CN107561935A - 基于多层神经网络的电机位置伺服系统摩擦补偿控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于多层神经网络的电机位置伺服系统摩擦补偿控制方法，属于机电伺服控制领域；该摩擦补偿控制方法结合了神经网络和自适应鲁棒控制的思想，设计基于多层神经网络观测器的自适应鲁棒控制器，通过多层神经网络补偿非线性摩擦中的复杂不确定项，同时设计自适应鲁棒控制器以估计系统中不确定的参数，以及补偿外部扰动和神经网络的逼近误差。本发明所设计的控制方法，能有效解决电机伺服系统非线性摩擦问题，并能保证电机伺服系统优良的跟踪性能。

Description

基于多层神经网络的电机位置伺服系统摩擦补偿控制方法

技术领域

本发明涉及一种摩擦补偿控制方法，具体涉及一种基于多层神经网络的电机位置伺服系统摩擦补偿控制方法。

背景技术

随着现代科技的飞速发展，设备对伺服控制系统的性能要求越来越高，如机器人、数控机床和发射平台等。但是设计一个高性能的控制器并不容易，因为参数的不确定性和摩擦非线性、外界扰动等不确定性的非线性总是存在于伺服系统中，严重影响伺服系统的性能。在影响低速性能的众多因素中，摩擦非线性最为主要，使系统容易造成波形畸变现象和爬行现象。因此，如何实现高精度跟踪控制，减小摩擦对伺服系统的影响一直是国内外学者研究的热点。

针对伺服系统的非线性摩擦问题，许多方法相继被提出。而在这些方法中，基于模型的摩擦补偿方法被广泛使用。然而，准确摩擦模型的建立是实现摩擦补偿的关键。在以往的研究中，简化的摩擦模型有可能会导致基于它设计的控制器由于补偿不精确而恶化系统的控制性能，造成自激极限环震荡，甚至导致系统失稳。对于能够比较全面的描述摩擦力现象的动态模型，这类摩擦模型参数多、结构复杂，设计高性能的控制器存在一定难度。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于多层神经网络的电机位置伺服系统摩擦补偿控制方法，解决电机位置伺服系统中非线性摩擦问题。

实现本发明目的的技术方案为：一种基于多层神经网络的电机位置伺服系统摩擦补偿控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立电机位置伺服系统的数学模型；

步骤2，设计基于多层神经网络观测器的摩擦补偿控制器；

步骤3，对基于多层神经网络观测器的摩擦补偿控制器进行稳定性测试。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：本发明结合了神经网络和自适应鲁棒控制的思想，在精确建模的基础上，创造性的采用神经网络对摩擦模型中的复杂不确定项进行估计，能有效解决电机伺服系统非线性摩擦等不确定非线性问题，保证系统在非线性摩擦的影响下仍具有较高的跟踪精度，且不会出现爬行现象，实现了快速、平稳的运动。

附图说明

图1是本发明所提出的位置伺服系统的摩擦补偿控制方法原理示意图。

图2是本发明所采用的多层神经网络的结构图。

图3(a)、3(b)是ARCNN和PID两种控制器下的斜坡参考指令信号和跟踪信号曲线图。

图4(a)、图4(b)是ARCNN和PID两种控制器在斜坡参考信号下的位置跟踪误差示意图。

图5是神经网络观测器对不确定项N的估计值和实际值曲线图。

图6(a)、图6(b)是PID和ARCNN两种控制器在正弦参考信号下的位置跟踪误差示意图。

具体实施方式

结合图1、图2，本发明的一种基于多层神经网络的电机位置伺服系统摩擦补偿控制方法，具体步骤如下：

步骤一，建立了基于LuGre模型的电机位置伺服系统模型，根据牛顿第二定律，系统的动力学方程为：

式中x表示角位移，J表示等效到电机轴上的转动惯量，U是系统控制输入，T_L是负载扭矩，代表外部干扰。F是摩擦扭矩，且采用LuGre摩擦模型表示如下：

其中，σ₀表示鬃毛刚度系数,σ₁表示鬃毛阻尼系数,σ₂表示粘性摩擦系数。为相对角速度；z表示鬃毛的平均变形量，且状态z是不可测量的；非线性函数表示不同的摩擦效应；F_c表示Coulomb摩擦力矩,F_s表示最大静摩擦力矩,表示Stribeck速度。

综上，伺服系统的动态方程为：

把(5)式写成状态空间形式，如下：

其中x＝[x₁,x₂]^T表示位置和速度的状态向量。参数集θ＝[θ₁θ₂θ₃]^T，其中θ₁＝J,θ₂＝σ₁+σ₂,θ₃＝T_L。N_z(x₁,x₂,z)＝σ₀z-σ₁α(x₂)|x₂|z表示摩擦模型中不确定项。由于|z(t)|≤f_s，我们可以得到N_z(x₁,x₂,z)是有界的，即：

|N_z(x₁,x₂,z)|＝|σ₀-σ₁α(x₂)|x₂|||z(t)|≤(σ₀+σ₁α(x₂)|x₂|)f_s (7)

假设1：参数θ满足：

其中θ_min＝[θ_1min,...,θ_3min]^T,θ_max＝[θ_1max,...,θ_3max]^T它们都是已知的。

假设2：是有界的且一阶可微的，即

其中δ_d已知。

步骤二，设计基于多层神经网络的摩擦补偿控制器，具体步骤如下：

步骤2-1、设计多层神经网络观测器。

图2为多层神经网络观测器的结构图。采用多层神经网络观测器去估计复杂不确定的有界函数N_z(x₁,x₂,z)，其网络算法为：

N＝W^*Tσ(V^*TX)+ε_approx (10)

其中，σ(·)为神经元激活函数；W^*和V^*为神经网络的理想权值矩阵，ε_approx为逼近误差，分别满足如下条件：

ε_approx≤ε_N (11)

网络输入取X＝[x₁,x₂]^T，则网络输出为：

其中为N的估计，为W^*的估计，为V^*的估计。

设计不连续映射类型的权值自适应律为：

其中：

式中Γ₁,Γ₂表示权值自适应正对角矩阵。τ₁,τ₂为权值自适应函数。上述的投影映射具有以下特性：

P1

P2

且V具有和W相同的特性。

定义是N的观测误差我们可以得到：

其中权值估计误差并且d_n≤δ_n。

步骤2-2、设计参数自适应控制器

定义为θ的估计，是估计误差，不连续映射被定义为：

其中i＝1,2,3。设计参数自适应律为：

其中，是参数自适应回归量。 Γ₃是一个正的对角矩阵，它表示参数的自适应增益。τ₃为参数自适应函数；上述的投影映射具有以下特性：

P3

P4

步骤2-3、设计实际的控制量U

首先定义如下误差变量：

其中e₁＝x₁-x_1d是输出跟踪误差，x_1d是系统期望的位置指令且该指令二阶连续可微。x_2eq为虚拟控制的期望值。k1＞0,k＞0是一个反馈增益。是位置跟踪误差的积分作用,通过调节反馈增益使系统的跟踪误差能够逼近零。

由式(6)和(23)可得：

基于式(24)，设计实际的控制量如下：

其中U_a为模型前馈补偿项，U_s1为线性稳定反馈项，U_s2为非线性鲁棒反馈项，k₂>0。

由式(18)和(25)可得e₂的动态方程为：

根据自适应鲁棒设计的步骤，非线性鲁棒反馈项U_s2需满足如下条件：

e₂(U_s2+d_n-f)≤0 (27)

因此，U_s2可以设计成：

U_s2＝-ε_ssign(e₂) (28)

其中ε_s是一个正实数，且满足ε_s＞|d_n-f|_max。

步骤3、验证系统稳定性

定义李雅普诺夫函数为：

求导可得：

整理上式可得：

由(17)(22)(27)可得：

选取适当的ε_s，我们可以得到由V(t)是正定的，可以得出V是有界的。这就意味着都是有界的。由于参数θ都是未知有界常数，且由其定义可以得到参数估计也是一致有界的。此外，由于跟踪误差e₂是有界的，位置和速度的参考跟踪信号x_1d和x_2eq假定是有界的，则电机的位置和速度同样是有界的。考虑到摩擦的方程在(2)(3)，由于速度信号x₂和都是有界的，我们可以推断摩擦状态z是有界的。同样我们可以得到所定义的不确定项N是有界的。由于是有界的，从而是有界的。所以我们可以推断出是有界的。很明显控制输入信号u在(25)是有界的。因此，所有的内部信号是全局一致有界的。

由式(32)有；

即：

我们可以得到e₁∈L₂,e₂∈L₂和使用Barbalat引理有，误差信号e1，e2渐进收敛到零。因此有结论，该基于多层神经网络观测器的自适应控制器可以使系统得到全局渐进稳定的结果。

下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。

实施例

仿真参数为：J＝0.9kgm²,T_L＝2Nm,f＝0.002x₁x₂,σ₀＝12Nm/rad,σ₁＝2.5Nms/rad,σ₂＝0.2Nms/rad,F_s＝0.34Nm,F_c＝0.28Nm,

本实施例提出的基于多层神经网络的电机位置伺服系统摩擦补偿控制方法(ARCNN)的取值如下：k₁＝150,k₂＝50,k＝10,ε_s＝0.05,Γ₁＝diag{120,120,120,120,120},Γ₂＝diag{80,80},Γ₃＝diag{0.0005,0.003,0.005}

当位置参考跟踪信号为斜坡信号x_1d＝0.0001t，如图3(a)、图3(b)、图4(a)、图4(b)所示。图3(a)、3(b)是两种控制器下的参考指令信号和跟踪信号曲线图。图4(a)、图4(b)是两种控制器在斜坡参考信号下的位置跟踪误差。从图中可以看出采用PlD控制器，一开始会出现轻微爬行现象和相对大的跟踪误差。而采用ARCNN，没有出现爬行现象且系统的稳态跟踪误差较低，相比PID实现了快速，平稳的运动。

当位置参考跟踪信号为正弦信号x_1d＝sin(t)，仿真结果如图5、图6(a)、图6(b)所示。图5是神经网络观测器对不确定项N的估计值和实际值曲线图。从图中可以看出，多层神经网络观测器能够对摩擦模型中的复杂不确定项进行很好地观测。图6(a)、图6(b)是两种控制器的位置跟踪误差，可以看出，我们所提出的ARCNN控制器相比PID控制器，能够保证伺服系统在非线性摩擦的影响下具有较高的跟踪精度。

Claims (4)

1.一种基于多层神经网络的电机位置伺服系统摩擦补偿控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立电机位置伺服系统的数学模型；

步骤2，设计基于多层神经网络观测器的摩擦补偿控制器；

步骤3，对基于多层神经网络观测器的摩擦补偿控制器进行稳定性测试。

2.根据权利要求1所述的基于多层神经网络的电机位置伺服系统摩擦补偿控制方法，其特征在于，步骤1建立基于LuGre模型的电机位置伺服系统的数学模型，具体如下：

<mrow> <mi>J</mi> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mi>F</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中x表示角位移，J表示等效到电机轴上的转动惯量，U是系统控制输入，T_L是负载扭矩，代表外部干扰，F是摩擦扭矩，且采用LuGre摩擦模型表示如下：

<mrow> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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其中，σ₀表示鬃毛刚度系数，σ₁表示鬃毛阻尼系数，σ₂表示粘性摩擦系数。为相对角速度，z表示鬃毛的平均变形量，且状态z是不可测量的；非线性函数表示不同的摩擦效应，F_c表示Coulomb摩擦力矩，F_s表示最大静摩擦力矩，表示Stribeck速度；

综上，伺服系统的动态方程为：

<mrow> <mi>J</mi> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>(</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

把(5)式写成状态空间形式，如下：

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其中x＝[x₁,x₂]^T表示位置和速度的状态向量；参数集θ＝[θ₁ θ₂ θ₃]^T，θ₁＝J,θ₂＝σ₁+σ₂,θ₃＝T_L；N_z(x₁,x₂,z)＝σ₀z-σ₁α(x₂)|x₂|z表示摩擦模型中不确定项；由于|z(t)|≤f_s，可以得到N_z(x₁,x₂,z)是有界的，即：

|N_z(x₁,x₂,z)|＝|σ₀-σ₁α(x₂)|x₂|||z(t)|≤(σ₀+σ₁α(x₂)|x₂|)f_s (7)

假设1：参数θ满足：

<mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <mo>{</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>:</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>min</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中θ_min＝[θ_1min,...,θ_3min]^T,θ_max＝[θ_1max,...,θ_3max]^T它们都是已知的；

假设2：是有界的且一阶可微的，即

<mrow> <mo>|</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中δ_d已知。

3.根据权利要求1所述的基于多层神经网络的电机位置伺服系统摩擦补偿控制方法，其特征在于，步骤2具体如下：

步骤2-1、设计多层神经网络观测器

采用多层神经网络观测器去估计复杂不确定的有界函数N_z(x₁,x₂,z)，其网络算法为：

<mrow> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>W</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>p</mi> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>o</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，σ(·)为神经元激活函数，W*和V*为神经网络的理想权值矩阵，ε_approx为逼近误差，分别满足如下条件：

<mrow> <msup> <mi>W</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <msup> <mi>W</mi> <mo>*</mo> </msup> </msub> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <msup> <mi>W</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>:</mo> <msubsup> <mi>W</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msup> <mi>W</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>W</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>}</mo> </mrow>

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ε_approx≤ε_N (11)

网络输入取X＝[x₁,x₂]^T，则网络输出为：

<mrow> <mover> <mi>N</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>V</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中为N的估计，为W^*的估计，为V^*的估计；

设计不连续映射类型的权值自适应律为：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>Proj</mi> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> </msub> <mo>{</mo> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <mover> <mi>V</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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其中：

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式中Γ₁,Γ₂表示权值自适应正对角矩阵，τ₁,τ₂为权值自适应函数，上述的投影映射具有以下特性：

P1

P2

且V具有和W相同的特性；

定义是N的观测误差我们可以得到：

<mrow> <mover> <mi>N</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <mover> <mi>V</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <mover> <mi>V</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>X</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中权值估计误差并且d_n≤δ_n；

步骤2-2、设计参数自适应控制器：

定义为θ的估计，是估计误差，不连续映射被定义为：

<mrow> <msub> <mi>Proj</mi> <mrow> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>i</mi> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>i</mi> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>o</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>w</mi> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中i＝1,2,3，设计参数自适应律为：

其中，是参数自适应回归量； Γ₃是一个正的对角矩阵，它表示参数的自适应增益，τ₃为参数自适应函数；上述的投影映射具有以下特性：

P3

P4

步骤2-3、设计实际的控制量U

首先定义如下误差变量：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>&amp;chi;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>&amp;chi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中e₁＝x₁-x_1d是输出跟踪误差，x_1d是系统期望的位置指令且该指令二阶连续可微，x_2eq为虚拟控制的期望值，k₁＞0,k＞0是一个反馈增益；是位置跟踪误差的积分作用，通过调节反馈增益使系统的跟踪误差能够逼近零；

由式(6)和(23)可得：

<mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>ke</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

基于式(24)，设计实际的控制量如下：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>N</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mover> <mi>z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>ke</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中U_a为模型前馈补偿项，U_s1为线性稳定反馈项，U_s2为非线性鲁棒反馈项，k₂>0；

由式(18)和(25)可得e₂的动态方程为：

根据自适应鲁棒设计的步骤，非线性鲁棒反馈项U_s2需满足如下条件：

e₂(U_s2+d_n-f)≤0 (27)

因此，U_s2设计成：

U_s2＝-ε_ssign(e₂) (28)

其中ε_s是一个正实数，且满足ε_s＞|d_n-f|_max。

4.根据权利要求1所述的基于多层神经网络的电机位置伺服系统的摩擦补偿控制方法，其特征在于，步骤3具体为：

为了验证系统稳定性，定义李雅普诺夫函数为：

<mrow> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>k&amp;chi;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mn>3</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mn>2</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mover> <mi>V</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>V</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

求导可得：

整理上式可得：

由(17)(22)(27)可得：

<mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

得到e₁∈L₂,e₂∈L₂和使用Barbalat引理有，误差信号e₁，e₂渐进收敛到零；因此，该基于多层神经网络观测器的自适应控制器可以使系统得到全局渐进稳定的结果。