CN109048995B - 一种三自由度Delta并联机器人的非线性关节摩擦力补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及三自由度Delta并联机器人的非线性关节摩擦力补偿方法，首先选定非线性摩擦力模型，将非线性关节摩擦力模型中的正向压力视为一种不确定性因素；将三自由度Delta并联机器人动力学模型中含有不确定性的项分离出来，根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中的标称项建立控制器中的标称补偿环节；选取正定对角矩阵设计控制器中的P.D.控制环节，用于对初始位置误差进行补偿；根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中与不确定性有关的项，构造代表系统不确定项上界信息的函数并验证；选取参数，建立带有死区和泄露项的自适应律；根据函数和自适应律，对系统中的不确定性和非线性摩擦力进行补偿；最终，给出非线性关节摩擦力补偿控制器。

Description

一种三自由度Delta并联机器人的非线性关节摩擦力补偿 方法

技术领域

本发明属于并联机器人运动控制领域，尤其涉及一种三自由度Delta并联机器人的非线性关节摩擦力补偿方法。

背景技术

随着Delta并联机器人在加工制造、微电子、医疗康复、智能物流等高精尖领域的应用，Delta并联机器人对控制精度和抗干扰能力的要求越来越高。由于Delta并联机器人关节摩擦力具有高度的非线性，会使机器人在控制时产生控制误差，影响控制精度和响应特性，特别是主动关节的摩擦力和控制力矩耦合，当控制输入增大时更无法忽略其关节摩擦力对系统的干扰。因此，基于非线性关节摩擦力数学模型的Delta并联机器人摩擦力主动补偿控制方法成为了该领域的研究热点。

目前，机器人的摩擦力补偿控制方法中大多采用的是具有参数离线辨识的摩擦力模型，即将摩擦接触面的正向压力视为常值来线性化摩擦力模型，这对于并联机器人这样典型的非线性系统是不准确的。在这种摩擦力补偿控制方法中，摩擦力常被视为系统扰动，研究人员仅利用控制方法的鲁棒性对其进行抗干扰控制。但这种控制方法的效果已不能满足Delta并联机器人在高精度应用中的控制系统动态性能。

发明内容

针对上述现有技术存在的缺陷或不足，本发明的目的在于，提供一种三自由度Delta并联机器人的非线性摩擦力补偿方法，以解决传统摩擦力补偿控制方法不能满足Delta并联机器人在高精度应用中的控制系统动态性能的技术问题。

为了实现上述任务，本发明采用如下技术解决方案予以实现：

一种三自由度Delta并联机器人的非线性关节摩擦力补偿方法，其特征在于，按照以下步骤进行：

步骤1，选定非线性摩擦力模型，将非线性关节摩擦力模型中的正向压力视为一种不确定性因素；

步骤2，将三自由度Delta并联机器人动力学模型中含有不确定性的项分离出来，分别得到并联机器人系统的标称项和不确定项；

步骤3，根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中的标称项建立控制器中的标称补偿环节，用于对标称机器人系统进行补偿；

步骤4，选取正定对角矩阵设计控制器中的P.D.控制环节，用于对初始位置误差进行补偿；

步骤5，根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中与不确定性有关的项，构造代表系统不确定项上界信息的函数并验证；

步骤6，选取参数，建立带有死区和泄露项的自适应律，用于在线估计不确定性的上界信息；

步骤7，根据函数和自适应律，对系统中的不确定性和非线性摩擦力进行补偿；

步骤8，最终，给出非线性关节摩擦力补偿控制器。

本发明的三自由度Delta并联机器人的非线性关节摩擦力补偿方法，将并联机器人的摩擦力模型中的正向压力视为一种不确定性因素，此不确定性因素的上界信息可以为未知量，从一种全新的角度将非线性关节摩擦力补偿问题转换为对系统中的不确定性进行补偿的问题，带来的有益效果在于：

在所设计的非线性关节摩擦力补偿控制方法中，若机器人系统中不存在初始位置误差、不确定性和非线性关节摩擦力时，控制器中单独的标称补偿环节可使并联机器人的轨迹跟踪误差达到一致渐近稳定性的性能。若机器人系统中仅存在初始位置误差时，控制器中标称补偿环节加P.D.控制环节即可使机器人系统满足控制性能指标。若机器人系统中同时存在初始位置误差、不确定性与非线性关节摩擦力时，加上控制器中的不确定性补偿环节与自适应率可补偿系统中的不确定性与非线性关节摩擦力，使系统满足一致有界和一致最终有界性能指标。

附图说明

图1为DELTA机器人的空间结构示意简图；

图2为DELTA机器人的非线性关节摩擦力补偿控制器设计示意简图；

图3为Delta并联机器人关节角位移仿真结果图；

图4为Delta并联机器人关节角位移仿真结果图；

图5为Delta并联机器人控制输入力矩仿真结果图；

图6是自适应参数

仿真结果图；

图7是Delta并联机器人运行轨迹仿真结果图；

图8是Delta并联机器人轨迹跟踪误差e仿真结果图；

图9是Delta并联机器人轨迹跟踪误差

仿真结果图；

图10是有无摩擦力补偿下轨迹跟踪误差e仿真结果图；

图11是有无摩擦力补偿下轨迹跟踪误差

仿真结果图；

以下结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步的清楚、完整地描述。

具体实施方式

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些较优实施例，本发明不限于这些实施例。

首先进行机器人介绍：本实施例采用一种十分常见的少自由度并联机器人——三自由度Delta并联机器人作为研究对象进行分析。

图1所示的是三自由度Delta并联机器人在工作平面内的结构示意简图，以及在工作空间内建立的直角坐标系。

其中，O-A₁A₂A₃为静平台，O′-C₁C₂C₃为动平台，静平台与动平台均为等边三角形。O-XYZ为静平台系(基坐标系)，O′-x′y′z′为动平台系，O、O′分别位于静、动平台系几何中心，Z、z′轴向上方向设为正方向。A₁、A₂、A₃位于电机轴与主动臂轴线的交点，称之为并联机器人的主动关节。B₁、B₂、B₃位于主动臂轴线和从动臂轴线的交点，C₁、C₂、C₃位于从动臂轴线和动平台的交点。

定义机器人主动臂的长度A_iB_i为l_a，从动臂的长度B_iC_i为l_b，动、静平台的外接圆半径分别为r、R。θ₁、θ₂、θ₃为主动臂对静平台的张角，q₁、q₂、q₃为主动关节转角。

如图2所示，本实施例给出一种三自由度Delta并联机器人的非线性关节摩擦力补偿方法，该方法包括的步骤是：

步骤1，选定非线性摩擦力模型，将非线性关节摩擦力模型中的正向压力视为一种不确定性因素；

步骤2，将三自由度Delta并联机器人动力学模型中含有不确定性的项分离出来，分别得到并联机器人系统的标称项

和

和不确定项△M、△C、△G、△F和

步骤3，根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中的标称项建立控制器中的标称补偿环节P₁，用于对标称机器人系统进行补偿；

步骤4，选取正定对角矩阵K_p＝diag[k_pi]_3×3，K_v＝diag[k_vi]_3×3，设计控制器中的P.D.控制环节P₂，用于对初始位置误差进行补偿。

步骤5，根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中与不确定性有关的项构造函数φ，构造代表系统不确定项上界信息的函数

并验证假设3。

步骤6，选取参数κ、k₁、k₂、k₃、∈和ξ，建立带有死区和泄露项的自适应律，用于在线估计不确定性的上界信息。

步骤7，根据函数

和自适应律，构造P₃，用于对系统中的不确定性和非线性摩擦力进行补偿。

步骤8，最终，给出非线性关节摩擦力补偿控制器τ＝P₁+P₂+P₃。

以下是各个步骤的详细实施内容：

步骤1：

Stribeck摩擦力能够可以对摩擦力在两接触表面从相对静止到相对运动过程中的非线性特性进行描述，因此选取Stribeck摩擦力模型为研究的非线性关节摩擦力模型，其数学模型模型表示为

其中，F_f为Stribeck摩擦力，F_s为静摩擦力，v_s表示Stribeck速度，F_v为粘性摩擦系数，F_c为库伦摩擦力，其表达形式为：

其中，μ为库伦摩擦系数，F_n是接触面正压力的大小，v为相对运动速度矢量，v为相对速度的大小。

步骤2：

忽略对系统性能影响较小的被动关节摩擦力，考虑具有非线性主动关节摩擦力的三自由度Delta并联机器人动力学模型为：

其中，q∈R³为主动关节角度向量，

为主动关节角速度向量，

为主动关节角加速度向量。σ∈Σ∈R^p为机器人系统中存在的不确定参数向量，其中包括时变的动力学参数、外部负载、关节正向压力等，其上界信息未知。Σ∈R^p为不确定参数的紧集，代表着不确定性的界。M(q,σ,t)为机器人系统惯性矩阵，

为系统的科氏力/离心力项，

为斜对称矩阵，G(q,σ,t)为系统的重力项，

为系统所受的外部干扰，

为非线性关节摩擦力，τ(t)为系统输入力矩。M(·)、C(·)、G(·)、F(·)与F_f(·)均连续或关于时间t勒贝格可测。

为了后续控制器的设计，将式(3)中的M(·)、C(·)、G(·)与F(·)分解为：

其中，

与

称为Delta并联机器人系统的标称项，△M(q,σ,t)、

△G(q,σ,t)、

与

称为Delta并联机器人系统的不确定项。

当Delta并联机器人在工作过程中不存在不确定性和摩擦力时，有：

为了简化推导过程，在不产生歧义的情况，下文部分公式中的自变量会省略。

其中，惯性矩阵满足：

假设1：

惯性矩阵M(q,σ,t)为正定矩阵，即对任意的q∈R³，存在一个常数σ>0使得：

M(q,σ,t)>σI (9)

假设2：

对任意的q∈R³，总存在常数γ_j，j＝0,1,2，且γ₀>0，γ_1,2≥0，使得：

‖M(q,σ,t)‖<γ₀+γ₁‖q‖+γ₂‖q‖² (10)

对于由转动副和滑动副连接的串、并联机器人，其惯性矩阵M(q,σ,t)仅与质量惯性参数、滑动关节和转动关节的位置相关。因此，总存在一组常数γ_j,令串、并联机器人质量惯性矩阵的欧式范数满足式(10)。

步骤3：

设三自由度Delta并联机器人的期望轨迹为q^d、

和

其中q^d:[t₀,∞)→R³表示期望位置，且q^d为C²连续，

为期望速度，

为期望加速度。

定义系统的轨迹跟踪误差为：

e：＝q-q^d (11)

因此，系统的速度跟踪误差与加速度跟踪误差可以表示为：

则：

步骤4：

其中，正定对角矩阵K_p＝diag[k_pi]_3×3且k_pi>0，K_v＝diag[k_vi]_3×3且k_vi>0，i＝1,2,3。

步骤5：(为了构造满足假设3的函数

假设3：

(1)存在一个已知的正定函数Γ(·):(0,∞)^k×R³×R³×R→R₊和一个未知的向量α∈(0,∞)^k，使得：

其中：

式(14)中，正定矩阵S＝diag[s_i]_3×3，s_i>0，k_s＝λ_min(S)，i＝1,2,3。

(2)对于所有

函数

满足：(i)C¹；(ii)关于α的凹函数，即对于任意的α₁，α₂，有：

(3)函数

为关于α的不下降函数。

步骤6：

设计带死区的自适应律为：

式(19)为一个带有死区设计和泄露项的自适应率，

为自适应参数，

为

向量的第i个元素，i＝1,2,…,k,k₁，k₂，k₃∈R^k×k且k₁，k₂，k₃>0，κ∈R,κ>0,∈∈R,∈>0。

当

未进入大小为∈的范围内，

为非负项，泄露项

设计为指数形式，使

呈指数衰减趋向0值，若

恒成立，t>t₀，i＝1,2,…,k。死区部分

进入大小为∈的范围内)的设计可以简化控制算法。

步骤7：

式(20)中：

其中，正定对角矩阵K_p＝diag[k_pi]_3×3且k_pi>0，K_v＝diag[k_vi]_3×3且k_vi>0，i＝1,2,3，k_p＝λ_min(K_p),k_p＝λ_min(K_v)，k_sp＝k_sk_p,ε>0，ξ>0。

步骤8：

考虑跟踪误差向量为

现给出一种针对三自由度Delta并联机器人的非线性关节摩擦力补偿控制器：

式(23)中，控制器分为三个部分，若机器人系统中存在初始位置误差、不确定性和非线性关节摩擦力时，令τ＝P₁+P₂+P₃，可使t→∞时，轨迹跟踪误差向量

满足一致有界和一致最终有界。

当系统中仅存在初始位置误差时，△M≡0、△C≡0、△G≡0和△F≡0，可以选取函数

使得P₃＝0，此时τ＝P₁+P₂，能使t→∞时，e→0。

若系统无初始位置误差、不确定性和非线性关节摩擦力存在时，则：

令τ＝P₁，当t>t₀时，

恒成立。

一、稳定性证明

先给出稳定性证明结论：

如果三自由度Delta并联机器人系统动力学模型(3)满足假设1-3，控制器设计(23)可以使轨迹跟踪误差向量

满足：

(1)一致有界性：对于任意给定的r>0，且||e(t₀)||<r，当t>t₀时，存在一个正实数d(r):0<d(r)<∞，使得||e(t)||<d(r)成立。

(2)一致最终有界性：对于任意给定

且||e(t₀)||<r，当

时，

成立，其中

以下给出证明过程如下：

构造李雅普诺夫函数为：

李雅普诺夫函数V的导数为：

分析式(25)中第一项：

根据式(14)：

式(26)中：

将式(20)带入式(26)中：

根据假设3，有：

将式(27)-(30)带入式(25)：

将自适应率(19)带入式(31)中，有：

(1)当

时：

其中，

(2)当

时：

其中，

根据式(32)和式(33)，李雅普诺夫函数导数

为：

其中，

或

对于式(34)，当‖δ‖满足：

为负值，即：

根据文献(Chen Y.，Zhang X..Adaptive Robust Approximate Constraint-following Control for Mechanical Systems[J].Journal of the FranklinInstitute,2010，347(1)：69-86)，当李雅普诺夫函数导数

满足式(36)时，轨迹跟踪误差向量

和自适应参数

满足一致有界与一直最终有界。

其中：

二、动力学模型仿真

在MATLAB软件中，利用ode15i函数对三自由度Delta并联机器人的动力学模型与设计的控制器进行仿真。假设并联机器人受到的不确定因素为动平台的质量参数

外部负载

和

其中，

和

为标称项，Δm_o′、△F₁、△F₂、△F₃、△F_n1、△F_n2和△F_n3为随时间变化的不确定项。不确定参数向量定义为：σ＝[Δm_O′,△F₁,△F₂,△F₃,△F_n1,△F_n2,△F_n3]^T。设Delta并联机器人工作平台需要跟踪的目标轨迹为：

根据假设3，函数

的选取和函数

有关，选取函数

为：

其中，α＝max{α₁,α₂,α₃}。

三自由度Delta并联机器人的结构参数如下：

主动臂的长度l_a＝200mm，静平台的外接圆半径R＝180mm，动平台的外接圆半径r＝100mm，机器人的质量参数如下：主动臂质量m_a＝1.193kg，从动臂质量m_b＝1.178kg，动平台质量m_O′＝4.3225kg。

选取控制器的控制参数如下：K_v＝diag[1,1,1]，K_p＝diag[1,1,1]，S＝diag[2,2,2],ε＝0.1，κ＝1，k₁＝10,k₂＝0.3,k₃＝0.5,ζ＝0.001。

选取标称参数如下：

选取不确定参数如下：

Δ_m＝0.7，Δ_f＝0.6,Δ_fc＝0.5。

设定仿真的初始值位置为：q₀＝[0.5434 0.5434 0.9639]^T,

仿真结果如图3-10所示。

其中，图3与图4为三自由度Delta并联机器人的主动关节角位移与关节角速度的仿真结果。图5为三个主动关节角上的输入力矩仿真结果。图6为自适应参数

仿真结果，随着轨迹跟踪误差的减小，由于泄露项的存在,

由3.8减小至2附近。

当三自由度Delta并联机器人系统受到初始位置误差、不确定性和非线性关节摩擦力影响时，分别令τ＝P₁、τ＝P₁+P₂、τ＝P₁+P₂+P₃为控制输入对比控制效果。图7中，当只有τ＝P₁+P₂+P₃为控制输入时，末端执行器轨迹可以高品质的跟踪目标轨迹。

图8为在三种控制输入下系统轨迹跟踪误差e的仿真结果，当τ＝P₁为控制输入时，轨迹跟踪误差在1s时运行至奇异点，当τ＝P₁+P₂为控制输入时，轨迹跟踪误差在0.1m-0.25m之间振荡。当τ＝P₁P+₂+P₃为控制输入时，系统从0.01m附近经过0.2s后进入并保持在0m附近范围内。

图9为在三种控制输入下系统轨迹跟踪误差

的仿真结果，当τ＝P₁+P₂+P₃为控制输入时，轨迹跟踪误差

从0.31m/s经过0.5s后减小到0m/s附近，当τ＝P₁、τ＝P₁+P₂为控制输入时。轨迹跟踪误差

均发散。

图10为所设计非线性关节摩擦力控制器中有无摩擦力补偿项时的轨迹跟踪误差e仿真结果，控制器设计不考虑对非线性摩擦力进行补偿时，轨迹跟踪误差e由0.01m经过1s降至0.002m附近，并一直维持在0.002m附近振荡。控制器设计考虑对非线性摩擦力进行补偿时，轨迹跟踪误差降至0m附近。

图11为有无摩擦力补偿项时的轨迹跟踪误差

仿真结果，控制器设计不考虑对非线性摩擦力进行补偿时，轨迹跟踪误差e由0.31m经过1s降至0.02m附近，并一直维持在0.02m附近振荡。控制器设计考虑对非线性摩擦力进行补偿时，轨迹跟踪误差

降至0m附近。

仿真结果表明：本实施例所提出的三自由度Delta并联机器人摩擦力补偿控制器拥有良好的鲁棒性，在具有不确定参数的非线性摩擦力干扰下，可以快速跟踪目标轨迹，并使跟踪误差满足有界性能。

Claims (1)

1.一种三自由度Delta并联机器人的非线性关节摩擦力补偿方法，其特征在于，按照以下步骤进行：

步骤1，选定非线性摩擦力模型，将非线性关节摩擦力模型中的正向压力视为一种不确定性因素；

选取Stribeck摩擦力模型为研究的非线性关节摩擦力模型，其数学模型表示为

其中，F_f为Stribeck摩擦力，F_s为静摩擦力，v_s表示Stribeck速度，F_v为粘性摩擦系数，F_c为库伦摩擦力，其表达形式为：

其中，μ为库伦摩擦系数，F_n是接触面正压力的大小，

为相对运动速度矢量；v为相对速度的大小；

步骤2，将三自由度Delta并联机器人动力学模型中含有不确定性的项分离出来，分别得到并联机器人系统的标称项和不确定项；

忽略对系统性能影响较小的被动关节摩擦力，考虑具有非线性主动关节摩擦力的三自由度Delta并联机器人动力学模型为：

其中，q∈R³为主动关节角度向量，

为主动关节角速度向量，

为主动关节角加速度向量；σ∈∑∈R^p为机器人系统中存在的不确定参数向量，其中包括时变的动力学参数、外部负载、关节正向压力，其上界信息未知；∑∈R^p为不确定参数的紧集，代表着不确定性的界；M(q，σ，t)为机器人系统惯性矩阵，

为系统的科氏力/离心力项，

为斜对称矩阵，G(q，σ，t)为系统的重力项，

为系统所受的外部干扰

为非线性关节摩擦力，τ(t)为系统输入力矩，M(·)、C(·)、G(·)、F(·)与F_f(·)均连续或关于时间t勒贝格可测；

步骤3，根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中的标称项建立控制器中的标称补偿环节，用于对标称机器人系统进行补偿；

设三自由度Delta并联机器人的期望轨迹为q^d、

和

其中q^d：[t₀，∞)→R³表示期望位置，且q^d为C²连续，

为期望速度，

为期望加速度；

定义系统的轨迹跟踪误差为：

因此，系统的速度跟踪误差与加速度跟踪误差可以表示为：

则：

步骤4，选取正定对角矩阵设计控制器中的P.D.控制环节，用于对初始位置误差进行补偿；

其中，正定对角矩阵K_p＝diag[k_pi]_3×3且k_pi＞0，K_v＝diag[k_vi]_3×3且k_vi＞0，i＝1，2，3；

步骤5，根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中与不确定性有关的项，构造代表系统不确定项上界信息的函数并验证；

步骤6，选取参数，建立带有死区和泄露项的自适应律，用于在线估计不确定性的上界信息；

设计带死区和泄露项自适应律为：

式中，

为自适应参数，

为

向量的第i个元素，i＝1，2，…，k，k₁，k₂，k₃∈R^k×k且k₁，k₂，k₃＞0，κ∈R，κ＞0，∈∈R，∈＞0；

当

未进入大小为∈的范围内，

为非负项，泄露项

设计为指数形式，使

呈指数衰减趋向0值，若

恒成立，t＞t₀，i＝1，2，…，k；

死区部分即

进入大小为∈的范围内的设计可以简化控制算法；

步骤7，根据函数

和自适应律，构造P₃，对系统中的不确定性和非线性摩擦力进行补偿；其表达式如下：

式中：

其中，正定对角矩阵K_p＝diag[k_pi]_3×3且k_pi＞0，K_v＝diag[k_vi]_3×3且k_vi＞0，i＝1，2，3，k_p＝λ_min(K_p)，k_p＝λ_min(K_v)，k_sp＝k_sk_p，ε＞0，ξ＞0；

步骤8，给出非线性关节摩擦力补偿控制器；

考虑跟踪误差向量为

现给出一种针对三自由度Delta并联机器人的非线性关节摩擦力补偿控制器：

式中，控制器分为三个部分，若机器人系统中存在初始位置误差、不确定性和非线性关节摩擦力时，令τ＝P₁+P₂+P₃，可使t→∞时，轨迹跟踪误差向量

满足一致有界和一致最终有界；

当系统中仅存在初始位置误差时，ΔM≡0、ΔC≡0、ΔG≡0和ΔF≡0，可以选取函数

使得P₃＝0，此时τ＝P₁+P₂，能使t→∞时，e→0；

若系统无初始位置误差、不确定性和非线性关节摩擦力存在时，则：

令τ＝P₁，当t＞t₀时，

恒成立；

一致有界性：对于任意给定的r＞0，且||e(t₀)||＜r，当t＞t₀时，存在一个正实数d(r)：0＜d(r)＜∞，使得||e(t)||＜d(r)成立；

(2)一致最终有界性：对于任意给定r＞0，

且

当

时，

或立，其中

构造李雅普诺夫函数为：

经推导，李雅普诺夫函数V的导数

满足：

时，控制器设计可以使轨迹跟踪误差向量

和自适应参数

满足系统一致有界与一致最终有界；

其中，δ为给定误差向量，

为二次项系数，

为一次项系数,

为常数项。

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