CN110434858B - 一种基于命令滤波的多机械臂系统的力/位混合控制方法 - Google Patents

一种基于命令滤波的多机械臂系统的力/位混合控制方法 Download PDF

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CN110434858B CN201910855368.9A CN201910855368A CN110434858B CN 110434858 B CN110434858 B CN 110434858B CN 201910855368 A CN201910855368 A CN 201910855368A CN 110434858 B CN110434858 B CN 110434858B
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Abstract

本发明属于机器人控制技术领域，具体公开了一种基于命令滤波的多机械臂系统的力/位混合控制方法。该方法基于李雅普诺夫函数，运用反步法构造中间虚拟控制信号，逐步递推得到控制律，从而对多机器臂的末端执行器进行控制；利用模糊逻辑系统处理多机械臂系统中未知的非线性函数，同时使用命令滤波技术解决期望物体的实际位置的二阶导数不存在的问题。本发明方法能够保证物体的位置跟踪误差和内力调节误差收敛到原点周围的一个足够小的邻域内。综上，本发明所提出的多机械臂系统的力/位混合控制方法能够在多种工况下有效，使物体准确地跟踪期望轨迹，并且将物体所受的内力控制在一个合理的范围内。

Description

一种基于命令滤波的多机械臂系统的力/位混合控制方法
技术领域
本发明属于机器人控制领域，涉及一种基于命令滤波的多机械臂系统的力/位混合控制方法。
背景技术
目前，国内工业生产中多数使用单臂机器人，单臂机器人在组装零件、搬运重物等工业生产活动中效率低下，在高精度作业工况下工作质量一般。协同多机器人是多个机械臂同时搬运、装配、打磨操作对象，在运行效率和控制精确度上都要优于单臂机器人。然而，相比于单机械臂系统，多机械臂系统状态变量繁多，高度非线性且存在复杂耦合性。多机械臂系统的力/位混合控制是一项重大挑战，目前也是该领域研究的热点之一。
作为先进控制方法的反步控制法已经被运用到多机械臂系统的控制中，并取得了较好的控制效果，但反步法存在的问题主要体现在：(1)系统的某些函数必须是线性的；(2)物体的实际位置信号的二阶导数不存在，上述问题的存在使得反步法的使用具有较大的局限性。
模糊逻辑系统或神经网络对上述第(1)个问题提供了解决思路，其中，模糊逻辑逼近系统通过近似理论处理了复杂非线性系统中的未知非线性函数。针对第(2)个问题，专家们已经提出了动态面控制方法，通过引入一阶滤波器处理传统反步控制方法中不可避免的“计算爆炸”问题的同时，解决了传统反步法的第(2)个问题。然而，动态面控制技术在实际工程中存在滤波误差，因此，会大大影响系统的位置跟踪和内力调节误差。
发明内容
本发明的目的在于提出一种基于命令滤波的多机械臂系统的力/位混合控制方法，以实现对多机械臂系统力/位混合的高精度控制。
本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：
一种基于命令滤波的多机械臂系统的力/位混合控制方法，包括如下步骤：
a.建立第i个机械臂的动力学模型，如公式(1)所示：
Figure GDA0002574252750000011
其中，qi＝[qi,1,qi,2]T，qi,n表示第i个机械臂上的第n个关节向量，n＝1,2；
τi＝[τi,1,τi,2]T，τi,n表示施加在第i个机械臂上的第n个关节的控制力矩，n＝1,2；
Mi(qi)是第i个机械臂的对称正定惯性矩阵；
Figure GDA0002574252750000012
是第i个机械臂的科里奥利和离心力矩阵；
Gi(qi)是第i个机械臂的重力矢量；
Figure GDA0002574252750000021
是动态和静态摩擦矢量；
di(t)是外部干扰的矢量；Jm,i(qi)是第i个机械臂的雅可比矩阵；
Fi是第i个末端执行器施加在物体上的力；
由公式(1)得到k个机械臂的协作动力学方程是：
Figure GDA0002574252750000022
其中，
Figure GDA0002574252750000023
M(q)＝blockdiag[M1(q1),M2(q2),..,Mk(qk)]；
Figure GDA0002574252750000024
Figure GDA0002574252750000025
Figure GDA0002574252750000026
τ＝[τ1,τ2,..,τk]T；
Jm(q)＝blockdiag[Jm,1(q1),Jm,2(q2),..,Jm,k(qk)]；
Figure GDA0002574252750000027
blockdiag[]表示分块对角矩阵函数；
雅克比矩阵Jm,i(qi)由第i个机械臂的正向动力学得到：
Figure GDA0002574252750000028
其中，xe,i表示每个机械臂执行器末端的位置向量，公式(3)简写为：
Figure GDA0002574252750000029
其中，
Figure GDA00025742527500000210
b.建立物体的动力学模型，如公式(5)所示：
Figure GDA00025742527500000211
其中，p是物体的位置向量；Mo(p)是物体的对称正定惯性矩阵；
Figure GDA00025742527500000212
是物体的科里奥利和离心力矩阵；Go(p)是物体的重力矢量；Fo是物体质心所受的合力矩矢量；
Fo的表达式如公式(6)所示：
Figure GDA00025742527500000213
其中，
Figure GDA00025742527500000214
是从第i个末端执行器到物体的雅可比矩阵，公式(6)简写为：
Figure GDA00025742527500000215
其中，
Figure GDA0002574252750000031
Fi由内力fi＝[fi,1,fi,2]T和外力Ei＝[Ei,1,Ei,2]两部分组成，得到：
F＝f+E (8)
其中，
Figure GDA0002574252750000032
将公式(8)代入公式(7)中得到：
Figure GDA0002574252750000033
f是
Figure GDA0002574252750000034
零空间向量中的任意向量，得到：
Figure GDA0002574252750000035
将公式(9)代入公式(8)中得到：
Figure GDA0002574252750000036
其中，
Figure GDA0002574252750000037
表示
Figure GDA0002574252750000038
的伪逆矩阵，
Figure GDA0002574252750000039
假设物体的运动不会受到内力的影响，内力之间互相抵消，则
Figure GDA00025742527500000310
c.建立多机械臂协作的动态模型，如公式(12)所示：
p＝φi(qi) (12)
其中，φi(qi)表示p与qi的运动学关系式，通过正向运动学获得；
对公式(12)求一阶微分得到如下雅克比矩阵：
Figure GDA00025742527500000311
其中，
Figure GDA00025742527500000312
为从第i个机械臂的关节变量qi到笛卡尔空间变量的雅可比矩阵；由公式(12)得到：
Figure GDA00025742527500000313
其中，
Figure GDA00025742527500000314
表示
Figure GDA00025742527500000315
的转置逆矩阵；
定义
Figure GDA00025742527500000316
对公式(14)求一阶微分得到下面的雅克比矩阵：
Figure GDA00025742527500000317
将公式(11)、(14)和(15)代入公式(2)中，得到多机械臂协作的动态模型：
Figure GDA00025742527500000318
其中：
Figure GDA0002574252750000041
Figure GDA0002574252750000042
是斜对称矩阵，从而当
Figure GDA0002574252750000043
Figure GDA0002574252750000044
假设d(t)满足
Figure GDA0002574252750000045
其中，
Figure GDA0002574252750000046
是一个未知正常数；
为简化多机械臂协作的动态模型，定义新的变量为：
Figure GDA0002574252750000047
多机械臂系统的动态数学模型表示为：
Figure GDA0002574252750000048
d.构建基于模糊自适应的命令滤波反步控制器；
假设f(Z)在紧集ΩZ中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总存在一个模糊逻辑系统WTS(Z)满足：
Figure GDA0002574252750000049
其中，输入向量
Figure GDA00025742527500000414
Q是模糊输入维数，RQ为实数向量集；W∈Rl是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，Rl为实数向量集；
S(Z)＝[s1(Z),...,sl(Z)]T∈Rl为基函数向量，选取基函数sj(Z)为如下的高斯函数：
Figure GDA00025742527500000410
其中，μj是高斯函数分布曲线的中心位置，而ηj则为高斯函数的宽度；
对于
Figure GDA00025742527500000411
R2表示2维实数向量集，总存在不等式：
Figure GDA00025742527500000412
其中，P1＞0,r＞1,s＞1，并且：(r-1)(s-1)＝1；
定义系统误差变量为：
Figure GDA00025742527500000413
x1d为物体的期望轨迹信号，α为虚拟控制律；
其中，
Figure GDA00025742527500000516
A0,A1,bc1是正常数；
命令滤波器定义如公式(19)所示：
Figure GDA0002574252750000052
其中，φ1和φ2表示实数，ωn＞0，ζ∈(0，1]；如果输入信号满足
Figure GDA0002574252750000053
和
Figure GDA0002574252750000054
对于所有的t≥0均成立，其中，ρ1和ρ2是正的常量，并且φ1(0)＝α1(0)，φ2(0)＝0；
则对于任意μ＞0，必然存在ωn＞0和ζ∈(0，1]，使得|φ1-α1|≤μ，
Figure GDA0002574252750000055
和|φ1|都是有界的；其中，φ1(0)、α1(0)、φ2(0)分别为φ1、α1、φ2的初始值；
多机械臂系统的力/位混合控制方法设计的每一步都会选取一个李雅普诺夫函数来构建一个虚拟控制函数或者真实控制律，混合控制方法包括如下步骤：
d1.对于物体的期望轨迹信号x1d，定义补偿误差：v1＝z1-ζ1，其中，ζ1为误差补偿信号；
选取李雅普诺夫函数为：
Figure GDA0002574252750000056
对V1求导得到：
Figure GDA0002574252750000057
选取虚拟控制律
Figure GDA0002574252750000058
常数k1＞0，误差补偿信号的一阶微分
Figure GDA0002574252750000059
x1c表示虚拟控制律α经过命令滤波器输出的信号，ζ2为误差补偿信号；
将虚拟控制律α和误差补偿信号ζ1代入公式(20)中得到：
Figure GDA00025742527500000510
d2.选取李雅普诺夫函数为：
Figure GDA00025742527500000511
定义补偿误差：v2＝z2-ζ2，其中，ζ2为误差补偿信号；则对公式(22)求导得到：
Figure GDA00025742527500000512
定义误差补偿信号ζ2的一阶导数为
Figure GDA00025742527500000513
得到：
Figure GDA00025742527500000514
因为
Figure GDA00025742527500000515
由公式(24)得到：
Figure GDA0002574252750000061
其中，
Figure GDA0002574252750000062
定义
Figure GDA0002574252750000063
fi(Z)＝[fi,1(Z),fi,2(Z)]T，
Figure GDA0002574252750000064
由万能逼近定理可知，存在模糊逻辑系统
Figure GDA0002574252750000065
使得
Figure GDA0002574252750000066
δi,n表示逼近误差，对于任意小的正数εi,n，满足不等式|δi.n|≤εi,n，n＝1,2；
定义c＝Λom(q)v2，则：
Figure GDA0002574252750000067
其中，
Figure GDA0002574252750000068
ci＝[ci,1,ci,2]T，||Wi,n||为向量Wi,n的范数，
Figure GDA0002574252750000069
是正常数，εi＝[εi,1,εi,2]T；
将公式(26)代入公式(25)得：
Figure GDA00025742527500000610
根据杨氏不等式和公式(27)，得到：
Figure GDA00025742527500000611
定义ef为内力误差变量，ef＝f0-f，其中，f0为期望的内力；
定义
Figure GDA00025742527500000612
选取真实控制律τ：
Figure GDA00025742527500000613
其中，常数k2＞0；
Figure GDA00025742527500000614
为θi的估计值，θi将在后面定义；σf,d、σf,i是正常数；
将公式(29)代入公式(28)中得到：
Figure GDA00025742527500000615
由公式(4)、公式(7)和公式(14)得到：
Figure GDA0002574252750000071
结合公式(10)和公式(31)，得到：
Figure GDA0002574252750000072
将公式(32)代入公式(30)中得到：
Figure GDA0002574252750000073
e.定义
Figure GDA0002574252750000074
选取李雅普诺夫函数如下：
Figure GDA0002574252750000075
式中，ηi是正常数，对公式(34)求导得到：
Figure GDA0002574252750000076
定义θi＝max||Wi,n||2，得到：
Figure GDA0002574252750000077
选取自适应律
Figure GDA0002574252750000078
其中，mi是正常数；将自适应律
Figure GDA0002574252750000079
代入公式(36)得：
Figure GDA00025742527500000710
其中，
Figure GDA00025742527500000711
则：
Figure GDA00025742527500000712
其中：
Figure GDA0002574252750000081
Figure GDA0002574252750000082
假设初始时间为t0，对于任意时间t满足
Figure GDA0002574252750000083
则公式(38)表示为：
Figure GDA0002574252750000084
其中，V(t0)表示初始时刻李雅普诺夫函数的值，显然有
Figure GDA0002574252750000085
f.定义滤波误差|x1c-α|≤σ，σ是任意小的正常数；
构造李雅普诺夫函数
Figure GDA0002574252750000086
对李雅普诺夫函数
Figure GDA0002574252750000087
求导得：
Figure GDA0002574252750000088
由公式(40)得：
Figure GDA0002574252750000089
其中，
Figure GDA00025742527500000810
系统误差变量z1＝v1+ζ1，ζ1和v1均为有界，则有界且满足
Figure GDA00025742527500000811
调整参数a0、b0、b1、k0的值，使得误差变量z1收敛于原点周围期望的邻域内；
将τ代入公式(15)中得到：
Figure GDA00025742527500000812
其中，σd表示一个正常数；
由于系统内的信号都是有界的，调整参数σd使得内力误差收敛到一个极小的值。
本发明具有如下优点：
(1)本发明方法充分考虑了外部干扰的影响，在外部扰动介入的情况下，仍能实现对多机械臂系统力/位混合的高精度控制。
(2)本发明方法利用模糊逻辑系统逼近多机械臂力/位混合系统中的未知非线性函数，构造了基于模糊自适应的命令滤波反步控制器，有效地处理了系统中的非线性项。
(3)本发明方法引入命令滤波技术解决物体的实际位置信号的二阶导数不存在的问题，并引入误差补偿机制减少滤波误差带来的影响，大大提高了系统的控制精度。
附图说明
图1为本发明实施例中k个机械臂控制一个共同的物体的动态模型示意图。
图2为本发明实施例中两个两连杆机械臂的模型示意图。
图3为采用本发明控制方法后物体的实际位置和期望位置的仿真图。
图4为采用本发明控制方法后物体的跟踪误差仿真图。
图5为采用本发明控制方法后物体所受的第一个内力误差的仿真图。
图6为采用本发明控制方法后物体所受的第二个内力误差的仿真图。
图7为采用本发明控制方法后物体所受的第三个内力误差的仿真图。
图8为采用本发明控制方法后物体所受的第四个内力误差的仿真图。
图9为采用本发明控制方法后控制力矩τ的仿真图。
具体实施方式
本发明的基本构思是：
基于李雅普诺夫函数，运用反步法构造中间虚拟控制信号，逐步递推得到控制律，从而对多机器臂的末端执行器进行控制；利用模糊逻辑系统处理多机械臂系统中未知的非线性函数，同时使用命令滤波技术解决期望物体的实际位置的二阶导数不存在的问题。
通过以上发明构思保证基于命令滤波的多机械臂系统的力/位控制方法在多种工况下有效，使物体准确地跟踪期望轨迹，并且将物体所受的内力控制在一个合理的范围内。
下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：
如图1所示，一种基于命令滤波的多机械臂系统的力/位混合控制方法，包括如下步骤：
a.建立第i个机械臂的动力学模型，如公式(1)所示：
Figure GDA0002574252750000091
其中，qi＝[qi,1,qi,2]T，qi,n表示第i个机械臂上的第n个关节向量，n＝1,2。
τi＝[τi,1,τi,2]T，τi,n表示施加在第i个机械臂上的第n个关节的控制力矩，n＝1,2。
Mi(qi)是第i个机械臂的对称正定惯性矩阵。
Figure GDA0002574252750000092
是第i个机械臂的科里奥利和离心力矩阵。
Gi(qi)是第i个机械臂的重力矢量；
Figure GDA0002574252750000093
是动态和静态摩擦矢量。
di(t)是外部干扰的矢量；Jm,i(qi)是第i个机械臂的雅可比矩阵。
Fi是第i个末端执行器施加在物体上的力。
由公式(1)得到k个机械臂的协作动力学方程是：
Figure GDA0002574252750000101
其中，
Figure GDA0002574252750000102
M(q)＝blockdiag[M1(q1),M2(q2),..,Mk(qk)]。
Figure GDA0002574252750000103
Figure GDA0002574252750000104
Figure GDA0002574252750000105
τ＝[τ1,τ2,..,τk]T。
Jm(q)＝blockdiag[Jm,1(q1),Jm,2(q2),..,Jm,k(qk)]；
Figure GDA0002574252750000106
blockdiag[]表示分块对角矩阵函数。
雅克比矩阵Jm,i(qi)由第i个机械臂的正向动力学得到：
Figure GDA0002574252750000107
其中，xe,i表示每个机械臂执行器末端的位置向量。公式(3)简写为：
Figure GDA0002574252750000108
其中，
Figure GDA0002574252750000109
b.建立物体的动力学模型，如公式(5)所示：
Figure GDA00025742527500001010
其中，p是物体的位置向量；Mo(p)是物体的对称正定惯性矩阵。
Figure GDA00025742527500001011
是物体的科里奥利和离心力矩阵；Go(p)是物体的重力矢量。
Fo是物体质心所受的合力矩矢量，Fo的表达式如公式(6)所示：
Figure GDA00025742527500001012
其中，
Figure GDA00025742527500001013
是从第i个末端执行器到物体的雅可比矩阵。公式(6)简写为：
Figure GDA00025742527500001014
其中，
Figure GDA00025742527500001015
Fi由内力fi＝[fi,1,fi,2]T和外力Ei＝[Ei,1,Ei,2]两部分组成，得到：
F＝f+E (8)
其中，
Figure GDA00025742527500001016
将公式(8)代入公式(7)中得到：
Figure GDA0002574252750000111
f是
Figure GDA0002574252750000112
零空间向量中的任意向量，得到：
Figure GDA0002574252750000113
将公式(9)代入公式(8)中得到：
Figure GDA0002574252750000114
其中，
Figure GDA0002574252750000115
表示
Figure GDA0002574252750000116
的伪逆矩阵，
Figure GDA0002574252750000117
假设物体的运动不会受到内力的影响，内力之间互相抵消，则
Figure GDA0002574252750000118
c.建立多机械臂协作的动态模型，如公式(12)所示：
p＝φi(qi) (12)
其中，φi(qi)表示p与qi的运动学关系式，通过正向运动学获得。
对公式(12)求一阶微分得到如下雅克比矩阵：
Figure GDA0002574252750000119
其中，
Figure GDA00025742527500001110
为从第i个机械臂的关节变量qi到笛卡尔空间变量的雅可比矩阵。
由公式(12)得到：
Figure GDA00025742527500001111
其中，
Figure GDA00025742527500001112
表示
Figure GDA00025742527500001113
的转置逆矩阵。
定义
Figure GDA00025742527500001114
对公式(14)求一阶微分得到下面的雅克比矩阵：
Figure GDA00025742527500001115
将公式(11)、(14)和(15)代入公式(2)中，得到多机械臂协作的动态模型：
Figure GDA00025742527500001116
其中：
Figure GDA00025742527500001117
Figure GDA00025742527500001118
是斜对称矩阵，从而当
Figure GDA00025742527500001119
Figure GDA0002574252750000121
假设d(t)满足
Figure GDA0002574252750000122
其中，
Figure GDA0002574252750000123
是一个未知正常数。
为简化整个系统动力学的表达式，需要设定如下条件：
1.所有机械臂都是非冗余的并且具有相同的自由度。
2.每个末端执行器与物体之间不存在相对运动，即：物体和末端执行器之间的接触是刚性的。
3.多机械臂系统的运动学方程是完全已知的。
4.每个机械臂的运动学方程都是非奇异的。
5.所有关节和物体都是刚性的。
为简化多机械臂协作的动态模型，定义新的变量为：
Figure GDA0002574252750000124
多机械臂系统的动态数学模型表示为：
Figure GDA0002574252750000125
d.构建基于模糊自适应的命令滤波反步控制器。
假设f(Z)在紧集ΩZ中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总存在一个模糊逻辑系统WTS(Z)满足：
Figure GDA0002574252750000126
其中，输入向量
Figure GDA0002574252750000127
Q是模糊输入维数，RQ为实数向量集；W∈Rl是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，Rl为实数向量集。
S(Z)＝[s1(Z),...,sl(Z)]T∈Rl为基函数向量，选取基函数sj(Z)为如下的高斯函数：
Figure GDA0002574252750000128
其中，μj是高斯函数分布曲线的中心位置，而ηj则为高斯函数的宽度。
对于
Figure GDA0002574252750000129
R2表示2维实数向量集，总存在不等式：
Figure GDA00025742527500001210
其中，P1＞0,r＞1,s＞1，并且：(r-1)(s-1)＝1。
定义系统误差变量为：
Figure GDA0002574252750000131
x1d为物体的期望轨迹信号，α为虚拟控制律。
其中，|x1d|≤A0＜bc1，
Figure GDA0002574252750000132
A0,A1,bc1是正常数。
命令滤波器定义如公式(19)所示：
Figure GDA0002574252750000133
其中，φ1和φ2表示实数，ωn＞0，ζ∈(0，1]；如果输入信号满足
Figure GDA0002574252750000134
和
Figure GDA0002574252750000135
对于所有的t≥0均成立，其中，ρ1和ρ2是正的常量，并且φ1(0)＝α1(0)，φ2(0)＝0。
则对于任意μ＞0，必然存在ωn＞0和ζ∈(0，1]，使得|φ1-α1|≤μ，
Figure GDA0002574252750000136
和|φ1|都是有界的；其中，φ1(0)、α1(0)、φ2(0)分别为φ1、α1、φ2的初始值。
多机械臂系统的力/位混合控制方法设计的每一步都会选取一个李雅普诺夫函数来构建一个虚拟控制函数或者真实控制律，混合控制方法包括如下步骤：
d1.对于物体的期望轨迹信号x1d，定义补偿误差：v1＝z1-ζ1，其中，ζ1为误差补偿信号。
选取李雅普诺夫函数为：
Figure GDA0002574252750000137
对V1求导得到：
Figure GDA0002574252750000138
选取虚拟控制律
Figure GDA0002574252750000139
常数k1＞0，误差补偿信号的一阶微分
Figure GDA00025742527500001310
x1c表示α经过命令滤波器输出的信号，ζ2为误差补偿信号。
将虚拟控制律α和误差补偿信号ζ1代入公式(20)中得到：
Figure GDA00025742527500001311
d2.选取李雅普诺夫函数为：
Figure GDA00025742527500001312
定义补偿误差：v2＝z2-ζ2，其中，ζ2为误差补偿信号；则对公式(22)求导得到：
Figure GDA00025742527500001313
定义误差补偿信号ζ2的一阶导数为
Figure GDA00025742527500001314
得到：
Figure GDA0002574252750000141
因为
Figure GDA0002574252750000142
由公式(24)得到：
Figure GDA0002574252750000143
其中，
Figure GDA0002574252750000144
定义
Figure GDA0002574252750000145
fi(Z)＝[fi,1(Z),fi,2(Z)]T，
Figure GDA0002574252750000146
由万能逼近定理可知，存在模糊逻辑系统
Figure GDA0002574252750000147
使得
Figure GDA0002574252750000148
δi,n表示逼近误差，对于任意小的正数εi,n，满足不等式|δi.n|≤εi,n，n＝1,2。
定义c＝Λom(q)v2，则：
Figure GDA0002574252750000149
其中，
Figure GDA00025742527500001410
ci＝[ci,1,ci,2]T，||Wi,n||为向量Wi,n的范数，
Figure GDA00025742527500001411
是正常数，εi＝[εi,1,εi,2]T。
将公式(26)代入公式(25)得：
Figure GDA00025742527500001412
根据杨氏不等式和公式(27)，得到：
Figure GDA00025742527500001413
定义ef为内力误差变量，ef＝f0-f，其中，f0为期望的内力。
定义
Figure GDA00025742527500001414
选取真实控制律：
Figure GDA00025742527500001415
其中，常数k2＞0；
Figure GDA00025742527500001416
为θi的估计值，θi将在后面定义；σf,d、σf,i是正常数。
将公式(29)代入公式(28)中得到：
Figure GDA0002574252750000151
由公式(4)、公式(7)和公式(14)得到：
Figure GDA0002574252750000152
结合公式(10)和公式(31)，得到：
Figure GDA0002574252750000153
将公式(32)代入公式(30)中得到：
Figure GDA0002574252750000154
e.定义
Figure GDA0002574252750000155
选取李雅普诺夫函数如下：
Figure GDA0002574252750000156
式中，ηi是正常数，对公式(34)求导得到：
Figure GDA0002574252750000157
定义θi＝max||Wi,n||2，得到：
Figure GDA0002574252750000158
选取自适应律
Figure GDA0002574252750000159
其中，mi是正常数。
将自适应律
Figure GDA00025742527500001510
代入公式(36)得：
Figure GDA00025742527500001511
其中，
Figure GDA00025742527500001512
则：
Figure GDA0002574252750000161
其中：
Figure GDA0002574252750000162
Figure GDA0002574252750000163
假设初始时间为t0，对于任意时间t满足
Figure GDA0002574252750000164
则公式(38)表示为：
Figure GDA0002574252750000165
其中，V(t0)表示初始时刻李雅普诺夫函数的值，显然有
Figure GDA0002574252750000166
f.定义滤波误差|x1c-α|≤σ，σ是任意小的正常数。
构造李雅普诺夫函数
Figure GDA0002574252750000167
对函数求导得：
Figure GDA0002574252750000168
由公式(40)得：
Figure GDA0002574252750000169
其中，
Figure GDA00025742527500001610
系统误差变量z1＝v1+ζ1，ζ1和v1均为有界，则有界且满足
Figure GDA00025742527500001611
调整参数a0、b0、b1、k0的值，使得误差变量z1收敛于原点周围期望的邻域内。
将τ代入公式(15)中得到：
Figure GDA00025742527500001612
其中，σd表示一个正常数。
由于系统内的信号都是有界的，调整参数σd使得内力误差收敛到一个极小的值。
由以上分析得到，在控制律τ的作用下，物体的位置跟踪误差和内力的跟踪误差收敛到原点的一个充分小的邻域内，保证了其他信号有界。
由上述步骤可知，本发明基于李雅普诺夫函数，通过将反步法和模糊自适应技术相结合，并且使用命令滤波技术，能够有效解决多机械臂系统的力/位混合控制的问题。
在图1中，{B}表示参考坐标系，xb、yb、zb为该坐标系下三个坐标轴；{O}表示以物体质心为中心建立的坐标系，xo、yo、zo为该坐标系下三个坐标轴；{Ei}是以第i个末端执行器为中心建立的直角坐标系，
Figure GDA0002574252750000171
为该坐标系下三个坐标轴，其中1≤i≤k。
在虚拟环境下对所建立的基于模糊自适应的命令滤波反步控制器进行仿真，验证所提出的基于命令滤波的多机械臂系统的力/位混合控制方法的可行性：
在图2中，多机械臂系统参数及物体的参数：
两个机械臂的长度分别是：l1,1＝l2,1＝1m,l1,2＝l2,2＝1m；质量m1,1＝m2,1＝1kg,m1,2＝m2,2＝1kg；力矩I1,1＝I2,1＝1N·m,I1,2＝I2,2＝1N·m。
刚性物体的半径、质量、力矩分别是r0＝1.5m,m0＝0.3kg,I0＝0.1N·m。
机械臂的基座分别是：(x1,y1)＝(-1.4,0)，(x2,y2)＝(1.4,0)。
选择控制律参数为：k1＝10，k2＝8,li＝20,σf,d＝0.1,σf,i＝20；
物体的期望轨迹信号为：
Figure GDA0002574252750000172
期望的内力f0＝[10,10,-10,-10]T；
x1d＝[px,r,py,r]T是物体的期望轨迹信号。
其中，px,r表示物体在X轴上的期望轨迹信号、py,r表示物体在Y轴上的期望轨迹信号。
模糊隶属度函数为：
Figure GDA0002574252750000173
Figure GDA0002574252750000174
Figure GDA0002574252750000175
Figure GDA0002574252750000176
Figure GDA0002574252750000177
Figure GDA0002574252750000178
在图2中，qi＝[qi,1,qi,2]T是每一个关节向量。
dx,1，dx,2分别表示每个机械臂的基座坐标位置，m0,r0分别表示物体的质量和半径。
应用本发明方法控制后，跟踪信号和期望信号如图3所示。
x1＝[px,py]T是物体的跟踪轨迹。
其中，px表示物体在X轴上的跟踪轨迹信号，py表示物体在Y轴上的跟踪轨迹信号。
跟踪信号和期望信号的误差如图4所示。
由图3和图4看出，多机械系统的输出能够很好的跟踪期望信号。
图5-图8是采用本发明控制方法后物体所受的四个内力误差的仿真图。
其中：ef11，ef12，ef21，ef22分别表示物体所受的四个内力误差。由图5-图8能够看出，采用发明方法控制后，内力误差ef可以收敛到一个极小的值。
图9是采用本发明方法后每一个机械臂上的控制力矩τi的仿真图。
由图9看出，物体与末端执行器的接触内力误差能够收敛到原点的一个足够小的邻域内。以上仿真表明，本发明控制方法能够高效地跟踪的参考信号，具有良好实际实施意义。
当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.一种基于命令滤波的多机械臂系统的力/位混合控制方法，其特征在于，
包括如下步骤：
a.建立第i个机械臂的动力学模型，如公式(1)所示：
Figure FDA0002574252740000011
其中，qi＝[qi,1,qi,2]T，qi,n表示第i个机械臂上的第n个关节向量，n＝1,2；
τi＝[τi,1,τi,2]T，τi,n表示施加在第i个机械臂上的第n个关节的控制力矩，n＝1,2；
Mi(qi)是第i个机械臂的对称正定惯性矩阵；
Figure FDA0002574252740000012
是第i个机械臂的科里奥利和离心力矩阵；
Gi(qi)是第i个机械臂的重力矢量；
Figure FDA0002574252740000013
是动态和静态摩擦矢量；
di(t)是外部干扰的矢量；Jm,i(qi)是第i个机械臂的雅可比矩阵；
Fi是第i个末端执行器施加在物体上的力；
由公式(1)得到k个机械臂的协作动力学方程是：
Figure FDA0002574252740000014
其中，
Figure FDA0002574252740000015
M(q)＝blockdiag[M1(q1),M2(q2),..,Mk(qk)]；
Figure FDA0002574252740000016
Figure FDA0002574252740000017
Figure FDA0002574252740000018
τ＝[τ1,τ2,..,τk]T；
Jm(q)＝blockdiag[Jm,1(q1),Jm,2(q2),..,Jm,k(qk)]；
Figure FDA0002574252740000019
blockdiag[]表示分块对角矩阵函数；
雅克比矩阵Jm,i(qi)由第i个机械臂的正向动力学得到：
Figure FDA00025742527400000110
其中，xe,i表示每个机械臂执行器末端的位置向量，公式(3)简写为：
Figure FDA00025742527400000111
其中，
Figure FDA00025742527400000112
b.建立物体的动力学模型，如公式(5)所示：
Figure FDA0002574252740000021
其中，p是物体的位置向量；Mo(p)是物体的对称正定惯性矩阵；
Figure FDA0002574252740000022
是物体的科里奥利和离心力矩阵；Go(p)是物体的重力矢量；Fo是物体质心所受的合力矩矢量；
Fo的表达式如公式(6)所示：
Figure FDA0002574252740000023
其中，
Figure FDA0002574252740000024
是从第i个末端执行器到物体的雅可比矩阵，公式(6)简写为：
Figure FDA0002574252740000025
其中，
Figure FDA0002574252740000026
Fi由内力fi＝[fi,1,fi,2]T和外力Ei＝[Ei,1,Ei,2]两部分组成，得到：
F＝f+E (8)
其中，
Figure FDA0002574252740000027
将公式(8)代入公式(7)中得到：
Figure FDA0002574252740000028
f是
Figure FDA0002574252740000029
零空间向量中的任意向量，得到：
Figure FDA00025742527400000210
将公式(9)代入公式(8)中得到：
Figure FDA00025742527400000211
其中，
Figure FDA00025742527400000212
表示
Figure FDA00025742527400000213
的伪逆矩阵，
Figure FDA00025742527400000214
假设物体的运动不会受到内力的影响，内力之间互相抵消，则
Figure FDA00025742527400000215
c.建立多机械臂协作的动态模型，如公式(12)所示：
p＝φi(qi) (12)
其中，φi(qi)表示p与qi的运动学关系式，通过正向运动学获得；
对公式(12)求一阶微分得到如下雅克比矩阵：
Figure FDA00025742527400000216
其中，
Figure FDA00025742527400000217
为从第i个机械臂的关节变量qi到笛卡尔空间变量的雅可比矩阵；
由公式(12)得到：
Figure FDA0002574252740000031
其中，
Figure FDA0002574252740000032
Figure FDA0002574252740000033
表示
Figure FDA0002574252740000034
的转置逆矩阵；
定义
Figure FDA0002574252740000035
对公式(14)求一阶微分得到下面的雅克比矩阵：
Figure FDA0002574252740000036
将公式(11)、(14)和(15)代入公式(2)中，得到多机械臂协作的动态模型：
Figure FDA0002574252740000037
其中：
Figure FDA0002574252740000038
Figure FDA0002574252740000039
是斜对称矩阵，从而当
Figure FDA00025742527400000310
Figure FDA00025742527400000311
假设d(t)满足
Figure FDA00025742527400000312
其中，
Figure FDA00025742527400000313
是一个未知正常数；
为简化多机械臂协作的动态模型，定义新的变量为：
Figure FDA00025742527400000314
多机械臂系统的动态数学模型表示为：
Figure FDA00025742527400000315
d.构建基于模糊自适应的命令滤波反步控制器；
假设f(Z)在紧集ΩZ中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总存在一个模糊逻辑系统WTS(Z)满足：
Figure FDA00025742527400000316
其中，输入向量
Figure FDA00025742527400000317
Q是模糊输入维数，RQ为实数向量集；W∈Rl是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，Rl为实数向量集；
S(Z)＝[s1(Z),...,sl(Z)]T∈Rl为基函数向量，选取基函数sj(Z)为如下的高斯函数：
Figure FDA0002574252740000041
其中，μj是高斯函数分布曲线的中心位置，而ηj则为高斯函数的宽度；
对于
Figure FDA0002574252740000042
R2表示2维实数向量集，总存在不等式：
Figure FDA0002574252740000043
其中，P1＞0,r＞1,s＞1，并且：(r-1)(s-1)＝1；
定义系统误差变量为：
Figure FDA0002574252740000044
x1d为物体的期望轨迹信号，α为虚拟控制律；
其中，
Figure FDA0002574252740000045
A0,A1,bc1是正常数；
命令滤波器定义如公式(19)所示：
Figure FDA0002574252740000046
其中，φ1和φ2表示实数，ωn＞0，ζ∈(0，1]；如果输入信号满足
Figure FDA0002574252740000047
和
Figure FDA0002574252740000048
对于所有的t≥0均成立，其中，ρ1和ρ2是正的常量，并且φ1(0)＝α1(0)，φ2(0)＝0；
则对于任意μ＞0，必然存在ωn＞0和ζ∈(0，1]，使得|φ1-α1|≤μ，
Figure FDA0002574252740000049
和|φ1|都是有界的；其中，φ1(0)、α1(0)、φ2(0)分别为φ1、α1、φ2的初始值；
多机械臂系统的力/位混合控制方法设计的每一步都会选取一个李雅普诺夫函数来构建一个虚拟控制函数或者真实控制律，混合控制方法包括如下步骤：
d1.对于物体的期望轨迹信号x1d，定义补偿误差：v1＝z1-ζ1，其中，ζ1为误差补偿信号；
选取李雅普诺夫函数为：
Figure FDA00025742527400000410
对V1求导得到：
Figure FDA00025742527400000411
选取虚拟控制律
Figure FDA00025742527400000412
常数k1＞0，误差补偿信号的一阶微分
Figure FDA00025742527400000413
x1c表示虚拟控制律α经过命令滤波器输出的信号，ζ2为误差补偿信号；
将虚拟控制律α和误差补偿信号ζ1代入公式(20)中得到：
Figure FDA00025742527400000414
d2.选取李雅普诺夫函数为：
Figure FDA0002574252740000051
定义补偿误差：v2＝z2-ζ2，其中，ζ2为误差补偿信号；则对公式(22)求导得到：
Figure FDA0002574252740000052
定义误差补偿信号ζ2的一阶导数为
Figure FDA0002574252740000053
得到：
Figure FDA0002574252740000054
因为
Figure FDA0002574252740000055
由公式(24)得到：
Figure FDA0002574252740000056
其中，
Figure FDA0002574252740000057
定义
Figure FDA0002574252740000058
fi(Z)＝[fi,1(Z),fi,2(Z)]T，
Figure FDA0002574252740000059
由万能逼近定理可知，存在模糊逻辑系统
Figure FDA00025742527400000510
使得
Figure FDA00025742527400000511
δi,n表示逼近误差，对于任意小的正数εi,n，满足不等式|δi.n|≤εi,n，n＝1,2；
定义c＝Λom(q)v2，则：
Figure FDA00025742527400000512
其中，
Figure FDA00025742527400000513
ci＝[ci,1,ci,2]T，||Wi,n||为向量Wi,n的范数，
Figure FDA00025742527400000514
是正常数，εi＝[εi,1,εi,2]T；
将公式(26)代入公式(25)得：
Figure FDA00025742527400000515
根据杨氏不等式和公式(27)，得到：
Figure FDA00025742527400000516
定义ef为内力误差变量，ef＝f0-f，其中，f0为期望的内力；
定义
Figure FDA00025742527400000517
选取真实控制律τ：
Figure FDA0002574252740000061
其中，常数k2＞0；
Figure FDA0002574252740000062
为θi的估计值，θi将在后面定义；σf,d、σf,i是正常数；
将公式(29)代入公式(28)中得到：
Figure FDA0002574252740000063
由公式(4)、公式(7)和公式(14)得到：
Figure FDA0002574252740000064
结合公式(10)和公式(31)，得到：
Figure FDA0002574252740000065
将公式(32)代入公式(30)中得到：
Figure FDA0002574252740000066
e.定义
Figure FDA0002574252740000067
选取李雅普诺夫函数如下：
Figure FDA0002574252740000068
式中，ηi是正常数，对公式(34)求导得到：
Figure FDA0002574252740000069
定义θi＝max||Wi,n||2，得到：
Figure FDA00025742527400000610
选取自适应律
Figure FDA00025742527400000611
其中，mi是正常数；
将自适应律
Figure FDA0002574252740000071
代入公式(36)得：
Figure FDA0002574252740000072
其中，
Figure FDA0002574252740000073
则：
Figure FDA0002574252740000074
其中：
Figure FDA0002574252740000075
Figure FDA0002574252740000076
假设初始时间为t0，对于任意时间t满足
Figure FDA0002574252740000077
则公式(38)表示为：
Figure FDA0002574252740000078
其中，V(t0)表示初始时刻李雅普诺夫函数的值，显然有
Figure FDA0002574252740000079
f.定义滤波误差|x1c-α|≤σ，σ是任意小的正常数；
构造李雅普诺夫函数
Figure FDA00025742527400000710
对李雅普诺夫函数
Figure FDA00025742527400000711
求导得：
Figure FDA00025742527400000712
由公式(40)得：
Figure FDA00025742527400000713
其中，
Figure FDA00025742527400000714
系统误差变量z1＝v1+ζ1，ζ1和v1均为有界，则有界且满足
Figure FDA00025742527400000715
调整参数a0、b0、b1、k0的值，使得误差变量z1收敛于原点周围期望的邻域内；
将τ代入公式(15)中得到：
Figure FDA00025742527400000716
其中，σd表示一个正常数；
由于系统内的信号都是有界的，调整参数σd使得内力误差收敛到一个极小的值。
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