CN110705167B - 具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，以含有虚拟输入弹簧和输出弹簧模型为辅助计算，而同时以不含有虚拟输入弹簧和输出弹簧模型得到的位移场作为真实的计算目标，使得获得的柔顺机构具有规定的真实输出位移；同时引入自适应输出弹簧刚度法和自适应加权因子法，分别实现输出弹簧刚度随着给定的目标位移而自动调整其大小和自动调整两个子目标的相对权重。本发明避免了柔顺机构拓扑优化的数值不稳定现象，使得柔顺机构获得的输出位移能够达到规定的真实输出位移。

Description

具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法
技术领域
本发明属于优化设计技术领域，涉及到柔顺机构优化设计，具体涉及一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法。
背景技术
柔顺机构是一种通过自身的弹性变形来传递力或运动的机构，通常一体化加工而成，具有精度高、无摩擦磨损、无间隙、结构紧凑等优点，因而被广泛应用于精密工程领域。
柔顺机构的主要设计方法为拓扑优化，在柔顺机构拓扑优化中，在给定的输入力或输入位移下，要求柔顺机构的输出位移越大越好，同时又要具备一定的刚度以抵抗外载荷。为了同时满足这两个目标性能，虚拟弹簧模型被广泛用于柔顺机构的拓扑优化设计中。此模型在输入端和输出端分别添加虚拟弹簧以模拟驱动器和工件的刚度，这是一种能够恰当描述柔顺机构和周围环境之间的关系的通用模型。
现有技术中存在的主要问题如下：对于具有规定的真实输出位移的柔顺机构设计问题(即柔顺机构的输出端没有操作工件时的输出位移)，现有的这种模型是解决不了的，因为输入端和输出端添加了虚拟弹簧后使得柔顺机构得到的输出位移是含有虚拟弹簧刚度的位移而不是真实的输出位移。
发明内容
针对现有技术中存在的上述问题，本发明提供了一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，避免了柔顺机构拓扑优化的数值不稳定现象，使得柔顺机构获得的输出位移能够达到规定的真实输出位移。
为此，本发明采用了以下技术方案：
一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，用于柔顺机构的拓扑优化设计，包括以下步骤：
步骤一，根据设计要求建立柔顺机构拓扑优化的初始设计域，设定柔顺机构受到的载荷工况和边界条件；
步骤二，设置材料属性，分别建立设计域输入端和输出端添加虚拟弹簧以及输入端和输出端不添加虚拟弹簧的平衡方程；进行设计域的线性响应分析，分别得到设计域有虚拟弹簧和无虚拟弹簧的位移场；
步骤三，利用得到的位移场构建具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化数学模型；
步骤四，计算柔顺机构拓扑优化问题的灵敏度；
步骤五，求解具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化问题，更新设计变量，判断是否满足收敛条件；如果满足收敛条件则停止循环得到最终拓扑结果，如果不满足收敛条件则继续循环直到满足收敛条件。
优选地，步骤一中还包括设定柔顺机构具有规定的真实输出位移，并将设计域离散为有限单元。
优选地，步骤二中，均是基于线弹性有限元理论建立平衡方程。
优选地，步骤二中，设计域输入端和输出端添加虚拟弹簧的平衡方程如下：
KU＝F
其中，F为载荷矢量，U为有虚拟弹簧的位移场，K为包含了输入弹簧和输出弹簧的全局刚度矩阵，其计算式如下：
Figure BDA0002227009470000021
其中，N为有限单元个数，xi为各有限单元的相对密度，p为惩罚因子，E0为实体单元杨氏模量，Emin为规定的空单元的杨氏模量，
Figure BDA0002227009470000022
为单元刚度矩阵，Kin和Kout分别为含有输入弹簧和输出弹簧的刚度矩阵；
输入端和输出端不添加虚拟弹簧的平衡方程如下：
Figure BDA0002227009470000023
其中，
Figure BDA0002227009470000024
为无虚拟弹簧的位移场，
Figure BDA0002227009470000025
为不含有输入弹簧和输出弹簧的全局刚度矩阵，按如下表达式计算：
Figure BDA0002227009470000026
优选地，输出弹簧刚度kout采用自适应输出弹簧刚度法自动更新其值大小。
优选地，输出弹簧刚度kout采用如下表达式计算：
Figure BDA0002227009470000031
其中，
Figure BDA0002227009470000032
和
Figure BDA0002227009470000033
分别为当前迭代步和下一迭代步的输出弹簧刚度，参数β按照如下表达式进行计算：
Figure BDA0002227009470000034
其中，参数ζ(0<ζ<1)用于控制β的更新，
Figure BDA0002227009470000035
是给定的初始输出弹簧刚度值，
Figure BDA0002227009470000036
是不含有虚拟弹簧的真实输出位移，
Figure BDA0002227009470000037
是规定的真实输出位移。
优选地，步骤三的具体过程如下：
以含有虚拟输入弹簧和输出弹簧的输出位移最大化且同时优化真实的输出位移到规定的值为目标函数，体积比为约束条件，构建优化数学模型如下：
Figure BDA0002227009470000038
其中，α是权重因子，x是设计变量矢量，uout是含有虚拟弹簧的输出位移，
Figure BDA0002227009470000039
是不含有虚拟弹簧的真实输出位移，
Figure BDA00022270094700000310
是规定的真实输出位移，fv(x)为体积约束，vi是第i个有限单元的体积，V是设计域的总体积，V*为体积比。
优选地，权重因子α用于控制两个子目标的权重，采用自适应调整策略自动更新α，按照如下表达式进行更新：
Figure BDA00022270094700000311
其中，αk+1为下一迭代步的权重因子，
Figure BDA00022270094700000312
为当前迭代步的含有虚拟弹簧的输出位移，
Figure BDA00022270094700000313
为当前迭代步的不含有虚拟弹簧的真实输出位移。
优选地，步骤四中采用伴随矩阵法求解目标函数和约束条件的灵敏度，其目标函数敏度分析为：
Figure BDA0002227009470000041
其中，伴随位移矢量λ和γ分别通过求解伴随矩阵方程LT-λTK＝0和
Figure BDA0002227009470000042
得到；
体积约束函数敏度分析为：
Figure BDA0002227009470000043
优选地，步骤五中，采用优化算法求解具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化问题；对于单约束优化问题，采用优化准则法或者移动渐进算法；对于多约束优化问题，采用移动渐进算法；收敛条件为max(xold-x)<0.01或循环次数达到规定的最大值，其中xold为上一迭代步的设计变量，x为当前迭代步的设计变量。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
(1)本发明以含有虚拟输入和输出弹簧模型为辅助计算，避免了柔顺机构拓扑优化的数值不稳定现象，而同时以不含有虚拟输入和输出弹簧模型得到的位移作为真实的目标函数，使得获得的柔顺机构的输出位移能够达到规定的真实输出位移。
(2)本发明由于采用了自适应输出弹簧刚度法，可以实现输出弹簧刚度随着给定的目标位移而自动调整其大小，避免了输出弹簧刚度过大或过小而导致很难收敛到规定目标值的问题。
(3)本发明在利用线性加权和将多目标优化问题转化为单目标优化问题时，采用了自适应加权因子来自动调整两个子目标的相对权重，避免了手动选取合适的加权因子这个繁琐的过程。
附图说明
图1是本发明实施例所提供的柔顺位移反向机构的设计域相关参数的示意图。
图2是本发明实施例的最终拓扑优化结果的示意图。
图3是本发明实施例中输出弹簧刚度kout的自适应变化过程示意图。
图4是本发明实施例中权重因子α的自适应变化过程示意图。
图5是本发明实施例在各种规定的真实输出位移下的拓扑优化结果示意图。
图6是本发明实施例在各种规定的真实输出位移下的输出位移变化过程示意图。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施例来详细说明本发明，其中的具体实施例以及说明仅用来解释本发明，但并不作为对本发明的限定。
实施例
一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，具体包含以下步骤：
(a)所述柔顺机构为柔顺位移反向机构，图1所示为柔顺位移反向机构拓扑优化的设计域，所述设计域设为正方形，边长l为100mm，其左上角和左下角均被固定，在左侧边界中点处施加方向向右的输入力Fin为10N，期望在右侧边界的中点产生向左的具有规定的真实输出位移
Figure BDA0002227009470000051
将设计域离散为100×100个正方形有限单元。
(b)设计域材料的杨氏模量设为1GPa，空单元的杨氏模量设为0.001GPa，泊松比为0.3，在设计域左边中点处添加虚拟输入弹簧，其刚度设为kin＝0.1N/mm，在设计域右边中点处添加虚拟输出弹簧kout，采用自适应输出弹簧刚度法自动更新其值大小，按照表达式
Figure BDA0002227009470000052
进行更新，参数β按照下列表达式进行计算：
Figure BDA0002227009470000053
其中，参数ζ设为0.5，初始输出弹簧刚度设为
Figure BDA0002227009470000054
通过分别求解含有和不含有虚拟输入弹簧和输出弹簧的平衡方程，得到位移场U和位移场
Figure BDA0002227009470000055
(c)构建具有规定的真实输出位移的柔顺位移反向机构拓扑优化数学模型，为了使得柔顺机构拓扑优化过程中能形成合理的拓扑结果以及避免数值不稳定现象，定义含有虚拟输入弹簧和输出弹簧的输出位移uout最大化为其中一个子目标，同时定义优化不含有虚拟输入弹簧和输出弹簧的真实输出位移
Figure BDA0002227009470000061
到规定的值为另一个子目标，约束条件为体积比，得到具有真实输出位移的柔顺位移反向机构拓扑优化数学模型如下：
Figure BDA0002227009470000062
其中，α是权重因子，x是设计变量矢量，uout是含有虚拟弹簧的输出位移，
Figure BDA0002227009470000063
是不含有虚拟弹簧的真实输出位移，
Figure BDA0002227009470000064
是规定的真实输出位移，fv(x)为体积约束，vi是第i个有限单元的体积，V是设计域的总体积，V*为体积比，设为30％。
采用自适应调整策略自动更新权重因子α，按照下列表达式进行更新：
Figure BDA0002227009470000065
其中，αk+1为下一迭代步的权重因子，
Figure BDA0002227009470000066
为当前迭代步的含有虚拟弹簧的输出位移，
Figure BDA0002227009470000067
为当前迭代步的不含有虚拟弹簧的真实输出位移。
(d)优化问题敏度分析计算，采用伴随矩阵法求解目标函数和约束条件的灵敏度，目标函数敏度分析：
Figure BDA0002227009470000068
约束函数敏度分析：
Figure BDA0002227009470000071
(e)采用移动渐进线(MMA)算法求解柔顺位移反向机构拓扑优化问题，更新设计变量xi，直到迭代收敛到最终拓扑结果。
图2所示为具有规定真实输出位移
Figure BDA0002227009470000072
的最终拓扑优化结果。图3和图4分别为输出弹簧刚度kout和加权因子α在优化过程中自适应调整的过程。图5所示为不同的规定真实输出位移下的拓扑优化结果，图6所示为真实输出位移的收敛过程，从这两张图中可以看出：随着给定的规定真实输出位移的不同，所得到的柔顺位移反向机构的拓扑优化结果也不同，并且最终都收敛到了规定的真实输出位移值。上述图中Iterations表示迭代次数。优化结果验证了本发明提供的方法法可以实现输出弹簧刚度随着给定的目标位移而自动调整其大小，避免了输出弹簧刚度过大或过小而导致很难收敛到规定目标值的问题；同时也验证了本发明提供的方法在利用线性加权和将多目标转化为单目标优化问题时，采用的自适应加权因子法可以自动调整两个子目标的相对权重，避免了手动选取合适的加权因子这个繁琐的过程。
从以上论述和算例对比、验证可以发现，本发明能够有效解决具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计问题。
以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则范围之内所作的任何修改、等同替换以及改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，用于柔顺机构的拓扑优化设计，其特征在于：包括以下步骤：
步骤一，根据设计要求建立柔顺机构拓扑优化的初始设计域，设定柔顺机构受到的载荷工况和边界条件；
步骤二，设置材料属性，分别建立设计域输入端和输出端添加虚拟弹簧以及输入端和输出端不添加虚拟弹簧的平衡方程；进行设计域的线性响应分析，分别得到设计域有虚拟弹簧和无虚拟弹簧的位移场；
步骤三，利用得到的位移场构建具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化数学模型；
步骤四，计算柔顺机构拓扑优化问题的灵敏度；
步骤五，求解具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化问题，更新设计变量，判断是否满足收敛条件；如果满足收敛条件则停止循环得到最终拓扑结果，如果不满足收敛条件则继续循环直到满足收敛条件。
2.根据权利要求1所述的一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，其特征在于：步骤一中还包括设定柔顺机构具有规定的真实输出位移，并将设计域离散为有限单元。
3.根据权利要求1所述的一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，其特征在于：步骤二中，均是基于线弹性有限元理论建立平衡方程。
4.根据权利要求3所述的一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，其特征在于：步骤二中，设计域输入端和输出端添加虚拟弹簧的平衡方程如下：
KU＝F
其中，F为载荷矢量，U为有虚拟弹簧的位移场，K为包含了输入弹簧和输出弹簧的全局刚度矩阵，其计算式如下：
Figure FDA0002227009460000011
其中，N为有限单元个数，xi为各有限单元的相对密度，p为惩罚因子，E0为实体单元杨氏模量，Emin为规定的空单元的杨氏模量，
Figure FDA0002227009460000012
为单元刚度矩阵，Kin和Kout分别为含有输入弹簧和输出弹簧的刚度矩阵；
输入端和输出端不添加虚拟弹簧的平衡方程如下：
Figure FDA0002227009460000021
其中，
Figure FDA0002227009460000022
为无虚拟弹簧的位移场，
Figure FDA0002227009460000023
为不含有输入弹簧和输出弹簧的全局刚度矩阵，按如下表达式计算：
Figure FDA0002227009460000024
5.根据权利要求4所述的一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，其特征在于：输出弹簧刚度kout采用自适应输出弹簧刚度法自动更新其值大小。
6.根据权利要求5所述的一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，其特征在于：输出弹簧刚度kout采用如下表达式计算：
Figure FDA0002227009460000025
其中，
Figure FDA0002227009460000026
和
Figure FDA0002227009460000027
分别为当前迭代步和下一迭代步的输出弹簧刚度，参数β按照如下表达式进行计算：
Figure FDA0002227009460000028
其中，参数ζ(0<ζ<1)用于控制β的更新，
Figure FDA0002227009460000029
是给定的初始输出弹簧刚度值，
Figure FDA00022270094600000210
是不含有虚拟弹簧的真实输出位移，
Figure FDA00022270094600000211
是规定的真实输出位移。
7.根据权利要求1所述的一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，其特征在于：步骤三的具体过程如下：
以含有虚拟输入弹簧和输出弹簧的输出位移最大化且同时优化真实的输出位移到规定的值为目标函数，体积比为约束条件，构建优化数学模型如下：
Figure FDA00022270094600000212
s.t:KU＝F
Figure FDA00022270094600000213
Figure FDA00022270094600000214
0≤xi≤1,i＝1,2…,N
其中，α是权重因子，x是设计变量矢量，uout是含有虚拟弹簧的输出位移，
Figure FDA0002227009460000031
是不含有虚拟弹簧的真实输出位移，
Figure FDA0002227009460000032
是规定的真实输出位移，fv(x)为体积约束，vi是第i个有限单元的体积，V是设计域的总体积，V*为体积比。
8.根据权利要求7所述的一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，其特征在于：权重因子α用于控制两个子目标的权重，采用自适应调整策略自动更新α，按照如下表达式进行更新：
Figure FDA0002227009460000033
其中，αk+1为下一迭代步的权重因子，
Figure FDA0002227009460000034
为当前迭代步的含有虚拟弹簧的输出位移，
Figure FDA0002227009460000035
为当前迭代步的不含有虚拟弹簧的真实输出位移。
9.根据权利要求7所述的一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，其特征在于：步骤四中采用伴随矩阵法求解目标函数和约束条件的灵敏度，其目标函数敏度分析为：
Figure FDA0002227009460000036
其中，伴随位移矢量λ和γ分别通过求解伴随矩阵方程LT-λTK＝0和
Figure FDA0002227009460000037
得到；
体积约束函数敏度分析为：
Figure FDA0002227009460000038
10.根据权利要求1至9中任一项所述的一种具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化设计方法，其特征在于：步骤五中，采用优化算法求解具有规定的真实输出位移的柔顺机构拓扑优化问题；对于单约束优化问题，采用优化准则法或者移动渐进算法；对于多约束优化问题，采用移动渐进算法；收敛条件为max(xold-x)<0.01或循环次数达到规定的最大值，其中xold为上一迭代步的设计变量，x为当前迭代步的设计变量。
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