CN112100774A - 一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法，基于变密度法及SIMP材料插值模型，利用有限元方法计算结构的应变能和单元的米塞斯应力，以结构体积最小作为目标函数，以结构整体应变能为约束，并以P范数方法将结构的单元应力凝聚成一个全局应力约束，构建了包含应力和应变能双约束的拓扑优化模型，计算了目标函数及约束函数相对于设计变量的灵敏度，利用移动渐近线法求解了拓扑优化问题，反复迭代直至满足收敛条件，得到最优拓扑结构，本发明利用应力和应变能双约束拓扑优化方法进行结构的拓扑优化，避免了传统拓扑优化方法所得的拓扑结构无法满足强度或刚度条件的问题，拓扑优化获得的拓扑结构满足预设的结构静强度和刚度条件。

Description

一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法

技术领域

本发明涉及机械结构拓扑优化领域，具体为一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法。

背景技术

随着科学技术和生产力的日益发展，结构优化设计研究变得越来越重要，其中，拓扑优化作为机械结构优化设计方法的一种，一般用于结构设计的概念设计阶段，相对于尺寸优化设计和尺寸优化设计，拓扑优化对优化目标的影响更大，具有更大的经济效益，目前被广泛应用于航空工程、汽车工业等领域。

在拓扑优化中设定不同的优化目标函数和约束函数，可以得到不同的优化结果，目前大部分的拓扑优化都是以结构刚度为目标函数，以体积为约束函数来获得拓扑优化结构，然而，从实际工程实际考虑，仅满足刚度条件的结构可能无法满足强度条件，而且施加体积约束需要预先设定优化后体积值，然而这一数值在拓扑优化前也不是先验的。

故为使拓扑优化获得的拓扑结构更加适用于实际工程，需要有一种同时满足刚度和强度条件的拓扑优化方法。

发明内容

本发明的目的在于是，为使拓扑优化所获得的设计结果能同时满足刚度和强度条件，具有更强的工程适用性，提出了一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法。

实现本发明的技术方案如下，一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法，用于满足结构的强度和刚度要求，优化模型以结构体积最小化为目标，以结构应变能和全局应力为约束条件，实现步骤如下：

(一)在变密度法的基础下，以每个单元的相对密度为设计变量，定义结构设计空间、作用的载荷、边界条件，设定设计变量的过滤半径、结构应变能约束值、应力约束值，将初始设空间划分成n个有限单元，以结构体积为优化目标函数，并以结构应变能和应力作为约束函数，建立拓扑优化模型；

(二)采用SIMP插值模型获得每个有限单元的刚度矩阵，在给定边界条件和外载荷的作用下对结构进行有限元分析，获得结构的位移场；

(三)累加每个单元的相对密度值，得到目标函数——结构体积的函数值，根据结构的位移场和单元刚度矩阵，求出每个单元的应变能以及每个单元的应力向量，累加每个单元的应变能，得出结构的总应变能，根据每个单元的应力向量算出单元的米塞斯应力值，并采用松弛法对单元米塞斯应力值进行处理，利用P范数作为最大近似函数将对应于每个单元的局部应力约束凝聚成一个全局应力约束；

(四)求解目标函数的灵敏度，以及全局应力约束和结构应变能约束对于设计变量的灵敏度；(五)采用灵敏度过滤技术修改目标函数以及约束函数的灵敏度，将得到的目标函数和约束函数的函数值及其对于设计变量的灵敏度信息作为移动渐近线算法(MMA)的输入条件，对优化问题进行求解计算，更新设计变量；

(六)判断优化收敛条件是否满足，若不满足则转至步骤(二)，并再依次继续进行计算，若满足，则终止拓扑优化进程，获得满足应力和应变能双约束的拓扑优化模型。

所述的拓扑优化模型为：

其中X为由n个设计变量x_i组成的向量，n为结构设计空间内的单元数，C为结构应变能，F为结构外载荷向量，U为结构位移向量。K是结构的整体刚度矩阵，u_i为单元位移向量，k₀为实体单元刚度矩阵，v_i为一个有限单元体积，此处设为1,其中

为应力约束值，为材料的屈服极限，

为应力约束值，C_L为结构应变能约束值。

所述的SIMP插值模型：

E(x_i)＝E_min+x_i ^p(E₀-E_min) (2)

式中，E(x_i)为单元i的杨氏模量，x_i为单元i的相对密度，E₀为实体部分材料的杨氏模量，E_min为空洞区域材料的杨氏模量，此处取为0.001，p是惩罚因子，此处p＝3,。

所述的应力松弛法为：

其中σ_q ⁱ为应力松弛后的应力值，x_i为设计变量，q为松弛系数，取为0.5。

所述的单元i的等效米塞斯应力

为：

其中M为一个辅助矩阵，如下所示：

所述的单元应力向量σ_i由下式求得：

σ_i＝DBu_i (6)

其中D为材料的弹性矩阵，B为应变位移矩阵。

所述的作为最大近似函数的P范数为：

其中P为P范数的系数，此处取为6，σ_PN为凝聚后的P范数应力。

所述的目标函数结构体积的灵敏度为：

所述的关于结构应变能约束的灵敏度为：

所述的全局应力约束的灵敏度为：

其中λ_i ^T为伴随向量，由如下伴随方程求得：

所述判断优化收敛条件为：

|V(X)ⁿ-V(X)^n-1|≤0.001 (12)

其中，V(X)ⁿ为第n次迭代后的结构总体积，V(X)^n-1为第n-1次迭代后的结构总体积。

本发明与现有优化方法相比，本发明一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法由如下有益效果：

(1)本发明在结构的拓扑优化过程中同时考虑结构的刚度和强度条件，在能够在保证结构安全性的前提下，最大限度地对结构进行减重设计，也有更强的工程适用性；

(2)利用应力松弛技术来避免应力奇异现象，P范数将设计空间内所有单元的局部应力凝聚成一个全局应力进行约束，在保证计算精度的情况下极大的节约了计算时间，提高了优化效率；

(3)本发明采用拓扑优化领域广泛采用的移动渐近线法(MMA)进行优化求解计算，有利于后期拓展并推广，适用范围广泛。

附图说明

图1是本发明一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法的流程示意图。

图2是本发明的实例一短悬臂梁的初始模型、边界条件与作用载荷示意图。

图3是基于本发明获得的短悬臂梁的拓扑结构示意图。

图4是基于本发明获得的短悬臂梁的拓扑结构的应力分布图。

图5是基于本发明的优化过程中结构应变能的迭代曲线。

具体实施方式

以下结合附图及实例，对本发明进行进一步详细说明，应当理解，此处所描述的具体实例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1所示，本发明的基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法，包括步骤如下：

(一)在变密度法的基础下，以每个单元的相对密度为设计变量，定义结构设计空间、作用的载荷、边界条件，设定设计变量的过滤半径、结构应变能约束值、应力约束值，将初始设空间划分成n个有限单元，以结构体积为优化目标函数，并以结构应变能和应力作为约束函数，建立拓扑优化模型；

所述的基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化模型为：

其中X为由n个设计变量x_i组成的向量，n为结构设计空间内的单元数，C为结构应变能，F为结构外载荷向量，U为结构位移向量，K是结构的整体刚度矩阵，u_i为单元位移向量，k₀为实体单元刚度矩阵，v_i为一个有限单元体积，此处设为1，

为应力约束值，C_L为结构应变能约束值。

(二)采用SIMP插值模型获得每个有限单元的刚度矩阵，在图2所示的边界条件和外载荷的条件下对结构进行有限元分析，获得结构的位移场；

所述的SIMP插值模型：

E(x_i)＝E_min+x_i ^p(E₀-E_min) (2)

式中，E(x_i)为单元i的杨氏模量，x_i为单元i的相对密度，E₀为实体部分材料的杨氏模量，E_min为空洞区域材料的杨氏模量，此处取为0.001，p是惩罚因子，此处p＝3。

(三)累加每个单元的相对密度值，得到目标函数——结构体积的函数值，根据结构的位移场和单元刚度矩阵，求出每个单元的应变能以及每个单元的应力向量，累加每个单元的应变能，得出结构的总应变能：根据每个单元的应力向量算出单元的米塞斯应力值，并采用松弛法对单元米塞斯应力值进行处理，利用P范数作为最大近似函数将对应于每个单元的局部应力约束凝聚成一个全局应力约束；

所述的应力松弛法为：

其中σ_q ⁱ为应力松弛后的应力值，x_i为设计变量，q为松弛系数，取为0.5。

所述的单元i的等效米塞斯应力

为：

其中M为一个辅助矩阵，如下所示：

所述的单元应力向量σ_i由下式求得：

σ_i＝DBu_i (6)

其中D为材料的弹性矩阵，B为应变位移矩阵。

所述的作为最大近似函数的P范数为：

其中P为P范数的系数，此处取为6，σ_PN为凝聚后的P范数应力。

(四)求解目标函数的灵敏度，以及全局应力约束和结构应变能约束对于设计变量的灵敏度；

所述的目标函数结构体积的灵敏度为：

所述的关于应变能约束的灵敏度为：

所述的应力约束的灵敏度为：

其中λ_i ^T为伴随向量，由如下伴随方程求得：

(五)采用灵敏度过滤技术修改目标函数以及约束函数的灵敏度，将得到的目标函数和约束函数的函数值及其对于设计变量的灵敏度信息作为移动渐近线算法(MMA)的输入条件，对优化问题进行求解计算，更新设计变量；

(六)判断优化收敛条件是否满足，若不满足则转至步骤(二)，并再依次继续进行计算，若满足，则终止拓扑优化进程，获得满足应力和应变能双约束的拓扑优化模型。

所述判断优化收敛条件为：

|V(X)ⁿ-V(X)^n-1|≤0.001 (12)

其中，V(X)ⁿ为第n次迭代后的结构总体积，V(X)^n-1为第n-1次迭代后的结构总体积。

参照图2-图5，以一个二维的短悬臂梁为实例，进而对本发明做进一步说明。短悬臂梁的设计空间、边界条件如图2所示，设计空间尺寸为60mm*20mm，作用载荷为150N，施加在右端中点处，材料的许用应力为280MPa，弹性模量为70GPa，泊松比μ为0.3，结构应变能约束值为60N·mm²。将短悬臂梁的设计空间离散成1200个四节点单元，设计变量灵敏度的过滤半径设为1.5。

图3为短悬臂梁的拓扑结构示意图，图中的白色区域和黑色区域分布表示空洞和实体材料，图4短悬臂梁的拓扑结构的应力分布图，由短悬臂梁的应力分布图可知本拓扑结构很好地满足了应力约束，使得结构满足强度条件，图5为短悬臂梁的结构应变能的迭代曲线，最终使得结构满足刚度条件。

本发明提供的一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法中，基于变密度法及SIMP材料插值模型，利用有限元方法计算结构的应变能和单元的米塞斯应力，以结构体积最小作为目标函数，以结构整体应变能为约束，并以P范数方法将结构的单元应力凝聚成一个全局应力约束，构建了包含应力和应变能双约束的拓扑优化模型，计算了目标函数及约束函数相对于设计变量的灵敏度，利用移动渐近线法求解了拓扑优化问题，反复迭代直至满足收敛条件，最终得到满足预设强度及刚度条件的最优拓扑结构。

在本发明的描述中，需要理解的是，术语“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。

Claims (7)

1.一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法，其特征在于，所述方法包括下述步骤：

(一)在变密度法的基础下，以每个单元的相对密度为设计变量，定义结构设计空间、作用的载荷、边界条件，设定设计变量的过滤半径、结构应变能约束值、应力约束值，将初始设空间划分成n个有限单元，以结构体积为优化目标函数，并以应力和结构应变能作为约束函数，建立拓扑优化模型；

(二)采用SIMP插值模型获得每个有限单元的刚度矩阵，在给定边界条件和外载荷的作用下对结构进行有限元分析，获得结构的位移场；

(三)累加每个单元的相对密度值，得到目标函数——结构体积的函数值，根据结构的位移场和单元刚度矩阵，求出每个单元的应变能以及每个单元的应力向量，累加每个单元的应变能，得到结构的总应变能，根据每个单元的应力向量算出单元的米塞斯应力值，并采用松弛法对单元米塞斯应力值进行处理，利用P范数作为最大近似函数将对应于每个单元的局部应力约束凝聚成一个全局应力约束；

(四)求解目标函数的灵敏度，以及全局应力约束和结构应变能约束对于设计变量的灵敏度；

(五)采用灵敏度过滤技术修改目标函数以及约束函数的灵敏度，将得到的目标函数和约束函数的函数值及其对于设计变量的灵敏度信息作为移动渐近线算法(MMA)的输入条件，对优化问题进行求解计算，更新设计变量；

(六)判断优化收敛条件是否满足，若不满足则转至步骤(二)，并再依次继续进行计算，若满足，则终止拓扑优化进程，获得满足应力和应变能双约束的拓扑优化模型。

2.根据权利要求1所述的一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法，其特征在于，所述的拓扑优化模型为：

其中X为由n个设计变量x_i组成的向量，n为结构设计空间内的单元数；C为结构应变能，F为结构外载荷向量，U为结构位移向量；K是结构的整体刚度矩阵，u_i为单元位移向量，k₀为实体单元刚度矩阵，v_i为一个有限单元体积，此处设为1，

为应力约束值，C_L为结构应变能约束值。

3.根据权利要求1所述的一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法，其特征在于，所述的SIMP插值模型：

E(x_i)＝E_min+x_i ^p(E₀-E_min)

式中，E(x_i)为单元i的杨氏模量，x_i为单元i的相对密度，E₀为实体部分材料的杨氏模量，E_min为空洞区域材料的杨氏模量，此处取为0.001，p是惩罚因子，此处p＝3。

4.根据权利要求1所述的一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法，其特征在于，所述的应力松弛法为：

其中σ_q ⁱ为应力松弛后的应力值，x_i为设计变量，q为松弛系数，取为0.5；

所述的单元i的等效米塞斯应力

为，

其中M为一个辅助矩阵，如下所示：

所述的单元应力向量σ_i由下式求得，

σ_i＝DBu_i

其中D为材料的弹性矩阵，B为应变位移矩阵。

5.根据权利要求1所述的一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法，其特征在于，所述的作为最大近似函数的P范数为：

其中P为P范数的系数，此处取为6，σ_PN为凝聚后的P范数应力。

6.根据权利要求1所述的一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法，其特征在于，所述的目标函数结构体积的灵敏度为：

所述的关于结构应变能约束的灵敏度为：

所述的全局应力约束的灵敏度为：

其中λ_i ^T为伴随向量，由如下伴随方程求得，

将伴随变量回代可得应力约束的灵敏度值。

7.根据权利要求1所述的一种基于变密度法的应力和应变能双约束的拓扑优化方法，其特征在于，所述判断优化收敛条件为：

|V(X)ⁿ-V(X)^n-1|≤0.001

其中，V(X)ⁿ为第n次迭代后的结构总体积，V(X)^n-1为第n-1次迭代后的结构总体积。

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