CN112338912A

CN112338912A - 一种柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法及系统

Info

Publication number: CN112338912A
Application number: CN202011088903.1A
Authority: CN
Inventors: 程婷婷; 牛奔; 王晓梅; 张家鸣
Original assignee: Shandong Normal University
Current assignee: Shandong Normal University
Priority date: 2020-10-13
Filing date: 2020-10-13
Publication date: 2021-02-09
Anticipated expiration: 2040-10-13
Also published as: CN112338912B

Abstract

本发明公开了一种柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法及系统，包括：确定柔性单链机械臂的动力学方程；对所述动力学方程进行坐标变换，将所述动力学方程转换为五阶非严格反馈形式；利用反步法和命令滤波技术，设计每一步的虚拟控制器，同时引入补偿信号以减小由命令滤波引起的误差，最终得到柔性单链机械臂的自适应有限时间控制器；基于所述控制器对柔性单链机械臂进行控制。本发明通过融合命令滤波技术和反步控制方法，构造了自适应有限时间控制器，解决了由传统反步控制方法造成的“复杂性爆炸问题”；命令滤波技术引入了补偿信号，补偿了动态面技术中忽略的虚拟控制信号和实际控制信号之间的误差。

Description

一种柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法及系统

技术领域

本发明涉及机械臂工程领域，尤其涉及一种柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法。

背景技术

本部分的陈述仅仅是提供了与本发明相关的背景技术信息，不必然构成在先技术。

机械臂被认为是制造业的重要组成部分，在汽车、军事、医疗等方面起着重要的作用。因此越来越多的研究者从传感器、控制算法、智能大脑等角度研究机械臂，使得柔性单链机械臂系统在控制领域成为一个热点话题。

在许多的研究中，首先对柔性单链机械臂系统进行坐标变换，之后应用反步法。然而在基于反步设计的过程中，每一步都需要对虚拟控制率求导，这使得计算负担增加，造成了“复杂性爆炸问题”。

虽然在柔性单链机械臂系统中取得了一些研究成果，但大部分研究成果没有考虑到有限时间问题。

发明内容

为了解决上述问题，本发明提出了一种柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法，提出了实际有限时间稳定性判据，结合反步法，构造自适应有限时间控制器，能够保证闭环系统中所有变量在有限时间内是有界的，并且，系统输出与参考信号的误差收敛到一个很小的邻域内。

在一些实施方式中，采用如下技术方案：

一种柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法，包括：

确定柔性单链机械臂的动力学方程；

对所述动力学方程进行坐标变换，将所述动力学方程转换为五阶非严格反馈形式；

利用反步法和命令滤波技术，设计每一步的虚拟控制器，同时引入补偿信号以减小由命令滤波引起的误差，最终得到柔性单链机械臂的自适应有限时间控制器；

基于所述控制器对柔性单链机械臂进行控制。

在另一些实施方式中，采用如下技术方案：

一种柔性单链机械臂的有限时间稳定控制系统，包括：

用于确定柔性单链机械臂的动力学方程的模块；

用于对所述动力学方程进行坐标变换，将所述动力学方程转换为五阶非严格反馈形式的模块；

用于利用反步法和命令滤波技术，设计每一步的虚拟控制器，同时引入补偿信号以减小由命令滤波引起的误差，最终得到柔性单链机械臂的自适应有限时间控制器的模块；

用于基于所述控制器对柔性单链机械臂进行控制的模块。

在另一些实施方式中，采用如下技术方案：

一种终端设备，其包括处理器和计算机可读存储介质，处理器用于实现各指令；计算机可读存储介质用于存储多条指令，所述指令适于由处理器加载并执行上述的柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法。

在另一些实施方式中，采用如下技术方案：

一种计算机可读存储介质，其中存储有多条指令，所述指令适于由终端设备的处理器加载并执行上述的柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

(1)本发明通过融合命令滤波技术和反步控制方法，构造了自适应有限时间控制器，柔性单链机械臂有限时间算法采用了命令滤波技术，解决了由传统反步控制方法造成的“复杂性爆炸问题”，减轻了计算负担，提高计算效率。同时，命令滤波技术引入了补偿信号，补偿了动态面技术中忽略的虚拟控制信号和实际控制信号之间的误差，提高了控制精度。

(2)本发明在柔性单链机械臂有限时间算法中，应用了准快速有限时间稳定性定理实现控制目标，由于考虑了初始条件，所计算的下沉时间比一般的下沉时间更加精确。

(3)本发明考虑在实际工业应用中，不可避免的死区问题，对死区的数学模型进行了细致的重构，使死区输入可以得到严格的设计，提高了工业实用性。

(4)本发明设计的自适应有限时间控制器，能够实现对柔性单链机械臂的有限时间稳定控制，提高了控制精度和计算效率。

附图说明

图1是本发明实施例中柔性单链机械臂系统结构示意图；

图2是本发明实施例中仿真得到的系统输出y与跟踪信号y_r波形图；

图3是本发明实施例中仿真得到的跟踪误差z₁波形图；

图4是本发明实施例中仿真得到的状态变量x₂,x₃波形图；

图5是本发明实施例中仿真得到的状态变量x₄,x₅波形图；

图6是本发明实施例中仿真得到的自适应率

波形图。

具体实施方式

应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本申请提供进一步的说明。除非另有指明，本发明使用的所有技术和科学术语具有与本申请所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。

需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。

实施例一

在一个或多个实施方式中，公开了一种柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法，包括如下步骤：

(1)确定柔性单链机械臂的动力学方程；

(2)对所述动力学方程进行坐标变换，将所述动力学方程转换为五阶非严格反馈形式；

(3)利用反步法和命令滤波技术，设计每一步的虚拟控制器，同时引入补偿信号以减小由命令滤波引起的误差，最终得到柔性单链机械臂的自适应有限时间控制器；

(4)基于所述控制器对柔性单链机械臂进行控制。

下面对本实施例柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法的实现过程进行详细说明。

柔性单链机械臂系统结构示意图如图1所示，考虑柔性单链机械臂系统的动力学方程如下：

其中，J₁和J₂是惯性，q₁是链接角位移，q₂是电机轴，R和L分别是电枢电阻和电感。i表示电枢电流，K表示弹簧常数，K_t是转矩常数，u(v)是电枢电压，g是重力加速度，d是连杆重心位置，F₁和F₂粘性摩擦常数，K_b是反电动势常数，M是连杆质量，N是齿轮比。

通过引入状态变量，x₁＝q₁,

x₃＝q₂,

x₅＝i，并定义K_tK＝J₁J₂NL，动态方程(1)就变成如下形式：

其中，

死区输入模型描述如下：

本实施例中，死区输入模型有如下特性：

(1)死区输出u(t)是不可测的。

(2)正区和负区的死区斜率相同，即k_r＝k_l＝k。

(3)死区参数b_r，b_l和k是未知的有界常数，但它们的符号已知，b_r>0,b_l<0,k>0。

(4)死区参数b_r,b_l和k是未知的有界常数，即存在已知常数b_{r min},b_{r max},b_{l min},b_{l max},k_min,k_max使得b_r∈[b_{r min},b_{r max}],b_l∈[b_{l min},b_{l max}],k∈[k_min,k_max]。根据以上特性，我们重新定义死区模型(3)如下：

u(t)＝D(v(t))＝kv(t)+d(v(t)) (4)

其中，

根据死区的特性，我们可以得到d(v(t))是有界的。

定义1：非线性系统的平衡点x＝0，

是实际的有限时间稳定的，如果有x(0)∈x₀，则存在一个常数ε>0和一个下沉时间T(ε,x₀)<∞，使得：

引理1：对于正数μ₁>0,μ₂>0,0<γ<1,0<b<∞，如果存在一个负定的光滑函数满足：

那么，

的轨迹是实际有限时间稳定的。

引理2：对于任意的正数c,d以及任意的真值函数γ(x,y)>0，

引理3：对于x_i∈R,i＝1,2,...,n,0<p≤1

径向基函数神经网络逼近

径向基函数神经网络用来处理任意的未知连续函数，h(Z):R^S→R，Ω_Z∈R^s；

其中，

是输入向量，θ＝[θ₁,...,θ_q]^T∈R^q，q>1是径向基函数神经网络的权重，

表示基函数向量。

对于任意给定的ε>0，如果神经元数量足够大，我们逼近一个未知连续的函数h(Z):R^s→R，通过下面的径向基函数神经网络

其中，最优权重θ^*选择为：

为了简便计算，下面我们定义一个常数：

θ＝max{||θ₁||²,||θ₂||²,...,||θ_n||²} (13)

其中，

是θ的估计并且这个估计误差为

引理4：让

作为基函数向量，其中，

然后，对于任意正数k≤q，满足下面的不等式：

引理五：给定ω>0并且η₀∈R，能够使下面的不等式成立：

其中，k是一个常数，并且k＝0.2785。

基于上述分析过程，利用反步法和命令滤波技术，进行控制器设计如下：

首先，命令滤波定义为：

其中，ω_i是命令滤波的输出，并且ω₁＝y_r，y_r是参考信号，z_i表示命令滤波的追踪误差，ε_i是正常数。

下面实现五步自适应有限时间控制器设计过程：

(1)第一步：

v₁＝z₁-r₁ (18)

其中，r₁是命令滤波的补偿信号，v₁表示补偿追踪误差信号。

根据公式(2)和公式(16)，我们能够得到：

定义：

设计虚拟控制α₂：

为了减小由命令滤波引起的误差，引入补偿信号：

将公式(22)和公式(23)加入到公式(21)中，我们得到：

根据Young’s不等式，有：

结合公式(24)和公式(25)，我们能够得到：

(2)第二步：

v₂＝z₂-r₂ (27)

根据公式(2)和公式(16)，我们能够得到：

定义

根据公式(22)，得到：

其中，

以及

是一个正数，根据引理4和Young’s不等式，我们可以得到：

将公式(32)和公式(33)带入公式(30)中去，我们有：

设计虚拟控制α₃和补偿信号：

根据Young’s不等式，有：

将公式(35)-(37)带入到公式(34)中，我们能够得到：

自适应率设计为：

结合公式(38)和公式(39)，我们得到：

(3)第三步：

v₃＝z₃-r₃ (41)

根据公式(2)和公式(16)，我们能够得到：

定义：

设计虚拟控制α₄和补偿信号：

将公式(45)和公式(46)加入到公式(44)中，我们得到：

根据Young’s不等式，有：

结合公式(47)和公式(48)，我们能够得到：

(4)第四步：

v₄＝z₄-r₄ (50)

根据公式(2)和公式(16)，我们能够得到：

定义：

根据公式(22)：

根据引理4和Young’s不等式，我们可以得到：

将公式(55)和公式(56)加到公式(53)中去，我们有：

设计虚拟控制α₅和补偿信号：

根据Young’s不等式，有

将公式(58)-(60)带入到公式(57)中，我们能够得到：

自适应率设计为：

(5)第五步：

v₅＝z₅-r₅ (64)

根据公式(2)和公式(16)，我们能够得到：

定义：

根据公式(22)：

我们选择

根据公式(4)，我们可以得到：

根据Young’s不等式，有：

其中，D>|bd(v)|将公式(70)-(72)带入到公式(69)中去，我们有：

设计控制器v：

其中，

其中，Δ＝v₅-α，

设计补偿信号：

根据Young’s不等式，我们可以得到：

根据引理5，我们可以得到：

将公式(75)-(77)带入到公式(73)中，我们能够得到：

自适应率设计为：

将公式(79)和公式(80)带入到公式(78)中，我们得到：

对上述控制器进行稳定性分析，过程如下：

根据Young’s不等式，我们可以得到：

将公式(82)、(83)带入到公式(81)中，我们得到：

通过结合引理2处理

和

将公式(85)和(86)带入到公式(84)中，我们可以得到

根据引理3，我们可以得到：

其中，

并且

和η＝min{2^pk_i,β_i,i＝1,2,...,5}。

为了证明有限时间控制器的有效性，进行如下仿真实验，柔性单链机械臂系统参数选择如下：

M＝0.5Kg,g＝9.8N/Kg,d＝0.4m,F₁＝F₂＝0.05Nms/rad,J₁＝J₂＝0.1Kgm2,N＝1,K＝50,K_t＝10Nm/A,K_b＝0.976Nm/A,R＝10Ω,L＝1.5H,k_r＝k_l＝m＝1

死区模型如下：

其中，b_r＝2.5,b_l＝-2

在仿真实验中，我们选择合适的参数如下：

c₁＝8,c₂＝5,c₃＝15,c₄＝10,c₅＝0.1,k₁＝k₂＝k₃＝k₄＝1,k₅＝1.3,l₁＝l₂＝l₃＝l₄＝l₅＝0.01,a₂＝a₄＝a₅＝1,η₂＝η₄＝η₅＝0.1,β₂＝β₄＝β₅＝1,ε₂＝0.3,ε₃＝ε₄＝ε₅＝2,

初始条件我们选择为：

x₁(0)＝0.003,x₂(0)＝0.001,

其他的初始条件都为0。

仿真结果如下：

图2给出了系统输出y与跟踪信号y_r波形图，图2表明，根据柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法所设计的自适应有限时间控制器能够保证系统输出可以追踪到给定的参考信号。

图3给出了跟踪误差z₁的波形图，图2表明，根据柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法所设计的自适应有限时间控制器能够保证追踪误差z₁尽可能的小。

图4-图6分别给出了状态变量x₂,x₃ x₄,x₅以及自适应率

的波形图，图4-图6表明，根据柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法所设计的自适应有限时间控制器能够保证闭环系统中的所有变量在有限时间内有界。

本实施例柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法采用了命令滤波技术，能够解决“复杂性爆炸问题”，命令滤波技术引入了补偿信号，补偿了动态面技术中忽略的虚拟控制信号和实际控制信号之间的误差。

相比较一般的控制算法，本实施例所提出的有限时间控制算法有着明显的优势，其拥有更快的收敛速度、更高的稳态精度。然而，在现有的有限时间算法中，由于没有考虑到初始条件，使得下沉时间不够精确。柔性单链机械臂有限时间控制算法充分考虑到这一点，所得下沉时间得到了进一步精确。本实施例提出了一个新的实际有限时间稳定性判据，结合反步方法，构造的自适应有限时间控制器不仅能够解决传统反步方法造成的“复杂性爆炸问题”，而且能够保证在有限时间内，闭环系统中的所有信号有界，系统的输出与给定的参考信号尽可能的接近。

实施例二

在一个或多个实施例中，公开了一种柔性单链机械臂的有限时间稳定控制系统，包括：

用于确定柔性单链机械臂的动力学方程的模块；

用于基于所述控制器对柔性单链机械臂进行控制的模块。

需要说明的是，上述模块的具体工作方法采用实施例一中公开的方法实现，具体不再赘述。

实施例三

在一个或多个实施例中，公开了一种终端设备，包括服务器，所述服务器包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述程序时实现实施例一中的柔性单链机械臂的有限时间稳定控制方法。为了简洁，在此不再赘述。

应理解，本实施例中，处理器可以是中央处理单元CPU，处理器还可以是其他通用处理器、数字信号处理器DSP、专用集成电路ASIC，现成可编程门阵列FPGA或者其他可编程逻辑器件、分立门或者晶体管逻辑器件、分立硬件组件等。通用处理器可以是微处理器或者该处理器也可以是任何常规的处理器等。

存储器可以包括只读存储器和随机存取存储器，并向处理器提供指令和数据、存储器的一部分还可以包括非易失性随机存储器。例如，存储器还可以存储设备类型的信息。

在实现过程中，上述方法的各步骤可以通过处理器中的硬件的集成逻辑电路或者软件形式的指令完成。

实施例一中的方法可以直接体现为硬件处理器执行完成，或者用处理器中的硬件及软件模块组合执行完成。软件模块可以位于随机存储器、闪存、只读存储器、可编程只读存储器或者电可擦写可编程存储器、寄存器等本领域成熟的存储介质中。该存储介质位于存储器，处理器读取存储器中的信息，结合其硬件完成上述方法的步骤。为避免重复，这里不再详细描述。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。