CN113282995B - 一种自修正的结构分散振动控制系统设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及振动控制技术领域，具体公开了一种自修正的结构分散振动控制系统设计方法，包括如下步骤：子结构与剩余结构的划分，子结构与剩余结构理论模态信息的获取，剩余结构模态坐标的转换，子结构与剩余结构的组装，子结构模态扩展方程的建立，子结构的模态扩展，子结构与剩余结构参数的同步更新，整体结构有限元模型的修正，整体结构模态误差的验证，子系统状态空间模型的建立，可控标准型的转换，子系统局部状态控制器的设计，子系统间相互作用控制器的设计，整体结构闭环系统的设计。采用本发明的技术方案能够避免结构突发损伤导致控制系统控制性能低下的问题。

Description

一种自修正的结构分散振动控制系统设计方法

技术领域

本发明涉及振动控制技术领域，特别涉及一种自修正的结构分散振动控制系统设计方法。

背景技术

据统计，在基建领域，每年会新建大量的大型展览厅、飞机库、体育馆等大跨空间结构建筑。此类结构在地震、台风等荷载下极易产生影响结构使用功能甚至安全性的振动，例如1989年美国哈特福特中心体育馆的屋盖整体垮塌，中间部分下陷，四边悬挑部分翘起。2013年芦山县城中芦山体育馆网壳发生严重破坏，但周边混凝土结构却未发生结构破坏。

且随着国民经济的提高，在建、待建的结构体系跨度越来越大，导致结构刚性越来越柔、阻尼比愈发降低，而传统“小震不坏，中震可修，大震不倒”的抗震设计方法仅能提高工程结构的抗震性能，不具备自我调节、控制的能力，难以保证所设计结构的安全性、适用性、舒适性等要求。因此，如何合理控制结构在较大振动下的安全性能目前面临的突出问题。

从20世纪开始，大跨空间结构的振动控制研究得到了快速发展，其能有效控制结构在地震作用下的响应，弥补了传统抗震设计方法的不足。目前该技术已由科学研究逐步走向工程实际应用，例如北京大学体育馆通过安装抗震球铰支座、滑动支座，释放屋盖结构水平推力、防止水平地震作用。希腊2004年奥运会主赛馆在马鞍型屋顶和柱子之间设置了128个泰勒液体粘滞阻尼器，极大减少了地震情况下屋顶的相对位移和柱子的受力。但应指出的是，一方面，由于大跨空间结构构造复杂，需在结构中同时布设多个独立的被动、主动或半主动控制系统，不仅会造成资源浪费，且当唯一的控制器发生故障时无法保证系统的容错性能。另一方面，集中式控制方法需同时采用系统所有测量信号方能计算所有作动器的控制力，导致控制系统复杂且可靠性较差。

因此，近年来学术界提出了分散振动控制方法。该方法基于子模块原理，将大型复杂结构划分为若干区域，并在各个区域布设子系统实施独立最优控制，同时又依靠子系统间信息传递保证整体结构最优控制。相对于传统集中式的振动控制模式，分散振动控制方法通过分散控制需求到各个子系统中，即使整个控制系统中某个子系统出现故障，其余子系统也不会受到影响，整体系统仍能继续进行工作，同步实现子系统与整体系统的最优控制。

然而，现有的分散振动控制方法依赖于整体结构的响应信息，且当结构中出现损伤时仍会沿用无损的结构参数进行振动控制，容易导致控制效果低下的问题。对于复杂的土木结构而言，整体结构的响应往往难以获取，且传统振动控制系统均无法根据结构的实际运营情况实时修正系统参数，这对分散控制系统的实际应用是非常不利的。

因此，需要提供一种适用于大型土木结构的自修正的结构分散振动控制系统设计方法。

发明内容

本发明提供了一种自修正的结构分散振动控制系统设计方法，能够避免结构突发损伤导致控制系统控制性能低下的问题。

为了解决上述技术问题，本申请提供如下技术方案：

一种自修正的结构分散振动控制系统设计方法，包括如下步骤：

步骤1、子结构与剩余结构的划分：对于任意的工程结构，将选定区域的整体结构划分为N₁个子结构与N₂个剩余结构；根据工程结构的设计图纸，建立每个子结构、每个剩余结构在物理坐标下的运动方程；

步骤2、子结构与剩余结构理论模态信息的获取：根据步骤1中建立的剩余结构在物理坐标下的运动方程，计算每个剩余结构的理论模态信息；理论模态信息包括理论频率和理论振型信息；

步骤3、剩余结构模态坐标的转换：对每个剩余结构，建立相应的模态坐标转换矩阵；根据剩余结构的模态坐标转换矩阵及步骤2中获取的理论模态信息，将步骤1中剩余结构在物理坐标下的运动方程转换到模态坐标下；

步骤4、子结构与剩余结构的组装：根据步骤1中建立的子结构在物理坐标下的运动方程及步骤3中剩余结构在模态坐标下的运动方程，采用有限元法组装子结构与剩余结构，从而建立不考虑子结构、剩余结构间相互作用的整体结构混合运动方程；

步骤5、子结构模态扩展方程的建立：在工程结构中的子结构区域布设传感设备，通过传感设备获取整体结构的实测模态信息，实测模态信息包括实测频率与子结构的实测振型信息；根据整体结构的实测频率、子结构的实测振型信息及步骤4中获取的整体结构混合运动方程，采用特征分解法，建立子结构的模态扩展方程；

步骤6、子结构的模态扩展：根据步骤5中建立的子结构模态扩展方程，选取剩余结构的理论振型信息作为待估计的模态参数，并采用凸优化算法估计剩余结构的理论振型信息；

步骤7、子结构与剩余结构参数的同步更新：根据步骤5中获取的整体结构实测频率和子结构实测振型信息、步骤6中获取的剩余结构理论振型信息及步骤4中获取的整体结构混合运动方程，选取子结构和剩余结构的刚度、质量作为待修正参数，并采用特征分解法，建立子结构与剩余结构的同步更新方程；在此基础之上，采用非线性最小二乘法计算子结构与剩余结构修正后的刚度、质量矩阵；

步骤8、整体结构有限元模型的修正：根据步骤7中获取的子结构和剩余结构修正后的刚度、质量矩阵，采用有限元法，建立修正后整体结构的有限元模型；采用特征分解法计算修正后整体结构的理论模态信息；

步骤9、整体结构模态误差的验证：比较步骤5中获取的整体结构实测频率和子结构实测振型信息、步骤6中获取的剩余结构的理论振型信息及步骤8中修正后整体结构的理论模态信息，如果理论模态信息与实测模态信息之间的误差在设定的容许范围内，则停止修正；否则，将步骤8中修正后整体结构的有限元模型重新按步骤1划分为N₁个子结构与N₂个剩余结构，并重复步骤1～8，直至修正后整体结构的理论模态信息与实测模态信息之间的误差在容许范围内；

步骤10、子系统状态空间模型的建立：根据需求，将步骤9中获取的修正后整体结构有限元模型划分为多个区域，并采用有限元法，建立不考虑区域间相互作用的每个区域独立的运动方程；将每一个区域作为一个子系统，将每个子系统的运动方程转换为状态空间方程形式，从而建立每一个子系统的状态空间模型；

步骤11、可控标准型的转换：判断步骤10中每个子系统的状态空间模型是否为可控标准形，如果是，则直接跳转到步骤12；否则，根据可控性理论，将其转换为可控标准形；

步骤12、子系统局部状态控制器的设计：根据步骤11中获取的子系统在可控标准型下的状态空间模型及步骤10中获取的修正后整体结构理论频率与理论振型信息，采用多变量极点配置法设计子系统的局部状态控制器；

步骤13、子系统间相互作用控制器的设计：根据步骤11中获取的子系统在可控标准型下的状态空间模型及步骤12中设计的子系统局部状态控制器，采用多级分散控制理论设计不同子系统间的相互作用控制器；

步骤14、整体结构闭环系统的设计：重复步骤12、13，直到所有子系统的局部状态控制器和子系统间的相互作用控制器设计完成；在此基础之上，利用步骤11中获取的子系统在可控标准型下的状态空间模型及步骤12中设计的子系统局部状态控制器，分别建立每个子系统的独立闭环控制系统；利用每个子系统的独立闭环控制系统及步骤13中设计的子系统间的相互作用控制器，建立整体结构的闭环系统。

基础方案原理及有益效果如下：

本方案中，将整体结构按照选定的区域划分为若干个子结构与剩余结构，引入了子结构更新方法，仅在子结构内部布设传感设备的情况下实现了子结构与剩余结构物理参数的同步修正，避免了在运营期间，结构突发损伤时控制系统仍沿用未损伤的结构参数导致控制性能低下的弊端，大大提高了分散控制系统在结构运营期间的控制效果及稳定性。

接着，将修正后的结构有限元模型重新划分为多个子系统，并建立了每个子系统的状态空间模型。在此基础之上，采用多变量极点配置方法，引入可控标准形理论，对每个子系统配置理想极点，使得每个子系统在运行过程中回归到理想极点上，最后，通过相互作用控制器等建立整体结构系统的闭环控制系统。

本方案将子结构更新方法、多变量极点配置方法及多级分散控制理论进行结合，不仅建立了符合实际结构运营期间子系统状态空间方程的自修正系统，同时引入多变量极点配置法与多级分散控制理论，实现了结构的实时、高效振动控制，从而避免了实际中结构突发损伤导致控制系统控制性能低下的弊端，提高了对结构运营期间的振动控制能力，对分散控制系统的实际实施提供了一种更为有效、经济的方法。

进一步，还包括步骤15、整体结构闭环系统的程序化：根据步骤1-14，采用Simulink仿真软件建立整体结构的闭环系统。

进一步，所述步骤1中，根据有限元法建立每个子结构、每个剩余结构在物理坐标下的运动方程，其中，第i个子结构、第j个剩余结构在物理坐标下的运动方程分别表示为：

式中，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的刚度矩阵，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的质量矩阵，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的加速度向量，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的位移向量，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的荷载分配矩阵，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的荷载向量，且i∈[1,...,N₁]，j∈[1,...,N₂]。

进一步，所述步骤2中，采用特征分解法计算第j个剩余结构理论模态信息公式为：

式中，

表示第j个剩余结构的频率特征值，

表示第j个剩余结构的振型特征向量。

进一步，所述步骤3中具体包括：

获取剩余结构的高阶模态信息：对于第j个剩余结构，采用一阶近似剩余柔度方法计算剩余结构的高阶模态信息；

剩余结构高阶模态信息的计算步骤如下：

设定第j个剩余结构从物理坐标

转换到模态坐标

的公式表达如下：

式中，下标k表示剩余结构的低阶保留模态阶数，

表示相应的模态坐标，

表示相应的振型向量；d表示剩余结构的高阶近似模态阶数，

表示相应的模态坐标，

表示相应的振型向量；

利用上述关系，将公式(2)中剩余结构在物理坐标下的运动方程转换到模态坐标下

式中，

为第j个剩余结构界面自由度所对应的振型向量，其中

为界面自由度所对应的低阶保留振型向量，

为界面自由度所对应的高阶近似振型向量；

为第j个剩余结构界面自由度所对应的荷载向量；

在考虑剩余结构的稳态响应下，即

此时组合式(4)和式(5)可得：

式中，Nm表示剩余结构的总模态阶数，

为第j个剩余结构的第n阶频率，

为第j个剩余结构的第n阶振型向量，由于式(6)中最后一项表示未保留高阶模态的柔度残差矩阵，因此采用从刚度矩阵中抽取柔度矩阵的方法作为其近似值，即

此时式(6)可改写成

式中，

表示第j个剩余结构的特征值矩阵，且

表示第j个剩余结构的柔度矩阵；

表示第j个剩余结构界面力的定位矩阵。

进一步，还包括模态转换矩阵的构造：对每一个剩余结构，根据需求，从步骤2中获取的剩余结构理论模态信息中选取低阶保留模态信息；再将选取的低阶保留模态信息和高阶模态信息进行组合，作为剩余结构的模态信息转换矩阵；再利用模态信息转换矩阵将步骤1中剩余结构在物理坐标下的运动方程转换到模态坐标下。

进一步，模态转换矩阵的计算步骤如下：

通过组合(5)和(7)式可得剩余结构新的特征方程

和

式中

为第j个剩余结构界面自由度所对应的柔度矩阵；

模态转换矩阵

可以通过组合

和

得到

再利用模态转换矩阵将剩余结构的运动方程转换到模态坐标下

式中，

为剩余结构在模态坐标下的质量矩阵，

为剩余结构在模态坐标下的刚度矩阵，

为剩余结构在模态坐标下的荷载向量。

进一步，所述步骤4中，整体结构的混合运动方程公式为：

式中，

为子结构内部自由度所对应的刚度矩阵，

为子结构内部自由度与界面自由度耦合位置所对应的刚度矩阵，

为子结构界面自由度所对应的刚度矩阵；

为剩余结构内部自由度所对应的刚度矩阵，

为剩余结构内部自由度与界面自由度耦合位置所对应的刚度矩阵，

为剩余结构界面自由度所对应的刚度矩阵；

为子结构内部自由度所对应的质量矩阵，

为子结构内部自由度与界面自由度耦合位置所对应的质量矩阵，

为子结构界面自由度所对应的质量矩阵；

为剩余结构内部自由度所对应的质量矩阵，

为剩余结构内部自由度与界面自由度耦合位置所对应的质量矩阵，

为剩余结构界面自由度所对应的质量矩阵；

为子结构内部自由度所对应的加速度向量；

为子结构界面自由度所对应的加速度向量；

为剩余结构界面自由度所对应的加速度向量；

为剩余结构内部自由度所对应的加速度向量；

为子结构内部自由度所对应的位移向量；

为子结构界面自由度所对应的位移向量；

为剩余结构界面自由度所对应的位移向量；

为剩余结构内部自由度所对应的位移向量；

为子结构内部自由度所对应的荷载向量；

为子结构界面自由度所对应的荷载向量；

为剩余结构界面自由度所对应的荷载向量；

为剩余结构内部自由度所对应的荷载向量。

进一步，所述步骤5中，子结构模态扩展方程的公式为：

式中，

为子结构在内部自由度上的实测振型信息，

为子结构在界面自由度上的实测振型信息；

为剩余结构在内部自由度上的理论振型信息，

为剩余结构在界面自由度上的理论振型信息，在本式中，

均为待求解的模态参数；ω为整体结构的实测频率。

进一步，所述步骤6中，子结构的模态扩展步骤如下：

模态扩展过程中的目标函数公式为：

式中，

为待估计的模态参数；||·||表示二范数；h_j为设定的收敛值；n_me为求解过程中所使用的模态阶数，

根据公式(13)建立的目标函数，采用凸优化算法估计参数

进一步，所述步骤7中，子结构与剩余结构的同步更新方程公式为：

式中，

为待修正的整体结构刚度矩阵，其中

其中α^S为子结构待计算的刚度修正系数，α^R为剩余结构待计算的刚度修正系数；

为待修正的整体结构质量矩阵，

其中β^S为子结构待计算的质量修正系数，β^R为剩余结构待计算的质量修正系数；

为整体结构的第i阶振型向量；

为子结构与剩余结构的常数修正矩阵，其可进一步表达为

式中，

为

的敏感矩阵，其公式为

进一步，所述步骤7中，在建立子结构与剩余结构的同步更新方程后，采用非线性最小二乘法计算子结构与剩余结构的质量、刚度修正系数，具体的计算步骤为：

(1)待修正参数的选取：根据需求选取子结构与剩余结构中任意构件的质量、刚度作为待修正参数；

(2)目标函数的建立：根据公式(14)建立子结构与剩余结构的同步更新方程；

(3)初始条件的确定：根据结构的设计图纸，设定待修正参数的初始值，并同时设定待修正参数在迭代过程中取值范围的上、下限值；

(4)算法参数的设定：在迭代开始前，根据需求设定算法的系统变量，包括迭代开始次数k，迭代步长λ₀，迭代方向v及终止常数ε；

(5)收敛条件的检查：根据式(19)检查待修正参数在当前迭代步的取值是否满足收敛条件；如果不满足，跳转到步骤(6)；

(6)迭代步长的计算：当收敛条件不满足时，根据公式(20)计算新的迭代向量λ_k及迭代步长d_k

(7)下步迭代的确定：根据公式(21)中计算的迭代步长调整迭代的方向，此时x_k+1＝x_k+d_k,并返回公式(19)重新判断收敛条件，直到所有待修正参数收敛到稳定值。

进一步，所述步骤8中，修正后整体结构的有限元模型为：

式中，M^new为修正后的整体结构质量矩阵，

其中β^S为已获取的子结构质量修正参数，β^R为已获取的剩余结构质量修正参数；K^new为修正后的整体结构刚度矩阵，

其中α^S为获取的子结构刚度修正参数，α^R为获取的剩余结构刚度修正参数。

进一步，所述步骤9中，整体结构的模态误差验证公式为：

采用特征分解法求解修正后整体结构有限元模型的理论频率与理论振型信息为：

[K^new-(λ^new)²M^new]Φ^new＝0 (23)

如果(λ-λ^new)≤ε^*，(Φ^new-Φ)/Φ≥τ^*，则停止修正，其中ε^*为设定的频率误差，τ^*为设定的振型误差，λ为结构的真实特征值，Φ为结构的真实特征向量，λ^new为修正后结构的特征值，Φ^new为修正后结构的特征向量；否则，以当前修正后的刚度、质量矩阵作为初始条件，重复步骤7，直到满足收敛条件。

进一步，所述步骤10中，建立子系统状态空间模型的具体步骤为：

在完成了步骤9中整体结构有限元模型的修正后，将整体结构修正后的有限元模型重新划分为N₃个区域，并按步骤1建立每个区域在物理坐标下的独立运动方程，在此基础之上，将每个区域作为一个子系统，对于第i个子系统，选取该子系统的位移₁η_i和速度₂η_i作为状态变量，此时，第i个子系统的状态空间方程表达如下：

式中，

是第i个子系统的控制力向量，

将式(24)改写成如下形式

式中，x_i＝{₁η_{i 2}η_i}^T是子系统的状态向量，

为子系统的状态系数矩阵，

为子系统外部输入的定位矩阵，C_i为子系统的输出定位矩阵。

进一步，所述步骤11中，子系统状态空间模型转换为可控标准型的具体步骤为：

引理1：线性时变系统

是可控的，当且仅当A和B满足：

式中，n^*为子系统的状态变量数量，

对于第i个子系统，其特征多项式表达如下：

式中，

为第i个子系统的第n^*-1个特征系数，

根据引理1，如果第i个子系统的状态空间方程完全可控，即

是线性无关的，将其作为状态空间方程一个新的基底，

因此

是线性无关向量，

令

因此可控标准形

和

可计算如下

在此基础之上，第i个子系统在可控标准型下的状态空间模型可表示为

进一步，所述步骤12中，设计子系统局部状态控制器的具体步骤为：

若子系统的传递矩阵表达如下：

g(s_i)＝c(s_iI-A_i)^-1B_i (32)

通过定义子系统的极点使其满足条件g(s_i)→∞，

引理2：对于线性时变系统

当且仅当系统是可控时，可通过状态反馈增益u^l(x)来任意指派系统的特征值，

若{A_i,B_i}满足引理2，此时，多变量极点配置法计算步骤如下：

(1)判断状态系数矩阵A_i是否为循环矩阵，如果A_i是不是循环矩阵，则引入一个状态反馈增益K₁，使得新的状态系数矩阵

成为循环矩阵，在引入K₁后，新的输入向量

表达如下

式中，K₁是用户任意选取的状态反馈增益矩阵，再将式(33)代入式(31)，则第i个子系统的状态空间模型可改写成：

如果A_i是循环矩阵，则直接跳转到步骤(2)；

(2)由于

是完全可控的，根据引理1，

也是完全可控的，因此，选取一个非奇异向量ρ使得

也成为完全可控的，

(3)对于第i个子系统，指定一组理想的极点

式中，n^*是第i个子系统状态变量的数量，

(4)计算状态反馈前第i个子系统的特征多项式如下

式中，

是反馈前第i个子系统的状态系数，λ_i是反馈前第i个子系统的理想极点，

(5)计算状态反馈后第i个子系统的特征多项式如下

式中，

是反馈后第i个子系统的状态系数，

是反馈后第i个子系统的极点，

(6)在反馈前后，第i个子系统特征值的变化大小计算如下

(7)计算子系统的状态反馈增益矩阵

P＝Q^-1 (39)

(8)此时，子系统新的局部状态反馈增益矩阵

计算如下

(9)引入新的局部状态反馈增益后，第i个子系统新的输入矩阵向量

可表示为

式中，

(10)将公式(41)代入公式(34)，则第i个闭环子系统可表示为

式中，

为第i个子系统的整体局部状态反馈矩阵。

对于每个子系统，可采用上述的多变量极点配置法计算各子系统的闭环极点，判断闭环子系统的极点是否回归到理想极点位置上。当每个子系统满足上述条件后，可采用局部状态反馈增益矩阵

使得每一个子系统都是稳定的。

进一步，所述步骤13中，设计子系统间的相互作用控制器的具体步骤为：

对于第i个闭环子系统，采用模态分解法，此时式(42)可改写成如下解耦形式

式中，

Re和Im分别表示特征系数矩阵

的实部和虚部，

表示

的特征向量，且

此时，选择第i个子系统进行集结李雅普诺夫函数

式中，

为一个正定函数，且

其中β_i为用户自主选择的任意正常数，I_i为单元矩阵，其中选择

时应满足以下条件

式中，

为第i个子系统的复合转换矩阵，且

重复步骤(44)到(45)直到获取每一个子系统的李雅普诺夫函数v_i，此时，整体结构系统的李雅普诺夫函数

可表达为

v＝[v₁,v₂,...,v_N]^T (46)

此时，第i个解耦子系统在设计完相互作用控制器后，其闭环系统可表示为

式中，

是第i个解耦子系统在实施模态分解后的特征值矩阵,

是第i个解耦子系统在实施模态分解后的输入映射矩阵，

是第i个解耦子系统的相互作用增益矩阵；

为了判断在施加相互作用增益后第i个闭环子系统的稳定性，采用比较原理判断第i个闭环子系统在反馈后的稳定性，此时，整体结构系统的李雅普诺夫函数

可表达为

式中，

是一个常数聚合矩阵，其单元元素为

且

满足以下条件

式中，δ_ij是δ的克罗内克函数，且

其中

计算如下

式中，λ_M{·}表示矩阵λ中特征值的最大值，在此基础之上，引入塞瓦提亚-科德稳定性条件，此时式(50)可进一步改写为

当采用塞瓦提亚-科德稳定性条件后，可证明第i个子系统是稳定的，此时，采用广义逆法，引入一个新的相互作用增益矩阵

如下

式中，

表示

的广义逆，

将公式(52)代入到公式(47)中，此时第i个子系统包括局部状态控制器和相互作用控制器的闭环形式可表达为

重复步骤(43)到(53)，直到所有子系统的相互作用控制器设计完成，此时整体结构的多级分散式闭环控制系统可表达如下

式中，

其中

为第i个子系统的局部状态反馈增益，

为子系统i对子系统j的相互作用增益矩阵。

附图说明

图1为实施例一自修正的结构分散振动控制系统设计方法的流程图；

图2为实施例二中平面桁架的示意图；

图3为实施例二中平面桁架的子结构示意图；

图4为实施例二中平面桁架的剩余结构示意图；

图5为实施例二中EI Centro波的示意图；

图6为实施例二中控制前后杆件9的位移响应的示意图；

图7为实施例二中控制前后杆件14的位移响应的示意图；

图8为实施例二中控制前后杆件19的位移响应的示意图；

图9为实施例二中控制前后杆件9的速度响应的示意图；

图10为实施例二中控制前后杆件14的速度响应的示意图；

图11为实施例二中控制前后杆件19的速度响应的示意图；

图12为实施例二中不同子系统的局部状态反馈力的示意图；

图13为实施例二中不同子系统与子系统9间的相互作用力的示意图；

图14为实施例二中不同子系统与子系统14间的相互作用力的示意图；

图15为实施例二中不同子系统与子系统19间的相互作用力的示意图。

具体实施方式

下面通过具体实施方式进一步详细说明：

实施例一

本实施例的一种自修正的结构分散振动控制系统设计方法，包括如下步骤：

步骤1、子结构与剩余结构的划分：对于任意的工程结构，根据用户选定区域，将整体结构划分为N₁个子结构与N₂个剩余结构；在不考虑每个子结构、剩余结构间相互作用的前提下，根据工程结构的设计图纸，建立每个子结构、每个剩余结构在物理坐标下的运动方程。

根据有限元法建立每个子结构、每个剩余结构在物理坐标下的运动方程，其中，第i个子结构、第j个剩余结构在物理坐标下的运动方程分别表示为：

式中，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的刚度矩阵，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的质量矩阵，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的加速度向量，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的位移向量，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的荷载分配矩阵，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的荷载向量，且i∈[1,...,N₁]，j∈[1,...,N₂]。

步骤2、子结构与剩余结构理论模态信息的获取：根据步骤1中建立的剩余结构在物理坐标下的运动方程，采用特征分解法计算每个剩余结构的理论模态信息；理论模态信息包括理论频率和理论振型信息。

采用特征分解法计算第j个剩余结构理论模态信息公式为：

式中，

表示第j个剩余结构的频率特征值，

表示第j个剩余结构的振型特征向量。

步骤3、剩余结构模态坐标的转换：对每个剩余结构，采用Guyan缩聚技术建立相应的模态坐标转换矩阵；根据剩余结构的模态坐标转换矩阵及步骤2中获取的理论模态信息，将步骤1中剩余结构在物理坐标下的运动方程转换到模态坐标下；

具体为：获取剩余结构的高阶模态信息：对于第j个剩余结构，采用一阶近似剩余柔度方法计算剩余结构的高阶模态信息；

剩余结构高阶模态信息的计算步骤如下：

设定第j个剩余结构从物理坐标

转换到模态坐标

的公式表达如下：

式中，下标k表示剩余结构的低阶保留模态阶数，

表示相应的模态坐标，

表示相应的振型向量；d表示剩余结构的高阶近似模态阶数，

表示相应的模态坐标，

表示相应的振型向量；

利用上述关系，将公式(2)中剩余结构在物理坐标下的运动方程转换到模态坐标下

式中，

为第j个剩余结构界面自由度所对应的振型向量，其中

为界面自由度所对应的低阶保留振型向量，

为界面自由度所对应的高阶近似振型向量；

为第j个剩余结构界面自由度所对应的荷载向量；

在考虑剩余结构的稳态响应下，即

此时组合式(4)和式(5)可得：

式中，Nm表示剩余结构的总模态阶数，

为第j个剩余结构的第n阶频率，

为第j个剩余结构的第n阶振型向量，由于式(6)中最后一项表示未保留高阶模态的柔度残差矩阵，因此采用从刚度矩阵中抽取柔度矩阵的方法作为其近似值，即

此时式(6)可改写成

式中，

表示第j个剩余结构的特征值矩阵，且

表示第j个剩余结构的柔度矩阵；

表示第j个剩余结构界面力的定位矩阵。

模态转换矩阵的构造：对每一个剩余结构，根据用户自己的需求，从步骤2中获取的剩余结构理论模态信息中选取一定的低阶保留模态信息；再将选取的低阶保留模态信息和前面计算的高阶模态信息进行组合，作为剩余结构的模态信息转换矩阵；再利用模态信息转换矩阵将步骤1中剩余结构在物理坐标下的运动方程转换到模态坐标下。低阶保留模态信息根据实际结构的需求选取，假如子结构有N阶模态信息，我们可以选取任意K阶作为保留模态(K<N)。

模态转换矩阵的计算步骤如下：

通过组合(5)和(7)式可得剩余结构新的特征方程

和

式中

为第j个剩余结构界面自由度所对应的柔度矩阵；

模态转换矩阵

可以通过组合

和

得到

再利用模态转换矩阵将剩余结构的运动方程转换到模态坐标下

式中，

为剩余结构在模态坐标下的质量矩阵，

为剩余结构在模态坐标下的刚度矩阵，

为剩余结构在模态坐标下的荷载向量。

步骤4、子结构与剩余结构的组装：根据步骤1中建立的子结构在物理坐标下的运动方程及步骤3中剩余结构在模态坐标下的运动方程，采用有限元法组装子结构与剩余结构，从而建立不考虑子结构、剩余结构间相互作用的整体结构混合运动方程；

具体的，整体结构的混合运动方程公式为：

式中，

为子结构内部自由度所对应的刚度矩阵，

为子结构内部自由度与界面自由度耦合位置所对应的刚度矩阵，

为子结构界面自由度所对应的刚度矩阵；

为剩余结构内部自由度所对应的刚度矩阵，

为剩余结构内部自由度与界面自由度耦合位置所对应的刚度矩阵，

为剩余结构界面自由度所对应的刚度矩阵；

为子结构内部自由度所对应的质量矩阵，

为子结构内部自由度与界面自由度耦合位置所对应的质量矩阵，

为子结构界面自由度所对应的质量矩阵；

为剩余结构内部自由度所对应的质量矩阵，

为剩余结构内部自由度与界面自由度耦合位置所对应的质量矩阵，

为剩余结构界面自由度所对应的质量矩阵；

为子结构内部自由度所对应的加速度向量；

为子结构界面自由度所对应的加速度向量；

为剩余结构界面自由度所对应的加速度向量；

为剩余结构内部自由度所对应的加速度向量；

为子结构内部自由度所对应的位移向量；

为子结构界面自由度所对应的位移向量；

为剩余结构界面自由度所对应的位移向量；

为剩余结构内部自由度所对应的位移向量；

为子结构内部自由度所对应的荷载向量；

为子结构界面自由度所对应的荷载向量；

为剩余结构界面自由度所对应的荷载向量；

为剩余结构内部自由度所对应的荷载向量。

步骤5、子结构模态扩展方程的建立：在工程结构中的子结构区域布设传感设备，通过传感设备获取整体结构的实测模态信息，实测模态信息包括实测频率与子结构的实测振型信息；根据整体结构的实测频率、子结构的实测振型信息及步骤4中获取的整体结构混合运动方程，采用特征分解法，建立子结构的模态扩展方程。本实施例中，传感设备包括传感器、数据传输线、采集仪和计算机。

具体的，子结构模态扩展方程的公式为：

式中，

为子结构在内部自由度上的实测振型信息，

为子结构在界面自由度上的实测振型信息；

为剩余结构在内部自由度上的理论振型信息，

为剩余结构在界面自由度上的理论振型信息，在本式中，

均为待求解的模态参数；ω为整体结构的实测频率。

步骤6、子结构的模态扩展：根据步骤5中建立的子结构模态扩展方程，选取剩余结构的理论振型信息作为待估计的模态参数，并采用凸优化算法估计剩余结构的理论振型信息；

具体的，子结构的模态扩展步骤如下：

模态扩展过程中的目标函数公式为：

式中，

为待估计的模态参数；||·||表示二范数；h_j为用户自主设定的收敛值，通常在0～1之间随意选取；n_me为求解过程中所使用的模态阶数。

根据公式(13)建立的目标函数，采用凸优化算法估计参数

具体采用Matlab中的凸优化工具箱进行自动迭代计算。

步骤7、子结构与剩余结构参数的同步更新：根据步骤5中获取的整体结构实测频率和子结构实测振型信息、步骤6中获取的剩余结构的理论振型信息及步骤4中获取的整体结构混合运动方程，选取子结构和剩余结构的刚度、质量作为待修正参数，并采用特征分解法，建立子结构与剩余结构的同步更新方程；在此基础之上，采用非线性最小二乘法计算子结构与剩余结构修正后的刚度、质量矩阵；

具体的，子结构与剩余结构的同步更新方程公式为：

式中，

为待修正的整体结构刚度矩阵，其中

其中α^S为子结构待计算的刚度修正系数，α^R为剩余结构待计算的刚度修正系数；

为待修正的整体结构质量矩阵，

其中β^S为子结构待计算的质量修正系数，β^R为剩余结构待计算的质量修正系数；

为整体结构的第i阶振型向量；

为子结构与剩余结构的常数修正矩阵，其可进一步表达为

式中，

为

的敏感矩阵，其公式为

在建立子结构与剩余结构的同步更新方程后，采用非线性最小二乘法计算子结构与剩余结构的质量、刚度修正系数，具体的计算步骤为：

(1)待修正参数的选取：根据用户需求自主选取子结构与剩余结构中任意构件的质量、刚度作为待修正参数。在土木工程领域，由于结构刚度、质量的变化主要体现在弹性模量、质量密度上，通常选取子结构与剩余结构的弹性模量、质量密度等具有代表性的物理参数作为待修正参数；

(2)目标函数的建立：根据公式(14)建立子结构与剩余结构的同步更新方程。需说明的是，在更新过程中，

均保持为常数；

(3)初始条件的确定：根据结构的设计图纸和工程师经验，设定待修正参数的初始值，并同时设定待修正参数在迭代过程中取值范围的上、下限值；

(4)算法参数的设定：在迭代开始前，根据用户需求自主设定算法的系统变量，包括迭代开始次数k，迭代步长λ₀，迭代方向v及终止常数ε等；

(5)收敛条件的检查：根据式(19)检查待修正参数在当前迭代步的取值是否满足收敛条件；如果满足，则表明所有待修正参数均收敛到了稳定值。否则，跳转到步骤(6)；

(6)迭代步长的计算：当收敛条件不满足时，根据公式(20)计算新的迭代向量λ_k及迭代步长d_k

(7)下步迭代的确定：根据公式(21)中计算的迭代步长调整迭代的方向，此时x_k+1＝x_k+d_k,并返回公式(19)重新判断收敛条件，直到所有待修正参数收敛到稳定值。

步骤8、整体结构有限元模型的修正：根据步骤7中获取的子结构和剩余结构修正后的刚度、质量矩阵，采用有限元法，建立修正后整体结构的有限元模型；采用特征分解法计算修正后整体结构的理论模态信息，包括修正后的理论频率与理论振型信息；

具体的，修正后整体结构的有限元模型为：

式中，M^new为修正后的整体结构质量矩阵，

其中β^S为已获取的子结构质量修正参数，β^R为已获取的剩余结构质量修正参数；K^new为修正后的整体结构刚度矩阵，

其中α^S为获取的子结构刚度修正参数，α^R为获取的剩余结构刚度修正参数。

步骤9、整体结构模态误差的验证：比较步骤5中获取的整体结构实测频率和子结构实测振型信息、步骤6中获取的剩余结构的理论振型信息及步骤8中修正后整体结构的理论模态信息，如果理论模态信息与实测模态信息之间的误差在设定的容许范围内，则停止修正；否则，将步骤8中修正后整体结构的有限元模型重新按步骤1划分为N₁个子结构与N₂个剩余结构，并重复步骤1～8，直至修正后整体结构的理论模态信息与实测模态信息之间的误差在容许范围内；本实施例中，容许范围有人为定义。例如可以定义容许范围为1％，也可以定义为2％，那么通过修正，使得修正后结构的理论模态信息与实测模态信息之间的误差小于1％或2％。

具体的，整体结构的模态误差验证公式为：

采用特征分解法求解修正后整体结构有限元模型的理论频率与理论振型信息为：

[K^new-(λ^new)²M^new]Φ^new＝0 (23)

如果(λ-λ^new)≤ε^*，(Φ^new-Φ)/Φ≥τ^*，则停止修正，其中ε^*为用户自主设定的频率误差，τ^*为用户自主设定的振型误差，λ为结构的真实特征值，Φ为结构的真实特征向量，λ^new为修正后结构的特征值，Φ^new为修正后结构的特征向量；否则，以当前修正后的刚度、质量矩阵作为初始条件，重复步骤7，直到满足收敛条件。

步骤10、子系统状态空间模型的建立：根据用户的自身需求，将步骤9中获取的修正后整体结构有限元模型划分为多个区域，并采用有限元法，建立不考虑区域间相互作用的每个区域独立的运动方程；将每一个区域作为一个子系统，将每个子系统的运动方程转换为状态空间方程形式，从而建立每一个子系统的状态空间模型；

具体的，建立子系统状态空间模型的具体步骤为：

在完成了步骤9中整体结构有限元模型的修正后，根据用户的自主需求，将整体结构修正后的有限元模型重新划分为N₃个区域(N₃为用户自主选取的值)，并按步骤1建立每个区域在物理坐标下的独立运动方程，在此基础之上，将每个区域作为一个子系统，对于第i个子系统(i∈[1,...,N₃])，选取该子系统的位移₁η_i和速度₂η_i作为状态变量，此时，第i个子系统的状态空间方程表达如下：

式中，

是第i个子系统的控制力向量。

将式(24)改写成如下形式

式中，x_i＝{₁η_{i 2}η_i}^T是子系统的状态向量，

为子系统的状态系数矩阵，

为子系统外部输入的定位矩阵，C_i为子系统的输出定位矩阵。

步骤11、可控标准型的转换：判断步骤10中每个子系统的状态空间模型是否为可控标准形，如果是，则直接跳转到步骤12；否则，根据可控性理论，将其转换为可控标准形；

子系统状态空间模型转换为可控标准型的具体步骤为：

引理1：线性时变系统

是可控的，当且仅当A和B满足：

式中，n^*为子系统的状态变量数量，

对于第i个子系统，其特征多项式表达如下：

式中，

为第i个子系统的第n^*-1个特征系数，

根据引理1，如果第i个子系统的状态空间方程完全可控，即

是线性无关的，将其作为状态空间方程一个新的基底，

因此

是线性无关向量，

令

因此可控标准形

和

可计算如下

在此基础之上，第i个子系统在可控标准型下的状态空间模型可表示为

步骤12：子系统局部状态控制器的设计：根据步骤11中获取的子系统在可控标准型下的状态空间模型及步骤10中获取的修正后整体结构理论频率与理论振型信息，采用多变量极点配置法设计子系统的局部状态控制器；

设计子系统局部状态控制器的具体步骤为：

若子系统的传递矩阵表达如下：

g(s_i)＝c(s_iI-A_i)^-1B_i (32)

通过定义子系统的极点使其满足条件g(s_i)→∞，

引理2：对于线性时变系统

当且仅当系统是可控时，可通过状态反馈增益u^l(x)来任意指派系统的特征值，

若{A_i,B_i}满足引理2，此时，多变量极点配置法计算步骤如下：

(1)判断状态系数矩阵A_i是否为循环矩阵，如果A_i是不是循环矩阵，则引入一个状态反馈增益K₁，使得新的状态系数矩阵

成为循环矩阵，在引入K₁后，新的输入向量

表达如下

式中，K₁是用户任意选取的状态反馈增益矩阵，再将式(33)代入式(31)，则第i个子系统的状态空间模型可改写成：

如果A_i是循环矩阵，则直接跳转到步骤(2)；

(2)由于

是完全可控的，根据引理1，

也是完全可控的，因此，用户可自主选取一个非奇异向量ρ使得

也成为完全可控的，

(3)对于第i个子系统，指定一组理想的极点

式中，n^*是第i个子系统状态变量的数量，

(4)计算状态反馈前第i个子系统的特征多项式如下

式中，

是反馈前第i个子系统的状态系数，λ_i是反馈前第i个子系统的理想极点，

(5)计算状态反馈后第i个子系统的特征多项式如下

式中，

是反馈后第i个子系统的状态系数，

是反馈后第i个子系统的极点，

(6)在反馈前后，第i个子系统特征值的变化大小计算如下

(7)计算子系统的状态反馈增益矩阵

P＝Q^-1 (39)

(8)此时，子系统新的局部状态反馈增益矩阵

计算如下

(9)引入新的局部状态反馈增益后，第i个子系统新的输入矩阵向量

可表示为

式中，

(10)将公式(41)代入公式(34)，则第i个闭环子系统可表示为

式中，

为第i个子系统的整体局部状态反馈矩阵，对于每个子系统，可采用上述的多变量极点配置法计算各子系统的闭环极点，判断闭环子系统的极点是否回归到理想极点位置上。当每个子系统满足上述条件后，可采用局部状态反馈增益矩阵

使得每一个子系统都是稳定的。

步骤13、子系统间相互作用控制器的设计：根据步骤11中获取的子系统在可控标准型下的状态空间模型及步骤12中设计的子系统局部状态控制器，采用多级分散控制理论设计不同子系统间的相互作用控制器；

设计子系统间的相互作用控制器的具体步骤为：

对于第i个闭环子系统，采用模态分解法，此时式(42)可改写成如下解耦形式

式中，

Re和Im分别表示特征系数矩阵

的实部和虚部，

表示

的特征向量，且

此时，选择第i个子系统进行集结李雅普诺夫函数

式中，

为一个正定函数，且

其中β_i为用户自主选择的任意正常数，I_i为单元矩阵。其中选择

时应满足以下条件

式中，

为第i个子系统的复合转换矩阵，且

重复步骤(44)到(45)直到获取每一个子系统的李雅普诺夫函数v_i，此时，整体结构系统的李雅普诺夫函数

可表达为

v＝[v₁,v₂,...,v_N]^T (46)

此时，第i个解耦子系统在设计完相互作用控制器后，其闭环系统可表示为

式中，

是第i个解耦子系统在实施模态分解后的特征值矩阵,

是第i个解耦子系统在实施模态分解后的输入映射矩阵，

是第i个解耦子系统的相互作用增益矩阵；

为了判断在施加相互作用增益后第i个闭环子系统的稳定性，采用比较原理判断第i个闭环子系统在反馈后的稳定性，此时，整体结构系统的李雅普诺夫函数

可表达为

式中，

是一个常数聚合矩阵，其单元元素为

且

满足以下条件

式中，δ_ij是δ的克罗内克函数，且

其中

计算如下

式中，λ_M{·}表示矩阵λ中特征值的最大值，在此基础之上，引入塞瓦提亚-科德稳定性条件，此时式(50)可进一步改写为

当采用塞瓦提亚-科德稳定性条件后，可证明第i个子系统是稳定的，此时，采用广义逆法，引入一个新的相互作用增益矩阵

如下

式中，

表示

的广义逆，

将公式(52)代入到公式(47)中，此时第i个子系统包括局部状态控制器和相互作用控制器的闭环形式可表达为

重复步骤(43)到(53)，直到所有子系统的相互作用控制器设计完成，此时整体结构的多级分散式闭环控制系统可表达如下

式中，

其中

为第i个子系统的局部状态反馈增益，

为子系统i对子系统j的相互作用增益矩阵。

步骤14、整体结构闭环系统的设计：重复步骤12、13，直到所有子系统的局部状态控制器和子系统间的相互作用控制器设计完成；在此基础之上，利用步骤11中获取的子系统在可控标准型下的状态空间模型及步骤12中设计的子系统局部状态控制器，分别建立每个子系统的独立闭环控制系统；利用每个子系统的独立闭环控制系统及步骤13中设计的子系统间的相互作用控制器，建立整体结构的闭环系统。

步骤15、整体结构闭环系统的程序化：根据步骤1-14，采用Simulink仿真软件建立整体结构的闭环系统。具体建立方式在Simulink软件的用户操作文档中已经公开，属于现有技术，这里不再赘述。

本实施例，将整体结构按照选定的区域划分为若干个子结构与剩余结构，引入了子结构更新方法，仅在子结构内部布设传感设备的情况下实现了子结构与剩余结构物理参数的同步修正，避免了在运营期间，结构突发损伤时控制系统仍沿用未损伤的结构参数导致控制性能低下的弊端，大大提高了分散控制系统在结构运营期间的控制效果及稳定性。

接着，将修正后的结构有限元模型重新划分为多个子系统，并建立了每个子系统的状态空间模型。在此基础之上，采用多变量极点配置方法，引入可控标准形理论，对每个子系统配置理想极点，使得每个子系统在运行过程中回归到理想极点上，并计算每个子系统自身的状态反馈增益矩阵。再结合多级分散理论，采用李雅普诺夫稳定性函数，建立子系统之间的相互作用增益矩阵。最后，通过组合局部状态反馈增益矩阵、相互作用矩阵等建立整体结构系统的闭环控制系统。

本实施例将子结构更新方法、多变量极点配置方法及多级分散控制理论进行结合，不仅建立了符合实际结构运营期间子系统状态空间方程的自修正系统，同时引入多变量极点配置法与多级分散控制理论，实现了结构的实时、高效振动控制，从而避免了实际中结构突发损伤导致控制系统控制性能低下的弊端，提高了对结构运营期间的振动控制能力，对分散控制系统的实际实施提供了一种更为有效、经济的方法。

实施例二

本实施例和实施例一的区别在于，本实施例以某6跨平面桁架结构为例，进一步说明一种自修正结构分散振动控制系统设计方法，包括以下步骤：

步骤1、如图2-图4所示，结构为6跨平面桁架，桁架总高1.5m，为钢结构，采用Matlab2014建立桁架结构的有限元模型，左端支座处的约束条件采用铰接约束条件，右端支座处的约束条件采用竖向支撑。钢材的弹性模量取为2.06e⁹Pa，泊松比取为0.3，质量密度为7.85e³kg/m³。桁架结构包括12个节点和21个平面桁架单元(E1～E21)，每个节点有3个自由度，其中弦杆和竖杆的长度均为1.5m，斜腹杆的长度均为2.12m，其中每根杆件的截面面积为0.0016m²。地震波同时作用在两个支座处，并以子结构和剩余结构的全部节点作为观测点，观测控制前后结构的位移和速度响应。假定整体结构划分为1个子结构和1个剩余结构，其中子结构包括节点1～7，剩余结构包括节点6～12。共布设3个控制器，每一个控制器连接一个磁流变阻尼器，其中3个磁流变阻尼器分别布设在单元9、14、19中。

步骤2、在建立整体结构的有限元模型后，采用特征分解法计算整体结构初始模型与真实模型的频率，其中真实模型的钢材弹性模量选取为2.06e⁹Pa，初始模型的钢材弹性模量选取为2.76e⁹Pa，真实模型与初始模型除了弹性模量的选取不一致外，其它物理参数的选取均一致，计算结果如表1所示。

表1 真实与初始有限元模型频率(Hz)

步骤3、在建立子结构的模态扩展方程后，采用凸优化算法估计剩余结构的振型信息，计算结果如表2所示。

表2 剩余结构的振型估计结果

步骤4：在子结构与剩余结构参数的同步更新中，假设单元5、6、8、9、13、15、18和20的初始弹性模量与真实值存在一定程度的偏差，弹性模量修正结果如表3所示：

表3 弹性模量的修正结果

步骤5、在采用多变量极点配置法设计子系统的局部状态控制器时，选取的理论极点如表4所示。将整体结构划分为21个子系统，由于只在单元9、14、19中安装了三个阻尼器(分别对应子系统9、14、19)，只需考虑子系统9、14、19之间的相互作用。因此在表4中只需设计子系统9、14、19(对应状态变量x₉、x₁₄、x₁₉)的理想极点。

表4 子系统的理想极点

步骤6、在建立完整体结构的闭环系统后，选取0.2g的EI Centro波作为外部激励，如图5所示。同时在Simulink平台上验证所提方法的有效性，仿真结果如图6～15所示。

以上的仅是本发明的实施例，该发明不限于此实施案例涉及的领域，方案中公知的具体结构及特性等常识在此未作过多描述，所属领域普通技术人员知晓申请日或者优先权日之前发明所属技术领域所有的普通技术知识，能够获知该领域中所有的现有技术，并且具有应用该日期之前常规实验手段的能力，所属领域普通技术人员可以在本申请给出的启示下，结合自身能力完善并实施本方案，一些典型的公知结构或者公知方法不应当成为所属领域普通技术人员实施本申请的障碍。应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明结构的前提下，还可以作出若干变形和改进，这些也应该视为本发明的保护范围，这些都不会影响本发明实施的效果和专利的实用性。本申请要求的保护范围应当以其权利要求的内容为准，说明书中的具体实施方式等记载可以用于解释权利要求的内容。

Claims (18)

1.一种自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1、子结构与剩余结构的划分：对于任意的工程结构，将选定区域的整体结构划分为N₁个子结构与N₂个剩余结构；根据工程结构的设计图纸，建立每个子结构、每个剩余结构在物理坐标下的运动方程；

步骤2、子结构与剩余结构理论模态信息的获取：根据步骤1中建立的剩余结构在物理坐标下的运动方程，计算每个剩余结构的理论模态信息；理论模态信息包括理论频率和理论振型信息；

步骤3、剩余结构模态坐标的转换：对每个剩余结构，建立相应的模态坐标转换矩阵；根据剩余结构的模态坐标转换矩阵及步骤2中获取的理论模态信息，将步骤1中剩余结构在物理坐标下的运动方程转换到模态坐标下；

步骤4、子结构与剩余结构的组装：根据步骤1中建立的子结构在物理坐标下的运动方程及步骤3中剩余结构在模态坐标下的运动方程，采用有限元法组装子结构与剩余结构，从而建立不考虑子结构、剩余结构间相互作用的整体结构混合运动方程；

步骤5、子结构模态扩展方程的建立：在工程结构中的子结构区域布设传感设备，通过传感设备获取整体结构的实测模态信息，实测模态信息包括实测频率与子结构的实测振型信息；根据整体结构的实测频率、子结构的实测振型信息及步骤4中获取的整体结构混合运动方程，采用特征分解法，建立子结构的模态扩展方程；

步骤6、子结构的模态扩展：根据步骤5中建立的子结构模态扩展方程，选取剩余结构的理论振型信息作为待估计的模态参数，并采用凸优化算法估计剩余结构的理论振型信息；

步骤7、子结构与剩余结构参数的同步更新：根据步骤5中获取的整体结构实测频率和子结构实测振型信息、步骤6中获取的剩余结构理论振型信息及步骤4中获取的整体结构混合运动方程，选取子结构和剩余结构的刚度、质量作为待修正参数，并采用特征分解法，建立子结构与剩余结构的同步更新方程；在此基础之上，采用非线性最小二乘法计算子结构与剩余结构修正后的刚度、质量矩阵；

步骤8、整体结构有限元模型的修正：根据步骤7中获取的子结构和剩余结构修正后的刚度、质量矩阵，采用有限元法，建立修正后整体结构的有限元模型；采用特征分解法计算修正后整体结构的理论模态信息；

步骤9、整体结构模态误差的验证：比较步骤5中获取的整体结构实测频率和子结构实测振型信息、步骤6中获取的剩余结构的理论振型信息及步骤8中修正后整体结构的理论模态信息，如果理论模态信息与实测模态信息之间的误差在设定的容许范围内，则停止修正；否则，将步骤8中修正后整体结构的有限元模型重新按步骤1划分为N₁个子结构与N₂个剩余结构，并重复步骤1～8，直至修正后整体结构的理论模态信息与实测模态信息之间的误差在容许范围内；

步骤10、子系统状态空间模型的建立：根据需求，将步骤9中获取的修正后整体结构有限元模型划分为多个区域，并采用有限元法，建立不考虑区域间相互作用的每个区域独立的运动方程；将每一个区域作为一个子系统，将每个子系统的运动方程转换为状态空间方程形式，从而建立每一个子系统的状态空间模型；

步骤11、可控标准型的转换：判断步骤10中每个子系统的状态空间模型是否为可控标准形，如果是，则直接跳转到步骤12；否则，根据可控性理论，将其转换为可控标准形；

步骤12、子系统局部状态控制器的设计：根据步骤11中获取的子系统在可控标准型下的状态空间模型及步骤10中获取的修正后整体结构理论频率与理论振型信息，采用多变量极点配置法设计子系统的局部状态控制器；

步骤13、子系统间相互作用控制器的设计：根据步骤11中获取的子系统在可控标准型下的状态空间模型及步骤12中设计的子系统局部状态控制器，采用多级分散控制理论设计不同子系统间的相互作用控制器；

步骤14、整体结构闭环系统的设计：重复步骤12、13，直到所有子系统的局部状态控制器和子系统间的相互作用控制器设计完成；在此基础之上，利用步骤11中获取的子系统在可控标准型下的状态空间模型及步骤12中设计的子系统局部状态控制器，分别建立每个子系统的独立闭环控制系统；利用每个子系统的独立闭环控制系统及步骤13中设计的子系统间的相互作用控制器，建立整体结构的闭环系统。

2.根据权利要求1所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：还包括步骤15、整体结构闭环系统的程序化：根据步骤1-14，采用Simulink仿真软件建立整体结构的闭环系统。

3.根据权利要求1所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤1中，根据有限元法建立每个子结构、每个剩余结构在物理坐标下的运动方程，其中，第i个子结构、第j个剩余结构在物理坐标下的运动方程分别表示为：

式中，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的刚度矩阵，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的质量矩阵，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的加速度向量，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的位移向量，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的荷载分配矩阵，

分别表示第i个子结构、第j个剩余结构的荷载向量，且i∈[1,...,N₁]，j∈[1,...,N₂]。

4.根据权利要求3所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤2中，采用特征分解法计算第j个剩余结构理论模态信息公式为：

式中，

表示第j个剩余结构的频率特征值，

表示第j个剩余结构的振型特征向量。

5.根据权利要求4所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤3中具体包括：

获取剩余结构的高阶模态信息：对于第j个剩余结构，采用一阶近似剩余柔度方法计算剩余结构的高阶模态信息；

剩余结构高阶模态信息的计算步骤如下：

设定第j个剩余结构从物理坐标

转换到模态坐标

的公式表达如下：

式中，下标k表示剩余结构的低阶保留模态阶数，

表示相应的模态坐标，

表示相应的振型向量；d表示剩余结构的高阶近似模态阶数，

表示相应的模态坐标，

表示相应的振型向量；

利用上述关系，将公式(2)中剩余结构在物理坐标下的运动方程转换到模态坐标下

式中，

为第j个剩余结构界面自由度所对应的振型向量，其中

为界面自由度所对应的低阶保留振型向量，

为界面自由度所对应的高阶近似振型向量；

为第j个剩余结构界面自由度所对应的荷载向量；

在考虑剩余结构的稳态响应下，即

此时组合式(4)和式(5)可得：

式中，Nm表示剩余结构的总模态阶数，

为第j个剩余结构的第n阶频率，

为第j个剩余结构的第n阶振型向量，由于式(6)中最后一项表示未保留高阶模态的柔度残差矩阵，因此采用从刚度矩阵中抽取柔度矩阵的方法作为其近似值，即

此时式(6)可改写成

式中，

表示第j个剩余结构的特征值矩阵，且

表示第j个剩余结构的柔度矩阵；

表示第j个剩余结构界面力的定位矩阵。

6.根据权利要求5所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：还包括模态转换矩阵的构造：对每一个剩余结构，根据需求，从步骤2中获取的剩余结构理论模态信息中选取低阶保留模态信息；再将选取的低阶保留模态信息和高阶模态信息进行组合，作为剩余结构的模态信息转换矩阵；再利用模态信息转换矩阵将步骤1中剩余结构在物理坐标下的运动方程转换到模态坐标下。

7.根据权利要求6所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：模态转换矩阵的计算步骤如下：

通过组合(5)和(7)式可得剩余结构新的特征方程

式中

为第j个剩余结构界面自由度所对应的柔度矩阵；

模态转换矩阵

可以通过组合

和

得到

再利用模态转换矩阵将剩余结构的运动方程转换到模态坐标下

式中，

为剩余结构在模态坐标下的质量矩阵，

为剩余结构在模态坐标下的刚度矩阵，

为剩余结构在模态坐标下的荷载向量。

8.根据权利要求7所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤4中，整体结构的混合运动方程公式为：

式中，

为子结构内部自由度所对应的刚度矩阵，

为子结构内部自由度与界面自由度耦合位置所对应的刚度矩阵，

为子结构界面自由度所对应的刚度矩阵；

为剩余结构内部自由度所对应的刚度矩阵，

为剩余结构内部自由度与界面自由度耦合位置所对应的刚度矩阵，

为剩余结构界面自由度所对应的刚度矩阵；

为子结构内部自由度所对应的质量矩阵，

为子结构内部自由度与界面自由度耦合位置所对应的质量矩阵，

为子结构界面自由度所对应的质量矩阵；

为剩余结构内部自由度所对应的质量矩阵，

为剩余结构内部自由度与界面自由度耦合位置所对应的质量矩阵，

为剩余结构界面自由度所对应的质量矩阵；

为子结构内部自由度所对应的加速度向量；

为子结构界面自由度所对应的加速度向量；

为剩余结构界面自由度所对应的加速度向量；

为剩余结构内部自由度所对应的加速度向量；

为子结构内部自由度所对应的位移向量；

为子结构界面自由度所对应的位移向量；

为剩余结构界面自由度所对应的位移向量；

为剩余结构内部自由度所对应的位移向量；

为子结构内部自由度所对应的荷载向量；

为子结构界面自由度所对应的荷载向量；

为剩余结构界面自由度所对应的荷载向量；

为剩余结构内部自由度所对应的荷载向量。

9.根据权利要求8所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤5中，子结构模态扩展方程的公式为：

式中，

为子结构在内部自由度上的实测振型信息，

为子结构在界面自由度上的实测振型信息；

为剩余结构在内部自由度上的理论振型信息，

为剩余结构在界面自由度上的理论振型信息，在本式中，

均为待求解的模态参数；ω为整体结构的实测频率。

10.根据权利要求9所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤6中，子结构的模态扩展步骤如下：

模态扩展过程中的目标函数公式为：

Minimize

Subject to

式中，

为待估计的模态参数；||·||表示二范数；h_j为设定的收敛值；n_me为求解过程中所使用的模态阶数，

根据公式(13)建立的目标函数，采用凸优化算法估计参数

11.根据权利要求10所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤7中，子结构与剩余结构的同步更新方程公式为：

式中，

为待修正的整体结构刚度矩阵，其中

其中α^S为子结构待计算的刚度修正系数，α^R为剩余结构待计算的刚度修正系数；

为待修正的整体结构质量矩阵，

其中β^S为子结构待计算的质量修正系数，β^R为剩余结构待计算的质量修正系数；

为整体结构的第i阶振型向量；

为子结构与剩余结构的常数修正矩阵，其可进一步表达为

式中，

为

的敏感矩阵，其公式为

12.根据权利要求11所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤7中，在建立子结构与剩余结构的同步更新方程后，采用非线性最小二乘法计算子结构与剩余结构的质量、刚度修正系数，具体的计算步骤为：

(1)待修正参数的选取：根据需求选取子结构与剩余结构中任意构件的质量、刚度作为待修正参数；

(2)目标函数的建立：根据公式(14)建立子结构与剩余结构的同步更新方程；

(3)初始条件的确定：根据结构的设计图纸，设定待修正参数的初始值，并同时设定待修正参数在迭代过程中取值范围的上、下限值；

(4)算法参数的设定：在迭代开始前，根据需求设定算法的系统变量，包括迭代开始次数k，迭代步长λ₀，迭代方向v及终止常数ε；

(5)收敛条件的检查：根据式(19)检查待修正参数在当前迭代步的取值是否满足收敛条件；如果不满足，跳转到步骤(6)；

(6)迭代步长的计算：当收敛条件不满足时，根据公式(20)计算新的迭代向量λ_k及迭代步长d_k

(7)下步迭代的确定：根据公式(21)中计算的迭代步长调整迭代的方向，此时x_k+1＝x_k+d_k,并返回公式(19)重新判断收敛条件，直到所有待修正参数收敛到稳定值。

13.根据权利要求12所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤8中，修正后整体结构的有限元模型为：

式中，M^new为修正后的整体结构质量矩阵，

其中β^S为已获取的子结构质量修正参数，β^R为已获取的剩余结构质量修正参数；K^new为修正后的整体结构刚度矩阵，

其中α^S为获取的子结构刚度修正参数，α^R为获取的剩余结构刚度修正参数。

14.根据权利要求13所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤9中，整体结构的模态误差验证公式为：

采用特征分解法求解修正后整体结构有限元模型的理论频率与理论振型信息为：

[K^new-(λ^new)²M^new]Φ^new＝0 (23)

如果(λ-λ^new)≤ε^*，(Φ^new-Φ)/Φ≥τ^*，则停止修正，其中ε^*为设定的频率误差，τ^*为设定的振型误差，λ为结构的真实特征值，Φ为结构的真实特征向量，λ^new为修正后结构的特征值，Φ^new为修正后结构的特征向量；否则，以当前修正后的刚度、质量矩阵作为初始条件，重复步骤7，直到满足收敛条件。

15.根据权利要求14所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤10中，建立子系统状态空间模型的具体步骤为：

在完成了步骤9中整体结构有限元模型的修正后，将整体结构修正后的有限元模型重新划分为N₃个区域，并按步骤1建立每个区域在物理坐标下的独立运动方程，在此基础之上，将每个区域作为一个子系统，对于第i个子系统，选取该子系统的位移

和速度

作为状态变量，此时，第i个子系统的状态空间方程表达如下：

式中，

是第i个子系统的控制力向量，

将式(24)改写成如下形式

式中，

是子系统的状态向量，

为子系统的状态系数矩阵，

为子系统外部输入的定位矩阵，C_i为子系统的输出定位矩阵。

16.根据权利要求15所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤11中，子系统状态空间模型转换为可控标准型的具体步骤为：

引理1：线性时变系统

是可控的，当且仅当A和B满足：

式中，n^*为子系统的状态变量数量，

对于第i个子系统，其特征多项式表达如下：

式中，

为第i个子系统的第n^*-1个特征系数，

根据引理1，如果第i个子系统的状态空间方程完全可控，即

是线性无关的，将其作为状态空间方程一个新的基底，

因此

是线性无关向量，

令

因此可控标准形

和

可计算如下

在此基础之上，第i个子系统在可控标准型下的状态空间模型可表示为

17.根据权利要求16所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤12中，设计子系统局部状态控制器的具体步骤为：

若子系统的传递矩阵表达如下：

g(s_i)＝c(s_iI-A_i)^-1B_i (32)

通过定义子系统的极点使其满足条件g(s_i)→∞，

引理2：对于线性时变系统

当且仅当系统是可控时，可通过状态反馈增益u^l(x)来任意指派系统的特征值，

若{A_i,B_i}满足引理2，此时，多变量极点配置法计算步骤如下：

(1)判断状态系数矩阵A_i是否为循环矩阵，如果A_i是不是循环矩阵，则引入一个状态反馈增益K₁，使得新的状态系数矩阵

成为循环矩阵，在引入K₁后，新的输入向量

表达如下

式中，K₁是用户任意选取的状态反馈增益矩阵，再将式(33)代入式(31)，则第i个子系统的状态空间模型可改写成：

如果A_i是循环矩阵，则直接跳转到步骤(2)；

(2)由于

是完全可控的，根据引理1，

也是完全可控的，因此，选取一个非奇异向量ρ使得

也成为完全可控的，

(3)对于第i个子系统，指定一组理想的极点

式中，n^*是第i个子系统状态变量的数量，

(4)计算状态反馈前第i个子系统的特征多项式如下

式中，

是反馈前第i个子系统的状态系数，λ_i是反馈前第i个子系统的理想极点，

(5)计算状态反馈后第i个子系统的特征多项式如下

式中，

是反馈后第i个子系统的状态系数，

是反馈后第i个子系统的极点，

(6)在反馈前后，第i个子系统特征值的变化大小计算如下

(7)计算子系统的状态反馈增益矩阵

P＝Q^-1 (39)

(8)此时，子系统新的局部状态反馈增益矩阵

计算如下

(9)引入新的局部状态反馈增益后，第i个子系统新的输入矩阵向量

可表示为

式中，

(10)将公式(41)代入公式(34)，则第i个闭环子系统可表示为

式中，

为第i个子系统的整体局部状态反馈矩阵。

18.根据权利要求17所述的自修正的结构分散振动控制系统设计方法，其特征在于：所述步骤13中，设计子系统间的相互作用控制器的具体步骤为：

对于第i个闭环子系统，采用模态分解法，此时式(42)可改写成如下解耦形式

式中，

Re和Im分别表示特征系数矩阵

的实部和虚部，

表示

的特征向量，且

此时，选择第i个子系统进行集结李雅普诺夫函数

式中，

为一个正定函数，且

其中β_i为用户自主选择的任意正常数，I_i为单元矩阵，其中选择

时应满足以下条件

式中，

为第i个子系统的复合转换矩阵，且

重复步骤(44)到(45)直到获取每一个子系统的李雅普诺夫函数v_i，此时，整体结构系统的李雅普诺夫函数

可表达为

v＝[v₁,v₂,...,v_N]^T (46)

此时，第i个解耦子系统在设计完相互作用控制器后，其闭环系统可表示为

式中，

是第i个解耦子系统在实施模态分解后的特征值矩阵,

是第i个解耦子系统在实施模态分解后的输入映射矩阵，

是第i个解耦子系统的相互作用增益矩阵；

为了判断在施加相互作用增益后第i个闭环子系统的稳定性，采用比较原理判断第i个闭环子系统在反馈后的稳定性，此时，整体结构系统的李雅普诺夫函数

可表达为

式中，

是一个常数聚合矩阵，其单元元素为

且

满足以下条件

式中，δ_ij是δ的克罗内克函数，且

其中

计算如下

式中，λ_M{·}表示矩阵λ中特征值的最大值，在此基础之上，引入塞瓦提亚-科德稳定性条件，此时式(50)可进一步改写为

当采用塞瓦提亚-科德稳定性条件后，可证明第i个子系统是稳定的，此时，采用广义逆法，引入一个新的相互作用增益矩阵

如下

式中，

表示

的广义逆，

将公式(52)代入到公式(47)中，此时第i个子系统包括局部状态控制器和相互作用控制器的闭环形式可表达为

重复步骤(43)到(53)，直到所有子系统的相互作用控制器设计完成，此时整体结构的多级分散式闭环控制系统可表达如下

式中，

，其中

为第i个子系统的局部状态反馈增益，

为子系统i对子系统j的相互作用增益矩阵。

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