CN110704912B - 一种应力约束下的桥架托臂结构拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种应力约束下的桥架托臂结构拓扑优化方法，该方法构建以桥架托臂结构的总体积为目标，以桥架托臂结构的应力为约束的拓扑优化模型，采用密度过滤得到单元密度变量，采用带罚因子的固体各向同性微结构/材料模型并结合有限元方法得到单元节点位移；运用ε‑松弛方法得到单元中心点的应力约束函数，利用应力影响函数方法对单元应力约束函数进行处理，并与单元体积相乘得到单元应力约束混合函数，将所有单元应力约束混合函数相加作为拓扑优化问题的目标函数，得到应力约束下的拓扑优化模型；进行迭代计算，直至满足收敛性条件。本发明可以大大提高应力约束拓扑优化问题的求解效率，并可有效控制桥架托臂结构的最大应力。

Description

一种应力约束下的桥架托臂结构拓扑优化方法

技术领域

本发明涉及桥架托臂结构的拓扑优化设计领域，特别涉及应力约束下的桥架托臂结 构拓扑优化设计方法。

背景技术

托臂结构是悬臂体系梁桥上部构造的一个重要组成部分，例如QJ-T-04型托臂结构 可以应用于桥梁在垂直引上、引下或过梁时固定用。传统的托臂结构是比较规则的形状， 其结构重量较大，虽然能保证结构的安全性，但是由于结构重量大，耗费材料多，导致其经济性能较差。随着科学技术不断发展，人们对产品的性能提出了更高的要求，结构 优化逐渐成为了实现产品高性能的有效工具。根据优化变量的层级，结构优化可以分为 尺寸优化、形状优化和拓扑优化。与结构尺寸优化和形状优化相比，结构拓扑优化的设 计变量层级更高，因而可以取得更大的经济效益，另一方面，拓扑优化的研究相比于尺 寸优化和形状优化也更具有挑战性。

拓扑优化中应力约束的奇异性问题首先由程耿东院士在桁架结构拓扑优化研究中 发现，他指出应力约束在零截面处的不连续性是导致奇异性的根本原因，并有针对性地提出了ε-松弛法，而后一些学者将ε-松弛法运用到了结构的拓扑优化研究中，有效地 解决了结构拓扑优化中应力约束的奇异性问题。国外学者Bruggi提出了qp松弛方法， 并成功应用于结构应力约束拓扑优化中。

对于应力约束的局部性问题，即应力约束必须在结构的每一点都考虑，目前尚无完 美的解决方案。应力约束的奇异性问题大大增加了优化问题的约束条件，导致灵敏度分析次数大大增加，使得计算成本无法承受。目前主要采用聚合的方法来解决应力的局部 性问题，常见的聚合函数有P-形式和KS-形式的函数。在这些聚合函数中，应力聚合函 数是结构最大应力的近似函数。应力聚合方法在一定程度上可以解决应力约束的奇异性 问题，但是应力综合函数的近似精度有限，也存在一些参数依赖问题。一些学者提出了 区域聚合和应力按序聚合的方法，这些方法在一定程度上可以提高近似精度，减轻参数 依赖性问题。

对于应力约束的强非线性问题，目前主要采用减小移动渐进优化算法中的移动限来 实现，而对于移动限的设置目前没有一个统一的值，主要根据所采取的方法来确定。给移动线的范围设置一个上限能够有效解决优化过程由于应力非线性导致的收敛困难，得到有效的优化结果。

综上所述，目前对于托臂结构应力约束拓扑优化研究尚不充分，主要原因是无法有 效解决应力约束的局部性问题，已有的研究方法精度有限，也存在参数依赖问题，因此有必要进一步深入研究。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种应力约束下的桥架托 臂结构拓扑优化方法。本发明能够有效解决托臂结构拓扑优化中应力约束的局部性问题， 并可大大减少计算量，提高优化效率。

该方法用应力影响函数对单元应力约束函数进行处理，并与单元体积相乘得到单元 混合函数，将所有单元混合函数相加作为应力约束拓扑优化问题的目标函数，大大提高了应力约束拓扑优化问题的求解效率，适合于大规模拓扑优化问题。

本发明采用的技术方案：一种应力约束下的托臂结构拓扑优化方法，实现步骤如下：

步骤一：采用变密度法来描述设计变量，基于SIMP模型结合密度过滤方法，构建以托臂结构的总体积为目标，以结构的应力为约束的拓扑优化模型：

s.t.Ku＝f

σ_j,VM≤σ_lim,j＝1,2,…,N

0＜d_min≤d_i≤1,i＝1,2,…,N

式中，V为优化过程中桥架托臂结构的总体积，d＝(d₁,d₂,…,d_i,…,d_N)为优化问题的 设计变量，N为优化区域划分的单元总数，V_i为第i个单元的实体体积(单元完全实心时的体积)，ρ_i为第i个单元的伪密度；K为总体刚度矩阵，可由单元刚度矩阵组装而 成，u和f为总体位移列向量和载荷列向量；σ_j,VM为单元j中心点的Von-Mises应力，σ_lim为材料的许用应力；d_min＝0.01为单元设计变量下限，这是为了防止总体刚度矩阵奇异。

第i个单元的伪密度ρ_i可由设计变量d＝(d₁,d₂,…,d_N)通过密度过滤得到，如下式：

其中，Θ_i为所有与单元i距离小于或等于r₀(过滤半径)的单元，r_j是单元j与单 元i的中心点的距离。

第i个单元的弹性模量E_i可以根据SIMP模型得到，如下式：

式中，E₀为实心材料的弹性模量。

步骤二：运用ε-松弛方法来计算单元j中心点的应力约束函数，如下式：

式中，ε为一小量，一般取为

采用ε-松弛法的应力约束下拓扑优化模型为：

s.t.Ku＝f

0＜d_min≤d_i≤1,i＝1,2,…,N

步骤三：采用应力影响函数方法对单元j应力约束函数进行处理，如下式：

式中，α和P为应力影响函数的控制参数。这里选为α＝1.08,P＝10。将应力影响函数与单元体积相乘得到单元应力约束混合函数，将所有单元应力约束混合函数相加作为目标函数，得到如下的应力约束拓扑优化模型：

s.t.Ku＝f

0＜d_min≤d_i≤1,i＝1,2,…,N

步骤四：计算优化问题目标函数对设计变量的灵敏度。首先基于伴随向量法，计算优化问题目标函数对单元伪密度的灵敏度，进一步，结合复合函数求导法则，得到目标 函数对设计变量的灵敏度。

步骤五：将得到的目标函数值及其相应的灵敏度信息作为MMA算法的输入条件，对设计变量进行更新，考虑到应力约束强非线性的特点，对MMA算法中的移动限添加 额外的约束，即移动限小于等于0.02。

步骤六：重复步骤三到步骤五，对设计变量进行多次更新，直至满足相应的收敛条件，得到最终的优化结果。

在实际梁桥体系的托臂结构的设计中，其应力状态较为复杂，而应力超过材料的强 度极限会导致结构破坏，造成安全事故；传统的托臂结构是比较规则的形状，其结构重量大，虽然能保证结构的安全性，但是由于结构重量大，耗费材料多，导致其经济性能 差。所述步骤三中运用应力影响函数对单元应力约束函数进行处理，并与单元体积相乘， 得到单元应力约束混合函数，将单元应力约束混合相加作为应力约束拓扑优化问题的目 标函数，构造了一种全新的应力约束拓扑优化问题模型，在应力影响函数中，在该函数 中对单元应力约束函数值小于零的情况进行了处理，并选取了合适的应力影响函数控制 参数，能有效控制桥梁托臂结构的最大应力，并实现有效减重。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明能够实现桥梁托臂结构应力的有效控制，并可以实现托臂结构的有效减重；

(2)本发明能够大大提高桥梁托臂结构应力约束拓扑优化问题的求解效率，非常适用于工程中大规模应力约束拓扑优化问题；

(3)本发明所提出的应力影响函数类型适用范围较广，可以扩展到其它的应力松弛准则。

附图说明

图1是本发明针对应力约束下的桥架托臂结构拓扑优化方法流程图；

图2是本发明实施例中拓扑优化设计区域的几何模型和有限元模型示意图，其中，图2(a)为优化设计域的几何模型，图2(b)为优化设计域的有限元模型；

图3是本发明针对应力约束下桥架托臂结构拓扑优化的优化结果示意图，其中，图3(a) 为许用应力为σ_lim＝540MPa时的优化结果，图3(b)为许用应力为σ_lim＝630MPa时的优化 结果，图3(c)为许用应力为σ_lim＝720MPa时的优化结果；

图4是本发明针对应力约束下桥架托臂结构拓扑优化结构体积迭代历程曲线，其中，图4(a)为许用应力为σ_lim＝540MPa时的优化迭代历程曲线，图4(b)为许用应力为 σ_lim＝630MPa时的优化迭代历程曲线，图4(c)为许用应力为σ_lim＝720MPa时的优化迭代 历程曲线；

图5是本发明应用对象桥架托臂结构的工程实物图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提出了一种应力约束下的托臂结构拓扑优化方法，包括以下步骤：

步骤一：采用变密度法来描述设计变量，基于SIMP模型，结合密度过滤方法，构 建以托臂结构的总体积为目标，以结构的应力为约束的拓扑优化模型：

s.t.Ku＝f

σ_j,VM≤σ_lim,j＝1,2,…,N

0＜d_min≤d_i≤1,i＝1,2,…,N

式中，V为优化过程中桥架托臂结构的总体积，d＝(d₁,d₂,…,d_i,…,d_N)为优化问题的 设计变量，N为优化区域划分的单元总数，V_i为第i个单元的实体体积(单元完全实心时的体积)，ρ_i为第i个单元的伪密度；K为总体刚度矩阵，可由单元刚度矩阵组装而 成，u和f为总体位移列向量和载荷列向量；σ_j,VM为单元j中心点的Von-Mises应力，σ_lim为材料的许用应力；d_min＝0.01为单元设计变量下限，这是为了防止总体刚度矩阵奇异。

第i个单元的伪密度ρ_i可由设计变量d＝(d₁,d₂,…,d_N)通过密度过滤得到，如下式：

其中，Θ_i为所有与单元i距离小于或等于r₀(过滤半径)的单元，r_j是单元j与单 元i的中心点的距离。

第i个单元的弹性模量可以根据SIMP模型得到，如下式：

式中，E₀为实心材料的弹性模量。

步骤二：首先根据有限元结算得到的单元结点位移结果以及相应的位移形函数和应 变矩阵可以得到单元中心点各个方向的应力，如下式：

其中σ_j＝(σ_j,x,σ_j,y,σ_j,z,τ_j,xy,τ_j,yz,τ_j,xz)^T为单元j中心点的应力列向量，D₀为单元完全 实心时的弹性矩阵，B为应变矩阵，u_j为单元j对应的结点位移向量。

为单元完全实心时应力列向量。

由应力分量可以得到单元j中心点的Von-Mises应力，如下式：

式中，

为单元完全实心时的Von-Mises应力。运用ε-松弛方法来计算单元j中心点的应力约束函数，如下式：

式中，ε为一小量，一般取为

将上式进行整理，可以得到：

采用ε-松弛法的应力约束下拓扑优化模型为：

s.t.Ku＝f

0＜d_min≤d_i≤1,i＝1,2,…,N

步骤三：采用应力影响函数对单元j的应力约束函数进行处理，得到单元应力影响函数，将单元应力影响函数与单元体积相乘得到单元应力约束混合函数，将所有单元应 力约束混合函数相加作为目标函数，得到如下的应力约束拓扑优化模型：

s.t.Ku＝f

0＜d_min≤d_i≤1,i＝1,2,…,N

式中，γ(·)为应力影响函数。为了更好地控制结构的应力，应力影响函数选取如下：

式中，α和P为应力影响函数的控制参数。这里选为α＝1.08,P＝10。值得注意的是，在应力影响函数的选取过程中，对单元应力约束函数小于零的情况进行了剔除，这是因 为单元应力约束函数值为负值时，进行幂运算后变为正值，从而与实际的单元应力约束 函数不相符合。

步骤四：计算优化问题目标函数对设计变量的灵敏度。首先基于伴随向量法，计算优化问题目标函数对单元伪密度的灵敏度，进一步，结合复合函数求导法则，得到目标 函数对设计变量的灵敏度。

目标函数对单元j伪密度的灵敏度求解如下式：

将应力影响函数代入上式，可以得到：

化简，可得：

令

则上式可化简为：

进一步化简可得：

上式右端前面两项可以直接求出，第三项需要运用伴随方法进行求解。令：

其中：

而

计算如下：

而

可计算如下：

则第三项可以求解如下：

代入，则

可计算如下：

根据复合函数求导法则，则

可以求解为：

至此完成了优化问题目标函数对设计变量的灵敏度求解计算。

步骤五：将得到的目标函数值及其相应的灵敏度信息作为MMA算法的输入条件，对设计变量进行更新，考虑到应力约束强非线性的特点，对MMA算法中的移动限添加 额外的约束，即移动限小于等于0.02。

步骤六：重复步骤三到步骤五，对设计变量进行多次更新，直至满足相应的收敛条件，得到最终的优化结果。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图2所示的桥 架托臂结构进行拓扑优化设计。图2(a)为优化设计域的几何模型，图2(b)为优化设计 域的有限元模型。设计域的上下端采用固支约束，在支撑部分的上边加上一个向上的载荷 F＝3000N。材料的弹性模量为E₀＝70GPa，泊松比为ν＝0.3。单元尺寸为1.25mm×1.25mm， 整个设计域被划分为11328个单元，11633个结点。分别给定不同的材料许用应力进行拓扑 优化设计，许用应力被设置为σ_lim＝540,630and720MPa。图3为最终的优化设计构型，其 中，图3(a)为许用应力为σ_lim＝540MPa时的优化结果，图3(b)为许用应力为σ_lim＝630MPa 时的优化结果，图3(c)为许用应力为σ_lim＝720MPa时的优化结果。图4为优化过程中结 构体积的迭代历程曲线，其中图4(a)为许用应力为σ_lim＝540MPa时的优化迭代历程曲线， 图4(b)为许用应力为σ_lim＝630MPa时的优化迭代历程曲线，图4(c)为许用应力为 σ_lim＝720MPa时的优化迭代历程曲线。表1为拓扑优化结果列表。从优化结果可以看出， 本发明所提出的一种应力约束下的托臂结构拓扑优化方法在不同的材料许用应力情况下能 够有效地控制结构的最大应力，并且随着材料许用应力的增大，最终的优化结果的构型越来 越细，体积分数越来越低。

表1实施例优化结果

材料许用应力	结构体积分数	最大单元应力约束函数值
			σ<sub>lim</sub>＝480MPa	0.2452	1.0516
σ<sub>lim</sub>＝630MPa	0.2158	1.0395
			σ<sub>lim</sub>＝720MPa	0.1953	1.0301

本发明提出了一种应力约束下的托臂结构拓扑优化方法。该方法首先建立了以桥架 托臂结构重量作为优化目标，以结构应力作为约束的托臂结构拓扑优化模型；然后采用密度过滤方法由优化设计变量得到单元密度变量，并进行有限元计算得到单元中心点的Von-Mises应力；运用ε-松弛法得到单元中心点的应力约束函数，并运用应力影响函数 对单元应力约束函数进行处理，并与单元体积相乘得到单元应力约束混合函数；将所有 单元应力约束混合函数相加作为优化问题的目标函数，构造一种全新的考虑应力约束的 托臂结构拓扑优化模型；运用伴随向量法和复合函数求导法则计算目标函数对设计变量 的灵敏度；最后运用MMA算法进行设计变量的更新迭代计算，直至满足相应的收敛性 条件，得到最终的优化设计方案。

图5是本发明应用对象桥架托臂结构的工程实物图，应用与桥梁工程以及汽车制造工 程中，通过利用本发明的优化方法，提高了结构的性能，减少了使用材料，降低了重量。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用 于位移-应力约束下的托臂结构拓扑优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成 的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (1)

1.一种应力约束下的桥架托臂结构拓扑优化方法，其特征在于，实现步骤如下：

步骤(1)，基于SIMP模型，结合密度过滤方法，构建以桥架托臂结构的总体积为目标，以桥架托臂结构的应力为约束的拓扑优化模型：

s.t.Ku＝f

σ_j,VM≤σ_lim,j＝1,2,…,N

0＜d_min≤d_i≤1,i＝1,2,…,N

式中，V为优化过程中桥架托臂结构的总体积，其中d＝d₁,d₂,…,d_i,…,d_N，为优化问题的设计变量，N为优化区域划分的单元总数，V_i为第i个单元的实体体积，其是单元完全实心时的体积，ρ_i为第i个单元的伪密度，由设计变量d通过密度过滤得到；K为总体刚度矩阵，由单元刚度矩阵组装而成，而单元刚度矩阵由固体各向同性材料惩罚模型(SIMP)模型得到，u和f为总体位移列向量和载荷列向量；σ_j,VM为单元j中心点的Von-Mises应力，σ_lim为材料的许用应力；d_min＝0.01为单元设计变量下限，其是为了防止总体刚度矩阵奇异；

步骤(2)，为了处理拓扑优化中应力约束的奇异性问题，运用ε-松弛方法来计算单元中心点的应力约束函数，处理后的应力约束下拓扑优化模型为：

s.t.Ku＝f

0＜d_min≤d_i≤1,i＝1,2,…,N

式中，ε为一预定值，取为

步骤(3)，采用应力影响函数方法对单元应力约束函数进行处理，并与单元体积相乘得到单元应力约束混合函数，将所有单元应力约束混合函数相加作为目标函数，得到如下的应力约束拓扑优化模型：

s.t.Ku＝f

0＜d_min≤d_i≤1,i＝1,2,…,N

式中，α和P为应力影响函数的控制参数，α＝1.08,P＝10；

步骤(4)，基于伴随向量法，计算优化问题目标函数对单元伪密度的灵敏度，结合复合函数求导法则，得到目标函数对设计变量的灵敏度；

步骤(5)，将得到的目标函数值及其相应的灵敏度信息作为移动渐进算法(MMA)的输入条件，对设计变量进行更新，考虑到应力约束强非线性的特点，对MMA算法中的移动限添加额外的约束，即movelimit≤0.02；

步骤(6)，重复步骤(3)到步骤(5)，对设计变量进行多次更新，直至满足相应的收敛条件，得到优化后的桥架托臂结构有限元模型单元的伪密度分布，进一步得到优化后的托臂结构有限元模型，为桥架托臂结构的设计提供重要的参考；

所述步骤(3)中运用应力影响函数对单元应力约束函数进行处理，并与单元体积相乘，得到单元应力约束混合函数，将单元应力约束混合相加作为应力约束拓扑优化问题的目标函数，构造新的应力约束拓扑优化问题模型，在应力影响函数中，对单元应力约束函数值小于零的情况进行处理，并选取应力影响函数控制参数，能有效控制桥梁托臂结构的最大应力，并实现有效减重。

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