CN116339141B - 一种机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法，属于机器人工业装配和航空航天太空作业领域，首先获取机械臂期望轨迹信息，建立n自由度机械臂动力学模型并进行形式变换，获取变换之后的n自由度机械臂动力学模型；设计自适应固定时间滑模干扰观测器，获取估计扰动；设计非奇异固定时间滑模面，依据滑模面和获得的估计扰动设计固定时间滑模控制器，得到固定时间滑模控制律实现机械臂轨迹跟踪；设计固定时间饱和补偿器，补偿机械臂初始输入力矩，得到饱和补偿器控制律，得到具有输入饱和的机械臂轨迹跟踪全局固定时间滑模控制律。本发明能够有效的实现机械臂精确轨迹跟踪，并且满足机械臂系统固定时间收敛的要求。

Description

一种机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法

技术领域

本发明属于机器人工业装配和航空航天太空作业技术领域，具体涉及一种机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法。

背景技术

机械臂是一种高精度，多输入多输出，具有强耦合且存在着参数摄动，外界干扰和建模不确定性的复杂系统。工业机械装配、太空航天器维修、宇宙探索、军事排险、家政服务等实际工程问题都需要机械臂轨迹跟踪控制作业才能实现。因此，针对具有外界干扰和模型不确定机械臂轨迹跟踪控制研究具有重要的实用价值。

对具有外界干扰和模型不确定机械臂轨迹跟踪控制，需要对机械臂系统的未建模动态和外界环境干扰进行补偿，目前绝大多数滑模控制方案中采用假设扰动上限进行解决外界干扰和模型不确定形成的合成扰动问题，但是这样的处理方式不能实时估计扰动变化值，造成对扰动的估计不精确，最后影响机械臂轨迹跟踪精度，如果假设上限设置不合理甚至会对刚性机械臂系统本身造成损坏。所以采用自适应固定时间干扰观测器对外界环境扰动和系统未建模动态形成的合成扰动进行实时估计并补偿可以有效提高轨迹跟踪的性能。此外，机械臂由于自身机械局限性存在输入饱和问题也是轨迹跟踪控制需要解决的一个问题，输入饱和问题的存在不仅会造成机械臂输入力矩达不到作业要求而造成最后跟踪控制效果的降低，甚至可能造成系统的不稳定。设计固定时间饱和补偿器解决输入饱和问题以提高系统稳定和轨迹跟踪性能是一个非常有效的办法。

目前在国内外的文献和专利文件中，尚未见到将全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法应用到不确定机械臂轨迹跟踪中的报道。

发明内容

为解决上述问题，本发明提供一种机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法，设计合理，解决了现有技术的不足，具有良好的效果。

为实现上述发明目的，本发明采用如下技术方案：

一种机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法，包括以下步骤：

S1、获取机械臂期望轨迹信息，包括机械臂各关节期望角位置和期望角速度信息；

S2、建立n自由度机械臂动力学模型，给出机械臂动力学模型标称部分、不确定部分和合成扰动d之后，对机械臂动力学模型进行形式变换，获取变换之后的n自由度机械臂动力学模型；

S3、设计自适应固定时间滑模干扰观测器，估计补偿系统不确定和外界干扰形成的合成扰动，获取估计扰动

S4、基于步骤1所获得的关节期望角位置和期望角速度信息建立位置跟踪误差和速度跟踪误差，设计非奇异固定时间滑模面s，依据滑模面和步骤3获得的估计扰动设计固定时间滑模控制器，得到固定时间滑模控制律实现机械臂轨迹跟踪；

S5、设计固定时间饱和补偿器，补偿机械臂初始输入力矩，得到饱和补偿器控制律τ_sc；

S6、基于步骤3～5，得到具有输入饱和的机械臂轨迹跟踪全局固定时间滑模控制律。

进一步地，所述步骤S2包括以下子步骤：

S2.1、建立n自由度机械臂动力学模型，如下所示：

式中，q表示关节角位置，表示关节角速度，/>表示关节角加速度，M(q)表示系统惯性矩阵，/>表示离心力和哥氏力，G(q)表示重力，τ表示关节力矩，τ_d表示外界环境干扰；

S2.2、机械臂动力学模型参数改写标称部分和不确定部分为，表示如下：

其中，M₀(q)、和G₀(q)为标称部分，/>ΔM(q)和/>为不确定部分；

系统合成扰动d被定为如下形式：

n自由度机械臂动力学模型改写为如下形式：

进一步地，所述步骤S3包括以下子步骤：

步骤3.1：设计滑模面s₁，如下所示：

式中：q₀表示/>的估计值；

式中：表示对d的估计值；

对滑模面s₁求导，如下所示：

步骤3.2：结合滑模面s₁，设计自适应固定时间滑模干扰观测器，如下所示：

式中，h₁和h₂为常数，h₁>1，h₂<1，b₁、b₂和b₃为常数，b₁,b₂>0，v为常数，ν>0；

步骤3.3：利用步骤3.2设计的自适应固定时间滑模干扰观测器，观测机械臂轨迹跟踪控制过程中由系统不确定性和外界干扰形成的合成扰动，构建李雅普诺夫函数V₁，如下所示：

根据固定时间理论和李雅普诺夫定理，确定扰动观测误差能够在固定时间内收敛到零，机械臂轨迹跟踪实际轨迹能够快速收敛到期望轨迹。

进一步地，所述步骤S4包括以下子步骤：

步骤4.1：根据步骤1所获得的期望角位置信息q_d和期望角速度信息得到位置跟踪误差和速度跟踪误差，如下所示：

式中，e表示机械臂关节位置跟踪误差，表示机械臂关节速度跟踪误差，q_d为期望关节角位置；

步骤4.2：根据步骤4.1设计非线性函数F(x)和h(x)，如下所示：

式中，k和α为常数，k＝α+1，α＝1-δ，δ∈(0,exp(-1))，x为自变量，常数a₁、a₂、F(x)按如下定义：

F(x)＝[h(x₁),h(x₂),...h(x_n)]^T(13)；

其中，n为F(x)的维数。

对h(x)求导，如下所示：

步骤4.3：根据步骤4.2设计非奇异固定时间滑模面s，如下所示：

式中，F(e)＝[h(e₁),h(e₂),...h(e_n)]T，Sig^β(e)＝[|e₁|^βsign(e₁),|e₂|^βsign(e₂),...,|e_n|^βsign(e_n)]，C₁和C₂是两个对称正定矩阵，β>1是定义的正常数；

对非奇异固定时间滑模面s求导，如下所示：

式中，D＝diag[|e_i|^β-1]，i为对角矩阵第i个分量；

步骤4.4：设计非奇异固定时间滑模控制律，如下所示：

式中，K₁、K₂、K₃∈R^n×n表示3个正定对称矩阵，v₁为常数，ν₁>1，v₂为常数，0<ν₂<1。

进一步地，所述步骤S5包括以下子步骤：

步骤5.1：根据步骤4.3得到的滑模面s，设计辅助变量ζ，如下所示：

式中，a₁，a₂如式(12)所示，ν₁>1，0<ν₂<1，Δτ＝τ-sat(τ)，τ_max是执行器的物理限制，Λ是对称正定矩阵；

步骤5.2：设计李雅普诺夫函数V₂，如下所示：

步骤5.3：通过使李雅普诺夫函数V₂稳定，获得固定时间饱和补偿器控制律τ_sc，如下所示：

τ_sc＝-K₄M₀(q)ζ(20)；

式中，K₄为正定对称矩阵，ζ为辅助变量。

进一步地，所述步骤S6具体为：基于步骤3的自适应固定时间干扰观测器，步骤4的固定时间滑模控制和步骤5的固定时间饱和补偿器，构建李雅普诺夫函数V₃，如下所示：

使李雅普诺夫函数V₃趋于稳定，得到基于自适应固定时间干扰观测器的具有输入饱和机械臂轨迹跟踪全局固定时间滑模控制律τ₁，如下所示：

本发明具有如下由于效果：

本发明提出了一种机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法，基于非奇异固定时间滑模控制，能够有效的实现机械臂精确轨迹跟踪，并且满足机械臂系统固定时间收敛的要求；

本发明方法设计的自适应干扰观测器实现了在固定时间内实时估计并补偿系统模型不确定和外界干扰形成的集总扰动，并且观测误差能够在固定时间收敛至零，有效降低滑模控制存在的抖振问题，提高了控制策略整体的响应时间；

本发明方法设计的固定时间饱和补偿器解决了机械臂系统存在的输入过饱和问题，并且在固定时间内实现机械臂力矩补偿，提高了控制策略整体的跟踪精度和系统稳定性。

本发明方法设计的带执行器输入饱和的机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制策略不仅具有更快的收敛速度，还具有更精确的跟踪性能和更强的抗干扰能力，兼顾了收敛速度、跟踪性能和抗干扰能力，有利于机械臂的固定时间轨迹跟踪控制。

附图说明

图1为本发明一种机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法的流程图；

图2为本发明实施例中具有输入饱和的刚性机械臂模型图；

图3为本发明实施例具有输入饱和机械臂的关节1轨迹跟踪曲线图；

图4为图3关节1轨迹跟踪曲线0～0.7s时的局部放大图；

图5为本发明实施例具有输入饱和机械臂的关节2轨迹跟踪曲线图；

图6为图5关节2轨迹跟踪曲线0～1.2s时的局部放大图；

图7为本发明实施例具有输入饱和机械臂的关节1轨迹跟踪误差曲线图；

图8为图7关节1轨迹跟踪误差曲线0～0.7s时的局部放大图；

图9为本发明实施例具有输入饱和机械臂的关节2轨迹跟踪误差曲线图；

图10为图9关节2轨迹跟踪误差曲线0～1.2s时的局部方法图；

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案以及优点部分更加明确，以下结合附图及实施例，对本发明做进一步的详细说明。下面通过参考附图描述的实例属于示例性质，并不能认为是对本发明的限制。需要理解的是，在本发明的描述中，所涉及到如顶、底、上、下、左、右等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。

为进一步说明本发明的技术方案，下面将通过多个具体实施例进行详细说明。

一种机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法，如图1所示，包括以下步骤：

S1、获取机械臂期望轨迹信息，包括机械臂各关节期望角位置和期望角速度信息；

S2、建立n自由度机械臂动力学模型，给出机械臂动力学模型标称部分、不确定部分和合成扰动d之后，对机械臂动力学模型进行形式变换，获取变换之后的n自由度机械臂动力学模型；

具体包括以下子步骤：

S2.1、建立n自由度机械臂动力学模型，如下所示：

式中，q表示关节角位置，表示关节角速度，/>表示关节角加速度，M(q)表示系统惯性矩阵，/>表示离心力和哥氏力，G(q)表示重力，τ表示关节力矩，τ_d表示外界环境干扰；

S2.2、机械臂模型如图2所示，其中m₁和m₂表示连杆质量，r₁和r₂表示连杆长度，q₁和q₂表示机械臂两个关节角度，考虑到系统动力学模型建模误差，M(q)，G(q)是未知的，所以机械臂动力学模型参数可以改写标称部分和不确定部分为：

其中，M₀(q)、和G₀(q)为标称部分，/>ΔM(q)和/>为不确定部分；

系统合成扰动被定为如下形式：

n自由度机械臂动力学模型改写为如下形式：

S3、设计自适应固定时间滑模干扰观测器，估计补偿系统不确定和外界干扰形成的合成扰动，获取估计扰动

具体包括以下子步骤：

步骤3.1：设计滑模面s₁，如下所示：

式中：q₀表示/>的估计值；

式中：表示对d的估计值；

对滑模面s₁求导，如下所示：

步骤3.2：结合滑模面s₁，设计自适应固定时间滑模干扰观测器，如下所示：

式中，h₁和h₂为常数，h₁>1，h₂<1，b₁、b₂和b₃为常数，b₁,b₂>0，v为常数，ν>0；

步骤3.3：利用步骤3.2设计的自适应固定时间滑模干扰观测器，观测机械臂轨迹跟踪控制过程中由系统不确定性和外界干扰形成的合成扰动，构建李雅普诺夫函数V₁，如下所示：

根据固定时间理论和李雅普诺夫定理，确定扰动观测误差能够在固定时间内收敛到零，机械臂轨迹跟踪实际轨迹能够快速收敛到期望轨迹，将该李雅普诺夫函数应用在自适应干扰观测器中，能够提高刚性机械臂在固定时间内实现对合成干扰的快速补偿。

S4、基于步骤1所获得的关节期望角位置和期望角速度信息建立位置跟踪误差和速度跟踪误差，设计非奇异固定时间滑模面s，依据滑模面和步骤3获得的估计扰动设计固定时间滑模控制器，得到固定时间滑模控制律实现机械臂轨迹跟踪；

具体包括以下子步骤：

步骤4.1：根据步骤1所获得的期望角位置信息q_d和期望角速度信息得到位置跟踪误差和速度跟踪误差，如下所示：

式中，e表示机械臂关节位置跟踪误差，表示机械臂关节速度跟踪误差，q_d为期望关节角位置；

步骤4.2：根据步骤4.1设计非线性函数F(x)和h(x)，如下所示：

式中，k和α为常数，k＝α+1，α＝1-δ，δ∈(0,exp(-1))，x为自变量，常数a₁、a₂、F(x)按如下定义：

F(x)＝[h(x₁),h(x₂),...h(x_n)]^T (13)；

其中，n为F(x)的维数。

对h(x)求导，如下所示：

步骤4.3：根据步骤4.2设计非奇异固定时间滑模面s，如下所示：

式中，F(e)＝[h(e₁),h(e₂),...h(e_n)]^T，Sig^β(e)＝[|e₁|^βsign(e₁),|e₂|^βsign(e₂),...,|e_n|^βsign(e_n)]，C₁，C₂是两个对称正定矩阵，β>1是定义的正常数；

对非奇异固定时间滑模面s求导，如下所示：

式中，D＝diag[|e_i|^β-1]，i为对角矩阵第i个分量；

步骤4.4：设计非奇异固定时间滑模控制律，如下所示：

式中，K₁、K₂、K₃∈R^n×n表示3个正定对称矩阵，v₁为常数，ν₁>1，v₂为常数，0<ν₂<1。

S5、设计固定时间饱和补偿器，补偿机械臂初始输入力矩，得到饱和补偿器控制律τ_sc；

具体包括以下子步骤：

步骤5.1：根据步骤4.3得到的滑模面s，设计辅助变量ζ，如下所示：

式中，a₁，a₂如式(12)所示，ν₁>1，0<ν₂<1，Δτ＝τ-sat(τ)，τ_max是执行器的物理限制，Λ是对称正定矩阵；

步骤5.2：设计李雅普诺夫函数V₂，如下所示：

步骤5.3：通过使李雅普诺夫函数V₂稳定，获得固定时间饱和补偿器控制律τ_sc，如下所示：

τ_sc＝-K₄M₀(q)ζ(20)；

式中，K₄为正定对称矩阵，ζ为辅助变量。

S6、基于步骤3～5，得到具有输入饱和的机械臂轨迹跟踪全局固定时间滑模控制律。

具体为：基于步骤3的自适应固定时间干扰观测器，步骤4的固定时间滑模控制和步骤5的固定时间饱和补偿器，构建李雅普诺夫函数V₃，如下所示：

使李雅普诺夫函数V₃趋于稳定，得到基于自适应固定时间干扰观测器的具有输入饱和机械臂轨迹跟踪全局固定时间滑模控制律τ₁，如下所示：

图3和图4所示为本实施例刚性机械臂两关节轨迹跟踪曲线图，并与有限时间滑模控制器和未加饱和补偿的固定时间滑模控制器进行对比，图3为关节1轨迹跟踪曲线图，图4为三种控制器控制机械臂关节1在0～0.7s轨迹跟踪曲线放大图，图5为关节2轨迹跟踪曲线图，图6为关节2在0～1.2s轨迹跟踪曲线放大图。图7和图9为三种控制器轨迹跟踪误差曲线图，图8为关节1在0～0.7s时轨迹跟踪误差曲线放大图，图10为关节2在0～1.2s时轨迹跟踪误差曲线放大图。图3，图5，图8和图10验证了本发明设计的一种带执行器输入饱和的机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制策略，具有更具更快的收敛速度、更精确的跟踪性能和更强的抗干扰能力，兼顾收敛速度、跟踪性能和抗干扰能力，实现了对刚性机械臂固定时间轨迹跟踪控制。

当然，上述说明并非是对本发明的限制，本发明也并不仅限于上述举例，本技术领域的技术人员在本发明的实质范围内所做出的变化、改型、添加或替换，也应属于本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、获取机械臂期望轨迹信息，包括机械臂各关节期望角位置和期望角速度信息；

S2、建立n自由度机械臂动力学模型，给出机械臂动力学模型标称部分、不确定部分和合成扰动d之后，对机械臂动力学模型进行形式变换，获取变换之后的n自由度机械臂动力学模型；

S3、设计自适应固定时间滑模干扰观测器，估计补偿系统不确定和外界干扰形成的合成扰动，获取估计扰动

S4、基于步骤1所获得的关节期望角位置和期望角速度信息建立位置跟踪误差和速度跟踪误差，设计非奇异固定时间滑模面s，依据滑模面和步骤3获得的估计扰动设计固定时间滑模控制器，得到固定时间滑模控制律实现机械臂轨迹跟踪；

所述步骤S4包括以下子步骤：

步骤4.1：根据步骤1所获得的期望角位置信息q_d和期望角速度信息得到位置跟踪误差和速度跟踪误差，如下所示：

e＝q-q_d，

式中，e表示机械臂关节位置跟踪误差，表示机械臂关节速度跟踪误差，q_d为期望关节角位置；

步骤4.2：根据步骤4.1设计非线性函数F(x)和h(x)，如下所示：

式中，k和α为常数，k＝α+1，α＝1-δ，δ∈(0,exp(-1))，x为自变量，常数a₁、a₂、F(x)按如下定义：

F(x)＝[h(x₁),h(x₂),...h(x_n)]^T (13)；

其中，n为F(x)的维数；

对h(x)求导，如下所示：

步骤4.3：根据步骤4.2设计非奇异固定时间滑模面s，如下所示：

式中，F(e)＝[h(e₁),h(e₂),...h(e_n)]^T，Sig^β(e)＝[|e₁|^βsign(e₁),|e₂|^βsign(e₂),...,|e_n|βsign(e_n)]，C₁和C₂是两个对称正定矩阵，β>1是定义的正常数；

对非奇异固定时间滑模面s求导，如下所示：

式中，D＝diag[|e_i|^β-1]，i为对角矩阵第i个分量；

步骤4.4：设计非奇异固定时间滑模控制律，如下所示：

式中，K₁、K₂、K₃∈R^n×n表示3个正定对称矩阵，v₁为常数，ν₁>1，v₂为常数，0<ν₂<1；

S5、设计固定时间饱和补偿器，补偿机械臂初始输入力矩，得到饱和补偿器控制律τ_sc；

所述步骤S5包括以下子步骤：

步骤5.1：根据步骤4.3得到的滑模面s，设计辅助变量ζ，如下所示：

式中，a₁，a₂如式(12)所示，ν₁>1，0<ν₂<1，Δτ＝τ-sat(τ)，τ_max是执行器的物理限制，Λ是对称正定矩阵；

步骤5.2：设计李雅普诺夫函数V₂，如下所示：

步骤5.3：通过使李雅普诺夫函数V₂稳定，获得固定时间饱和补偿器控制律τ_sc，如下所示：

τ_sc＝-K₄M₀(q)ζ(20)；

式中，K₄为正定对称矩阵，ζ为辅助变量；

S6、基于步骤3～5，得到具有输入饱和的机械臂轨迹跟踪全局固定时间滑模控制律。

2.根据权利要求1所述的一种机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法，其特征在于，所述步骤S2包括以下子步骤：

S2.1、建立n自由度机械臂动力学模型，如下所示：

式中，q表示关节角位置，表示关节角速度，/>表示关节角加速度，M(q)表示系统惯性矩阵，/>表示离心力和哥氏力，G(q)表示重力，τ表示关节力矩，τ_d表示外界环境干扰；

S2.2、机械臂动力学模型参数改写标称部分和不确定部分为，表示如下：

其中，M₀(q)、和G₀(q)为标称部分，/>ΔM(q)为不确定部分；

系统合成扰动d被定为如下形式：

n自由度机械臂动力学模型改写为如下形式：

3.根据权利要求1所述的一种机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法，其特征在于，所述步骤S3包括以下子步骤：

步骤3.1：设计滑模面s₁，如下所示：

式中：q₀表示/>的估计值；

式中：表示对d的估计值；

对滑模面s₁求导，如下所示：

步骤3.2：结合滑模面s₁，设计自适应固定时间滑模干扰观测器，如下所示：

式中，h₁和h₂为常数，h₁>1，h₂<1，b₁、b₂和b₃为常数，b₁,b₂>0，ν为常数，ν>0；

步骤3.3：利用步骤3.2设计的自适应固定时间滑模干扰观测器，观测机械臂轨迹跟踪控制过程中由系统不确定性和外界干扰形成的合成扰动，构建李雅普诺夫函数V₁，如下所示：

根据固定时间理论和李雅普诺夫定理，确定扰动观测误差能够在固定时间内收敛到零，机械臂轨迹跟踪实际轨迹能够快速收敛到期望轨迹，得到公式(8)是有解的，从而求得估计扰动

4.根据权利要求1所述的一种机械臂全局固定时间轨迹跟踪滑模控制方法，其特征在于，所述步骤S6具体为：基于步骤3的自适应固定时间干扰观测器，步骤4的固定时间滑模控制和步骤5的固定时间饱和补偿器，构建李雅普诺夫函数V₃，如下所示：

使李雅普诺夫函数V₃趋于稳定，得到基于自适应固定时间干扰观测器的具有输入饱和机械臂轨迹跟踪全局固定时间滑模控制律τ₁，如下所示：