CN110376882A - 基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于对单输入单输出系统的控制器设计领域，为提出基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法，能使扩张状态观测器的观测误差在有限时间内收敛到零，而且能使跟踪误差按预先设定的瞬态及稳态性能(如稳态误差)收敛，本发明采取的技术方案是，基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法，将系统的内部不确定性及外部扰动当作系统的“总扰动”，将其作为一个扩张状态，之后设计有限时间扩张状态观测器对该扩张状态进行观测，使得观测误差在有限时间内收敛到零，再设计预定性能控制器时对总扰动进行补偿，使得跟踪误差能以预先设定的性能收敛。本发明主要应用于自动化场合。

Description

基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法

技术领域

本发明属于对单输入单输出系统的控制器设计领域，具体涉及一种有限时间扩张状态观测器并根据该观测器设计的预定性能控制方法。

背景技术

在工业控制中，比例-积分-微分(PID)控制占据主导地位，PID控制虽然具有一定的鲁棒性，但实际系统存在着大量的内部参数不确定性以及外部干扰，当干扰过大时其控制性能会受到严重的影响，甚至导致系统失稳。自抗扰控制方法继承了经典和现代控制理论的优点，它的主要思想是将内部及外部扰动作为系统的“总扰动”，将其扩张为一个新的状态，用扩张状态观测器来观测这个新的状态，并在控制器中将其补偿掉。此方法不依赖系统具体的数学模型，具有很强的鲁棒性。自抗扰控制器主要包括三个部分：跟踪微分器、扩张状态观测器和状态反馈控制律。跟踪微分器可以快速提取微分信号，也可以用来安排过渡过程；扩张状态观测器用来估计系统的总扰动；状态反馈控制律用来对总扰动进行补偿且作用于被控对象。

扩张状态观测器是自抗扰控制方法中最为重要的部分，可分为线性扩张状态观测器和非线性扩张状态观测器，但两者都不能实现有限时间收敛。满足有限时间收敛的扩张状态观测器可以达到在时间上是最优的，其特点是能够使观测误差在有限时间内收敛到零。现有的有限时间状态观测器需要系统中关于状态的函数已知且满足利普希茨条件，而扩张状态的导数是未知的，因此已有观测器不能达到有限时间收敛。故需要设计改进的扩张状态观测器以使观测误差在有限时间内收敛到零。

自抗扰控制器虽然具有很强的鲁棒性，但不能保证系统跟踪误差按预先设定的瞬态(如超调量、收敛时间)及稳态性能(如稳态误差)收敛。为此，一些学者提出预定性能控制来解决此问题。预定性能控制的基本原理是通过引入性能函数来设置跟踪误差的边界，并使跟踪误差始终保持在设定好的边界内来保证跟踪性能。但是传统的预定性能控制需要跟踪误差的初始值在设定的边界内，且存在奇异性问题，故需要设计新的预定性能控制器解决此问题。

综上所述，本发明旨在解决扩张状态观测器有限时间收敛问题及预定性能控制的奇异性问题，具有明确的理论意义和重要的现实意义。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明旨在提出基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法，此方法不仅能使扩张状态观测器的观测误差在有限时间内收敛到零，而且能使跟踪误差按预先设定的瞬态(如超调量、收敛时间)及稳态性能(如稳态误差)收敛。为此，本发明采取的技术方案是，基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法，将系统的内部不确定性及外部扰动当作系统的“总扰动”，将其作为一个扩张状态，之后设计有限时间扩张状态观测器对该扩张状态进行观测，使得观测误差在有限时间内收敛到零，再设计预定性能控制器时对总扰动进行补偿，使得跟踪误差能以预先设定的性能收敛。

一、n+1阶有限时间扩张状态观测器

单输入单输出工业控制系统建模如下：

其中x为系统状态；为x的一阶导数；x⁽ⁱ⁾表示x的i阶导数，i＝2,…n-1；u为控制输入；b₀为控制输入u的增益；ω为系统外部扰动；为系统的总扰动，记为f，令其中表示f的导数，

与上述系统等价的扩张状态空间表达式为：

其中x＝[x₁,x₂,…,x_n+1]^T为系统的状态；x_n+1＝f为系统的扩张状态，令为公式(2)表示的系统的状态观测值，同时表示观测误差，则有限时间扩张状态观测器设计为：

其中[s₁,s₂,…,s_n+1]^T及[k₁,k₂,…,k_n+1]^T为待选的增益；α_i∈(0,1]，i＝1,2,…,n+1为待设计的误差项的指数；i＝2,…,n+1，其中是对进行低通滤波得到的；sign(e_i)为符号函数，具体表示为：

二、基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制器

对于公式(1)表示的系统，当有限时间扩张状态观测器精确观测其总扰动之后，设计预定性能控制器使系统跟踪误差的动态性能及稳态性能按照预先设定好的性能收敛，为达到此目的，利用性能函数ρ(t)设定跟踪误差的边界，若能使跟踪误差始终保持在边界内，则能保证瞬态和稳态性能；上述跟踪误差预定性能的描述采用表示，其中δ和为选取的正常数，z(t)为跟踪误差；当误差不在设定的边界内时，采用自抗扰控制使其收敛至设定的边界，之后改用预定性能控制使其保持在边界内。

进一步具体地：

一、将被控系统状态方程转化为扩张状态方程

单输入单输出系统表示如下：

其中x为系统状态；x⁽ⁿ⁾表示x的n阶导数；u为控制输入；b₀为控制输入u的增益；ω为系统外部扰动；为系统的总扰动，记为f，令其中表示f的导数，

与上述系统等价的状态空间表达式为：

将f当作总扰动，扩张为一个新的状态，则公式(4)表达的系统变为：

其中x＝[x₁,x₂,…,x_n+1]^T为系统的状态；x_n+1＝f为系统的扩张状态；

二、设计有限时间扩张状态观测器

对公式(5)表达的系统设计有限时间状态观测器分为以下两个步骤：

步骤1.设计有限时间扩张状态观测器的具体形式，首先令表示对公式(5)表达的系统中的状态观测值，同时令表示观测误差，则有限时间扩张状态观测器设计如下：

其中[s₁,s₂,…,s_n+1]^T及[k₁,k₂,…,k_n+1]^T为待选的增益；α_i∈(0,1]，i＝1,2,…,n+1为待设计的误差项的指数；i＝2,…,n+1，其中是对进行低通滤波得到的；sign(e_i)为符号函数，具体表示为：

步骤2.对式(6)所示的观测器，求解适当的参数使得观测误差在有限时间内收敛到零，根据式(5)及式(6)得到观测误差方程为：

为求得所需参数，还需要考虑如下的误差方程：

选取李雅普诺夫函数为V_α(e)＝χ^TS_∞(θ)χ，其中 S_∞(θ)为对称正定矩阵且θ>0，则V_α(e)是正定且径向无界的，用表示V_α(e)沿着公式(7)表达的系统的解的导数，用表示V_α(e)沿着公式(8) 表达的系统的解的导数，得到：

其中

令其中A_i,j＝δ_i,j-1，i≤i,j≤n+1，以此求得S_∞(θ)，随后选取增益并令α_i＝iα-(i-1)，i＝1,2,…,n+1，α∈(0,1]，得到:

其中lim_α→1b₁(α,θ)＝θ，

对于Y₁有：

定义k＝sup_i{k_i}，S＝sup_i,j{|S_∞(1)_i,j|}，得到：

根据杨氏不等式易得：

令则式(11)可表示为：

定义由于以及成立，得到:

对于Y₂有：

考虑到下列不等式成立：

则与Y₁的处理类似，得：

根据以上分析得：

其中

情况1：当V_α(e)>1时，由于0<1/2<β₁<1，因此有：

由于lim_α→1b₁(α,θ)＝θ，故存在α^*∈(0,1]及θ^*>1，使得当α∈(α^*,1]及θ∈(θ^*,+∞]时有其中集合包含在吸引域内，得到|e_i|≤ξ_i，i＝1,2,…,n+1成立，其中ξ_i是正常数，同时，观测误差在有限时间收敛到集合Ω₁＝{e:V_α(e)＝1} 中；

情况2：当V_α(e)≤1时，由于0<1/2<β₁<1，得到：

由此得出观测误差可以在有限时间收敛到集合中，且当选择足够大的θ时，可使Ω₂任意小；

由以上分析可知，存在很小的正常数τ_i，使得经过有限时间后有|e_i|<τ_i，i＝1,2,…,n+1恒成立，进而，考虑误差公式(7)表达的系统的前两项：

选择则e₁将在有限时间t₁内收敛到0，根据等效控制原理，当t>t₁时有因此t₁时刻后成立，选择得e₂也将在有限时间内收敛到零；

三、设计预定性能控制器

设计预定性能控制器需要以下两个步骤：

步骤1.设定边界以及根据边界进行误差转换，若函数ρ(t):R⁺→R⁺满足 lim_t→+∞ρ(t)＝ρ_∞>0，则ρ(t)被称为性能函数，选择ρ(t)＝(ρ₀-ρ_∞)exp(-lt)+ρ_∞为性能函数，其中ρ₀、ρ_∞、l为正常数，用z(t)＝y(t)-y_d(t)表示系统的跟踪误差，则跟踪误差的瞬态和稳态性能描述为：

其中y_d(t)为参考输入信号，δ、为要设计的正常数。若跟踪误差始终保持在设定的边界内，则能保证其瞬态和稳态性能。通过对误差进行转换，将z(t)、ρ(t)简写为z、ρ，并定义将式(14)转化为如下等价形式：

则误差转换方法设计为：

由此得到转换误差为若能保证转换误差ε有界，则能保证原误差z有界，且始终保持在设定的边界内，即可以按照预先设定的性能收敛，进一步，求取关于转换误差ε关于时间的导数：

其中

步骤2.设计控制器使跟踪误差到达边界内且保持在边界内，当初始误差未在设定的边界内时，利用自抗扰控制方法使其收敛到边界内，之后转换为预定性能控制方法，使误差始终保持在边界内，即将控制器设计为：

当选择适当的ω_c时，控制器u₀总会使得跟踪误差收敛到集合Ω内，此后设计控制器u₁使得跟踪误差保持在设定的边界内；

在此采用反步法设计u₁，令z_i＝x_i-Φ_i-1，i＝2,…,n，其中Φ_i-1为虚拟控制量，选取李雅普诺夫函数为i＝2,3,…,n，则虚拟控制量Φ_i-1及控制律u₁设计为：

当u₁设计为如式(15)时，能够保证系统始终保持在设定的边界内。

对于式(3)所示系统，若跟踪误差z的初始值则控制器(15)使z收敛到Ω，且一旦z收敛到Ω，则会一直保持在Ω内，进而保证了瞬态和稳态性能。

进一步地，若有限时间扩张状态观测器参数选择为：

α_i＝iα-(i-1)，i＝1,2,…,n+1，α∈(0,1]；k_i，i＝1,2,…,n+1 为适当正常数，则观测误差满足有限时间收敛，其中A_i,j＝δ_i,j-1，i≤i,j≤n+1。

公式(1)表达的系统可为伺服控制系统、飞行器控制系统、运动控制系统、气动系统中的一种。

双轮差速轮式移动机器人运动学模型为：

其中[x y]为机器人在全局坐标系中的位置，φ为机器人前进方向与X轴的夹角，υ和ω分别为其线速度和角速度，此处作为控制输入采用双闭环控制策略设计双轮差速轮式移动机器人的控制器，[x_d y_d]及φ_d分别为期望的位置和期望的姿态角，位置子系统为外环，姿态子系统为内环，外环控制器产生速度信号，同时产生姿态角的期望指令信号并传递给内环系统；内环控制器产生角速度信号来达到对期望姿态角的跟踪，将前述方法应用于机器人内环姿态角控制，姿态角的动态模型为式(16)的第三个式子，同时考虑到系统运行过程中受到的扰动，则得到带有扰动的姿态角运动学模型为：

其中d_φ(t)为姿态子系统受到的总扰动，令[φ₁ φ₂]^T＝[φ d_φ(t)]^T，则针对公式(17)表达系统，得到有限时间扩张状态观测器为:

其中为[φ₁ φ₂]^T的观测值，为观测误差，其余参数及符号由式(6)确定，定义跟踪误差为z_φ＝φ-φ_d，则得姿态角控制器为：

其中为φ_d的一阶导数，其余参数及符号可由式(15)确定。

本发明的特点及有益效果是：

与传统的扩张状态观测器相比，本发明中的有限时间扩张状态观测器能够使得观测值具有更小的峰值、更快的收敛速度及更高的精确度。当选取合适的观测器参数时，观测器的状态可在有限时间内收敛到系统实际的状态。与传统的自抗扰控制方法相比，本发明采用预定性能控制方法，能使跟踪误差按照预先设定的性能收敛。与传统的预定性能控制方法相比，本发明采用新的误差转换方法，解决了奇异性问题，同时消除了初始误差需要在预先设定的边界内这一限制条件。

附图说明：

图1是有限时间扩张状态观测器的设计流程图。

图2是跟踪误差预定性能的表示。

图3是基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法的结构图。

具体实施方式

为克服现有技术的不足，提出基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法，此方法不仅能使扩张状态观测器的观测误差在有限时间内收敛到零，而且能使跟踪误差按预先设定的瞬态(如超调量、收敛时间)及稳态性能(如稳态误差)收敛。本发明采用的技术方案是，基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法，包括：

一、n+1阶有限时间扩张状态观测器

工程实际中,系统的动态模型和控制增益往往是很难精确建立和确定的,存在各种不确定性。通过引入总扰动这一概念，多数工业控制系统可以建模为如下的单输入单输出系统：

其中x为系统状态；x⁽ⁿ⁾表示x的n阶导数；u为控制输入；b₀为控制输入u的增益；ω为系统外部扰动；为系统的总扰动，记为f，令其中表示f的导数，

与上述系统等价的扩张状态空间表达式为：

其中x＝[x₁,x₂,…,x_n+1]^T为系统的状态；x_n+1＝f为系统的扩张状态。令表示系统(2)的状态观测值，同时表示观测误差，则有限时间扩张状态观测器可设计为：

其中[s₁,s₂,…,s_n+1]^T及[k₁,k₂,…,k_n+1]^T为待选的增益；α_i∈(0,1]，i＝1,2,…,n+1为待设计的误差项的指数；i＝2,…,n+1，其中是对进行低通滤波得到的；sign(e_i)为符号函数，可表示为：

二、基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制器

对于系统(1)，当有限时间扩张状态观测器精确观测其总扰动之后，可设计预定性能控制器使系统跟踪误差的动态性能(如超调量、收敛时间)及稳态性能(如稳态误差)按照预先设定好的性能收敛。为达到此目的，可利用性能函数ρ(t)设定跟踪误差的边界，若能使跟踪误差始终保持在边界内，则能保证瞬态和稳态性能。上述跟踪误差预定性能的描述可用表示，其中δ和为选取的正常数，z(t)为跟踪误差。传统的预定性能控制方法需要满足跟踪误差的初始值在设定好的边界内的条件，这不利于实际应用。为消除此限制条件，当误差不在设定的边界内时，可采用自抗扰控制使其收敛至设定的边界，之后改用预定性能控制使其保持在边界内。此外，预定性能控制是利用误差转换来进行控制器设计的，但是传统的方法存在奇异性问题，因此如何采用新的误差转换方法避免奇异性问题是一个亟待解决的问题。

本发明所采用的技术方案是将系统的内部不确定性及外部扰动当作系统的“总扰动”，将其作为一个扩张状态。之后设计有限时间扩张状态观测器进行状态的观测，使得观测误差在有限时间内收敛到零。在设计预定性能控制器时对总扰动进行补偿，使得跟踪误差能以预先设定的性能收敛。本发明适用于任意阶次的单输入单输出系统。

为了使本发明的技术目的、方案及优点等更清楚，以下将对基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法的设计原理、方法步骤等方面作详细说明。

基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法，具体步骤如下：

一、将被控系统状态方程转化为扩张状态方程

一般性的单输入单输出系统表示如下：

其中x为系统状态；x⁽ⁿ⁾表示x的n阶导数；u为控制输入；b₀为控制输入u的增益；ω为系统外部扰动；为系统的总扰动，记为f，令其中表示f的导数，一大类工业控制系统均可由系统(1)表示，如伺服控制系统、飞行器控制系统、运动控制系统、气动系统等。

与上述系统等价的状态空间表达式为：

将f当作总扰动，扩张为一个新的状态，则系统(4)变为：

其中x＝[x₁,x₂,…,x_n+1]^T为系统的状态；x_n+1＝f为系统的扩张状态；

二、设计有限时间扩张状态观测器

对系统(5)设计有限时间状态观测器可分为以下两个步骤：

步骤1.设计有限时间扩张状态观测器的具体形式，首先令表示对系统(5)中的状态观测值，同时令表示观测误差，则有限时间扩张状态观测器可设计如下：

其中[s₁,s₂,…,s_n+1]^T及[k₁,k₂,…,k_n+1]^T为待选的增益；α_i∈(0,1]，i＝1,2,…,n+1为待设计的误差项的指数；i＝2,…,n+1，其中是对进行低通滤波得到的；sign(e_i)为符号函数，可表示为：

步骤2.对式(6)所示的观测器，求解适当的参数使得观测误差在有限时间内收敛到零。根据式(5)及式(6)可得观测误差方程为：

为求得所需参数，还需要考虑如下的误差方程：

选取李雅普诺夫函数为V_α(e)＝χ^TS_∞(θ)χ，其中 S_∞(θ)为对称正定矩阵且θ>0，则V_α(e)是正定且径向无界的。用表示V_α(e)沿着系统(7)的解的导数，用表示V_α(e)沿着系统(8)的解的导数，可得：

其中

令其中A_i,j＝δ_i,j-1，i≤i,j≤n+1，以此求得S_∞(θ). 随后选取增益并令α_i＝iα-(i-1)，i＝1,2,…,n+1，α∈(0,1]，则根据文献“Y.Shen,Q.Wang，Semi-global finite-time observers for nonlinearsystems. (非线性系统的半全局有限时间观测器)Automatica,44(12):3152–3156,2008”可得:

其中lim_α→1b₁(α,θ)＝θ，

对于Y₁有：

定义k＝sup_i{k_i}，S＝sup_i,j{|S_∞(1)_i,j|}，可以得到：

根据杨氏不等式易得：

令则式(11)可表示为：

定义由于以及成立，可得:

对于Y₂有：

考虑到下列不等式成立：

则与Y₁的处理类似，可得：

根据以上分析得：

其中

为分析其收敛性，下面将分为两种情况进行讨论：

情况1：当V_α(e)>1时，由于0<1/2<β₁<1，因此有：

由于lim_α→1b₁(α,θ)＝θ，故存在α^*∈(0,1]及θ^*>1，使得当α∈(α^*,1]及θ∈(θ^*,+∞]时有其中集合包含在吸引域内。还可以得到|e_i|≤ξ_i， i＝1,2,…,n+1成立，其中ξ_i是正常数。同时，观测误差可在有限时间收敛到集合Ω₁＝{e:V_α(e)＝1}中。

情况2：当V_α(e)≤1时，由于0<1/2<β₁<1，可以得到：

由此可以得到观测误差可以在有限时间收敛到集合中，且当选择足够大的θ时，可使Ω₂任意小。

由以上分析可知，存在很小的正常数τ_i，使得经过有限时间后有|e_i|<τ_i，i＝1,2,…,n+1恒成立。在此之后，考虑误差系统(7)的前两项：

选择则e₁将在有限时间t₁内收敛到0，根据等效控制原理，当t>t₁时有因此t₁时刻后成立，选择可得e₂也将在有限时间内收敛到零。应用同样的分析方法，可以得到观测误差都将在有限时间内收敛到零。

由以上分析可以得到如下关于有限时间扩张状态观测器的定理。

定理1：若有限时间扩张状态观测器参数选择为：

α_i＝iα-(i-1)，i＝1,2,…,n+1，α∈(0,1]；k_i，i＝1,2,…,n+1 为适当正常数，则观测误差满足有限时间收敛，其中A_i,j＝δ_i,j-1，i≤i,j≤n+1，设计有限时间扩张状态观测器的步骤如图1所示。

三、设计预定性能控制器

设计预定性能控制器需要以下两个步骤：

步骤1.设定边界以及根据边界进行误差转换。若函数ρ(t):R⁺→R⁺满足 lim_t→+∞ρ(t)＝ρ_∞>0，则ρ(t)被称为性能函数，通常选择ρ(t)＝(ρ₀-ρ_∞)exp(-lt)+ρ_∞为性能函数，其中ρ₀、ρ_∞、l为正常数。用z(t)＝y(t)-y_d(t)表示系统的跟踪误差，则跟踪误差的瞬态和稳态性能可描述为：

其中y_d(t)为参考输入信号，δ、为要设计的正常数。若跟踪误差始终保持在设定的边界内，则能保证其瞬态和稳态性能，关于跟踪误差预定性能的表示如图2所示。为了达到此目的，需要对误差进行转换，由于传统的误差转换方式存在奇异性问题，故提出一种新的误差转换方式。为书写方便，将z(t)、ρ(t)简写为z、ρ，并定义若使用新的误差转换方式，则需要将式(14)转化为如下等价形式：

则新的误差转换方法设计为：

由此得到转换误差为若能保证转换误差ε有界，则能保证原误差z有界，且始终保持在设定的边界内，即可以按照预先设定的性能收敛。进一步，求取关于转换误差ε关于时间的导数：

其中

2.设计控制器使跟踪误差到达边界内且保持在边界内。传统的预定性能控制方法需要满足初始跟踪误差在预先设定好的边界内这一限制条件。为解决这一限制，当初始误差未在设定的边界内时，可以利用自抗扰控制方法使其收敛到边界内，之后转换为预定性能控制方法，使误差始终保持在边界内，即可以将控制器设计为：

文献“Q.Zheng,L.Gao,On stability analysis of active disturbancerejection control for nonlinear time-varying plants with unknown dynamics(具有未知动态非线性时变系统的自抗扰控制稳定性分析),in Proceedings of 46th IEEEConference on Decision and Control，2007:3501–3506.”指出，当时，跟踪误差及其n-1阶导数有界，其中i＝1,2,…,n，ω_c>0，且其界会随着ω_c的增大而减小。由此可知，当选择适当的ω_c时，控制器u₀总会使得跟踪误差收敛到集合Ω内，此后便可设计控制器u₁使得跟踪误差保持在设定的边界内。

在此采用反步法设计u₁，令z_i＝x_i-Φ_i-1，i＝2,…,n，其中Φ_i-1为虚拟控制量，选取李雅普诺夫函数为i＝2,3,…,n，则虚拟控制量Φ_i-1及控制律u₁可设计为：

当u₁设计为如式(15)时，能够保证系统始终保持在设定的边界内。为了验证其可行性，求取V_n关于时间的导数并将u₁代入可得：

其中因此ε和z_i是有界的，从而得到原跟踪误差z也是有界的，且可以按照预先设定的性能收敛。

由以上分析可得到以下定理：

定理2：对于式(3)所示系统，若跟踪误差z的初始值则控制器(15)可以使z收敛到Ω，且一旦z收敛到Ω，则会一直保持在Ω内，进而保证了瞬态和稳态性能。

以上是本发明的具体实现步骤，图3为整体框架。将控制输入信号u及输出y送至有限时间扩张状态观测器中，得到n+1阶观测器状态将施加到自抗扰控制器中得到u₀，且将施加到预定性能控制器中得到u₁.对输出信号与参考输入信号进行比较，以此判断初始误差是否在设定的边界内。若初始误差在边界内，则直接把控制量u₁施加到被控对象中进行控制。若初始误差不在设定的边界内，首先需要把自抗扰控制器得到的u₀施加到被控对象中，以使跟踪误差进入边界内，此后再转换为u₁对被控对象进行控制。

为说明本发明的有效性，现将其应用于双轮差速轮式移动机器人的姿态角控制。移动机器人指的是能在室内、道路及野外等不同环境连续实时自主运动的智能机器人。双轮差速轮式移动机器人是移动机器人的一种，具有较高的自主性、智能性和对外界环境的自适应性的优点，被广泛应用于工业、农业、反恐防暴、家庭、空间探测等领域。同时，其运动学模型为欠驱动系统，并且其工作环境存在各式各样的扰动。故如何设计控制器以达到更好的控制效果是一个值得研究的课题。

双轮差速轮式移动机器人结构：通过控制两驱动轮速度来控制机器人前进和转向。图中 OXY为全局平面坐标系，G为重心，R为驱动轮的半径。机器人的运动学模型为：

其中[x y]为机器人在全局坐标系中的位置，φ为机器人前进方向与X轴的夹角，υ和ω分别为其线速度和角速度，此处作为控制输入。采用双闭环控制策略设计双轮差速轮式移动机器人的控制器，其中[x_d y_d]及φ_d分别为期望的位置和期望的姿态角。位置子系统为外环，姿态子系统为内环。外环控制器产生速度信号，同时产生姿态角的期望指令信号并传递给内环系统。内环控制器产生角速度信号来达到对期望姿态角的跟踪。在双闭环控制策略中，内环相比于外环需要更高的精度及收敛速度，内环控制的好坏直接影响到整个闭环系统的跟踪性能。同时，在系统运行过程中存在各种各样的扰动。故将本发明应用于机器人内环姿态角控制，从而提高整个系统的跟踪性能。姿态角的动态模型为式(16)的第三个式子，同时考虑到系统运行过程中受到的扰动，则可得带有扰动的姿态角运动学模型为：

其中d_φ(t)为姿态子系统受到的总扰动。令[φ₁ φ₂]^T＝[φ d_φ(t)]^T，则针对系统(17)，根据定理1可得有限时间扩张状态观测器为:

其中为[φ₁ φ₂]^T的观测值，为观测误差。其余参数及符号可由定理1 及式(6)确定。定义跟踪误差为z_φ＝φ-φ_d，则根据定理2可得姿态角控制器为：

其中为φ_d的一阶导数，其余参数及符号可由式(15)确定。

本发明以加拿大Quanser公司生产的Qbot 2双轮差速移动机器人为实验平台，来验证控制器(19)的有效性。Quanser公司将其自主研发的QUARC软件集成在MATLAB/Simulink 软件中，通过QUARC软件可将Simulink产生的代码下载到实验平台，并实现上位机与平台的实时通信。同时，在室内安装定位摄像头，可实现对Qbot 2的定位并将数据实时的采集到上位机。因而本实验平台可以方便的验证本算法。

在实验中，设定φ_d＝0.5sin(0.5t)，φ的初始值φ(0)＝-0.4，控制器参数选为ρ₀＝0.5, ρ_∞＝0.05,l＝0.5,δ＝0.5,κ₁＝20，观测器参数选为θ＝5,k₁＝0.1,k₂＝0.1。通过实验结果可以看出本发明所提算法能够使得Qbot 2的姿态角跟踪上给定的期望信号，并能使误差始终保持在设定的边界内。

Claims (4)

1.一种基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法，其特征是，将系统的内部不确定性及外部扰动当作系统的“总扰动”，将其作为一个扩张状态，之后设计有限时间扩张状态观测器对该扩张状态进行观测，使得观测误差在有限时间内收敛到零，再设计预定性能控制器时对总扰动进行补偿，使得跟踪误差能以预先设定的性能收敛。

2.如权利要求1所述的基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法，其特征是，具体地：

一、n+1阶有限时间扩张状态观测器

单输入单输出工业控制系统建模如下：

其中x为系统状态；为x的一阶导数；x⁽ⁱ⁾表示x的i阶导数，i＝2,…n-1；u为控制输入；b₀为控制输入u的增益；ω为系统外部扰动；为系统的总扰动，记为f，令其中表示f的导数，

与上述系统等价的扩张状态空间表达式为：

其中x＝[x₁,x₂,…,x_n+1]^T为系统的状态；x_n+1＝f为系统的扩张状态，令为公式(2)表示的系统的状态观测值，同时表示观测误差，则有限时间扩张状态观测器设计为：

其中[s₁,s₂,…,s_n+1]^T及[k₁,k₂,…,k_n+1]^T为待选的增益；α_i∈(0,1]，i＝1,2,…,n+1为待设计的误差项的指数；其中是对进行低通滤波得到的；sign(e_i)为符号函数，具体表示为：

二、基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制器

对于公式(1)表示的系统，当有限时间扩张状态观测器精确观测其总扰动之后，设计预定性能控制器使系统跟踪误差的动态性能及稳态性能按照预先设定好的性能收敛，为达到此目的，利用性能函数ρ(t)设定跟踪误差的边界，若能使跟踪误差始终保持在边界内，则能保证瞬态和稳态性能；上述跟踪误差预定性能的描述采用表示，其中δ和为选取的正常数，z(t)为跟踪误差；当误差不在设定的边界内时，采用自抗扰控制使其收敛至设定的边界，之后改用预定性能控制使其保持在边界内。

3.如权利要求1所述的基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法，其特征是，进一步具体地：

一、将被控系统状态方程转化为扩张状态方程

单输入单输出系统表示如下：

其中x为系统状态；x⁽ⁿ⁾表示x的n阶导数；u为控制输入；b₀为控制输入u的增益；ω为系统外部扰动；为系统的总扰动，记为f，令其中表示f的导数，

与上述系统等价的状态空间表达式为：

将f当作总扰动，扩张为一个新的状态，则公式(4)表达的系统变为：

其中x＝[x₁,x₂,…,x_n+1]^T为系统的状态；x_n+1＝f为系统的扩张状态；

二、设计有限时间扩张状态观测器

对公式(5)表达的系统设计有限时间状态观测器分为以下两个步骤：

步骤1.设计有限时间扩张状态观测器的具体形式，首先令表示对公式(5)表达的系统中的状态观测值，同时令表示观测误差，则有限时间扩张状态观测器设计如下：

其中[s₁,s₂,…,s_n+1]^T及[k₁,k₂,…,k_n+1]^T为待选的增益；α_i∈(0,1]，i＝1,2,…,n+1为待设计的误差项的指数；其中是对进行低通滤波得到的；sign(e_i)为符号函数，具体表示为：

步骤2.对式(6)所示的观测器，求解适当的参数使得观测误差在有限时间内收敛到零，根据式(5)及式(6)得到观测误差方程为：

为求得所需参数，还需要考虑如下的误差方程：

选取李雅普诺夫函数为V_α(e)＝χ^TS_∞(θ)χ，其中 S_∞(θ)为对称正定矩阵且θ>0，则V_α(e)是正定且径向无界的，用表示V_α(e)沿着公式(7)表达的系统的解的导数，用表示V_α(e)沿着公式(8)表达的系统的解的导数，得到：

其中

令其中A_i,j＝δ_i,j-1，i≤i,j≤n+1，以此求得S_∞(θ)，随后选取增益并令α_i＝iα-(i-1)，i＝1,2,…,n+1，α∈(0,1]，得到:

其中lim_α→1b₁(α,θ)＝θ，

对于Y₁有：

定义k＝sup_i{k_i}，S＝sup_i,j{|S_∞(1)_i,j|}，得到：

根据杨氏不等式易得：

令则式(11)可表示为：

定义由于以及成立，得到:

对于Y₂有：

考虑到下列不等式成立：

则与Y₁的处理类似，得：

根据以上分析得：

其中

情况1：当V_α(e)>1时，由于0<1/2<β₁<1，因此有：

由于lim_α→1b₁(α,θ)＝θ，故存在α^*∈(0,1]及θ^*>1，使得当α∈(α^*,1]及θ∈(θ^*,+∞]时有其中集合包含在吸引域内，得到|e_i|≤ξ_i，i＝1,2,…,n+1成立，其中ξ_i是正常数，同时，观测误差在有限时间收敛到集合Ω₁＝{e:Vα(e)＝1}中；

情况2：当V_α(e)≤1时，由于0<1/2<β₁<1，得到：

由此得出观测误差可以在有限时间收敛到集合中，且当选择足够大的θ时，可使Ω₂任意小；

由以上分析可知，存在很小的正常数τ_i，使得经过有限时间后有|e_i|<τ_i，i＝1,2,…,n+1恒成立，进而，考虑误差公式(7)表达的系统的前两项：

选择则e₁将在有限时间t₁内收敛到0，根据等效控制原理，当t>t₁时有因此t₁时刻后成立，选择得e₂也将在有限时间内收敛到零；

三、设计预定性能控制器

设计预定性能控制器需要以下两个步骤：

步骤1.设定边界以及根据边界进行误差转换，若函数ρ(t):R⁺→R⁺满足lim_t→+∞ρ(t)＝ρ_∞>0，则ρ(t)被称为性能函数，选择ρ(t)＝(ρ₀-ρ_∞)exp(-lt)+ρ_∞为性能函数，其中ρ₀、ρ_∞、l为正常数，用z(t)＝y(t)-y_d(t)表示系统的跟踪误差，则跟踪误差的瞬态和稳态性能描述为：

其中y_d(t)为参考输入信号，δ、为要设计的正常数。若跟踪误差始终保持在设定的边界内，则能保证其瞬态和稳态性能。通过对误差进行转换，将z(t)、ρ(t)简写为z、ρ，并定义将式(14)转化为如下等价形式：

则误差转换方法设计为：

由此得到转换误差为若能保证转换误差ε有界，则能保证原误差z有界，且始终保持在设定的边界内，即可以按照预先设定的性能收敛，进一步，求取关于转换误差ε关于时间的导数：

其中

步骤2.设计控制器使跟踪误差到达边界内且保持在边界内，当初始误差未在设定的边界内时，利用自抗扰控制方法使其收敛到边界内，之后转换为预定性能控制方法，使误差始终保持在边界内，即将控制器设计为：

当选择适当的ω_c时，控制器u₀总会使得跟踪误差收敛到集合Ω内，此后设计控制器u₁使得跟踪误差保持在设定的边界内；

在此采用反步法设计u₁，令z_i＝x_i-Φ_i-1，i＝2,…,n，其中Φ_i-1为虚拟控制量，选取李雅普诺夫函数为则虚拟控制量Φ_i-1及控制律u₁设计为：

当u₁设计为如式(15)时，能够保证系统始终保持在设定的边界内。

对于式(3)所示系统，若跟踪误差z的初始值则控制器(15)使z收敛到Ω，且一旦z收敛到Ω，则会一直保持在Ω内，进而保证了瞬态和稳态性能。

进一步地，若有限时间扩张状态观测器参数选择为：

α_i＝iα-(i-1)，i＝1,2,…,n+1，α∈(0,1]；k_i，i＝1,2,…,n+1为适当正常数，则观测误差满足有限时间收敛，其中A_i,j＝δ_i,j-1，i≤i,j≤n+1。

公式(1)表达的系统可为伺服控制系统、飞行器控制系统、运动控制系统、气动系统中的一种。

4.如权利要求1所述的基于有限时间扩张状态观测器的预定性能控制方法，其特征是，双轮差速轮式移动机器人运动学模型为：

其中[x y]为机器人在全局坐标系中的位置，φ为机器人前进方向与X轴的夹角，υ和ω分别为其线速度和角速度，此处作为控制输入采用双闭环控制策略设计双轮差速轮式移动机器人的控制器，[x_d y_d]及φ_d分别为期望的位置和期望的姿态角，位置子系统为外环，姿态子系统为内环，外环控制器产生速度信号，同时产生姿态角的期望指令信号并传递给内环系统；内环控制器产生角速度信号来达到对期望姿态角的跟踪，将前述方法应用于机器人内环姿态角控制，姿态角的动态模型为式(16)的第三个式子，同时考虑到系统运行过程中受到的扰动，则得到带有扰动的姿态角运动学模型为：

其中d_φ(t)为姿态子系统受到的总扰动，令[φ₁ φ₂]^T＝[φ d_φ(t)]^T，则针对公式(17)表达系统，得到有限时间扩张状态观测器为:

其中为[φ₁ φ₂]^T的观测值，为观测误差，其余参数及符号由式(6)确定，定义跟踪误差为z_φ＝φ-φ_d，则得姿态角控制器为：

其中为φ_d的一阶导数，其余参数及符号可由式(15)确定。