CN109508495A - 一种基于k-s函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法 - Google Patents

一种基于k-s函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法 Download PDF

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Abstract

一种基于K‑S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法，所述方法包括：（1）定义设计域，初始化设计变量；（2）对结构单元的刚度进行惩罚，进行有限元求解，获得结构的位移及应力；（3）采用K‑S函数将所有单元的局部应力约束凝聚化一个全局的最大应力约束；（4）求解互应变能目标函数的灵敏度、体积及最大应力约束的灵敏度；（5）将灵敏度过滤技术修改灵敏度；（6）将移动渐近线算法求解优化问题，反复迭代至到满足收敛准则，获得最优拓扑构型。本发明利用K‑S函数将所有单元的应力引起的巨大约束数目凝聚成一个全局约束，大大提高了计算效率。本发明拓扑优化方法使柔顺机构构型避免类铰链结构，满足强度要求，且缓解应力集中现象。

Description

一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法
技术领域
本发明涉及一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法，属柔顺机构优化设计相关技术领域。
背景技术
柔顺机构利用自身柔性元件的弹性变形传递运动、力或能量的一种机构，具有易于加工、免装配、振动噪音小、无摩擦无需润滑、易集成现代驱动技术等优良特性，使得它在微/纳制造、精密加工、精密定位、微机电系统等领域中具有广泛应用。
目前，柔顺机构设计主要有两种方法：伪刚体模型法及拓扑优化方法。采用伪刚体模型处理柔顺机构的设计问题时需要从一个已知的机构出发，因而会给设计带来很大困难。拓扑优化方法只需给定设计域和指定输入输出位置，所得的柔顺机构具有优化的输入输出关系。然而，采用拓扑优化方法获得柔顺机构拓扑构型容易出现类铰链结构，导致制造加工困难，并且机构的疲劳性能大大降低。
柔顺机构拓扑优化模型包含机构的柔度和刚度的指标，目前主要采用互应变能和应变能表征机构的柔度和刚度，但是采用互应变能最大化满足柔度最大及应变能最小化满足刚度的柔顺机构拓扑优化模型，获得柔顺机构最大应力通常超过材料的屈服极限值。
为了满足静强度要求，采用应力约束进行柔顺机构拓扑优化设计。目前，针对柔顺机构，满足强度要求进行局部应力拓扑优化设计，容易引起奇异解现象及高度非线性行为问题，并且以所有单元的应力作为约束，引起的约束数目是巨大，导致计算量巨大，效率低。
发明内容
本发明的目的是，为了实现以互应变能最大化作为目标函数，以体积和最大应力作为约束柔顺机构拓扑优化设计问题，提出一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法。
实现本发明的技术方案如下，一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法，用于满足静强度要求的柔顺机构构型优化设计，优化模型以互应变能最大化作为目标，以全局应力和体积作为约束。
所述方法步骤如下：
(a)定义柔顺机构设计域、作用载荷、虚拟载荷、边界条件，设置输入、输出弹簧刚度、设计变量过滤半径、体积约束、应力约束极限值，将初始设计域离散成N个有限单元，并且初始化移动渐近线算法的参数.
(b)采用改进的SIMP插值模型对每个单元的刚度进行惩罚，在第一工况和第二工况作用下进行结构有限分析，获得结构的位移场。
(c)由结构的位移求解单元的应力矢量，进一步求解单元的Von Mises应力，采用应力松弛方法对每个单元的应力进行惩罚，利用K-S最大近似函数将所有单元的局部应力约束凝聚化成一个全局的应力约束，采用自适应约束缩放策略修正K-S应力，使其更加接近最大应力。
(d)由基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化模型求解互应变能目标函数的灵敏度、体积及最大应力约束的灵敏度。
(e)将灵敏度过滤技术修改目标函数及约束的灵敏度，运用移动渐近线算法更新设计变量。
(f)判断优化收敛条件是否满足，若不满足，转至步骤(b)；若满足，拓扑优化过程结束，获得基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化模型。
所述的改进的SIMP材料插值模型为：
式中，E表示单元i的弹性模量，ρi为单元的密度，Emin是空洞材料的弹性模量，E0是实体材料的弹性模量，q是惩罚系数，取值为3。
所述的单元的应力矢量为：
σi＝DBui (2)
式中，σi为实体单元i的应力，D为实体材料的本构矩阵，B为应变位移矩阵，ui为单元i的位移矢量。
所述的单元的等效Von Mises应力为：
其中，V为辅助矩阵
所述的应力松弛方法为：
其中，k为松弛系数，取0.5，为单元的Von Mises应力。
所述的K-S最大近似函数为：
式中，σi为松弛处理后的单元应力，P为K-S函数的参数，N为有限单元的数目，e为自然对数的底数。
所述的自适应约束缩放策略为：
式中，cn为自适应约束缩放系数，n为当前的迭代步数，ψn为控制参数，和分别为前一迭代步的最大应力和K-S应力。
所述基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化模型为：
s.t.σmax≈cσks≤σ*
F＝KU
V≤f*V0
0≤ρi≤1,i＝1,2,...,N (8)
式中，MSE为柔顺机构的互应变能，为输出位移方向作用的虚拟单位载荷，为虚拟载荷作用产生的节点位移矢量，F为输入端作用载荷矢量，U为输入端作用载荷矢量，K为结构的总装刚度矩阵，σmax为最大的单元Von Mises应力，σ*为允许的应力约束极限值，V0和V分别为优化前和优化后的结构的体积，f*为允许的结构体积份数。
所述的目标函数的灵敏度为
所述的体积约束的灵敏度为
其中，v0为实体材料单元的体积。
所述的最大应力的灵敏度为
其中，λ为伴随矢量，K0为实体材料单元的刚度矩阵。
λ由下列方程求得
所述的判断优化收敛条件为
||ρn-ρn-1||≤0.001 (14)
式中，ρn为第n次迭代的单元密度向量，ρn-1为第n-1次迭代的单元密度向量。
本发明的技术方案与现有技术相比，本发明一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法具有以下有益效果：
(1)将应力松弛方法对每个单元的应力进行惩罚，能够有效地避免柔顺机构应力约束拓扑出现的奇异解现象。
(2)将K-S函数将所有单元局部应力引起的巨大约束数目凝聚成一个全局约束，克服了单元应力引起的巨大约束数目而导致的应力约束的局部性，保持计算精度的同时大大的减少计算。
(3)采用基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化设计方法获得柔顺机构能够避免出现类铰链结构，满足材料的强度要求，使得静强度要求得到满足，并且柔顺机构的应力集中现象得到缓解。
附图说明
图1是本发明一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法的基本流程图；
图2(a)和图2(b)表示按照本发明构思的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法中分别求解柔顺机构外载荷和虚拟载荷作用下的两种工况示意图，其中图2(a)为外载荷作用，即第一工况，图2(b)为虚拟载荷作用，即第二工况；
图3是用于示范性显示位移反向器的载荷与边界条件的示意图；
图4是基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法获得的柔顺反向器拓扑结构；
图5是柔顺反向器的应力分布图。
具体实施方式
以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
如图1所示，本发明的基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法，包括步骤如下：
(a)定义柔顺机构设计域、作用载荷、虚拟载荷、边界条件，设置输入、输出弹簧刚度、设计变量过滤半径、体积约束、应力约束极限值，将初始设计域离散成N个有限单元，并且初始化移动渐近线算法的参数；
(b)采用改进的SIMP材料插值方法对每个单元的刚度进行惩罚，在图2工况1、2作用下进行结构有限分析，获得结构的位移场；
改进的SIMP材料插值方法为
式中，E表示单元i的弹性模量，ρi为单元的密度，Emin是空洞材料的弹性模量，E0是实体材料的弹性模量，q是惩罚系数，取值为3。
(c)由结构的位移求解单元的应力矢量，进一步求解单元的Von Mises应力，采用应力松弛方法对每个单元的应力进行惩罚，利用K-S最大近似函数将所有单元的局部应力约束凝聚化成一个全局的应力约束，采用自适应约束缩放策略修正K-S应力，使其更加接近最大应力；
单元的应力矢量
σi＝DBui (2)
式中，σi为实体单元i的应力，D为实体材料的本构矩阵，B为应变位移矩阵，ui为单元i的位移矢量。
单元的等效Von Mises应力为
其中，V为辅助矩阵
应力松弛方法为
其中，k为松弛系数，取0.5，为单元的Von Mises应力。
式中，σi为松弛处理后的单元应力，P为K-S函数的参数，N为有限单元的数目，e为自然对数的底数。
自适应约束缩放策略为：
式中，cn为自适应约束缩放系数，n为当前的迭代步数，ψn为控制参数，和分别为前一迭代步的最大应力和K-S应力。
(d)由基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化模型求解互应变能目标函数及最大应力及体积约束，利用伴随矩阵技术进行目标函数及约束的灵敏度求解；
基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化模型为：
s.t.σmax≈cσks≤σ*
F＝KU
V≤f*V0
0≤ρi≤1,i＝1,2,...,N (8)
式中，MSE为柔顺机构的互应变能，为输出位移方向作用的虚拟单位载荷，为虚拟载荷作用产生的节点位移矢量，F为输入端作用载荷矢量，U为输入端作用载荷矢量，K为结构的总装刚度矩阵，σmax为最大的单元Von Mises应力，σ*为允许的应力约束极限值，V0和V分别为优化前和优化后的结构的体积，f*为允许的结构体积份数。
目标函数的灵敏度为：
体积约束的灵敏度为：
其中，v0为实体材料单元的体积。
最大应力的灵敏度为：
其中，λ为伴随矢量，K0为实体材料单元的刚度矩阵。
λ由下列方程求得：
(e)将灵敏度过滤技术修改目标函数及约束的灵敏度，运用移动渐近线算法更新设计变量；
(g)判断优化收敛条件是否满足，若不满足，转至下一步骤(b)；若满足，拓扑优化过程结束，获得最优的柔顺机构拓扑构型。
判断优化收敛条件为：
||ρn-ρn-1||≤0.001 (14)
式中，ρn为第n次迭代的单元密度向量，ρn-1为第n-1次迭代的单元密度向量。
参照图3-图5，以二维柔顺反向器为例说明本发明。图3为柔顺反向器的设计及显示位移反向器的载荷与边界条件的示意图，设计域尺寸为80mm×80mm，左端上、下端固定，作用载荷F的大小为1N，施加在左端中点，输出端为右端中点。输入弹簧刚度kin和输出弹簧刚度kout分别为5×10-3N/mm和5.5×10-3N/mm，设计域离散成6400个四节点平面应力单元，允许的体积比f*为0.24。实体材料的弹性模量E0为1MPa，空洞材料的弹性模型Emin为10-9E0，泊松比μ为0.3，参数P取为8，应力约束极限值为3.2MPa。
图4和图5分别为柔顺反向器的拓扑结构及其对应的应力分布图，可见柔顺机构避免单节点铰链结果，结构静强度满足要求，应力集中现象得到缓解。
本发明提供的基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法中，采用改进的SIMP材料插值模型描述机构构型的材料分布，以柔顺机构的互应变能最大化作为目标函数满足机构运动要求，采用K-S函数方法将所有单元的局部应力约束凝聚化成一个全局的应力约束，采用自适应约束缩放策略使得全局应力更加接近最大应力，以最大应力及体积作为约束，构建基于全局应力约束的柔顺机构拓扑优化模型，采用伴随矩阵技术进行灵敏度求解，运用移动渐近线算法求解优化问题，反复迭代至到满足收敛准则，获得满足静强度要求的最优拓扑构型。利用K-S函数方法将局部的物理量引起的巨大约束数目凝聚成一个全局约束，大大提高计算效率，拓扑优化获得柔顺机构构型避免类铰链结构，结构静强度要求得到满足，并且应力分布更加均匀。

Claims (9)

1.一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：
(a)定义柔顺机构设计域、作用载荷、虚拟载荷、边界条件，设置输入、输出弹簧刚度、设计变量过滤半径、体积约束、应力约束极限值，将初始设计域离散成N个有限单元，并且初始化移动渐近线算法的参数；
(b)采用改进的SIMP插值模型对每个单元的刚度进行惩罚，在第一工况和第二工况作用下进行结构有限分析，获得结构的位移场；
(c)由结构的位移求解单元的应力矢量，进一步求解单元的Von Mises应力，采用应力松弛方法对每个单元的应力进行惩罚，利用K-S最大近似函数将所有单元的局部应力约束凝聚化成一个全局的应力约束，采用自适应约束缩放策略修正K-S应力，使其更加接近最大应力；
(d)由基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化模型求解互应变能目标函数的灵敏度、体积及最大应力约束的灵敏度；
(e)将灵敏度过滤技术修改目标函数及约束的灵敏度，运用移动渐近线算法更新设计变量；
(g)判断优化收敛条件是否满足，若不满足，转至步骤(b)；若满足，拓扑优化过程结束，获得基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化模型。
2.根据权利要求1所述的一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法，其特征在于，所述改进的SIMP插值模型为：
式中，E表示单元i的弹性模量，ρi为单元的密度，Emin是空洞材料的弹性模量，E0是实体材料的弹性模量，q是惩罚系数，取值为3。
3.根据权利要求1所述的一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法，其特征在于，
所述应力松弛方法为：
其中，σi为松弛处理后的单元应力；k为松弛系数，取0.5；为单元的VonMises应力。
4.根据权利要求1所述的一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法，其特征在于，
所述K-S最大近似函数为：
式中，σks为K-S应力；σi为松弛处理后的单元应力；P为K-S函数的参数；N为有限单元的数目；e为自然对数的底数。
5.根据权利要求1所述的一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法，其特征在于，
所述自适应约束缩放策略为：
式中，cn为自适应约束缩放系数；n为当前的迭代步数；ψn为控制参数，和分别为前一迭代步的最大应力和K-S应力。
6.根据权利要求1所述的一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法，其特征在于，
所述基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化模型为：
s.t.σmax≈cσks≤σ*
F＝KU
V≤f*V0
0≤ρi≤1,i＝1,2,...,N
式中，MSE为柔顺机构的互应变能，为输出位移方向作用的虚拟单位载荷，为虚拟载荷作用产生的节点位移矢量，F为输入端作用载荷矢量，U为输入端作用载荷矢量，K为结构的总装刚度矩阵，σmax为最大的单元Von Mises应力，σ*为允许的应力约束极限值，V0和V分别为优化前和优化后的结构的体积，f*为允许的结构体积份数。
7.根据权利要求1所述的一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法，其特征在于，所述互应变能目标函数的灵敏度为：
8.根据权利要求1所述的一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法，其特征在于，
所述体积及最大应力约束的灵敏度为：
其中，v0为实体材料单元的体积；
最大应力的灵敏度为：
其中，λ为伴随矢量，K0为实体材料单元的刚度矩阵；ui为单元i的位移矢量；c为自适应约束缩放系数；
λ由下列方程求得
其中，B为应变位移矩阵；D为实体材料的本构矩阵；V为优化后的结构的体积。
9.根据权利要求1所述的一种基于K-S函数的柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法，其特征在于，所述判断优化收敛条件为：
||ρn-ρn-1||≤0.001
其中，ρn为第n次迭代的单元密度向量，ρn-1为第n-1次迭代的单元密度向量。
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