CN115133814A - 一种基于多维泰勒网的鲁棒自适应直线电机控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于多维泰勒网的鲁棒自适应直线电机控制方法，包括参数自适应控制部分、多维泰勒网控制部分和鲁棒反馈控制部分；参数自适应控制部分是根据参数变化下的实际动态模型合成的；利用数据驱动的多维泰勒网控制部分对建模误差和复杂的未建模扰动进行估计和补偿；鲁棒反馈控制部分负责残余重构误差。与其他神经网络控制方法和传统多维泰勒网控制算法相比，本发明为了处理未知扰动，具备高重构精度和快速学习特性的多维泰勒网用来进一步逼近和补偿扰动造成的影响，使得直线电机的精度进一步提高。本发明使得系统输出能够跟踪给定的系统期望输出，具备良好的跟踪性能和较强的抗干扰能力，与神经网络控制方法相比，大大降低了计算量。

Description

一种基于多维泰勒网的鲁棒自适应直线电机控制方法

技术领域

本发明涉及直线电机控制领域，具体是一种基于多维泰勒网的鲁棒自适应直线电机控制方法。

背景技术

直线电机得益于不需要机械转换即可提供线性运动，所以在工业生产中具有广泛的应用。但是，若想在实际应用中取得出色的控制精度，确实存在不小的困难。模型参数不是固定不变的，在不同运动条件下参数不同，这种参数变化差异会对控制精度造成较大影响，比如动子质量变化。再有摩擦力和波纹力也会对控制性能产生直接影响。此外，外部不确定干扰和非线性未建模动力学特征等也普遍存在于直线电机系统中，并对控制精度造成负面影响。为了同时应对上述问题，最为常用的方法是自适应鲁棒控制，结合自适应控制思想和鲁棒控制理论，兼具参数自适应调整能力同时又具备鲁棒特性以应对不确定干扰。经过长期发展，稳定性和逻辑性均得到完整证明。并且，在多方面具体实践中得到验证，比如直线电机，气动人工肌肉，液压机械手臂以及平面电机等等。在传统自适应鲁棒控制中，是基于系统已知模型设计的，而系统动力学方程中的不确定参数可以通过系统辨识或者非线性回归函数等方法加以估计。但是，在处理未知扰动时，仅仅用时变参数和权值的乘积加以替代，从而在一定程度上限制了自适应鲁棒控制的实用性。现有的自适应鲁棒控制成果多数是在阶跃扰动条件下进行，不能完全体现抗扰能力。

为了抑制控制过程中存在的干扰，发展了多种相应的控制方法。经典PID控制算法中的积分作用是最传统的抗扰方法。在此基础上，发展而来的主动抗干扰控制方法，基本思想是通过额外观测器估计内部不确定性和各类广义扰动，从而能够继承PID控制中基于误差的控制理念。得益于便捷的实现步骤和实际应用中的有效性，在机电一体化系统中被广泛采用。另外一种广泛使用的干扰抑制策略是构建干扰观测器，它利用实际系统的输出与获得的标称模型之间的差异来补偿控制动作。通常，在精确建模的条件下，这种基于模型的控制策略具有广泛的应用前景。此外，还有基于数据驱动的神经网络控制策略也能够用于抑制干扰，因为通过机器学习，由输入输出数据逼近任意非线性映射。这种控制方法成功应用于机器人，永磁同步电机的运动控制等方面。这些研究一致验证了具有非线性逼近能力的神经网络可以进一步提高控制性能。

综上所述，自适应鲁棒控制的抗干扰能力有很大提升空间，同时多维泰勒网具备优秀的非线性映射能力。由此可见，将二者结合在一起各取所需具备很强的实践意义，用多维泰勒网去提高自适应鲁棒控制的性能，用自适应鲁棒控制保证系统稳定。近来有些将自适应鲁棒控制与神经网络方法相结合的成果，但是存在一些缺陷：

通常神经网络的激活函数的选择必须基于对模型信息的充分理解，这使得控制器设计相当困难；其次，基于已知模型动力学的激活函数会削弱对未知状态非线性的逼近能力；再次，现有神经网络自适应鲁棒控制中使用的多层神经网络理论上可以实现全局优化逼近，但忽略了细节逼近精度，可能会对抗干扰抑制。最后基于神经网络的控制方法都需要建立在庞大神经元个数的基础上，相应的计算量也就不可避免的成几何级数增加。近年来提出一种多维泰勒网控制方法，这种控制方法得益于多维泰勒网的结构固定，参数调整方便，已经取得了许多不错的应用结果。但是这些控制方法需要多维泰勒网兼顾稳定，快速，以及误差等要求，内部参数调整难免存在竞争关系。

为了给直线电机设计一种同时具有参数自适应和抗扰能力的运动控制器，需要提出一种基于多维泰勒网的自适应鲁棒控制策略。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对上述现有技术的不足提供一种基于多维泰勒网的鲁棒自适应直线电机控制方法，本基于多维泰勒网的鲁棒自适应直线电机控制方法使得系统输出能够跟踪给定的系统期望输出，具备良好的跟踪性能和较强的抗干扰能力，与神经网络控制方法相比，大大降低了计算量。

为实现上述技术目的，本发明采取的技术方案为：

一种基于多维泰勒网的鲁棒自适应直线电机控制方法，包括以下步骤：

步骤1：永磁同步电机模型表示为：

其中x₁(t)∈R，为负载位置系统状态；h(·)为系统未知非线性映射；u(t)为电机的输入电压；g(·)为电机电压和力矩映射；d(t)为未知有界扰动，且‖d(t)‖＜d_m，d_m为常数；a和b均为线性参数量，a表示效粘性摩擦系数，b表示库仑摩擦部分的未知静力值，m为负载、电机以及负载与电机之间的连接部件的总质量；

步骤2：

步骤(2.1)、假设一：

其中m_min为参数m的下界，m_max为参数m的上界，a_min为参数a的下界，a_max为参数a的上界，b_min为参数b的下界，b_max为参数b的上界；

设

为对应不确定参数[m,a,b]的估计值，

为测量误差，也即

则采用以下自适应律对不确定参数进行估计：

其中，Γ为对角矩阵；Ω(x₂,h,t)为自适应函数；

设y_d(t)为系统期望输出，则系统误差为：

e(t)＝y(t)-y_d(t) (5)；

定义误差函数r(t)：

其中k₁为正反馈增益；则：

设

则式(7)可重写为：

综上所述，原(1)式可重写为：

令

则式(9)可化简为：

其中

定义如下自适应控制律：

g(u(t))＝g_a(u(t))+g_s(u(t))+g_MTN(u(t)) (11)；

其中g_a(u(t))为：

其中g_s(u(t))为：

g_s(u(t))＝-k₂r(t) (13)；

其中k₂＞0，为反馈增益参数；

将式(11)代入式(10)并整理可得：

则存在一个g_MTN(u(t))最优值记为g^*(u(t))，满足以下条件：

其中ε₁和ζ均为无限接近于0的正常数；

则得到定理一：

若选择如下自适应函数：

Ω(x₂,h,t)＝Ψ^T·r(t) (16)；

则自适应控制律如式(11)所示，使得系统所有信号有界；若

d(t)＝0，则e(t)和r(t)均趋于0；

此外，正定函数表示如下：

正定函数有界，即：

步骤(2.2)、令多维泰勒网结构的输入为：

z(t)＝[z₁(t),z₂(t),...z_n(t)] (23)；

根据多维泰勒网结构可知，存在一组参数向量w(t)＝[w₁(t),w₂(t),...w_N(n,l)(t)]能够使得多维泰勒网的输出具有如下结构：

其中，N(n,t)为展开式中多项式的个数，w_i为多项式前的权重，λ_s,i为第i个多项式中z_s(t)的幂次，且有

l表示多维泰勒网中最大的幂次和；

设：

可得：

O_ut(t)＝w(t)·η(z(t)) (26)；

令z₁(t)＝y_d(t)，

且令

则多维泰勒网的输出为：

O_ut(t)＝w(t)·η(y_d(t)) (27)；

g^*(u(t))使用多维泰勒网的最优输出

描述可得：

g^*(u(t))＝O_ut ^*(t)-ε₂＝w^*(t)·η(y_d(t))-ε₂ (28)；

其中

为最优权重向量，ε₂为最小近似误差；

假设二：ε₂为无限接近于0的实常数，且：

|ε₂|≤|ε₁| (29)；

令多维泰勒网的实际输出为：

其中

为在线调整权重向量；

由式(28)和式(30)可得：

其中

为估计误差权重向量，将式(31)代入式(15)中整理可得：

其中ε为无限接近于0的正值，表示经过多维泰勒网补偿后的剩余建模误差；因此，多维泰勒网的输出以如下形式定义：

其中υ_d≥ε，

为简易鲁棒补偿，υ_d为鲁棒补偿边界，ι是任意正数；

则在线MTN权值更新规律为：

其中β＝[β₁,β₂,…,β_N(n,l)]为对称正定学习率矩阵，β_i为调整步长；

定理二：若选择自适应函数为式(16)，多维泰勒网的鲁棒补偿为式(30)，参数更新率为式(34)，则多维泰勒网权向量的估计误差

和跟踪误差e(t)都是收敛的；

步骤3：根据得到的u(t)，使得输出y(t)能够跟踪给定的系统期望输出y_d(t)。

本发明的有益效果为：

为了给直线电机设计一种同时具有参数自适应和抗扰能力的运动控制器，本发明提出了一种基于多维泰勒网的自适应鲁棒控制策略。本发明提出的多维泰勒网的自适应鲁棒控制策略包含参数自适应控制部分、多维泰勒网控制部分和鲁棒反馈控制部分。模型驱动的参数自适应控制部分是根据参数变化下的实际动态模型合成的；利用数据驱动的多维泰勒网控制部分对建模误差和复杂的未建模扰动进行估计和补偿；简单的鲁棒反馈控制部分负责前两部分的残余重构误差。与其他神经网络控制方法和传统多维泰勒网控制算法相比，多维泰勒网的自适应鲁棒控制策略是基于模型的控制和数据驱动控制的一种新型组合。由于具有优异的非线性逼近能力，具有可调节权重的多维泰勒网可以建立输入和输出之间的非线性投影映射.本质上，权重调整过程可以看作是一种学习机制，利用直线电机的运行数据在参考轨迹和非线性补偿之间建立适当的模型。

本发明以工业直线电机平台为研究对象，用来实现跟踪控制同时使得电机具有出色的抗扰动能力。其中鲁棒反馈控制部分和参数自适应控制部分基于系统动力学特性设计，主要目的在于处理系统内部参数变化和外部不确定性扰动。在实际应用中，精密仪器通常受到未知扰动的影响，这种扰动往往难以用数学模型加以描述，但是又确实会对精度产生较大影响。为了处理此类未知扰动，具备高重构精度和快速学习特性的多维泰勒网用来进一步逼近和补偿扰动造成的影响，使得直线电机的精度进一步提高。通过李雅普诺夫定理可以证明本发明提出的多维泰勒网自适应学习鲁棒控制器(即系统控制器)的稳定性。通过数值仿真实验，验证了本发明提出控制策略的有效性。

本发明根据给定的系统期望输出，通过本发明控制算法的一系列分析处理，使得系统输出x₁(t)∈R能够跟踪给定的系统期望输出，具备良好的跟踪性能和较强的抗干扰能力，与神经网络控制方法相比，大大降低了计算量。

附图说明

图1为本发明系统控制示意图。

图2为MTN基本结构示意图。

图3为实例仿真结果图。

具体实施方式

下面根据附图对本发明的具体实施方式作出进一步说明：

一种基于多维泰勒网的鲁棒自适应直线电机控制方法，包括以下步骤：

步骤1：本发明以永磁同步电机为研究对象，其数学模型中主要包括惯性负载位置参数：负载和线圈等部件的质量；负载内部所受阻力，如摩擦力等，外部扰动，如切削力等；电机提供电力等。摩擦力等阻力与负载运动速度有关，电机提供动力受到电压控制，综上所述，忽略电气误差，将外部扰动统一表示，可将永磁同步电机模型可表示为：

其中x₁(t)∈R，为负载位置系统状态；h(·)为系统未知非线性映射；u(t)为电机的输入电压；g(·)为电机电压和力矩映射；d(t)为未知有界扰动，且‖d(t)‖＜d_m，d_m为常数；a和b均为线性参数量，a表示效粘性摩擦系数，b表示库仑摩擦部分的未知静力值，m为负载、电机以及负载与电机之间的连接部件的总质量。

系统模型主要包括两部分，一部分为线性量，如a,b；另一部分为未建模量及外部扰动d(t)，主要包括电磁饱和效应、死区特征、建模误差等。本实施例的主要任务：通过基于多维泰勒网处理未建模动态以及未知外部扰动，并进行系统稳定性证明。

步骤2：设计多维泰勒网自适应学习鲁棒控制器(即系统控制器)。

系统控制器包括三部分，一部分是鲁棒反馈控制部分，一部分是参数自适应控制部分，一部分是多维泰勒网控制部分。参数自适应控制部分的自适应算法能够通过对参数调整以保证控制过程稳定；多维泰勒网控制部分主要用途是针对未建模部分进行补偿，进而改善动态特性，提高抗干扰能力。

系统控制图如图1所示，为保证系统就有良好的跟踪性能，应用三种控制思路。具体如下：鲁棒反馈控制过程中，设计适当的反馈增益参数以保证系统闭环稳定；自适应算法通过对参数进行调整，以完成对系统模型的补偿，从而提高跟踪性能；多维泰勒网及其内部参数调整更新，不仅可以有效地对非线性扰动进行估计，而且凭借对之前状态的存储，显著提高对扰动的抑制能力。

A、参数自适应控制部分与鲁棒反馈控制部分：

从系统表达式中可以得知，系统受到不确定参数影响，即m，a，b和d(t)。为了利用参数自适应方法来减少参数不确定性对系统的影响以提高性能，作出如下假设：

假设1：系统不确定参数有界，也即：

其中m_min为参数m的下界，m_max为参数m的上界，a_min为参数a的下界，a_max为参数a的上界，b_min为参数b的下界，b_max为参数b的上界。

设

为对应不确定参数[m,a,b]的估计值，

为相应的测量误差，也即

则采用以下自适应律对不确定参数进行估计：

其中，Γ为对角矩阵；Ω(x₂,h,t)为自适应函数，具体构成由式(16)给出。通过上述自适应估计后，估计值也有界，即：

通过上述分析，可构造系统控制器：

设y_d(t)为系统期望输出，则可得系统误差为：

e(t)＝y(t)-y_d(t) (5)；

定义误差函数r(t)：

其中k₁为正反馈增益；进一步可得：

为书写简便，设

则式(7)可重写为：

综上所述，原(1)式可重写为：

令

则式(9)可化简为：

其中

定义如下自适应控制律：

g(u(t))＝g_a(u(t))+g_s(u(t))+g_MTN(u(t)) (11)；

式(11)中第一部分g_a(u(t))为：

g_a(u(t))的作用是实现系统自适应跟踪的主要组成部分。

式(11)中第二部分g_s(u(t))为：

g_s(u(t))＝-k₂r(t) (13)；

其中k₂＞0，为反馈增益参数；此部分为线性比例反馈，主要用于保证系统稳定。

式(11)中第三部分g_MTN(u(t))具体如下为多维泰勒网补偿输出，具体内容在下一节做详细阐述。

将式(11)代入式(10)并整理可得：

由假设1，扰动有界及式(4)有界性描述可得，存在一个理想的g_MTN(u(t))最优值记为g^*(u(t))，满足以下条件：

其中ε₁和ζ均为无限接近于0的正常数；如式(14)和式(15)所示，g_MTN(u(t))用来综合处理不确定系统扰动d(t)和参数自适应建模误差

通过上述分析，可以得到以下关于自适应控制部分的稳定性定理。

定理1、若选择如下自适应函数：

Ω(x₂,h,t)＝Ψ^T·r(t) (16)；

则自适应控制律如式(11)所示，可以使得系统所有信号有界。并且，若经过有限时间后t₀，扰动误差为0，只剩下不确定参数，也即

d(t)＝0，则跟踪误差e(t)和r(t)均趋于0。

此外，正定函数表示如下：

正定函数有界，即：

证明：

根据式(14)，可得V_s(t)的导数为：

由式(15)可知：

将式(17)和式(19)代入式(20)并整理即可推导出式(18)。

当

d(t)＝0时，定义新的正定函数V_new(t)如下：

由式(15)和式(19)可得V_new(t)导数为：

由于

是有限的，所以r(t)是一直连续。由Barbalat引理可知，当t趋于∞时，e(t)和r(t)均趋于0。

证明完毕。

B、多维泰勒网控制部分：

多维泰勒网(MTN)具有逼近任意含有有限个不连续点的非线性曲线，并且具备参数调整方便，结构统一的优点。

设MTN的输入为：

z(t)＝[z₁(t),z₂(t),...z_n(t)] (23)；

MTN的基本结构如图2所示。

也即，存在一组参数向量w(t)＝[w₁(t),w₂(t),...w_N(n,l)(t)]能够使得MTN的输出O_ut(t)可以表示为：

其中w(t)＝[w₁(t),w₂(t),...w_N(n,l)(t)]，N(n,t)为展开式中多项式的个数，w_i为多项式前的权重，λ_s,i为第i个多项式中z_s(t)的幂次，且有

l表示多维泰勒网中最大的幂次和；

设：

可得：

O_ut(t)＝w(t)·η(z(t)) (26)；

具体到本发明，令z₁(t)＝y_d(t)，

且令

则MTN的输出为：

O_ut(t)＝w(t)·η(y_d(t)) (27)；

由上述分析可知，本发明提出的MTN补偿器的输入为理想待跟踪信号向量

而MTN的输出用于逼近建模误差

和扰动d(t)。此处与传统MTN控制方法有所不同，MTN补偿器用于建立参考轨迹与未建模动力学之间的非线性投影，而不是实现全局最优近似关系。由于MTN具有非线性逼近的能力，因此在(15)中可以用MTN的输出来描述最优逼近，即：

其中

为最优权重向量，ε₂为最小近似误差。

由MTN的基本特性可做如下假设：

假设2：ε₂为无限接近于0的实常数，如果MTN参数精度足够高，ε₂的绝对值可以任意小，即：

|ε₂|≤|ε₁| (29)；

令MTN的实际输出为：

其中

为在线调整权重向量；

由式(28)和式(30)可得：

其中

为估计误差权重向量，将式(31)代入式(15)中整理可得：

其中ε为无限接近于0的正值，表示经过MTN补偿后的剩余建模误差；因此，MTN的输出实际以如下形式定义：

其中υ_d≥ε，ι＞0，

为简易鲁棒补偿，υ_d为鲁棒补偿边界，ι是任意正数；

则在线MTN权值更新规律为：

其中β＝[β₁,β₂,…,β_N(n,l)]为对称正定学习率矩阵，β_i为调整步长；

C、稳定性和收敛性分析：

定理2：考虑式(1)所示的直线电机系统，若选择鲁棒自适应控制部分的自适应函数为式(16)，MTN部分的鲁棒补偿为式(30)，参数更新率为式(34)，则MTN部分的权向量的估计误差

和跟踪误差e(t)都是收敛的。

证明：

选择李雅普诺夫函数：

其中V₁(t)为能量函数，V₂(t)表示MTN补偿器逼近实际值的能力，tr(·)为迹算子。又定义式可得V(t)≥0。若所有条件在初始有界，则可以得到0≤V(0)≤∞。根据式(14)可得：

根据式(34)，且有，可得

将式(36)和式(37)代入式(35)，并由不等式(32)可得，李雅普诺夫函数的导数可表示为:

如式(38)所示，当r(t)≠0且反馈增益k₂足够大时，有

因此，可以保证系统的稳定性和MTN补偿器的收敛性。

本实施例可以根据步骤2中的公式(33)计算出g_MTN(u(t))，根据公式(12)计算出g_a(u(t))，根据公式(13)计算出g_s(u(t))，将g_MTN(u(t))、g_a(u(t))、g_s(u(t))代入公式(11)中，最终计算得到u(t)。

步骤3：根据步骤1和步骤2计算得到的u(t)，使得输出y(t)能够跟踪给定的系统期望输出y_d(t)。

在本发明提出的多维泰勒网自适应控制方法中，建模误差和不确定扰动由式(14)所示MTN补偿器进行补偿。MTN部分具备独立完整的结构，并且内部权值向量可以自适应调整，从而快速准确地逼近建模误差和不确定扰动等未建模因素，以此保证系统具备良好的跟踪性能和较强的抗干扰能力，也即，如果式(14)中有

则r(t)明显收敛于0。

实例仿真：

针对(1)所示的直线电机，参数取值如下：

m＝0.18kg，a＝1.14Ns/m，b＝0.37N。

采用本发明所提出的算法，得仿真结果如图3所示，一定时间后，系统输出y(t)能够无差跟踪给定的系统期望曲线。

可以看出，采用本发明所提方法，系统输入误差可以快速归零，达到无差跟踪。由此可以看出本发明所提算法有效。

本发明以工业直线电机平台为研究对象，用来实现跟踪控制同时使得电机具有出色的抗扰动能力。多维泰勒网自适应学习鲁棒控制器包含三部分，即鲁棒反馈控制部分，参数自适应控制部分以及多维泰勒网控制部分。其中鲁棒反馈控制部分和参数自适应控制部分基于系统动力学特性设计，主要目的在于处理系统内部参数变化和外部不确定性扰动。在实际应用中，精密仪器通常受到未知扰动的影响，这种扰动往往难以用数学模型加以描述，但是又确实会对精度产生较大影响。为了处理此类未知扰动，具备高重构精度和快速学习特性的多维泰勒网用来进一步逼近和补偿扰动造成的影响，使得直线电机的精度进一步提高。通过李雅普诺夫定理可以证明本发明提出的多维泰勒网自适应学习鲁棒控制器的稳定性。通过数值仿真实验，验证了本发明提出控制策略的有效性。

本发明的保护范围包括但不限于以上实施方式，本发明的保护范围以权利要求书为准，任何对本技术做出的本领域的技术人员容易想到的替换、变形、改进均落入本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种基于多维泰勒网的鲁棒自适应直线电机控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：永磁同步电机模型表示为：

其中x₁(t)∈R，为负载位置系统状态；h(·)为系统未知非线性映射；u(t)为电机的输入电压；g(·)为电机电压和力矩映射；d(t)为未知有界扰动，且‖d(t)‖＜d_m，d_m为常数；a和b均为线性参数量，a表示效粘性摩擦系数，b表示库仑摩擦部分的未知静力值，m为负载、电机以及负载与电机之间的连接部件的总质量；

步骤2：

步骤(2.1)、假设一：

其中m_min为参数m的下界，m_max为参数m的上界，a_min为参数a的下界，a_max为参数a的上界，b_min为参数b的下界，b_max为参数b的上界；

设

为对应不确定参数[m,a,b]的估计值，

为测量误差，也即

则采用以下自适应律对不确定参数进行估计：

其中，Γ为对角矩阵；Ω(x₂,h,t)为自适应函数；

设y_d(t)为系统期望输出，则系统误差为：

e(t)＝y(t)-y_d(t) (5)；

定义误差函数r(t)：

其中k₁为正反馈增益；则：

设

则式(7)可重写为：

综上所述，原(1)式可重写为：

令

则式(9)可化简为：

其中

定义如下自适应控制律：

g(u(t))＝g_a(u(t))+g_s(u(t))+g_MTN(u(t)) (11)；

其中g_a(u(t))为：

其中g_s(u(t))为：

g_s(u(t))＝-k₂r(t) (13)；

其中k₂＞0，为反馈增益参数；

将式(11)代入式(10)并整理可得：

则存在一个g_MTN(u(t))最优值记为g^*(u(t))，满足以下条件：

其中ε₁和ζ均为无限接近于0的正常数；

则得到定理一：

若选择如下自适应函数：

Ω(x₂,h,t)＝Ψ^T·r(t) (16)；

则自适应控制律如式(11)所示，使得系统所有信号有界；若

d(t)＝0，则e(t)和r(t)均趋于0；

此外，正定函数表示如下：

正定函数有界，即：

步骤(2.2)、令多维泰勒网结构的输入为：

z(t)＝[z₁(t),z₂(t),...z_n(t)] (23)；

根据多维泰勒网结构可知，存在一组参数向量w(t)＝[w₁(t),w₂(t),...w_N(n,l)(t)]能够使得多维泰勒网的输出具有如下结构：

其中，N(n,t)为展开式中多项式的个数，w_i为多项式前的权重，λ_s,i为第i个多项式中z_s(t)的幂次，且有

l表示多维泰勒网中最大的幂次和；

设：

可得：

O_ut(t)＝w(t)·η(z(t)) (26)；

令z₁(t)＝y_d(t)，

且令

则多维泰勒网的输出为：

O_ut(t)＝w(t)·η(y_d(t)) (27)；

g^*(u(t))使用多维泰勒网的最优输出

描述可得：

g^*(u(t))＝O_ut ^*(t)-ε₂＝w^*(t)·η(y_d(t))-ε₂ (28)；

其中

为最优权重向量，ε₂为最小近似误差；

假设二：ε₂为无限接近于0的实常数，且：

|ε₂|≤|ε₁| (29)；

令多维泰勒网的实际输出为：

其中

为在线调整权重向量；

由式(28)和式(30)可得：

其中

为估计误差权重向量，将式(31)代入式(15)中整理可得：

其中ε为无限接近于0的正值，表示经过多维泰勒网补偿后的剩余建模误差；因此，多维泰勒网的输出以如下形式定义：

其中υ_d≥ε，ι＞0，

为简易鲁棒补偿，υ_d为鲁棒补偿边界，ι是任意正数；

则在线MTN权值更新规律为：

其中β＝[β₁,β₂,…,β_N(n,l)]为对称正定学习率矩阵，β_i为调整步长；

定理二：若选择自适应函数为式(16)，多维泰勒网的鲁棒补偿为式(30)，参数更新率为式(34)，则多维泰勒网权向量的估计误差

和跟踪误差e(t)都是收敛的；

步骤3：根据得到的u(t)，使得输出y(t)能够跟踪给定的系统期望输出y_d(t)。

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