CN110154028A - 机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

一种机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法，包括：将多自由度机械臂的动力学模型简化为多关节机械臂系统的极局部模型；设计机械臂的无模型自适应积分终端滑模控制方法，包括首先根据多关节机械臂系统的极局部模型设计机械臂的无模型积分终端滑模控制方法，然后设计自适应神经网络补偿器对机械臂的无模型积分终端滑模控制方法中的F更新时产生的误差进行补偿，得到机械臂的无模型自适应积分终端滑模控制方法。分析机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法的稳定性，包括证明所述的控制方法是全局渐进稳定和是有限时间收敛的。本发明能够实现机械臂系统的无模型自适应滑模控制，大大的提高了对期望轨迹的跟踪精度，对干扰具有很强的鲁棒性。

Description

机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法

技术领域

本发明涉及一种机械臂控制。特别是涉及一种机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法。

背景技术

机械臂系统是一个具有不确定性、强耦合性和高度非线性等特征的复杂系统。自20世纪60年代第一台工业机器人在美国诞生以来，工业机械臂迅速发展，已然成为了自动化领域的核心设备。现如今，机械臂系统已被应用于各大领域，很多任务都需要高精度的轨迹跟踪控制。但由于机械臂系统的复杂性，在控制器的设计中往往会因为难以建立精确的数学模型而影响控制器性能，导致控制精度降低，甚至会影响到控制器的稳定性，从而给控制器的设计带来一定的阻碍。

对于机械臂的轨迹跟踪控制问题，研究者们已经提出了许多的控制方法，如：反步控制，自适应控制，滑模控制，神经网络控制与模糊控制方法等。其中，滑模控制的收敛速度快、精度高，对于内部参数的变动和外部干扰不敏感，被广泛应用于机械臂控制中。但由于滑模控制是一种基于模型的控制方法，直接用于存在模型不确定性的机械臂系统中控制性能欠佳。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，提供一种能够用于存在模型不确定性的机械臂系统中的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法。

本发明所采用的技术方案是：一种机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法，包括如下步骤：

1)将多自由度机械臂的动力学模型简化为多关节机械臂系统的极局部模型；

2)设计机械臂的无模型自适应积分终端滑模控制方法，包括首先根据多关节机械臂系统的极局部模型设计机械臂的无模型积分终端滑模控制方法，然后设计自适应神经网络补偿器对机械臂的无模型积分终端滑模控制方法中的F更新时产生的误差进行补偿，得到机械臂的无模型自适应积分终端滑模控制方法。

3)分析机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法的稳定性，包括证明所述的控制方法是全局渐进稳定和是有限时间收敛的。

步骤1)包括：

(1.1)根据Fliess的无模型理论，将如下多自由度机械臂的动力学模型：

简化为如下多关节机械臂系统的极局部模型：

这里分别为机械臂系统的角位置、角速度和角加速度矢量，M(q)∈R^n×n是惯性矩阵，是离心力和科里奥利力矩阵，G(q)∈Rⁿ是重力矩阵，τ_d∈Rⁿ是外部干扰向量，τ∈Rⁿ是控制力矩向量，Λ＝diag{α₁,α₂,…,α_n}是由常数组成的对角阵，用于保持和τ在同一个数量级上；F包含了机械臂系统的未建模动态，外部干扰和其他不确定因素；

(1.2)使用时延估计方法对F进行更新：

其中，Δt是更新的时间间隔，在这里要保证它足够小才能使极局部模型有效；

所述时延估计方法在F更新时产生误差表示为：

步骤2)包括：

(2.1)定义e(t)＝q(t)-q_d(t)，表示机械臂的角位置误差矢量和角速度误差矢量，其中q_d(t)是系统期望轨迹，为二阶可微；设计积分型终端滑模函数s如下：

其中γ_i满足0＜γ₂＜1，γ₁＝γ₂/(1-γ₂)；a₁，a₂，sig(e)^γ，sig(e)^γ表示为a_i＝diag(a_i1,…a_in)，i＝1,2，

为了降低滑模控制中抖振的影响，设计趋近律项为双幂次趋近律：

其中k₁＝diag(k₁₁,k₁₂…k_1n)和k₂＝diag(k₂₁,k₂₂…k_2n)是正定矩阵，λ₁和λ₂都是正的常数且满足0＜λ₂＜1和λ₁＝2-λ₂，sig(s)^λ＝[|s₁|^λsgn(s₁),…,|s_n|^λsgn(s_n)]^T；

根据公式(2)(3)(4)(5)(6)得出控制律公式：

(2.2)设计自适应神经网络补偿器

定义f∈Rⁿ为逼近时延估计的理想径向基神经网络输出：

其中w_i＝[w_i1,w_i2,…,w_iL]^T，h_i＝[h_i1,h_i2,…,h_iL]^T分别表示第i个神经网络的权值和高斯基函数；L是神经网络隐含层的节点数；为每个神经网络的输入；c_i＝[c_i1,c_i2,…,c_iL]和b_i＝[b_i1,b_i2,…,b_iL]分别表示第i个神经网络的中心矩阵和基宽向量；

设计f_NN∈Rⁿ为实际径向基神经网络输出：

其中是对理想权值w的估计，是网络逼近误差ε_i的估计；

将径向基神经网络用于补偿时延估计误差e_TDE，则所述的控制律公式进一步表示为：

为了使f_NN逼近时延估计误差e_TDE，并且保证网络权值和自适应补偿项有界，设计网络权值与自适应补偿项的自适应律为：

其中φ_i，η_i，ψ_i和ρ_i均为正的常数。

步骤3)包括：

(3.1)证明机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法是全局渐进稳定的：

定义李雅普诺夫函数V如下：

其中是的网络逼近误差的最优值ε_i与估计值的误差，是理想权值w_i与实际估计权值的误差，s＝[s₁,s₂…s_n]是积分型终端滑模函数，φ_i和ψ_i是正的常数；

对V求一阶导数得

其中Λ＝diag{α₁,α₂,…,α_n}是由常数组成的对角阵，用于极局部模型的构建，k₁＝diag(k₁₁,k₁₂…k_1n)和k₂＝diag(k₂₁,k₂₂…k_2n)是正定矩阵，λ₁和λ₂都是正的常数且满足0＜λ₂＜1和λ₁＝2-λ₂，h_i＝[h_i1,h_i2,…,h_iL]^T分别表示第i个神经网络的权值和高斯基函数，和满足

将自适应律(11)带入到式(13)得到

其中η_i和ρ_i是正的常数；

使用自适应神经网络来补偿时延估计误差e_TDE，显然自适应神经网络的补偿值是有界的，则理想径向基神经网络也是有界的，由此||w_i||≤w_imax，|ε_i|≤ε_imax，w_imax和ε_imax分别为理想权值和理想网络误差的最大值，则式(14)转化为：

分4种情况来考虑：

(1)当时显然李雅普诺夫函数的导数此时机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法稳定；

(2)当李雅普诺夫函数的导数简化为：

根据柯西不等式：

其中λ₁，λ₂满足λ₁+λ₂＝2，将式(17)带入式(16)得到

当控制器参数满足时，李雅普诺夫函数的导数此时机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法稳定；

(3)当时，采用与情况(2)相同的方法分析，得到当控制器参数满足时，李雅普诺夫函数的导数此时机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法稳定；

(4)当时，采用与情况(2)相同的方法分析，得到当控制器参数满足时，李雅普诺夫函数的导数此时机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法稳定；

由式(12)可知，当||s||→∞或或时，李雅普诺夫函数趋于正无穷，机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法全局渐进稳定；

(3.2)证明机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法是有限时间收敛的：

设计另一个李雅普诺夫函数V_s：

将V_s对时间求一阶导数得到：

其中表示理想径向基神经网络输出f与实际径向基神经网络输出f_NN的误差，显然是有界的，假设μi是一个正的常数，则式(20)转化为

设计控制器参数使α_i和k_1i满足即则式(21)简化为

积分型终端滑模函数s在有限时间内收敛到邻域内，即机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法在领域是有限时间收敛的。

本发明的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法，具有如下有益效果：

(1)本发明以机械臂系统为研究对象，建立机械臂系统的极局部模型，模型中的未知项由时延估计方法来确定，时延估计误差用自适应神经网络来补偿，然后基于设计的模型设计滑模控制器，最终实现机械臂系统的无模型自适应滑模控制。

(2)在设计控制器时选择积分型终端滑模面，能够使机械臂系统的状态在在进入滑动阶段时能够在有限时间收敛到0，并且这种滑模面不存在传统非奇异终端滑模中收敛停滞的问题。

(3)趋近律项选择双幂次趋近律，既能提高滑模控制在到达阶段的收敛速度，又能有效的减弱滑模控制中抖振的影响。

(4)本发明设计的控制方法相比与传统滑模控制大大的提高了对期望轨迹的跟踪精度，对干扰具有很强的鲁棒性。

附图说明

图1是Denso VP-6242G机械臂仿真模型图；

图2是机械臂无模型自适应积分型终端滑模控制结构框图；

图3a是机械臂关节2跟踪曲线图；

图3b是机械臂关节3跟踪曲线图；

图4a是机械臂关节2跟踪误差图；

图4b是机械臂关节3跟踪误差图；

图5a是机械臂关节2控制器控制输出图；

图5b是机械臂关节3控制器控制输出图。

具体实施方式

下面结合实施例和附图对本发明的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法做出详细说明。

本发明的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法，包括如下步骤：

1)将多自由度机械臂的动力学模型简化为多关节机械臂系统的极局部模型；包括：

(1.1)根据Fliess的无模型理论，将如下多自由度机械臂的动力学模型：

简化为如下多关节机械臂系统的极局部模型：

这里分别为机械臂系统的角位置、角速度和角加速度向量，M(q)∈R^n×n是惯性矩阵，是离心力和科里奥利力矩阵，G(q)∈Rⁿ是重力矩阵，τ_d∈Rⁿ是外部干扰向量，τ∈Rⁿ是控制力矩向量，Λ＝diag{α₁,α₂,…,α_n}是由常数组成的对角阵，用于保持和τ在同一个数量级上；F包含了机械臂系统的未建模动态，外部干扰和其他不确定因素；

(1.2)为了确保极局部模型的有效性，F必须随时间不断更新。本发明使用时延估计方法对F进行更新

其中，Δt是更新的时间间隔，在这里要保证它足够小才能使极局部模型有效；

所述时延估计方法在F更新时产生误差表示为：

2)设计机械臂的无模型自适应积分终端滑模控制方法，包括首先根据多关节机械臂系统的极局部模型设计机械臂的无模型积分终端滑模控制方法，然后设计自适应神经网络补偿器对机械臂的无模型积分终端滑模控制方法中的F更新时产生的误差进行补偿，得到机械臂的无模型自适应积分终端滑模控制方法。包括：

(2.1)定义e(t)＝q(t)-q_d(t)，表示机械臂的角位置误差矢量和角速度误差矢量，其中q_d(t)是系统期望轨迹，为二阶可微；设计积分型终端滑模函数s＝diag(s₁,s₂…s_n)如下：

其中γ_i满足0＜γ₂＜1，γ₁＝γ₂/(1-γ₂)；a₁，a₂，sig(e)γ，sig(e)^γ表示为a_i＝diag(a_i1,…a_in)，i＝1,2，

为了降低滑模控制中抖振的影响，设计趋近律项为双幂次趋近律：

其中k₁＝diag(k₁₁,k₁₂…k_1n)和k₂＝diag(k₂₁,k₂₂…k_2n)是正定矩阵，λ₁和λ₂都是正的常数且满足0＜λ₂＜1和λ₁＝2-λ₂，sig(s)^λ＝[|s₁|^λsgn(s₁),…,|s_n|^λsgn(s_n)]^T；

根据公式(2)(3)(4)(5)(6)得出控制律公式：

(2.2)设计自适应神经网络补偿器

在所述的控制律公式中只有时延估计误差e_TDE是未知量，使用自适应径向基神经网络来补偿所述的时延估计误差e_TDE；

定义f∈Rⁿ为逼近时延估计的理想径向基神经网络输出：

其中w_i＝[w_i1,w_i2,…,w_iL]^T，h_i＝[h_i1,h_i2,…,h_iL]^T分别表示第i个神经网络的权值和高斯基函数；L是神经网络隐含层的节点数；为每个神经网络的输入；c_i＝[c_i1,c_i2,…,c_iL]和b_i＝[b_i1,b_i2,…,b_iL]分别表示第i个神经网络的中心矩阵和基宽向量；

设计f_NN∈Rⁿ为实际径向基神经网络输出：

其中是对理想权值w的估计，是网络逼近误差ε_i的估计；

将径向基神经网络用于补偿时延估计误差e_TDE，则所述的控制律公式进一步表示为：

为了使f_NN逼近时延估计误差e_TDE，并且保证网络权值和自适应补偿项有界，设计网络权值与自适应补偿项的自适应律为：

其中φ_i，η_i，ψ_i和ρ_i均为正的常数。

3)分析机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法的稳定性，包括证明所述的控制方法是全局渐进稳定和是有限时间收敛的。

引理1：对于一个闭环系统，假设存在一个连续函数V(x):D→R并满足以下条件：

(1)V(x)是正定的；(2)存在实数h＞0和λ∈(0,1)和一个平衡零点的邻域U∈D，使得

则这个闭环系统是有限时间稳定的。

具体包括：

(3.1)证明机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法是全局渐进稳定的：

定义李雅普诺夫函数V如下：

其中是的网络逼近误差的最优值ε_i与估计值的误差，是最优权值w_i与实际估计权值的误差，s＝[s₁,s₂…s_n]是积分型终端滑模函数，φ_i和ψ_i是正的常数；

对V求一阶导数得

其中Λ＝diag{α₁,α₂,…,α_n}是由常数组成的对角阵，用于极局部模型的构建，k₁＝diag(k₁₁,k₁₂…k_1n)和k₂＝diag(k₂₁,k₂₂…k_2n)是正定矩阵，λ₁和λ₂都是正的常数且满足0＜λ₂＜1和λ₁＝2-λ₂，h_i＝[h_i1,h_i2,…,h_iL]^T分别表示第i个神经网络的权值和高斯基函数，和满足

将自适应律(11)带入到式(14)得到

其中η_i和ρ_i是正的常数；

使用自适应神经网络来补偿时延估计误差e_TDE，显然自适应神经网络的补偿值是有界的，则理想径向基神经网络也是有界的，由此||w_i||≤w_imax，|ε_i|≤ε_imax，w_imax和ε_imax分别为理想权值和理想网络误差的最大值则式(15)转化为：

分4种情况来考虑：

(1)当时显然李雅普诺夫函数的导数此时机械臂无模型自适应积分终端滑模控制器稳定；

(2)当李雅普诺夫函数的导数简化为

根据柯西不等式：

其中λ₁，λ₂满足λ₁+λ₂＝2，将式(18)带入式(17)得到

当控制器参数满足时，李雅普诺夫函数的导数此时机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法稳定；

(3)当时，采用与情况(2)相同的方法分析，得到当控制器参数满足时，李雅普诺夫函数的导数此时机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法稳定；

(4)当时，采用与情况(2)相同的方法分析，得到当控制器参数满足时，李雅普诺夫函数的导数此时机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法稳定；

由式(15)可知，当||s||→∞，或时，李雅普诺夫函数趋于正无穷，机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法全局渐进稳定；

(3.2)证明机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法是有限时间收敛的：

设计另一个李雅普诺夫函数V_s：

将V_s对时间求一阶导数得到：

其中表示理想径向基神经网络输出f与实际径向基神经网络输出f_NN的误差，显然是有界的，假设μ_i是一个正的常数，则式(21)转化为

设计控制器参数使α_i和k_1i满足即则式(22)可以简化为

根据引理1可知，积分型终端滑模函数s在有限时间内收敛到邻域内，即机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法在领域是有限时间收敛的。

下面给出具体实施例：

本实施例具体结合如图1所示的六自由度机械臂，在本实施例中，仿真模型使用SolidWorks搭建，并使用MATLAB/SimMechanics转化为MATLAB能使用的模型。在仿真中，选择仿真模型的关节2和关节3作为控制对象，其关节1、关节4、关节5和关节6锁死，仿真采用的采样时间设置为0.001s。

结合图2的机械臂无模型自适应积分型终端滑模控制控制结构框图说明本实施方式，控制方法实现方法与发明内容相同。

图3a到图5b是本发明的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法与传统的滑模控制方法的仿真曲线比较图，在仿真中，仿真对象为图1所示机械臂的关节2和关节3，加入外部干扰τ_d＝[sin(10t),sin(10t)]^T，系统期望轨迹为q_d2＝(π/2)sin(2t)，q_d3＝(π/2)sin(2t)，机械臂初始位置为

本实施例的仿真参数如下：Λ＝diag(20,40)，a₁＝diag(15,20)，a₂＝diag(3,3)，γ₂＝0.9，k₁＝diag(2.5,1.5)，k₂＝diag(0.5,1.2)，λ₁＝3/2，λ₂＝1/2，w₀＝[1,1]^T，ε₀＝[1,1]^T，ψ＝diag(15,18)，ρ＝diag(2,2)，φ＝diag(20,15)，η＝diag(1,1)。

对比于传统滑模控制器，该控制器的控制输出为

其仿真参数为b＝diag(10,9)，k＝diag(16,15)，η＝diag(6,5)。

图3a和图3b是本发明方法在仿真模型关节2和关节3的轨迹跟踪图，从图中可以看出，两个关节在初始状态不为0的情况下都能在大约0.3s时追上期望轨迹，说明本发明的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法有良好的轨迹跟踪能力。

图4a和图4b是关节2与关节3在本发明的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法与传统的滑模控制器分别作用下的轨迹跟踪误差曲线的对比图，从图中可以看出，本发明的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法的跟踪误差远小于传统滑模控制的跟踪误差。

为了定量的分析两种控制器的跟踪性能，本实施例使用均方差来衡量控制器的跟踪性能。对两种控制器作用下的两个关节分别计算1s后的均方差，则本发明的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法作用下关节2和关节3的均方差分别为0.0045和0.0017，传统滑模控制器作用下关节2和关节3的均方差分别为0.0754和0.0502。相比于传统滑模控制器，关节2和关节3在本发明的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法作用下控制性能分别提升了94.1％和96.6％，体现出本发明的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法的良好的跟踪性能。

图5a和图5b是关节2和关节3在本发明的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法作用下控制输入随时间变化的曲线，从图中可以看出，两个关节的控制输入曲线光滑，不存在抖振现象，说明本发明的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法对于抖振的抑制起到一定的作用，有利于工程实际中应用。

Claims (4)

1.一种机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)将多自由度机械臂的动力学模型简化为多关节机械臂系统的极局部模型；

2)设计机械臂的无模型自适应积分终端滑模控制方法，包括首先根据多关节机械臂系统的极局部模型设计机械臂的无模型积分终端滑模控制方法，然后设计自适应神经网络补偿器对机械臂的无模型积分终端滑模控制方法中的F更新时产生的误差进行补偿，得到机械臂的无模型自适应积分终端滑模控制方法。

3)分析机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法的稳定性，包括证明所述的控制方法是全局渐进稳定和是有限时间收敛的。

2.根据权利要求1所述的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法，其特征在于，步骤1)包括：

(1.1)根据Fliess的无模型理论，将如下多自由度机械臂的动力学模型：

简化为如下多关节机械臂系统的极局部模型：

这里q,分别为机械臂系统的角位置、角速度和角加速度矢量，M(q)∈R^n×n是惯性矩阵，是离心力和科里奥利力矩阵，G(q)∈Rⁿ是重力矩阵，τ_d∈Rⁿ是外部干扰向量，τ∈Rⁿ是控制力矩向量，Λ＝diag{α₁,α₂,…,α_n}是由常数组成的对角阵，用于保持和τ在同一个数量级上；F包含了机械臂系统的未建模动态，外部干扰和其他不确定因素；

(1.2)使用时延估计方法对F进行更新：

其中，Δt是更新的时间间隔，在这里要保证它足够小才能使极局部模型有效；

所述时延估计方法在F更新时产生误差表示为：

3.根据权利要求1所述的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法，其特征在于，步骤2)包括：

(2.1)定义e(t)＝q(t)-q_d(t)，表示机械臂的角位置误差矢量和角速度误差矢量，其中q_d(t)是系统期望轨迹，为二阶可微；设计积分型终端滑模函数s如下：

其中γ_i满足0＜γ₂＜1，γ₁＝γ₂/(1-γ₂)；a₁，a₂，sig(e)^γ，sig(e)^γ表示为a_i＝diag(a_i1,…a_in)，i＝1,2，

为了降低滑模控制中抖振的影响，设计趋近律项为双幂次趋近律：

其中k₁＝diag(k₁₁,k₁₂…k_1n)和k₂＝diag(k₂₁,k₂₂…k_2n)是正定矩阵，λ₁和λ₂都是正的常数且满足0＜λ₂＜1和λ₁＝2-λ₂，sig(s)^λ＝[|s₁|^λsgn(s₁),…,|s_n|^λsgn(s_n)]^T；

根据公式(2)(3)(4)(5)(6)得出控制律公式：

(2.2)设计自适应神经网络补偿器

定义f∈Rⁿ为逼近时延估计的理想径向基神经网络输出：

其中w_i＝[w_i1,w_i2,…,w_iL]^T，h_i＝[h_i1,h_i2,…,h_iL]^T分别表示第i个神经网络的权值和高斯基函数；L是神经网络隐含层的节点数；为每个神经网络的输入；c_i＝[c_i1,c_i2,…,c_iL]和b_i＝[b_i1,b_i2,…,b_iL]分别表示第i个神经网络的中心矩阵和基宽向量；

设计f_NN∈Rⁿ为实际径向基神经网络输出：

其中是对理想权值w的估计，是网络逼近误差ε_i的估计；

将径向基神经网络用于补偿时延估计误差e_TDE，则所述的控制律公式进一步表示为：

为了使f_NN逼近时延估计误差e_TDE，并且保证网络权值和自适应补偿项有界，设计网络权值与自适应补偿项的自适应律为：

其中φ_i，η_i，ψ_i和ρ_i均为正的常数。

4.根据权利要求1所述的机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法，其特征在于，步骤3)包括：

(3.1)证明机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法是全局渐进稳定的：

定义李雅普诺夫函数V如下：

其中是的网络逼近误差的最优值ε_i与估计值的误差，是理想权值w_i与实际估计权值的误差，s＝[s₁,s₂…s_n]是积分型终端滑模函数，φ_i和ψi是正的常数；

对V求一阶导数得

其中Λ＝diag{α₁,α₂,…,α_n}是由常数组成的对角阵，用于极局部模型的构建，k₁＝diag(k₁₁,k₁₂…k_1n)和k₂＝diag(k₂₁,k₂₂…k_2n)是正定矩阵，λ₁和λ₂都是正的常数且满足0＜λ₂＜1和λ₁＝2-λ₂，h_i＝[h_i1,h_i2,…,h_iL]^T分别表示第i个神经网络的权值和高斯基函数，和满足

将自适应律(11)带入到式(13)得到

其中η_i和ρ_i是正的常数；

使用自适应神经网络来补偿时延估计误差e_TDE，显然自适应神经网络的补偿值是有界的，则理想径向基神经网络也是有界的，由此||w_i||≤w_imax，|ε_i|≤ε_imax，w_imax和ε_imax分别为理想权值和理想网络误差的最大值，则式(14)转化为：

分4种情况来考虑：

(1)当时显然李雅普诺夫函数的导数此时机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法稳定；

(2)当李雅普诺夫函数的导数简化为：

根据柯西不等式：

其中λ₁，λ₂满足λ₁+λ₂＝2，将式(17)带入式(16)得到

当控制器参数满足时，李雅普诺夫函数的导数此时机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法稳定；

(3)当时，采用与情况(2)相同的方法分析，得到当控制器参数满足时，李雅普诺夫函数的导数此时机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法稳定；

(4)当时，采用与情况(2)相同的方法分析，得到当控制器参数满足时，李雅普诺夫函数的导数此时机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法稳定；

由式(12)可知，当||s||→∞或或时，李雅普诺夫函数趋于正无穷，机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法全局渐进稳定；

(3.2)证明机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法是有限时间收敛的：

设计另一个李雅普诺夫函数V_s：

将V_s对时间求一阶导数得到：

其中表示理想径向基神经网络输出f与实际径向基神经网络输出f_NN的误差，显然是有界的，假设μ_i是一个正的常数，则式(20)转化为

设计控制器参数使α_i和k_1i满足即则式(21)简化为

积分型终端滑模函数s在有限时间内收敛到邻域内，即机械臂无模型自适应积分终端滑模控制方法在领域是有限时间收敛的。