CN111460622B - 一种基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于多组件布局拓扑优化设计相关技术领域，其公开了一种基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，其包括以下步骤：(1)构建各个组件的水平集函数，进而将所有组件集成到一个水平集函数；(2)确定基体、组件及空洞的材料拓扑模型；(3)将嵌入到结构设计域有限网格中的组件的弹性模量与结构设计域中基体材料的弹性模量相插值，以得到结构设计材料的等效弹性模量；(4)构建多组件集成系统的最小柔度布局优化模型，并进行有限元分析以得到位移场；接着，计算得到目标函数；之后，对设计变量进行灵敏度分析，并对设计变量进行更新，以确定组件布局的最佳位置及基体材料的最优分布。本发明减少了设计变量数量，提高了计算效率。

Description

一种基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法

技术领域

本发明属于多组件拓扑优化设计相关技术领域，更具体地，涉及一种基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法。

背景技术

现在许多的工程结构设计中，通常需要将具有固定形状的一个或者多个几何体嵌入到固定结构中，以来满足需要的特定功能，嵌入的对象可以是具有一定功能作用的组件，可以是具有一定承载作用的结构组件，也可以是预留的用于装备其余设备组件的预设空间，例如在航空航天工程中经常要把一些具有某种功能的设备嵌入到主体结构中，通常为了轻量化设计，这些设备还可以用作承载结构，故此多组件布局指的是多组件的位置和方向，而非像基体一样是材料的分布，像内嵌压电驱动器的柔性智能结构设计、内嵌离散散热导体传热系统布局优化、面向压电智能结构精确变形的协同优化设计等问题都是多组件布局优化的经典问题。

显然初始设计时不能先固定这些组件位置不动，只有组件布局和基体材料分布同时优化时才能达到最优，因此在多组件集成系统整个优化过程中，组件和基体相互配合，组件寻找在整个结构中的最佳位置和角度可以满足目标结果最优。所以，多组件可以移动不同的位置和改变不同的角度，但整个优化过程中他们的形状不发生改变。其中，在基于SIMP法的多组件布局优化中，由于每次更新组件设计变量后都会反代入到多组件表达中重新初始化，可以保证每次迭代组件形状不变，虽然该方法比较简单，容易计算，但该框架下获得的优化结果多为灰度图，容易出现棋盘格和灰度单元等现象，得到的最终拓扑结构边界并不光滑，优化结果无法直接应用或者导入CAD软件进行修改，只能进行人为的重构来实现。

其中，参数化彩色水平集法具有其独特的优点，该框架下可以获得光滑、清晰的边界形状，能够同时进行拓扑和形状优化，同时可以很好地几何尺寸及制造约束等，但水平集法设计变量较多，优化收敛速度较慢，如果将基体及多组件都使用径向基函数进行插值，将两者动态变化的结构边界隐式嵌入到Lipschitz连续的水平集函数中，以进行形状和拓扑优化，这将大大增加计算时间，降低计算效率，并且组件形状很容易发生改变。因此在保证优化过程中多组件形状保持不变，减少材料设计变量以及减少计算成本、获得最终拓扑结构边界清晰、光滑的前提下，本领域亟需基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化设计方法，对组件和基体同时进行优化设计。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，其采用参数化彩色水平集来描述多组件的拓扑结构，可以很好的控制多组件的形状保持不变，且使用max函数将多组件集成到一个水平集函数中，以便于后续优化基体结构材料分布及组件的位置布局，能够较快的计算出基体的拓扑结构及组件的最佳布局，提高了效率及适用性，无需人为重构。

为实现上述目的，本发明提供了一种基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，所述方法包括以下步骤：

(1)以待优化多组件集成系统组件的位置坐标及方向角度为设计变量分别构建各个组件的水平集函数，基于得到的多个水平集函数采用max函数将所有的组件集成到一个水平集函数φ_c；

(2)基于参数化彩色水平集函数多相材料理论，将多组件集成系统的基体及得到的多个水平集函数进行不同组合以确定基体、组件及空洞的材料拓扑模型；

(3)基于得到的基体、组件及空洞的材料拓扑模型，将嵌入到结构设计域有限网格中的各个组件的弹性模量与结构设计域中基体材料的弹性模量相插值，以得到结构设计材料的等效弹性模量；

(4)基于水平集函数φ_c及参数化彩色水平集拓扑优化方法构建多组件集成系统的最小柔度布局优化模型，并基于等效弹性模量及所述最小柔度布局优化模型在结构设计域中进行有限元分析以得到位移场；接着，根据所述位移场计算得到所述最小柔度布局优化模型的目标函数；之后，对基体和组件的设计变量分别进行灵敏度分析，并依据灵敏度分析结果对设计变量进行更新，进而确定各个组件布局的最佳位置及基体材料的最优分布，由此完成优化。

进一步地，最小柔度布局优化模型的构建包括以下步骤：

(41)确定结构设计域的长度和宽度、横向单元、水平单元数、基体及组件材料属性；

(42)基于求解的结构设计材料的等效弹性模量E_e，计算结构单元刚度矩阵Ke，组合单元刚度矩阵得到整体刚度矩阵K，然后在结构设计域中进行有限元分析来求解位移场u；

(43)基于得到的位移场u计算得到多组件集成系统的最小柔度布局优化模型的目标函数J；

(44)基于形状微分和伴随变量法来求解得到多组件集成系统的最小柔度布局优化模型中目标函数和约束函数对结构设计变量α_e的一阶微分，并根据链式求导法则计算所述目标函数和约束函数对设计变量x_i、y_i、θ_i的灵敏度，继而更新迭代各个设计变量；

(45)根据更新后的设计变量判断多组件集成系统的最小柔度布局优化模型是否满足收敛条件，若否，则返回步骤(42)；若是，则输出结构设计的组件的最优布局和基体材料的最佳分布。

进一步地，位移场u的计算公式为：

式中，a表示双线性能量式；l表示单线性负载式；φ₀表示结构设计域基体的水平集函数；φ_c表示结构设计域集成组件的水平集函数；ε为应变场，T表示矩阵的转置；u表示结构位移场；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；E_e表示结构设计材料的等效弹性模量；Ω为结构设计域；dΩ为结构设计域的积分算子；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；p表示结构设计域的体积力；τ表示应用在边界

的部分边界上的牵引力；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分，

表示差分算子。

进一步地，目标函数J的公式为：

式中，ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构位移场；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；Ω为结构设计域；dΩ为结构设计域的积分算子；E_e表示结构设计材料的等效弹性模量。

进一步地，目标函数及约束函数对结构基体设计变量α_e的灵敏度计算公式如下：

其中：

式中，

是目标函数对基体设计变量的一阶微分；J是多组件布局优化模型的目标函数，定义为结构的动柔度；φ₀为基体水平集函数；α_e为基体设计变量；φ_c为集成多组件系统的水平集函数；u为结构位移场；Ω为结构设计域；dΩ为结构设计域的积分算子；

表示紧支径向基函数；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分；G₁表示多组件布局拓扑优化模型的体积约束；G₂是防止嵌入式多组件之间相互干涉的非重叠约束；

表示体积约束函数G₁对基体设计变量的一阶微分；

表示多组件非重叠约束函数G₂对基体设计变量的一阶微分；ε为应变场；T表示矩阵的转置；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；E₀表示基体材料的弹性模量；p表示结构设计域的体积力；τ表示应用在边界

的部分边界

上的牵引力；

表示差分算子；n为法矢量。

进一步地，最小柔度布局优化模型的目标函数和约束函数对组件设计变量x_i、y_i、θ_i的灵敏度计算公式如下：

式中，J是多组件布局优化模型目标函数，定义为结构的动柔度；φ₀为基体水平集函数；φ_c为集成多组件系统的水平集函数；S_i为组件设计变量，其包括x_i、y_i、θ_i，其中x_i表示第i个组件质心的横坐标，y_i第i个组件质心的纵坐标，θ_i表示第i个组件与水平轴之间逆时针旋转的角度；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；

是目标函数对组件设计变量的一阶微分；φ_i表示第i个组件的水平集函数；G₁表示多组件布局拓扑优化模型的体积约束；G₂是防止嵌入式多组件之间相互干涉的非重叠约束；

表示体积约束函数G₁对组件设计变量的一阶微分；

表示多组件非重叠约束函数G₂对组件设计变量的一阶微分。

进一步地，多组件集成系统的最小柔度布局优化模型为：

Find:α_e＝[α₁,α₂,……,α_N]^T,S＝{x₁,y₁,θ₁,x₂,y₂,θ₂…,x_nc,y_nc,θ_nc}

式中，α_e表示基体的设计变量，为CSRBF插值时的扩展系数，仅与时间变量相关，e＝1,2,…,N；α_i,max和α_i,min分别表示设计变量的上下限；N表示结构设计域中有限元节点的数量；S为组件的设计变量，分别为x_i、y_i、θ_i，其中x_i表示第i个组件质心的横坐标，y_i第i个组件质心的纵坐标，θ_i表示第i个组件与水平轴之间逆时针旋转的角度；x_i,max和x_i,min分别表示组件质心横坐标移动的上限和下限；y_i,max和y_i,min分别表示组件质心纵坐标移动的上限和下限；Ld表示设计域的长度；Wd表示设计域的宽度；L_k代表第k个矩形组件长度的一半；r_j代表第j个圆形组件的半径；nc表示组件的总数目；J为结构的目标函数，定义为结构的静柔度；ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构位移场；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；u₀表示的是在边界

的部分边界

上的位移；E_e表示结构设计材料的等效弹性模量；a表示双线性能量式；l表示单线性负载式；φ₀表示结构设计域基体的水平集函数；φ_c表示结构设计域集成组件的水平集函数；Ω为结构设计域，dΩ为结构设计域的积分算子；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；G₁表示多组件布局拓扑优化模型的体积约束；f_v是约束的体积分数；V₀表示结构设计域的体积；G₂是防止嵌入式多组件之间相互干涉的非重叠约束；

表示第i个组件的体积，表示组件非重叠约束。

进一步地，基于虚功原理对结构有限单元平衡方程进行计算，弹性平衡条件的弱形式a(u,v,φ₀,φ_c)＝l(u,v,φ₀,φ_c)，能量双线性形式a(u,v,φ₀,φ_c)和载荷线性形式l(u,v,φ₀,φ_c)分别为：

a(u,v,Ω₀,φ_c)＝∫_Ωε^T(u)E_eε(v)dΩ

式中，a表示双线性能量式；l表示单线性负载式；φ₀表示结构设计域基体的水平集函数；φ_c表示结构设计域集成组件的水平集函数；ε为应变场，T表示矩阵的转置；u表示结构位移场；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；E_e表示结构设计材料的等效弹性模量；Ω为结构设计域，dΩ为结构设计域的积分算子；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；p表示结构设计域的体积力；τ表示应用在边界

的部分边界

上的牵引力；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分；

表示差分算子。

进一步地，所述等效弹性模量的计算模型为：

其中，φ₀表示基体的水平集函数；E₀表示基体材料的弹性模量属性；φ_c表示集成组件的水平集函数；H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数；φ_i表示第i个组件的水平集函数；E_c,i表示第i个组件材料的等效弹性属性；nc表示嵌入组件的数量。

进一步地，基体、组件和空洞的材料及拓扑模型分别为：

式中，φ₀(x)为表示基体的水平集函数；φ_i(x)为第i个组件的水平集函数；φ_c(x)为结构设计域内集成多组件系统的水平集函数。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法主要具有以下有益效果：

1.本发明提供的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，与现有的技术方法相比，通过使用水平集函数来描述多组件的拓扑结构，可以很好的控制多组件的形状保持不变；且使用max函数将多组件集成到一个水平集函数中便于后续基体及组件的拓扑描述，能够较快的计算出基体及组件的密度场。

2.本发明提供的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，与现有的传统水平集技术方法相比，多组件的设计变量采用多组件的位置变量，其包括组件质心坐标和组件与水平面的夹角，在保证准确描述多组件的情况下，大大减少了设计变量，提高了计算效率；同时基于位置和方向变量的多组件表达，很容易计算得到设计变量的灵敏度。

3.本发明提供的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，与现有的传统技术方法相比，仍然保证了基体及多组件系统同时优化设计，控制了组件每次迭代形状不变，只改变位置坐标和方向角度，计算效率较高，在节约计算成本的同时可以获得比较清晰、光滑的拓扑结构边界。

4.本发明提供的多组件布局拓扑优化方法简单，易于实施，适用性较强，有利于推广应用。

附图说明

图1是本发明提供的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法的流程示意图；

图2是本发明实施例1涉及的多组件集成系统的初始结构设计域的示意图；

图3是图2中的初始结构设计域嵌入多组件后的示意图；

图4是基于参数化彩色水平集将图2中的结构设计域嵌入多组件后的示意图；

图5是基于参数化彩色水平集对本发明实施例1进行多组件布局优化设计所得到的拓扑结构的示意图；

图6是本发明实施例1涉及的多组件集成系统的最小柔度布局优化模型的体积分数迭代曲线；

图7是本发明实施例1涉及的多组件集成系统的最小柔度布局优化模型的目标函数的迭代曲线。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

请参阅图1，本发明提供的基于参数化水平集的多组件布局拓扑优化方法，其组件采用类似SIMP中更新设计变量重新初始化的方法来减少设计变量，提升计算效率；对基体材料使用径向基函数进行插值，将基体动态变化的结构边界嵌入到高一维的函数中，通过追踪高维曲面的运动来描述结构边界的变化。

所述的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法主要包括以下步骤：

步骤一，以待优化多组件集成系统的组件的位置坐标及方向角度为设计变量分别构建各个组件的水平集函数，基于得到的多个水平集函数采用max函数将所有的组件集成到一个水平集函数φ_c。

具体地，以组件的位置坐标和方向坐标为设计变量构建各个组件的水平集函数，基于得到的水平集函数使用max函数将所有的组件集成到一个水平集函数中φ_c。以下以矩形组件及圆形组件为例，其中矩形组件的水平集函数为：

式中，P是一个相对较大的偶数(本实施方式取P＝6)；x_k代表第k个矩形组件的横坐标；y_k代表第k个矩形组件的纵坐标，即(x_k,y_k)是第k个矩形组件的质心坐标；θ_k是第k个矩形组件与水平轴之间逆时针旋转的角度；L_k代表第k个矩形组件的长度的一半；t_k代表第k个矩形组件的宽度的一半。上述这些参数可以显式的描述矩形组件的形状。

圆形组件的水平集函数为：

式中，x_j代表第j个圆形组件的横坐标；y_j代表第j个圆形组件的纵坐标，即(x_j,y_j)是第j个圆形组件的质心坐标；r_j代表第j个圆形组件的半径。

接着，基于得到的组件的水平集函数，采用max函数将所有组件集成到一个水平集函数φ_c中，水平集函数φ_c可以表示所有的组件，

φ_c＝max(φ₁,φ₂,φ₃……φ_i)

式中，φ_i表示第i个组件的水平集函数。

步骤二，基于参数化彩色水平集函数多相材料理论，将多组件集成系统的基体及得到的多个水平集函数进行不同组合以确定基体、组件及空洞的材料及拓扑模型。

具体地，基于水平集法的多相材料领域中参数化彩色水平集多相材料理论，使用基体和组件的水平集函数的不同组合来分别表示基体、组件和空洞的材料及拓扑模型：

式中，φ₀(x)为表示基体的水平集函数；φ_i(x)为第i个组件的水平集函数；φ_c(x)为结构设计域内集成多组件系统的水平集函数；基体动态变化的结构边界隐式地嵌入到Lipschitz连续的水平集函数中，该水平集函数比本实施方式所解决的问题高一维，故基体结构边界可以表达为水平集函数的零等值面。假设在固定设计域

中，Ω表示所有可能形状的集合，

代表结构边界的零等值面，根据水平集法定义，设计空间内各个部分可通过函数表示为：

所以基体φ₀可以被表述为任何形状；x为高维空间中的节点坐标。此时，组件的水平集函数φ_i不再嵌入到高一维的Lipschitz连续的水平集函数中，而是采用步骤一中建立组件水平集函数的方法，对组件的位置和方向设计变量进行敏度分析，每次迭代更新组件的位置坐标和方向角度来追踪组件的动态变化。

步骤三，基于得到的基体、组件及空洞的材料拓扑模型，将嵌入到结构设计域有限元网格中的各个组件的弹性模量与结构设计域中基体材料的弹性模量相插值，以得到结构设计材料的等效弹性模量。

具体地，将嵌入结构设计域的有限元网格中的各个组件的弹性模量与结构设计域中基体材料的弹性模量相插值，以得到结构设计材料的等效弹性模量，其中，所述等效弹性模量的计算模型为：

其中，φ₀表示基体的水平集函数；E₀表示基体材料的弹性模量属性；φ_c表示集成组件的水平集函数；H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数；φ_i表示第i个组件的水平集函数；E_c,i表示第i个组件材料的等效弹性属性；nc表示嵌入组件的数量。

步骤四，基于水平集函数φ_c及参数化彩色水平集拓扑优化方法构建多组件集成系统的最小柔度布局优化模型，并基于等效弹性模量及所述最小柔度布局优化模型在结构设计域中进行有限元分析以得到位移场；接着，根据所述位移场计算得到所述最小柔度布局优化模型的目标函数；之后，对基体和组件的设计变量分别进行灵敏度分析，并依据灵敏度分析结果对设计变量进行更新，进而确定各个组件布局的最佳位置及基体材料的最优分布，由此完成优化。

具体地，多组件集成系统的最小柔度布局优化模型为：

Find:α_e＝[α₁,α₂,……,α_N]^T,S＝{x₁,y₁,θ₁,x₂,y₂,θ₂…,x_nc,y_nc,θ_nc}

式中，α_e表示基体的设计变量，为CSRBF插值时的扩展系数，仅与时间变量相关，e＝1,2,…,N；α_i,max和α_i,min分别表示设计变量的上下限；N表示结构设计域中有限元节点的数量；S为组件的设计变量，分别为x_i、y_i、θ_i，其中x_i表示第i个组件质心的横坐标，y_i第i个组件质心的纵坐标，θ_i表示第i个组件与水平轴之间逆时针旋转的角度；x_i,max和x_i,min分别表示组件质心横坐标移动的上限和下限；y_i,max和y_i,min分别表示组件质心纵坐标移动的上限和下限；Ld表示设计域的长度；Wd表示设计域的宽度；L_k代表第k个矩形组件长度的一半；r_j代表第j个圆形组件的半径；nc表示组件的总数目；J为结构的目标函数，定义为结构的静柔度；ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构位移场；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；u₀描述的是在边界

的部分边界

上的位移；E_e表示结构设计材料的等效弹性模量；a表示双线性能量式；l表示单线性负载式；φ₀表示结构设计域基体的水平集函数；φ_c表示结构设计域集成组件的水平集函数；Ω为结构设计域，dΩ为结构设计域的积分算子；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；G₁表示多组件布局拓扑优化模型的体积约束；f_v是约束的体积分数；V₀表示结构设计域体积；G₂是防止嵌入式多组件之间相互干涉的非重叠约束；

表示第i个组件的体积，表示组件非重叠约束。

其中，基于虚功原理对结构有限单元平衡方程进行计算，弹性平衡条件的弱形式a(u,v,φ₀,φ_c)＝l(u,v,φ₀,φ_c)，能量双线性形式a(u,v,φ₀,φ_c)和载荷线性形式l(u,v,φ₀,φ_c)表示为：

a(u,v,φ₀,φ_c)＝∫_Ωε^T(u)E_eε(v)dΩ

式中，a表示双线性能量式；l表示单线性负载式；φ₀表示结构设计域基体的水平集函数；φ_c表示结构设计域集成组件的水平集函数；ε为应变场，T表示矩阵的转置；u表示结构位移场；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；E_e表示结构设计材料的等效弹性模量；Ω为结构设计域，dΩ为结构设计域的积分算子；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；p表示结构设计域的体积力；τ表示应用在边界

的部分边界

上的牵引力；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分，

表示差分算子。

多组件集成系统的最小柔度布局优化模型的构建包括以下步骤：

(41)初始化定义结构设计域长度和宽度，还包括：横向单元及水平单元数、基体及组件材料属性以及其余优化参数。

(42)基于求解的结构设计材料的等效弹性模量E_e，计算结构单元刚度矩阵Ke，组合单元刚度矩阵得到整体刚度矩阵K，然后在结构设计域中

进行有限元分析来求解位移场u，如下：

式中，a表示双线性能量式；l表示单线性负载式；φ₀表示结构设计域基体的水平集函数；φ_c表示结构设计域集成组件的水平集函数；ε为应变场，T表示矩阵的转置；u表示结构位移场；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；E_e表示结构设计材料的等效弹性模量；Ω为结构设计域；dΩ为结构设计域的积分算子；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；p表示结构设计域的体积力；τ表示应用在边界

的部分边界

上的牵引力；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分，

表示差分算子。

(43)基于得到的位移场u计算得到多组件集成系统的最小柔度布局优化模型的目标函数J，计算公式如下：

式中，ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构位移场；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；Ω为结构设计域；dΩ为结构设计域的积分算子；E_e表示结构设计材料的等效弹性模量。

(44)基于形状微分和伴随变量法来求解得到多组件集成系统的最小柔度布局优化模型中目标函数和约束函数对结构设计变量α_e的一阶微分，并根据链式求导法则计算所述目标函数和约束函数对设计变量x_i、y_i、θ_i的灵敏度，继而更新迭代各个设计变量。

其中，目标函数及约束函数对结构基体设计变量α_e的灵敏度计算公式如下：

其中：

式中，

是目标函数对基体设计变量的一阶微分；J是多组件布局优化模型的目标函数，定义为结构的动柔度；φ₀为基体水平集函数；α_e为基体设计变量；φ_c为集成多组件系统的水平集函数；u为结构位移场；γ函数定义如上所示；Ω为结构设计域；dΩ为结构设计域的积分算子；

表示紧支径向基函数；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分；G₁表示多组件布局拓扑优化模型的体积约束；G₂是防止嵌入式多组件之间相互干涉的非重叠约束；

表示体积约束函数G₁对基体设计变量的一阶微分；

表示多组件非重叠约束函数G₂对基体设计变量的一阶微分；ε为应变场；T表示矩阵的转置；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；E₀表示基体材料的弹性模量；p表示结构设计域的体积力；τ表示应用在边界

的部分边界

上的牵引力；

表示差分算子；n为法矢量。

目标函数和约束函数对组件设计变量x_i、y_i、θ_i的灵敏度计算公式如下：

式中，J是多组件布局优化模型目标函数，定义为结构的动柔度；φ₀为基体水平集函数；φ_c为集成多组件系统的水平集函数；S_i为组件设计变量，其包括：x_i、y_i、θ_i，其中x_i表示第i个组件质心的横坐标，y_i第i个组件质心的纵坐标，θ_i表示第i个组件与水平轴之间逆时针旋转的角度；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；

是目标函数对组件设计变量的一阶微分；φ_i表示第i个组件的水平集函数；G₁表示多组件布局拓扑优化模型的体积约束；G₂是防止嵌入式多组件之间相互干涉的非重叠约束；

表示体积约束函数G₁对组件设计变量的一阶微分；

表示多组件非重叠约束函数G₂对组件设计变量的一阶微分。

的计算公式如下：

其中，φ_i表示第i个组件的水平集函数；φ_c为集成多组件系统的水平集函数；H表示Heaviside函数。

可以由Heaviside函数求导法则轻松获得，关键在于

的求解，由于φ_c＝max(φ₁,φ₂,φ₃……φ_i)中包含max算子，所以在求解

微分时，经查阅资料可以采用K-S方程来近似min算子和max算子，从而可以计算

的解析求解。K-S方程方程如下：

上述K-S方程中的l取一个较大的正数时(例如当l＝50)，χ≈max(χ¹,χ²,…,χⁿ)；当l取一个较小的负数时(例如当l＝-50)，χ≈min(χ¹,χ²,…,χⁿ)。所以本实施方式中取l为一个较大的正数l＝50，即可以求得

的解析解。

当多组件为矩形时，根据链式法则可计算

得：

其中：

其中，φ_i表示第i个组件的水平集函数；S_i为组件设计变量，其包括：x_i，y_i，θ_i，其中x_i表示第i个组件质心的横坐标，y_i第i个组件质心的纵坐标，θ_i表示第i个组件与水平轴之间逆时针旋转的角度；x′和y′如上述公式所述；p是一个相对较大的偶数(本实施方式取p＝6)；L_i代表第i个组件的长度的一半；t_i代表第i个组件的宽度的一半。

优选地，当S_i＝x_i时，计算可得：

其中，x_i表示第i个组件质心的横坐标；θ_i表示第i个组件与水平轴之间逆时针旋转的角度；x′和y′如上述公式所述。

优选地，当S_i＝y_i时，可得：

其中，t_i第i个组件质心的纵坐标；θ_i表示第i个组件与水平轴之间逆时针旋转的角度；x′和y′如上述公式所述。

优选地，当S_i＝θ_i时，可得：

其中，x_i表示第i个组件质心的横坐标，y_i第i个组件质心的纵坐标，θ_i表示第i个组件与水平轴之间逆时针旋转的角度；x′和y′如上述公式所述。

当多组件为圆形时，根据链式法则可得

的计算公式为：

其中，φ_i表示第i个组件的水平集函数；S_i为组件设计变量，其包括：x_i，y_i，θ_i，其中x_i表示第i个组件质心的横坐标，y_i第i个组件质心的纵坐标，θ_i表示第i个组件与水平轴之间逆时针旋转的角度。

所以可计算约束函数G₁,G₂对组件设计变量的敏度分别为：

其中

和

的计算公式如下：

其中，φ_c为集成多组件系统的水平集函数；S_i为组件设计变量，其包括：x_i，y_i，θ_i，其中x_i表示第i个组件质心的横坐标，y_i第i个组件质心的纵坐标；θ_i表示第i个组件与水平轴之间逆时针旋转的角度；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；

是目标函数对组件设计变量的一阶微分，φ_i表示第i个组件的水平集函数；G₁表示多组件布局拓扑优化模型的体积约束；G₂是防止嵌入式多组件之间相互干涉的非重叠约束；

表示体积约束函数G₁对组件设计变量的一阶微分；

表示多组件非重叠约束函数G₂对组件设计变量的一阶微分。已知

在上面计算目标函数对组件设计变量的灵敏度时，已计算得出。

的解析计算根据上述K-S方程近似计算其解析解。

所以计算

和

可得：

其中，φ₀为基体水平集函数；φ_c为集成多组件系统的水平集函数；φ_i表示第i个组件的水平集函数；Ω为结构设计域；Ω为结构设计域的积分算子；

表示紧支径向基函数；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分；G₁表示多组件布局拓扑优化模型的体积约束；G₂是防止嵌入式多组件之间相互干涉的非重叠约束。

(45)根据更新的设计变量判断多组件集成系统最小柔度布局优化模型是否满足收敛条件，若否，则返回步骤(42)；若是，则输出结构设计的组件的最优布局和基体材料的最佳分布。

以下以具体实施例来对本发明进行进一步的详细说明。

实施例

本发明实施例所提供的一种基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，其涉及的初始设计域如图2所示，结构尺寸为120×60，有限元网格为120×60；基体材料的属性定义弹性模量为E₀＝1与泊松比μ＝0.3；在本例中将所有组件的材料属性定义为相同的弹性模量，嵌入式多组件材料的属性定义弹性模量E_c＝4与泊松比μ＝0.3；边界条件设置为左边固定约束，右边界中点处施加一集中载荷F＝-5N；设置最大迭代步数为200步；设置迭代终止条件为迭代前一步的约束函数值与迭代后一步的约束函数值相差为10^-7时，终止迭代。其中，将两个圆形组件和两个矩形组件嵌入到初始设计域中，如图3所示，圆形组件半径r＝6；矩形组件长度L＝14，宽度t＝8；圆形组件的质心坐标分别为(55，16)、(55，44)，矩形组件的质心坐标为(87，11)、(87，49)。如图4所示，其是基于参数化彩色水平集法定义初始空洞设计域中嵌入多组件的示意图。

在本实例中，设置体积分数f_v＝0.5，如图5所示是基于参数化彩色水平集法多组件布局优化后的拓扑结构，其总柔度值为J＝1634.8922，从图中可以看出基体边界光滑、清晰，多组件同时作为承载工件分布在传力路径上；图6所示是多组件集成系统的最小柔度布局优化模型的实际体积分数迭代曲线，图中计算的为实际体积分数与约束体积分数差值，从图中可以看出开始时实际体积分数与约束体积分数相差较大，在前5步迭代中快速、准确达到规定的约束值并趋于稳定；图7多组件集成系统的最小柔度布局优化模型的目标函数迭代曲线，从图中可知初始优化设计时由于初始体积分数没有达到预设约束的体积分数，所以目标函数出现一个较大的波动，当体积分数达到约束值时，目标函数稳定变化，渐渐趋于收敛，在迭代10步以后目标函数收敛稳定，表明该方法计算简单、快速有效，能够快速的收敛并达到稳定值。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

(1)以待优化多组件集成系统的组件的位置坐标及方向角度为设计变量分别构建各个组件的水平集函数，基于得到的多个水平集函数采用max函数将所有的组件集成到一个水平集函数φ_c；

(2)基于参数化彩色水平集函数多相材料理论，将多组件集成系统的基体及得到的多个水平集函数进行不同组合以确定基体、组件及空洞的材料拓扑模型；

(3)基于得到的基体、组件及空洞的材料拓扑模型，将嵌入到结构设计域有限元网格中的各个组件的弹性模量与结构设计域中基体材料的弹性模量相插值，以得到结构设计材料的等效弹性模量；

(4)基于水平集函数φ_c及参数化彩色水平集拓扑优化方法构建多组件集成系统的最小柔度布局优化模型，并基于等效弹性模量及所述最小柔度布局优化模型在结构设计域中进行有限元分析以得到位移场；接着，根据所述位移场计算得到所述最小柔度布局优化模型的目标函数；之后，对基体和组件的设计变量分别进行灵敏度分析，并依据灵敏度分析结果对设计变量进行更新，进而确定各个组件布局的最佳位置及基体材料的最优分布，由此完成优化。

2.如权利要求1所述的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，其特征在于：最小柔度布局优化模型的构建包括以下步骤：

(41)确定结构设计域的长度和宽度、横向单元、水平单元数、基体及组件材料属性；

(42)基于求解的结构设计材料的等效弹性模量E_e，计算结构单元刚度矩阵Ke，组合单元刚度矩阵得到整体刚度矩阵K，然后在结构设计域中进行有限元分析来求解位移场u；

(43)基于得到的位移场u计算得到多组件集成系统的最小柔度布局优化模型的目标函数J；

(44)基于形状微分和伴随变量法来求解得到多组件集成系统的最小柔度布局优化模型中目标函数和约束函数对结构基体设计变量α_e的一阶微分，并根据链式求导法则计算所述目标函数和约束函数对组件设计变量x_i、y_i、θ_i的灵敏度，继而更新迭代各个设计变量；

(45)根据更新后的设计变量判断多组件集成系统的最小柔度布局优化模型是否满足收敛条件，若否，则返回步骤(42)；若是，则输出结构设计组件的最优布局和基体材料的最佳分布。

3.如权利要求2所述的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，其特征在于：位移场u的计算公式为：

式中，φ₀表示结构设计域基体的水平集函数；φ_c表示结构设计域集成组件的水平集函数；ε为应变场，T表示矩阵的转置；u表示结构位移场；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；E_e表示结构设计材料的等效弹性模量；Ω为结构设计域；dΩ为结构设计域的积分算子；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；p表示结构设计域的体积力；τ表示应用在边界

的部分边界

上的牵引力；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分，

表示差分算子。

4.如权利要求2所述的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，其特征在于：目标函数J的公式为：

式中，ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构位移场；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；Ω为结构设计域；dΩ为结构设计域的积分算子；E_e表示结构设计材料的等效弹性模量。

5.如权利要求2所述的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，其特征在于：目标函数及约束函数对结构基体设计变量α_e的灵敏度计算公式如下：

其中：

式中，

是目标函数对基体设计变量的一阶微分；J是多组件布局优化模型的目标函数，定义为结构的动柔度；φ₀为基体水平集函数；α_e为结构基体设计变量；φ_c为集成多组件系统的水平集函数；u为结构位移场；Ω为结构设计域；dΩ为结构设计域的积分算子；

表示紧支径向基函数；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分；G₁表示多组件布局拓扑优化模型的体积约束；G₂是防止嵌入式多组件之间相互干涉的非重叠约束；

表示体积约束函数G₁对基体设计变量的一阶微分；

表示多组件非重叠约束函数G₂对基体设计变量的一阶微分；ε为应变场；T表示矩阵的转置；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；E₀表示基体材料的弹性模量；p表示结构设计域的体积力；τ表示应用在边界

的部分边界

上的牵引力；

表示差分算子；n为法矢量。

6.如权利要求2所述的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，其特征在于：最小柔度布局优化模型的目标函数和约束函数对组件设计变量x_i、y_i、θ_i的灵敏度计算公式如下：

式中，J是多组件布局优化模型目标函数，定义为结构的动柔度；φ₀为基体水平集函数；φ_c为集成多组件系统的水平集函数；S_i为组件设计变量，其包括x_i、y_i、θ_i，其中x_i表示第i个组件质心的横坐标，y_i第i个组件质心的纵坐标，θ_i表示第i个组件与水平轴之间逆时针旋转的角度；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；

是目标函数对组件设计变量的一阶微分；φ_i表示第i个组件的水平集函数；G₁表示多组件布局拓扑优化模型的体积约束；G₂是防止嵌入式多组件之间相互干涉的非重叠约束；

表示体积约束函数G₁对组件设计变量的一阶微分；

表示多组件非重叠约束函数G₂对组件设计变量的一阶微分。

7.如权利要求1-6任一项所述的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，其特征在于：多组件集成系统的最小柔度布局优化模型为：

Find：α_e＝[α₁，α₂，......，α_N]^T，S＝{x₁，y₁，θ₁，x₂，y₂，θ₂…，x_nc，y_nc，θ_nc}

式中，α_e表示结构基体设计变量，为CSRBF插值时的扩展系数，仅与时间变量相关，e＝1，2，...，N；α_i，max和α_i，min分别表示设计变量的上下限；N表示结构设计域中有限元节点的数量；S为组件设计变量x_i、y_i、θ_i，其中x_i表示第i个组件质心的横坐标，y_i第i个组件质心的纵坐标，θ_i表示第i个组件与水平轴之间逆时针旋转的角度；x_i，max和x_i，min分别表示组件质心横坐标移动的上限和下限；y_i，max和y_i，min分别表示组件质心纵坐标移动的上限和下限；Ld表示设计域的长度；Wd表示设计域的宽度；L_k代表第k个矩形组件长度的一半；r_j代表第j个圆形组件的半径；nc表示组件的总数目；J为结构的目标函数，定义为结构的静柔度；ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构位移场；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；u₀表示的是在边界

的部分边界

上的位移；E_e表示结构设计材料的等效弹性模量；a表示双线性能量式；l表示单线性负载式；φ₀表示结构设计域基体的水平集函数；φ_c表示结构设计域集成组件的水平集函数；Ω为结构设计域，dΩ为结构设计域的积分算子；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；G₁表示多组件布局拓扑优化模型的体积约束；f_v是约束的体积分数；V₀表示结构设计域的体积；G₂是防止嵌入式多组件之间相互干涉的非重叠约束；

表示第i个组件的体积，表示组件非重叠约束。

8.如权利要求1-6任一项所述的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，其特征在于：基于虚功原理对结构有限单元平衡方程进行计算，弹性平衡条件的弱形式a(u，v，φ₀，φ_c)＝l(u，v，φ₀，φ_c)，能量双线性形式a(u，v，φ₀，φ_c)和载荷线性形式l(u，v，φ₀，φ_c)分别为：

a(u，v，φ₀，φ_c)＝∫_Ωε^T(u)E_eε(v)dΩ

式中，a表示双线性能量式；l表示单线性负载式；φ₀表示结构设计域基体的水平集函数；φ_c表示结构设计域集成组件的水平集函数；ε为应变场，T表示矩阵的转置；u表示结构位移场；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；E_e表示结构设计材料的等效弹性模量；Ω为结构设计域，dΩ为结构设计域的积分算子；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；p表示结构设计域的体积力；τ表示应用在边界

的部分边界

上的牵引力；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分；

表示差分算子。

9.如权利要求1-6任一项所述的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，其特征在于：所述等效弹性模量的计算模型为：

其中，φ₀表示基体的水平集函数；E₀表示基体材料的弹性模量属性；φ_c表示集成组件的水平集函数；H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数；φ_i表示第i个组件的水平集函数；E_c，i表示第i个组件材料的等效弹性属性；nc表示嵌入组件的数量。

10.如权利要求1所述的基于参数化彩色水平集的多组件布局拓扑优化方法，其特征在于：基体、组件和空洞的材料及拓扑模型分别为：

式中，φ₀(x)为表示基体的水平集函数；φ_i(x)为第i个组件的水平集函数；φ_c(x)为结构设计域内集成多组件系统的水平集函数。

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