CN110193833B - 多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法。该方法包括构建有限时间命令滤波器、虚拟控制信号、自适应更新律和误差补偿机制等过程。本发明方法不仅可以避免传统反步法造成的计算复杂性问题，还可以确保系统在含有不确定参数和未知动态下，集合跟踪误差有限时间收敛到期望邻域内。此外，运用误差补偿信号可以消除命令滤波产生的误差，进一步提高控制性能。由于虚拟信号和误差补偿机制只使用每个机械臂的邻域信息，因此本发明方法完全是分布式的，仿真结果进一步表明本发明方法的有效性。

Description

多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法

技术领域

本发明涉及一种多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法。

背景技术

多机械系统协同控制由于其成本低、效率高且在工业应用中具有多功能性等优点，被视为重要的研究领域，同步问题在多机械系统协同控制中具有重要意义。

已有的多机械系统同步控制方法主要适用于解决无领导者的同步问题或者领导者与跟随者的同步问题。近年来，人们对建立不同机械系统的包容控制协议越来越感兴趣，该协议保证跟随者的状态最终收敛于领导者的状态形成的凸包中。例如，文献1研究了由有向图描述下不确定多欧拉-拉格朗日系统的包容控制；文献2针对网络化柔性关节机器人系统提出了一种分布式自适应包容控制方案。然而，上述各篇文献均只具有渐近收敛速度。

位置或姿态的快速同步是多机械系统在工业或其他应用中的重要指标，因此有限时间收敛控制器是工程师更期望的控制器。最近，众多学者给出了多机械系统的不同的有限时间同步协议。例如，文献3利用齐次方法研究多个机械手的有限时间同步问题；文献4利用加幂积分方法研究多个航天器姿态的有限时间同步问题。然而，当考虑参数不确定性和系统具有的未知的非线性动态，文献3和文献4的结果不能直接应用于欧拉-拉格朗日系统。

当系统受到不确定因素的影响时，终端滑模控制仍能保证闭环系统具有有限时间收敛性。例如，文献5建立了基于终端滑模控制的多机械系统有限时间同步协议，但是如何避免终端滑模控制的抖振问题并没有被考虑，这将影响其在实际工程中的应用。

对于不确定非线性多智能体系统，基于动态面控制的分布式自适应技术被视为一种有效的基于反步的控制算法，能够避免传统反步的计算复杂性问题。例如，文献6通过动态面控制考虑了多四旋翼系统的分布式协同控制问题，文献7提出了一种不确定高阶非线性多智能体系统的自适应包容控制方法，但使用的低通滤波器可能会带来误差，影响控制性能。

命令滤波反步仍然是一种基于反步法的控制方法，可以通过应用命令滤波来避免计算复杂性问题。此外，命令滤波反步采用误差补偿机制对滤波误差进行补偿，以提高控制性能。文献8利用命令滤波反步讨论了非线性多智能体的一致性跟踪问题，但只实现了渐近收敛。

现有技术文献：

非专利文献

文献1：Mei J,Ren W,Ma G,Distributed containment control for Lagrangiannetworks with parametric uncertainties under a directed graph,Automatica,2012,4(4):653-659；

文献2：Yoo S,Distributed adaptive containment control of networkedflexible-joint robots using neural networks,Expert Syst.Appl.,2014,41:470-477；

文献3：Zhang B,Jia Y,Finite-time synchronous control for multiplemanipulators with sensor saturations and a constant reference,IEEETrans.Control Syst.Technol.,2014,22(3):1159-1165；

文献4：Zhou J,Hu Q,Friswell M,Decentralized finite time attitudesynchronization control of satellite formation flying,J.Guidance ControlDynam.,2013,36(1):185-195；

文献5：Zou A,Kumar K,Distributed attitude coordination control forspacecraft formation flying,IEEE Trans.Aero.Elec.Sys.,2012,48(2):1329-1346；

文献6：Wang Y,Wu Q,Wang Y,Distributed cooperative control for multiplequadrotor systems via dynamic surface control,Nonlinear Dyn.,2013,75(3):513-527；

文献7：Yoo S,Distributed adaptive containment control of uncertainnonlinear multi-agent systems in strict-feedback form,Automatica,2013,49(7):2145-2153；

文献8：Shen Q,Shi P,Distributed command filtered backsteppingconsensus tracking control of nonlinear multiple-agent systems in strict-feedback form,Automatica,2015,53:120-124。

发明内容

本发明的目的在于提出一种多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，以解决参数不确定多机械臂系统的同步控制问题。

本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，包括如下步骤：

设定多机械臂系统具有N个跟随机械臂和M个领导机械臂，跟随机械臂集υ_F＝{1,...,N}，领导机械臂集υ_L＝{N+1,...,N+M}；

N个跟随机械臂和M个领导机械臂之间的通信拓扑结构关系由有向图

表示；

其中，节点集υ＝{1,2,...,N+M}，边集

定义邻接矩阵A＝[a_mn]∈R^(N+M)×(N+M)；

其中，a_mn表示边的权重，R^(N+M)×(N+M)表示矩阵维数为(N+M)×(N+M)维；

若存在有向边(m,n)∈ε，则节点n称为节点m的父节点，节点m称为节点n的子节点；

节点m的邻居节点集合为N_m＝{n|(n,m)∈ε}，若(n,m)∈ε,a_mn＞0，

a_mn＝0；

此外，邻接矩阵A对角线元素均为0；

定义有向图

的拉普拉斯矩阵为L＝[l_mn]∈R^(N×M)(N×M)，l_mn＝-a_mn，

有向图

的s个节点间的有向路径是具有边的序列(k₁,k₂),(k₂,k₃),...,(k_s-1,k_s)；

假设第i个跟随机械臂系统的模型为：

式中，q_i∈Rⁿ为跟随机械臂关节位置向量；M_i(q_i)∈R^n×n为对称惯性矩阵；

为向心力矩和科里奥利力矩矩阵；G_i(q_i)∈Rⁿ为重力项；τ_i∈Rⁿ为驱动力矩；

Rⁿ表示向量维数为n维，R^n×n表示矩阵维数为n×n维；

定义领导机械臂关节位置向量为q_j∈Rⁿ,j∈v_L；

下面构造多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，使跟随机械臂关节位置向量q_i能够在有限时间内收敛到领导机械臂关节位置向量q_j形成的凸包，i∈υ_F，j∈υ_L；

在反步控制方法的每一步中都将采用下面的滑模微分器作为命令滤波器：

其中，r_i,1,z表示滑模微分器参数，r_i,2,z表示滑模微分器参数，α_i,1,z表示虚拟控制信号α_i,1的第z个分量，ω_i,1,z表示滑模微分器的状态；ω_i,2,z表示滑模微分器的状态，z＝1,2,...,n，sign表示符号函数；ι_i,2＝[ω_i,1,1,...,ω_i,1,n]^T作为第i个跟随机械臂所使用滑模微分器的输出，虚拟控制信号α_i,1作为第i个跟随机械臂所使用滑模微分器的输入；

在包容控制设计中，定义以下仅依赖于相邻信息的局部跟踪误差：

其中，e_i,1表示局部跟踪误差向量；e_i,2表示关节速度向量与滑模微分器输出向量的误差；q_c表示跟随机械臂集合中与q_i有通信连接的跟随机械臂的关节位置向量；q_w表示领导机械臂集合中与q_i有通信连接的领导机械臂的关节位置向量；

定义

N_i表示第i个跟随机械臂邻居节点集合，i∈υ_F；

定义

N_i表示第i个跟随机械臂邻居节点集合，i∈υ_F；

定义

其中

分别表示每个跟随机械臂局部跟踪误差向量的转置，

分别表示每个跟随机械臂关节位置向量的转置，

分别表示每个领导机械臂关节位置向量的转置；

其中，L₁是对称正定的，L₂表示拉普拉斯矩阵的对应分量；

定义

其中，

分别表示每个跟随机械臂对应的集合跟踪向量的转置；

如果||E_F||→0，即Q_F→Q_d确保有限时间内满足，则q_i∈υ_F有限时间到达C_o{q_j,j∈υ_L}，即跟随机械臂关节位置向量q_i在有限时间到达领导机械臂关节位置向量q_j形成的凸包内；

其中，C_o表示领导机械臂关节位置向量q_j形成的凸包；

由公式(3)构造虚拟控制信号α_i,1和驱动力矩τ_i为：

其中，κ_i,1＞0,κ_i,2＞0,φ_i,1＞0,φ_i,2＞0且为常数增益；

为奇数；

表示动态回归矩阵，

表示自适应更新律；

在公式(4)中，

其中，η_c,1表示跟随机械臂集合中与q_i有通信连接的第c个跟随机械臂的误差补偿向量；

l_ic为拉普拉斯矩阵的对应分量；

选取误差补偿信号：

其中，η_i,1(0)＝0，ψ_i,1＞0为常数增益；

自适应更新律

为：

其中，ρ_i＞0，Γ_i是正定对称矩阵；

选择虚拟控制信号α_i，1、驱动力矩τ_i和自适应更新律

使跟随机械臂关节位置向量在有限时间内以期望的精度收敛到领导机械臂关节位置向量形成的凸包内；

选取Lyapunov函数：

其中，

I_n表示单位矩阵；

则有：

其中，

表示集合跟踪向量的导数，v_i,1表示局部跟踪误差向量与误差补偿信号的差；

其中，v_i,2＝e_i,2表示关节速度向量与滑模微分器输出向量的差；

选取Lyapunov函数：

对U₂求导：

进一步得到：

定义

将τ_i代入公式(13)可得：

其中，θ_i表示不确定动态参数向量，

表示θ_i的估计；

v_i,1,z表示v_i,1的第z个分量，v_i,2,z表示v_i,2的第z个分量，z＝1,2,...,n；

通过不等式放缩得到：

其中，η_i,1,z表示η_i,1的第z个分量；

将公式(15)和公式(16)代入公式(14)得：

定义

能够得到：

其中，λ_min表示矩阵

的最小特征值；

选取函数

将公式(6)代入

的导数：

若滑模微分器的输入不受噪声影响，则|(ω_i,1,z-α_i,1,z)|≤Π_i,1,z,1，z＝1,...,n；

其中，

Π_i,1,z,1＞0表示未知有界常数；选取Lyapunov函数

对U₃求导：

构造全局的Lyapunov函数

对U求导并将公式(7)代入可得：

根据

的定义可知，

为给定常数，于是：

其中，ρ_i＞0表示给定常数，r₁为正常数，θ_ip表示θ_i的第p个分量，

如果

可得

如果

可得

故：

进一步得到：

其中：

其中，λ_max表示矩阵

的最大特征值，k₂＞0表示与惯性矩阵相关的给定常数；

故公式(25)改写为：

其中，0＜π＜1；

如果

公式(26)为

可知在有限时间

内，

如果

公式(27)为

则在有限时间

内，

其中，U(0)表示U在0时刻的状态；

表示U(0)的

次幂；

根据以上分析可得：

同时根据U的定义能够得知，

也有限时间

内实现；

由于

因此：

为了使跟随机械臂关节位置向量在有限时间内以期望的精度收敛到领导机械臂关节位置向量形成的凸包内，且闭环系统所有信号在有限时间内有界，控制增益需要满足下列不等式：

通过参数κ_i,1,κ_i,2,φ_i,1,ψ_i,1调整包容控制的误差收敛区域，保证收敛到具有较小半径的域内；

如果α_i,1不受噪声的影响，则Π_i,1,z,1＝0，z＝1,...,n；

如果系统动态已知，θ_i是已知项，利用

在有限时间内可得E_F＝0，且所有信号在闭环系统中都是稳定的；若φ_i,1＝0,φ_i,2＝0,ψ_i,1＝0，则E_F和闭环系统都是渐近收敛的；

当选择υ_L＝{N+1}，在有限时间内自适应有限时间命令滤波反步控制方法使跟随机械臂关节位置向量与领导机械臂关节位置向量的一致性跟踪误差收敛到原点的任意可调节的邻域内，且在有限的时间内闭环系统所有信号有界。

本发明具有如下优点：

(1)与多机械系统的有限时间同步控制策略相比，本发明提出了一种新的自适应有限时间命令滤波反步方法，既能保证有限时间收敛，又能减小不确定参数和未知动态的影响。

(2)与使用终端滑模的多机械臂系统有限时间同步协议相比，本发明方法建立了连续虚拟控制信号和驱动力矩，从而避免了抖振现象。

(3)与非线性动态面方法相比，本发明方法给出了仅依赖于邻域信息的误差补偿机制，以消除应用滑模微分器产生的滤波误差。此外，在反步的第二步控制设计中，运用滑模微分器可以保证其输出快速逼近虚拟信号的导数，从而达到预期的跟踪性能。

附图说明

图1为本发明中多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法的流程图。

图2为本发明方法的多机械臂系统的通信拓扑图。

图3为本发明方法的跟随机械臂关节位置和领导机械臂关节位置的运动曲线图。

图4为本发明方法的跟随机械臂关节位置向量的局部跟踪误差图。

图5为本发明方法的命令滤波器的输入信号和输出信号的响应图。

图6为本发明方法与不考虑误差补偿的自适应有限时间命令滤波反步的对比示意图。

图7为本发明方法与传统命令滤波反步的对比示意图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

如图1所示，多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，包括如下步骤：

设定多机械臂系统具有N个跟随机械臂和M个领导机械臂。

其中，跟随机械臂集υ_F＝{1,...,N}，领导机械臂集υ_L＝{N+1,...,N+M}。

N个跟随机械臂和M个领导机械臂之间的通信拓扑结构关系由有向图

表示。

其中，节点集υ＝{1,2,...,N+M}，边集

定义邻接矩阵A＝[a_mn]∈R^(N+M)×(N+M)。

其中，a_mn表示边的权重，R^(N+M)×(N+M)表示矩阵维数为(N+M)×(N+M)维。

若存在有向边(m,n)∈ε，则节点n称为节点m的父节点，节点m称为节点n的子节点。

节点m的邻居节点集合为N_m＝{n|(n,m)∈ε}，若(n,m)∈ε,a_mn＞0,

a_mn＝0。

此外，邻接矩阵A对角线元素均为0。

定义有向图

的拉普拉斯矩阵为L＝[l_mn]∈R^(N×M)(N×M)；其中，l_mn＝-a_mn，

有向图

的s个节点间的有向路径是具有边的序列(k₁,k₂),(k₂,k₃),...,(k_s-1,k_s)。

假设第i个跟随机械臂系统的模型为：

式中，q_i∈Rⁿ为关节位置向量；M_i(q_i)∈R^n×n为对称惯性矩阵；

为向心力矩和科里奥利力矩矩阵；G_i(q_i)∈Rⁿ为重力项；τ_i∈Rⁿ为驱动力矩。

Rⁿ表示向量维数为n维；R^n×n表示矩阵维数为n×n维。

性质1：0＜k₁I_n＜M_i(q_i)＜k₂I_n，其中，k₁＞0,k₂＞0均表示与惯性矩阵相关的给定常数。

性质2：第i个跟随机械臂系统的不确定动态由参数向量θ_i∈R^r1线性化表示：

其中：

是动态回归矩阵，

是可微的向量，

是ξ_i的导数，r₁为正常数。

性质3：

是斜对称矩阵，即：

对任意的q,

和x∈Rⁿ有

考虑领导机械臂关节位置向量为q_j∈Rⁿ,j∈v_L，假设q_j,

是已知，光滑且有界的信号。

假设1：领导机械臂没有邻居节点，跟随机械臂之间的通信是无向的。

此外，对于每个跟随机械臂，至少存在一个领导机械臂到跟随机械臂有一个有向路径。

当拉普拉斯矩阵L满足假设1时可改写为：

其中，L₁∈R^N×N,L₂∈R^N×M，0_M×N表示M×N维0矩阵，0_M×M表示M×M维0矩阵。

定义

N_i表示第i个跟随机械臂邻居节点集合，i∈υ_F。

引理1：根据假设1，L₁是正定的，

是非负的，

的行和为1。

定义1：

如果x,y∈K,θ∈[0,1],(1-θ)x+θy∈K。有限点集X＝{x₁,x₂,..,x_n}的凸包C_o{X}是包含X所有点的最小凸集，

引理2：假定存在一个连续正定的函数U(t)，满足

其中，λ₁＞0,λ₂＞0,0＜ι＜1均表示常数，t₀≥0表示初始时刻，则：

U(t)在有限时间

内收敛到平衡点。

引理3：存在μ＞0,ε＞0,δ(x,y)＞0满足：

引理4：存在x_z∈R,z＝1,2,...,n,0＜Λ≤1满足：

下面构造多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，使跟随机械臂关节向量q_i能够在有限时间内收敛到领导机械臂关节位置向量q_j形成的凸包。

在反步控制方法的每一步中都将采用下面的滑模微分器作为命令滤波器：

其中，r_i,1,z表示滑模微分器参数，r_i,2,z表示滑模微分器参数，α_i,1,z表示虚拟控制信号α_i,1的第z个分量，ω_i,1,z表示滑模微分器的状态；ω_i,2,z表示滑模微分器的状态，z＝1,2,...,n，sign表示符号函数；ι_i,2＝[ω_i,1,1,...,ω_i,1,n]^T作为第i个跟随机械臂所使用滑模微分器的输出，虚拟控制信号α_i,1作为第i个跟随机械臂所使用滑模微分器的输入。

引理5：若滑模微分器的输入不受噪声影响，即α_i,1,z＝α_i,1,z,0，则存在常数增益r_i,1,z＞0,r_i,2,z＞0使得：ω_i,1,z＝α_i,1,z,0,

在有限时间满足。

若输入噪声满足|α_i,1,z-α_i,1,z,0|≤κ_i,1,z，则下列不等式可在有限时间内满足：

其中κ_i,1,z＞0,u_i,1,z,1＞0,λ_i,1,z,1＞0均为常数。

由于命令滤波器的有限时间收敛性质，它可以保证ω_i,1,z和

可以更快的近似α_i,1,z和

在包容控制设计中，定义以下仅依赖于相邻信息的局部跟踪误差：

其中，e_i,1表示局部跟踪误差向量；

e_i,2表示关节速度向量与滑模微分器输出向量的误差；

q_c表示跟随机械臂集合中与q_i有通信连接的跟随机械臂的关节位置向量；

q_w表示领导机械臂集合中与q_i有通信连接的领导机械臂的关节位置向量。

定义

其中，

分别表示每个跟随机械臂局部跟踪误差向量的转置；

分别表示每个跟随机械臂关节位置向量的转置；

分别表示每个领导机械臂关节位置向量的转置。

其中，L₁是对称正定的，L₂表示拉普拉斯矩阵的对应分量。

定义

其中

分别表示每个跟随机械臂对应的集合跟踪向量的转置。

如果||E_F||→0，即Q_F→Q_d确保有限时间内满足，则q_i∈υ_F有限时间到达C_o{q_j,j∈υ_L}，即跟随机械臂关节位置向量在有限时间到达领导机械臂关节位置向量形成的凸包内。

其中，C_o表示领导机械臂关节位置向量q_j形成的凸包。

由公式(3)构造虚拟控制信号α_i,1和驱动力矩τ_i为：

其中，κ_i,1＞0,κ_i,2＞0,φ_i,1＞0,φ_i,2＞0且为常数增益；

为奇数。

表示动态回归矩阵，

表示自适应更新律。

在公式(4)中，

其中，η_c,1表示跟随机械臂集合中与q_i有通信连接的第c个跟随机械臂的误差补偿向量；

l_ic为拉普拉斯矩阵的对应分量。

选取误差补偿信号：

其中，η_i,1(0)＝0,ψ_i,1＞0为常数增益。

自适应更新律

为：

其中，ρ_i＞0，Γ_i是正定对称矩阵。

选择虚拟控制信号α_i,1、驱动力矩τ_i和自适应更新律

使跟随机械臂关节位置向量在有限时间内以期望的精度收敛到领导机械臂关节位置向量形成的凸包内。

选取Lyapunov函数：

其中，

I_n表示单位矩阵。

则有：

其中，

表示集合跟踪向量的导数，v_i,1表示局部跟踪误差向量与误差补偿信号的差。

将公式(9)代入α_i,1和

得：

其中，v_i,2＝e_i,2表示关节速度向量与滑模微分器输出向量的差。

选取Lyapunov函数：

对U₂求导：

由性质2和性质3，进一步得到：

定义

将τ_i代入(13)可得：

其中，θ_i表示不确定动态参数向量，

表示θ_i的估计，v_i,1,z表示v_i,1的第z个分量，v_i,2,z表示v_i,2的第z个分量。由引理3得到：

其中，η_i,1,z表示η_i,1的第z个分量。

将公式(15)和公式(16)代入公式(14)得：

定义

能够得到：

其中，λ_min表示矩阵

的最小特征值；

选取函数

将公式(6)代入

的导数：

若滑模微分器的输入不受噪声影响，则|(ω_i,1,z-α_i,1,z)|≤Π_i,1,z,1，z＝1,...,n。

其中，

Π_i,1,z,1＞0表示未知有界常数。

选取Lyapunov函数

对其求导：

构造全局的Lyapunov函数

对其求导并将公式(7)代入可得：

根据

的定义可知，

为给定常数，于是：

其中，ρ_i＞0表示给定常数，θ_ip表示θ_i的第p个分量，

如果

可得

如果

可得

故：

根据引理4，进一步得到：

其中：

其中，λ_max表示矩阵

的最大特征值，k₂＞0表示与惯性矩阵相关的给定常数。

故公式(25)改写为：

其中，0＜π＜1。

如果

公式(26)为

根据引理2，可知在有限时间

内，

如果

公式(27)为

则在有限时间

内，

其中，U(0)表示U在0时刻的状态；

表示U(0)的

次幂。

根据以上分析可得：

同时根据U的定义可知

也有限时间

内实现。

由于

因此：

由于

因此：

为了使跟随机械臂关节位置向量在有限时间内以期望的精度收敛到领导机械臂关节位置向量形成的凸包内，且闭环系统所有信号在有限时间内有界，控制增益需要满足下列不等式：

通过参数κ_i,1,κ_i,2,φ_i,1,ψ_i,1调整包容控制的误差收敛区域，保证收敛到具有较小半径的域内；

如果α_i,1不受噪声的影响，则Π_i,1,z,1＝0，z＝1,...,n。

如果系统动态已知，θi是已知项，利用

在有限时间内可得EF＝0，且所有信号在闭环系统中都是稳定的；若φ_i,1＝0,φ_i,2＝0,ψ_i,1＝0，则E_F和闭环系统都是渐近收敛的。

当选择υ_L＝{N+1}，在有限时间内自适应有限时间命令滤波反步控制方法使跟随机械臂关节位置向量与领导机械臂关节位置向量的一致性跟踪误差收敛到原点的任意可调节的邻域内，在有限的时间内闭环系统所有信号有界。

下面对本发明方法提出的自适应有限时间命令滤波反步控制方法进行验证。

本发明实施例中多机械臂系统具有3个跟随机械臂和2个领导机械臂。

图2表明跟随机械臂与领导机械臂之间的通信，其中：

①表示跟随机械臂1，②表示跟随机械臂2，③表示跟随机械臂3；

④表示领导机械臂4，⑤表示领导机械臂5。

假设每个跟踪机械臂的动力学模型为两连杆机械臂的动力学模型。

对每个跟随机械臂，惯性矩阵M_t(q_t)＝[M_tmn]∈R^2×2和矩阵

定义为：

其中m_t,1,m_t,2为连杆质量，I_t,1,I_t,2为惯性时间，L_t,1,L_t,2为连杆的长度，L_t,c1,L_t,c2为连杆的质心，重力项G_t(q_t)简化为0，t＝1,2,3。

令ι_t,2＝(ι_t,2,1,ι_t,2,2)∈R²，由性质2知，θ_t＝(α_t,1,α_t,,2,α_t,,3)∈R³。

回归量矩阵：

机械臂的参数选取为：

系统初始条件为：

领导机械臂关节位置输出为：

q₄(t)＝(2*sin(t)+2,2*cos(t)+2)^T,q₅(t)＝(2*sin(t)+3,2*cos(t)+3)^T。

误差补偿机制的参数选取为：

图3-图4给出了q₁,q₂,q₃,q₄,q₅,e_1,1,e_2,1,e_3,1的曲线，能看出跟随机械臂关节位置最终收敛于领导机械臂关节位置形成的凸包内，且具有足够的精度，保证了期望的跟踪误差。

图5给出了α_1,1,α_2,1,α_3,1和ι_1,2,ι_2,2,ι_3,2的曲线，反应了命令滤波器的快速收敛性能。

为了进一步检验本发明的有效性，还对比了带有误差补偿机制与不带误差补偿机制的控制算法的性能，选取整体跟踪误差||[e_1,1,e_2,1,e_3,1]^T||进行控制性能对比。

图6是不含误差补偿机制的整体误差的情况。

结果表明带有误差补偿机制可以获得更好的暂态性能。考虑具有误差补偿机制但是只考虑渐近收敛的命令滤波反步控制算法，控制参数选取为如下几种情况：

κ_1,1＝15,κ_1,2＝15,φ_1,1＝0,φ_1,2＝0,ψ_1,1＝0,r_1,1,1＝40,r_1,1,2＝40,r_1,2,1＝40,r_1,2,2＝40,Γ₁＝diag{0.1,0.1,0.1},ρ₁＝1；

κ_2,1＝15,κ_2,2＝15,φ_2,1＝0,φ_2,2＝0,ψ_2,1＝0,r_2,1,1＝40,r_2,1,2＝40,r_2,2,1＝40,r_2,2,2＝40,Γ₂＝diag{0.1,0.1,0.1},ρ₂＝1；

κ_3,1＝15,κ_3,2＝15,φ_3,1＝0,φ_3,2＝0,ψ_3,1＝0,r_3,1,1＝40,r_3,1,2＝40,r_3,2,1＝40,r_3,2,2＝40,Γ₃＝diag{0.1,0.1,0.1},ρ₃＝1；

κ_1,1＝20,κ_1,2＝20,φ_1,1＝0,φ_1,2＝0,ψ_1,1＝0,r_1,1,1＝40,r_1,1,2＝40,r_1,2,1＝40,r_1,2,2＝40,Γ₁＝diag{0.1,0.1,0.1},ρ₁＝1；

κ_2,1＝20,κ_2,2＝20,φ_2,1＝0,φ_2,2＝0,ψ_2,1＝0,r_2,1,1＝40,r_2,1,2＝40,r_2,2,1＝40,r_2,2,2＝40,Γ₂＝diag{0.1,0.1,0.1},ρ₂＝1；

κ_3,1＝20,κ_3,2＝20,φ_3,1＝0,φ_3,2＝0,ψ_3,1＝0,r_3,1,1＝40,r_3,1,2＝40,r_3,2,1＝40,r_3,2,2＝40,Γ₃＝diag{0.1,0.1,0.1},ρ₃＝1；

κ_1,1＝30,κ_1,2＝30,φ_1,1＝0,φ_1,2＝0,ψ_1,1＝0,r_1,1,1＝40,r_1,1,2＝40,r_1,2,1＝40,r_1,2,2＝40,Γ₁＝diag{0.1,0.1,0.1},ρ₁＝1；

κ_2,1＝30,κ_2,2＝30,φ_2,1＝0,φ_2,2＝0,ψ_2,1＝0,r_2,1,1＝40,r_2,1,2＝40,r_2,2,1＝40,r_2,2,2＝40,Γ₂＝diag{0.1,0.1,0.1},ρ₂＝1；

κ_3,1＝30,κ_3,2＝30,φ_3,1＝0,φ_3,2＝0,ψ_3,1＝0,r_3,1,1＝40,r_3,1,2＝40,r_3,2,1＝40,r_3,2,2＝40,Γ₃＝diag{0.1,0.1,0.1},ρ₃＝1。

图7为本发明中自适应有限时间命令滤波反步控制方法和传统命令滤波反步的对比示意图，结果表明本发明控制方法不仅能快速收敛，并且具有更好的跟踪性能。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，其特征在于，

包括如下步骤：

设定多机械臂系统具有N个跟随机械臂和M个领导机械臂，跟随机械臂集υ_F＝{1,...,N}，领导机械臂集υ_L＝{N+1,...,N+M}；

N个跟随机械臂和M个领导机械臂之间的通信拓扑结构关系由有向图

表示；

其中，节点集υ＝{1,2,...,N+M}，边集

定义邻接矩阵A＝[a_mn]∈R^(N+M)×(N+M)；

其中，a_mn表示边的权重，R^(N+M)×(N+M)表示矩阵维数为(N+M)×(N+M)维；

若存在有向边(m,n)∈ε，则节点n称为节点m的父节点，节点m称为节点n的子节点；

节点m的邻居节点集合为N_m＝{n|(n,m)∈ε}，若(n,m)∈ε,a_mn＞0，

a_mn＝0；

邻接矩阵A对角线元素均为0；

定义有向图

的拉普拉斯矩阵为L＝[l_mn]∈R^(N×M)(N×M)，l_mn＝-a_mn，

有向图

的s个节点间的有向路径是具有边的序列(k₁,k₂),(k₂,k₃),...,(k_s-1,k_s)；

假设第i个跟随机械臂系统的模型为：

式中，q_i∈Rⁿ为跟随机械臂关节位置向量；M_i(q_i)∈R^n×n为对称惯性矩阵；

为向心力矩和科里奥利力矩矩阵；G_i(q_i)∈Rⁿ为重力项；τ_i∈Rⁿ为驱动力矩；

Rⁿ表示向量维数为n维，R^n×n表示矩阵维数为n×n维；

定义领导机械臂关节位置向量为q_j∈Rⁿ,j∈v_L；

下面构造多机械臂系统的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，使跟随机械臂关节位置向量q_i能够在有限时间内收敛到领导机械臂关节位置向量q_j形成的凸包；

在反步控制方法的每一步中都将采用下面的滑模微分器作为命令滤波器：

其中，r_i,1,z表示滑模微分器参数，r_i,2,z表示滑模微分器参数；α_i,1,z表示虚拟控制信号α_i,1的第z个分量，z＝1,2,...,n；ω_i,1,z表示滑模微分器的状态，ω_i,2,z表示滑模微分器的状态；sign表示符号函数；ι_i,2＝[ω_i,1,1,...,ω_i,1,n]^T作为第i个跟随机械臂所使用滑模微分器的输出；虚拟控制信号α_i,1作为第i个跟随机械臂所使用滑模微分器的输入；

在包容控制设计中，定义以下仅依赖于相邻信息的局部跟踪误差：

其中，e_i,1表示局部跟踪误差向量；e_i,2表示关节速度向量与滑模微分器输出向量的误差；

q_c表示跟随机械臂集合中与q_i有通信连接的跟随机械臂的关节位置向量；q_w表示领导机械臂集合中与q_i有通信连接的领导机械臂的关节位置向量；

定义

N_i表示第i个跟随机械臂邻居节点集合，i∈υ_F；

定义

其中

分别表示每个跟随机械臂局部跟踪误差向量的转置，

分别表示每个跟随机械臂关节位置向量的转置，

分别表示每个领导机械臂关节位置向量的转置；

其中，L₁是对称正定的，L₂表示拉普拉斯矩阵的对应分量；

定义

其中，

分别表示每个跟随机械臂对应的集合跟踪向量的转置；

如果||E_F||→0，即Q_F→Q_d确保有限时间内满足，则q_i∈υ_F有限时间到达C_o{q_j,j∈υ_L}，即跟随机械臂关节位置向量q_i在有限时间到达领导机械臂关节位置向量q_j形成的凸包内；

其中，C_o表示领导机械臂关节位置向量q_j形成的凸包；

由公式(3)构造虚拟控制信号α_i,1和驱动力矩τ_i为：

其中，κ_i,1＞0,κ_i,2＞0,φ_i,1＞0,φ_i,2＞0均为常数增益；

为奇数；

表示动态回归矩阵，

表示自适应更新律；

在公式(4)中，

其中，η_c,1表示跟随机械臂集合中与q_i有通信连接的第c个跟随机械臂的误差补偿向量；

l_ic为拉普拉斯矩阵的对应分量；

选取误差补偿信号：

其中，η_i,1(0)＝0，ψ_i,1＞0为常数增益；

自适应更新律

为：

其中，ρ_i＞0，Γ_i是正定对称矩阵；

选择虚拟控制信号α_i,1、驱动力矩τ_i和自适应更新律

使跟随机械臂关节位置向量在有限时间内以期望的精度收敛到领导机械臂关节位置向量形成的凸包内；

选取Lyapunov函数：

其中，

I_n表示单位矩阵；

则有：

其中，

表示集合跟踪向量的导数，v_i,1表示局部跟踪误差向量与误差补偿信号的差；

将公式(9)代入α_i,1和

得：

其中，v_i,2＝e_i,2表示关节速度向量与滑模微分器输出向量的差；

选取Lyapunov函数：

对U₂求导：

第i个跟随机械臂系统的不确定动态由参数向量θ_i∈R^r1线性化表示：

其中：

是动态回归矩阵，

是可微的向量，

是ξ_i的导数，r₁为正常数；

是斜对称矩阵，即对任意的q,

和x∈Rⁿ有：

根据以上内容，进一步得到：

定义

将τ_i代入公式(13)能够得到：

其中，θ_i表示不确定动态参数向量，

表示θ_i的估计；

v_i,1,z表示参数v_i,1的第z个分量，v_i,2,z表示参数v_i,2的第z个分量，z＝1,2,...,n；

通过不等式放缩得到：

其中，η_i,1,z表示η_i,1的第z个分量；

将公式(15)和公式(16)代入公式(14)得：

定义

能够得到：

其中，λ_min表示矩阵

的最小特征值；

选取函数

将公式(6)代入

的导数：

若滑模微分器的输入不受噪声影响，则|(ω_i,1,z-α_i,1,z)|≤Π_i,1,z,1，z＝1,...,n；

其中，

Π_i,1,z,1＞0表示未知有界常数；

选取Lyapunov函数

对U₃求导：

构造全局的Lyapunov函数

对U求导并将公式(7)代入能够得到：

根据

的定义能够得知，

为给定常数，于是：

其中，ρ_i＞0表示给定常数，r₁为正常数，θ_ip表示θ_i的第p个分量，

如果

能够得到

如果

能够得到

故：

进一步得到：

其中：

其中，λ_max表示矩阵

的最大特征值，k₂＞0表示与惯性矩阵相关的给定常数；

故公式(25)改写为：

其中，0＜π＜1；

如果

公式(26)为

能够得知在有限时间

内，

如果

公式(27)为

能够得知在有限时间

内，

其中，U(0)表示U在0时刻的状态；

表示U(0)的

次幂；

根据以上分析能够得到：

同时根据U的定义能够得知，

也有限时间

内实现；

由于

因此：

为了使跟随机械臂关节位置向量在有限时间内以期望的精度收敛到领导机械臂关节位置向量形成的凸包内，且闭环系统所有信号在有限时间内有界，控制增益需要满足下列不等式：

通过参数κ_i,1,κ_i,2,φ_i,1,ψ_i,1调整包容控制的误差收敛区域，保证收敛到具有较小半径的域内；

如果α_i,1不受噪声的影响，则Π_i,1,z,1＝0，z＝1,...,n；

如果系统动态已知，θ_i是已知项，利用

在有限时间内能够得到E_F＝0，且所有信号在闭环系统中都是稳定的；若φ_i,1＝0,φ_i,2＝0,ψ_i,1＝0，则E_F和闭环系统都是渐近收敛的；

当选择υ_L＝{N+1}，在有限时间内自适应有限时间命令滤波反步控制方法使跟随机械臂关节位置向量与领导机械臂关节位置向量的一致性跟踪误差收敛到原点的任意可调节的邻域内，且在有限的时间内闭环系统所有信号有界。

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