CN108845493B - 带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制方法，通过描述刚体结构机械臂系统的动态方程；不考虑外部干扰时，利用障碍李雅普诺夫函数法和有限时间控制算法，设立连续的固定时间轨迹跟踪控制律；根据得到的控制律设计固定时间轨迹跟踪控制器，使得机械臂系统的动态方程的状态轨迹可以在固定时间内跟踪到预设的期望轨迹，同时在控制过程中跟踪误差不会超出预先设定的界；依靠得到的固定时间轨迹跟踪控制器进行跟踪控制。本发明具有较好的收敛性和抗干扰性。

Description

带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及一种带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制方法。

背景技术

机械臂系统虽然目前还不如人手那样灵活，但它具有能不断重复工作和劳动、不知疲劳、不怕危险、抓举重物的力量比人手大等特点，因此，机械臂已受到许多部门的重视，并越来越广泛地得到了应用。例如，机床加工工件的装卸，特别是在自动化车床、组合机床上的使用较为普遍；在装配作业中应用广泛，在电子行业中它可以用来装配印制电路板，在机械行业中它可以用来组装零部件；它可以在劳动条件差，单调重复易疲劳的工作环境工作，以代替人的劳动；它可以在危险的场合下工作，如军用品的装卸、危险品及有害物质的搬运等；还可用于宇宙及海洋的开发及军事工程和生物医学方面的研究和实验等。

由于机械臂系统可化为标准的二阶链式系统，其一直被科学界作为基准系统来研究。最近几十年，机械臂系统的轨迹跟踪控制得到了很大关注。现有很多技术对机械臂系统的轨迹跟踪进行了研究，滑模控制技术是主要的研究手段。针对机械臂系统，现有技术提出了全局非奇异终端滑模控制器以及有限时间终端滑模控制器。同时研究了多网络机械臂系统的分布式协同跟踪控制问题。值得注意的是现有技术只能得到有限时间稳定的结果，这意味着在有限时间控制中，停息时间的上界依赖于系统初始值。实际应用中，最好能够预先知道停息时间的上限，而且这个上限应该是一个正常数，与系统初始条件无关，即为固定时间稳定问题。相比于有限时间稳定，固定时间要求控制系统是全局有限时间稳定的并且停息时间的上界是一个与系统初始条件无关的常数。在实际应用中，固定时间控制比有限时间控制更可取，因为固定时间方法可以产生一个控制律，规定一个与操作域无关的过渡时间。为此，需要解决机械臂系统的固定时间轨迹跟踪控制问题。

针对输入通道带有扰动和不确定的二阶链式非线性系统，现有技术提出了固定时间终端滑模控制器，并将该思想成功应用于二阶多智能网络系统的一致跟踪控制问题中。针对带有不匹配不确定性的高阶严格反馈非线性系统，现有技术研究了固定时间状态反馈控制器设计问题。注意到实际中的很多系统可以转化为多输入系统，现有技术考虑了干扰不确定非完整系统的固定时间镇定控制器设计问题。另一方面，为满足实际的需求，约束非线性系统控制问题显得格外重要，例如桥式起重机在作业过程中，台车必须在一定的运行范围内运行，一旦台车超出运行界，便会与边界发生激烈的碰撞，造成安全事故。最近几年，带有状态约束或输出约束的非线性系统的控制设计成为了新的研究热点，其中障碍李雅普诺夫函数法主要用来处理链式非线性系统的约束控制问题。现有技术研究了带有输出约束的不确定欠驱动水面船舶的自适应神经网络轨迹跟踪控制问题。同时现有技术研究了带有输出约束和输入死区的机械臂系统的自适应神经网络跟踪控制。然而现有技术还不能解决带有输出约束的机械臂系统的固定时间轨迹跟踪控制问题，新的技术还尚待提出。

发明内容

本发明为了解决上述问题，提出了一种带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制方法，本发明利用障碍李雅普诺夫函数法和增加幂积分器技术，有效的解决了带有输出约束的机械臂系统的固定时间轨迹跟踪控制问题。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制方法，包括以下步骤：

描述刚体结构机械臂系统的动态方程；

不考虑外部干扰时，利用障碍李雅普诺夫函数法和有限时间控制算法，设立连续的固定时间轨迹跟踪控制律；

根据得到的控制律设计固定时间轨迹跟踪控制器，使得机械臂系统的动态方程的状态轨迹可以在固定时间内跟踪到预设的期望轨迹，同时在控制过程中跟踪误差不会超出预先设定的界；

依靠得到的固定时间轨迹跟踪控制器进行跟踪控制。

进一步的，刚体结构的机械臂系统，其动态方程描述为：

其中，系统广义坐标

是广义控制输入力，

为对称正定矩阵，

为中心力矩和哥氏力矩向量，

是引力矩向量，

表示外部干扰，

为n维欧氏空间。

进一步的，预设的期望轨迹q_d为

q_di，1≤i≤n为q_d的第i个分量。

进一步的，预先设定的界，即|q_i-q_di|<b_i，1≤i≤n其中b_i>0，q_i，1≤i≤n为广义坐标

的第i个分量。

进一步的，当考虑外部干扰时，跟踪误差收敛到原点附近的有界域内。

进一步的，引入跟踪误差变量e₁＝q-q_d，

得到轨迹跟踪误差系统为：

其中e₁＝(e₁₁,e₁₂,...,e_1n)^T，e₂＝(e₂₁,e₂₂,...,e_2n)^T，设计控制器使得e₁，e₂的固定时间内收敛到零。

更进一步的，不考虑外部干扰时的固定时间轨迹跟踪控制器的设计过程包括：将e₂看作虚拟控制输入，设计虚拟控制律

使得e₁固定时间内收敛到零；设计实际的控制输入τ使得e₂能在固定时间内跟踪到其虚拟控制律

更进一步的，虚拟控制输入的确定过程包括：选取李雅普诺夫函数，其沿轨迹跟踪误差系统关于时间的导数满足设定条件，选取虚拟控制输入，并代入设定条件，求解参数。

更进一步的，选取实际控制输入τ为：

其中x₁＝q为广义坐标，

为广义坐标导数，M(x₁)为对称正定矩阵，C(x₁,x₂)为中心力矩和哥氏力矩阵，G(x₁)是引力矩向量，

为期望轨迹的二阶导数，中间变量

虚拟控制输入

跟踪误差变量e₁＝[e₁₁,e₁₂,…,e_1n]^T＝q-q_d，

函数

函数

常数b_i>0,1≤i≤n，函数Π_i和Ξ_i分别由(19)和(21)定义，

是定义在区间(-b_i,b_i)的一阶连续可微的函数，常数k₂>0,γ>0,ρ＝p₁/p₂>1,d＝1+1/p,，1<p＝p₃/p₄<2，p_i，1≤i≤4是奇整数。

一种带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制器，根据描述刚体结构机械臂系统的动态方程，在不考虑外部干扰时，利用障碍李雅普诺夫函数法和有限时间控制算法，设立连续的固定时间轨迹跟踪控制律；根据得到的控制律确定虚拟控制输入和实际输入，使得机械臂系统的动态方程的状态轨迹可以在固定时间内跟踪到预设的期望轨迹，同时在控制过程中跟踪误差不会超出预先设定的界。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：

1、针对带有输出约束的机械臂系统，研究了固定时间轨迹跟踪控制器设计问题。当不考虑外部干扰时，基于障碍李雅普诺夫函数技术，设计了固定时间跟踪控制器，使得轨迹跟踪误差固定时间内收敛到零，同时在控制过程中不会超出预先设定的界，具有较好的收敛性；

2、当考虑外部干扰时，本发明的控制器可使轨迹跟踪误差有限时间内到达一个原点附近的有界域内，具有较好的抗干扰性和有效性。

附图说明

构成本申请的一部分的说明书附图用来提供对本申请的进一步理解，本申请的示意性实施例及其说明用于解释本申请，并不构成对本申请的不当限定。

图1为两关节刚体机械臂系统示意图；

图2为无干扰作用下的闭环系统响应效果图；

图3为干扰作用下的闭环系统响应效果图；

图4为本实施例的流程图；

具体实施方式：

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。

应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本申请提供进一步的说明。除非另有指明，本实施例使用的所有技术和科学术语具有与本申请所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。

需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。

在本发明中，术语如“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”、“竖直”、“水平”、“侧”、“底”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，只是为了便于叙述本发明各部件或元件结构关系而确定的关系词，并非特指本发明中任一部件或元件，不能理解为对本发明的限制。

本发明中，术语如“固接”、“相连”、“连接”等应做广义理解，表示可以是固定连接，也可以是一体地连接或可拆卸连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连。对于本领域的相关科研或技术人员，可以根据具体情况确定上述术语在本发明中的具体含义，不能理解为对本发明的限制。

本实施例利用障碍李雅普诺夫函数法和增加幂积分器技术，研究了带有输出约束的机械臂系统的固定时间轨迹跟踪控制问题。本实施例首次考虑了机械臂系统的固定时间轨迹跟踪控制问题。首先，当不考虑外部干扰时，利用障碍李雅普诺夫函数法和有限时间控制方法，设立了连续的固定时间轨迹跟踪控制律。通过选取合适的李雅普诺夫函数证明了跟踪误差系统的固定时间收敛性。同时所设计的控制律可使得误差信号在控制过程中不会超出预先设定的界。其次，当考虑外部干扰时，本实施例给出了上述控制律的详细的抗干扰性能理论分析。建立了跟踪误差信号与设计参数之间的密切关系。最后，仿真结果说明了控制算法的有效性。

为方便理解，先介绍一些算法预备知识：

给定非线性系统

其中状态

函数

在包含原点x＝0的开领域D内是连续的并且满足f(0)＝0，为简化表示，系统的初始值表示为x(0)＝x₀。

定义1：如果存在包含原点的开领域U，函数T(x₀):U\{0}→(0,∞)，使得系统(1)的解x(t,x₀)，x₀∈U对任意的t∈[0,T(x₀)]是有意义的并且

其中

则称系统(1)是有限时间收敛的。

如果系统(1)是李雅普诺夫稳定的并且是有限时间收敛的，则称其是有限时间稳定的。进一步地，如果

则称系统(1)是全局有限时间稳定的。

引理1：针对系统(1),如果存在连续正定的函数

使得

其中ε>0，λ∈(0,1)，D₀∈D是一个包含原点的开领域，则称系统(1)是有限时间稳定的。如果

则称系统(1)是全局有限时间稳定的。另外，停息时间T(x₀)满足

很显然，引理1中的停息时间T(x₀)的上界依赖于系统初始条件x₀。但是一旦系统初始条件不可知，就不能预知停息时间T(x₀)的上界。且通过式(3)可知，如果初始值x₀充分大，停息时间T(x₀)也可能变的非常大。这种现象限制了很多实际应用，比如在切换系统中，人们更期望事先知道下一个准确的切换时间。为此，提出了固定时间稳定的概念。

定义2：如果系统(1)是全局有限时间稳定的并且停息时间T(x₀)是有界的，即存在一个正常数使得

则称系统(1)的原点是固定时间稳定的。

引理2：考虑系统(1)，如果存在正定函数

使得

并且

其中α>0,β>0,p>0,q>0,pk<1,qk>1，则称系统(1)的原点是固定时间稳定的，并且

引理3：令x₁,...,x_n,x，y是实数，且0<b≤1，则(|x₁|+…+|x_n|)^b≤|x₁|^b+…+|x_n|^b≤n^1-p(|x₁|+…+|x_n|)^b。当b＝p/q≤1时，其中p>0，q>0是奇数，则|x^b-y^b|≤2^1-b|x-y|^b。

引理4：令c,d是正实数，则对任意的实值函数

成立不等式

引理5：对任意的正常数向量

则对满足|x|<|b|向量的

成立不等式

引理6：令x₁,x₂,...,x_n≥0并且p>1。那么

本实施例研究刚体结构的机械臂系统，其动态方程描述为：

其中系统广义坐标

是广义控制输入力，

为对称正定矩阵，

为中心力矩和哥氏力矩向量，

是引力矩向量，

表示外部干扰。

给定期望跟踪轨迹

本实施例的控制目标是：设计固定时间轨迹跟踪控制器τ使得系统(6)的状态轨迹q可以在固定时间内跟踪到期望轨迹q_d同时在控制过程中跟踪误差不会超出预先设定的界，即|q_i-q_di|<b_i，1≤i≤n其中b_i>0。当考虑外部干扰时，跟踪误差收敛到原点附近的有界域内。为实现上述目标，本实施例需要的假设条件如下：

假设1：矩阵M^-1(q)满足||M^-1(q)||≤β₁，其中常数β₁>0。

假设2：参考轨迹q_d及其一阶和二阶导数是有界的。

假设3：外部干扰满足|d_i|≤l<+∞,1≤i≤n，其中l是已知常数。

通过定义

系统(6)可重新改写为

下面给出可实现上述控制目标的控制器设计过程。

引入跟踪误差变量e₁＝q-q_d，

可得轨迹跟踪误差系统为

其中e₁＝(e₁₁,e₁₂,...,e_1n)^T，e₂＝(e₂₁,e₂₂,...,e_2n)^T。接下来，只需设计控制器τ使得e₁，e₂固定时间内收敛到零。

情况一：不考虑外部干扰时的固定时间轨迹跟踪控制器设计

设计过程可以分成两步。首先，将e₂看作虚拟控制输入，设计虚拟控制律

使得e₁固定时间内收敛到零。然后设计实际的控制输入τ使得e₂能在固定时间内跟踪到其虚拟控制律

第一步：虚拟控制输入e₂设计。

选取李雅普诺夫函数

其沿系统(8)关于时间的导数满足

选取虚拟控制输入

从而将(11)代入到(10)，可知

其中

1<p＝p₃/p₄<2，p_i，1≤i≤4是奇整数。

第二步：控制输入τ设计。

引入

并选取李雅普诺夫函数

其中函数V_i的定义如下

现有已知

是正定，径向无界并且可微。对(12)中的最后一项，由引理3，可推得

进而，由引理4可知

其中

是定义在区间(-b_i,b_i)的一阶连续可微的函数，即β_i∈C¹。将(16)代入到(12)中，可得

另外，函数V_i沿系统(8)关于时间的导数可计算为

其中

为简化表达，定义

进而，由(11)可知

至此，

关于e_1i的导数可表示为

从而可得

其中

的表达式为

基于式(22)中的结果，由引理4，可知(18)式右端的第一项满足

其中

的表达式为

将(24)代入到(18)，可知

联立(17)和(25)，可得

参照(26)的结构，选取实际控制输入τ为

因此，可得

进一步可得

结合(13)，(29)，引理5，进一步可推知

其中c＝max{1/2,2^1-1/p/(2-1/p)}。再考虑到引理3，可知

紧接着，由引理6，可算得

因此，由(31)和(32)可得

其中c₁＝γ6^1-(1+ρ)/2c^-(1+ρ)/2,0<k₁<k₂-λc^d/2。

该部分的主要结果归纳在下面的定理1中。

定理1：考虑满足假设条件1-2的系统(6)。如果控制输入τ由(27)定义，则系统轨迹q固定时间内跟踪到期望轨迹q_d。

证明：由于d/2<1，(1+ρ)/2>1，所以利用引理2，可知(6)与(27)构成的闭环系统是固定时间稳定的，并且停息时间的上界t₁可根据引理2计算其详细值。

情况二：考虑外部干扰时的抗干扰性能分析

在这部分，我们考虑外部干扰的影响，主要结果归纳在下面的定理2中。

定理2：考虑满足假设条件1-3的系统(6)。如果控制输入选取为(27)，则轨迹跟踪误差有限时间内收敛到有界域Δ内，其中

其中正常数χ,χ₁,χ_2i的具体定义在下面给出。

证明：尽管本部分考虑了外部干扰，证明过程与定理1的思路基本一致。将(27)代入到(26)，并利用假设条件3可知

其中μ＝lβ/(2-1/ρ)。下面的证明分成三步。首先，定义两个领域

其中ξ＝[ξ₁,ξ₂,...,ξ_n]。整体的分析过程可描述为：首先证明一旦

则有

但是这并不能保证Δ₁就是吸引域，因为在领域Δ₁内部，不能保证

所以状态进入领域Δ₁后，又可能逃离该领域。然而，我们可以寻找一个更大的包含Δ₁的吸引域Δ₂。接着我们说明对任意的初始状态

Δ₂是一个吸引域并且系统状态可在有限时间内到达该领域。最后，给出跟踪误差的收敛估计。

第一步：假定

即

接下来分两种情况讨论。

情况1：

由于1<p<2，d＝1+1/p，所以(2-1/p)/d<1。利用引理3，可推得

进而，可知

因此，

另外，注意到

由引理3，推得

从而，

基于以上结果，可知

因此由(35)可知

情况2：

如果

则

意味着

另一方面，基于(38)中的结果，可得到

至此，根据以上结果，可推得

因此，综合情况1和2中的结果可知，一旦

则有

第二步：下面将要说明一旦

则有

事实上，由第一步中的分析可知，只需说明

接下来，给出分析。对任意的

基于(31)，可知

因此，(44)意味着

即

从而，只有

就有

由Δ₂的定义可知，系统状态

能在有限时刻t₁内到达领域Δ₂内，即对任意的t>t₁，有V(t)<χ。接下来，给出跟踪误差的收敛估计。

第三步：由函数V的定义可知，当t>t₁时，有

其中

由(45)，进一步可推知

进而，可得

现在给出e_2i的收敛估计。由引理3，可知

进而成立

如果

由上面的不等式以及V_i的定义，可推得

如果

也可得到同样的不等式。由于当t≥t₁时，V_i(t)≤V(t)≤χ，所以当t≥t₁时有

定义

基于上述不等式以及e_1i(t)的收敛估计，可知当t>t₁时有

为验证上述系统有效，进行验证仿真实验。

在本部分，为验证控制算法的有效性，我们考虑下面的两关节刚体机械臂系统。

其中：

m₂₂＝m₂r₂ ²+J₂，C₁₂(q₂)＝m₂r₁r₂sin(q₂)，

G₁＝[(m₁+m₂)r₁cos(q₂)+m₂r₂cos(q₁+q₂)]，

G₂＝m₂r₂cos(q₁+q₂)，g＝9.8m/s。

在仿真中，选取物理参数r₁＝1m，r₂＝0.8m，J₁＝5kg·m，J₂＝5kg·m，m₁＝0.5kg，m₂＝1.5kg。控制参数选取为p＝5/3，k₂＝1，γ＝2，ρ＝3，b₁＝1，b₂＝1。系统初始值设置为q₁(0)＝0.1deg，q₂(0)＝-0.1deg，

期望位置轨迹选取为q_1d＝0.6deg，q_2d＝-0.5deg。仿真结果如图2所示。不难发现机械臂的角度位置q很快地跟踪到期望轨迹q_d＝(0.6，-0.5)^T，同时在控制过程中不会超出预先设定的界|q₁-0.6|<1，|q₂+0.5|<1。与此同时，由图2可知，当角度位置q到达期望位置q_d后，角速度

很快地收敛到零。仿真结果说明了控制策略的有效性。

最后，验证本实施例提出的固定时间控制器对外部干扰的鲁棒性。为此，假定输入通道的外部干扰为d₁(t)＝10/(1+t)，d₂(t)＝20/(1+t)。仿真结果如图3所示。从图3可知，即使有外部干扰的存在，本实施例设计的固定时间跟踪控制算法仍然能够得到满意的控制效果。

以上所述仅为本申请的优选实施例而已，并不用于限制本申请，对于本领域的技术人员来说，本申请可以有各种更改和变化。凡在本申请的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本申请的保护范围之内。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (7)

1.一种带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制方法，其特征是：包括以下步骤：

描述刚体结构机械臂系统的动态方程；

不考虑外部干扰时，利用障碍李雅普诺夫函数法和有限时间控制算法，设立连续的固定时间轨迹跟踪控制律；e₁＝q-q_d，

将e₂看作虚拟控制输入，设计虚拟控制律

使得e₁固定时间内收敛到零；设计实际的控制输入τ使得e₂能在固定时间内跟踪到其虚拟控制律

虚拟控制输入的确定过程包括：选取障碍李雅普诺夫函数，

其沿轨迹跟踪误差系统关于时间的导数满足设定条件，

选取虚拟控制输入，

并代入设定条件，求解参数，

其中k₂＞0,γ＞0,ρ＝p₁/p₂＞1,d＝1+1/p,

pi是奇整数，1≤i≤4；选取实际控制输入τ为：

其中x₁＝q为广义坐标，

为广义坐标导数，M(x₁)为对称正定矩阵，C(x₁,x₂)为中心力矩和哥氏力矩阵，G(x₁)是引力矩向量，

为期望轨迹的二阶导数，中间变量

其中ρ＝p₁/p₂＞1，1＜p＝p₃/p₄＜2,e_2i＝q_i-q_di，虚拟控制输入

跟踪误差变量e₁＝[e₁₁,e₁₂,…,e_1n]^T＝q-q_d，

其中q_d为预设的期望轨迹，

函数

函数

常数b_i＞0,1≤i≤n，函数Π_i和Ξ_i分别由

和

定义，

是定义在区间(-b_i,b_i)的一阶连续可微的函数，常数k₂＞0,γ＞0,ρ＝p₁/p₂＞1,d＝1+1/p，1＜p＝p₃/p₄＜2，p_i是奇整数，1≤i≤4；

根据得到的固定时间轨迹跟踪控制律设计固定时间轨迹跟踪控制器，使得机械臂系统的动态方程的状态轨迹可以在固定时间内跟踪到预设的期望轨迹，同时在控制过程中跟踪误差不会超出预先设定的界；

依靠得到的固定时间轨迹跟踪控制器进行跟踪控制。

2.如权利要求1所述的一种带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制方法，其特征是：刚体结构的机械臂系统，其动态方程描述为：

其中，系统广义坐标

是广义控制输入力，

为对称正定矩阵，

为中心力矩和哥氏力矩向量，

是引力矩向量，

表示外部干扰，

为n维欧氏空间。

3.如权利要求2所述的一种带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制方法，其特征是：预设的期望轨迹q_d为

q_di，1≤i≤n为q_d的第i个分量。

4.如权利要求3所述的一种带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制方法，其特征是：预先设定的界，即|q_i-q_di|＜b_i，1≤i≤n其中b_i＞0，q_i，1≤i≤n为广义坐标

的第i个分量。

5.如权利要求1所述的一种带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制方法，其特征是：当考虑外部干扰时，跟踪误差收敛到原点附近的有界域内。

6.如权利要求3所述的一种带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制方法，其特征是：引入跟踪误差变量e₁＝q-q_d，

得到轨迹跟踪误差系统为：

其中e₁＝(e₁₁,e₁₂,...,e_1n)^T，e₂＝(e₂₁,e₂₂,...,e_2n)^T，设计控制器使得e₁，e₂的固定时间内收敛到零。

7.一种带有输出约束的机械臂系统的固定时间跟踪控制器，其特征是：根据描述刚体结构机械臂系统的动态方程，在不考虑外部干扰时，利用障碍李雅普诺夫函数法和有限时间控制算法，设立连续的固定时间轨迹跟踪控制律；

e₁＝q-q_d，

将e₂看作虚拟控制输入，设计虚拟控制律

使得e₁固定时间内收敛到零；设计实际的控制输入τ使得e₂能在固定时间内跟踪到其虚拟控制律

虚拟控制输入的确定过程包括：选取障碍李雅普诺夫函数，

其沿轨迹跟踪误差系统关于时间的导数满足设定条件，

选取虚拟控制输入，

并代入设定条件，求解参数，

其中k₂＞0,γ＞0,ρ＝p₁/p₂＞1,d＝1+1/p,

p_i是奇整数，1≤i≤4；选取实际控制输入τ为：

其中x₁＝q为广义坐标，

为广义坐标导数，M(x₁)为对称正定矩阵，C(x₁,x₂)为中心力矩和哥氏力矩阵，G(x₁)是引力矩向量，

为期望轨迹的二阶导数，中间变量

其中ρ＝p₁/p₂＞1，1＜p＝p₃/p₄＜2,e_2i＝q_i-q_di，虚拟控制输入

跟踪误差变量e₁＝[e₁₁,e₁₂,…,e_1n]^T＝q-q_d，

其中q_d为预设的期望轨迹，

函数

函数

常数b_i＞0,1≤i≤n，函数Π_i和Ξ_i分别由

和

定义，

是定义在区间(-b_i,b_i)的一阶连续可微的函数，常数k₂＞0,γ＞0,ρ＝p₁/p₂＞1,d＝1+1/p，1＜p＝p₃/p₄＜2，p_i是奇整数，1≤i≤4；

根据得到的控制律确定虚拟控制输入和实际输入，使得机械臂系统的动态方程的状态轨迹可以在固定时间内跟踪到预设的期望轨迹，同时在控制过程中跟踪误差不会超出预先设定的界。

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