CN111523264B - 一种具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法，目的是为了获得各相材料边界清晰的微结构构型。该方法首先建立基于有序SIMP插值法的多相材料插值模型，然后以结构的等效弹性性能为优化目标，以材料体积和力学性能为约束条件，结合能量均匀化方法，建立了具有极限弹性性能的多相材料拓扑优化数学模型，通过OC算法对其进行求解，得到了边界清晰的多相材料微结构拓扑构型。所提供的实例表明，具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法是有效的，该方法能够在一套设计变量的情况下实现多相材料的拓扑优化设计，使得各相材料在设计域内均匀分布。

Description

一种具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法

技术领域

本发明属于结构拓扑优化设计相关技术领域，更具体地，涉及一种具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法。

背景技术

复合材料具有传统单一材料所不具备的优良性能，如轻质、比强度高、可设计性强等优点，因此被广泛应用于航天、航空、汽车等各种领域。复合材料微结构单胞拓扑优化理论最早是在90年代中期提出来的，现在已经成为材料研究领域的热点问题，国内外学者针对拓扑优化也做了大量基础性研究。材料的宏观性能不仅取决于其自有的属性，还受微观结构的影响，因此对微观结构进行拓扑优化设计，可以获得具有特殊性能的材料，例如负的泊松比、负的热膨胀系数、零剪切性能以及良好压电特性的压电材料。因此，使用优化技术可以充分挖掘材料的各种潜力，使得其优势性能得到最大化发挥，成为未来材料结构优化设计的发展趋势，具有重大的研究意义。

拓扑优化是一种强大的设计工具，可以在给定的设计域内，以孔洞的有无、数量和分布等信息为研究对象，基于有限元法的基本思想与技术，结合一定的边界约束条件，通过优化计算，使得目标函数达到最优，寻找最佳的材料分布，以满足各种性能需求。而目前相关研究主要集中在基于单材料和孔洞进行优化设计，从理论上讲，现阶段的单材料结构拓扑优化方法均可以扩展至多材料中去。近年来，越来越多的学者开始利用多材料来代替单材料，获得具有极端物理性能的特殊结构，为新型材料结构的研究提供了新的思路。然而，相对于单材料优化设计，多材料拓扑优化目前还存在着很多挑战，首先，缺少合适的材料插值策略，使得各相材料在设计域内都能够被有效的描述，其次，设计变量过多，计算时间较长，收敛困难，各相材料不能够均匀分布，都是需要解决的问题。

发明内容

针对现有技术的改进需求，本发明提供了一种具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法，基于序列SIMP密度插值法建立了多相材料插值模型，然后把该模型引入到微观结构设计中来，结合能量均匀化方法，求解材料微结构的等效弹性矩阵，并把其表示为基于应变能的能量表达式，以结构的等效弹性性能为优化目标，构建在约束条件下的多相材料微结构模型，并利用优化算法对其进行求解，得到了边界清晰的多相材料微结构构型，同时计算时间少，迭代收敛较快，是一种有效的多相材料拓扑优化设计方法。

为了实现上述目的，本发明提供了一种具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法，其包括以下步骤：

步骤一：定义初始条件即结构设计域、载荷条件、约束条件等边界条件及材料的相关属性；

步骤二：对微结构进行有限元分析求解，获取结构的整体位移场；

步骤三：通过能量均匀化法求解结构的等效弹性矩阵；

步骤四：构建多相材料微结构的拓扑优化数学模型；

步骤五：采用OC算法更新设计变量；

步骤六：根据收敛条件判断目标函数是否收敛，如果满足收敛条件，则输出拓扑构型，结束迭代计算，否则，转入步骤二继续进行迭代计算。

进一步地，假设各相材料的密度按大小顺序排列，将所有材料的密度变量在[0,1]上进行归一化处理，排序后的密度变量为：

其中，x_max表示为多相材料中密度的最大值，M是材料的相数。

进一步地，基于幂函数插值策略所构造的多相材料弹性模量关于设计变量的插值模型可表示为：

其中，E_e表示为优化后的弹性模量，x_e表示为设计变量的相对密度值，p表示为惩罚因子。

进一步地，φ_E和

为引入的缩放系数和转换系数，可表示为：

其中，E_i和E_i+1表示为升序排列的材料相中第i和i+1种材料对应的弹性模量，且x_e∈[x_i,x_i+1]。

进一步地，渐进均匀化理论认为结构的位移场u^ε(x)可以近似的由宏观和细观的两种尺度坐标x和y＝x/ε来描述：

u^ε(x)＝u₀(x,y)+εu₁(x,y)+ε²u₂(x,y)+…,y＝x/ε(5)

进一步地，周期性复合材料的等效弹性张量

可表示为：

其中，E_ijpq为材料弹性张量，

为单元应变场，

为局部变化应变场。

进一步地，基于单元应变能，式(6)可以写为

进一步地，在有限元理论中，则式(7)可以近似表示为：

其中，

为单元位移场，k_e为单元刚度矩阵。

进一步地，材料微结构的等效弹性系数矩阵为：

进一步地，多相材料微结构拓扑优化数学模型为：

其中，x_e为设计变量，U为整体位移向量，K为整体刚度矩阵，F为外载荷向量，V为材料体积，V₀为设计域体积，f为材料体积比，x_min为0.001，来避免求解过程中矩阵出现奇异。

进一步地，采用OC算法更新设计变量：

其中，m(移动量)为一个正的移动界限，η为数值阻尼系数；x_e ^new为经过优化准则算子迭代优化后的更新解。

总而言之，通过以上技术方案与现有技术相比主要有以下优点：

(1)所述具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法基于序列SIMP密度插值法构建多相材料插值模型，结合能量均匀化方法，求解材料微结构的等效弹性矩阵，并把其表示为基于应变能的能量表达式，以结构的等效弹性性能为优化目标，可以在一套设计变量的前提下构建多相材料微结构模型。

(2)所述具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法可以适用于连续体结构，得到的微结构各相材料分布均匀，边界清晰，在设计域内对称分布，充分发挥了各相材料的优势性能，挖掘了其潜力。

附图说明

图1是本发明具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法的流程图。

图2是本发明目标函数为C＝-E₁₂₁₂的单胞1×1拓扑构型图。

图3是本发明目标函数为C＝-E₁₂₁₂的单胞3×3拓扑构型图。

图4是本发明目标函数为

的单胞1×1拓扑构型图。

图5是本发明目标函数为

的单胞3×3拓扑构型图。

具体实施方式

为了更好地说明本发明的技术方案、目的及优点，以下结合附图及实例，对本发明进行进一步说明。此外，这里所描述的具体实例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1所示，本发明提出了一种具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法，主要包括以下步骤：

步骤一：定义初始条件即结构设计域、载荷条件、约束条件等边界条件及材料的相关属性；

首先，假设各相材料的密度按大小顺序排列，将所有材料的密度变量在[0,1]上进行归一化处理，排序后的密度变量为：

其中，x_max表示为多相材料中密度的最大值，M是材料的相数。

其次，基于幂函数插值策略所构造的多相材料弹性模量关于设计变量的插值模型可表示为：

其中，E_e表示为优化后的弹性模量，x_e表示为设计变量的相对密度值，p表示为惩罚因子。

φ_E和

为引入的缩放系数和转换系数，可表示为：

其中，E_i和E_i+1表示为升序排列的材料相中第i和i+1种材料对应的弹性模量，且x_e∈[x_i,x_i+1]。

步骤二：对结构进行有限元分析，获取结构的整体位移场；

本实施方式中，U＝K\F，其中K为全局刚度矩阵，F为外载荷向量，得到的全局位移矩阵U中包含每个节点的位移u_e。

步骤三：通过能量均匀化法求解结构的等效弹性矩阵；

首先，渐进均匀化理论认为结构的位移场u^ε(x)可以近似的由宏观和细观的两种尺度坐标x和y＝x/ε来描述：

u^ε(x)＝u₀(x,y)+εu₁(x,y)+ε²u₂(x,y)+…,y＝x/ε(5)

周期性复合材料的等效弹性张量

可表示为：

其中，E_ijpq为材料弹性张量，

为单元应变场，

为局部变化应变场。

基于单元应变能，式(6)可以写为

进一步地，在有限元理论中，则式(7)可以近似表示为：

其中，

为单元位移场，k_e为单元刚度矩阵。

其次，材料微结构的等效弹性系数矩阵为：

步骤四：构建多相材料微结构的拓扑优化数学模型；

多相材料微结构拓扑优化数学模型为：

其中，x_e为设计变量，U为整体位移向量，K为整体刚度矩阵，F为外载荷向量，V为材料体积，V₀为设计域体积，f为材料体积比，x_min为0.001，来避免求解过程中矩阵出现奇异。

步骤五：采用OC算法更新设计变量；

其中，m(移动量)为一个正的移动界限，η为数值阻尼系数；x_e ^new为经过优化准则算子迭代优化后的更新解。

步骤六：根据收敛条件判断目标函数是否收敛，如果满足收敛条件，则输出拓扑构型，结束迭代计算，否则，转入步骤二继续进行迭代计算。

请参阅图2至图5，以下以具有极限弹性性能结构的设计来进一步说明本发明。选取两种材料A和B，泊松比均为0.3，材料总的体积比为0.4，设计域离散为100×100个单元，在初始条件下，得到了微结构最优拓扑构型，具体结果如图2-图5所示(图中边缘表示材料A，内部表示材料B)。

从优化结果可以得出：实现了具有极限弹性性能的多相材料拓扑优化设计，得到的微结构各相材料分布均匀，边界清晰，多材料微结构构型在设计域内对称分布。如图2所示，当目标函数为C＝-E₁₂₁₂时，两种材料呈现沿45°方向布局，以承载外部的剪切载荷，充分发挥了各相材料的优势性能，挖掘了其潜力。如图4所示，当目标函数为C＝-1/2(E₁₁₁₁+E₂₂₂₂)时，材料呈现沿竖直方向和水平方向均匀布局，最大程度地同时承载竖直方向和水平方向的载荷，使得结构双向抗拉模量之和最大，充分考虑了各相材料的性能，使整体性能为最优，达到了具有特定性能的多相材料微结构拓扑优化设计。

以上是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；凡在本发明的思路和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法，其包括以下步骤：

步骤一：基于序列SIMP密度插值法构建多相材料插值模型，定义初始条件即结构设计域、载荷条件、约束条件及材料的相关属性；

步骤二：对微结构进行有限元分析求解，获取结构的整体位移场；

步骤三：通过能量均匀化法求解结构的等效弹性矩阵；

步骤四：构建多相材料微结构的拓扑优化数学模型；

步骤五：采用OC算法更新设计变量；

步骤六：根据收敛条件判断目标函数是否收敛，如果满足收敛条件，则输出拓扑构型，结束迭代计算，否则，转入步骤二继续进行迭代计算；

假设各相材料的密度按大小顺序排列，将所有材料的密度变量在[0,1]上进行归一化处理，排序后的密度变量为：

其中，

表示为材料的密度变量，x_max表示为多相材料中密度的最大值，M是材料的相数；

基于幂函数插值策略所构造的多相材料弹性模量关于设计变量的插值模型可表示为：

其中，E_e表示为优化后的弹性模量，x_e表示为设计变量的相对密度值，p表示为惩罚因子，x_min表示为最小材料相对密度，φ_E和

为引入的缩放系数和转换系数，可表示为：

其中，E_i和E_i+1表示为升序排列的材料相中第i和i+1种材料对应的弹性模量，且x_e∈[x_i,x_i+1]。

2.根据权利要求1所述的一种具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法，其特征在于：渐进均匀化理论认为结构的位移场u^ε(x)可以近似的由宏观和细观的两种尺度坐标x和y＝x/ε来描述：

u^ε(x)＝u₀(x,y)+εu₁(x,y)+ε²u₂(x,y)+…,y＝x/ε(5)

其中，ε为全局坐标系x与局部坐标系y之间的尺度因子，u₀(x,y)为展开的第0阶位移场，u₁(x,y)为展开的第1阶位移场，u₂(x,y)为展开的第2阶位移场，以此类推。

3.根据权利要求2所述的一种具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法，其特征在于：周期性复合材料的等效弹性张量

可以表示为如下形式：

其中，E_ijpq为材料弹性张量，

为单元应变场，

为局部变化应变场，|Y|为周期性单胞Y的体积。

4.根据权利要求3所述的一种具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法，其特征在于：基于单元应变能，式(6)可以写为：

其中，E_pqrs为材料弹性张量，

为单元应变场。

5.根据权利要求4所述的一种具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法，其特征在于：在有限元理论中，单胞被离散成N个单元，则式(7)可以近似表示为如下形式：

其中，

为单元位移场，k_e为单元刚度矩阵。

6.根据权利要求1所述的一种具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法，其特征在于：材料微结构的等效弹性系数矩阵为：

其中，

为等效材料矩阵的分量；

多相材料微结构拓扑优化数学模型为：

其中，

为材料的均匀化弹性张量，x_e为设计变量，U为整体位移向量，K为整体刚度矩阵，F为外载荷向量，V为材料体积，V₀为设计域体积，f为材料体积比，x_min为0.001，来避免求解过程中矩阵出现奇异。

7.根据权利要求1所述的一种具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化方法，其特征在于：采用OC算法更新设计变量：

其中，m为一个正的移动界限，

为尺度因子，η为数值阻尼系数，x_min为取值下限；x_e ^new为经过优化准则算子迭代优化后的更新解。

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