uS、fS(α)分别表示为：
Figure FDF0000006109450000041
Figure FDF0000006109450000042
Figure FDF0000006109450000043
其中，
Figure FDF0000006109450000044
分别为区域D第1层单元主节点的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量，um为边界Γ上主节点的有界不确定性节点位移向量，
Figure FDF0000006109450000045
分别为区域D第1层单元从节点的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量，a为分形区域D内的有界不确定性广义坐标向量，
Figure FDF0000006109450000046
和
Figure FDF0000006109450000047
为区域D第1层单元的有界不确定性结构耦合刚度矩阵，
Figure FDF0000006109450000048
为区域D第1层单元从节点的转换矩阵，
Figure FDF0000006109450000049
和
Figure FDF00000061094500000410
分别为分形区域D内的第2至k层单元的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量。
3.根据权利要求1所述的一种基于分形理论的有界不确定性平面裂纹应力强度因子上下界的预测方法，其特征在于：所述第六步中含裂纹结构的有界不确定性结构静力响应求解模型，表示为：
K(α)u＝f(α)
其中，K(α)为含裂纹结构的有界不确定性结构刚度矩阵，f(α)为含裂纹结构的有界不确定性结构节点载荷向量，u为含裂纹结构的有界不确定性结构节点位移向量，也是有界不确定性参数向量α＝(αi)的函数；
K(α)、u、f(α)分别表示为：
Figure FDF00000061094500000411
Figure FDF00000061094500000412
Figure FDF0000006109450000051
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