CN115631817B - 基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法及应用 - Google Patents

Abstract

本发明属于多材料拓扑优化相关技术领域，其公开了一种基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法及应用，包括以下步骤：(1)采用设计变量布尔值来表示网格单元的材料填充状态，并建立多目标优化模型；(2)根据每个网格单元的温度和位移确定每个设计子域的大小；(3)计算得到多相材料的材料属性插值公式，并将目标函数整体结构的柔度和散热弱度转化为单目标优化问题；(4)建立基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化模型，并在每一次迭代中求解节点位移矩阵和节点温度矩阵，从而得到新的目标函数；然后利用MMA算法更新设计变量继而得到多材料的最佳分布。本发明避免了传统的多尺度功能梯度拓扑优化设计存在的微结构连接问题。

Description

基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法及应用

技术领域

本发明属于多材料拓扑优化相关技术领域，更具体地，涉及一种基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法及应用。

背景技术

增材制造的发展为制造具有高度几何复杂性的功能优化部件提供了方法，多孔填充结构广泛用于这些新型制造工艺，如熔融沉积建模(FDM)。多孔填充物通常分布在给定实心壳的内部，而不是完全实心构件。这种结构的设计灵感来自大自然，例如人类骨骼和植物茎经过数千年的进化以适应外部荷载。与传统的实心结构相比，这些多孔填充结构具有高强度重量比、良好的能量吸收特性(如隔音性能)。此外，多孔填充结构可以缓解结构应力集中，增加结构屈曲稳定性，并在刚度略微降低的情况下，提高荷载不确定性和材料不足方面的设计稳健性。

随着现代工业的发展，一种结构往往由多种物理现象影响其可靠性和性能表现，例如航空航天工业要求散热结构具有足够的结构刚度，以承受热载荷引起的变形和应力。在汽车应用中，要求发动机缸体既具有结构强度，以支撑由于内部部件运动所施加的载荷，又需要具有良好的导热性能，以耗散缸体内产生的热量，防止温度过高或温度梯度过大而造成结构失效。对于不同的工程应用，亟需一种计算框架来优化和增强复杂物理场环境下结构的目标物理特性以适应越来越复杂的工作环境。拓扑优化作为一种计算工具，可以有效地分配材料，以实现受约束的特定目标函数达到最佳的结构设计。结构拓扑优化应用涵盖了航空航天、生物工程、土木水利等多个领域，其不仅可以减轻结构重量，提高结构性能，还可以摆脱经验式设计，简化传统设计-验证-设计的复杂流程，缩短了研发周期。为复杂物理场下的结构多目标优化设计提供了思路。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法及应用，其可以同时考虑力/热物理场对材料分布的影响和它们之间的相互耦合，引入自适应的局部约束取代了传统的宏微观多尺度设计，避免了传统的多尺度功能梯度拓扑优化设计存在的微结构连接问题。

为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法，该方法主要包括以下步骤：

(1)将待优化结构的设计域离散化成n个网格单元，对每个网格单元填充n相材料的一种，采用设计变量布尔值来表示网格单元的材料填充状态，并采用基于变密度法的插值方法建立多目标优化模型，该多目标优化模型的目标函数包括整体结构的柔度及散热弱度；

(2)限制每个设计子域的体积分数并根据每个网格单元的温度和位移确定每个设计子域的大小；

(3)基于多目标优化模型得到多相材料的材料属性插值公式，并采用线性加权将目标函数整体结构的柔度和散热弱度转化为单目标优化问题，每迭代预定步后更新一次目标函数散热弱度的权重系数；

(4)基于SIMP理论建立基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化模型，并利用有限元分析在每一次迭代中求解节点位移矩阵和节点温度矩阵，从而得到新的目标函数；然后利用MMA算法更新设计变量继而得到多材料的最佳分布。

进一步地，将只能取0和1的整数设计变量ρ转化为在区间[0，1]内取值的连续变量，使得ρ从表征各相材料的有无变成表征各相材料的体积分数。

进一步地，整体结构的柔度的目标函数为：

式中，u_i为单元节点位移矩阵；令为材料单元刚度矩阵/>提出自身弹性模量E(ρ)得到的单位刚度矩阵，k_m0为材料密度为“1”的单元刚度矩阵提出弹性模量后的单位刚度矩阵，其弹性模量为E，则有：

有限元离散后的结构柔顺度的函数形式为：

E_e(ρ)是杨氏模量对设计变量的插值，u_e是节点位移。

进一步地，散热弱度的目标函数为：

α_e(ρ)是导热系数对设计变量的插值，k_t0和T_e分别是单位导热矩阵和节点温度。

进一步地，基于有限元网格离散的n个网格单元，将整个设计域划分为n个设计子域，设计子域为：

Ne＝{i|||ε_i-ε_e||₂≤R}

其中，ε_i和ε_e是两个单元的质心，R为这个设计子域的影响半径；每个网格单元确定一个设计子域，设计子域的影响半径R对应的公式为：

式中，U为节点位移矩阵，U_min和U_max是所有节点发生的最小/最大位移，T为节点温度矩阵，T_min和T_max是所有节点的最低/最高温度，R_max和R_min是需要提前输入的最大半径及最小半径。

进一步地，计算每一个设计子域的局部体积分数，局部体积分数的计算公式为：

引入p范数对体积约束进行简化，得到：

式中，n为单元的数量；为第i个单元上的第k个设计变量；/>为体积分数上限，当p变为无穷大时，|V^m||_p等于最大值/>p设置为16。

进一步地，杨氏模量、导热系数和热应力系数对设计变量的插值公式为：

式中，E^q、α^q和β^q分别为第q相材料的弹性模量、导热系数和热应力系数；γ为惩罚系数，一般取3。

计算整体结构的柔度C_s和散热弱度C_t，对两种目标函数采用线性加权转化为单目标优化问题，得到：

C＝C_s+w·C_t

其中w表示权重系数。

进一步地，多材料全尺度拓扑优化模型的表达式为：

式中，C_s和C_t分别表示柔度和散热弱度，w表示加权系数，u和T分别是位移矩阵和温度矩阵；K_m和K_t分别表示整体刚度矩阵和整体散热系数矩阵，F^a、F^th和q分别表示外力矩阵、热应力矩阵和热载荷矩阵，α_vol是体积分数上限，V_e是单元e子域的局部体积分数，p取16，φⁱ是松弛后的设计变量，其取0-1之间的数；

其中，采用聚合的局部体积约束，局部体积约束通过p范数简化成单个约束自动生成多孔填充和功能梯度结构。

本发明还提供了一种计算机存储介质，所述计算机存储介质存储有机器可执行指令，所述机器可执行指令在被处理器调用和执行时，所述机器可执行指令促使所述处理器实现如上所述的基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法。

本发明还提供了一种多材料全尺度拓扑优化设计设备，该设备包括存储器及处理器，所述存储器储存有计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时执行如上所述的基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法及应用主要具有以下有益效果：

1.所述优化设计方法在多材料拓扑优化框架的基础上加上多目标优化理论，使得优化模型可以在材料属性多样性和多目标优化算法两个层面优化结构的复杂性能，最大程度上提高了结构在复杂物理场下的性能表现。

2.所述优化设计方法引入热应力系数来作为应力场和温度场耦合的媒介，可以充分考虑结构变形对温度场分布的影响和热应力对结构刚度优化的影响，得到更符合实际情况的考虑热力耦合的多性能优化结果。

3.所述优化设计方法采用自适应的局部体积约束策略，每个单元的影响半径与该单元的节点位移和节点温度有关，与现有的局部体积约束方向方法相比，本方法可以根据每个单元的温度和位移情况调整本单元的局部体积约束的强弱，在保证多孔结构生成的同时大大地提高了结构的性能。

4.所述优化设计方法利用局部体积约束实现全尺度的拓扑优化设计，与传统多尺度拓扑优化方法相比不但可以避免尺度分离，解决微结构的连接问题，还可以大大地减小计算量，缩短设计时间。

5.所述设计方法采用了一种自适应的目标函数加权策略，可以避免目标函数的量级差异对优化问题的影响，得到综合性能更科学的结构，且加权策略比较灵活，可以在不更改敏度公式的前提下随时根据特定的工作需求直接更改目标函数的权重。

附图说明

图1是设计变量与材料分布之间的逻辑关系示意图；

图2是本发明提供的基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法的流程示意图；

图3是初始设计域及边界载荷条件的示意图；

图4是本发明得到的多材料全尺度设计结果示意图；

图5是刚度优化结果示意图；

图6是散热优化结果示意图；

图7是目标函数的迭代示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

请参阅图1及图2，本发明提供了一种基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法，所述优化设计方法主要包括以下步骤：

步骤一，将待优化结构的设计域离散化成n个网格单元，对每个网格单元填充n相材料的一种，采用设计变量布尔值来表示网格单元的材料填充状态，并采用基于变密度法的插值方法建立多目标优化模型，该多目标优化模型的目标函数包括整体结构的柔度及散热弱度。

具体地，多材料优化设计是在定义结构的材料区域，每个网格单元都填充有一种N相材料，根据各向同性材料基于密度的拓扑优化方法对任意网格单元e，一组布尔值用于指示网格单元的材料填充状态(无论是空的还是填充了某种材料)。因此，二进制字段ρ用于指示网格单元的状态，它们的逻辑关系如图1所示。

对于三相材料结构，每个元素需要两个布尔变量来描述其状态：表示网格单元e由第一相材料(即空隙)组成，/>表示网格单元e由实体材料填充。第二个变量/>决定实体材料的类型，比如/>表示网格单元e由第二相材料填充，相应的表示网格单元e由第三相材料填充。然而这是个整数优化问题，很难利用基于梯度的优化方法进行求解，这里对其进行松弛处理，即将只能取0和1的整数变量ρ转化为可以在区间[0，1]内取值的连续变量。松弛后ρ从表征各相材料的有无变成表征各相材料的体积分数。例如对于三相材料，/>表示单元的第一相材料(空隙相)体积分数为1-0.7＝0.3，第二相材料的体积分数为0.7*(1-0.6)＝0.28，第三相材料的体积分数为0.7*0.6＝0.42。

这里考虑全局结构体积约束下，柔顺度最小(即刚度最大或结构应变能最小)连续体结构拓扑优化问题，基于SIMP材料插值模型推导连续体结构的目标函数为：

其中，u_i为单元节点位移矩阵；令为材料单元刚度矩阵/>提出自身弹性模量E(ρ)得到的单位刚度矩阵，k_m0为材料密度为“1”的单元刚度矩阵提出弹性模量后的单位刚度矩阵，其弹性模量为E，则有：

可得有限元离散后的结构柔顺度的函数形式为：

E_e(ρ)是杨氏模量对设计变量的插值，k_m0和u_e分别是单位刚度矩阵和节点位移。相应的散热弱度的目标函数可以写成以下形式：

α_e(ρ)是导热系数对设计变量的插值，k_t0和T_e分别是单位导热矩阵和节点温度。

步骤二，限制每个设计子域的体积分数并根据每个网格单元的温度和位移确定每个设计子域的大小。

具体地，根据自适应的局部体积约束方法强制限制每个设计子域的体积分数并根据每个网格单元的温度和位移确定每个设计子域的大小，以防止出现大量材料聚集和空隙，隐式地生成多孔结构的同时减小局部体积约束对结构性能的消极影响。

基于有限元网格离散的n个网格单元，将整个设计域划分为n个设计子域，设计子域可以如下定义：

Ne＝{i|||ε_i-ε_e||₂≤R}

ε_i和ε_e是两个单元的质心，R为这个设计子域的影响半径，设计子域的物理意义是距离特定网格单元小于R的单元的集合。为了直接得到功能梯度结构，根据静力学和热力学的有限元分析分别求解位移场和温度场，为每一个单元确定一个设计子域，子域的半径可以这样确定：

其中，U为节点位移矩阵，U_min和U_max是所有节点发生的最小/最大位移，T为节点温度矩阵，T_min和T_max是所有节点的最低/最高温度，R_max和R_min是需要提前输入的最大半径及最小半径，子域半径越小，结构的多孔填充效果越好，鲁棒性也越好，但性能越差，反之鲁棒性越差，性能越好。

计算每一个子域的局部体积分数，局部体积分数的计算公式如下：

式中，为第i个单元上的第k个设计变量。对于一个离散为n个单元的有限元模型，上述的局部体积分数约束将会有n个，一般来说有限元模型里单元个数是非常多的，在这里为了减小约束的数量，本方法引入p范数对约束进行简化：

为体积分数上限，当p变为无穷大时，局部体积分数的p范数形式||V^m||_p等于最大值/>在本方法中，p设置为16。

步骤三，基于多目标优化模型得到多相材料的材料属性插值公式，并采用线性加权将目标函数整体结构的柔度和散热弱度转化为单目标优化问题，每迭代预定步后更新一次目标函数散热弱度的权重系数。

具体地，按照每一相材料的体积分数对该单元的材料属性的贡献可以给出对于N相材料拓扑优化设计问题中杨氏模量、导热系数和热应力系数对设计变量的插值公式：

式中，E^q、α^q和β^q分别为第q相材料的弹性模量、导热系数和热应力系数；γ为惩罚系数，一般取3。

计算整体结构的柔度C_s和散热弱度C_t，对两种目标函数采用线性加权转化为单目标优化问题。

C＝C_s+w·C_t

其中w表示权重系数，在基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法中，为了更方便地生成具有优异刚度-散热性能的结构，给出了一种自适应更新的权重系数方法，即在第一步迭代里w＝C_s/C_t，每迭代30步w更新一次，这样可以尽可能减小不同目标函数的数量级差异引起的迭代方向的偏差。

步骤四，基于SIMP理论建立基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化模型，并利用有限元分析在每一次迭代中求解节点位移矩阵和节点温度矩阵，从而得到新的目标函数；然后利用MMA算法更新设计变量继而得到多材料的最佳分布。

具体地，建立基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化模型的表达式为：

在这个优化模型里，C_s和C_t分别表示柔度和散热弱度，w表示加权系数，u和T分别是位移矩阵和温度矩阵，每一次迭代需要进行两次有限元求解。K_m和K_t分别表示整体刚度矩阵和整体散热系数矩阵，F^a、F^th和q分别表示外力矩阵、热应力矩阵和热载荷矩阵，当温度改变时，物体由于外在约束以及内部各部分之间的相互约束，会使其不能完全自由胀缩而产生热应力，所以在力-热物理场中每个有限元单元的节点载荷等于外界载荷和内在热应力之和。α_vol是体积分数上限，V_e是单元e子域的局部体积分数，p一般取16，φⁱ是松弛后的设计变量，可以取0-1之间的数。

将上述优化问题通过MMA法进行求解。优化过程中多孔填充和功能梯度特性会自动满足，其数值计算流程如图3所示。

具体地，MMA算法需要计算目标函数和约束函数对设计变量的偏导，目标函数对设计变量的偏导计算如下：

插值函数对物理变量的偏导为：

物理变量对设计变量的偏导为：

目标函数对设计变量的灵敏度可以通过链式规则得到：

本设计方法里用聚合的局部体积约束替代全局体积约束，局部体积约束通过p范数简化成单个约束自动生成多孔填充和功能梯度结构，局部体积约束可以改写成以下形式：

它的灵敏度如下：

约束函数对设计变量的灵敏度可以通过链式规则得到：

请参阅图7，根据更新的设计变量，判断基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法的目标函数是否收敛，若否，则重新进行有限元分析得到新的目标函数、约束函数及它们的偏导，继续迭代优化；若是，则输出复杂物理场环境下的多材料功能梯度材料结构的最优布局。

以下以具体实施例来对本发明进行进一步的详细说明。

计算中使用的所有值都是无量纲的。初始设计域如图3所示为一个长L＝40，宽H＝20的矩形梁，梁的中心有一个q＝1的点热源和F＝1的竖直向下的力，梁的左右两侧被固定并施加了温度约束T＝0，有限单元格划分为400*200。在本示例中，选用的材料-1的弹性模量为2，导热系数为1，材料-2的弹性模量为1，导热系数为2，各相材料的体积约束均为0.3，泊松比都为0.3。

基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计如图4所示，为实现功能梯度属性，每一个单元的设计子域的半径在5到25的范围内自适应变化。结构柔度和散热弱度分别为5.3075和1.2602。为方便比较，利用单一材料在同等材料属性、边界条件、设计域和有限元模型的条件下进行单目标优化设计。以刚度为优化目标得到的结构柔度为3.446，散热弱度为2.7518。以散热为优化目标得到的结构柔度为277.3397，散热弱度为1.0815；

本实施方式提出的基于复杂物理场的多材料全尺度拓优化设计方法相比于图5和6中的优化结果具有更优秀的综合性能，即整体结构散热弱度是图5的45.80％，整体结构刚度更是图6的1.91％。主要原因在于本方法充分发挥刚度和散热强材料各自的优势，在多目标全尺度拓扑优化框架下的一体化设计可以获得最优材料分布和结构拓扑，使各相材料在整体结构中发挥最大的承载和散热作用，代价是本设计框架得到的结构的刚度和散热性能要略微差于利用一种优势性能材料设计得到的结构，但其他性能要远远优于这种单材料结构。

本发明提供的基于复杂物理场的多材料全尺度拓优化设计方法是一类系统的设计方法，需同时考虑多材料属性及种类数量、物理场特性、设计子域半径的综合以及宏观载荷和边界条件对宏观结构布局的影响等多个关键因素。

本发明还提供了一种计算机存储介质，所述计算机可读存储介质存储有机器可执行指令，所述机器可执行指令在被处理器调用和执行时，所述机器可执行指令促使所述处理器实现如上所述的基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法。

本发明还提供了一种多材料全尺度拓扑优化设计设备，该设备包括存储器及处理器，所述存储器储存有计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时执行如上所述的基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

(1)将待优化结构的设计域离散化成n个网格单元，对每个网格单元填充n相材料的一种，采用设计变量布尔值来表示网格单元的材料填充状态，并采用基于变密度法的插值方法建立多目标优化模型，该多目标优化模型的目标函数包括整体结构的柔度及散热弱度；

(2)限制每个设计子域的体积分数并根据每个网格单元的温度和位移确定每个设计子域的大小；

(3)基于多目标优化模型得到多相材料的材料属性插值公式，并采用线性加权将目标函数整体结构的柔度和散热弱度转化为单目标优化问题，每迭代预定步后更新一次目标函数散热弱度的权重系数；

(4)基于SIMP理论建立基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化模型，并利用有限元分析在每一次迭代中求解节点位移矩阵和节点温度矩阵，从而得到新的目标函数；然后利用MMA算法更新设计变量继而得到多材料的最佳分布；

整体结构的柔度的目标函数为：

式中，u_i为单元节点位移矩阵；令为材料单元刚度矩阵/>提出自身弹性模量E(ρ)得到的单位刚度矩阵，k_m0为材料密度为“1”的单元刚度矩阵提出弹性模量后的单位刚度矩阵，其弹性模量为E，则有：

散热弱度的目标函数为：

α_e(ρ)是导热系数对设计变量的插值，k_t0和T_e分别是单位导热矩阵和节点温度；ρ为只能取0和1的整数设计变量。

2.如权利要求1所述的基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法，其特征在于：将只能取0和1的整数设计变量ρ转化为在区间[0，1]内取值的连续变量，使得ρ从表征各相材料的有无变成表征各相材料的体积分数。

3.如权利要求1所述的基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法，其特征在于：

有限元离散后的结构柔顺度的函数形式为：

E_e(ρ)是杨氏模量对设计变量的插值，u_e是节点位移。

4.如权利要求1所述的基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法，其特征在于：基于有限元网格离散的n个网格单元，将整个设计域划分为n个设计子域，设计子域为：

Ne＝{i|||ε_i-ε_e||₂≤R}

其中，ε_i和ε_e是两个单元的质心，R为这个设计子域的影响半径；每个网格单元确定一个设计子域，设计子域的影响半径R对应的公式为：

式中，U为节点位移矩阵，U_min和U_max是所有节点发生的最小及最大位移；T为节点温度矩阵，T_min和T_max是所有节点的最低及最高温度；R_max和R_min是需要提前输入的最大半径及最小半径。

5.如权利要求1-4任一项所述的基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法，其特征在于：多材料全尺度拓扑优化模型的表达式为：

min：C_s+w·C_t＝u^TK_mu+w·T^TK_tT

s.t：K_mu＝(F^a+F^th)

K_tT＝q、

find：φ¹，φ²…φ^n-1

式中，C_s和C_t分别表示柔度和散热弱度，w表示加权系数，u和T分别是位移矩阵和温度矩阵；K_m和K_t分别表示整体刚度矩阵和整体散热系数矩阵，F^a、F^th和q分别表示外力矩阵、热应力矩阵和热载荷矩阵，α_vol是体积分数上限，V_e是单元e子域的局部体积分数，p取16，φⁱ是松弛后的设计变量，其取0-1之间的数；n为单元的数量；N为每个网格单元的填充材料的相数，即每个网格单元填充有一种N相材料；

其中，采用聚合的局部体积约束，局部体积约束通过p范数简化成单个约束自动生成多孔填充和功能梯度结构。

6.一种计算机存储介质，其特征在于：所述计算机存储介质存储有机器可执行指令，所述机器可执行指令在被处理器调用和执行时，所述机器可执行指令促使所述处理器实现权利要求1-5任一项所述的基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法。

7.一种多材料全尺度拓扑优化设计设备，其特征在于：该设备包括存储器及处理器，所述存储器储存有计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时执行权利要求1-5任一所述的基于复杂物理场的多材料全尺度拓扑优化设计方法。