CN110977988B - 基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法 - Google Patents

基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法 Download PDF

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CN110977988B CN201911371173.3A CN201911371173A CN110977988B CN 110977988 B CN110977988 B CN 110977988B CN 201911371173 A CN201911371173 A CN 201911371173A CN 110977988 B CN110977988 B CN 110977988B
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Abstract

本发明公开了一种基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法，属于机器人控制技术领域。该方法基于反步法，通过阻抗控制技术实现了对机械臂的力/位控制，采用模糊自适应技术逼近多关节机械臂系统中的未知摩擦量，引入命令滤波技术解决了传统反步法控制器设计中存在的“计算复杂性”问题，同时引入了误差补偿机制，消除了滤波误差的影响。利用有限时间控制使机械臂力/位跟踪信号在有限时间内收敛，保证了机械臂力/位跟踪误差能在有限时间内收敛到原点的一个足够小的领域内。综上，本发明所提出的控制方法能够使机械臂末端力/位轨迹快速有效地跟踪期望轨迹。

Description

基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法
技术领域
本发明属于机器人控制技术领域，尤其涉及一种基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法。
背景技术
随着机械臂在社会生活中的运用日益广泛，其工作环境也越来越复杂，仅依靠机械臂的位置控制已经不能满足当今的工作需求。人与机械臂的协作技术在社会生产中的运用已成为未来发展的趋势，同时，为了提高人/机械臂交互系统的安全性与柔顺性，更高精度的机械臂力/位控制策略在实际工程运用中有着更大的需求，因此如何对协作机械臂有效地进行力/位控制已成为一个重要的研究热点。为了解决这一难题，海内外专家学者对此进行了大量的科学研究，并提出了力/位混合控制、阻抗控制等力/位控制方法。阻抗控制具有抗扰动能力强、计算量相对较少以及易于机械臂进行力控制等特点，因此受到了海内外研究人员的广泛关注。
作为先进控制方法的反步控制法已经被运用到多机械臂系统的控制中，并取得了较好的力/位控制效果，但反步法存在的问题主要体现在：(1)系统的某些函数必须是线性的；(2)反步法控制器设计中虚拟控制律的反复求导提高了“计算复杂性”，上述问题的存在使得反步法的使用具有较大的局限性。
模糊逻辑系统对系统的某些函数必须是线性的问题提供了解决思路，其中，模糊逻辑系统通过近似理论逼近复杂非线性系统中的未知非线性函数。针对反步法控制器设计中虚拟控制律的反复求导的问题，专家们已经提出了命令滤波技术，通过引入二阶滤波器解决传统反步控制方法中虚拟控制律的反复求导问题的同时，该技术通过补偿信号解决了滤波误差问题，并简化了有限时间命令滤波阻抗控制器的结构。
发明内容
本发明目的在于提出一种基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法，以实现对多关节机械臂末端进行力/位快速的高精度控制。
为了实现上述目的，采用如下技术方案：
基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法，包括如下步骤：
步骤1：建立多关节机械臂动力学模型，如公式(1)所示：
Figure BDA0002339674990000011
其中，q∈Rn×1为多关节机械臂各关节角度；D(q)∈Rn×n为多关节机械臂惯性矩阵；
Figure BDA0002339674990000012
为多关节机械臂离心力和科里奥利力矩阵；G(q)∈Rn×1为多关节机械臂重力项向量；τ∈Rn×1为多关节机械臂各关节转矩向量；τf∈Rn×1为多关节机械臂各关节所受的摩擦力向量；J(q)∈Rn×n为多关节机械臂的雅可比矩阵；Fe∈Rn×1为环境对多关节机械臂末端施加的接触力；其中，n为机械臂的关节数；
多关节机械臂在笛卡尔坐标系上的关系式，如公式(2)所示：
Figure BDA0002339674990000021
从而有
Figure BDA0002339674990000022
其中，x为机械臂末端位置，
Figure BDA0002339674990000023
为多关节机械臂关节角度转化为笛卡尔坐标下机械臂末端位置的函数关系式。
多关节机械臂末端位置与末端力的阻抗控制关系式，如公式(3)所示：
Figure BDA0002339674990000024
其中，E＝x-xd，xd为机械臂期待轨迹，Fe为机械臂末端力，Fd为机械臂末端期待力，Md为机械臂期待惯性矩阵，Bd为机械臂期待阻尼矩阵，Kd为机械臂刚性矩阵；
将式(2)带入式(1)，得：
Figure BDA0002339674990000025
其中
Figure BDA0002339674990000026
由(4)式变换，得：
Figure BDA0002339674990000027
为了便于有限时间命令滤波阻抗控制器的设计，令
Figure BDA0002339674990000028
表示为/>
Figure BDA00023396749900000211
(i＝1,…,n.n∈N*)；
步骤2：根据命令滤波有限时间技术和自适应反步法原理，设计真实控制律τ使得多关节机械臂末端的位置信号x1和末端接触力Fe分别跟踪期望的位置信号xd和期望的接触力Fd；
假设f(Z)在紧集ΩZ中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总存在一个模糊逻辑系统WTS(Z)满足：
Figure BDA00023396749900000210
其中，输入向量
Figure BDA00023396749900000212
Q是模糊输入维数，RQ为实数向量集；W∈Ro是模糊权向量，模糊节点数o为正整数，且o＞1，Ro为实数向量集，S(Z)＝[s1(Z),...,so(Z)]T∈Ro为基函数向量，选取基函数sjj(Z)为如下的高斯函数：/>
Figure BDA0002339674990000031
jj＝1,...,o；其中，μjj是高斯函数分布曲线的中心位置，而ηjj则为高斯函数的宽度；
有限时间稳定的定义：对于任意的实数λ1＞0，λ2＞0，0＜γ＜1，则有限时间稳定的扩展Lyapunov条件能够表示为：
Figure BDA0002339674990000032
收敛时间能够通过Tr≤t0+[1/λ1(1-γ)]ln[(λ1V1-γ(t0)+λ2)/λ2]来估计；
定义系统误差变量为：
Figure BDA0002339674990000033
其中，xd为给定的期望信号，虚拟控制律αr为滤波器输入信号，x1,c为滤波器的输出信号；
有限时间命令滤波器定义如下：
Figure BDA0002339674990000034
其中，αr为滤波器的输入信号；选取合适的参数R1和R2，在经过有限时间的瞬态过程后，未受到输入噪声的情况下，可得到等式：
Figure BDA0002339674990000035
该有限时间命令滤波器动态系统相应的解为有限时间稳定；当滤波器的输入受噪声影响时，输入噪声满足不等式|αr-αr0|≤κ；然后在有限时间内构造完全依赖于微分器参数R1和R2的不等式：
Figure BDA0002339674990000036
其中，
Figure BDA0002339674990000037
和ζ1均为正常数，且取决于一阶Levant微分器中的设计参数，/>
Figure BDA0002339674990000038
和/>
Figure BDA0002339674990000039
均为正常数；
基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法设计的每一步都会选取一个李雅普诺夫函数来构建一个虚拟控制函数或者真实控制律，在步骤2中，具体包括如下步骤：
步骤2.1：对于多关节机械臂末端的期望轨迹信号xd，定义补偿误差v1＝z1-ξ1，其中，ξ1为误差补偿信号；
选取李雅普诺夫函数
Figure BDA0002339674990000041
对V1求导得到：
Figure BDA0002339674990000042
选取虚拟控制律α和补偿信号导数
Figure BDA0002339674990000043
Figure BDA0002339674990000044
Figure BDA0002339674990000045
其中，k1＞0,s1＞0,0＜β＜1,h1＞0且以上参数均为常数；将式(7)和(8)带入式(6)，得
Figure BDA0002339674990000046
步骤2.2：定义补偿误差v2＝z2-ξ2，其中，ξ2为误差补偿信号；
选取李雅普诺夫函数
Figure BDA0002339674990000047
对V2求导得到：
Figure BDA0002339674990000048
其中，f(Z)＝-Δ-1(q)(τf)，定义非线性函数f(Z)＝[f1(Z),…,fn(Z)]T，根据万能逼近定理，对于任意小的常数εi＞0，存在模糊逻辑函数Wi TS(Z)使得fi(Z)＝Wi TS(Z)+δi，其中δi表示逼近误差，并满足δi≤εi(i＝1,…,n.n∈N*)；因为v2＝[v2,1,…,v2,n]T，则由杨氏不等式得
Figure BDA00023396749900000414
其中，l是一个大于0的常数；
选取真实控制律τ和补偿信号导数
Figure BDA0002339674990000049
得
Figure BDA00023396749900000410
Figure BDA00023396749900000411
定义模糊权重θ＝max{||W1||2,…,||Wn||2} (14)；
由式(14)知，将不等式(11)转换为
Figure BDA00023396749900000412
定义其估计误差
Figure BDA00023396749900000413
为估计值；将式(12)、(13)和(15)带入式(10)且
Figure BDA0002339674990000051
得：
Figure BDA0002339674990000052
步骤2.3：选择李雅普诺夫函数函数：
Figure BDA0002339674990000053
对V求导得到：
Figure BDA0002339674990000054
选取自适应律：
Figure BDA0002339674990000055
其中，η、m均为大于0的常数；
步骤3：对构建的基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法进行稳定性分析；将(18)带入(17)，得
Figure BDA0002339674990000056
由杨氏不等式知
Figure BDA0002339674990000057
将式(20)带入式(19)，得
Figure BDA0002339674990000058
由杨氏不等式得
Figure BDA0002339674990000059
当
Figure BDA00023396749900000510
得
Figure BDA00023396749900000511
当
Figure BDA00023396749900000512
得
Figure BDA0002339674990000061
由式(22)、(23)得
Figure BDA0002339674990000062
对于xi∈R,i＝1,2,…,n,0＜p≤1，有
Figure BDA0002339674990000063
得不等式
Figure BDA0002339674990000064
将式(22)、(25)、(26)带入式(21)得
Figure BDA0002339674990000065
其中，
Figure BDA0002339674990000066
Figure BDA0002339674990000067
将式(27)改写为
Figure BDA0002339674990000068
由式(28)知，如果
Figure BDA0002339674990000069
通过有限时间控制的定义知，vj(j＝1,2,…,n)将在有限时间T1内收敛于域/>
Figure BDA00023396749900000610
内；由于zj＝vj+ξj，如果能够证明ξj在有限时间内收敛，那么就能够使跟踪误差zj在有限时间内收敛于一个极小的零邻域内；
现在选取Lyapunov函数
Figure BDA00023396749900000611
证明ξ1、ξ2在有限时间内是有界的；
Figure BDA00023396749900000612
式(29)对时间求导得
Figure BDA0002339674990000071
由杨氏不等式得
Figure BDA0002339674990000072
令d＝(x1,c-α)，d＝[d1,d2,…,dn]T且ξ1＝[ξ1,1,ξ1,2,…,ξ1,n]T，得
Figure BDA0002339674990000073
由有限时间命令滤波器定义知，在有限时间T2内有
Figure BDA0002339674990000074
并且将式(31)、(32)带入式(30)，那么t＞T2有
Figure BDA0002339674990000075
其中，
Figure BDA0002339674990000076
将式(33)改写为
Figure BDA0002339674990000077
由式(33)知，如果
Figure BDA0002339674990000078
通过有限时间控制定义知，ξr将在有限时间T2内收敛于域/>
Figure BDA0002339674990000079
本发明所带来的有益技术效果：
(1)利用有限时间技术与阻抗控制技术相结合，实现了在有限时间内使多关节机械臂末端较好地进行力/位跟踪，并减少了机械臂力/位跟踪误差。
(2)命令滤波技术的运用解决了传统反步法设计控制器中存在的“计算复杂性”问题，简化了有限时间命令滤波阻抗控制器的结构。
(3)本发明方法利用模糊逻辑系统逼近多关节机械臂系统中的未知非线性函数，有效地处理了机械臂系统中的未知非线性项，从而使机械臂在摩擦力函数不确定情况下实现较好地力/位跟踪控制。
(4)本发明控制方法具有更强地鲁棒性，更加符合实际工程运用。
附图说明
图1为本发明实施例中二自由度机械臂的模型示意图；
图2为采用本发明控制方法后机械臂末端X轴方向跟踪曲线仿真图；
图3为采用本发明控制方法后机械臂末端X轴方向跟踪误差仿真图；
图4为采用本发明控制方法后机械臂末端Y轴方向跟踪曲线仿真图；
图5为采用本发明控制方法后机械臂末端Y轴方向跟踪误差仿真图；
图6为采用本发明控制方法后机械臂末端X轴方向力跟踪仿真图；
图7为采用本发明控制方法后机械臂末端X轴方向力跟踪误差仿真图；
图8为采用本发明控制方法后机械臂末端Y轴方向力跟踪仿真图；
图9为采用本发明控制方法后机械臂末端Y轴方向力跟踪误差仿真图；
图10为采用本发明控制方法后二关节机械臂各关节力矩图仿真图。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：
本发明的基本思想为：基于李雅普诺夫函数，运用反步法构造中间虚拟控制信号，逐步递推得到控制律，从而对多关节机器臂的末端执行器进行控制；利用模糊自适应技术逼近多关节机械臂系统中的未知摩擦量，采用命令滤波技术解决反步法设计中的对虚拟控制律反复求导问题，该技术通过误差补偿信号解决了滤波误差问题，并简化了有限时间命令滤波阻抗控制器的结构，同时利用有限时间控制使机械臂力/位跟踪信号在有限时间内收敛。
通过以上发明构思保证基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法使机械臂末端力/位能快速准确地跟踪期望轨迹，并且使其控制误差在一个合理的范围内。
基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法，包括如下步骤：
步骤1：建立多关节机械臂动力学模型，如公式(1)所示：
Figure BDA0002339674990000081
其中，q∈Rn×1为多关节机械臂各关节角度；D(q)∈Rn×n为多关节机械臂惯性矩阵；
Figure BDA0002339674990000082
为多关节机械臂离心力和科里奥利力矩阵；G(q)∈Rn×1为多关节机械臂重力项向量；τ∈Rn×1为多关节机械臂各关节转矩向量；τf∈Rn×1为多关节机械臂各关节所受的摩擦力向量；J(q)∈Rn×n为多关节机械臂的雅可比矩阵；Fe∈Rn×1为环境对多关节机械臂末端施加的接触力；其中，n为机械臂的关节数；
多关节机械臂在笛卡尔坐标系上的关系式，如公式(2)所示：
Figure BDA0002339674990000091
从而有
Figure BDA0002339674990000092
其中，x为机械臂末端位置，
Figure BDA0002339674990000093
为多关节机械臂关节角度转化为笛卡尔坐标下机械臂末端位置的函数关系式。
多关节机械臂末端位置与末端力的阻抗控制关系式，如公式(3)所示：
Figure BDA0002339674990000094
其中，E＝x-xd，xd为机械臂期待轨迹，Fe为机械臂末端力，Fd为机械臂末端期待力，Md为机械臂期待惯性矩阵，Bd为机械臂期待阻尼矩阵，Kd为机械臂刚性矩阵；
将式(2)带入式(1)，得：
Figure BDA0002339674990000095
其中
Figure BDA0002339674990000096
由(4)式变换，得：
Figure BDA0002339674990000097
为了便于有限时间命令滤波阻抗控制器的设计，令
Figure BDA0002339674990000098
表示为/>
Figure BDA00023396749900000912
(i＝1,…,n.n∈N*)；
步骤2：根据命令滤波有限时间技术和自适应反步法原理，设计真实控制律τ使得多关节机械臂末端的位置信号x1和末端接触力Fe分别跟踪期望的位置信号xd和期望的接触力Fd；
假设f(Z)在紧集ΩZ中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总存在一个模糊逻辑系统WTS(Z)满足：
Figure BDA00023396749900000910
其中，输入向量
Figure BDA00023396749900000911
Q是模糊输入维数，RQ为实数向量集；W∈Ro是模糊权向量，模糊节点数o为正整数，且o＞1，Ro为实数向量集，S(Z)＝[s1(Z),...,so(Z)]T∈Ro为基函数向量，选取基函数sjj(Z)为如下的高斯函数：/>
Figure BDA0002339674990000101
jj＝1,...,o；其中，μjj是高斯函数分布曲线的中心位置，而ηjj则为高斯函数的宽度；
有限时间稳定的定义：对于任意的实数λ1＞0，λ2＞0，0＜γ＜1，则有限时间稳定的扩展Lyapunov条件能够表示为：
Figure BDA0002339674990000102
收敛时间能够通过Tr≤t0+[1/λ1(1-γ)]ln[(λ1V1-γ(t0)+λ2)/λ2]来估计；
定义系统误差变量为：
Figure BDA0002339674990000103
其中，xd为给定的期望信号，虚拟控制律αr为滤波器输入信号，x1,c为滤波器的输出信号；
有限时间命令滤波器定义如下：
Figure BDA0002339674990000104
其中，αr为滤波器的输入信号；选取合适的参数R1和R2，在经过有限时间的瞬态过程后，未受到输入噪声的情况下，可得到等式：
Figure BDA0002339674990000105
该有限时间命令滤波器动态系统相应的解为有限时间稳定；当滤波器的输入受噪声影响时，输入噪声满足不等式|αr-αr0|≤κ；然后在有限时间内构造完全依赖于微分器参数R1和R2的不等式：
Figure BDA0002339674990000106
其中，
Figure BDA0002339674990000107
和ζ1均为正常数，且取决于一阶Levant微分器中的设计参数，/>
Figure BDA0002339674990000108
和/>
Figure BDA0002339674990000109
均为正常数；
基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法设计的每一步都会选取一个李雅普诺夫函数来构建一个虚拟控制函数或者真实控制律，在步骤2中，具体包括如下步骤：
步骤2.1：对于多关节机械臂末端的期望轨迹信号xd，定义补偿误差v1＝z1-ξ1，其中，ξ1为误差补偿信号；
选取李雅普诺夫函数
Figure BDA00023396749900001010
对V1求导得到：
Figure BDA0002339674990000111
选取虚拟控制律α和补偿信号导数
Figure BDA0002339674990000112
Figure BDA0002339674990000113
Figure BDA0002339674990000114
其中，k1＞0,s1＞0,0＜β＜1,h1＞0且以上参数均为常数；将式(7)和(8)带入式(6)，得
Figure BDA0002339674990000115
步骤2.2：定义补偿误差v2＝z2-ξ2，其中，ξ2为误差补偿信号；
选取李雅普诺夫函数
Figure BDA0002339674990000116
对V2求导得到：
Figure BDA0002339674990000117
其中，f(Z)＝-Δ-1(q)(τf)，定义非线性函数f(Z)＝[f1(Z),…,fn(Z)]T，根据万能逼近定理，对于任意小的常数εi＞0，存在模糊逻辑函数Wi TS(Z)使得fi(Z)＝Wi TS(Z)+δi，其中δi表示逼近误差，并满足δi≤εi(i＝1,…,n.n∈N*)；因为v2＝[v2,1,…,v2,n]T，则由杨氏不等式得
Figure BDA0002339674990000118
其中，l是一个大于0的常数；
选取真实控制律τ和补偿信号导数
Figure BDA0002339674990000119
得
Figure BDA00023396749900001110
Figure BDA00023396749900001111
定义模糊权重θ＝max{||W1||2,…,||Wn||2} (14)；
由式(14)知，将不等式(11)转换为
Figure BDA00023396749900001112
定义其估计误差
Figure BDA00023396749900001113
为估计值；将式(12)、(13)和(15)带入式(10)且
Figure BDA00023396749900001114
得：
Figure BDA0002339674990000121
步骤2.3：选择李雅普诺夫函数函数：
Figure BDA0002339674990000122
对V求导得到：
Figure BDA0002339674990000123
选取自适应律：
Figure BDA0002339674990000124
其中，η、m均为大于0的常数；
步骤3：对构建的基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法进行稳定性分析；将(18)带入(17)，得
Figure BDA0002339674990000125
由杨氏不等式知
Figure BDA0002339674990000126
将式(20)带入式(19)，得
Figure BDA0002339674990000127
由杨氏不等式得
Figure BDA0002339674990000128
当
Figure BDA0002339674990000129
得
Figure BDA00023396749900001210
当
Figure BDA00023396749900001211
得
Figure BDA0002339674990000131
由式(22)、(23)得
Figure BDA0002339674990000132
对于xi∈R,i＝1,2,…,n,0＜p≤1，有
Figure BDA0002339674990000133
得不等式
Figure BDA0002339674990000134
将式(22)、(25)、(26)带入式(21)得
Figure BDA0002339674990000135
其中，
Figure BDA0002339674990000136
Figure BDA0002339674990000137
将式(27)改写为
Figure BDA0002339674990000138
由式(28)知，如果
Figure BDA0002339674990000139
通过有限时间控制的定义知，vj(j＝1,2,…,n)将在有限时间T1内收敛于域/>
Figure BDA00023396749900001310
内；由于zj＝vj+ξj，如果能够证明ξj在有限时间内收敛，那么就能够使跟踪误差zj在有限时间内收敛于一个极小的零邻域内；
现在选取Lyapunov函数
Figure BDA00023396749900001311
证明ξ1、ξ2在有限时间内是有界的；
Figure BDA00023396749900001312
式(29)对时间求导得
Figure BDA0002339674990000141
由杨氏不等式得
Figure BDA0002339674990000142
令d＝(x1,c-α)，d＝[d1,d2,…,d]n]T且ξ1＝[ξ1,1,ξ1,2,…,ξ1,n]T，得
Figure BDA0002339674990000143
由有限时间命令滤波器定义知，在有限时间T2内有
Figure BDA0002339674990000144
并且将式(31)、(32)带入式(30)，那么t＞T2有
Figure BDA0002339674990000145
其中，
Figure BDA0002339674990000146
将式(33)改写为
Figure BDA0002339674990000147
由式(33)知，如果
Figure BDA0002339674990000148
通过有限时间控制定义知，ξr将在有限时间T2内收敛于域/>
Figure BDA0002339674990000149
在虚拟环境下对所建立的基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法进行仿真，以验证所提出控制方法的可行性。
在垂直平面上的二自由度机械臂如图1所示，仿真实验将会证明所提出控制方法的有效性。仿真实验的旋转关节二自由度机械臂系统模型表示如下
Figure BDA00023396749900001410
其中
Figure BDA0002339674990000151
mi和li分别为机械臂第i节连杆的质量和长度，lci为机械臂第i-1个关节到i节连杆质心的距离，Ii为关节i基于坐标轴穿过关节的质心的转动惯量。
Figure BDA0002339674990000152
x1,1,x1,2分别表示二自由度机械臂在笛卡尔坐标系上机械臂末端在X,Y轴上的位置，q＝[q1,q2]T表示机械臂各关节角度。
二自由度机械臂的惯性矩阵D(q)、科里奥利力与离心力矩阵
Figure BDA0002339674990000153
重力项矩阵G(q)定义如下所示
Figure BDA0002339674990000154
Figure BDA0002339674990000155
Figure BDA0002339674990000156
二自由度机械臂的雅可比矩阵J(q)定义如下所示
Figure BDA0002339674990000157
二自由度机械臂的参数关节1、2质量m1、m2均为1.00kg；关节1、2长度l1、l2均为1.00m；关节1、2转动惯量I1、I2均为0.25kgm2。机械臂初始参数为x1,1＝x1,2＝1，
Figure BDA0002339674990000158
Figure BDA0002339674990000159
二自由度机械臂末端的期待跟踪轨迹如下所示xd＝[0.7+0.2cos(t),0.7+0.2sin(t)]T，其中t∈[0,20]。/>
对于二自由度机械臂的有限时间命令滤波阻抗控制，其控制参数选取为k1＝6，k2＝8，s1＝2，s2＝2，l＝0.5，η＝1，m＝0.25，h1＝1，h2＝1。该二自由度机械臂期待阻抗选为Md＝I，Bd＝diag[15,15]，Kd＝diag[60,60]。模糊逻辑系统选择模糊集为：
Figure BDA00023396749900001510
其中Γ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11；k＝1,2；ρ＝5,4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4,-5。
图2、3为本发明控制方法机械臂末端X轴跟踪曲线与跟踪误差图，图4、5为本发明控制方法机械臂末端Y轴跟踪曲线与跟踪误差图。由图2-5可知，本发明所提出的控制方法能够使机械臂末端快速精确地跟上期望轨迹。图6、7为本发明控制方法机械臂末端X轴方向力跟踪图与力跟踪误差图，图8、9为本发明控制方法机械臂末端力Y轴方向力跟踪图与力跟踪误差图。由图6-9可知，本发明所提出的控制方法能够使机械臂末端的接触力很好地跟上期望接触力。图10为本发明所提出的控制方法二关节机械臂各关节力矩图。图10中，τ1为机械臂第1关节力矩，τ2为机械臂第2关节力矩。
以上模拟信号清楚地表明，本发明中基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法可以高效地跟踪参考信号，因此，具有良好实际实施意义。
当然，上述说明并非是对本发明的限制，本发明也并不仅限于上述举例，本技术领域的技术人员在本发明的实质范围内所做出的变化、改型、添加或替换，也应属于本发明的保护范围。

Claims (1)

1.基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1：建立多关节机械臂动力学模型，如公式(1)所示：
Figure FDA0002339674980000011
其中，q∈Rn×1为多关节机械臂各关节角度；D(q)∈Rn×n为多关节机械臂惯性矩阵；
Figure FDA0002339674980000012
为多关节机械臂离心力和科里奥利力矩阵；G(q)∈Rn×1为多关节机械臂重力项向量；τ∈Rn×1为多关节机械臂各关节转矩向量；τf∈Rn×1为多关节机械臂各关节所受的摩擦力向量；J(q)∈Rn×n为多关节机械臂的雅可比矩阵；Fe∈Rn×1为环境对多关节机械臂末端施加的接触力；其中，n为机械臂的关节数；
多关节机械臂在笛卡尔坐标系上的关系式，如公式(2)所示：
Figure FDA0002339674980000013
从而有
Figure FDA0002339674980000014
其中，x为机械臂末端位置，
Figure FDA0002339674980000015
为多关节机械臂关节角度转化为笛卡尔坐标下机械臂末端位置的函数关系式；
多关节机械臂末端位置与末端力的阻抗控制关系式，如公式(3)所示：
Figure FDA0002339674980000016
其中，E＝x-xd，xd为机械臂期待轨迹，Fe为机械臂末端力，Fd为机械臂末端期待力，Md为机械臂期待惯性矩阵，Bd为机械臂期待阻尼矩阵，Kd为机械臂刚性矩阵；
将式(2)带入式(1)，得：
Figure FDA0002339674980000017
其中
Figure FDA0002339674980000018
由(4)式变换，得：
Figure FDA0002339674980000019
为了便于有限时间命令滤波阻抗控制器的设计，令
Figure FDA00023396749800000110
表示为/>
Figure FDA00023396749800000111
(i＝1,…,n.n∈N*)；
步骤2：根据命令滤波有限时间技术和自适应反步法原理，设计真实控制律τ使得多关节机械臂末端的位置信号x1和末端接触力Fe分别跟踪期望的位置信号xd和期望的接触力Fd；
假设f(Z)在紧集ΩZ中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总存在一个模糊逻辑系统WTS(Z)满足：
Figure FDA0002339674980000021
其中，输入向量
Figure FDA0002339674980000022
Q是模糊输入维数，RQ为实数向量集；W∈Ro是模糊权向量，模糊节点数o为正整数，且o＞1，Ro为实数向量集，S(Z)＝[s1(Z),...,so(Z)]T∈Ro为基函数向量，选取基函数sjj(Z)为如下的高斯函数：/>
Figure FDA0002339674980000023
其中，μjj是高斯函数分布曲线的中心位置，而ηjj则为高斯函数的宽度；
有限时间稳定的定义：对于任意的实数λ1＞0，λ2＞0，0＜γ＜1，则有限时间稳定的扩展Lyapunov条件能够表示为：
Figure FDA0002339674980000024
收敛时间能够通过
Figure FDA0002339674980000025
来估计；
定义系统误差变量为：
Figure FDA0002339674980000026
其中，xd为给定的期望信号，虚拟控制律αr为滤波器输入信号，x1,c为滤波器的输出信号；
有限时间命令滤波器定义如下：
Figure FDA0002339674980000027
其中，αr为滤波器的输入信号；选取合适的参数R1和R2，在经过有限时间的瞬态过程后，未受到输入噪声的情况下，可得到等式：
Figure FDA0002339674980000028
该有限时间命令滤波器动态系统相应的解为有限时间稳定；当滤波器的输入受噪声影响时，输入噪声满足不等式|αr-αr0|≤κ；然后在有限时间内构造完全依赖于微分器参数R1和R2的不等式：
Figure FDA0002339674980000029
Figure FDA00023396749800000210
其中，θ1和ζ1均为正常数，且取决于一阶Levant微分器中的设计参数，
Figure FDA0002339674980000031
和/>
Figure FDA0002339674980000032
均为正常数；
基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法设计的每一步都会选取一个李雅普诺夫函数来构建一个虚拟控制函数或者真实控制律，在步骤2中，具体包括如下步骤：
步骤2.1：对于多关节机械臂末端的期望轨迹信号xd，定义补偿误差v1＝z1-ξ1，其中，ξ1为误差补偿信号；
选取李雅普诺夫函数
Figure FDA0002339674980000033
对V1求导得到：
Figure FDA0002339674980000034
选取虚拟控制律α和补偿信号导数
Figure FDA0002339674980000035
Figure FDA0002339674980000036
Figure FDA0002339674980000037
其中，k1＞0,s1＞0,0＜β＜1,h1＞0且以上参数均为常数；将式(7)和(8)带入式(6)，得
Figure FDA0002339674980000038
步骤2.2：定义补偿误差v2＝z2-ξ2，其中，ξ2为误差补偿信号；
选取李雅普诺夫函数
Figure FDA0002339674980000039
对V2求导得到：
Figure FDA00023396749800000310
其中，f(Z)＝-Δ-1(q)(τf)，定义非线性函数f(Z)＝[f1(Z),…,fn(Z)]T，根据万能逼近定理，对于任意小的常数εi＞0，存在模糊逻辑函数Wi TS(Z)使得fi(Z)＝Wi TS(Z)+δi，其中δi表示逼近误差，并满足δi≤εi(i＝1,…,n.n∈N*)；因为v2＝[v2,1,…,v2,n]T，则由杨氏不等式得
Figure FDA00023396749800000311
其中，l是一个大于0的常数；
选取真实控制律τ和补偿信号导数
Figure FDA00023396749800000312
得
Figure FDA00023396749800000313
Figure FDA0002339674980000041
定义模糊权重θ＝max{||W1||2,…,||Wn||2} (14)；
由式(14)知，将不等式(11)转换为
Figure FDA0002339674980000042
定义其估计误差
Figure FDA0002339674980000043
Figure FDA0002339674980000044
为估计值；将式(12)、(13)和(15)带入式(10)且
Figure FDA0002339674980000045
得：
Figure FDA0002339674980000046
步骤2.3：选择李雅普诺夫函数函数：
Figure FDA0002339674980000047
对V求导得到：
Figure FDA0002339674980000048
选取自适应律：
Figure FDA0002339674980000049
其中，η、m均为大于0的常数；
步骤3：对构建的基于有限时间命令滤波的多关节机械臂阻抗控制方法进行稳定性分析；将(18)带入(17)，得
Figure FDA00023396749800000410
由杨氏不等式知
Figure FDA00023396749800000411
将式(20)带入式(19)，得
Figure FDA00023396749800000412
由杨氏不等式得
Figure FDA0002339674980000051
当
Figure FDA0002339674980000052
得
Figure FDA0002339674980000053
当
Figure FDA0002339674980000054
得
Figure FDA0002339674980000055
由式(22)、(23)得
Figure FDA0002339674980000056
对于xi∈R,i＝1,2,…,n,0＜p≤1，有
Figure FDA0002339674980000057
得不等式
Figure FDA0002339674980000058
将式(22)、(25)、(26)带入式(21)得
Figure FDA0002339674980000059
其中，
Figure FDA00023396749800000510
Figure FDA00023396749800000511
将式(27)改写为
Figure FDA00023396749800000512
由式(28)知，如果
Figure FDA0002339674980000061
通过有限时间控制的定义知，vj(j＝1,2,…,n)将在有限时间T1内收敛于域/>
Figure FDA0002339674980000062
内；由于zj＝vj+ξj，如果能够证明ξj在有限时间内收敛，那么就能够使跟踪误差zj在有限时间内收敛于一个极小的零邻域内；
现在选取Lyapunov函数
Figure FDA0002339674980000063
证明ξ1、ξ2在有限时间内是有界的；
Figure FDA0002339674980000064
式(29)对时间求导得
Figure FDA0002339674980000065
由杨氏不等式得
Figure FDA0002339674980000066
令d＝(x1,c-α)，d＝[d1,d2,…,dn]T且ξ1＝[ξ1,1,ξ1,2,…,ξ1,n]T，得
Figure FDA0002339674980000067
由有限时间命令滤波器定义知，在有限时间T2内有
Figure FDA0002339674980000068
并且将式(31)、(32)带入式(30)，那么t＞T2有
Figure FDA0002339674980000069
其中，
Figure FDA00023396749800000610
将式(33)改写为
Figure FDA00023396749800000611
由式(33)知，如果
Figure FDA0002339674980000071
通过有限时间控制定义知，ξr将在有限时间T2内收敛于域/>
Figure FDA0002339674980000072
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