CN112817231B - 一种具有强鲁棒性的机械臂高精度跟踪控制方法 - Google Patents

一种具有强鲁棒性的机械臂高精度跟踪控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种具有强鲁棒性的机械臂高精度跟踪控制方法，属于电源技术领域，采用拉格朗日法建立多扰动的n自由度机械臂复杂动力学模型，并转换为状态空间方程形式，将系统不确定性转化为未知非线性函数；设计自适应递归神经网络对机械臂系统中系统不确定性进行在线逼近；设计二阶非线性扰动观测器估计机械臂系统遭受的未知扰动，并融入所设计的自适应递归神经网络和二阶非线扰动观测器综合估计性能项；基于自适应递归神经网络逼近值和二阶非线性扰动观测器估计值，设计自适应递归神经网络跟踪控制器，解决了提高机械臂抗干扰的能力，实现高精度的轨迹跟踪控制的技术问题，提高系统抗干扰的能力，增强系统鲁棒性能。

Description

一种具有强鲁棒性的机械臂高精度跟踪控制方法
技术领域
本发明属于机械臂控制技术领域，涉及一种具有强鲁棒性的机械臂高精度跟踪控制方法。
背景技术
机械臂因灵活、高效、智能和适应恶劣工况环境等优点，被广泛应用于工业生产制造，并逐步取代人的劳动，不但提高了生产效率，还节约了生产成本。尤其在环境污染严重的危险工况下，减少了对工作人员的危害。为了保证机械臂可以高精度完成既定轨迹任务，因此对机械臂控制系统的性能要求越来越高。机械臂属于多输入多输出系统具有较强的非线性、强耦合和多时变的特点。在实际工作中，还受到各种类型的扰动影响如：系统不确定性、内部关节摩擦、外界未知扰动、末端负载变化等。由于这些因素的影响，导致机械臂系统的不稳定性且难以完成高精度的轨迹任务。
针对机械臂在工作时所存在的影响因素的处理，现有控制方法有：PID控制、滑膜控制、计算力矩控制、自适应控制、鲁棒控制、神经网络控制等等。这些控制方法虽然在一定程度上解决了一部分影响因素，但是仍然存在一些不足。PID控制方法控制律简单易于实现，不需要精确的机械臂动力学模型参数，但是其控制精度差、鲁棒性差；滑膜控制方法不受机械臂动力学模型参数和外界扰动变化的影响，响应速度快，但是其控制过程存在“抖振”的现象，影响一定的跟踪精度且对设备产生磨损；计算力矩控制方法具有较好的控制精度，但是其需要精确地模型参数支持。然而，在实际情况下，难以保证精确模型参数的要求；自适应控制方法具有较好的系统适应能力和学习能力，通过不断地学习系统模型参数变化，进行自我的调整，但是学习过程复杂计算量大，实现复杂只适用于简单结构的对象；鲁棒控制方法通过设置扰动的最大上界达到稳定控制的效果，易于实现，但是其需要根据工程人员的经验和主观判断来确定扰动的最大上界范围，没有一定的学习能力和适应性；神经网络控制方法具有较好的万能逼近效果，对系统未知非线性函数进行逼近，不需要模参数。但其没有考虑系统未知外界扰动，需要引入鲁棒项进行补偿。因此，对于如何同时处理机械臂中的系统不确定性、关节未知摩擦和外界未知扰动是机械臂控制的关键。
发明内容
本发明的目的是提供一种具有强鲁棒性的机械臂高精度跟踪控制方法，解决了提高机械臂抗干扰的能力，实现高精度的轨迹跟踪控制的技术问题。
为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
一种具有强鲁棒性的机械臂高精度跟踪控制方法，包括如下步骤：
步骤1：建立自适应递归神经网络模块和二阶线性扰动观测器模块；
利用拉格朗日法建立多扰动的n自由度机械臂复杂动力学模型，并转换为系统空间状态方程形式，将系统不确定性转换为未知非线性函数；
步骤2：在自适应递归神经网络模块中建立自适应递归神经网络，用于处理机械臂系统遭受的系统不确定性，即未知非线性函数的逼近；
步骤3：在二阶线性扰动观测器模块中建立二阶非线性扰动观测器，用于对机械臂系统的未知扰动进行估计补偿，并融入所述自适应递归神经网络和二阶非线性扰动观测器的综合估计性能项；
步骤4：基于自适应递归神经网络的逼近值和二阶非线性扰动观测器的估计值，建立自适应递归神经网络跟踪控制器。
优选的，在执行步骤1时，利用拉格朗日法建立多扰动的n自由度机械臂复杂动力学模型具体为如下公式：
Figure BDA0002877966450000021
其中，
Figure BDA0002877966450000022
分别为机械臂关节位置、速度和加速度，M(q)表示机械臂惯性参数矩，
Figure BDA0002877966450000023
表示机械臂离心力和哥式力参数矩阵，G(q)和
Figure BDA0002877966450000024
分别为机械臂重力参数矩阵和内部关节摩擦参数矩阵，τd为机械臂遭受的外界未知扰动，τ为机械臂关节输入控制力矩。
优选的，在执行步骤1时，将多扰动的n自由度机械臂复杂动力学模型转换为系统状态空间方程，具体包括如下步骤：
步骤A1：定义机械臂关节位置和速度状态变量分别为x1＝q和
Figure BDA0002877966450000031
M(q)表示为M，
Figure BDA0002877966450000032
表示为C，G(q)表示为G，
Figure BDA0002877966450000033
表示为F；
步骤A2：根据机械臂动力学模型特性，转换的机械臂系统状态空间方程如下：
Figure BDA0002877966450000034
步骤A3：设定惯性矩阵参数M完全已知，C、F和G完全未知，得到系统不确定性转换的未知非线性函数如下：
Γ＝M-1(Cx2+G+F)。
优选的，在执行步骤2时，设定自适应递归神经网络输入层、递归层和输出层存在最优有界连接权值分别为iω、rω、oω，所述未知非线性函数的逼近根据以下公式进行计算：
Figure BDA0002877966450000035
其中
Figure BDA0002877966450000036
为网络激活函数，x＝[x1，x2]T为神经网络输入，ε为神经网络逼近误差且有界，Γ为未知非线性函数；
此时的机械臂系统状态空间方程如下：
Figure BDA0002877966450000037
其中，D＝ε+M-1τd，且存在0＜εd，使得||D||≤εd，||·||表示向量或者矩阵范数。
优选的，在执行步骤3时，具体包括如下步骤：
步骤B1：定义
Figure BDA0002877966450000041
递归神经网络对Γ的估计为：
Figure BDA0002877966450000042
其中，
Figure BDA0002877966450000043
分别为对神经网络最优权值的估计；
步骤B2：定义自适应递归神经网络和二阶非线性扰动观测器的综合估计性能项为Ec，Ec的函数如下：
Figure BDA0002877966450000044
其中，κ为估计性能修正参数正定对角矩阵；
Figure BDA00028779664500000415
为二阶非线性扰动观测器的估计值；
步骤B3：二阶非线性扰动观测器结构如下：
Figure BDA0002877966450000045
Figure BDA0002877966450000046
Figure BDA0002877966450000047
Figure BDA0002877966450000048
其中，L1，L2，K1，K2为扰动观测器所设定的正定对角参数矩阵；
定义
Figure BDA0002877966450000049
Figure BDA00028779664500000410
表示估计误差；则所设计的二阶非线性扰动观测器的误差系统为：
Figure BDA00028779664500000411
其中，
Figure BDA00028779664500000412
Figure BDA00028779664500000413
为Γrnn的估计误差，且存在εΓ＞0，εD＞0满足
Figure BDA00028779664500000414
优选的，利用自适应递归神经网络的逼近值和二阶非线性扰动观测器的估计值设计自适应递归神经网络跟踪控制器；定义轨迹跟踪误差为e1，给定连续可导期望轨迹为x1d，满足以下关系：
Figure BDA0002877966450000051
定义李雅普诺夫函数
Figure BDA0002877966450000052
则对时间的导数为：
Figure BDA0002877966450000053
因此，自适应递归神经网络跟踪控制律设计为：
Figure BDA0002877966450000054
自适应递归神经网络的连接层权值如下：
Figure BDA0002877966450000055
其中，Δ为泰勒高阶项，
Figure BDA0002877966450000056
令
Figure BDA0002877966450000057
存在
Figure BDA0002877966450000058
满足
Figure BDA0002877966450000059
因此，自适应递归神经网络权值更新律设计为：
Figure BDA00028779664500000510
Figure BDA00028779664500000511
Figure BDA00028779664500000512
其中，λi，σi，i＝1，2，3分别为权重的学习率和修正率。
本发明所述的一种具有强鲁棒性的机械臂高精度跟踪控制方法，解决了提高机械臂抗干扰的能力，实现高精度的轨迹跟踪控制的技术问题，本发明考虑机械臂在实际工况下，机械臂存在不同类型扰动：系统不确定性、内部关节摩擦、外界未知扰动等情况，实现机械臂的高精度跟踪控制，提高系统抗干扰的能力，增强系统鲁棒性能。
附图说明
图1是本发明的系统原理结构图；
图2是本发明所设计的跟踪控制器作用下机械臂关节1的位置跟踪曲线；
图3是本发明所设计的跟踪控制器作用下机械臂关节2的位置跟踪曲线；
图4是本发明所设计的跟踪控制器作用下机械臂关节1的速度跟踪曲线；
图5是本发明所设计的跟踪控制器作用下机械臂关节2的速度跟踪曲线；
图6是本发明所设计自适应递归神经网络和二阶非线性扰动观测器对关节1遭受扰动的综合估计性能；
图7是本发明所设计自适应递归神经网络和二阶非线性扰动观测器对关节2遭受扰动的综合估计性能；
图8是本发明所设计的跟踪控制器对机械臂各关节的控制输入。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
如图1-图8所示的一种具有强鲁棒性的机械臂高精度跟踪控制方法，包括如下步骤：
步骤1：建立自适应递归神经网络模块和二阶线性扰动观测器模块；
利用拉格朗日法建立多扰动的n自由度机械臂复杂动力学模型，并转换为系统空间状态方程形式，将系统不确定性转换为未知非线性函数；
步骤2：在自适应递归神经网络模块中建立自适应递归神经网络，用于处理机械臂系统遭受的系统不确定性，即未知非线性函数的逼近；
步骤3：在二阶线性扰动观测器模块中建立二阶非线性扰动观测器，用于对机械臂系统的未知扰动进行估计补偿，并融入所述自适应递归神经网络和二阶非线性扰动观测器的综合估计性能项；
步骤4：基于自适应递归神经网络的逼近值和二阶非线性扰动观测器的估计值，建立自适应递归神经网络跟踪控制器。
优选的，在执行步骤1时，利用拉格朗日法建立多扰动的n自由度机械臂复杂动力学模型具体为如下公式：
Figure BDA0002877966450000071
其中，
Figure BDA0002877966450000072
分别为机械臂关节位置、速度和加速度，M(q)表示机械臂惯性参数矩，
Figure BDA0002877966450000073
表示机械臂离心力和哥式力参数矩阵，G(q)和
Figure BDA0002877966450000074
分别为机械臂重力参数矩阵和内部关节摩擦参数矩阵，τd为机械臂遭受的外界未知扰动，τ为机械臂关节输入控制力矩。
优选的，在执行步骤1时，将多扰动的n自由度机械臂复杂动力学模型转换为系统状态空间方程，具体包括如下步骤：
步骤A1：定义机械臂关节位置和速度状态变量分别为x1＝q和
Figure BDA0002877966450000075
M(q)表示为M，
Figure BDA0002877966450000076
表示为C，G(q)表示为G，
Figure BDA0002877966450000077
表示为F；
步骤A2：根据机械臂动力学模型特性，转换的机械臂系统状态空间方程如下：
Figure BDA0002877966450000078
步骤A3：设定惯性矩阵参数M完全已知，C、F和G完全未知，得到系统不确定性转换的未知非线性函数如下：
Γ＝M-1(Cx2+G+F)。
优选的，在执行步骤2时，设定自适应递归神经网络输入层、递归层和输出层存在最优有界连接权值分别为iω、rω、oω，所述未知非线性函数的逼近根据以下公式进行计算：
Figure BDA0002877966450000079
其中
Figure BDA0002877966450000081
为网络激活函数，x＝[x1，x2]T为神经网络输入，ε为神经网络逼近误差且有界，Γ为未知非线性函数；
此时的机械臂系统状态空间方程如下：
Figure BDA0002877966450000082
其中，D＝ε+M-1τd，且存在
Figure BDA0002877966450000083
使得||D||≤εd，||·||表示向量或者矩阵范数。
优选的，在执行步骤3时，具体包括如下步骤：
步骤B1：定义
Figure BDA0002877966450000084
递归神经网络对Γ的估计为：
Figure BDA0002877966450000085
其中，
Figure BDA0002877966450000086
分别为对神经网络最优权值的估计；
步骤B2：定义自适应递归神经网络和二阶非线性扰动观测器的综合估计性能项为Ec，Ec的函数如下：
Figure BDA0002877966450000087
其中，κ为估计性能修正参数正定对角矩阵；
Figure BDA00028779664500000812
为二阶非线性扰动观测器的估计值；
步骤B3：二阶非线性扰动观测器结构如下：
Figure BDA0002877966450000088
Figure BDA0002877966450000089
Figure BDA00028779664500000810
Figure BDA00028779664500000811
其中，L1，L2，K1，K2为扰动观测器所设定的正定对角参数矩阵；
定义
Figure BDA0002877966450000091
Figure BDA0002877966450000092
表示估计误差；则所设计的二阶非线性扰动观测器的误差系统为：
Figure BDA0002877966450000093
其中，
Figure BDA0002877966450000094
Figure BDA0002877966450000095
为Γrnn的估计误差，且存在εΓ＞0，εD＞0满足
Figure BDA0002877966450000096
优选的，利用自适应递归神经网络的逼近值和二阶非线性扰动观测器的估计值设计自适应递归神经网络跟踪控制器；定义轨迹跟踪误差为e1，给定连续可导期望轨迹为x1d，满足以下关系：
Figure BDA0002877966450000097
定义李雅普诺夫函数
Figure BDA0002877966450000098
则对时间的导数为：
Figure BDA0002877966450000099
因此，自适应递归神经网络跟踪控制律设计为：
Figure BDA00028779664500000910
自适应递归神经网络的连接层权值如下：
Figure BDA00028779664500000911
其中，Δ为泰勒高阶项，
Figure BDA00028779664500000912
令
Figure BDA00028779664500000913
存在
Figure BDA00028779664500000914
满足
Figure BDA00028779664500000915
因此，自适应递归神经网络权值更新律设计为：
Figure BDA00028779664500000916
Figure BDA00028779664500000917
Figure BDA00028779664500000918
其中，λi，σi，i＝1，2，3分别为权重的学习率和修正率。
为了保证机械臂系统的整体闭环稳定性，定义闭环系统整体李雅普诺夫函数为V：
V＝V0+V1+V2+V3；
其中，
Figure BDA0002877966450000101
tr(·)表示矩阵的迹。
闭环系统的李雅普诺夫函数V对时间的导数并进行一些列化简为：
Figure BDA0002877966450000102
其中，
Figure BDA0002877966450000103
Figure BDA0002877966450000104
表示矩阵特征多项式最小值。
本发明选取合适的神经网络权值设计参数、综合性能项估计参数、二阶非线性扰动观测器设计参数和自适应递归神经网络跟踪控制器参数，保证ρ中的各项正定。最终保证机械臂整个闭环系统的稳定一致有界，保证系统在复杂扰动工况下的稳定，实现机械臂轨迹渐进稳定跟踪。
本实施例中，以两自由度机械臂进行仿真验证：
设置机械臂期望跟踪轨迹指令为：
Figure BDA0002877966450000111
模拟机械臂遭受多扰动的影响，所以多扰动设置为：关节内部摩擦
Figure BDA0002877966450000112
外界未知扰动τd＝[0.5sin(πt)，0.5sin(πt)]T；机械臂初始状态为
Figure BDA0002877966450000113
自适应递归神经网络模块、综合性能项模块、二阶非线性扰动观测器模块和控制器模块参数设置如下：[λ1，λ2，λ3]＝[35，30，25]，
[σ1，σ2，σ3]＝[0.45，0.25，0.15]，
Figure BDA0002877966450000114
Figure BDA0002877966450000115
Figure BDA0002877966450000116
Figure BDA0002877966450000117
Figure BDA0002877966450000118
Figure BDA0002877966450000119
Figure BDA00028779664500001110
控制器效果：图2到图8为本发明在所设计的控制器作用下机械臂跟踪效果图和所设计自适应递归神经网络和二阶非线性扰动观测器的联合估计效果。图2和图3为机械臂关节位置跟踪随时间变化曲线，图3和图4为机械臂关节速度跟踪随时间变化曲线。从中可以看出，所设计的自适应递归神经网络跟踪控制器可以高精度跟踪期望输出轨迹，且跟踪性能好，跟踪误差都渐进稳定收敛到0。图5和图6为自适应递归神经网络和二阶非线性扰动观测器的联合估计值随时间变化曲线。从中可以看出，所设计的自适应递归神经网络和二阶非线性扰动观测器具有较好的逼近估计性能，可以实现对系统不确定性和外界扰动的估计补偿，保证系统的稳定性和控制精度，提高系统抗扰动能力，增强系统鲁棒性能。图8为所设计跟踪控制器对机械臂关节控制输入随时间变化曲线。可以看到，控制输入曲线为连续光滑有界，进一步保证了整个闭环系统的稳定性和强鲁棒性，使得机械臂可以平稳运行，防止关节抖动影响精度。
本发明所述的一种具有强鲁棒性的机械臂高精度跟踪控制方法，解决了提高机械臂抗干扰的能力，实现高精度的轨迹跟踪控制的技术问题，本发明考虑机械臂在实际工况下，机械臂存在不同类型扰动：系统不确定性、内部关节摩擦、外界未知扰动等情况，实现机械臂的高精度跟踪控制，提高系统抗干扰的能力，增强系统鲁棒性能。
在本发明中描述的任何过程或方法描述可以被理解为，表示包括一个或更多个用于实现定制逻辑功能或过程的步骤的可执行指令的代码的模块、片段或部分，并且本发明的优选实施方式的范围包括另外的实现，其中可以不按所示出或讨论的顺序，包括根据所涉及的功能按基本同时的方式或按相反的顺序，来执行功能，这应被本发明的实施例所属技术领域的技术人员所理解。
本发明中描述的的逻辑和/或步骤，例如，可以被认为是用于实现逻辑功能的可执行指令的定序列表，可以具体实现在任何计算机可读介质中，以供指令执行系统、装置或设备(如基于计算机的系统、包括处理器的系统或其他可以从指令执行系统、装置或设备取指令并执行指令的系统)使用，或结合这些指令执行系统、装置或设备而使用。就本说明书而言，"计算机可读介质"可以是任何可以包含、存储、通信、传播或传输程序以供指令执行系统、装置或设备或结合这些指令执行系统、装置或设备而使用的装置。计算机可读介质的更具体的示例(非穷尽性列表)包括以下：具有一个或多个布线的电连接部(电子装置)，便携式计算机盘盒(磁装置)，随机存取存储器(RAM)，只读存储器(ROM)，可擦除可编辑只读存储器(ePROM或闪速存储器)，光纤装置，以及便携式光盘只读存储器(CDROM)。另外，计算机可读介质甚至可以是可在其上打印所述程序的纸或其他合适的介质，因为可以例如通过对纸或其他介质进行光学扫描，接着进行编辑、解译或必要时以其他合适方式进行处理来以电子方式获得所述程序，然后将其存储在计算机存储器中。
应当理解，本发明的各部分可以用硬件、软件、固件或它们的组合来实现。在上述实施方式中，多个步骤或方法可以用存储在存储器中且由合适的指令执行系统执行的软件或固件来实现。如，如果用硬件来实现和在另一实施方式中一样，可用本领域公知的下列技术中的任一项或他们的组合来实现：具有用于对数据信号实现逻辑功能的逻辑门电路的离散逻辑电路，具有合适的组合逻辑门电路的专用集成电路，可编程门阵列(PGA)，现场可编程门阵列(FPGA)等。
本技术领域的普通技术人员可以理解实现上述实施例方法携带的全部或部分步骤是可以通过程序来指令相关的硬件完成，所述的程序可以存储于一种计算机可读存储介质中，该程序在执行时，包括方法实施例的步骤之一或其组合。
此外，在本发明各个实施例中的各功能单元可以集成在一个处理模块中，也可以是各个单元单独物理存在，也可以两个或两个以上单元集成在一个模块中。上述集成的模块既可以采用硬件的形式实现，也可以采用软件功能模块的形式实现。所述集成的模块如果以软件功能模块的形式实现并作为独立的产品销售或使用时，也可以存储在一个计算机可读取存储介质中。
尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。

Claims (1)

1.一种具有强鲁棒性的机械臂高精度跟踪控制方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤1：建立自适应递归神经网络模块和二阶线性扰动观测器模块；
利用拉格朗日法建立多扰动的n自由度机械臂复杂动力学模型，并转换为系统空间状态方程形式，将系统不确定性转换为未知非线性函数；
在执行步骤1时，利用拉格朗日法建立多扰动的n自由度机械臂复杂动力学模型具体为如下公式：
Figure DEST_PATH_IMAGE002
；
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE004
分别为机械臂关节位置、速度和加速度，
Figure DEST_PATH_IMAGE006
表示机械臂惯性参数矩，
Figure DEST_PATH_IMAGE008
表示机械臂离心力和哥式力参数矩阵，
Figure DEST_PATH_IMAGE010
和
Figure DEST_PATH_IMAGE012
分别为机械臂重力参数矩阵和内部关 节摩擦参数矩阵，
Figure DEST_PATH_IMAGE014
为机械臂遭受的外界未知扰动，
Figure DEST_PATH_IMAGE016
为机械臂关节输入控制力矩；
将多扰动的n自由度机械臂复杂动力学模型转换为系统状态空间方程，具体包括如下步骤：
步骤A1：定义机械臂关节位置和速度状态变量分别为
Figure DEST_PATH_IMAGE018
和
Figure DEST_PATH_IMAGE020
，
Figure DEST_PATH_IMAGE021
表示为
Figure DEST_PATH_IMAGE023
，
Figure 732049DEST_PATH_IMAGE008
表示为
Figure DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure 759173DEST_PATH_IMAGE010
表示为
Figure DEST_PATH_IMAGE027
，
Figure 136190DEST_PATH_IMAGE012
表示为
Figure DEST_PATH_IMAGE029
；
步骤A2：根据机械臂动力学模型特性，转换的机械臂系统状态空间方程如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE031
；
步骤A3：设定惯性矩阵参数
Figure 773449DEST_PATH_IMAGE023
完全已知，
Figure 76255DEST_PATH_IMAGE025
、
Figure 544670DEST_PATH_IMAGE029
和
Figure 738760DEST_PATH_IMAGE027
完全未知，得到系统不确定性转 换的未知非线性函数如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE033
；
步骤2：在自适应递归神经网络模块中建立自适应递归神经网络，用于处理机械臂系统遭受的系统不确定性，即未知非线性函数的逼近；
在执行步骤2时，设定自适应递归神经网络输入层、递归层和输出层存在最优有界连接 权值分别为
Figure DEST_PATH_IMAGE035
、
Figure DEST_PATH_IMAGE037
、
Figure DEST_PATH_IMAGE039
，所述未知非线性函数的逼近根据以下公式进行计算：
Figure DEST_PATH_IMAGE041
；
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE043
为网络激活函数，
Figure DEST_PATH_IMAGE045
为神经网络输入，
Figure DEST_PATH_IMAGE047
为神经网络逼近误差且有 界，
Figure DEST_PATH_IMAGE049
为未知非线性函数；
此时的机械臂系统状态空间方程如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE051
；
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE053
，且存在 0<
Figure DEST_PATH_IMAGE055
，使得
Figure DEST_PATH_IMAGE057
，
Figure DEST_PATH_IMAGE059
表示向量或者矩阵范数；
步骤3：在二阶线性扰动观测器模块中建立二阶非线性扰动观测器，用于对机械臂系统的未知扰动进行估计补偿，并融入所述自适应递归神经网络和二阶非线性扰动观测器的综合估计性能项；
在执行步骤3时，具体包括如下步骤：
步骤B1：定义
Figure DEST_PATH_IMAGE061
，递归神经网络对
Figure DEST_PATH_IMAGE063
的估计为：
Figure DEST_PATH_IMAGE065
；
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE067
分别为对神经网络最优权值的估计；
步骤B2：定义自适应递归神经网络和二阶非线性扰动观测器的综合估计性能项为
Figure DEST_PATH_IMAGE069
的函数如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE071
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE073
为估计性能修正参数正定对角矩阵；
Figure DEST_PATH_IMAGE075
为二阶非线性扰动观测器的估计值；
步骤B3：二阶非线性扰动观测器结构如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE077
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE079
为扰动观测器所设定的正定对角参数矩阵；
定义
Figure DEST_PATH_IMAGE081
表示估计误差；则所设计的二阶非线性扰动观测器的误差系统 为：
Figure DEST_PATH_IMAGE083
其中：
Figure DEST_PATH_IMAGE085
为
Figure DEST_PATH_IMAGE087
的估计误差， 且存在
Figure DEST_PATH_IMAGE089
满足
Figure DEST_PATH_IMAGE091
；利用自适应递归神经网络的逼近值和二阶非线 性扰动观测器的估计值设计自适应递归神经网络跟踪控制器；定义轨迹跟踪误差为
Figure DEST_PATH_IMAGE093
，给 定连续可导期望轨迹为
Figure DEST_PATH_IMAGE095
，满足以下关系：
Figure DEST_PATH_IMAGE097
定义李雅普诺夫函数
Figure DEST_PATH_IMAGE099
，则对时间的导数为：
Figure DEST_PATH_IMAGE101
因此，自适应递归神经网络跟踪控制律设计为：
Figure DEST_PATH_IMAGE103
自适应递归神经网络的连接层权值如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE105
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE107
为泰勒高阶项，
Figure DEST_PATH_IMAGE109
，令
Figure DEST_PATH_IMAGE111
存 在
Figure DEST_PATH_IMAGE113
，满足
Figure DEST_PATH_IMAGE115
；
因此，自适应递归神经网络权值更新律设计为：
Figure DEST_PATH_IMAGE117
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE119
分别为权重的学习率和修正率；
步骤4：基于自适应递归神经网络的逼近值和二阶非线性扰动观测器的估计值，建立自适应递归神经网络跟踪控制器。
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