CN105319972B - 基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及遥操作机器人同步控制技术领域，具体公开了一种基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法包括分别选取主机器人和从机器人组成遥操作系统，并分别测量主机器人和从机器人的系统参数，在线测量主机器人和从机器人的位置信息，并得到主机器人和从机器人的速度信息，设计快速终端滑模面，基于设计的快速终端滑模面，利用主机器人和从机器人的系统参数设计自适应固定时间控制器，利用李雅普诺夫方程给出参数自适应律、控制器参数及滑模面参数与系统收敛时间的关系式，从而根据实际应用对系统收敛时间的要求以及系统参数与系统收敛时间的关系式来确定控制器参数和滑模面参数。本发明弥补了现有遥操作机器人系统控制方法在控制速度和控制精度上的不足。

Description

基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法

技术领域

本发明涉及遥操作机器人同步控制技术领域，尤其涉及一种基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法。

背景技术

遥操作系统主要由操作者、主机器人、网络传输通道、从机器人和远处的外界环境组成。其工作模式大致为：操作者对本地主机器人进行操作，并将运动指令通过计算机网络等传输媒介传送给从机器人，从机器人按照接收到的命令，在特定环境下模拟主机器人的行为从而完成各种工作，同时从机器人的工作状态将反馈给操作者，便于操作者根据从机器人的状态做出正确的决策。遥操作系统的控制面临很大的挑战，一方面由于机器人本身为复杂的非线性系统，另一方面遥操作系统大多应用于复杂的人类无法或不适合接触的环境。但是由于实际应用如远程手术，海底探测，外空探测和危险环境救援的需要，对遥操作系统的控制性能：快速性，准确性和鲁棒性都提出了更高的要求。因此迫切需要提出新的控制策略来保证遥操作机器人系统满足实际应用提出的高性能要求。

针对系统的不确定和外界干扰，滑模控制提供了很好的控制效果。而终端滑模的出现，不但保留了传统线性滑模的优点，另外其抗干扰性更强，系统收敛更快，精度更高，而且能提供有限时间的收敛。但是典型的终端滑模存在奇异值问题，而且对其收敛时间的计算依赖于系统的初始状态。在实际中大多时候系统的初始状态并不容易获得。这使得有限时间控制方法在实际中很难得到广泛的应用。另外在考虑终端滑模控制中系统的不确定问题一直是一个难点。很少有相关文献分析机器人系统在存在系统不确定时的有限时间控制问题。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法，以弥补现有遥操作机器人系统的控制方法的不足。

为了解决上述技术问题，本发明提供了一种基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法，包括以下步骤：

S1.分别选取主机器人和从机器人组成遥操作系统，并分别测量主机器人和从机器人的系统参数；

S2.在线测量主机器人和从机器人的位置信息，并得到主机器人和从机器人的速度信息，设计快速终端滑模面；

S3.基于设计的快速终端滑模面，利用主机器人和从机器人的系统参数设计自适应固定时间控制器；

S4.利用李雅普诺夫方程给出参数自适应律、控制器参数及滑模面参数与系统收敛时间的关系式，进而根据实际应用对系统收敛时间的要求以及系统参数与系统收敛时间的关系式来确定控制器参数和滑模面参数，从而最终完成整个自适应固定时间控制器的设计。

优选地，对于机械臂系统，所述步骤S1中的系统参数包括：杆的长度和质量信息，以及根据杆的长度和质量信息分别计算出的主机器人和从机器人的惯性矩阵、哥氏力、离心力矩阵、雅可比矩阵和重力项。

优选地，主机器人和从机器人的惯性矩阵、哥氏力、离心力矩阵和重力项的计算均基于任务空间，需利用雅可比矩阵及其逆进行计算，

基于关节空间的动力学模型为

其中，m表示主机器人，s表示从机器人，q_m(t),q_s(t)∈Rⁿ为关节位移矩阵，为关节速度矩阵，M_m(q_m)，M_s(q_s)∈R^n×n为正定的惯性矩阵， 为哥氏力和离心力的矩阵，G_m(q_m),G_s(q_s)∈Rⁿ为重力扭矩，F_h∈Rⁿ和F_e∈Rⁿ分别为人类操作者施加的力和环境施加的力，J_m(q_m)和J_s(q_s)表示雅可比矩阵，τ_m∈Rⁿ和τ_s∈Rⁿ为提供的控制扭矩，

利用任务空间与关节空间之间的关系

x_m＝h_m(q_m),x_s＝h_s(q_s)

得到

其中，h_m(q_m)和h_s(q_s)表示关节空间和任务空间之间的非线性关系转换，

根据关节空间与任务空间的转换关系，基于任务空间的主机器人和从机器人的动力学模型为

其中，

由于在实际应用中系统模型均存在不确定的部分，因此有M_tm＝M_tmo+ΔM_tm，M_ts＝M_tso+ΔM_ts，C_tm＝C_tmo+ΔC_tm，C_ts＝C_tso+ΔC_ts，H_tm＝H_tmo+ΔH_tm和H_ts＝H_tso+ΔH_ts

其中，M_tmo，M_tso，C_tmo，C_tso，H_tmo，H_tso表示系统的标称部分即已知部分，而ΔM_tm，ΔM_ts，ΔC_tm，ΔC_ts，ΔH_tm和ΔH_ts表示系统的不确定部分，

系统的不确定部分表示为

根据系统可线性化性质

P_m＝Y_mθ_m；P_s＝Y_sθ_s

其中，Y_m和Y_s表示系统的回归矩阵，θ_m和θ_s表示系统的不确定参数向量，

基于任务空间的主机器人和从机器人的动力学模型

根据求得的惯性矩阵，哥氏力、离心力的矩阵，重力项和雅可比矩阵，得到系统的标称部分M_tm0，M_ts0，C_tm0，C_ts0，G_tm0和C_ts0。

优选地，所述步骤S2中，当外界干扰较小时可对位置信息直接进行微分得到，当存在较大干扰时，利用有限时间差分器得到。

优选地，所述步骤S2中，快速终端滑模面的设计包括：指数趋近项和幂次趋近项，当系统追踪误差初始状态离原点较远时指数趋近项大于快速趋近项，指数趋近项发挥主要作用，将系统追踪误差快速拉至原点附近，此时，幂次趋近项大于指数趋近项，使得系统追踪误差快速趋于原点。

利用测得的主机器人和从机器人的位置x_m、x_s以及速度信息定义主机器人和从机器人的位置误差

e_m＝x_m-x_s(t-T_s),e_s＝x_s-x_m(t-T_m)

其中，T_m表示从机器人到主机器人之间的信号传输时延，T_s表示主机器人到从机器人之间的信号传输时延，

速度追踪误差

根据定义的主机器人和从机器人之间的位置和速度误差，定义一种新的快速终端滑模面

其中，α_m，β_m，α_s和β_s为对称正定矩阵。m_m1、m_s1、n_m1、n_s1、p_m1、p_s1、q_m1、q_s1为正奇数，且满足m_m1＞n_m1，m_s1＞n_s1，2p_m1＞q_m1＞p_m1，2p_s1＞q_s1＞p_s1，

其中，和为指数趋近项，和为幂次趋近项，

当初始误差距离远点较远时，指数趋近项的作用大于幂次趋近项发挥主要作用，使系统追踪误差能在很短的时间内收敛到原点附近，当系统追踪误差在原点附近时，幂次趋近项的作用大于指数趋近项，从而使得收敛误差在固定时间内收敛到零点。

优选地，所述步骤S3中，自适应固定时间控制器包括：系统标称部分、自适应部分和实现固定时间收敛部分，实现固定时间收敛部分包括：指数趋近项和快速趋近项，两项共同起作用保证系统的固定时间收敛，

根据定义的快速终端滑模面主机器人和从机器人的自适应固定时间控制器设计为

其中，和表示自适应项在线估计主机器人和从机器人的不确定，k_m1，k_m2、k_s1和k_s2为对称正定矩阵，m₂、n₂、p₂和q₂为正奇数，且满足m₂＞n₂，q₂＞p₂，ξ_m和ξ_s为正整数，

ψ_m和ψ_s用来处理存在的奇异值具体定义为

如果那么

如果那么

同样的对于从机器人

如果那么

如果那么

具体的u_m和u_s定义为

其中，e_mmax和e_smax分别表示e_m和e_s的最大值，因此在实际应用中u_m和u_s分别代表两个与位置误差最大值相关的常数，而ψ_m和ψ_s在实际中由变量e_m、e_s、和决定的变量。

优选地，所述步骤S4中，

自适应参数的调节律设计为

其中，Λ_m和Λ_s为对称正定矩阵，

控制器参数和滑模面参数与收敛时间之间的关系为

T≤T₁+T₂

其中，η₂＝min(λ_min(k_m2),λ_min(k_s2))δ_m1＝λ_min(α_m)，δ_m2＝λ_min(β_m)，δ_s1＝λ_min(α_s)δ_s2＝λ_min(β_s)，min(·)表示取最小值，λ_min(·)表示取矩阵的最小特征值，当系统对收敛速度要求比较低时，选取比较小的控制器参数k_m1，k_m2，k_s1，k_s2和滑模面参数α_m，β_m，α_s，β_s，反之，选取较大的控制器参数。

本发明的基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法适用于具有二阶性质的各类系统如飞行器，机械臂，轮式机器人等。在控制方法设计中同时引入指数趋近项和幂次趋近项，当系统误差较大时指数趋近项能使系统追踪误差在很短的时间内收敛到原点附近且收敛时间与初始状态无关。进而幂次趋近项发挥主要作用使得系统追踪误差能在有限时间内精确地收敛到零点。因此在该控制方法下系统的抗干扰性更强，系统收敛速度更快，精度更高并能实现与系统初始状态无关的固定时间同步。针对遥操作机器人的同步控制问题，设计了基于快速终端滑模的控制器(也叫控制方法一般由软件编程实现)，实现了主、从机器人在固定时间内达到同步的目的。由于采用了快速终端滑模，主、从机器人之间的同步误差能在很短的时间内趋于零，且系统的鲁棒性增强。通过选取李雅普诺夫方程首先对系统的稳定性进行了证明。在系统稳定下，进一步利用自适应参数估计误差有界的性质，再次选取新的李雅普诺夫方程，对系统的确定时间收敛性能进行了证明。进而推出系统确定的收敛时间，且该收敛时间仅与控制器参数和滑模面参数有关，与系统的初始状态无关。本发明利用切换的思想来解决终端滑模应用时出现的奇异值问题。设计的控制器中的一项在系统出现奇异值时会使得控制器的值趋于无穷大，这时将控制器切换到另一种模式，从而避免控制力趋于无穷大给系统带来破坏性影响。本发明采用自适应方法来在线估计系统的不确定性，进而利用控制器中的自适应项来抵消系统不确定对系统造成的影响，从而保证了遥操作机器人系统在存在不确定时的稳定性和主、从机器人之间的同步。

附图说明

图1为遥操作机器人系统的结构框图；

图2为本发明的控制原理框图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明，但不能用来限制本发明的范围。

如图1-2所示，本实施例的基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法包括以下步骤：

S1.分别选取主机器人和从机器人组成遥操作系统，并分别测量主机器人和从机器人的系统参数；

系统参数包括：杆的长度和质量信息，以及根据杆的长度和质量信息分别计算出的主机器人和从机器人的惯性矩阵、哥氏力、离心力矩阵、雅可比矩阵和重力项；

主机器人和从机器人的惯性矩阵、哥氏力、离心力矩阵和重力项的计算均基于任务空间，需利用雅可比矩阵及其逆进行计算，

基于关节空间的动力学模型为

其中，m表示主机器人，s表示从机器人，q_m(t),q_s(t)∈Rⁿ为关节位移矩阵，为关节速度矩阵，M_m(q_m)，M_s(q_s)∈R^n×n为正定的惯性矩阵， 为哥氏力和离心力的矩阵，G_m(q_m),G_s(q_s)∈Rⁿ为重力扭矩，F_h∈Rⁿ和F_e∈Rⁿ分别为人类操作者施加的力和环境施加的力，J_m(q_m)和J_s(q_s)表示雅可比矩阵，τ_m∈Rⁿ和τ_s∈Rⁿ为提供的控制扭矩，

利用任务空间与关节空间之间的关系

x_m＝h_m(q_m),x_s＝h_s(q_s)

得到

其中，h_m(q_m)和h_s(q_s)表示关节空间和任务空间之间的非线性关系转换，

根据关节空间与任务空间的转换关系，基于任务空间的主机器人和从机器人的动力学模型为

其中，

由于在实际应用中系统模型均存在不确定的部分，M_tm＝M_tmo+ΔM_tm，M_ts＝M_tso+ΔM_ts，C_tm＝C_tmo+ΔC_tm，C_ts＝C_tso+ΔC_ts，H_tm＝H_tmo+ΔH_tm和H_ts＝H_tso+ΔH_ts

其中，M_tmo，M_tso，C_tmo，C_tso，H_tmo，H_tso表示系统的标称部分即已知部分，而ΔM_tm，ΔM_ts，ΔC_tm，ΔC_ts，ΔH_tm和ΔH_ts表示系统的不确定部分，

系统的不确定部分

根据系统可线性化性质

P_m＝Y_mθ_m；P_s＝Y_sθ_s

其中，Y_m和Y_s表示系统的回归矩阵，θ_m和θ_s表示系统的不确定参数向量，

基于任务空间的主机器人和从机器人的动力学模型

根据求得的惯性矩阵，哥氏力、离心力的矩阵，重力项和雅可比矩阵，得到系统的标称部分M_tm0，M_ts0，C_tm0，C_ts0，G_tm0和C_ts0。

S2.在线测量主机器人和从机器人的位置信息，并得到主机器人和从机器人的速度信息，设计快速终端滑模面；

当外界干扰较小时可对位置信息直接进行微分得到，当存在较大干扰时，利用有限时间差分器得到；

快速终端滑模面的设计包括：指数趋近项和幂次趋近项，当系统追踪误差初始状态离原点较远时指数趋近项大于快速趋近项，指数趋近项发挥主要作用，将系统追踪误差快速拉至原点附近，此时，幂次趋近项大于指数趋近项，使得系统追踪误差快速趋于原点。

利用测得的主机器人和从机器人的位置x_m、x_s以及速度信息定义主机器人和从机器人的位置误差

e_m＝x_m-x_s(t-T_s),e_s＝x_s-x_m(t-T_m)

其中，T_m表示从机器人到主机器人之间的信号传输时延，T_s表示主机器人到从机器人之间的信号传输时延，

速度追踪误差

根据定义的主机器人和从机器人之间的位置和速度误差，定义一种新的快速终端滑模面

其中，α_m，β_m，α_s和β_s是对称正定矩阵。m_m1、m_s1、n_m1、n_s1、p_m1、p_s1、q_m1、q_s1为正奇数，且满足m_m1＞n_m1，m_s1＞n_s1，2p_m1＞q_m1＞p_m1，2p_s1＞q_s1＞p_s1，

其中，和为指数趋近项，和为幂次趋近项，

当初始误差距离远点较远时，指数趋近项的作用大于幂次趋近项发挥主要作用，使系统追踪误差能在很短的时间内收敛到原点附近，当系统追踪误差在原点附近时，幂次趋近项的作用大于指数趋近项，从而使得收敛误差在固定时间内收敛到零点。

S3.基于设计的快速终端滑模面，利用主机器人和从机器人的系统参数设计自适应固定时间控制器；

S4.利用李雅普诺夫方程给出参数自适应律、控制器参数及滑模面参数与系统收敛时间的关系式，进而根据实际应用对系统收敛时间的要求以及系统参数与系统收敛时间的关系式来确定控制器参数和滑模面参数，从而最终完成整个自适应固定时间控制器的设计。

自适应参数的调节律设计为

其中，Λ_m和Λ_s为对称正定矩阵，

控制器参数和滑模面参数与收敛时间之间的关系为

T≤T₁+T₂

其中，η₂＝min(λ_min(k_m2),λ_min(k_s2))δ_m1＝λ_min(α_m)，δ_m2＝λ_min(β_m)，δ_s1＝λ_min(α_s)δ_s2＝λ_min(β_s)，min(·)表示取最小值，λ_min(·)表示取矩阵的最小特征值，当系统对收敛速度要求比较低时，选取比较小的控制器参数k_m1，k_m2，k_s1，k_s2和滑模面参数α_m，β_m，α_s，β_s，反之，选取较大的控制器参数。

因此最终得到能保证遥操作系统在固定时间内实现同步的固定时间控制器设计方法。

本发明的基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法适用于具有二阶性质的各类系统如飞行器，机械臂，轮式机器人等。在控制方法设计中同时引入指数趋近项和幂次趋近项，当系统误差较大时指数趋近项能使系统追踪误差在很短的时间内收敛到原点附近且收敛时间与初始状态无关。进而幂次趋近项发挥主要作用使得系统追踪误差能在有限时间内精确地收敛到零点。因此在该控制方法下系统的抗干扰性更强，系统收敛速度更快，精度更高并能实现与系统初始状态无关的固定时间同步。针对遥操作机器人的同步控制问题，设计了基于快速终端滑模的控制器(也叫控制方法一般由软件编程实现)，实现了主、从机器人在固定时间内达到同步的目的。由于采用了快速终端滑模，主、从机器人之间的同步误差能在很短的时间内趋于零，且系统的鲁棒性增强。通过选取李雅普诺夫方程首先对系统的稳定性进行了证明。在系统稳定下，进一步利用自适应参数估计误差有界的性质，再次选取新的李雅普诺夫方程，对系统的确定时间收敛性能进行了证明。进而推出系统确定的收敛时间，且该收敛时间仅与控制器参数和滑模面参数有关，与系统的初始状态无关。本发明利用切换的思想来解决终端滑模应用时出现的奇异值问题。设计的控制器中的一项在系统出现奇异值时会使得控制器的值趋于无穷大，这时将控制器切换到另一种模式，从而避免控制力趋于无穷大给系统带来破坏性影响。本发明采用自适应方法来在线估计系统的不确定性，进而利用控制器中的自适应项来抵消系统不确定对系统造成的影响，从而保证了遥操作机器人系统在存在不确定时的稳定性和主、从机器人之间的同步。

本发明的实施例是为了示例和描述起见而给出的，而并不是无遗漏的或者将本发明限于所公开的形式。很多修改和变化对于本领域的普通技术人员而言是显而易见的。选择和描述实施例是为了更好说明本发明的原理和实际应用，并且使本领域的普通技术人员能够理解本发明从而设计适于特定用途的带有各种修改的各种实施例。

Claims (5)

1.一种基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1.分别选取主机器人和从机器人组成遥操作系统，并分别测量主机器人和从机器人的系统参数；

S2.在线测量主机器人和从机器人的位置信息，并得到主机器人和从机器人的速度信息，设计快速终端滑模面；

S3.基于设计的快速终端滑模面，利用主机器人和从机器人的系统参数设计自适应固定时间控制器；

S4.利用李雅普诺夫方程给出参数自适应律、控制器参数及滑模面参数与系统收敛时间的关系式，进而根据实际应用对系统收敛时间的要求以及系统参数与系统收敛时间的关系式来确定控制器参数和滑模面参数，从而最终完成整个自适应固定时间控制器的设计；

其中对于机械臂系统，所述步骤S1中的系统参数包括：杆的长度和质量信息，以及根据杆的长度和质量信息分别计算出的主机器人和从机器人的惯性矩阵、哥氏力、离心力矩阵、雅可比矩阵和重力项；主机器人和从机器人的惯性矩阵、哥氏力、离心力矩阵和重力项的计算均基于任务空间，需利用雅可比矩阵及其逆进行计算，基于关节空间的动力学模型为

其中，m表示主机器人，s表示从机器人，q_m(t),q_s(t)∈Rⁿ为关节位移矩阵，为关节速度矩阵，M_m(q_m)，M_s(q_s)∈R^n×n为正定的惯性矩阵，为哥氏力和离心力的矩阵，G_m(q_m),G_s(q_s)∈Rⁿ为重力扭矩，F_h∈Rⁿ和F_e∈Rⁿ分别为人类操作者施加的力和环境施加的力，J_m(q_m)和J_s(q_s)表示雅可比矩阵，τ_m∈Rⁿ和τ_s∈Rⁿ为提供的控制扭矩，

利用任务空间与关节空间之间的关系

x_m＝h_m(q_m),x_s＝h_s(q_s)

得到

其中，h_m(q_m)和h_s(q_s)表示关节空间和任务空间之间的非线性关系转换，

根据关节空间与任务空间的转换关系，基于任务空间的主机器人和从机器人的动力学模型为

其中，

由于在实际应用中系统模型均存在不确定的部分，因此有M_tm＝M_tmo+ΔM_tm，M_ts＝M_tso+ΔM_ts，C_tm＝C_tmo+ΔC_tm，C_ts＝C_tso+ΔC_ts，H_tm＝H_tmo+ΔH_tm和H_ts＝H_tso+ΔH_ts

其中，M_tmo，M_tso，C_tmo，C_tso，H_tmo，H_tso表示系统的标称部分即已知部分，而ΔM_tm，ΔM_ts，ΔC_tm，ΔC_ts，ΔH_tm和ΔH_ts表示系统的不确定部分，

系统的不确定部分表示为

根据系统可线性化性质

P_m＝Y_mθ_m；P_s＝Y_sθ_s

其中，Y_m和Y_s表示系统的回归矩阵，θ_m和θ_s表示系统的不确定参数向量，基于任务空间的主机器人和从机器人的动力学模型

根据求得的惯性矩阵，哥氏力、离心力的矩阵，重力项和雅可比矩阵，得到系统的标称部分M_tm0，M_ts0，C_tm0，C_ts0，G_tm0和C_ts0。

2.根据权利要求1所述的基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法，其特征在于，所述步骤S2中，当外界干扰较小时可对位置信息直接进行微分得到，当存在较大干扰时，利用有限时间差分器得到。

3.根据权利要求2所述的基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法，其特征在于，所述步骤S2中，快速终端滑模面的设计包括：指数趋近项和幂次趋近项，当系统追踪误差初始状态离原点较远时指数趋近项大于快速趋近项，指数趋近项发挥主要作用，将系统追踪误差快速拉至原点附近，此时，幂次趋近项大于指数趋近项，使得系统追踪误差快速趋于原点；

利用测得的主机器人和从机器人的位置x_m、x_s以及速度信息 定义主机器人和从机器人的位置误差

e_m＝x_m-x_s(t-T_s),e_s＝x_s-x_m(t-T_m)

其中，T_m表示从机器人到主机器人之间的信号传输时延，T_s表示主机器人到从机器人之间的信号传输时延，

速度追踪误差

根据定义的主机器人和从机器人之间的位置和速度误差，定义一种新的快速终端滑模面

其中，α_m，β_m，α_s和β_s为对称正定矩阵。m_m1、m_s1、n_m1、n_s1、p_m1、p_s1、q_m1、q_s1为正奇数，且满足m_m1＞n_m1，m_s1＞n_s1，2p_m1＞q_m1＞p_m1，2p_s1＞q_s1＞p_s1；

其中，和为指数趋近项，和为幂次趋近项，当初始误差距离远点较远时，指数趋近项的作用大于幂次趋近项发挥主要作用，使系统追踪误差能在很短的时间内收敛到原点附近，当系统追踪误差在原点附近时，幂次趋近项的作用大于指数趋近项，从而使得收敛误差在固定时间内收敛到零点。

4.根据权利要求3所述的基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法，其特征在于，所述步骤S3中，自适应固定时间控制器包括：系统标称部分、自适应部分和实现固定时间收敛部分，实现固定时间收敛部分包括：指数趋近项和快速趋近项，两项共同起作用保证系统的固定时间收敛，

根据定义的快速终端滑模面主机器人和从机器人的自适应固定时间控制器设计为

其中，和表示自适应项在线估计主机器人和从机器人的不确定，k_m1，k_m2、k_s1和k_s2为对称正定矩阵，m₂、n₂、p₂和q₂为正奇数，且满足m₂＞n₂，q₂＞p₂，ξ_m和ξ_s为正整数，

ψ_m和ψ_s用来处理存在的奇异值具体定义为

如果那么

如果那么

同样的对于从机器人

如果那么

如果那么

具体的u_m和u_s定义为

其中，e_mmax和e_smax分别表示e_m和e_s的最大值，因此在实际应用中u_m和u_s分别代表两个与位置误差最大值相关的常数，而ψ_m和ψ_s在实际中由变量e_m、e_s、和决定的变量。

5.根据权利要求4所述的基于快速终端滑模的遥操作机器人固定时间控制方法，其特征在于，所述步骤S4中，

自适应参数的调节律设计为

其中，Λ_m和Λ_s为对称正定矩阵，

控制器参数和滑模面参数与收敛时间之间的关系为

T≤T₁+T₂

其中，η₂＝min(λ_min(k_m2),λ_min(k_s2))δ_m1＝λ_min(α_m)，δ_m2＝λ_min(β_m)，δ_s1＝λ_min(α_s)δ_s2＝λ_min(β_s)，min(·)表示取最小值，λ_min(·)表示取矩阵的最小特征值，当系统对收敛速度要求比较低时，选取比较小的控制器参数k_m1，k_m2、k_s1、k_s2和滑模面参数α_m、β_m、α_s、β_s，反之，选取较大的控制器参数。