CN112417692B - 基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计方法，包括如下步骤：定义设计域、初始化设计参数，依次进行材料微观结构和宏观结构有限元分析，采用摄动法计算结构柔顺度的期望值和方差，构建基于载荷不确定的材料结构多尺度拓扑优化模型，灵敏度分析，利用映射过滤方法修正目标函数和约束灵敏度，采用OC算法更新设计变量，判断是否满足收敛准则，最后输出宏观拓扑型构和材料微观结构拓扑型构；本发明采用一阶摄动法对不确定性载荷进行量化，有效地降低统计性指标计算的复杂程度，提高计算效率，实现了宏观结构和材料微观结构的多尺度化稳健性拓扑优化设计，获得的周期性多空复合材料结构具有更好的稳健性。

Description

基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计方法

技术领域

本发明涉及材料结构多尺度优化设计相关技术领域，特别是涉及基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计方法。

背景技术

为了满足现代工业产品对“结构超轻量化”、“功能特殊化”与“性能集成化”的需求，同时考虑材料微观结构优化和宏观结构优化进行材料结构多尺度拓扑优化设计，获取最优的材料微观结构和宏观结构多尺度设计，获得周期性多空复合材料结构；它具有高比刚度、高比强度、吸能等优异的力学性能，广泛应用于航空航天、汽车工业、建筑行业等相关领域。

现有的材料结构多尺度拓扑优化设计方法是考虑确定性载荷工况，即载荷的大小与方向均为确定的，但在实际工程中不可避免存在载荷不确定性因素。因此，目前急需一种基于载荷不确定的材料结构多尺度拓扑优化设计方法，以解决上述问题。

发明内容

本发明的目的是提供基于载荷不确定的材料结构一体化拓扑优化方法，采用一阶摄动法对不确定性载荷进行量化，有效地减低统计性指标计算的复杂程度，提高计算效率，实现了宏观结构和材料微观结构的多尺度化稳健性拓扑优化设计，获得的周期性多空复合材料结构具有更好的稳健性。

本发明提供基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计方法，包括如下步骤：

S1、定义设计域，给定初始测试应变条件，设定宏观结构与材料微观结构的尺寸、边界、材料参数和不确定性载荷参数，设置设计变量的过滤半径，设置迭代准则，初始化宏观结构与材料微观结构的设计变量；

S2、对微观结构边界添加周期性边界条件，在给定的初始测试应变条件下进行微观结构有限元分析，计算材料微观结构的宏观等效弹性张量；

S3、采用摄动方法对不确定性载荷的参数进行量化，采用随机有限元法得到宏观结构的单元节点位移矢量，计算宏观结构柔顺度的期望和方差；

S4、将宏观结构柔顺度的期望值与方差进行加权得到加权和，以加权和最小化作为优化目标，以宏观结构和材料微观结构的体积份数作为约束，采用变密度法与能量均匀化方法构建考虑载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化模型；

S5、根据所述材料结构多尺度拓扑优化模型，计算宏观结构与材料微观结构优化设计的目标函数和约束灵敏度，采用Heaviside映射过滤方法对目标函数和约束灵敏度进行修正，获得宏观结构和材料微观结构拓扑构型；

S6、采用优化准则法OC更新宏观结构与材料微观结构设计变量，判断是否满足收敛准则；若不满足，转至步骤S2，若满足，输出最优的宏观结构与材料微观结构拓扑型构；

优选地，所述S2包括以下步骤：

S2-1、在微观结构边界添加周期性边界条件，将宏观位移场和微观材料内的周期性波动场相加得到材料微观结构的位移场；

S2-2、在给定的初始测试应变条件下，将位移场分为四个部分，建立材料微观结构的有限元平衡方程进行有限元分析，并采用能量均匀化方法求得材料微观结构的宏观等效弹性张量；

优选地，所述S3包括以下步骤：

S3-1、采用摄动法，以一阶泰勒展开式表示具有不确定性大小向量和方向向量的作用载荷向量，对不确定性载荷的参数进行量化，得到不确定性量化参数；

S3-2、采用固体各向同性材料惩罚模型SIMP表示宏观结构的材料分布，由材料微观结构的宏观等效弹性张量建立宏观结构有限元平衡方程，采用随机有限元法，通过一阶泰勒展开式求得宏观结构的单元节点位移矢量；

S3-3、将不确定性量化参数和高阶函数的平均值代入结构柔顺度的不确定性表达式中，求得柔顺度的期望E(C)和方差Var(C)；

优选地，所述S4构建基于载荷不确定的材料结构多尺度拓扑优化模型为如下方法：

find{x y}

s.t.K(x,y)u_i＝f_i(i＝0,1,2)

0≤y_j≤1 j＝1,...,n

为宏观结构的柔顺度，x和y分别为宏观设计变量和微观设计变量，统一表示为单元密度，u_i为宏观结构的位移场，f₀为载荷列阵的均值矩阵，f₁为不确定载荷大小对随机变量的偏导数，f₂为不确定载荷方向对随机变量的偏导数；α为加权系数，K(x,y)为宏观结构的总刚度矩阵，Ω₀和Y₀分别为宏观和微观结构的初始体积，Ω_e和Y_e分布为宏观和微观结构的单元体积，

和

分别为宏观和微观结构允许的材料体积比，N和n分别为宏观和微观结构的有限元的数目；

优选地，所述S5包括以下步骤：

S5-1、采用拉格朗日乘子法计算宏观结构柔顺度相对宏观设计变量的灵敏度，计算柔顺度对微观结构设计变量的灵敏度，并且求解宏观结构和材料微观结构体积约束灵敏度；

S5-2、采用基于Heaviside函数的映射过滤方法对目标函数和宏观结构材料微观结构约束灵敏度进行修正，首先采用密度过滤方法对单元密度进行过滤，通过相邻单元密度的加权平均方法，获得过滤后的单元密度；

S5-3、采用Heaviside映射过滤法对过滤后的单元密度进行修正，使单元密度值向0和1两端集中，获得宏观结构和材料微观结构拓扑构型；

优选地，所述S6采用优化准则法OC算法更新宏观结构与材料微观结构设计变量，求解拓扑优化问题，判断是否满足收敛准则，若不满足，转至步骤S2，若满足，则材料结构多尺度拓扑优化过程结束，输出最优的宏观结构和材料微观结构拓扑构型。

本发明公开了以下技术效果：

(1)本发明基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计，采用一阶摄动法对不确定性载荷进行量化；采用变密度法与能量均匀化方法构建基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化模型；采用伴随矩阵技术进行目标函数和约束灵敏度分析；获得最优的宏观结构拓扑和材料微观结构拓扑；

(2)采用一阶摄动法对不确定性载荷进行量化，计算考虑载荷大小和方向不确定条件下的柔顺度期望值和方差表达式，有效地减低统计性指标计算的复杂程度，提高计算效率；

(3)考虑载荷的方向和大小的不确定，进行宏观结构和材料微观结构的多尺度化稳健性拓扑优化设计，获得的周期性多空复合材料结构，具有更好的稳健性。

附图说明

图1为本发明基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计方法流程示意图；

图2为载荷确定性条件下的材料结构多尺度拓扑优化设计获得的二维立柱结构设计域图；

图3为载荷确定性条件下的材料结构多尺度拓扑优化设计获得的立柱的宏观结构拓扑构型图；

图4为载荷确定性条件下的材料结构多尺度拓扑优化设计获得的立柱的材料微观结构拓扑图；

图5为载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计获得的立柱的3×3微观结构图；

图6为载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计获得的立柱的宏观结构拓扑构型；

图7为载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计获得的材料微观结构拓扑；

图8为载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计获得的3×3微观结构图。

具体实施方式

下面将结合本实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

参照图1所示,本发明提供基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计方法，包括如下步骤：

S1、定义设计域，给定初始测试应变条件，设定宏观结构与材料微观结构的尺寸、边界条件、材料参数和不确定载荷的大小和方向参数，设置设计变量的过滤半径，设置迭代准则，初始化宏观结构与材料微观结构的设计变量；

S2、对微观结构边界添加周期性边界，给定的初始测试应变条件下进行微观结构有限元分析，计算材料微观结构的宏观等效弹性张量；

S2-1、在微结构边界施加周期性边界，将宏观位移场和微观材料内的周期性波动场相加得到微观结构的位移场：

u_i为微观结构的位移场，i,j表示索引向量值，

为给定的初始测试应变，

为微观材料内的周期性波动位移场，y_j为微观结构的局部坐标，

求得材料微观结构所有法线方向上边界的位移场为：

k+与k-表示微观结构内一对相反的两个边界的法线方向,由上式相减消除材料微观结构内部的周期性波动位移场，可得：

S2-2、将位移场全局位移分为四个部分，建立材料微观结构的有限元平衡方程，进行有限元分析：

K_kl(k,l＝1,2,3,4)表示材料微观结构刚度矩阵分块矩阵，

表示给定的位移，χ₂表示微观结构的内部节点的未知位移，χ₃和χ₄表示位于相反边界的节点的未知位移，

为材料微观结构相反边界的位移差值，且满足

其中F₁为给定位移节点出的反力，F₂＝0，由周期假设有F₃+F₄＝0,且K_ij＝K_ji，则上式得：

采用能量均匀化方法求得材料微观结构的宏观等效弹性张量：

为材料微观结构的宏观等效弹性张量，Y₀表示材料微观结构的面积，Y_j表示微观材料结构有限元单元的面积，dY表示材料结构中的微元体积，T表示矩阵转置的符号，χ^0(ij)表示由施加在微观结构上的初始测试应变引起的位移，χ^ij表示为未知的位移，由初始测试应变引起的微观结构内部产生的位移；b为应变位移矩阵，C(y)为基材料的弹性矩阵，n为材料微观结构的有限元的数目；

S3、考虑载荷大小和方向不确定性，采用摄动方法对不确定性载荷的参数进行量化，采用随机有限元法求解宏观结构的单元节点位移矢量，计算宏观结构柔顺度的期望和方差；

S3-1、采用摄动法，将一阶泰勒展开式表示具有不确定性大小向量μ和方向向量θ的作用载荷向量F：

F(μ,θ)≈f₀+f₁·Δμ+f₂·Δθ

Δμ和Δθ分别为载荷大小和方向随机变化量称为载荷不确定参数，f₀为载荷列阵的均值矩阵，f₁为不确定载荷大小对随机变量的偏导数，f₂为不确定载荷方向对随机变量的偏导数；

S3-2、采用SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization，固体各向同性材料惩罚模型)表示宏观结构的材料分布，并建立宏观结构有限元平衡方程：

KU(μ,θ)＝F(μ,θ)

K为宏观结构的总装刚度矩阵，U为宏观结构的单元节点位移矢量，宏观结构的节点位移矢量通过一阶泰勒展开式求得为：

U(μ,θ)＝u₀+u₁·Δμ+u₂·Δθ

u₀为位移的均值矢量，u₁和u₂分别位移矢量对载荷大小和方向随机变量的偏导数，由下式求得：

u_i＝K^-1f_i(i＝0,1,2)；

S3-3、将载荷不确定参数Δμ和Δθ高阶函数的平均值代入结构柔顺度C的不确定性表达式中，求得柔顺度的期望E(C)和方差Var(C)：

E(Δμ)²为载荷大小的高阶函数的均值，E(Δθ)²为载荷方向的高阶函数的均值，u₂为位移矢量对随机变量的偏导数：

E(C²)为柔顺度平方的均值，E(C)²柔顺度均值的平方，Var(Δμ)为不确定载荷大小的方差，Var(Δθ)为不确定载荷方向的方差，Var(ΔμΔθ)为不确定载荷大小与方向乘积的方差；

S4、以结构柔顺度的期望值与标准差进行加权得到加权和，以加权和最小化作为优化目标，以宏观结构和材料微观结构的体积份数作为约束，采用变密度法与能量均匀化方法构建基于载荷不确定的材料结构多尺度拓扑优化模型，构建基于载荷不确定的材料结构多尺度拓扑优化模型方法如下：

find{x y}

s.t.K(x,y)u_i＝f_i(i＝0,1,2)

0≤y_j≤1 j＝1,...,n，

为宏观结构的柔顺度，x和y分别为宏观设计变量和微观设计变量，u_i为宏观结构的位移场，α为加权系数，K(x,y)为宏观结构的总刚度矩阵，Ω₀和Y₀分别为宏观和微观结构的初始体积，Ω_e和Y_e分别为宏观和微观结构的单元体积，

和

分别为宏观和微观结构允许的材料体积比，N和n分别为宏观和微观结构的有限元的数目；

S5、根据所述材料结构多尺度拓扑优化模型，计算宏观结构与材料微观结构优化设计的目标函数和约束灵敏度，采用Heaviside映射过滤方法对目标函数和约束灵敏度进行修正，获得清晰的宏观结构和材料微观结构拓扑构型；

S5-1、引入拉格朗日乘子计算宏观结构柔顺度约束灵敏度：

α为加权系数，λ_i(i＝0,1,2)表示为拉格朗日乘子，结构柔顺度对宏观设计变量的约束灵敏度求得为：

其中A₀＝f₀ ^T+f^T ₁·E(Δμ)+f₂ ^T·E(Δθ)，

A₁＝f₀ ^T·E(Δμ)+f^T ₁·E(Δμ)²+f₂ ^T·E(Δθ)E(Δμ)，

A₂＝f₀ ^T·E(Δθ)+f^T ₁·E(Δμ)E(Δθ)+f₂ ^T·E(Δθ)²，

B₀＝f₁·Var(Δμ)·f₁ ^T+f₂·Var(Δθ)·f₂ ^T，

B₁＝f₀·Var(Δμ)·f₀ ^T+f₁·Var(Δμ)²·f₁ ^T+f₂·Var(ΔμΔθ)·f₂ ^T，

B₂＝f₀·Var(Δθ)·f₀ ^T+f₁·Var(ΔμΔθ)·f₁ ^T+f₂·Var(Δθ)²·f₂ ^T，

为了消除

项，令下列等式成立：

结构柔顺度的约束灵敏度公式为：

将拉格朗日乘子λ_i代入结构柔顺度的约束灵敏度公式得：

其中

P是惩罚因子，E₀是材料的弹性模量，E_min空洞材料的弹性模量，

为充满材料的单元刚度矩阵与弹性模量的比值；

宏观体积约束对宏观设计变量的约束灵敏度为：

结构柔顺度对微观结构设计变量的约束灵敏度为：

其中

微观体积约束对微观设计变量的约束灵敏度为：

5-2、采用基于Heaviside函数的映射过滤方法对目标函数和宏观结构、材料微观结构的约束灵敏度进行修正，首先采用密度过滤方法对单元密度进行过滤，通过相邻单元密度x_j的加权平均，获得过滤后的单元密度x％_e：

Ω_e表示与单元e质心距离小于过滤半径r_min的所有单元的设计变量集合，w_j为权重系数，其表达式为

w(x_j)＝R-|x_j-x_i|

R为最小过滤半径，x_j和x_i分别表示单元j和单元i的坐标；

5-3、采用密度过滤方法的拓扑优化结果中仍存在灰度单元，采用Heaviside映射过滤法对过滤后的单元密度进行修正，使单元的密度值向0和1两端集中，得到修正后的单元密度，获取清晰的宏观结构和材料微观结构拓扑构型；

为单元物质密度；β为控制光滑映射的参数；η为阈值，取值为0.5；

S6、采用优化准则法OC算法更新宏观结构与材料微观结构设计变量，求解拓扑优化问题，迭代至满足收敛为止，获得最优的宏观结构拓扑和材料微观结构拓扑，获取宏观结构和材料微观结构的多尺度化稳健性拓扑优化设计，获得的周期性多空复合材料结构具有更好的稳健性，判断是否满足收敛准则，若不满足，转至步骤S2，若满足，则材料结构多尺度拓扑优化过程结束，输出最优的宏观结构和材料微观结构拓扑构型。

为了进一步验证本发明基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计方法的有效性，本实施例以二维立柱结构为例对本发明进行解释；

立柱结构的设计域、边界条件如图2所示，宏观结构的设计域尺寸长×高为500mm×250mm，设计域下端为固定边界，载荷作用F在宏观结构上边界的中心处，所用材料的弹性模量E为1Gpa，泊松比v为0.3，宏观设计域离散为50×50个平面四边形单元，材料微观结构的设计域长×高为0.01mm×0.01mm，材料微观结构的设计域50×50个平面四边形单元，载荷F的大小为1kN，作用方向与水平方向的夹角为-π/2(垂直向下)，载荷大小标准差为0，载荷方向标准差为0.3。宏观结构和材料微观结构的允许的体积份数为25％，最小过滤半径r_min为2倍单元尺寸，惩罚系数P为3。

图3、图4和图5分别为载荷确定性条件下的材料结构多尺度拓扑优化设计获得的立柱的宏观结构拓扑构型、材料微观结构拓扑和3×3微观结构图，立柱宏观结构的材料主要分布在竖直载荷线附近，形成一种柱状结构，以承受宏观结构的竖直方向的承载，材料微观结构的材料主要分布在两根竖直柱状结构。图6、图7和图8分别为基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计获得的立柱的宏观结构拓扑构型、材料微观结构拓扑和3×3微观结构图。与确定性载荷条件下的材料结构多尺度拓扑优化结果相比，基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化获得的立柱宏观结构底部出现的一定角度的开口，以此来提高立柱结构的水平方向的承载能力；基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化获得的材料微观结构拓扑构型形成更多网格结构，材料分布会更加均匀，并非集中在竖直的两根柱状结构附近，这种材料微观结构使得立柱宏观结构具有更好水平方向的承载能力。

以上所述的实施例仅是对本发明的优选方式进行描述，并非对本发明的范围进行限定，在不脱离本发明设计精神的前提下，本领域普通技术人员对本发明的技术方案做出的各种变形和改进，均应落入本发明权利要求书确定的保护范围内。

Claims (5)

1.基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计方法，包括如下步骤：

S1、定义设计域，给定初始测试应变条件，设定宏观结构与材料微观结构的尺寸、边界、材料参数和不确定性载荷参数，设置设计变量的过滤半径，设置迭代准则，初始化宏观结构与材料微观结构的设计变量；

S2、对材料微观结构边界添加周期性边界条件，在给定的初始测试应变条件下进行所述材料微观结构有限元分析，计算材料微观结构的宏观等效弹性张量；

S3、采用摄动方法对所述不确定性载荷参数进行量化，采用随机有限元法得到所述宏观结构的单元节点位移矢量，计算宏观结构柔顺度的期望值和方差；

S4、将所述宏观结构柔顺度的期望值与方差进行加权得到加权和，以所述加权和最小化作为优化目标，以宏观结构和材料微观结构的体积份数作为约束，采用变密度法与能量均匀化方法构建基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化模型；

S5、根据所述材料结构多尺度拓扑优化模型，计算宏观结构与材料微观结构优化设计的目标函数和约束灵敏度，采用Heaviside映射过滤方法对所述目标函数和约束灵敏度进行修正，获得宏观结构和材料微观结构拓扑构型；

S6、采用优化准则法OC更新宏观结构与材料微观结构设计变量，判断是否满足收敛准则；若不满足，转至步骤S2，若满足，输出最优的宏观结构与材料微观结构拓扑构型；

所述S3包括以下步骤：

S3-1、采用摄动法，以一阶泰勒展开式表示具有不确定性大小向量和方向向量的作用载荷向量，对所述不确定性载荷参数进行量化，得到不确定性量化参数；

S3-2、采用固体各向同性材料惩罚模型SIMP表示宏观结构的材料分布，由材料微观结构的宏观等效弹性张量建立宏观结构有限元平衡方程，采用随机有限元法，通过一阶泰勒展开式求得宏观结构的单元节点位移矢量；

S3-3、将所述不确定性量化参数和高阶函数的平均值代入结构柔顺度的不确定性表达式中，求得柔顺度的期望

和方差

。

2.根据权利要求1所述基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计方法，其特征在于，所述S2包括以下步骤：

S2-1、在微观结构边界添加周期性边界条件，将宏观位移场和微观材料内的周期性波动场相加得到材料微观结构的位移场；

S2-2、在给定的初始测试应变条件下，将位移场分为四个部分，建立材料微观结构的有限元平衡方程进行有限元分析，并采用能量均匀化方法求得材料微观结构的宏观等效弹性张量。

3.根据权利要求1所述基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计方法，其特征在于，所述S4构建基于载荷不确定的材料结构多尺度拓扑优化模型为如下方法：

为宏观结构的柔顺度，

和

分别为宏观设计变量和微观设计变量，统一表示为单元密度，

为宏观结构的位移场，

为载荷列阵的均值矩阵，

为不确定载荷大小对随机变量的偏导数，

为不确定载荷方向对随机变量的偏导数；

为加权系数，

为宏观结构的总刚度矩阵，

和

分别为宏观和微观结构的初始体积，

和

分布为宏观和微观结构的单元体积，

和

分别为宏观和微观结构允许的材料体积比，

和

分别为宏观和微观结构的有限元的数目，E(C)为柔顺度C的期望值，Var(C)为柔顺度C的方差。

4.根据权利要求1所述基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计方法，其特征在于，所述S5包括以下步骤：

S5-1、采用拉格朗日乘子法计算宏观结构柔顺度相对宏观设计变量的灵敏度，计算柔顺度对微观结构设计变量的灵敏度，并且求解宏观结构和材料微观结构体积约束灵敏度；

S5-2、采用基于Heaviside函数的映射过滤方法对目标函数和宏观结构材料微观结构约束灵敏度进行修正，首先采用密度过滤方法对单元密度进行过滤，通过相邻单元密度的加权平均方法，获得过滤后的单元密度；

S5-3、采用Heaviside映射过滤法对过滤后的单元密度进行修正，使单元密度值向0和1两端集中，获得宏观结构和材料微观结构拓扑构型。

5.根据权利要求1所述基于载荷不确定性的材料结构多尺度拓扑优化设计方法，其特征在于，所述S6采用优化准则法OC算法更新宏观结构与材料微观结构设计变量，求解拓扑优化问题，判断是否满足收敛准则，若不满足，转至步骤S2，若满足，则材料结构多尺度拓扑优化过程结束，输出最优的宏观结构和材料微观结构拓扑构型。

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