CN108803324B - 多关节工业机械臂反步有限时间滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑系统总和扰动的多关节工业机械臂反步有限时间滑模控制方法，具体步骤如下：建立多关节工业机械臂系统模型；为精确估计系统总和扰动项，设计系统三阶扩张状态观测器；在系统总和扰动估计的基础上，针对系统模型(2)，结合反步设计思想和有限时间滑模控制技术进行系统反步有限时间滑模控制律设计。本发明对于模型参数摄动和外部有界扰动等不确定性因素具有较强的鲁棒性，可以保证对系统期望轨迹的快速稳定有限时间跟踪控制，使所设计的控制方法便于在实际工程中的应用。

Description

多关节工业机械臂反步有限时间滑模控制方法

技术领域

本发明涉及机械臂控制方法领域，具体是一种多关节工业机械臂反步有限时间滑模控制方法。

背景技术

近些年来，伴随着制造业技术的进步和劳动力成本的提高，工业机械臂被广泛应用于工业生产的各个领域，扮演着越来越重要的作用。在工业机械臂的实际应用中，往往要求其能够快速且精确地跟踪期望的轨迹，从而完成规定的作业任务。然而，在实际工业现场环境，工业机械臂系统通常会面临模型参数摄动和外部扰动等不确定性因素的影响，如负载变化、摩擦力矩扰动以及系统外部扰动等。因此，实现工业机械臂的快速高精度跟踪控制仍是一个极具挑战性的问题。

为了抑制不确定性因素对机械臂跟踪控制性能的影响，许多控制方法被应用于机械臂的跟踪控制问题。如鲁棒控制方法、模型预测控制方法、神经网络控制方法、滑模控制方法等。在这些方法中，由于滑模控制方法具有控制器计算量小、对系统参数摄动和外部干扰具有很强的鲁棒性等优点，使得其特别适合工业机械臂系统的跟踪控制。然而，在传统的滑模控制方法中，由于采用线性滑模面系统状态无法做到有限时间内收敛，为了加快系统状态的收敛速度，控制器往往需输出很大的控制量，这极易引起系统执行机构进入饱和状态，从而使得系统控制性能下降甚至整个闭环系统的不稳定。

发明内容

本发明的目的是提供一种多关节工业机械臂反步有限时间滑模控制方法，以解决现有技术机械臂控制方法存在的问题。

为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案为：

多关节工业机械臂反步有限时间滑模控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)、建立多关节工业机械臂系统模型，具体过程如下：

对于n关节工业机械臂系统，如果考虑系统未建模动态、摩擦力及干扰的影响，其动力学模型可表示为：

式(1)中，

分别表示关节的位置、速度和加速度矢量；M(q)∈R^n×n为系统正定惯性矩阵；

为离心力和哥氏力矩阵；G(q)∈Rⁿ为作用在关节上的重力项矢量；τ∈Rⁿ为控制力矩矢量，表示作用在工业机械臂各关节上的驱动力矩；d(t)∈Rⁿ为外部未知有界扰动矢量，其中t表示时间；

由于工业机械臂系统存在包括负载扰动、测量噪声及系统外部扰动的诸多不确定性因素，要想获得精确的系统模型是比较困难的，所以，实际系统的模型可以表示为名义系统模型和总和扰动项之和的形式：

式(2)中，M₀＝M-ΔM，M₀为M的名义部分，可依据经验确定，ΔM为M的不确定部分；

可视为系统的总和扰动项，包括系统的内部动态、参数摄动项及外部未知有界扰动；

(2)、为精确估计系统总和扰动项，设计系统三阶扩张状态观测器，具体过程如下：

(2.1)、三阶扩张状态观测器设计：

由式(2)可知，系统的总和扰动项是未知的，需要设计扩张状态观测器进行在线估计；

设x₁＝[x₁₁,…,x_1n]^T＝q，

同时定义系统扩张状态

有界，则式(2)可被增广为：

(2.2)、在工业机械臂控制系统中，为了检测各关节的位置信息，各关节都安装有位置传感器，假设各关节位置传感器的输出矢量可表示为y_p，那么系统的输出方程可表示为：

y_p＝q (4)；

(2.3)、为了实现对系统的关节位置、关节速度及扩张状态矢量的估计，由式(3)、式(4)扩张状态观测器可设计为

式(5)中，e₁＝[e₁₁,…,e_1n]^T，e₂＝[e₂₁,…,e_2n]^T，e₃＝[e₃₁,…,e_3n]^T分别表示扩张状态观测器对关节位置、关节速度及扩张状态矢量的观测误差矢量；K₁＝diag{k₁₁,…,k_1n}，K₂＝diag{k₂₁,…,k_2n}，K₃＝diag{k₃₁,…,k_3n}为正定的扩张状态观测器增益矩阵；F(e₁)＝[f₁(e₁₁),…,f_n(e_1n)]^T为非线性函数矢量，其中f_i(e_1i)具有如下形式：

式(6)中，i＝1,…,n；0＜α＜1，σ＞0为待整定参数；

(3)、针对系统模型公式(2)，下面结合反步设计思想和有限时间滑模控制技术进行控制律设计，具体设计过程如下：

(3.1)、为了应用反步设计思想，首先定义跟踪误差矢量ε₁＝[ε₁₁,…,ε_1n]^T＝x₁-q_d，其中ε_1i表示工业机械臂第i关节的跟踪误差，假设期望位置矢量q_d充分光滑，则ε₁的一阶导数可表示为：

(3.2)、对于x₁子系统，设计虚拟控制输入为：

式(8)中，λ₁＝diag{λ₁₁,…,λ_1n}，β＝diag{β₁,…,β_n}为待设计的正定对角参数矩阵；

为待设计的正常数；

定义Lyapunov函数：

对V₁求时间的导数并结合式(7)、式(8)可得：

故只要设计控制律τ使得ε₂收敛到零，则可保证

(3.3)、针对x₂子系统，在扩张状态观测器对系统总和扰动估计的基础上，采用有限时间滑模控制技术设计控制律τ以改进普通反步滑模控制方法的性能；

由式(8)可知虚拟控制输入ε₂由系统跟踪误差ε₁及其一阶导数构成，故系统滑模面可设计为：

s₁＝[s₁₁ … s_1n]^T＝ε₂ (11)，

定义Lyapunov函数：

对V₂求时间的导数可得

(3.4)、控制律τ设计为

式(14)中，κ_d，κ_t＞0为待设计的控制器参数；

由于

故当ε_1i＝0且

时，式(14)存在奇异问题，即

为了克服该问题定义：

式中，

为适当小的正常数；

将控制律式(14)代入式(13)可得：

式(16)中，当选择κ_d＞max{|e_3i|},i＝1,…,n，则：

因此，由Lyapunov稳定性理论可知，在控制律式(14)作用下可保证系统状态x₁对期望信号q_d的稳定跟踪。

为了实现工业机械臂的有限时间跟踪控制，同时保证系统较强的抗干扰性能。本发明考虑存在模型参数摄动和外部有界扰动等不确定性因素影响下的机械臂跟踪控制问题，利用有限时间滑模控制方法，并结合反步控制技术，提出了一种工业机械臂的反步有限时间滑模控制方法。

本发明具有如下的有益效果：本发明在存在模型参数摄动和外部有界扰动等不确定性因素影响情况下，设计的一种考虑系统总和扰动的多关节工业机械臂反步有限时间滑模控制方法能够实现工业机械臂对期望轨迹的有限时间快速稳定跟踪控制，且对系统的总和扰动具有很强的鲁棒性能。

附图说明

图1为本发明的反步有限时间滑模控制系统结构图。

图2为本发明的总和扰动估计误差曲线。

图3为本发明的状态相应曲线。

图4为本发明的跟踪误差曲线。

图5为本发明的控制信号曲线。

图6为本发明改进的控制信号曲线。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

如图1—图5所示，多关节工业机械臂反步有限时间滑模控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)、建立多关节工业机械臂系统模型，具体过程如下：

对于n关节工业机械臂系统，如果考虑系统未建模动态、摩擦力及干扰的影响，其动力学模型可表示为：

式(1)中，

分别表示关节的位置、速度和加速度矢量；M(q)∈R^n×n为系统正定惯性矩阵；

为离心力和哥氏力矩阵；G(q)∈Rⁿ为作用在关节上的重力项矢量；τ∈Rⁿ为控制力矩矢量，表示作用在工业机械臂各关节上的驱动力矩；d(t)∈Rⁿ为外部未知有界扰动矢量，其中t表示时间；

由于工业机械臂系统存在包括负载扰动、测量噪声及系统外部扰动的诸多不确定性因素，要想获得精确的系统模型是比较困难的，所以，实际系统的模型可以表示为名义系统模型和总和扰动项之和的形式：

式(2)中，M₀＝M-ΔM，M₀为M的名义部分，可依据经验确定，ΔM为M的不确定部分；

可视为系统的总和扰动项，包括系统的内部动态、参数摄动项及外部未知有界扰动；

(2)、为精确估计系统总和扰动项，设计系统三阶扩张状态观测器，具体过程如下：

(2.1)、三阶扩张状态观测器设计：

由式(2)可知，系统的总和扰动项是未知的，需要设计扩张状态观测器进行在线估计；

设x₁＝[x₁₁,…,x_1n]^T＝q，

同时定义系统扩张状态

有界，则式(2)可被增广为：

(2.2)、在工业机械臂控制系统中，为了检测各关节的位置信息，各关节都安装有位置传感器，假设各关节位置传感器的输出矢量可表示为y_p，那么系统的输出方程可表示为：

y_p＝q(4)；

(2.3)、为了实现对系统的关节位置、关节速度及扩张状态矢量的估计，由式(3)、式(4)扩张状态观测器可设计为

式(5)中，e₁＝[e₁₁,…,e_1n]^T，e₂＝[e₂₁,…,e_2n]^T，e₃＝[e₃₁,…,e_3n]^T分别表示扩张状态观测器对关节位置、关节速度及扩张状态矢量的观测误差矢量；

K₁＝diag{k₁₁,…,k_1n}，K₂＝diag{k₂₁,…,k_2n}，

K₃＝diag{k₃₁,…,k_3n}为正定的扩张状态观测器增益矩阵；F(e₁)＝[f₁(e₁₁),…,f_n(e_1n)]^T为非线性函数矢量，其中f_i(e_1i)具有如下形式：

式(6)中，i＝1,…,n；0＜α＜1，σ＞0为待整定参数；

(3)、针对系统模型公式(2)，下面结合反步设计思想和有限时间滑模控制技术进行控制律设计，具体设计过程如下：

(3.1)、为了应用反步设计思想，首先定义跟踪误差矢量ε₁＝[ε₁₁,…,ε_1n]^T＝x₁-q_d，其中ε_1i表示工业机械臂第i关节的跟踪误差，假设期望位置矢量q_d充分光滑，则ε₁的一阶导数可表示为：

(3.2)、对于x₁子系统，设计虚拟控制输入为：

式(8)中，λ₁＝diag{λ₁₁,…,λ_1n}，β＝diag{β₁,…,β_n}为待设计的正定对角参数矩阵；

为待设计的正常数；

定义Lyapunov函数：

对V₁求时间的导数并结合式(7)、式(8)可得：

故只要设计控制律τ使得ε₂收敛到零，则可保证

(3.3)、针对x₂子系统，在扩张状态观测器对系统总和扰动估计的基础上，采用有限时间滑模控制技术设计控制律τ以改进普通反步滑模控制方法的性能；

由式(8)可知虚拟控制输入ε₂由系统跟踪误差ε₁及其一阶导数构成，故系统滑模面可设计为：

s₁＝[s₁₁ … s_1n]^T＝ε₂ (11)，

定义Lyapunov函数：

对V₂求时间的导数可得

(3.4)、控制律τ设计为

式(14)中，κ_d，κ_t＞0为待设计的控制器参数；

由于

故当ε_1i＝0且

时，式(14)存在奇异问题，即

为了克服该问题定义：

式中，

为适当小的正常数。

将控制律式(14)代入式(13)可得：

式(16)中，当选择κ_d＞max{|e_3i|},i＝1,…,n，则：

因此，由Lyapunov稳定性理论可知，在控制律式(14)作用下可保证系统状态x₁对期望信号q_d的稳定跟踪。

为了验证所提反步有限时间滑模控制方法的有效性，本发明分别对如下两种控制方法进行了仿真对比研究，即

方法1:为本发明方法，其滑模面和控制律分别如式(11)、式(14)所示。

方法2：带总和扰动补偿的普通反步滑模控制方法，其滑模面及控制律分别设计如下：

式中，λ₂＝diag{λ₂₁,…,λ_2n}(λ_2i＞0，i＝1,2,…,n)；控制器参数κ_f＞max{|x_3i|},i＝1,…,n，其中x_3i为系统总和扰动的第i个分量。

为便于对比分析，仿真研究中将两种控制方法的初始条件和控制器部分参数设置相同。工业机械臂各关节的期望轨迹为q_d＝[0.2sin(t) 0.3cos(t)]；各关节的初始位置设定为q_d(0)＝[0.1 0.2]；扩张状态观测器的参数设置为

方法1中，控制器参数设置为

β₁＝2，β₂＝2.5，

κ_d＝10，κ_t＝5；方法2中，控制器参数设置为

κ_f＝10。

假设工业机械臂系统所受的外部扰动信号为

仿真结果如图1--图6所示。图1为本发明控制系统结构图；图2为两种方法对系统总和扰动的估计误差曲线；图3为两种方法的状态响应曲线；图4为两种方法的跟踪误差曲线；图5为两种方法的控制信号；图6为方法1改进的控制信号。由图2可见在两种方法中三阶扩张状态观测器均能较好地实现对系统总和扰动的估计，即通过合理选择观测器的参数，系统总和扰动估计误差可以控制在较小的范围内，充分体现了扩张状态观测器对系统总和扰动的估计能力，提高了系统的鲁棒性能；由图3、图4可见相比于方法2，方法1在存在系统总和扰动的情况下，能够实现对期望轨迹的有限时间跟踪，具有更短的收敛时间以及很小的稳态误差,保持了较好的动态相能，而方法2收敛速度相对较慢，稳态误差相对要较大且跟踪误差变化曲线存在一定的波动；由图6可知当用饱和函数代替符号函数后可有效抑制系统控制信号的抖振问题，确保控制信号是连续的。

Claims (1)

1.多关节工业机械臂反步有限时间滑模控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)、建立多关节工业机械臂系统模型，具体过程如下：

对于n关节工业机械臂系统，如果考虑系统未建模动态、摩擦力及干扰的影响，其动力学模型可表示为：

式(1)中，

分别表示关节的位置、速度和加速度矢量；M(q)∈R^n×n为系统正定惯性矩阵；

为离心力和哥氏力矩阵；G(q)∈Rⁿ为作用在关节上的重力项矢量；τ∈Rⁿ为控制力矩矢量，表示作用在工业机械臂各关节上的驱动力矩；d(t)∈Rⁿ为外部未知有界扰动矢量，其中t表示时间；

由于工业机械臂系统存在包括负载扰动、测量噪声及系统外部扰动的诸多不确定性因素，要想获得精确的系统模型是比较困难的，所以，实际系统的模型可以表示为名义系统模型和总和扰动项之和的形式：

式(2)中，M₀＝M-ΔM，M₀为M的名义部分，可依据经验确定，ΔM为M的不确定部分；

可视为系统的总和扰动项，包括系统的内部动态、参数摄动项及外部未知有界扰动；

(2)、为精确估计系统总和扰动项，设计系统三阶扩张状态观测器，具体过程如下：

(2.1)、三阶扩张状态观测器设计：

由式(2)可知，系统的总和扰动项是未知的，需要设计扩张状态观测器进行在线估计；

设x₁＝[x₁₁,…,x_1n]^T＝q，

同时定义系统扩张状态

有界，则式(2)可被增广为：

(2.2)、在工业机械臂控制系统中，为了检测各关节的位置信息，各关节都安装有位置传感器，假设各关节位置传感器的输出矢量可表示为y_p，那么系统的输出方程可表示为：

y_p＝q (4)；

(2.3)、为了实现对系统的关节位置、关节速度及扩张状态矢量的估计，由式(3)、式(4)扩张状态观测器可设计为

式(5)中，e₁＝[e₁₁,…,e_1n]^T，e₂＝[e₂₁,…,e_2n]^T，e₃＝[e₃₁,…,e_3n]^T分别表示扩张状态观测器对关节位置、关节速度及扩张状态矢量的观测误差矢量；K₁＝diag{k₁₁,…,k_1n}，K₂＝diag{k₂₁,…,k_2n}，K₃＝diag{k₃₁,…,k_3n}为正定的扩张状态观测器增益矩阵；F(e₁)＝[f₁(e₁₁),…,f_n(e_1n)]^T为非线性函数矢量，其中f_i(e_1i)具有如下形式：

式(6)中，i＝1,…,n；0＜α＜1，σ＞0为待整定参数；

(3)、针对系统模型公式(2)，下面结合反步设计思想和有限时间滑模控制技术进行控制律设计，具体设计过程如下：

(3.1)、为了应用反步设计思想，首先定义跟踪误差矢量ε₁＝[ε₁₁,…,ε_1n]^T＝x₁-q_d，其中ε_1i表示工业机械臂第i关节的跟踪误差，假设期望位置矢量q_d充分光滑，则ε₁的一阶导数可表示为：

(3.2)、对于x₁子系统，设计虚拟控制输入为：

式(8)中，λ₁＝diag{λ₁₁,…,λ_1n}，β＝diag{β₁,…,β_n}为待设计的正定对角参数矩阵；

为待设计的正常数；

定义Lyapunov函数：

对V₁求时间的导数并结合式(7)、式(8)可得：

故只要设计控制律τ使得ε₂收敛到零，则可保证

(3.3)、针对x₂子系统，在扩张状态观测器对系统总和扰动估计的基础上，采用有限时间滑模控制技术设计控制律τ以改进普通反步滑模控制方法的性能；

由式(8)可知虚拟控制输入ε₂由系统跟踪误差ε₁及其一阶导数构成，故系统滑模面可设计为：

s₁＝[s₁₁…s_1n]^T＝ε₂ (11)，

定义Lyapunov函数：

对V₂求时间的导数可得

(3.4)、控制律τ设计为

式(14)中，κ_d，κ_t＞0为待设计的控制器参数；

由于

故当ε_1i＝0且

时，式(14)存在奇异问题，即

为了克服该问题定义：

式中，

为适当小的正常数；

将控制律式(14)代入式(13)可得：

式(16)中，当选择κ_d＞max{|e_3i|},i＝1,…,n，则：

因此，由Lyapunov稳定性理论可知，在控制律式(14)作用下可保证系统状态x₁对期望信号q_d的稳定跟踪。

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