CN109583091B - 基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法，用于解决柔性机构拓扑优化存在的单铰问题。包括以下步骤：给定初始设计区域，划分有限元网格,形成当前有效结构的有限元模型，同时生成并保存最大设计区域网格模型与当前有效结构的有限元模型的映射关系数据文件；进行有限元分析获得实际载荷和单位虚载下位移矢量数据；建互应变能、柔顺度、体积和基于机构综合柔顺度函数变化率的自适应约束的函数表达式并构建近似优化模型，将该模型转化为近似的二次数学规划模型并获取拓扑变量解；自动更新结构拓扑变量，读取结构网格和模型数据，形成新的结构系统有限元模型。重复以上步骤，迭代过程收敛时即可得到最优拓扑。

Description

基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法

技术领域

本发明涉及机械结构优化设计领域，具体公开了一种基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法。

背景技术

在柔性机构拓扑优化设计中,要求机构输出位移尽可能大的前提下,也要求机构具备足够的安全性，即有足够刚性。这两者之间常常不能同时满足，一些情况下优化结果的输出位移能够满足要求，但是其刚度不足，导致单铰问题；另外一些情况下优化结果的刚性太大，而输出位移不满足设计要求。其中，单铰问题是柔性机构拓扑优化设计面临的主要问题。

以常见的基于SIMP(固体各向同性材料惩罚模型：Solid Isotropic Materialwith Penalization)方法的柔性机构拓扑优化设计方法为例，该方法的优化模型的目标函数为输出位移(常通过计算互应变能求得)或互应变能和柔顺度的复合函数，约束函数为体积。在优化过程中机构体积下降,而机构输出位移增大时，由于基于优化准则的迭代求解不能控制拓扑变量的小量变化，从而导致部分杆件连接之处的大量单元拓扑变量接近于0，即常出现的优化结果单铰连接现象。增大目标函数中涉及机构输入端处刚性和输出端刚性度量量的权重或采取变体积约束限方案，都不能够完全解决该单铰问题。现有消除铰链的一种方法是重新设计铰链区，但是该方法可能使得结果偏离原设计。其它解决方法主要包括使用新的过滤方法，以及增加约束函数，例如应力约束和在水平集方法基础上的多目标方法，但是，该方法的目标函数中各项的加权系数是人为事先设定的。上述方法中，修改过滤方法的方案并不能够从本质上解决单铰问题，仅是使得优化构型更整齐、减弱单铰趋势的方案；应力约束能够控制优化过程中可能出现单铰之处的应力大小，从而能够保留较多单元，虽然可以避免一些单铰出现，但是可能使得求解获得的优化结果输出位移较小；人为设定目标函数中的加权系数不能够完全解决单铰问题。

发明内容

本发明目的在提供一种基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法，以解决现有技术中拓扑结构优化存在单铰问题的技术缺陷。

为实现上述目的，本发明提供了一种基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法，所采用的关键措施包括：

该方法中定义机构优化设计过程中机构柔顺度函数的变化率为当前迭代步机构柔顺度函数值与上一迭代步机构柔顺度函数值的相对变化量，并将上述机构柔顺度函数的变化率定义为本发明提供的方法中的自适应约束函数。该自适应变化的约束函数能够使得优化过程中机构柔顺度值小量变化，从而使得机构输出位移小量变化，同时能够避免单元拓扑变量大幅度变化。由于在柔性机构拓扑优化中单元拓扑变量的大幅度变化会使得求解获得的最优机构构型刚性不足而出现单铰，所以该措施能够处理单铰连接问题；

在约束条件的体积约束中增加一个体积下限约束，保证优化机构体积满足设计要求，不会与设定体积产生明显差距；

构建了一个涉及机构互应变能和机构柔顺度的加权的综合函数作为目标函数，进而构建有利于解决单铰连接问题的柔顺机构拓扑优化列式。权重系数定义为上一迭代步机构的输出位移和机构柔顺度的函数，且随着机构的迭代求解而变化；

结合使用变体积约束限技术和光滑对偶算法。

为实现上述目的，本发明提供了一种基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法，包括以下步骤：

依据设计要求给定初始设计区域，划分有限元网格，设定边界条件、载荷工况；

根据有限元网格，形成当前有效结构的有限元模型，同时生成并保存最大设计区域网格模型与当前有效结构的有限元模型之间的映射关系数据文件；

对当前有效结构的有限元模型进行有限元分析获得实际载荷和单位虚载作用下当前有效结构的有限元模型的位移矢量数据，并通过映射关系数据文件得到最大设计区域网格模型的位移矢量数据；

以位移矢量特性数据，构建互应变能、柔顺度和体积的函数表达式；

根据互应变能、柔顺度和体积的函数表达式，构建柔性机构近似拓扑优化模型，柔性机构近似拓扑优化模型的目标函数包括互应变能、柔顺度的函数线性加权，约束条件包括自适应约束、体积约束和体积下限约束，并将柔性机构近似拓扑优化模型的目标函数和约束条件分别展开成拓扑变量的一次和二次显式近似表达式，

根据二次显示近似表达式将近似拓扑优化模型转化为近似的二次数学规划模型，并采用库塔克准则及对偶求解算法获得近似的二次数学规划模型的拓扑变量解；

基于拓扑变量解，自动更新结构拓扑变量；

基于更新后的结构拓扑变量，形成新的结构系统有限元模型，重复以上步骤循环迭代，直至收敛以得到优化拓扑。

优选地，自适应约束的函数表达式如下：

式中，ρ是可设计的拓扑变量矢量，设定当前迭代步为第k+1迭代步，上标(k)表示上一迭代步的可设计的拓扑变量矢量，C(ρ)是当前迭代步机构柔顺度值，C(ρ^(k))为上一迭代步的柔顺度值。

优化时，体积下限约束的函数表达式如下：

式中，ρ是可设计的拓扑变量矢量，

是第q个可设计的单元拓扑变量，它是第n_q单元的相对密度；V(ρ)是当前迭代步机构体积，θ为设定体积比。

优化时，柔性机构近似拓扑优化模型如下：

式中，ρ是可设计的拓扑变量矢量，

是第q个可设计的单元拓扑变量，它是第n_q单元的相对密度；V(ρ)是当前迭代步机构体积，C_m(ρ)是当前迭代步机构互应变能，C_m(ρ⁰)是初始迭代步机构互应变能，C(ρ)是当前迭代步机构柔顺度值，C(ρ⁰)是初始迭代步机构柔顺度值，C(ρ^(k))为上一迭代步的柔顺度值，α^(k+1)为随迭代步数自适应变化的加权系数，

α为人为设定的系数，第一个约束为体积约束，第二个约束为自适应约束，第三个约束为体积下限约束，

为利用变体积约束限方案求得的当前步的体积约束限，θ为设定体积比，N为当前结构单元个数，一般将结构分为可设计和不设计部件，设可设计的单元数为Q，其单元编号可设为n_q(q＝1,2,…,Q)；不设计的单元数为P，其单元编号可设为i_p(p＝1,2,…,P)，不可设计单元的

值在迭代计算中不变，另外，s_i(i＝1,2,…,P+R)为结构所有保留单元编号。

优选地，目标函数的一次显式近似表达式为：

式中，ρ是可设计的拓扑变量矢量，

是第q个可设计的单元拓扑变量，它是第n_q单元的相对密度；U为外力载荷下的机构位移，V为单位虚载下的机构位移，

表示第n_q号单元的固有刚度矩阵，而

和

分别为仅第n_q号单元自由度的U和V的分量构成的位移向量。

优化时，约束条件中自适应约束的一次显式近似表达式为：

式中，U为外力载荷下的机构位移，V为单位虚载下的机构位移，

表示第n_q号单元的固有刚度矩阵，而

和

分别为仅第n_q号单元自由度的U和V的分量构成的位移向量。

优化时，当前迭代步机构互应变能和当前迭代步机构柔顺值分别为：

C_m(ρ)＝U^TKV

式中，U为外力载荷下的机构位移，V为单位虚载下的机构位移，K是结构总刚度矩阵，η为能够调整实载柔顺度值和虚载柔顺度值量级接近的参数，其与外力载荷的量级接近。

优化时，将柔性机构近似拓扑优化模型中目标函数和约束条件展开成拓扑变量的一次显示近似表达式和二次显示近似表达式，其中二次显示近似表达式利用在一次显示近似表达式的基础上MMA方法(移动渐近线方法)得到。

优化时，所述目标函数中互应变能的一次显式近似表达式为：

式中，

表示第n_q号单元的固有刚度矩阵，而

和

分别为仅第n_q号单元自由度的U和V的分量构成的位移向量。

优化时，所述目标函数中柔顺度的一次显式近似表达式为：

优化时，柔性机构近似拓扑优化模型的目标函数的一次显式近似表达式为：

优化时，所述自适应约束的一次显式近似表达式为：

优化时，体积下限约束的函数表达式如下：

本发明具有以下有益效果：

1，由于协调更改约束条件和目标函数控制拓扑变量的变化，本发明新增的柔顺度函数变化率约束函数能够使得优化过程中单元拓扑变量小幅变化，从而有效避免单脚连接问题的出现；

2，新增的控体积下限约束函数能够控制优化结果的体积下限，使得到的优化结果的体积满足设计要求；

3，将目标函数设定为权重系数随迭代步变化的综合柔顺度函数能够精确调整每一步的优化目标。

数值仿真算例证明，本发明提出的方法在多个柔性机构拓扑优化算例中能够解决单铰问题，将本发明提出的方法推广到多输入多输出柔性机构拓扑优化设计中，同样可以导得构型清晰的机构拓扑。

下面将参照附图，对本发明作进一步详细的说明。

附图说明

构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：

图1是本发明优选实施例的位移反向机构初始设计域及受力、边界情况示意图；

图2是本发明优选实施例的单输入单输出位移反向柔性机构最佳拓扑示意图；

图3是传统方法获得的单输入单输出位移反向柔性机构拓扑示意图；

图4是本发明优选实施例的微夹持机构初始设计域及受力、边界情况示意图；

图5是传统方法获得的微夹持机构最佳拓扑示意图；

图6是本发明优选实施例的拓扑示意图；

图7是本发明优选实施例的又一微夹持机构初始设计域及受力、边界情况示意图；

图8是本发明优选实施例的又一微夹持机构最佳拓扑示意图；

图9是本发明优选实施例的两输入两输出柔性机构初始设计域及受力、边界情况示意图；

图10是本发明优选实施例的两输入两输出柔性机构最佳拓扑示意图；

图11是本发明优选实施例的一种基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法流程图。

具体实施方式

本发明中定义机构优化设计过程中机构综合柔顺度函数的变化率为当前迭代步机构综合柔顺度函数值与上一迭代步机构综合柔顺度函数值的相对变化量，并引入机构综合柔顺度函数的变化率作为一组自适应约束函数。该自适应变化的约束函数能够使得优化过程中机构柔顺度值小量变化，从而使得机构输出位移小量变化，同时能够避免单元拓扑变量大幅度变化。由于在柔性机构拓扑优化中单元拓扑变量的大幅度变化会使得求解获得的最优机构构型刚性不足而出现单铰，所以该措施能够处理单铰连接问题；

本发明中增加一个体积下限约束函数，保证优化机构体积满足设计要求；

本发明构建了一个涉及机构输出位移和机构柔顺度的加权的综合函数作为目标函数，进而构建有利于解决单铰连接问题的柔顺机构拓扑优化列式。权重系数定义为上一迭代步机构的输出位移和机构柔顺度的函数，且随着机构的迭代求解而变化；

本方法中使用的单元拓扑变量和插值函数与现行拓扑优化方法类似，设

为第n_q号单元的拓扑变量，将

作为单元密度变量，密度变量赋初值，采用指数近似材料模型

确定单元弹性模量与

的关系，采用指数体积惩罚

确定单元弹性模量与

的关系，其中，E₀和

分别为材料的弹性模量和第n_q号单元拓扑变量为1.0时的体积，α_k和α_v取3和1。

以下结合附图对本发明的实施例进行详细说明，但是本发明可以由权利要求限定和覆盖的多种不同方式实施。

实施例1：

本发明提供了一种基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法，参见图11，包括以下步骤：

S1：给定初始设计区域，划分有限元网格，给出边界条件、载荷工况等条件。

S2：读取设计区域的固定有限单元网格模型文件，读取当前结构保留单元数据文件,在结构周边和孔洞周围形成一层拓扑变量值设置很小的人工材料单元，自动形成当前有效结构有限元模型，同时生成并保存最大设计区域网格模型与当前结构有效网格模型的映射关系数据文件。

S3：在输出端处施加单位虚载，进行有限元分析获得实际载荷作用下和单位虚载作用下的位移矢量数据。通过读取映射关系数据文件，获得最大设计区域条件下的结构特性数据，并保存结构网格信息、位移矢量数据信息。

S4：依据位移矢量数据，构建互应变能、柔顺度的函数表达式，如式(2)、(3)，并以此构建以互应变能和柔顺度函数的加权函数为目标函数，自适应约束、体积约束及体积下限约束为约束条件的柔性机构近似拓扑优化模型如下：

式中ρ是可设计的密度矢量，

是第q个可设计的单元密度变量，它是第n_q单元的相对密度；V(ρ)是当前迭代步机构体积，C_m(ρ)是当前迭代步机构互应变能，C_m(ρ⁰)是初始迭代步机构互应变能，C(ρ)是当前迭代步机构柔顺度值，C(ρ⁰)是初始迭代步机构柔顺度值，C(ρ^(k))为上一迭代步的柔顺度值，α^(k+1)为随迭代步数自适应变化的加权系数，

α为人为设定的系数，

为利用变体积约束限方案求得的当前步的体积约束限，θ为设定体积比。N为当前结构单元个数。一般将结构分为可设计和不设计部件，设可设计的单元数为Q，其单元编号可设为n_q(q＝1,2,…,Q)。不设计的单元数为P，其单元编号可设为i_p(p＝1,2,…,P),不可设计单元的

值在迭代计算中不变。另外，s_i(i＝1,2,…,P+R)为结构所有保留单元编号；

C_m(ρ)＝U^TKV (2)

式中，U为外力载荷下的机构位移，V为单位虚载下的机构位移，K是结构总刚度矩阵，η为能够调整实载柔顺度值和虚载柔顺度值量级接近的参数，其与外力载荷的量级接近。

S5：将近似优化模型的目标函数和约束条件分别展开成拓扑变量的一次和二次显式近似表达式，并根据二次显式近似表达式将该近似优化模型转化为近似的二次数学规划模型。

S6：根据二次显示近似表达式将近似拓扑优化模型转化为近似的二次数学规划模型，采用库塔克准则及对偶求解算法获得该近似二次规划模型的拓扑变量解；互应变能的一次显式近似表达式为：

式中，

表示第n_q号单元的固有刚度矩阵，而

和

分别为仅第n_q号单元自由度的U和V的分量构成的位移向量。

柔顺度的一次显式近似表达式为：

所以目标函数的一次显式近似表达式为：

新增自适应约束函数的一次显式近似表达式为：

基于MMA方法即可在一次显式近似表达式的基础上获得目标函数和约束条件的二阶显式近似表达式。

S7：优化过程分为二个优化阶段和一个阶段转化步，在每一个阶段，基于求解获得的拓扑变量解，自动更新结构拓扑变量。在第二优化阶段和阶段转化步，可获得纯的黑/白分布的优化结构拓扑；

S8：基于更新后的结构拓扑变量，读取结构网格和模型数据，形成结构人工材料单元，并形成新的结构系统有限元模型。

在阶段转化步和第二个优化求解阶段，可以获得纯的黑/白分布的优化结构拓扑，且可提高优化效率。满足收敛性条件，停止优化求解，获得没有单铰连接的最佳拓扑。

实施例2：

本实施例提出了一种单输入单输出位移反向柔性机构，初始机构的尺寸为0.4m×0.4m×0.05m，材料弹性模量为2.09×10¹⁴pa，泊松比为0.3。机构左侧上下处均为固端约束，输入力作用于左侧中点，其大小为20000N，方向向右，用刚度为2.0×10⁸N/m的弹簧代替输入端与机构接触的工件；右侧中点为位移输出端，用刚度为2.0×10⁸N/m的弹簧代替输出端与机构接触的工件，图1为位移反向机构初始设计域及受力、边界情况示意图。图1中，F是作用于输入端的力。该算例优化设计的目标是，输出端与输入位移反向的位移最大。将初始设计域划分为80×80个平面应力单元，过滤半径为2.0倍的单元尺寸，本发明方法在设定体积比为0.2、0.3时取不同初始拓扑进行优化。图2为本发明方法得到的最佳拓扑示意图，图3是传统方法获得的拓扑示意图。传统方法得到的拓扑结构存在8个单铰连接，本发明方法得到的拓扑结构没有单铰连接。其中，图2(a)-(h)分别为体积比为0.2，初始拓扑变量为0.2、体积比为0.2，初始拓扑变量为0.4、体积比为0.2，初始拓扑变量为0.6、体积比为0.2，初始拓扑变量为0.7、体积比为0.2，初始拓扑变量为0.8、体积比为0.2，初始拓扑变量为1.0、体积比为0.3，初始拓扑变量为0.3、体积比为0.3，初始拓扑变量为1.0时的最佳拓扑。图3为体积比为0.3，初始拓扑变量为1.0时的传统拓扑。

实施例3：

本实施例提出了一种微夹持机构，机构的设计域尺寸为500μm×500μm×10μm，材料弹性模量为1.9×10¹¹pa，泊松比为0.3。机构左侧上下处均为固端约束，输入力作用于左侧中点处，大小为0.1mN，用刚度为10.0N/m的弹簧代替输入端与机构接触的工件；右侧缺口大小为100μm×100μm，缺口上下点为位移输出端，分别用刚度为1000.0N/m的弹簧代替输出端与机构接触的工件。图4为微夹持机构初始设计域及受力、边界情况示意图。该算例优化设计的目标是，输出端两个位移之差的绝对值最大。将初始设计域划分为6144个平面应力单元。设定体积比为0.30，初始拓扑变量为1.0。图5为本发明方法得到的最佳拓扑示意图，图6是传统方法获得的拓扑示意图。传统方法得到的拓扑结构存在2个单铰连接，本发明方法得到的拓扑结构没有单铰连接。图5体积比为0.3，初始拓扑变量为1.0时的最佳拓扑。图6为体积比为0.3，初始拓扑变量为1.0时的传统拓扑。

实施例4：

本实施例提出了一种微夹持机构，机构的设计域尺寸为0.2m×0.2m×0.01m，材料弹性模量为200Gpa，泊松比为0.3。机构左侧上下处均为固端约束，输入力作用于左侧中点处，大小为-1N；右侧缺口大小为0.05m×0.1m，缺口右侧上下点为位移输出端，分别用刚度为20.0N/m的弹簧代替输出端与机构接触的工件，具体见图7。该算例优化设计的目标是，输出端两个位移之差的绝对值最大，将初始设计域划分为12000个平面应力单元。设定体积比为0.20，初始拓扑变量为1.0。图8是本发明方法获得的最佳拓扑。

实施例5：

本实施例提出了一种两输入两输出柔性机构，机构的设计域尺寸为400μm×400μm×10μm，材料弹性模量为3.0Gpa，泊松比为0.3。机构左侧上下处均为固端约束，两个输入力从下至上分别作用于左侧1/4和3/4点处，大小为1.0N，用刚度为25000.0N/m的弹簧代替输入端与机构接触的工件；右侧从下至上1/4和3/4处为位移输出端，分别用刚度为500.0N/m的弹簧代替输出端与机构接触的工件，具体见图9。该算例优化设计的目标是，输出端向左侧的位移最大，将初始设计域划分为80×80个平面应力单元，过滤半径为2.5倍的单元尺寸。设定体积比为0.40。图10为本发明方法获得的最佳拓扑。

从以上理论叙述和算例对比、验证可以看出，本发明方法能够解决柔性机构拓扑优化设计中的单铰问题。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法，其特征在于，包括以下步骤

依据设计要求给定初始设计区域，划分有限元网格，设定边界条件、载荷工况；

根据所述有限元网格，形成当前有效结构的有限元模型，同时生成并保存最大设计区域网格模型与所述当前有效结构的有限元模型之间的映射关系数据文件；

对所述当前有效结构的有限元模型进行有限元分析获得实际载荷和单位虚载作用下所述当前有效结构的有限元模型的位移矢量数据，并通过所述映射关系数据文件得到所述最大设计区域网格模型的位移矢量数据；

以所述位移矢量特性数据，构建互应变能、柔顺度和体积的函数表达式；

根据所述互应变能、柔顺度和体积的函数表达式，构建柔性机构近似拓扑优化模型，所述柔性机构近似拓扑优化模型的目标函数包括互应变能、柔顺度的函数线性加权，约束条件包括自适应约束、体积约束和体积下限约束，并将所述柔性机构近似拓扑优化模型的目标函数和约束条件分别展开成拓扑变量的一次和二次显式近似表达式，

根据所述二次显示近似表达式将所述近似拓扑优化模型转化为近似的二次数学规划模型，并采用库塔克准则及对偶求解算法获得所述近似的二次数学规划模型的拓扑变量解；

基于所述拓扑变量解，自动更新结构拓扑变量；

基于更新后的所述结构拓扑变量，形成新的结构系统有限元模型，重复以上步骤循环迭代，直至收敛以得到优化拓扑。

2.根据权利要求1所述的基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法，其特征在于，所述自适应约束的函数表达式如下：

式中，ρ是可设计的拓扑变量矢量，设定当前迭代步为第k+1迭代步，上标(k)表示上一迭代步的可设计的拓扑变量矢量，C(ρ)是当前迭代步机构柔顺度值，C(ρ^(k))为上一迭代步的柔顺度值。

3.根据权利要求1所述的基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法，其特征在于，所述体积下限约束的函数表达式如下：

式中，ρ是可设计的拓扑变量矢量，

是第q个可设计的单元拓扑变量，它是第n_q单元的相对密度；V(ρ)是当前迭代步机构体积，θ为设定体积比。

4.根据权利要求1所述的基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法，其特征在于，所述柔性机构近似拓扑优化模型如下：

式中，ρ是可设计的拓扑变量矢量，

是第q个可设计的单元拓扑变量，它是第n_q单元的相对密度；V(ρ)是当前迭代步机构体积，C_m(ρ)是当前迭代步机构互应变能，C_m(ρ⁰)是初始迭代步机构互应变能，C(ρ)是当前迭代步机构柔顺度值，C(ρ⁰)是初始迭代步机构柔顺度值，C(ρ^(k))为上一迭代步的柔顺度值，α^(k+1)为随迭代步数自适应变化的加权系数，

α为人为设定的系数，第一个约束为体积约束，第二个约束为自适应约束，第三个约束为体积下限约束，

为利用变体积约束限方案求得的当前步的体积约束限，θ为设定体积比，N为当前结构单元个数，一般将结构分为可设计和不设计部件，设可设计的单元数为Q，其单元编号设为n_q(q＝1,2,…,Q)；不设计的单元数为P，其单元编号设为i_p(p＝1,2,…,P)，不可设计单元的

值在迭代计算中不变，另外，s_i(i＝1,2,…,P+R)为结构所有保留单元编号。

5.根据权利要求1所述的基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法，其特征在于，二次显示近似表达式是在一次显示近似表达式的基础上使用MMA方法得到。

6.根据权利要求1所述的基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法，其特征在于，所述目标函数的一次显式近似表达式为：

式中，ρ是可设计的拓扑变量矢量，

是第q个可设计的单元拓扑变量，它是第n_q单元的相对密度；U为外力载荷下的机构位移，V为单位虚载下的机构位移，

表示第n_q号单元的固有刚度矩阵，而

和

分别为仅第n_q号单元自由度的U和V的分量构成的位移向量。

7.根据权利要求1所述的基于自适应约束的柔性机构拓扑优化设计方法，其特征在于，所述约束条件中自适应约束的一次显式近似表达式为：

式中，U为外力载荷下的机构位移，V为单位虚载下的机构位移，

表示第n_q号单元的固有刚度矩阵，而

和

分别为仅第n_q号单元自由度的U和V的分量构成的位移向量。

Images