CN115473467A - 基于模糊观测器的柔性关节机械臂指令滤波反步控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于柔性关节机械臂位置跟踪控制技术领域，具体公开了一种基于模糊观测器的柔性关节机械臂指令滤波反步控制方法，该方法针对模型参数未知的柔性关节机械臂系统，利用指令滤波及模糊观测器技术提出了指令滤波模糊控制方法，实现了对该系统期望轨迹的跟踪控制。设计模糊观测器来估计柔性机械臂的连杆角速度和电机转角速度；利用模糊自适应技术来解决模型参数不同程度的不确定性；同时，应用指令滤波技术解决了控制器设计过程中的计算复杂性问题；并通过Lyapunov控制原理证明了该柔性关节机械臂控制系统中所有变量的收敛性。本发明设计的观测器具有良好的观测效果，且解决了控制器设计过程中的计算复杂性问题，轨迹跟踪误差更小，系统鲁棒性更强。

Description

基于模糊观测器的柔性关节机械臂指令滤波反步控制方法

技术领域

本发明属于柔性关节机械臂位置跟踪控制技术领域，特别涉及一种基于模糊观测器的柔性关节机械臂指令滤波反步控制方法。

背景技术

近年来，由于机器人技术的迅猛发展，柔性关节机械臂在航空航天、工件装配、国防军工和教育行业等方面广泛应用，结合发展迅速的机器视觉技术，其在制造和医疗等行业均具有较高的研究价值。传统的刚性机械臂难以解决大量繁杂的高精度控制问题，大量研究和实践表明，在设计过程中若忽略机械臂的关节柔性，此机械臂在执行高精度作业时将受到很大的限制。相较于传统的刚性机械臂，柔性机械臂在搭载了谐波减速器的基础上有较为明显的连续性和多自由度数目的特点，其在面对复杂多障碍的环境情况、精细化的操作要求时，动作灵活精准，关节扭转范围宽泛。而柔性机械臂系统是强耦合的高阶非线性系统，这些特点限制了机械臂的控制性能。因此，柔性机械臂的精确控制问题，已是当今机器人领域的研究热点。控制方法包括奇异摄动法、智能控制、变结构控制、反馈线性化法、反步控制等。

其中反步控制是一种基于递归李雅普诺夫函数的方案，是一个有效的非线性系统控制框架，以此方法为基础在处理非线性控制方面的问题上有独特的优越性，反步控制在柔性机械臂的控制领域应用广泛。然而，在对虚拟控制函数连续求导时，控制器设计过程中所用到的传统反步法会存在“计算爆炸”问题，进而增加了计算量，导致柔性机械臂反步控制策略的应用具有很大的局限性。后来提出了动态面控制方法来解决“计算爆炸”，但是动态面控制存在的滤波误差会影响系统的控制精度。进一步提出了指令滤波技术，并结合误差补偿技术降低了滤波误差对控制精度的干扰。另外在一些控制方法中，要想实现对运行中柔性机械臂系统的更精确控制，需要准确了解运行系统中的各个状态变量，但是有一部分状态变量是不可测的，当想要观测柔性机械臂的速度项时就需要用到传感器，但传感器测量时易受干扰。

综上，目前柔性关节机械臂系统中存在未知项，连杆速度及电机转角速度状态不可测，关节位置跟踪在反步设计中推导复杂以及误差过大引起安全事故等技术问题。

发明内容

针对现有技术中存在的上述技术问题，本发明提出了一种基于模糊观测器的柔性关节机械臂指令滤波反步控制方法，以便对柔性关节机械臂系统进行精确位置跟踪控制。

本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

步骤1.建立考虑不确定性的柔性关节机械臂动力学系统数学模型；

步骤2.设计模糊观测器估计得到的柔性关节机械臂模型中不可测的连杆速度和电机转角速度，并用模糊逻辑系统处理系统中不同程度的不确定项；

步骤3.设计指令滤波反步控制器，构建了二阶滤波器和误差补偿信号，用来解决反步设计中虚拟控制律的计算复杂度问题；

步骤4.选取Lyapunov函数进行推导，进而证明对由步骤3设计的基于模糊观测器的柔性关节机械臂指令滤波控制方法所控制系统Lyapunov稳定。

本发明具有如下优点：

(1)本发明方法设计了观测器估计柔性机械臂的连杆速度和电机转角速度，解决了机械臂速度项不可测问题，提高了系统的可靠性。

(2)本发明方法结合了指令滤波技术和误差补偿机制，解决了在控制器设计过程中的计算复杂性问题，消除了滤波误差的影响，不用再考虑期望信号高阶可导的需求，获得了更好的跟踪效果，提高了系统的控制精度。

(3)本发明方法考虑了系统中的不确定因素，利用模糊逻辑系统处理柔性机械臂系统的不确定性，提高了系统鲁棒性。

(4)本发明方法设计的观测器避免了实际系统中传感器的使用安装且减少了维护要求，解决了速度传感器测量时易受干扰的问题，更有利于实际应用。

附图说明

图1为本发明实施例中系统总体控制器以及系统复合被控对象的整体示意图。

图2为采用本发明方法后关节角位置和期望角位置的跟踪响应曲线图。

图3为采用本发明方法后关节角位置和期望角位置跟踪误差的响应曲线图。

图4为采用本发明方法后模糊观测器估计连杆速度项的跟踪曲线图。

图5为采用本发明方法后模糊观测器估计电机转角速度项的跟踪曲线图。

图6为采用本发明方法后该系统控制输入响应曲线图。

图7为采用本发明方法后应对不同程度不确定性B时位置的跟踪误差响应曲线图。

图8为采用本发明方法后应对不同程度不确定性

时位置的跟踪误差响应曲线图。

具体实施方式

本发明实施例述及了一种基于模糊观测器的柔性关节机械臂指令滤波反步控制方法，该方法针对模型参数未知的柔性关节机械臂系统，利用指令滤波及模糊观测器技术，提出了指令滤波模糊控制策略，实现了对该系统期望轨迹的跟踪控制，其包括如下步骤：首先设计模糊观测器来估计柔性机械臂的连杆角速度和电机转角速度；其次利用模糊自适应技术来解决模型参数的不确定性；同时应用指令滤波技术解决了控制器设计过程中的计算复杂性问题；并通过Lyapunov控制原理证明了该柔性关节机械臂控制系统中所有变量的收敛性。

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

图1为系统总体控制器以及柔性关节机械臂系统复合被控对象的整体示意图，其中，图1中涉及到指令滤波反步控制器、模糊观测器部分以及滤波补偿机制。

本发明方法的控制过程如下：对于柔性机械臂系统的关节位置、速度以及电机侧的角位置、速度四个输出量，输入控制器中控制信号；由于速度项不可测，输入到模糊观测器中产生速度项的估计，再将速度项的估计送入到控制器中；与给定目标位置作比较后产生的差值送入控制器，并将关节角位置与电机转角位置的估计误差送入控制器；将指令滤波反步控制器的控制信号输入到柔性机械臂系统中进而达成对系统的控制。

基于模糊观测器的柔性关节机械臂指令滤波反步控制方法，具体包括如下步骤：

步骤1.建立考虑不确定项的柔性关节机械臂动力学系统数学模型。

首先给出柔性关节机械臂的动态方程，如公式(1)所示：

其中，q、

分别表示连杆的位置、速度和加速度，q_m、

分别表示电机的转角位置、速度和加速度，M代表连杆的质量，l代表连杆的长度，g为重力加速度，

代表摩擦项即未知的干扰项，K表示关节刚度系数，J和B分别表示执行器的惯性和自然阻尼项，u代表电机控制输入，y表示系统的输出；设定

和B中包含不确定性。

设状态变量x₁＝q,

x₃＝q_m,

将动态方程即公式(1)改写为：

为简化动态方程即公式(1)，接下来定义如下变量，如公式(3)所示：

基于公式(3)，进一步将公式(2)改写成：

设h₂和h₄是已知正常数，f₂和f₄是含有未知项的连续函数，且有连续有界的一阶导数。步骤2.设计模糊观测器，估计柔性关节机械臂的连杆速度和电机的转角速度。

令公式(4)中

进一步得到公式(5)：

其中，Z₁＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T。

由模糊逻辑系统定义得知：

其中，θ_i是最优参数向量，

表示θ_i的估计，

为x_i的状态估计值。

表示

与θ_i同为函数变量，

表示

的估计，

表示变量为

的函数块，

表示

的估计；

表示状态变量

与θ_i共同简化成的函数，

表示

的估计。

针对一个任意给定的正数ε，由模糊自适应逼近定理得到：

其中，

表示函数中变量为Z₁且系数为θ_i ^T的函数块，δ_i(Z₁)≤|ε|。

基于公式(5)并综合上式

将公式(4)的观测器设计为：

式中，

表示

的估计；定义观测器的误差e＝[e₁,e₂,e₃,e₄]^T，其中，e_j表示估计误差，j＝1,2,3,4；估计误差

D₁、D₂、D₃、D₄为待设计的正数；得到

其中，

表示

的估计，

表示

的估计。

假定一个函数f_i(·)满足以下不等式：

为正常数，i＝2,4；得到

其中，

表示Z₁的估计。

令

其中，

是不确定正常数；

表示

的估计。

则

得到

ε表示一个任意小的正数。

设有一对称矩阵Q＝Q^T＞0，那么会有一对称矩阵P＝P^T＞0满足A^TP+PA＝-Q。

步骤3.根据指令滤波和反步法设计基于模糊观测器的柔性关节机械臂的指令滤波反步控制方法，具体过程如下：

定义指令滤波器的公式如下：

其中，z_o,1表示指令滤波器的一阶变量，z_o,2表示指令滤波器的二阶变量。

x_o,c＝z_o,1和

为指令滤波器的两个输出；α_o为指令滤波器的输入，α_o表示虚拟控制函数；指令滤波器的初始状态α_o(0)＝z_o,1(0)，z_o,2(0)＝0。

当式(4)系统开始运行后，若输入信号满足：

则任意μ＞0，存在ζ∈(0,1]和ω_n≥0，使得|x_o,c-α_o|≤μ,o＝1,2,3，

均有界。

ρ₁表示虚拟控制函数一阶导的上界，ρ₂表示虚拟控制函数二阶导的上界。

由反步法的原理定义误差变量：

其中，z_j表示误差变量，j＝1,2,3,4；x_d为给定的期望信号，x_o,c为指令滤波器的输出信号，

为速度项的估计值。

定义误差补偿信号为：

其中，ξ_j表示误差补偿信号，v_j表示补偿误差跟踪信号。

虚拟控制律和滤波误差补偿信号的具体形式将在以下设计过程中给出。

步骤3.1.选取Lyapunov函数为V₀＝e^TPe，求导得：

由杨氏不等式得到：

2e^TPF≤||e||²+(m₂ ²+m₄ ²)||P²||e||² (11)

其中，m₂、m₄表示任意小的正数；将公式(11)、公式(12)代入公式(10)得：

其中，λ_min(Q)是Q最小的特征值。

步骤3.2.选取第一个子系统的Lyapunov函数

求导得：

由于e₂未知，由杨氏不等式得到：

设计虚拟控制律α₁和补偿信号

为：

其中，k₁为正常数，将公式(15)、公式(16)代入公式(14)得：

步骤3.3.选取Lyapunov函数

求导得：

其中，

为θ₂的估计，

表示自适应律，λ₂为正常数，h₂为正常数。由杨氏不等式得到：

将公式(19)代入公式(18)得：

设计虚拟控制律α₂、补偿信号

和自适应律

为：

其中，k₂为正常数，n₂为正常数，将公式(21)代入公式(20)得：

步骤3.4.选取Lyapunov函数

求导得：

由于e₄未知，由杨氏不等式得到：

设计虚拟控制律α₃和补偿信号

为：

其中，k₃为正常数，将公式(24)、公式(25)代入公式(23)得：

步骤3.5.选取Lyapunov函数

求导得：

其中，λ₄为正常数；

为θ₄的估计，

表示自适应律。由杨氏不等式得到：

将公式(28)代入公式(27)得：

设计真实控制律u、补偿信号

和自适应律

为：

其中，k₄、n₄均为正的常数，将公式(30)代入公式(29)得：

步骤4.对基于模糊观测器的柔性关节机械臂指令滤波反步控制方法进行稳定性分析。选取V＝V₄，由公式(31)得：

由杨氏不等式得：

将公式(13)、公式(33)、公式(34)代入(32)得到：

其中，λ_min(Q)-3-(m₂ ²+m₄ ²)||P||²＞0,

其中，λ_max(P)表示向量P的最大特征值；进一步由公式(35)得到：

式(36)表明，v_j和

均属于紧集：

因此，机械臂系统的所有信号都有界，滤波器的误差补偿信号ξ_j满足

其中

因为z₁＝v₁+ξ₁且ξ₁有界，跟踪误差z₁有界，进而得到：

其中，min_j(k_j)表示k_j中的最小值。

通过以上分析得知，v_j、ξ_j、z_j都是有界的，因此，在给定参数k_j、m_i、n_i后，保持a不变，选择足够大的λ_i和足够小的ε，能够保证跟踪误差z₁足够小。

为了验证所提控制方法的有效性，柔性机械臂控制系统选取以下参数进行仿真：

M＝0.25kg,L＝0.45m,g＝9.8m/s²，K＝5N·m/rad,J＝5×10^-4m/s²，B＝0.01,B₁＝0.01。

选取摩擦项为

选取参考信号x_d＝sin(t)。

选择控制器参数为：k₁＝k₂＝k₃＝k₄＝10,b₂＝b₄＝0.5,n₂＝n₄＝3。

选择观测器参数为：D₁＝D₃＝100,D₂＝D₄＝10000,选择滤波器参数ω_n＝1100,ζ＝0.8。

同时为了证明所提运用模糊逻辑系统对处理系统中不确定项的有效性，在其余参数不变的前提下，分别改变具有不确定性的摩擦项

和B进行对比仿真。

当B＝0.01，分别取

当

分别取B＝0.01；0.05；0.1。仿真结果，如图2至图8所示：

图2反映了本发明下角位置x₁对期望轨迹x_d的跟踪效果，图3为位置跟踪误差x₁-x_d，由图2和图3看出，该关节位置能较好地跟踪给定目标轨迹，具有较高的控制精度。

图4和图5反映了本发明方法下连杆角速度状态和电机转角速度状态的估计效果，由图4和图5看出，本发明方法设计的观测器可有效估计实际状态，观测效果良好。

图6反映了本发明方法下该系统控制输入响应曲线图。由图6看出，控制律曲线响应平稳，没有出现较大波动，控制效果平稳。

图7和图8反映了本发明方法下系统应对不同程度不确定性B和

时位置的跟踪误差的响应曲线图。由图7和图8看出，本发明方法可以处理系统模型中不同程度的不确定性，而几乎不改变系统的跟踪效果。

针对具有不确定项的柔性关节机械臂系统，本发明方法可以很好的实现对目标轨迹的跟踪控制，跟踪误差小，设计的观测器具有良好的观测效果，所用的控制方法可以很好地处理系统模型中不同程度的不确定性，系统的鲁棒性强。

综上，不论从理论稳定性证明还是从仿真结果看，本发明方法均达到了在模型参数具有不确定性下提高控制效果、降低计算复杂性以及满足对速度项有效估计的预期目标。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.基于模糊观测器的柔性关节机械臂指令滤波反步控制方法，其特征在于，

包括如下步骤：

步骤1.建立考虑不确定项的柔性关节机械臂动力学系统数学模型；

首先给出柔性关节机械臂的动态方程，如公式(1)所示：

其中，q、

分别表示连杆的位置、速度和加速度，q_m、

分别表示电机的转角位置、速度和加速度，M代表连杆的质量，l代表连杆的长度，g为重力加速度，

代表摩擦项即未知的干扰项，K表示关节刚度系数，J和B分别表示执行器的惯性和自然阻尼项，u代表电机控制输入，y表示系统的输出；设定

和B中包含不确定性；

设状态变量x₁＝q,

x₃＝q_m,

将动态方程即公式(1)改写为：

为简化动态方程即公式(1)，接下来定义如下变量，如公式(3)所示：

基于公式(3)，进一步将公式(2)改写成：

设h₂和h₄是已知正常数，f₂和f₄是含有未知项的连续函数，且有连续有界的一阶导数；

步骤2.设计模糊观测器，估计柔性关节机械臂的连杆速度和电机的转角速度；

令公式(4)中

进一步得到公式(5)：

其中，Z₁＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T；

由模糊逻辑系统定义得知：

其中，θ_i是最优参数向量，

表示θ_i的估计，

为x_i的状态估计值；

表示

与θ_i同为函数变量，

表示

的估计，

表示变量为

的函数块，

表示

的估计；

表示状态变量

与θ_i共同简化成的函数，

表示

的估计；

针对一个任意给定的正数ε，由模糊自适应逼近定理得到：

其中，

表示函数中变量为Z₁且系数为θ_i ^T的函数块，δ_i(Z₁)≤|ε|；

基于公式(5)并综合上式

将公式(4)的观测器设计为：

式中，

表示

的估计；定义观测器的误差e＝[e₁,e₂,e₃,e₄]^T，其中，e_j表示估计误差，j＝1,2,3,4；估计误差

D₁、D₂、D₃、D₄为待设计的正数；得到

其中，

表示

的估计，

表示

的估计；

假定一个函数f_i(·)满足以下不等式：

为正常数，i＝2,4；得到

其中，

表示Z₁的估计；

令

其中，

是不确定正常数；

表示

的估计；

则

得到

ε表示一个任意小的正数；

设有一对称矩阵Q＝Q^T＞0，那么会有一对称矩阵P＝P^T＞0满足A^TP+PA＝-Q；

步骤3.根据指令滤波和反步法设计基于模糊观测器的柔性关节机械臂的指令滤波反步控制方法，具体过程如下：

定义指令滤波器的公式如下：

其中，z_o,1表示指令滤波器的一阶变量，z_o,2表示指令滤波器的二阶变量；

x_o,c＝z_o,1和

为指令滤波器的两个输出；α_o为指令滤波器的输入，α_o表示虚拟控制函数；指令滤波器的初始状态α_o(0)＝z_o,1(0)，z_o,2(0)＝0；

当式(4)系统开始运行后，若输入信号满足：

则任意μ＞0，存在ζ∈(0,1]和ω_n≥0，使得|x_o,c-α_o|≤μ,o＝1,2,3，

均有界；

ρ₁表示虚拟控制函数一阶导的上界，ρ₂表示虚拟控制函数二阶导的上界；

由反步法的原理定义误差变量：

其中，z_j表示误差变量，j＝1,2,3,4；x_d为给定的期望信号，x_o,c为指令滤波器的输出信号，

为速度项的估计值；

定义误差补偿信号为：

其中，ξ_j表示误差补偿信号，v_j表示补偿误差跟踪信号；

虚拟控制律和滤波误差补偿信号的具体形式将在以下设计过程中给出；

步骤3.1.选取Lyapunov函数为V₀＝e^TPe，求导得：

由杨氏不等式得到：

2e^TPF≤||e||²+(m₂ ²+m₄ ²)||P||²||e||² (11)

其中，m₂、m₄表示任意小的正数；将公式(11)、公式(12)代入公式(10)得：

其中，λ_min(Q)是Q最小的特征值；

步骤3.2.选取第一个子系统的Lyapunov函数

求导得：

由于e₂未知，由杨氏不等式得到：

设计虚拟控制律α₁和补偿信号

为：

其中，k₁为正常数，将公式(15)、公式(16)代入公式(14)得：

步骤3.3.选取Lyapunov函数

求导得：

其中，

为θ₂的估计，

表示自适应律，λ₂为正常数，h₂为正常数；

由杨氏不等式得到：

将公式(19)代入公式(18)得：

设计虚拟控制律α₂、补偿信号

和自适应律

为：

其中，k₂为正常数，n₂为正常数，将公式(21)代入公式(20)得：

步骤3.4.选取Lyapunov函数

求导得：

由于e₄未知，由杨氏不等式得到：

设计虚拟控制律α₃和补偿信号

为：

其中，k₃为正常数，将公式(24)、公式(25)代入公式(23)得：

步骤3.5.选取Lyapunov函数

求导得：

其中，λ₄为正常数；

为θ₄的估计，

表示自适应律；

由杨氏不等式得到：

将公式(28)代入公式(27)得：

设计真实控制律u、补偿信号

和自适应律

为：

其中，k₄、n₄均为正的常数，将公式(30)代入公式(29)得：

步骤4.对基于模糊观测器的柔性关节机械臂指令滤波反步控制方法进行稳定性分析；

选取V＝V₄，由公式(31)得：

由杨氏不等式得：

将公式(13)、公式(33)、公式(34)代入(32)得到：

其中，

其中，λ_max(P)表示向量P的最大特征值；进一步由公式(35)得到：

式(36)表明，v_j和

均属于紧集：

因此，机械臂系统的所有信号都有界，滤波器的误差补偿信号ξ_j满足

其中

因为z₁＝v₁+ξ₁且ξ₁有界，跟踪误差z₁有界，进而得到：

其中，min_j(k_j)表示k_j中的最小值；

通过以上分析得知，v_j、ξ_j、z_j都是有界的，因此，在给定参数k_j、m_i、n_i后，保持a不变，选择足够大的λ_i和足够小的ε，能够保证跟踪误差z₁足够小。

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