CN110842911B - 考虑关节电机特性的柔性机械臂联合建模和滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明的目的在于提供考虑关节电机特性的柔性机械臂联合建模和滑模控制方法，包括如下步骤：(1)柔性机械臂‑关节电机联合建模；(2)模型变换与解耦；(3)设计重定义子系统的有限时间滑模控制器；(4)获取柔性机械臂的末端位移。本发明针对柔性机械臂，全面考虑其参数不确定性和关节电机动态性，实现两者的联合建模，并重新定义其输出，解决其最小相位问题，实现关节电机对柔性机械臂末端位移的直接控制；实现末端位移的快速收敛，并分析驱动电机的动态特性及参数不确定性对机械臂滑模控制系统的影响，推导出末端位移的误差范围。

Description

考虑关节电机特性的柔性机械臂联合建模和滑模控制方法

技术领域

本发明涉及的是一种柔性机械臂的控制方法。

背景技术

柔性机械臂的关节运动多通过电机驱动实现，但由于机械臂本身机械结构和非线性动力行为的复杂性，往往需要忽略关节电机动态，进而割裂了关节电机对机械臂性能的控制作用。

通常柔性机械臂的关节是由电机驱动的，且相对于刚性机械臂，柔性关节驱动更需要对驱动电机在重量、效率等方面有更高的要求，以实现安全、可靠和稳定的运行。相比于异步电机、步进电机等类型电机，直流电机以其结构简单、调速范围大、易于实现线性和快速启停控制等优点而在柔性机械臂关节驱动中广泛应用，即通过调节直流电机的电流实现关节力矩的线性输出，进而直接实现柔性机械臂的控制。

然而考虑到实际柔性机械臂控制系统，常将传感器放置在臂杆的末端，导致其末端位移输出相比于关节转矩输入的传递函数是非最小相位，无法实现直流电机输出力矩的线性和随意改变。为此，在柔性机械臂系统建模和控制器设计时，常忽略关节电机动态，而仅考虑柔性机械臂本身，进而割裂了关节电机对系统性能的控制作用，降低了机械臂的控制性能。

尽管滑模控制已实现柔性机械臂系统的鲁棒控制，但由于其本身柔性的存在，通常无法定量给出其末端位移偏差值。

相比于刚性机械臂，柔性机械臂由于其存在的结构柔性使其属于一类分布参数系统，且系统是无穷维的。尽管实际系统由于其使用的传感器带宽有限，常用截断的有限维近似模型代替，但这样却会导致控制溢出和观测溢出等诸多问题。加之柔性机械臂本身存在的结构柔性，使其控制过程中容易产生形变，且其阻尼较小也常会产生振荡现象。基于以上两方面控制难点，现有柔性机械臂的鲁棒控制，多仅以稳定性作为控制目标，无法定量给出其末端位移偏差值的确切值。

发明内容

本发明的目的在于提供能实现关节电机对柔性机械臂末端位移直接控制的考虑关节电机特性的柔性机械臂联合建模和滑模控制方法。

本发明的目的是这样实现的：

本发明考虑关节电机特性的柔性机械臂联合建模和滑模控制方法，其特征是：

(1)柔性机械臂-关节电机联合建模：

机械臂系统表示为

其中，θ＝[θ₁θ₂]^T∈R²为关节转角，q＝[q₁ q₂]^T∈R⁴，q_i＝[q_i1 q_i2]^T分别表示第i杆的柔性模态，i＝1,2；E₁∈R^2×2和E₂∈R^4×4为阻尼阵，K∈R^4×4为刚度阵，它们都是正定的；f_r(θ,q)∈R²为受重力影响的矢量；f_f(θ,q)∈R⁴为受离心力、哥氏力影响的项；τ＝[τ₁τ₂]^T∈R²为控制输入转矩；M(θ,q)∈R^6×6为正定对称惯量阵，

M_r∈R^2×2，M_rf∈R^4×2，M_f∈R^4×4，带“Δ”项表示相应参数的不确定项；

将上式写成如下状态方程的形式

不确定项Δ₁和Δ₂分别为

假设||Δ₁||≤ε₁,ε₁>0；||Δ₂||≤ε₂,ε₂>0；

这里进一步考虑直流电机充当关节驱动的电机动态性，即有

其中，L＝diag[L₁,L₂],R＝diag[R₁,R₂],K_e＝diag[k_e1,k_e2],K_T＝diag[k_T1,k_T2]分别表示两个柔性臂上电机的电感、电阻、反电势常数和电流-转矩常数阵，T_e＝[T_e1,T_e2]^T∈R²,U＝[u₁,u₂]^T∈R²分别外部有界的电压扰动和输入端电压；

M逆矩阵表示为

其中，N₁₁∈R^2×2,N₁₂∈R^2×4,N₂₁∈R^4×2,N₂₂∈R^4×4；

定义新变量

有

其中，

(2)模型变换与解耦：

重新定义输出变量

z＝λ₀θ+λ₁q

其中，z∈R²，设计矩阵λ₀∈R^2×2为对角阵，且λ₁＝diag[λ₁₁ ^Tλ₁₂ ^T]为分块对角阵，λ_1i∈R^2×2,i＝1,2；

通过对z两次求导，则直流电机输出转矩τ显现出来，即有

其中，

β＝λ₀N₁₁+λ₁N₂₁

再做一次模型变换，定义变量

其中，I_A＝[I_A1,I_A2]^T∈R²为直流电机的稳态电流，将式z＝(α+Δα)+βτ进一步变换为

柔性机械臂-关节电机联合模型维数为7，重定义系统维数是3，剩下的4维柔性模态构成系统的内部子系统，即有

当设计控制率u使得重定义系统的状态z₁＝z₂＝z₃＝0有限时间收敛，即由

τ＝-β^-1(α+Δα)

代入

则内部子系统变为零动态子系统

综合以上模型变换，柔性机械臂-关节电机联合模型分解为重定义子系统和零动态子系统；

柔性臂的末端角位移视为柔性臂为刚性时的角位移和各柔性模态的弹性形变之和，即有

(3)设计重定义子系统的有限时间滑模控制器：

针对重定义系统，引入非线性幂指数项，设计滑模面为

其中，s∈R²，c₁,c₂为设计参数，且c₁＝diag[c₁₁ c₁₂]，c₂＝diag[c₂₁ c₂₂]，c_i>0,i＝1,2；

重定义系统中包含未知的不确定项Δα，在设计相应滑模控制器时需要知道其上边界范围，即有

基于滑模等效控制原理，设计滑模控制律u由等效控制项u_eq和切换项u_n组成，即u＝u_eq+u_n；其中，等效控制项u_eq旨在维持系统稳定于滑模面，即由s＝0可得到

而对于切换项u_n，构造李雅谱诺夫方程V＝0.5s^Ts获得，对其求时间微分，则有

接着，代入等效控制项u_eq，则有

进而可设计切换项u_n为

使得

成立，可保证重定义系统的状态z₁、z₂和z₃有限时间收敛；

(4)获取柔性机械臂的末端位移：

针对零动态子系统，在x＝0具有局部稳定性，其稳定区域表示为Ω；对柔性机械臂的矩阵N和f_f进行线性化，即有

其中，f_hot(x)表示关于状态x的高阶项，假设||f_hot||≤ε₃，ε₃>0，

将N和f_f代入零动态子系统，则有

其中，

P₀(λ₀,λ₁)＝-N₂₂₀+N₂₁₀(λ₀N₁₁₀+λ₁N₂₁₀)^-1(λ₀N₁₂₀+λ₁N₂₂₀)

G_Δ(λ₀,λ₁)＝P₀(λ₀,λ₁)[f_hot(x)-Δ₂]

定义变量

进一步将

简化为

其中，

且有扰动项G的上边界范围为||G||≤ε，其中

ε＝(ε₃+ε₂)||[-N₂₂₀+N₂₁₀(λ₀N₁₁₀+λ₁N₂₁₀)^-1(λ₀N₁₂₀+λ₁N₂₂₀)]||

一方面，设计参数λ₀，λ₁的不同取值对应着矩阵A的不同特征根，其取值需要保证A为Hurwitz矩阵，即矩阵A的特征根都在复平面的左半平面上，零动态子系统是稳定的；另一方面，假设存在正定对称阵P∈R^2r×2r，且满足

Q为正定对称阵，考虑如下Lyapunov函数V＝Φ^TPΦ，并对V求一阶导数，则有

为保证零动态子系统Φ＝AΦ+G的稳定性，根据李雅谱诺夫稳定定理，则需要满足V＜0，进而可得到柔性模态q的收敛范围为

由于在式控制律u作用下，式z＝λ₀θ+λ₁q重定义输出z(t)＝λ₀θ+λ₁q＝0成立，关节转角θ的收敛范围可得

最终获得考虑关节电机特性的柔性机械臂联合建模和控制作用下的柔性机械臂的末端位移范围为

Ω_i＝{y_i:||y_i||≤L_i||θ_i||+||Φ_ie||||q_i||,i＝1,2}。

本发明的优势在于：针对柔性机械臂，全面考虑其参数不确定性和关节电机动态性，实现两者的联合建模，并重新定义其输出，解决其最小相位问题，实现关节电机对柔性机械臂末端位移的直接控制；实现末端位移的快速收敛，并分析驱动电机的动态特性及参数不确定性对机械臂滑模控制系统的影响，推导出末端位移的误差范围。

附图说明

图1a为设计参数λ0,λ1对零动态子系统稳定性的影响(λ0<0)，图1b为设计参数λ0,λ1对零动态子系统稳定性的影响(λ0>0)；

图2a为考虑关节电机动态对柔性机械臂性能的影响(滑模面)，图2b为不考虑关节电机动态对柔性机械臂性能的影响(滑模面)，图2c为考虑关节电机动态对柔性机械臂性能的影响(控制量u1和τ1)，图2d为考虑关节电机动态对柔性机械臂性能的影响(控制量u2和τ2)；

图3a为柔性机械臂性能对比仿真结果(关节转角θ1)，图3b为柔性机械臂性能对比仿真结果(关节转角θ2)，图3c为柔性机械臂性能对比仿真结果(末端位移y1)，图3d为柔性机械臂性能对比仿真结果(末端位移y2)。

具体实施方式

下面结合附图举例对本发明做更详细地描述：

结合图1a-3d，本发明控制流程如下：

1、柔性机械臂-关节电机联合建模

这里以双臂柔性机械手为例，全面考虑模型参数的不确定性，则机械臂系统可表示为

其中，θ＝[θ₁ θ₂]^T∈R²为关节转角，q＝[q₁ q₂]^T∈R⁴，q_i＝[q_i1 q_i2]^T分别表示第i杆的柔性模态，i＝1,2；E₁∈R^2×2和E₂∈R^4×4为阻尼阵，K∈R^4×4为刚度阵，它们都是正定的；f_r(θ,q)∈R²为受重力影响的矢量；f_f(θ,q)∈R⁴为受离心力、哥氏力影响的项；τ＝[τ₁ τ₂]^T∈R²为控制输入转矩；M(θ,q)∈R^6×6为正定对称惯量阵，

其中，M_r∈R^2×2，M_rf∈R^4×2，M_f∈R^4×4，带“Δ”项表示相应参数的不确定项。

将上式写成如下状态方程的形式

其中，不确定项Δ₁和Δ₂分别为

这里假设||Δ₁||≤ε₁,ε₁>0；||Δ₂||≤ε₂,ε₂>0。

这里进一步考虑直流电机充当关节驱动的电机动态性，即有

v (4)

其中，L＝diag[L₁,L₂],R＝diag[R₁,R₂],K_e＝diag[k_e1,k_e2],K_T＝diag[k_T1,k_T2]分别表示两个柔性臂上电机的电感、电阻、反电势常数和电流-转矩常数阵，T_e＝[T_e1,T_e2]^T∈R²,U＝[u₁,u₂]^T∈R²分别外部有界的电压扰动和输入端电压。

因为矩阵M是正定对称的，其逆矩阵必存在，将其表示为

其中，N₁₁∈R^2×2,N₁₂∈R^2×4,N₂₁∈R^4×2,N₂₂∈R^4×4。

定义新变量

则综合式(2)和(4)可有

其中，

可见，柔性机械臂系统输入维数为2，输出维数为7，属于典型的非最小相位系统，难以直接控制。

2、模型变换与解耦

为此，这里重新定义输出变量

z＝λ₀θ+λ₁q (6)

其中，z∈R²，设计矩阵λ₀∈R^2×2为对角阵，且λ₁＝diag[λ₁₁ ^T λ₁₂ ^T]为分块对角阵，λ_1i∈R^2×2,i＝1,2。

通过对式(6)中的z两次求导，则直流电机输出转矩τ显现出来，即有

其中，

β＝λ₀N₁₁+λ₁N₂₁ (8c)

接着，再做一次模型变换，定义变量

z₃＝I-I_A,其中，I_A＝[I_A1,I_A2]^T∈R²为直流电机的稳态电流，将式(7)进一步变换为

由式(5)可知，柔性机械臂-关节电机联合模型维数为7，而重定义后的系统(9)维数是3，因此剩下的4维柔性模态构成系统的内部子系统，即有

进一步地，当设计控制率u使得重定义系统(9)的状态z₁＝z₂＝z₃＝0有限时间收敛，即由式(7)，

τ＝-β^-1(α+Δα) (11)

代入式(10)，则内部子系统变为零动态子系统

综合以上模型变换，可见柔性机械臂-关节电机联合模型(5)可最终分解为重定义子系统(9)和零动态子系统(12)。

柔性臂的末端角位移可以视为柔性臂为刚性时的角位移和各柔性模态的弹性形变之和，即有

本文的控制目标是：针对重定义子系统(9)和零动态子系统(12)设计适当控制策略，使得两个柔性机械臂的末端位移可从任意初始位置y_i≠0调节至零点附近的小邻域内。

3、重定义子系统的有限时间滑模控制器设计

针对重定义后的子系统系统(9)，引入非线性幂指数项，设计滑模面为

其中，s∈R²，c₁,c₂为设计参数，且c₁＝diag[c₁₁ c₁₂]，c₂＝diag[c₂₁ c₂₂]，c_i>0,i＝1,2。

注意到，式(9)中包含未知的不确定项Δα，在设计相应滑模控制器时需要知道其上边界范围，即有

基于滑模等效控制原理，设计滑模控制律u由等效控制项u_eq和切换项u_n组成，即u＝u_eq+u_n。其中，等效控制项u_eq旨在维持系统稳定于滑模面，即由s＝0可得到

而对于切换项u_n，需构造李雅谱诺夫方程V＝0.5s^Ts获得，对其求时间微分，则有

接着，代入式(16)等效控制项u_eq，则有

进而可设计切换项u_n为

使得

成立，可保证重定义后的子系统系统(9)的状态z₁，z₂和z₃有限时间收敛。

4、零动态子系统的局部稳定性

针对零动态子系统(12)，可见在x＝0具有局部稳定性，假设其稳定区域表示为Ω。下面首先对柔性机械臂的矩阵N和f_f进行线性化，即有

其中，f_hot(x)表示关于状态x的高阶项，这里假设||f_hot||≤ε₃，ε₃>0，

将式(18)代入零动态子系统(12)，则有

其中，

P₀(λ₀,λ₁)＝-N₂₂₀+N₂₁₀(λ₀N₁₁₀+λ₁N₂₁₀)^-1(λ₀N₁₂₀+λ₁N₂₂₀)

G_Δ(λ₀,λ₁)＝P₀(λ₀,λ₁)[f_hot(x)-Δ₂]

定义变量

G＝[0,G_Δ]^T，进一步将(19)简化为

其中，

且有扰动项G的上边界范围为||G||≤ε，其中

ε＝(ε₃+ε₂)||[-N₂₂₀+N₂₁₀(λ₀N₁₁₀+λ₁N₂₁₀)-1(λ₀N₁₂₀+λ₁N₂₂₀)]|| (21)

下面分析不确定性Δ₁，Δ₂和设计参数λ₀，λ₁对零动态子系统(20)的稳定性进行分析。一方面，设计参数λ₀，λ₁的不同取值对应着矩阵A的不同特征根，其取值需要保证A为Hurwitz矩阵，即矩阵A的特征根都在复平面的左半平面上，零动态子系统是稳定的；另一方面，假设存在正定对称阵P∈R^2r×2r，且满足

Q为正定对称阵，考虑如下Lyapunov函数V＝Φ^TPΦ，并对V求一阶导数，则有

为保证零动态子系统(20)的稳定性，根据李雅谱诺夫稳定定理，则需要满足V＜0，进而可得到柔性模态q的收敛范围为

由于在式(16)-(17)控制律u作用下，式(6)重定义输出z(t)＝λ₀θ+λ₁q＝0成立，因此关节转角θ的收敛范围也可推导出

根据式(13)，(23)及(24)，则可最终获得考虑关节电机特性的柔性机械臂联合建模和控制作用下的柔性机械臂的末端位移范围为

Ω_i＝{y_i:||y_i||≤L_i||θ_i||+||Φ_ie||||q_i||,i＝1,2} (25)

为验证考虑关节电机特性的柔性机械臂联合建模和控制的性能，下面着重对设计参数λ₀，λ₁的不同选择和关节电机动态对柔性机械臂的末端性能影响进行对比分析。

式(1)柔性机械臂的参数分别为

(1)参数λ₀，λ₁对柔性机械臂稳定性的影响

由式(20)可见，参数λ₀和λ₁的选取直接影响内部子系统矩阵A的特征值，进而会影响整个柔性机械臂的稳定性。由于涉及多个参数，这里只能采用作图法，定义参数λ₀＝diag[λ₀₀λ₀₁]，λ₁＝diag[λ₁₀λ₁₁λ₁₂λ₁₃]，固定λ₀的取值，分为λ₀>0和λ₀<0两种情况，而λ₁连续取值。通过仿真确定λ₀在[-1.5,0]和[0,1.5]两个区域内，间隔0.1取值，如图1(a)和(b)两种情况。

可见，参数λ₀和λ₁的取值一定存在可以保证零动态子系统和柔性机械臂系统的稳定性，但其选择不唯一。特别地，对于λ₀＝0情况，即意味着重定义输出只选择关节转角θ，此时对应的矩阵A的实部为-1.36。此时，尽管系统仍然稳定，但其收敛速度将会变慢。因此，本文可利用图1选择恰当的设计参数λ₀,λ₁，这里选择λ₀＝[0.5,0；0,0.5],λ₁＝[1.3045,0.35,0,0；0,0,0.0806,0.2164]。

图2和图3分别为考虑和不考虑关节电机动态情况下，滑模控制器和柔性机械臂控制性能的仿真对比。由图2(a)-(b)，可见，式(14)非线性滑模面的设计均可实现有限时间收敛，但若包含关节电机动态，则会使收敛时间极大加长，即意味着系统影响速度变慢，由图(c)-(d)对应输出的关节驱动转矩作用也会变大，即需要额外的控制作用用于关节控制。进一步，由图3整个柔性机械臂的控制性能对比，再次确认了关节电机动态的包含确实会加长系统响应的时间。利用Matlab LMI工具箱，进一步可以计算出||P||＝9.7279×10⁸，λ_Δ＝1.6559×10¹⁵。由式(25)和图3(c)-(d)，当不考虑关节电机动态时，两个柔性机械臂的末端误差分别为2.8707×10^-5rad，3.4363×10^-5rad；而存在关节电机动态时，两个柔性机械臂的末端误差则分别为6.3507×10^-4rad and 9.2136×10^-4，进而意味着关节电机动态在建模和控制器设计时不应忽略。

Claims (1)

1.考虑关节电机特性的柔性机械臂联合建模和滑模控制方法，其特征是：

(1)柔性机械臂-关节电机联合建模：

机械臂系统表示为

其中，θ＝[θ₁ θ₂]^T∈R²为关节转角，q＝[q₁ q₂]^T∈R⁴，q_i＝[q_i1 q_i2]^T分别表示第i杆的柔性模态，i＝1,2；E₁∈R^2×2和E₂∈R^4×4为阻尼阵，K∈R^4×4为刚度阵，它们都是正定的；f_r(θ,q)∈R²为受重力影响的矢量；f_f(θ,q)∈R⁴为受离心力、哥氏力影响的项；τ＝[τ₁ τ₂]^T∈R²为控制输入转矩；M(θ,q)∈R^6×6为正定对称惯量阵，

M_r∈R^2×2，M_rf∈R^4×2，M_f∈R^4×4，带“Δ”项表示相应参数的不确定项；

将上式写成如下状态方程的形式

不确定项Δ₁和Δ₂分别为

假设||Δ₁||≤ε₁,ε₁>0；||Δ₂||≤ε₂,ε₂>0；

这里进一步考虑直流电机充当关节驱动的电机动态性，即有

其中，L＝diag[L₁,L₂],R＝diag[R₁,R₂],K_e＝diag[k_e1,k_e2],K_T＝diag[k_T1,k_T2]分别表示两个柔性臂上电机的电感、电阻、反电势常数和电流-转矩常数阵，T_e＝[T_e1,T_e2]^T∈R²,U＝[u₁,u₂]^T∈R²分别外部有界的电压扰动和输入端电压；

M逆矩阵表示为

其中，N₁₁∈R^2×2,N₁₂∈R^2×4,N₂₁∈R^4×2,N₂₂∈R^4×4；

定义新变量

有

其中，

(2)模型变换与解耦：

重新定义输出变量

z＝λ₀θ+λ₁q

其中，z∈R²，设计矩阵λ₀∈R^2×2为对角阵，且λ₁＝diag[λ₁₁ ^T λ₁₂ ^T]为分块对角阵，λ_1i∈R^{2 ×2},i＝1,2；

通过对z两次求导，则直流电机输出转矩τ显现出来，即有

其中，

β＝λ₀N₁₁+λ₁N₂₁

再做一次模型变换，定义变量

z₃＝I-I_A,其中，I_A＝[I_A1,I_A2]^T∈R²为直流电机的稳态电流，将式z＝(α+Δα)+βτ进一步变换为

柔性机械臂-关节电机联合模型维数为7，重定义系统维数是3，剩下的4维柔性模态构成系统的内部子系统，即有

当设计控制率u使得重定义系统的状态z₁＝z₂＝z₃＝0有限时间收敛，即由

τ＝-β^-1(α+Δα)

代入

则内部子系统变为零动态子系统

综合以上模型变换，柔性机械臂-关节电机联合模型分解为重定义子系统和零动态子系统；

柔性臂的末端角位移视为柔性臂为刚性时的角位移和各柔性模态的弹性形变之和，即有

(3)设计重定义子系统的有限时间滑模控制器：

针对重定义系统，引入非线性幂指数项，设计滑模面为

其中，s∈R²，c₁,c₂为设计参数，且c₁＝diag[c₁₁ c₁₂]，c₂＝diag[c₂₁ c₂₂]，c_i>0,i＝1,2；

重定义系统中包含未知的不确定项Δα，在设计相应滑模控制器时需要知道其上边界范围，即有

基于滑模等效控制原理，设计滑模控制律u由等效控制项u_eq和切换项u_n组成，即u＝u_eq+u_n；其中，等效控制项u_eq旨在维持系统稳定于滑模面，即由s＝0可得到

而对于切换项u_n，构造李雅谱诺夫方程V＝0.5s^Ts获得，对其求时间微分，则有

接着，代入等效控制项u_eq，则有

进而可设计切换项u_n为

使得

成立，可保证重定义系统的状态z₁、z₂和z₃有限时间收敛；

(4)获取柔性机械臂的末端位移：

针对零动态子系统，在x＝0具有局部稳定性，其稳定区域表示为Ω；对柔性机械臂的矩阵N和f_f进行线性化，即有

其中，f_hot(x)表示关于状态x的高阶项，假设||f_hot||≤ε₃，ε₃>0，

将N和f_f代入零动态子系统，则有

其中，

P₀(λ₀,λ₁)＝-N₂₂₀+N₂₁₀(λ₀N₁₁₀+λ₁N₂₁₀)^-1(λ₀N₁₂₀+λ₁N₂₂₀)

G_Δ(λ₀,λ₁)＝P₀(λ₀,λ₁)[f_hot(x)-Δ₂]

定义变量

进一步将

简化为

其中，

且有扰动项G的上边界范围为||G||≤ε，其中

ε＝(ε₃+ε₂)||[-N₂₂₀+N₂₁₀(λ₀N₁₁₀+λ₁N₂₁₀)^-1(λ₀N₁₂₀+λ₁N₂₂₀)]||

一方面，设计参数λ₀，λ₁的不同取值对应着矩阵A的不同特征根，其取值需要保证A为Hurwitz矩阵，即矩阵A的特征根都在复平面的左半平面上，零动态子系统是稳定的；另一方面，假设存在正定对称阵P∈R^2r×2r，且满足

Q为正定对称阵，考虑如下Lyapunov函数V＝Φ^TPΦ，并对V求一阶导数，则有

为保证零动态子系统Φ＝AΦ+G的稳定性，根据李雅谱诺夫稳定定理，则需要满足V＜0，进而可得到柔性模态q的收敛范围为

由于在式控制律u作用下，式z＝λ₀θ+λ₁q重定义输出z(t)＝λ₀θ+λ₁q＝0成立，关节转角θ的收敛范围可得

最终获得考虑关节电机特性的柔性机械臂联合建模和控制作用下的柔性机械臂的末端位移范围为

Ω_i＝{y_i:||y_i||≤L_i||θ_i||+||Φ_ie||||q_i||,i＝1,2}。

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