CN110414165B - 一种基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化方法，包括采用可分离应力插值模型计算多相材料结构的刚度和应力；以互应变能最大化作为目标函数，采用P范数求解结构的最大单元应力，以最大应力及各相材料结构体积份数作为约束，构建全局应力约束拓扑优化模型；采用伴随矩阵法求解灵敏度，采用移动渐近优化算法求解拓扑优化问题，更新迭代直至满足收敛准则，得到最优拓扑构型；本发明利用可分离应力插值模型进行多相材料柔顺机构全局应力约束拓扑优化，避免了传统材料插值模型无法准确描述多相材料结构的刚度和应力，拓扑优化获得的多相材料柔顺机构构型避免了类铰链结构，满足结构静强度要求，使应力集中现象得到缓解。

Description

一种基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化方法

技术领域

本发明涉及柔顺机构优化设计相关技术领域，特别是涉及一种基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化方法。

背景技术

柔顺机构是利用柔性构件本身的弹性变形产生运动，传递既定的力、运动和能量的一种新型免装配机构。与传统的刚性机构相比，它具有作为一种结构应有的刚度及稳定性，用以平衡工件的抵抗反力，同时有足够的柔性来获得既定的运动并传递一定的力。由于其易于加工、维护无需润滑、轻量化微型化、结构紧凑易集成等优良特性，使得柔顺机构在微/纳制造、微机电系统、生物医学工程、精密工程、航空工程以及机器人等领域中具有广泛应用。

目前，柔顺机构的设计方法可以分为两种：(1)伪刚体模型法：用铰链结构的刚性杆件代替柔顺机构的运动，在关节等部位通过弹簧模拟柔顺机构力-变形关系。(2)拓扑优化法：将设计域离散为有限单元，在给定的边界条件下，根据不同的优化算法删除部分单元，寻求最优结构材料分布，以达到机构的性能最优。采用伪刚体模型法，设计者须事先知道刚性机构模型，因而会给设计带来很大困难，且主要针对集中式柔顺机构进行综合设计，非相对均匀分布在整个机构，容易导致应力集中、疲劳可靠性差、强度低，而拓扑优化法只需给定设计域和指定输入输出位置，所得的柔顺机构具有优化的机械性能，且克服了伪刚体模型只适用于结构相对简单柔顺机构的局限性。

目前，常见的单相材料柔顺机构难以同时满足特定综合性能的需求，而采用多相材料进行柔顺机构拓扑优化设计，可以充分发挥材料特性满足其特定综合性能要求。

现有的多相材料柔顺机构优化设计方法难以控制多相材料柔顺机构的应力水平，拓扑优化获得的柔顺机构难以满足材料失效准则，并且容易出现应力集中现象，从而导致柔顺机构疲劳寿命降低。因此，目前急需一种处理多相材料柔顺机构拓扑优化方法，以解决上述问题。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化方法，以解决上述现有技术存在的问题，缓解应力集中现象，使柔顺机构具有足够柔性和强度。

为实现上述目的，本发明提供了如下方案：本发明提供一种基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化方法，包括如下步骤：

S1、定义柔顺机构设计域、约束边界条件、输入端、输出端、载荷大小，设置输入、输出端的虚拟弹簧刚度、单元密度过滤半径、各相材料的弹性模型及泊松比、各相材料体积约束、结构应力约束的极限值，将柔顺机构设计域离散为NE个4节点平面应力单元，并且初始化单元密度设计变量；

S2、采用可分离应力插值模型计算多相材料结构的刚度，所述可分离应力插值模型计算公式如下：

其中，k_e为第e个单元的单元刚度矩阵，

为单元e充满第i相材料的单元刚度矩阵的刚度矩阵，n₁和n₂均为惩罚因子，ρ为单元密度设计变量，ρ_e,i和ρ_e,j分别为单元e的对应于第i和j相材料的单元密度变量；

S3、工况一为机构的输入端施加实际载荷作用，工况二为机构的输出端施加虚拟单位载荷作用，通过对两种工况作用下结构进行有限元分析，来获得结构的节点位移响应；

根据结构的节点位移，采用可分离应力插值模型求解每个单元对应某相材料的von Mises应力，采用应力松弛方法对单元的von Mises应力进行放松处理，利用P范数将所有单元的局部应力约束凝聚化成一个全局的应力约束，采用自适应约束缩放法使得P范数应力更加接近最大应力；计算多相材料结构单元的应力σ_e,i的公式如下：

其中，σ_e,i为单元e对应于第i相材料的应力，k为应力松弛系数，取0.5，B为应变矩阵，u_e为e单元的位移矢量，

为第i相材料的弹性矩阵，所述第i相材料的弹性矩阵

如下：

其中，E_i为第i相材料的弹性模量，υ_i为第i相材料的泊松比；

采用改进的P范数最大近似函数求解对应于第i相材料的P范数应力

其中，σ_PN,i为对应于第i相材料的P范数应力，

为单元e对应于第i相材料的等效Von Mises应力，P为P范数的参数，NE为有限元单元的数目。

自适应约束缩策略为

其中，c_i为计算第i相材料结构最大应力的自适应约束缩放系数，α⁽ⁿ⁾为控制参数，

和

分别为第n-1次迭代步的第i相材料结构最大应力和P范数应力，α⁽ⁿ⁾和c⁽⁰⁾分别取为0.5和1；

S4、由基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化模型求解目标函数互应变能、最大应力及各相材料结构体积约束，利用伴随矩阵法求解目标函数互应变能、应力和体积约束的灵敏度；

目标函数互应变能的灵敏度为：

由于施加的外部载荷是固定不变的，载荷与单元密度变量无关，即荷载的灵敏度为0，通过外部荷载和虚拟荷载的平衡方程：KU＝F，

化简为：

体积约束的灵敏度为：

其中，v_0,i为实体单元的体积。

S5、采用灵敏度过滤方法修正目标函数及约束的灵敏度，利用移动渐近算法更新设计变量；

S6、判断优化算法收敛条件是否满足：若不满足，转至步骤S2；若满足，拓扑优化过程结束，获得满足静强度要求的多相材料柔顺机构拓扑构型。

优选的，基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化模型为：

s.t.σ_max,i＝c_iσ_PN,i≤σ_i ^*(i＝1,2,…,NM)

V_i≤f_i ^*V_i ⁰(i＝1,2,…,NM)

F＝KU

式中，MSE为柔顺机构的互应变能，σ_max,i是第i相材料结构的最大应力值，σ_i ^*是第i相材料的应力约束极限值，V_i为优化后的第i相材料总体积，V_i ⁰为优化前的第i相材料总体积，f^* _i为允许的第i中材料体积比，

为作用在柔顺机构输出端的虚拟载荷矢量，

为虚拟载荷矢量

作用产生的节点位移矢量，F为作用在柔顺机构输入端的载荷矢量，U为输入端载荷F作用产生的节点位移矢量，K为整体刚度矩阵，ρ_NE,NM为单元NE对于与第NM相材料的单元密度，0＜ρ_min≤ρ_NE,NM≤1,ρ_min为设计变量的最小值，以防止单元刚度矩阵奇异。

优选的，第i相材料结构的最大应力值约束的灵敏度为：

其中，σ_e,i为单元e对应于第i相材料的应力；

采用伴随矩阵法对最大应力约束进行灵敏度分析，有限元平衡方程求得：

由于荷载F与设计变量无关，因此有伴随方程

第i相材料结构的最大应力值约束σ_max,i的灵敏度求得

优选的，判断优化算法收敛条件为：迭代收敛条件为设置两次迭代设计变量的变化绝对值小于ξ

其中，

为第n次迭代的对应第1相材料的单元设计变量，

为第n-1次迭代对应第1相材料的单元设计变量，

为第n次迭代的对应第2相材料的单元设计变量，

为第n-1次迭代对应第2相材料的单元设计变量，ξ为很小的正数。

本发明公开了以下技术效果：本发明提供的一种考虑全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化方法中，采用用可分离应力插值模型(SSI)计算多相材料的刚度和应力，以互应变能最大化作为柔顺机构的目标函数，采用P范数方法将单元局部应力近似为一个全局化应力，以全局最大应力及各相材料体积份数作为约束，构建考虑全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化模型，并采用伴随矩阵法求解灵敏度，移动渐近优化算法求解拓扑优化问题，更新迭代直至满足收敛准则，得到最优拓扑构型。利用可分离应力插值模型计算多相材料结构的刚度和应力，进行多相材料柔顺机构全局应力约束拓扑优化设计，避免了传统插值模型无法准确计算多相材料的刚度和应力及难以控制多相材料的应力水平问题，拓扑优化获得的多相材料柔顺机构很好地满足各相材料的应力约束，使得满足强度失效准则，抑制了柔顺机构类铰链结构的存在，应力集中现象得到缓解，使柔顺机构具有足够的柔性和强度的需求。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明的流程示意图；

图2中图2a和图2b表示按照本发明构思的多相材料柔顺机构全局应力约束拓扑优化方法中分别求解柔顺机构实际工作载荷和虚拟载荷作用下的两种工况示意图，其中图2a为实际工作载荷作用，即工况一，图2b为虚拟载荷作用，即工况二；

图3为示范性显示柔顺夹持器设计域、作用载荷与边界条件的示意图；

图4为基于本发明获得的柔顺夹持器拓扑构型；

图5为本发明的多相材料柔顺夹持器的应力分布图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

参照图1-5，本发明提供一种基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化方法，包括如下步骤：

S1、定义柔顺机构设计域、约束边界条件、输入端、输出端、载荷大小，设置输入、输出端的虚拟弹簧刚度、单元密度过滤半径、各相材料的弹性模型及泊松比、各相材料体积约束、结构应力约束的极限值，将柔顺机构设计域离散为NE个4节点平面应力单元，并且初始化单元密度设计变量；

S2、采用可分离应力插值模型计算多相材料结构的刚度，所述可分离应力插值模型计算公式如下：

其中，k_e为第e个单元的单元刚度矩阵，

为单元e充满第i相材料的单元刚度矩阵的刚度矩阵，n₁和n₂均为惩罚因子，ρ为设计变量，ρ_e,i和ρ_e,j分别为单元e的对应于第i和j相材料的单元密度变量；

S3、工况一为机构的输入端施加实际载荷作用，工况二为机构的输出端施加虚拟单位载荷作用，通过对两种工况作用下结构进行有限元分析，来获得结构的节点位移响应；

根据结构的节点位移，采用可分离应力插值模型求解每个单元对应某相材料的von Mises应力，采用应力松弛方法对单元的von Mises应力进行放松处理，利用P范数将所有单元的局部应力约束凝聚化成一个全局的应力约束，采用自适应约束缩放法使得P范数应力更加接近最大应力；计算多相材料结构单元的应力σ_e,i的公式如下：

其中，σ_e,i为单元e对应于第i相材料的应力，k为应力松弛系数，取0.5，B为应变矩阵，u_e为e单元的位移矢量，

为第i相材料的弹性矩阵，所述第i相材料的弹性矩阵

如下：

其中，E_i为第i相材料的弹性模量，υ_i为第i相材料的泊松比；

采用改进的P范数最大近似函数求解对应于第i相材料的P范数应力

其中，σ_PN,i为对应于第i相材料的P范数应力，

为单元e对应于第i相材料的等效Von Mises应力，P为P范数的参数，NE为有限元单元的数目。

自适应约束缩策略的公式如下：

其中，c_i为计算第i相材料结构最大应力的自适应约束缩放系数，α⁽ⁿ⁾为控制参数，

和

分别为第n-1次迭代步的第i相材料结构最大应力和P范数应力，α⁽ⁿ⁾和c⁽⁰⁾分别取为0.5和1；

S4、由基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化模型求解目标函数互应变能、最大应力及各相材料结构体积约束，利用伴随矩阵法求解目标函数互应变能、应力和体积约束的灵敏度；

基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化模型为：

s.t.σ_max,i＝c_iσ_PN,i≤σ_i ^*(i＝1,2,…,NM)

V_i≤f_i ^*V_i ⁰(i＝1,2,…,NM)

F＝KU

式中，MSE为柔顺机构的互应变能，σ_max,i是第i相材料结构的最大应力值，σ_i ^*是第i相材料的应力约束极限值，V_i为优化后的第i相材料总体积，V_i ⁰为优化前的第i相材料总体积，f^* _i为允许的第i中材料体积比，

为作用在柔顺机构输出端的虚拟载荷矢量，

为虚拟载荷矢量

作用产生的节点位移矢量，F为作用在柔顺机构输入端的载荷矢量，U为输入端载荷F作用产生的节点位移矢量，K为整体刚度矩阵，ρ_NE,NM为单元NE对于与第NM相材料的单元密度，0＜ρ_min≤ρ_NE,NM≤1,ρ_min为设计变量的最小值，以防止单元刚度矩阵奇异。

目标函数互应变能的灵敏度为：

由于施加的外部载荷是固定不变的，载荷与单元密度变量无关，即荷载的灵敏度为0，通过外部荷载和虚拟荷载的平衡方程：KU＝F，

化简为：

第i相材料结构的最大应力值约束的灵敏度为：

其中，σ_e,i为单元e对应于第i相材料的应力；

采用伴随矩阵法对最大应力约束进行灵敏度分析，有限元平衡方程求得：

由于荷载F与设计变量无关，因此有伴随方程如下：

第i相材料结构的最大应力值约束σ_max,i的灵敏度求得：

体积约束的灵敏度的公式如下：

式中，v_0,i为实体单元的体积；

S5、采用灵敏度过滤方法修正目标函数及约束的灵敏度，利用移动渐近算法更新设计变量；

S6、判断优化算法收敛条件是否满足：若不满足，转至步骤S2；若满足，拓扑优化过程结束，获得满足静强度要求的多相材料柔顺机构拓扑构型；

所述的判断优化收敛条件为：

其中，

为第n次迭代的对应第1相材料的单元设计变量，

为第n-1次迭代对应第1相材料的单元设计变量，

为第n次迭代的对应第2相材料的单元设计变量，

为第n-1次迭代对应第2相材料的单元设计变量，ξ为很小的正数。

参照图3-图5，以二维柔顺夹持器为例进一步说明本发明。柔顺夹持器设计域、边界条件及输入端输出端如图3所示，设计域尺寸为80mm×80mm，作用载荷大小为200N，施加在左端中点处，输入弹簧刚度k_in和输出弹簧刚度k_out分别为0.2×10³N/μm和0.15×10³N/μm，材料1和材料2弹性模量分别为70GPa和100GPa,泊松比为均为0.3，P范数的参数P取为8；将夹持器的设计域离散成6400个四节点单元，设计变量过滤的半径r_min为2.5，材料1和材料2允许的体积份数分别为0.15和0.12，材料1和材料2应力约束极限值分别为设置为300MPa和450MPa。

图4、图5分别为多相材料柔顺夹持器的拓扑构型及其应力分布图，多相材料柔顺夹持器构型中灰色和黑区域分别表示为弱材料(材料1)和强材料(材料2)，由柔顺夹持器应力分布图可知很好地满足满足各相材料的应力约束，使得满足强度失效准则，并且有效地抑制了柔顺机构类铰链结构的出现，抑制了应力集中现象。

本发明提供的一种考虑全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化方法中，采用用可分离应力插值模型(SSI)计算多相材料的刚度和应力，以互应变能最大化作为柔顺机构的目标函数，采用P范数方法将单元局部应力近似为一个全局化应力，以全局最大应力及各相材料体积份数作为约束，构建考虑全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化模型，并采用伴随矩阵法求解灵敏度，移动渐近优化算法求解拓扑优化问题，更新迭代直至满足收敛准则，得到最优拓扑构型。利用可分离应力插值模型计算多相材料结构的刚度和应力，进行多相材料柔顺机构全局应力约束拓扑优化设计，避免了传统插值模型无法准确计算多相材料的刚度和应力及难以控制多相材料的应力水平问题，拓扑优化获得的多相材料柔顺机构很好地满足各相材料的应力约束，使得满足强度失效准则，抑制了柔顺机构类铰链结构的存在，应力集中现象得到缓解，使柔顺机构具有足够的柔性和强度的需求。

在本发明的描述中，需要理解的是，术语“纵向”、“横向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”、“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。

以上所述的实施例仅是对本发明的优选方式进行描述，并非对本发明的范围进行限定，在不脱离本发明设计精神的前提下，本领域普通技术人员对本发明的技术方案做出的各种变形和改进，均应落入本发明权利要求书确定的保护范围内。

Claims (4)

1.一种基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、定义柔顺机构设计域、约束边界条件、输入端、输出端、载荷大小，设置输入、输出端的虚拟弹簧刚度、单元密度过滤半径、各相材料的弹性模型及泊松比、各相材料体积约束、结构应力约束的极限值，将柔顺机构设计域离散为NE个4节点平面应力单元，并且初始化单元密度设计变量；

S2、采用可分离应力插值模型计算多相材料结构的刚度，所述可分离应力插值模型计算公式如下：

其中，k_e为第e个单元的单元刚度矩阵，

为单元e充满第i相材料的单元刚度矩阵的刚度矩阵，n₁和n₂均为惩罚因子，ρ为单元密度设计变量，ρ_e,i和ρ_e,j分别为单元e的对应于第i和j相材料的单元密度变量；

S3、工况一为机构的输入端施加实际载荷作用，工况二为机构的输出端施加虚拟单位载荷作用，通过对两种工况作用下结构进行有限元分析，来获得结构的节点位移响应；

根据结构的节点位移，采用可分离应力插值模型求解每个单元对应某相材料的vonMises应力，采用应力松弛方法对单元的von Mises应力进行放松处理，利用P范数将所有单元的局部应力约束凝聚化成一个全局的应力约束，采用自适应约束缩放法使得P范数应力更加接近最大应力；计算多相材料结构单元的应力σ_e,i的公式如下：

其中，σ_e,i为单元e对应于第i相材料的应力，k为应力松弛系数，取0.5，B为应变矩阵，u_e为e单元的位移矢量，

为第i相材料的弹性矩阵，所述第i相材料的弹性矩阵

如下：

其中，E_i为第i相材料的弹性模量，υ_i为第i相材料的泊松比；

采用改进的P范数最大近似函数求解对应于第i相材料的P范数应力

其中，σ_PN,i为对应于第i相材料的P范数应力，

为单元e对应于第i相材料的等效VonMises应力，P为P范数的参数，NE为有限元单元的数目；

自适应约束缩策略为：

其中，c_i为计算第i相材料结构最大应力的自适应约束缩放系数，α⁽ⁿ⁾为控制参数，

和

分别为第n-1次迭代步的第i相材料结构最大应力和P范数应力，α⁽ⁿ⁾和c⁽⁰⁾分别取为0.5和1；

S4、由基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化模型求解目标函数互应变能、最大应力及各相材料结构体积约束，利用伴随矩阵法求解目标函数互应变能、应力和体积约束的灵敏度；

目标函数互应变能的灵敏度为：

由于施加的外部载荷是固定不变的，载荷与单元密度变量无关，即荷载的灵敏度为0，通过外部荷载和虚拟荷载的平衡方程：KU＝F，

化简为：

体积约束的灵敏度公式如下：

其中，v_0,i为实体单元的体积；

S5、采用灵敏度过滤方法修正目标函数及约束的灵敏度，利用移动渐近算法更新设计变量；

S6、判断优化算法收敛条件是否满足：若不满足，转至步骤S2；若满足，拓扑优化过程结束，获得满足静强度要求的多相材料柔顺机构拓扑构型。

2.根据权利要求1所述的基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化方法，其特征在于：基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化模型为：

s.t.σ_max,i＝c_iσ_PN,i≤σ_i ^*(i＝1,2,…,NM)

V_i≤f_i ^*V_i ⁰(i＝1,2,…,NM)

F＝KU

式中，MSE为柔顺机构的互应变能，σ_max,i是第i相材料结构的最大应力值，σ_i ^*是第i相材料的应力约束极限值，V_i为优化后的第i相材料总体积，V_i ⁰为优化前的第i相材料总体积，f^* _i为允许的第i中材料体积比，

为作用在柔顺机构输出端的虚拟载荷矢量，

为虚拟载荷矢量

作用产生的节点位移矢量，F为作用在柔顺机构输入端的载荷矢量，U为输入端载荷F作用产生的节点位移矢量，K为整体刚度矩阵，ρ_NE,NM为单元NE对于与第NM相材料的单元密度，0＜ρ_min≤ρ_NE,NM≤1，ρ_min为设计变量的最小值，以防止单元刚度矩阵奇异。

3.根据权利要求1所述的基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化方法，其特征在于：第i相材料结构的最大应力值约束的灵敏度为

其中，σ_e,i为单元e对应于第i相材料的应力；

采用伴随矩阵法对最大应力约束进行灵敏度分析，有限元平衡方程求得：

由于荷载F与设计变量无关，因此有伴随方程

第i相材料结构的最大应力值约束σ_max,i的灵敏度求得

4.根据权利要求1所述的基于全局应力约束的多相材料柔顺机构拓扑优化方法，其特征在于：判断优化算法收敛条件为：迭代收敛条件为设置两次迭代设计变量的变化绝对值小于ξ，

其中，

为第n次迭代的对应第1相材料的单元设计变量，

为第n-1次迭代对应第1相材料的单元设计变量，

为第n次迭代的对应第2相材料的单元设计变量，

为第n-1次迭代对应第2相材料的单元设计变量，ξ为很小的正数。

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