CN109657301B - 基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了结构优化领域的一种基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法，包括以下步骤：将初始设计域离散成有限单元网格，为网格各应变单元分配结构单元属性并定义约束条件；对施加载荷后的有限元模型执行有限元结构分析，获取柔顺度以及灵敏度；根据柔顺度以及灵敏度构建以双重凝聚函数为目标函数的多载荷工况下结构柔顺度最小的近似优化模型，并通过变体积约束条件调整其位移约束限；结合KKT条件和拉格朗日乘子算法，对近似优化模型进行对偶理论转化得到对偶规划问题；通过光滑化对偶算法对对偶规划问题求解得到二次规划模型；重复上述步骤使二次规划模型收敛并通过收敛的二次规划模型获取拓扑最优解从而得到最优结构拓扑。

Description

基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法

技术领域

本发明涉及结构优化设计领域，具体公开了一种基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法。

背景技术

在现代结构设计理念中，要求结构尽可能轻量化，要满足结构性能要求，同时还要易于工程应用。结构拓扑优化(Structural topology optimization)方法是近年来发展的一种创新设计方法。就结构优化工程应用来说，一些重要机电产品结构通常在复杂载荷工况环境下工作，不同载荷工况之间的载荷量级差异很大,甚至在同一载荷工况内,不同结构部位间的载荷量级也有很大差异。例如,主要的承载机械结构可能需要留有安装传感器的部位或者一些工作平台等,故机械结构除了工作强载荷作用外,还在偏离强载荷作用部位的某处存在小载荷作用。如果存在小载荷工况或者某一工况内存在小载荷，且小载荷作用的部位不处于强载荷的传力路径上，那么在基于传统优化方法的多工况载荷下结构拓扑优化过程中，可能出现没有材料支承小载荷的优化结构,这就是所谓的病态载荷。

近年来，有学者提出一种结构柔顺度的p范数凝聚方案解决多工况载荷下结构柔顺度拓扑优化问题，也有人利用类似的方法研究了多刚度优化设计问题。基于不同工况载荷作用的结构柔顺度的量值差异特征,还有人考虑从(0.1-0.5)中取一个小值p，以解决两组载荷工况下的病态载荷问题。该方法的仿真结果显示，当结构受到超过两组工况载荷作用，且这些工况载荷含有病态载荷,以及其中的两组大载荷工况的结构柔顺度值相近时，基于小值p范数凝聚方案的结构柔顺度拓扑优化求解只能获得一个较差的局部解。甚至对于仅有两组工况载荷的情况,该方法虽然能解决拓扑优化的病态载荷问题,但难于获得最优解。

发明内容

本发明目的在提供一种基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法，以解决现有技术中存在的无法获取拓扑优化最优解的技术缺陷。

为实现上述目的，本发明提供了一种基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法，包括以下步骤：

S1：获取结构的初始设计域和材料属性，将初始设计域离散成有限单元网格，为网格各个应变单元分配结构单元属性并定义约束条件；

S2：对应变单元构成的有限元模型施加载荷，并对施加载荷后的有限元模型执行有限元结构分析，获取柔顺度以及其灵敏度；

S3：根据柔顺度以及灵敏度构建以双重凝聚函数为目标函数的多载荷工况下结构柔顺度最小的近似优化模型，并通过变体积约束条件调整其位移约束限；

S4：结合KKT条件和拉格朗日乘子算法，对近似优化模型进行对偶理论转化得到对偶规划问题；

S5：通过光滑化对偶算法对对偶规划问题求解得到二次规划模型；

S6：重复步骤S3-S5使二次规划模型收敛并通过收敛的二次规划模型获取拓扑最优解从而得到最优结构拓扑。

优化时，S3中柔顺度导数计算表示式为：

式中,

是第n_q个单元的单元位移矢量,它的分量等于第n_q个单元的相应自由度的u^l的分量。

优化时，S3中灵敏度计算表示式为：

优化时，S4中近似优化模型为：

式中，

表示第k+1步的变体积约束限，其表达式为：

优化时，对偶规划问题得到的数学模型为：

式中，

优化时，S5通过光滑化对偶算法的子算法获得近似模型的拓扑优化模型为：

优化时，使二次规划模型收敛的收敛条件为：

本发明具有以下有益效果：

本发明公开了一种含病态载荷的多工况环境下结构拓扑优化的双重凝聚函数求解方法。本发明结合变体积约束限技术，构建多载荷工况下结构柔顺度的双重凝聚函数,形成新的近似结构拓扑优化模型，并提出一种解决结构柔顺度拓扑优化中的病态载荷问题的方法。该方法能解决多工况载荷下结构拓扑优化中的病态载荷问题,且可获得更优和清晰0/1分布的结构拓扑。

下面将参照附图，对本发明作进一步详细的说明。

附图说明

构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：

图1是本发明优选实施例的基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法流程图；

图2是本发明优选实施例的拱形桥结构的初始设计域示意图；

图3是本发明优选实施例的拱形桥结构的0/1占优分布的结构拓扑示意图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的实施例进行详细说明，但是本发明可以由权利要求限定和覆盖的多种不同方式实施。

实施例1：

本发明提供了一种基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法，包括以下步骤：

S1：获取结构的初始设计域和材料属性，将初始设计域离散成有限单元网格，为网格各个应变单元分配结构单元属性并定义约束条件。

初始设计域是根据具体问题设定的，一般多为已知或者容易根据尺寸确定。约束条件根据设计的要求确定，比如约束体积、位移等等。

设第i号应变单元的拓扑变量为ρ_i，单元体积和单元刚度矩阵分别采用下列方程获得：

式中V_i、K_i分别表示第i号应变单元的体积和刚度矩阵，

分别表示第i号单元的固有体积和固有刚度矩阵。

S2：对应变单元构成的有限元模型施加载荷，并对施加载荷后的有限元模型执行有限元结构分析，获取柔顺度以及其灵敏度。

划分网格后，进行有限元分析，由有限元软件计算得到；单元体积插值函数采用指数模型

单元刚度矩阵插值函数f_k(ρ_i)采用RAMP插值函数，其表示式为f_k(ρ_i)＝ρ_i/(1+υ(1-ρ_i))，α_v和υ均为经验参数。

假设载荷F^l与设计变量不相关，则第l组工况载荷下的结构柔顺度C_l对设计变量

的一阶导数可表示为式(2)。

式中，

是第n_q个单元的单元位移矢量，它的分量等于第n_q个单元的相应自由度的u^l的分量。

对于指定体积约束的多工况载荷下结构柔顺度优化问题，实质要求

最小。分别给出式(3)的小值η₁范数的结构柔顺度凝聚函数f_agg1(ρ)(η₁＜1)和式(4)的大值η₂范数的结构柔顺度凝聚函数f_agg2(ρ)(η₂＞1)。

式中,L表示载荷工况总数，C_l表示第l组工况载荷作用下的结构柔顺度，l^m为最大初始结构柔顺度值

对应的载荷工况序号。式中,η₁和η₂为经验参数,分别取小于1和大于1的值。通过仿真分析可知,基于f_agg1(ρ)构建的优化方法能解决载荷病态问题,而基于f_agg2(ρ)构建的优化方法不能解决载荷病态问题,但可获得不含病态载荷的多工况载荷下结构柔顺度拓扑优化问题的最优解。

针对含有病态载荷的多工况载荷环境下结构柔顺度拓扑优化问题,本实施例结合大值η₂范数凝聚函数和小值η₁范数凝聚函数的特征,，构建式(5)的结构柔顺度的双重凝聚函数f_agg(ρ)，并将它作为多工况载荷环境下结构柔顺度拓扑优化模型的近似目标函数。

实质上，f_agg(ρ)是f_agg1(ρ)和f_agg2(ρ)的一个大值η₂范数凝聚函数，称为结构柔顺度的双重凝聚函数。因此，f_agg(ρ)能继承小值η₁范数凝聚函数f_agg1(ρ)和大值η₂范数凝聚函数f_agg2(ρ)的优点，解决多工况载荷环境下结构柔顺度拓扑优化的病态载荷问题，并有利于获得较好的结构拓扑优化解。

由式(2)和式(5)，可得到目标函数f_agg(ρ)对设计变量的一阶导数：

S3：根据柔顺度以及灵敏度构建以双重凝聚函数为目标函数的多载荷工况下结构柔顺度最小的近似优化模型，并通过变体积约束条件调整其位移约束限。

约束限为约束条件的限值，在拓扑优化领域广泛认可并使用。

在优化过程中，将结构单元分为两类：第一类是可设计单元，第二类是不可设计单元。假设不可设计单元个数用P表示，单元编号用i_p,p＝1,2,…,P表示，单元拓扑变量用

表示，且在优化迭代过程中单元拓扑变量

保持不变。假设可设计单元个数用Q表示，单元编号用n_q,q＝1,2,…,Q表示，单元拓扑变量用

表示，优化迭代过程中单元拓扑变量

在区间[0,1]之间变化。因此，含有病态载荷的多工况载荷下结构拓扑优化模型可表为：

式中，V^*表示约束的体积值,V⁰为初始结构的体积值，而K表示结构总刚度阵。F^l为第l组工况载荷，及u^l为第l组载荷工况下结构的位移响应。取

以避免结构总刚度阵奇异。

引进调整的位移约束限，构建新的近似优化模型如下：

式中,

表示第k+1步的变体积约束限，按式(9a,9b)公式计算得到。

近似优化模型(8)具有紧位移约束、更小的可行域以及第一步所描述的物理特性。因此，采用近似优化模型(8)进行优化，可以获得一系列0/1占优分布的结构拓扑。

S4：结合KKT条件和拉格朗日乘子算法，对近似优化模型进行对偶理论转化得到对偶规划问题。

为了获得优化模型(8)的优化解，引进人工变量

将人工变量w₁引入到模型(8)，第k+1步的模型(8)可转化为模型(10)：

式中，

的表示式见式(11)：

格朗日函数可以写为：

式中λ是拉格朗日乘子。

为了提高计算效率，式(10)可用对偶理论转化为式(13)的求解：

式中,

S5：通过光滑化对偶算法对对偶规划问题求解得到二次规划模型。

优化问题(13)扩大的近似二次规划子问题在第k外循环的第l内循环迭代步最优点的设计变量和人工变量值用

和w_v(λ)分别表示如下：

式中：

和w_j:R→R是λ的连续函数,但由于可能分别出现

或

及λ_j＝c_j，j＝1,2,…,m_λ,x_i和w_j在点λ是不可微的情况。引入映射函数对式(14)和式(15)做光滑化处理，将其转化为：

式中，由于

都是可微的，它们导数表示如下：

式中：

因此对偶函数

对λ是可微的，从而它对λ_j的一阶和二阶偏导数可以导出如下：

通过方程(22)、(23)可以获得一个带对称性系数G_rs的简单二次规划模型：

式中：

然后，采用现有的序列二次规划法进行求解计算。

S6：重复步骤S3-S5使二次规划模型收敛并通过收敛的二次规划模型获取拓扑最优解从而得到最优结构拓扑。

当外循环满足下列两个条件时停止迭代：

|V(x^(k+1))-θV⁰|/V⁰≤ε₁ (26a)

式中，ε₁和ε₂是两个收敛参数。V^(k)为第k迭代步的结构体积。

实施例2：

图2给出了桥式结构的最大设计域，其结构最大设计域尺寸为30m×10m×10m。图2中的结构顶部灰色区域(厚度0.4m)为不可设计区域，其它区域为可设计区域。结构最上部左右两侧边固定，其固定边长度为0.4m。结构底部的左、右端边线固定，其固定边线段的长度都为0.6m。桥式结构受到四组不同工况载荷作用。工况1：均布线载荷p₁＝360kN/m垂直向下作用在以结构顶边中点B为中心的边线段上，其线段的长度为0.8m；工况2：均布线载荷p₂＝270kN/m垂直向下作用在分别以结构顶边A和C点为中心的两个边线段上，两个线段的长度都为0.8m；工况3：集中载荷p₃＝1kN垂直向下作用在E点和F点。工况4：均布线载荷p₄＝30kN/m垂直向下作用在结构的顶边上，其负载区间长度为30m。桥式结构材料的弹性模量E＝4.25Mpa，泊松比v＝0.2。将初始设计域划分为等尺寸的7500个平面应变单元，并指定目标体积比θ＝0.30。收敛参数取为ε₁＝0.0001和ε₂＝0.0001。双重凝聚函数的两个参数η₁和η₂分别取0.3和10。给定优化过程相关参数的数值，υ＝6.0，α_v＝1.01，和β₁＝0.003等。

本实施例以Intel core i74470(3.5G CPU速度)为工作平台，以上述短拱形桥结构拓扑优化为例，采用本发明方法获得的一系列0/1占优分布的结构拓扑见图3。图3(a)-图3(f)分别为第20迭代步、第40迭代步、第80迭代步、第150迭代步、第189迭代步、第190迭代步所示的优化结构。

采用本文方法获得的桥式结构优化历程和优化结构拓扑见图3。尽管载荷工况3是一小载荷工况，由于结构顶部灰色区域为不可设计区域,，故不会出现多工况载荷环境下结构柔顺度拓扑优化的病态载荷问题。本文方法获得的最终构型中，出现了两根杆件分别支承小载荷。工况一载荷到工况四载荷下初始结构的柔顺度分别为55.77Nm、63.50Nm、0.00091Nm和157.7Nm；最终优化结构图3(f)的相应工况的结构柔顺度分别为216.5Nm、153.2Nm、0.00681Nm和497.3Nm。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：获取结构的初始设计域和材料属性，将所述初始设计域离散成有限单元网格，为所述网格各个应变单元分配结构单元属性并定义约束条件；

S2：对所述应变单元构成的有限元模型施加载荷，并对施加载荷后的所述有限元模型执行有限元结构分析，获取柔顺度以及其灵敏度；

S3：根据所述柔顺度以及所述灵敏度构建以双重凝聚函数为目标函数的多载荷工况下结构柔顺度最小的近似优化模型，并通过变体积约束条件调整位移约束限；

S4：结合KKT条件和拉格朗日乘子算法，对所述近似优化模型进行对偶理论转化得到对偶规划问题；

S5：通过光滑化对偶算法对所述对偶规划问题求解得到二次规划模型；

S6：重复步骤S3-S5使二次规划模型收敛并通过收敛的二次规划模型获取拓扑最优解从而得到最优结构拓扑。

2.根据权利要求1所述的基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法，其特征在于，所述S3中所述柔顺度计算模型为：

式中,

是第n_q个单元的单元位移矢量,它的分量等于第n_q个单元的相应自由度的u^l的分量。

3.根据权利要求1所述的基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法，其特征在于，所述S3中所述灵敏度计算模型为：

4.根据权利要求1所述的基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法，其特征在于，所述S4中所述近似优化模型为：

式中，

表示第k+1步的变体积约束限，其表达式为：

5.根据权利要求1所述的基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法，其特征在于，所述对偶规划问题得到数学模型为：

式中，

6.根据权利要求1所述的基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法，其特征在于，所述S5通过光滑化对偶算法的子算法获得二次规划模型为：

7.根据权利要求4所述的基于双重凝聚函数的含病态载荷的结构拓扑优化方法，其特征在于，使二次规划模型收敛的收敛条件为：

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