CN110193833B - 多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法 - Google Patents

多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法。该方法包括构建有限时间命令滤波器、虚拟控制信号、自适应更新律和误差补偿机制等过程。本发明方法不仅可以避免传统反步法造成的计算复杂性问题,还可以确保系统在含有不确定参数和未知动态下,集合跟踪误差有限时间收敛到期望邻域内。此外,运用误差补偿信号可以消除命令滤波产生的误差,进一步提高控制性能。由于虚拟信号和误差补偿机制只使用每个机械臂的邻域信息,因此本发明方法完全是分布式的,仿真结果进一步表明本发明方法的有效性。

Description

多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法
技术领域
本发明涉及一种多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法。
背景技术
多机械系统协同控制由于其成本低、效率高且在工业应用中具有多功能性等优点,被视为重要的研究领域,同步问题在多机械系统协同控制中具有重要意义。
已有的多机械系统同步控制方法主要适用于解决无领导者的同步问题或者领导者与跟随者的同步问题。近年来,人们对建立不同机械系统的包容控制协议越来越感兴趣,该协议保证跟随者的状态最终收敛于领导者的状态形成的凸包中。例如,文献1研究了由有向图描述下不确定多欧拉-拉格朗日系统的包容控制;文献2针对网络化柔性关节机器人系统提出了一种分布式自适应包容控制方案。然而,上述各篇文献均只具有渐近收敛速度。
位置或姿态的快速同步是多机械系统在工业或其他应用中的重要指标,因此有限时间收敛控制器是工程师更期望的控制器。最近,众多学者给出了多机械系统的不同的有限时间同步协议。例如,文献3利用齐次方法研究多个机械手的有限时间同步问题;文献4利用加幂积分方法研究多个航天器姿态的有限时间同步问题。然而,当考虑参数不确定性和系统具有的未知的非线性动态,文献3和文献4的结果不能直接应用于欧拉-拉格朗日系统。
当系统受到不确定因素的影响时,终端滑模控制仍能保证闭环系统具有有限时间收敛性。例如,文献5建立了基于终端滑模控制的多机械系统有限时间同步协议,但是如何避免终端滑模控制的抖振问题并没有被考虑,这将影响其在实际工程中的应用。
对于不确定非线性多智能体系统,基于动态面控制的分布式自适应技术被视为一种有效的基于反步的控制算法,能够避免传统反步的计算复杂性问题。例如,文献6通过动态面控制考虑了多四旋翼系统的分布式协同控制问题,文献7提出了一种不确定高阶非线性多智能体系统的自适应包容控制方法,但使用的低通滤波器可能会带来误差,影响控制性能。
命令滤波反步仍然是一种基于反步法的控制方法,可以通过应用命令滤波来避免计算复杂性问题。此外,命令滤波反步采用误差补偿机制对滤波误差进行补偿,以提高控制性能。文献8利用命令滤波反步讨论了非线性多智能体的一致性跟踪问题,但只实现了渐近收敛。
现有技术文献:
非专利文献
文献1:Mei J,Ren W,Ma G,Distributed containment control for Lagrangiannetworks with parametric uncertainties under a directed graph,Automatica,2012,4(4):653-659;
文献2:Yoo S,Distributed adaptive containment control of networkedflexible-joint robots using neural networks,Expert Syst.Appl.,2014,41:470-477;
文献3:Zhang B,Jia Y,Finite-time synchronous control for multiplemanipulators with sensor saturations and a constant reference,IEEETrans.Control Syst.Technol.,2014,22(3):1159-1165;
文献4:Zhou J,Hu Q,Friswell M,Decentralized finite time attitudesynchronization control of satellite formation flying,J.Guidance ControlDynam.,2013,36(1):185-195;
文献5:Zou A,Kumar K,Distributed attitude coordination control forspacecraft formation flying,IEEE Trans.Aero.Elec.Sys.,2012,48(2):1329-1346;
文献6:Wang Y,Wu Q,Wang Y,Distributed cooperative control for multiplequadrotor systems via dynamic surface control,Nonlinear Dyn.,2013,75(3):513-527;
文献7:Yoo S,Distributed adaptive containment control of uncertainnonlinear multi-agent systems in strict-feedback form,Automatica,2013,49(7):2145-2153;
文献8:Shen Q,Shi P,Distributed command filtered backsteppingconsensus tracking control of nonlinear multiple-agent systems in strict-feedback form,Automatica,2015,53:120-124。
发明内容
本发明的目的在于提出一种多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法,以解决参数不确定多机械臂系统的同步控制问题。
本发明为了实现上述目的,采用如下技术方案:
多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法,包括如下步骤:
设定多机械臂系统具有N个跟随机械臂和M个领导机械臂,跟随机械臂集υF={1,...,N},领导机械臂集υL={N+1,...,N+M};
N个跟随机械臂和M个领导机械臂之间的通信拓扑结构关系由有向图
Figure BDA0002109510000000021
表示;
其中,节点集υ={1,2,...,N+M},边集
Figure BDA0002109510000000023
定义邻接矩阵A=[amn]∈R(N+M)×(N+M)
其中,amn表示边的权重,R(N+M)×(N+M)表示矩阵维数为(N+M)×(N+M)维;
若存在有向边(m,n)∈ε,则节点n称为节点m的父节点,节点m称为节点n的子节点;
节点m的邻居节点集合为Nm={n|(n,m)∈ε},若(n,m)∈ε,amn>0,
Figure BDA0002109510000000022
amn=0;
此外,邻接矩阵A对角线元素均为0;
定义有向图
Figure BDA0002109510000000037
的拉普拉斯矩阵为L=[lmn]∈R(N×M)(N×M),lmn=-amn
Figure BDA0002109510000000031
有向图
Figure BDA0002109510000000038
的s个节点间的有向路径是具有边的序列(k1,k2),(k2,k3),...,(ks-1,ks);
假设第i个跟随机械臂系统的模型为:
Figure BDA0002109510000000032
式中,qi∈Rn为跟随机械臂关节位置向量;Mi(qi)∈Rn×n为对称惯性矩阵;
Figure BDA0002109510000000033
为向心力矩和科里奥利力矩矩阵;Gi(qi)∈Rn为重力项;τi∈Rn为驱动力矩;
Rn表示向量维数为n维,Rn×n表示矩阵维数为n×n维;
定义领导机械臂关节位置向量为qj∈Rn,j∈vL
下面构造多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法,使跟随机械臂关节位置向量qi能够在有限时间内收敛到领导机械臂关节位置向量qj形成的凸包,i∈υF,j∈υL
在反步控制方法的每一步中都将采用下面的滑模微分器作为命令滤波器:
Figure BDA0002109510000000034
其中,ri,1,z表示滑模微分器参数,ri,2,z表示滑模微分器参数,αi,1,z表示虚拟控制信号αi,1的第z个分量,ωi,1,z表示滑模微分器的状态;ωi,2,z表示滑模微分器的状态,z=1,2,...,n,sign表示符号函数;ιi,2=[ωi,1,1,...,ωi,1,n]T作为第i个跟随机械臂所使用滑模微分器的输出,虚拟控制信号αi,1作为第i个跟随机械臂所使用滑模微分器的输入;
在包容控制设计中,定义以下仅依赖于相邻信息的局部跟踪误差:
Figure BDA0002109510000000035
其中,ei,1表示局部跟踪误差向量;ei,2表示关节速度向量与滑模微分器输出向量的误差;qc表示跟随机械臂集合中与qi有通信连接的跟随机械臂的关节位置向量;qw表示领导机械臂集合中与qi有通信连接的领导机械臂的关节位置向量;
定义
Figure BDA0002109510000000036
Ni表示第i个跟随机械臂邻居节点集合,i∈υF
定义
Figure BDA0002109510000000041
Ni表示第i个跟随机械臂邻居节点集合,i∈υF
定义
Figure BDA0002109510000000042
其中
Figure BDA0002109510000000043
分别表示每个跟随机械臂局部跟踪误差向量的转置,
Figure BDA0002109510000000044
分别表示每个跟随机械臂关节位置向量的转置,
Figure BDA0002109510000000045
分别表示每个领导机械臂关节位置向量的转置;
Figure BDA0002109510000000046
其中,L1是对称正定的,L2表示拉普拉斯矩阵的对应分量;
定义
Figure BDA0002109510000000047
其中,
Figure BDA0002109510000000048
分别表示每个跟随机械臂对应的集合跟踪向量的转置;
如果||EF||→0,即QF→Qd确保有限时间内满足,则qi∈υF有限时间到达Co{qj,j∈υL},即跟随机械臂关节位置向量qi在有限时间到达领导机械臂关节位置向量qj形成的凸包内;
其中,Co表示领导机械臂关节位置向量qj形成的凸包;
由公式(3)构造虚拟控制信号αi,1和驱动力矩τi为:
Figure BDA0002109510000000049
其中,κi,1>0,κi,2>0,φi,1>0,φi,2>0且为常数增益;
Figure BDA00021095100000000410
为奇数;
Figure BDA00021095100000000411
表示动态回归矩阵,
Figure BDA00021095100000000412
表示自适应更新律;
在公式(4)中,
Figure BDA00021095100000000413
其中,ηc,1表示跟随机械臂集合中与qi有通信连接的第c个跟随机械臂的误差补偿向量;
lic为拉普拉斯矩阵的对应分量;
选取误差补偿信号:
Figure BDA00021095100000000414
其中,ηi,1(0)=0,ψi,1>0为常数增益;
自适应更新律
Figure BDA00021095100000000415
为:
Figure BDA00021095100000000416
其中,ρi>0,Γi是正定对称矩阵;
选择虚拟控制信号αi,1、驱动力矩τi和自适应更新律
Figure BDA0002109510000000051
使跟随机械臂关节位置向量在有限时间内以期望的精度收敛到领导机械臂关节位置向量形成的凸包内;
选取Lyapunov函数:
Figure BDA0002109510000000052
其中,
Figure BDA0002109510000000053
In表示单位矩阵;
则有:
Figure BDA0002109510000000054
其中,
Figure BDA0002109510000000055
表示集合跟踪向量的导数,vi,1表示局部跟踪误差向量与误差补偿信号的差;
Figure BDA0002109510000000056
其中,vi,2=ei,2表示关节速度向量与滑模微分器输出向量的差;
选取Lyapunov函数:
Figure BDA0002109510000000057
对U2求导:
Figure BDA0002109510000000058
进一步得到:
Figure BDA0002109510000000059
定义
Figure BDA00021095100000000510
将τi代入公式(13)可得:
Figure BDA00021095100000000511
其中,θi表示不确定动态参数向量,
Figure BDA0002109510000000061
表示θi的估计;
vi,1,z表示vi,1的第z个分量,vi,2,z表示vi,2的第z个分量,z=1,2,...,n;
通过不等式放缩得到:
Figure BDA0002109510000000062
Figure BDA0002109510000000063
其中,ηi,1,z表示ηi,1的第z个分量;
将公式(15)和公式(16)代入公式(14)得:
Figure BDA0002109510000000064
定义
Figure BDA0002109510000000065
能够得到:
Figure BDA0002109510000000066
其中,λmin表示矩阵
Figure BDA0002109510000000067
的最小特征值;
选取函数
Figure BDA0002109510000000068
将公式(6)代入
Figure BDA0002109510000000069
的导数:
Figure BDA00021095100000000610
若滑模微分器的输入不受噪声影响,则|(ωi,1,zi,1,z)|≤Πi,1,z,1,z=1,...,n;
Figure BDA00021095100000000611
其中,
Figure BDA00021095100000000612
Πi,1,z,1>0表示未知有界常数;选取Lyapunov函数
Figure BDA00021095100000000613
对U3求导:
Figure BDA0002109510000000071
构造全局的Lyapunov函数
Figure BDA0002109510000000072
对U求导并将公式(7)代入可得:
Figure BDA0002109510000000073
根据
Figure BDA0002109510000000074
的定义可知,
Figure BDA0002109510000000075
为给定常数,于是:
Figure BDA0002109510000000076
其中,ρi>0表示给定常数,r1为正常数,θip表示θi的第p个分量,
Figure BDA0002109510000000077
如果
Figure BDA0002109510000000078
可得
Figure BDA0002109510000000079
如果
Figure BDA00021095100000000710
可得
Figure BDA00021095100000000711
故:
Figure BDA00021095100000000712
进一步得到:
Figure BDA00021095100000000713
其中:
Figure BDA0002109510000000081
Figure BDA0002109510000000082
Figure BDA0002109510000000083
其中,λmax表示矩阵
Figure BDA0002109510000000084
的最大特征值,k2>0表示与惯性矩阵相关的给定常数;
故公式(25)改写为:
Figure BDA0002109510000000085
Figure BDA0002109510000000086
其中,0<π<1;
如果
Figure BDA0002109510000000087
公式(26)为
Figure BDA0002109510000000088
可知在有限时间
Figure BDA0002109510000000089
内,
Figure BDA00021095100000000810
如果
Figure BDA00021095100000000811
公式(27)为
Figure BDA00021095100000000812
则在有限时间
Figure BDA00021095100000000813
内,
Figure BDA00021095100000000814
其中,U(0)表示U在0时刻的状态;
Figure BDA00021095100000000815
表示U(0)的
Figure BDA00021095100000000816
次幂;
根据以上分析可得:
Figure BDA00021095100000000817
Figure BDA00021095100000000818
同时根据U的定义能够得知,
Figure BDA00021095100000000819
也有限时间
Figure BDA00021095100000000820
内实现;
由于
Figure BDA0002109510000000091
因此:
Figure BDA0002109510000000092
为了使跟随机械臂关节位置向量在有限时间内以期望的精度收敛到领导机械臂关节位置向量形成的凸包内,且闭环系统所有信号在有限时间内有界,控制增益需要满足下列不等式:
Figure BDA0002109510000000093
通过参数κi,1i,2i,1i,1调整包容控制的误差收敛区域,保证收敛到具有较小半径的域内;
如果αi,1不受噪声的影响,则Πi,1,z,1=0,z=1,...,n;
如果系统动态已知,θi是已知项,利用
Figure BDA0002109510000000094
在有限时间内可得EF=0,且所有信号在闭环系统中都是稳定的;若φi,1=0,φi,2=0,ψi,1=0,则EF和闭环系统都是渐近收敛的;
当选择υL={N+1},在有限时间内自适应有限时间命令滤波反步控制方法使跟随机械臂关节位置向量与领导机械臂关节位置向量的一致性跟踪误差收敛到原点的任意可调节的邻域内,且在有限的时间内闭环系统所有信号有界。
本发明具有如下优点:
(1)与多机械系统的有限时间同步控制策略相比,本发明提出了一种新的自适应有限时间命令滤波反步方法,既能保证有限时间收敛,又能减小不确定参数和未知动态的影响。
(2)与使用终端滑模的多机械臂系统有限时间同步协议相比,本发明方法建立了连续虚拟控制信号和驱动力矩,从而避免了抖振现象。
(3)与非线性动态面方法相比,本发明方法给出了仅依赖于邻域信息的误差补偿机制,以消除应用滑模微分器产生的滤波误差。此外,在反步的第二步控制设计中,运用滑模微分器可以保证其输出快速逼近虚拟信号的导数,从而达到预期的跟踪性能。
附图说明
图1为本发明中多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法的流程图。
图2为本发明方法的多机械臂系统的通信拓扑图。
图3为本发明方法的跟随机械臂关节位置和领导机械臂关节位置的运动曲线图。
图4为本发明方法的跟随机械臂关节位置向量的局部跟踪误差图。
图5为本发明方法的命令滤波器的输入信号和输出信号的响应图。
图6为本发明方法与不考虑误差补偿的自适应有限时间命令滤波反步的对比示意图。
图7为本发明方法与传统命令滤波反步的对比示意图。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明:
如图1所示,多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法,包括如下步骤:
设定多机械臂系统具有N个跟随机械臂和M个领导机械臂。
其中,跟随机械臂集υF={1,...,N},领导机械臂集υL={N+1,...,N+M}。
N个跟随机械臂和M个领导机械臂之间的通信拓扑结构关系由有向图
Figure BDA00021095100000001010
表示。
其中,节点集υ={1,2,...,N+M},边集
Figure BDA0002109510000000101
定义邻接矩阵A=[amn]∈R(N+M)×(N+M)
其中,amn表示边的权重,R(N+M)×(N+M)表示矩阵维数为(N+M)×(N+M)维。
若存在有向边(m,n)∈ε,则节点n称为节点m的父节点,节点m称为节点n的子节点。
节点m的邻居节点集合为Nm={n|(n,m)∈ε},若(n,m)∈ε,amn>0,
Figure BDA0002109510000000102
amn=0。
此外,邻接矩阵A对角线元素均为0。
定义有向图
Figure BDA00021095100000001011
的拉普拉斯矩阵为L=[lmn]∈R(N×M)(N×M);其中,lmn=-amn
Figure BDA0002109510000000103
有向图
Figure BDA00021095100000001012
的s个节点间的有向路径是具有边的序列(k1,k2),(k2,k3),...,(ks-1,ks)。
假设第i个跟随机械臂系统的模型为:
Figure BDA0002109510000000104
式中,qi∈Rn为关节位置向量;Mi(qi)∈Rn×n为对称惯性矩阵;
Figure BDA0002109510000000105
为向心力矩和科里奥利力矩矩阵;Gi(qi)∈Rn为重力项;τi∈Rn为驱动力矩。
Rn表示向量维数为n维;Rn×n表示矩阵维数为n×n维。
性质1:0<k1In<Mi(qi)<k2In,其中,k1>0,k2>0均表示与惯性矩阵相关的给定常数。
性质2:第i个跟随机械臂系统的不确定动态由参数向量θi∈Rr1线性化表示:
Figure BDA0002109510000000106
其中:
Figure BDA0002109510000000107
是动态回归矩阵,
Figure BDA0002109510000000108
是可微的向量,
Figure BDA0002109510000000109
是ξi的导数,r1为正常数。
性质3:
Figure BDA0002109510000000111
是斜对称矩阵,即:
对任意的q,
Figure BDA0002109510000000112
和x∈Rn
Figure BDA0002109510000000113
考虑领导机械臂关节位置向量为qj∈Rn,j∈vL,假设qj,
Figure BDA0002109510000000114
是已知,光滑且有界的信号。
假设1:领导机械臂没有邻居节点,跟随机械臂之间的通信是无向的。
此外,对于每个跟随机械臂,至少存在一个领导机械臂到跟随机械臂有一个有向路径。
当拉普拉斯矩阵L满足假设1时可改写为:
Figure BDA0002109510000000115
其中,L1∈RN×N,L2∈RN×M,0M×N表示M×N维0矩阵,0M×M表示M×M维0矩阵。
定义
Figure BDA0002109510000000116
Ni表示第i个跟随机械臂邻居节点集合,i∈υF
引理1:根据假设1,L1是正定的,
Figure BDA0002109510000000117
是非负的,
Figure BDA0002109510000000118
的行和为1。
定义1:
Figure BDA0002109510000000119
如果x,y∈K,θ∈[0,1],(1-θ)x+θy∈K。有限点集X={x1,x2,..,xn}的凸包Co{X}是包含X所有点的最小凸集,
Figure BDA00021095100000001110
引理2:假定存在一个连续正定的函数U(t),满足
Figure BDA00021095100000001111
其中,λ1>0,λ2>0,0<ι<1均表示常数,t0≥0表示初始时刻,则:
U(t)在有限时间
Figure BDA00021095100000001112
内收敛到平衡点。
引理3:存在μ>0,ε>0,δ(x,y)>0满足:
Figure BDA00021095100000001113
引理4:存在xz∈R,z=1,2,...,n,0<Λ≤1满足:
Figure BDA00021095100000001114
下面构造多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法,使跟随机械臂关节向量qi能够在有限时间内收敛到领导机械臂关节位置向量qj形成的凸包。
在反步控制方法的每一步中都将采用下面的滑模微分器作为命令滤波器:
Figure BDA00021095100000001115
其中,ri,1,z表示滑模微分器参数,ri,2,z表示滑模微分器参数,αi,1,z表示虚拟控制信号αi,1的第z个分量,ωi,1,z表示滑模微分器的状态;ωi,2,z表示滑模微分器的状态,z=1,2,...,n,sign表示符号函数;ιi,2=[ωi,1,1,...,ωi,1,n]T作为第i个跟随机械臂所使用滑模微分器的输出,虚拟控制信号αi,1作为第i个跟随机械臂所使用滑模微分器的输入。
引理5:若滑模微分器的输入不受噪声影响,即αi,1,z=αi,1,z,0,则存在常数增益ri,1,z>0,ri,2,z>0使得:ωi,1,z=αi,1,z,0,
Figure BDA0002109510000000121
在有限时间满足。
若输入噪声满足|αi,1,zi,1,z,0|≤κi,1,z,则下列不等式可在有限时间内满足:
Figure BDA0002109510000000122
其中κi,1,z>0,ui,1,z,1>0,λi,1,z,1>0均为常数。
由于命令滤波器的有限时间收敛性质,它可以保证ωi,1,z
Figure BDA0002109510000000123
可以更快的近似αi,1,z
Figure BDA0002109510000000124
在包容控制设计中,定义以下仅依赖于相邻信息的局部跟踪误差:
Figure BDA0002109510000000125
其中,ei,1表示局部跟踪误差向量;
ei,2表示关节速度向量与滑模微分器输出向量的误差;
qc表示跟随机械臂集合中与qi有通信连接的跟随机械臂的关节位置向量;
qw表示领导机械臂集合中与qi有通信连接的领导机械臂的关节位置向量。
定义
Figure BDA0002109510000000126
其中,
Figure BDA0002109510000000127
分别表示每个跟随机械臂局部跟踪误差向量的转置;
Figure BDA0002109510000000128
分别表示每个跟随机械臂关节位置向量的转置;
Figure BDA0002109510000000129
分别表示每个领导机械臂关节位置向量的转置。
Figure BDA00021095100000001210
其中,L1是对称正定的,L2表示拉普拉斯矩阵的对应分量。
定义
Figure BDA00021095100000001211
其中
Figure BDA00021095100000001212
分别表示每个跟随机械臂对应的集合跟踪向量的转置。
如果||EF||→0,即QF→Qd确保有限时间内满足,则qi∈υF有限时间到达Co{qj,j∈υL},即跟随机械臂关节位置向量在有限时间到达领导机械臂关节位置向量形成的凸包内。
其中,Co表示领导机械臂关节位置向量qj形成的凸包。
由公式(3)构造虚拟控制信号αi,1和驱动力矩τi为:
Figure BDA0002109510000000131
其中,κi,1>0,κi,2>0,φi,1>0,φi,2>0且为常数增益;
Figure BDA0002109510000000132
为奇数。
Figure BDA0002109510000000133
表示动态回归矩阵,
Figure BDA0002109510000000134
表示自适应更新律。
在公式(4)中,
Figure BDA0002109510000000135
其中,ηc,1表示跟随机械臂集合中与qi有通信连接的第c个跟随机械臂的误差补偿向量;
lic为拉普拉斯矩阵的对应分量。
选取误差补偿信号:
Figure BDA0002109510000000136
其中,ηi,1(0)=0,ψi,1>0为常数增益。
自适应更新律
Figure BDA0002109510000000137
为:
Figure BDA0002109510000000138
其中,ρi>0,Γi是正定对称矩阵。
选择虚拟控制信号αi,1、驱动力矩τi和自适应更新律
Figure BDA0002109510000000139
使跟随机械臂关节位置向量在有限时间内以期望的精度收敛到领导机械臂关节位置向量形成的凸包内。
选取Lyapunov函数:
Figure BDA00021095100000001310
其中,
Figure BDA00021095100000001311
In表示单位矩阵。
则有:
Figure BDA00021095100000001312
其中,
Figure BDA00021095100000001313
表示集合跟踪向量的导数,vi,1表示局部跟踪误差向量与误差补偿信号的差。
将公式(9)代入αi,1
Figure BDA00021095100000001314
得:
Figure BDA0002109510000000141
其中,vi,2=ei,2表示关节速度向量与滑模微分器输出向量的差。
选取Lyapunov函数:
Figure BDA0002109510000000142
对U2求导:
Figure BDA0002109510000000143
由性质2和性质3,进一步得到:
Figure BDA0002109510000000144
定义
Figure BDA0002109510000000145
将τi代入(13)可得:
Figure BDA0002109510000000146
其中,θi表示不确定动态参数向量,
Figure BDA0002109510000000147
表示θi的估计,vi,1,z表示vi,1的第z个分量,vi,2,z表示vi,2的第z个分量。由引理3得到:
Figure BDA0002109510000000148
Figure BDA0002109510000000149
其中,ηi,1,z表示ηi,1的第z个分量。
将公式(15)和公式(16)代入公式(14)得:
Figure BDA0002109510000000151
定义
Figure BDA0002109510000000152
能够得到:
Figure BDA0002109510000000153
其中,λmin表示矩阵
Figure BDA0002109510000000154
的最小特征值;
选取函数
Figure BDA0002109510000000155
将公式(6)代入
Figure BDA0002109510000000156
的导数:
Figure BDA0002109510000000157
若滑模微分器的输入不受噪声影响,则|(ωi,1,zi,1,z)|≤Πi,1,z,1,z=1,...,n。
Figure BDA0002109510000000158
其中,
Figure BDA0002109510000000159
Πi,1,z,1>0表示未知有界常数。
选取Lyapunov函数
Figure BDA00021095100000001510
对其求导:
Figure BDA00021095100000001511
构造全局的Lyapunov函数
Figure BDA00021095100000001512
对其求导并将公式(7)代入可得:
Figure BDA0002109510000000161
根据
Figure BDA0002109510000000162
的定义可知,
Figure BDA0002109510000000163
为给定常数,于是:
Figure BDA0002109510000000164
其中,ρi>0表示给定常数,θip表示θi的第p个分量,
Figure BDA0002109510000000165
如果
Figure BDA0002109510000000166
可得
Figure BDA0002109510000000167
如果
Figure BDA0002109510000000168
可得
Figure BDA0002109510000000169
故:
Figure BDA00021095100000001610
根据引理4,进一步得到:
Figure BDA00021095100000001611
其中:
Figure BDA00021095100000001612
Figure BDA00021095100000001613
Figure BDA00021095100000001614
其中,λmax表示矩阵
Figure BDA0002109510000000171
的最大特征值,k2>0表示与惯性矩阵相关的给定常数。
故公式(25)改写为:
Figure BDA0002109510000000172
Figure BDA0002109510000000173
其中,0<π<1。
如果
Figure BDA0002109510000000174
公式(26)为
Figure BDA0002109510000000175
根据引理2,可知在有限时间
Figure BDA0002109510000000176
内,
Figure BDA0002109510000000177
如果
Figure BDA0002109510000000178
公式(27)为
Figure BDA0002109510000000179
则在有限时间
Figure BDA00021095100000001710
内,
Figure BDA00021095100000001711
其中,U(0)表示U在0时刻的状态;
Figure BDA00021095100000001712
表示U(0)的
Figure BDA00021095100000001713
次幂。
根据以上分析可得:
Figure BDA00021095100000001714
Figure BDA00021095100000001715
同时根据U的定义可知
Figure BDA00021095100000001716
也有限时间
Figure BDA00021095100000001717
内实现。
由于
Figure BDA00021095100000001718
因此:
Figure BDA00021095100000001719
由于
Figure BDA00021095100000001720
因此:
Figure BDA0002109510000000181
为了使跟随机械臂关节位置向量在有限时间内以期望的精度收敛到领导机械臂关节位置向量形成的凸包内,且闭环系统所有信号在有限时间内有界,控制增益需要满足下列不等式:
Figure BDA0002109510000000182
通过参数κi,1i,2i,1i,1调整包容控制的误差收敛区域,保证收敛到具有较小半径的域内;
如果αi,1不受噪声的影响,则Πi,1,z,1=0,z=1,...,n。
如果系统动态已知,θi是已知项,利用
Figure BDA0002109510000000183
在有限时间内可得EF=0,且所有信号在闭环系统中都是稳定的;若φi,1=0,φi,2=0,ψi,1=0,则EF和闭环系统都是渐近收敛的。
当选择υL={N+1},在有限时间内自适应有限时间命令滤波反步控制方法使跟随机械臂关节位置向量与领导机械臂关节位置向量的一致性跟踪误差收敛到原点的任意可调节的邻域内,在有限的时间内闭环系统所有信号有界。
下面对本发明方法提出的自适应有限时间命令滤波反步控制方法进行验证。
本发明实施例中多机械臂系统具有3个跟随机械臂和2个领导机械臂。
图2表明跟随机械臂与领导机械臂之间的通信,其中:
①表示跟随机械臂1,②表示跟随机械臂2,③表示跟随机械臂3;
④表示领导机械臂4,⑤表示领导机械臂5。
假设每个跟踪机械臂的动力学模型为两连杆机械臂的动力学模型。
对每个跟随机械臂,惯性矩阵Mt(qt)=[Mtmn]∈R2×2和矩阵
Figure BDA0002109510000000184
定义为:
Figure BDA0002109510000000185
Figure BDA0002109510000000186
Figure BDA0002109510000000191
其中mt,1,mt,2为连杆质量,It,1,It,2为惯性时间,Lt,1,Lt,2为连杆的长度,Lt,c1,Lt,c2为连杆的质心,重力项Gt(qt)简化为0,t=1,2,3。
令ιt,2=(ιt,2,1t,2,2)∈R2,由性质2知,θt=(αt,1t,,2t,,3)∈R3
回归量矩阵:
Figure BDA0002109510000000192
机械臂的参数选取为:
Figure BDA0002109510000000193
系统初始条件为:
Figure BDA0002109510000000194
领导机械臂关节位置输出为:
q4(t)=(2*sin(t)+2,2*cos(t)+2)T,q5(t)=(2*sin(t)+3,2*cos(t)+3)T
误差补偿机制的参数选取为:
Figure BDA0002109510000000195
图3-图4给出了q1,q2,q3,q4,q5,e1,1,e2,1,e3,1的曲线,能看出跟随机械臂关节位置最终收敛于领导机械臂关节位置形成的凸包内,且具有足够的精度,保证了期望的跟踪误差。
图5给出了α1,12,13,1和ι1,22,23,2的曲线,反应了命令滤波器的快速收敛性能。
为了进一步检验本发明的有效性,还对比了带有误差补偿机制与不带误差补偿机制的控制算法的性能,选取整体跟踪误差||[e1,1,e2,1,e3,1]T||进行控制性能对比。
图6是不含误差补偿机制的整体误差的情况。
结果表明带有误差补偿机制可以获得更好的暂态性能。考虑具有误差补偿机制但是只考虑渐近收敛的命令滤波反步控制算法,控制参数选取为如下几种情况:
κ1,1=15,κ1,2=15,φ1,1=0,φ1,2=0,ψ1,1=0,r1,1,1=40,r1,1,2=40,r1,2,1=40,r1,2,2=40,Γ1=diag{0.1,0.1,0.1},ρ1=1;
κ2,1=15,κ2,2=15,φ2,1=0,φ2,2=0,ψ2,1=0,r2,1,1=40,r2,1,2=40,r2,2,1=40,r2,2,2=40,Γ2=diag{0.1,0.1,0.1},ρ2=1;
κ3,1=15,κ3,2=15,φ3,1=0,φ3,2=0,ψ3,1=0,r3,1,1=40,r3,1,2=40,r3,2,1=40,r3,2,2=40,Γ3=diag{0.1,0.1,0.1},ρ3=1;
κ1,1=20,κ1,2=20,φ1,1=0,φ1,2=0,ψ1,1=0,r1,1,1=40,r1,1,2=40,r1,2,1=40,r1,2,2=40,Γ1=diag{0.1,0.1,0.1},ρ1=1;
κ2,1=20,κ2,2=20,φ2,1=0,φ2,2=0,ψ2,1=0,r2,1,1=40,r2,1,2=40,r2,2,1=40,r2,2,2=40,Γ2=diag{0.1,0.1,0.1},ρ2=1;
κ3,1=20,κ3,2=20,φ3,1=0,φ3,2=0,ψ3,1=0,r3,1,1=40,r3,1,2=40,r3,2,1=40,r3,2,2=40,Γ3=diag{0.1,0.1,0.1},ρ3=1;
κ1,1=30,κ1,2=30,φ1,1=0,φ1,2=0,ψ1,1=0,r1,1,1=40,r1,1,2=40,r1,2,1=40,r1,2,2=40,Γ1=diag{0.1,0.1,0.1},ρ1=1;
κ2,1=30,κ2,2=30,φ2,1=0,φ2,2=0,ψ2,1=0,r2,1,1=40,r2,1,2=40,r2,2,1=40,r2,2,2=40,Γ2=diag{0.1,0.1,0.1},ρ2=1;
κ3,1=30,κ3,2=30,φ3,1=0,φ3,2=0,ψ3,1=0,r3,1,1=40,r3,1,2=40,r3,2,1=40,r3,2,2=40,Γ3=diag{0.1,0.1,0.1},ρ3=1。
图7为本发明中自适应有限时间命令滤波反步控制方法和传统命令滤波反步的对比示意图,结果表明本发明控制方法不仅能快速收敛,并且具有更好的跟踪性能。
当然,以上说明仅仅为本发明的较佳实施例,本发明并不限于列举上述实施例,应当说明的是,任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下,所做出的所有等同替代、明显变形形式,均落在本说明书的实质范围之内,理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法,其特征在于,
包括如下步骤:
设定多机械臂系统具有N个跟随机械臂和M个领导机械臂,跟随机械臂集υF={1,...,N},领导机械臂集υL={N+1,...,N+M};
N个跟随机械臂和M个领导机械臂之间的通信拓扑结构关系由有向图
Figure FDA0002499435900000011
表示;
其中,节点集υ={1,2,...,N+M},边集
Figure FDA0002499435900000017
定义邻接矩阵A=[amn]∈R(N+M)×(N+M)
其中,amn表示边的权重,R(N+M)×(N+M)表示矩阵维数为(N+M)×(N+M)维;
若存在有向边(m,n)∈ε,则节点n称为节点m的父节点,节点m称为节点n的子节点;
节点m的邻居节点集合为Nm={n|(n,m)∈ε},若(n,m)∈ε,amn>0,
Figure FDA0002499435900000012
amn=0;
邻接矩阵A对角线元素均为0;
定义有向图
Figure FDA0002499435900000018
的拉普拉斯矩阵为L=[lmn]∈R(N×M)(N×M),lmn=-amn
Figure FDA0002499435900000013
有向图
Figure FDA0002499435900000019
的s个节点间的有向路径是具有边的序列(k1,k2),(k2,k3),...,(ks-1,ks);
假设第i个跟随机械臂系统的模型为:
Figure FDA0002499435900000014
式中,qi∈Rn为跟随机械臂关节位置向量;Mi(qi)∈Rn×n为对称惯性矩阵;
Figure FDA0002499435900000015
为向心力矩和科里奥利力矩矩阵;Gi(qi)∈Rn为重力项;τi∈Rn为驱动力矩;
Rn表示向量维数为n维,Rn×n表示矩阵维数为n×n维;
定义领导机械臂关节位置向量为qj∈Rn,j∈vL
下面构造多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法,使跟随机械臂关节位置向量qi能够在有限时间内收敛到领导机械臂关节位置向量qj形成的凸包;
在反步控制方法的每一步中都将采用下面的滑模微分器作为命令滤波器:
Figure FDA0002499435900000016
其中,ri,1,z表示滑模微分器参数,ri,2,z表示滑模微分器参数;αi,1,z表示虚拟控制信号αi,1的第z个分量,z=1,2,...,n;ωi,1,z表示滑模微分器的状态,ωi,2,z表示滑模微分器的状态;sign表示符号函数;ιi,2=[ωi,1,1,...,ωi,1,n]T作为第i个跟随机械臂所使用滑模微分器的输出;虚拟控制信号αi,1作为第i个跟随机械臂所使用滑模微分器的输入;
在包容控制设计中,定义以下仅依赖于相邻信息的局部跟踪误差:
Figure FDA0002499435900000021
其中,ei,1表示局部跟踪误差向量;ei,2表示关节速度向量与滑模微分器输出向量的误差;
qc表示跟随机械臂集合中与qi有通信连接的跟随机械臂的关节位置向量;qw表示领导机械臂集合中与qi有通信连接的领导机械臂的关节位置向量;
定义
Figure FDA0002499435900000022
Ni表示第i个跟随机械臂邻居节点集合,i∈υF
定义
Figure FDA0002499435900000023
其中
Figure FDA0002499435900000024
分别表示每个跟随机械臂局部跟踪误差向量的转置,
Figure FDA0002499435900000025
分别表示每个跟随机械臂关节位置向量的转置,
Figure FDA0002499435900000026
分别表示每个领导机械臂关节位置向量的转置;
Figure FDA0002499435900000027
其中,L1是对称正定的,L2表示拉普拉斯矩阵的对应分量;
定义
Figure FDA0002499435900000028
其中,
Figure FDA0002499435900000029
分别表示每个跟随机械臂对应的集合跟踪向量的转置;
如果||EF||→0,即QF→Qd确保有限时间内满足,则qi∈υF有限时间到达Co{qj,j∈υL},即跟随机械臂关节位置向量qi在有限时间到达领导机械臂关节位置向量qj形成的凸包内;
其中,Co表示领导机械臂关节位置向量qj形成的凸包;
由公式(3)构造虚拟控制信号αi,1和驱动力矩τi为:
Figure FDA00024994359000000210
其中,κi,1>0,κi,2>0,φi,1>0,φi,2>0均为常数增益;
Figure FDA00024994359000000211
为奇数;
Figure FDA0002499435900000031
表示动态回归矩阵,
Figure FDA0002499435900000032
表示自适应更新律;
在公式(4)中,
Figure FDA0002499435900000033
其中,ηc,1表示跟随机械臂集合中与qi有通信连接的第c个跟随机械臂的误差补偿向量;
lic为拉普拉斯矩阵的对应分量;
选取误差补偿信号:
Figure FDA0002499435900000034
其中,ηi,1(0)=0,ψi,1>0为常数增益;
自适应更新律
Figure FDA0002499435900000035
为:
Figure FDA0002499435900000036
其中,ρi>0,Γi是正定对称矩阵;
选择虚拟控制信号αi,1、驱动力矩τi和自适应更新律
Figure FDA00024994359000000314
使跟随机械臂关节位置向量在有限时间内以期望的精度收敛到领导机械臂关节位置向量形成的凸包内;
选取Lyapunov函数:
Figure FDA0002499435900000037
其中,
Figure FDA0002499435900000038
In表示单位矩阵;
则有:
Figure FDA0002499435900000039
其中,
Figure FDA00024994359000000310
表示集合跟踪向量的导数,vi,1表示局部跟踪误差向量与误差补偿信号的差;
将公式(9)代入αi,1
Figure FDA00024994359000000311
得:
Figure FDA00024994359000000312
其中,vi,2=ei,2表示关节速度向量与滑模微分器输出向量的差;
选取Lyapunov函数:
Figure FDA00024994359000000313
对U2求导:
Figure FDA0002499435900000041
第i个跟随机械臂系统的不确定动态由参数向量θi∈Rr1线性化表示:
Figure FDA0002499435900000042
其中:
Figure FDA0002499435900000043
是动态回归矩阵,
Figure FDA0002499435900000044
是可微的向量,
Figure FDA0002499435900000045
是ξi的导数,r1为正常数;
Figure FDA0002499435900000046
是斜对称矩阵,即对任意的q,
Figure FDA0002499435900000047
和x∈Rn有:
Figure FDA0002499435900000048
根据以上内容,进一步得到:
Figure FDA0002499435900000049
定义
Figure FDA00024994359000000410
将τi代入公式(13)能够得到:
Figure FDA00024994359000000411
其中,θi表示不确定动态参数向量,
Figure FDA00024994359000000412
表示θi的估计;
vi,1,z表示参数vi,1的第z个分量,vi,2,z表示参数vi,2的第z个分量,z=1,2,...,n;
通过不等式放缩得到:
Figure FDA00024994359000000413
Figure FDA00024994359000000414
其中,ηi,1,z表示ηi,1的第z个分量;
将公式(15)和公式(16)代入公式(14)得:
Figure FDA00024994359000000415
定义
Figure FDA0002499435900000051
能够得到:
Figure FDA0002499435900000052
其中,λmin表示矩阵
Figure FDA0002499435900000053
的最小特征值;
选取函数
Figure FDA0002499435900000054
将公式(6)代入
Figure FDA0002499435900000055
的导数:
Figure FDA0002499435900000056
若滑模微分器的输入不受噪声影响,则|(ωi,1,zi,1,z)|≤Πi,1,z,1,z=1,...,n;
Figure FDA0002499435900000057
其中,
Figure FDA0002499435900000058
Πi,1,z,1>0表示未知有界常数;
选取Lyapunov函数
Figure FDA0002499435900000059
对U3求导:
Figure FDA00024994359000000510
构造全局的Lyapunov函数
Figure FDA00024994359000000511
对U求导并将公式(7)代入能够得到:
Figure FDA00024994359000000512
根据
Figure FDA00024994359000000513
的定义能够得知,
Figure FDA00024994359000000514
为给定常数,于是:
Figure FDA0002499435900000061
其中,ρi>0表示给定常数,r1为正常数,θip表示θi的第p个分量,
Figure FDA0002499435900000062
如果
Figure FDA0002499435900000063
能够得到
Figure FDA0002499435900000064
如果
Figure FDA0002499435900000065
能够得到
Figure FDA0002499435900000066
故:
Figure FDA0002499435900000067
进一步得到:
Figure FDA0002499435900000068
其中:
Figure FDA0002499435900000069
Figure FDA00024994359000000610
Figure FDA00024994359000000611
其中,λmax表示矩阵
Figure FDA00024994359000000612
的最大特征值,k2>0表示与惯性矩阵相关的给定常数;
故公式(25)改写为:
Figure FDA00024994359000000613
Figure FDA00024994359000000614
其中,0<π<1;
如果
Figure FDA00024994359000000615
公式(26)为
Figure FDA00024994359000000616
能够得知在有限时间
Figure FDA0002499435900000071
内,
Figure FDA0002499435900000072
如果
Figure FDA0002499435900000073
公式(27)为
Figure FDA0002499435900000074
能够得知在有限时间
Figure FDA0002499435900000075
内,
Figure FDA0002499435900000076
其中,U(0)表示U在0时刻的状态;
Figure FDA0002499435900000077
表示U(0)的
Figure FDA0002499435900000078
次幂;
根据以上分析能够得到:
Figure FDA0002499435900000079
Figure FDA00024994359000000710
同时根据U的定义能够得知,
Figure FDA00024994359000000711
也有限时间
Figure FDA00024994359000000712
内实现;
由于
Figure FDA00024994359000000713
因此:
Figure FDA00024994359000000714
为了使跟随机械臂关节位置向量在有限时间内以期望的精度收敛到领导机械臂关节位置向量形成的凸包内,且闭环系统所有信号在有限时间内有界,控制增益需要满足下列不等式:
Figure FDA00024994359000000715
通过参数κi,1i,2i,1i,1调整包容控制的误差收敛区域,保证收敛到具有较小半径的域内;
如果αi,1不受噪声的影响,则Πi,1,z,1=0,z=1,...,n;
如果系统动态已知,θi是已知项,利用
Figure FDA00024994359000000716
在有限时间内能够得到EF=0,且所有信号在闭环系统中都是稳定的;若φi,1=0,φi,2=0,ψi,1=0,则EF和闭环系统都是渐近收敛的;
当选择υL={N+1},在有限时间内自适应有限时间命令滤波反步控制方法使跟随机械臂关节位置向量与领导机械臂关节位置向量的一致性跟踪误差收敛到原点的任意可调节的邻域内,且在有限的时间内闭环系统所有信号有界。
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