CN110744552A - 一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂运动控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于柔性机械臂领域，具体涉及一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂运动控制方法。具体包括滑模变结构控制和最优控制相结合的组合控制方法。首先，考虑外界扰动对系统影响，设计滑模控制器实现对柔性机械臂的轨迹跟踪；同时采用最小二乘法估计慢时间尺度下系统的振动量，为快时间尺度系统控制器设计奠定基础；然后，在快时间尺度下，基于最优控制理论，设计振动控制器实现对柔性机械臂的振动抑制；最后，利用奇异摄动原理将二者组合实现对柔性机械臂的组合运动控制。本发明提出一种新的基于滑模控制和最优控制的柔性机械臂组合控制方法，利用该方法能够实现柔性机械臂的位置跟踪和振动抑制的双重控制目标。

Description

一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂运动控制方法

技术领域

本发明属于柔性机械臂领域，具体涉及一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂运动控制方法。

背景技术

机器人技术在航空航天、海洋探测、工业制造、生活娱乐等领域都有迫切需求，是工业制造领域重点研究内容之一。人工智能技术和先进控制方法的深度融合是提高机器人系统在复杂工作环境下的稳定性、自适应性、抗干扰性、最优性，实现高精度、高可靠性运动控制的有效手段，引起了工业界和学术界的广泛关注。

机械臂作为机器人领域的重要分支，一直是专家学者的研究热点。机械臂依照指令，模仿人的手臂工作，完成机械抓取、搬运等工作。传统机械臂主要通过增加材料刚度提高定位精度，但是较大的刚度会导致工作定位滞后、能耗大、速度低、成本高等问题。

增加连杆的柔性，能够有效解决上述问题，解决操作时高速度与精确性之间的矛盾。目前，一般将存在关节柔性或臂杆柔性，且能够满足轻质、高速要求的机械臂称之为柔性机械臂。柔性机器臂具有质轻、高速、低能耗等优点，在机器人领域尤其在空间机器人领域占有重要位置，因而得到广大专家学者的关注与研究。柔性机械臂具有高耦合、无限维、连续分布参数等特性，且运动过程中存在较大变形，使其运动规律与传统刚性机械臂有着本质上的区别。因而在柔性机械臂的动力学建模、运动控制设计方面都比传统刚性机械臂复杂。因此，如何建立行之有效的数学模型，如何设计高性能的控制器，实现对柔性机械臂的运动控制，是柔性机械臂领域两个重要的研究方向。

由于柔性机械臂结构柔性存在，使得系统具有刚柔耦合、非线性、参数不确定、无限维等特性，这些特性给柔性机械臂的动力学建模与控制带来极大困难。为刻画上述特性，一般先通过Lagrange法、Newton-Euler法、Kane方程法等建立起柔性机械臂的偏微分方程，模型虽然精确，但方程不易求解，难以在偏微分方程基础上直接设计控制器实现对柔性机械臂的运动控制。一大批学者在上述偏微分方程基础上，利用假设模态法、有限元法、集中质量法等描述柔性机械臂的柔性变形，进一步将柔性机械臂偏微分动态方程转化为一般性常微分方程，在此基础上设计控制器。

柔性机械臂是一类刚柔耦合、无限维、参数不确定系统。由于负载质量和外界干扰存在，柔性机械臂在运动过程中，容易发生弯曲、拉伸变形，从而引起柔性机械臂的振动问题。柔性振动的存在大大降低了机械臂的定位精度。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂组合控制方法，在多时间尺度下，解决柔性机械臂的运动控制问题。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂运动控制方法，包括如下步骤：

步骤(1)：利用奇异摄动理论在不同时间尺度下将柔性机械臂系统分解为不同时间尺度下的子系统，在此基础上进行控制器设计；

步骤(2)：考虑外界扰动对系统影响，在慢时间尺度下基于滑模变结构设计滑模控制器，即慢控制器，实现对柔性机械臂的轨迹跟踪；

步骤(3)：采用最小二乘法估计慢时间尺度下系统的振动量，为快时间尺度系统控制器设计奠定基础；

步骤(4)：在快时间尺度下，基于最优控制理论设计振动控制器，即快控制器，实现对柔性机械臂的振动抑制；

步骤(5)：利用奇异摄动原理将步骤(2)的滑模控制器和步骤(4)的振动控制器组合，实现对柔性机械臂的组合运动控制。

本发明基于奇异摄动理论将柔性机械臂分解为描述刚性运动的慢子系统和描述柔性振动的快子系统，在不同时间尺度下分别设计控制器，实现柔性机械臂轨迹跟踪控制的同时抑制柔性振动，方法实现简单，控制精度高。在慢时间尺度下，柔性机械臂运动过程易受到外界慢时变干扰影响，且系统参数不确定固定存在，造成跟踪精度降低。滑模控制通过设计切换平面，使系统在变结构控制策略下沿着设计的超平面方向收敛，对满足匹配条件的参数不确定性和外界扰动具有良好的鲁棒性。利用滑模变结构设计控制器实现对柔性机械臂的轨迹跟踪具有较强鲁棒性和抗干扰性。在快时间尺度下，设计最优控制器实现对柔性机械臂的振动抑制，实验结果表明该方法具有较好的控制效果，但该方法没有考虑慢振动状态对系统影响，使得控制精度降低。因此，基于奇异摄动理论在不同时间尺度下分别设计控制器应充分考虑外界干扰及参数变化对系统影响，同时在快时间尺度下应充分考虑慢振动状态对系统的影响。

本发明与现有技术相比，其显著优点在于：

(1)提出一种新的基于滑模控制和最优控制的柔性机械臂组合控制方法，实验结果表明该方法具有更好的控制效果，丰富和拓展柔性机械臂的运动控制理论；

(2)利用最小二乘法实现对慢振动状态估计，重构快动态设计控制器，控制精度更高；

(3)基于奇异摄动理论证明系统闭环稳定，实验结果该方法具有较好的控制效果，控制精度较高。

附图说明

图1为本发明的柔性机械臂运动控制方法流程图。

图2为本发明的柔性机械臂模型图。

图3为本发明的饱和函数图。

图4为本发明的柔性机械臂运动控制仿真流程图。

图5为本发明的柔性机械臂轨迹跟踪图。

图6为本发明的一阶模态响应曲线图。

图7为本发明的二阶模态响应曲线图。

具体实施方式

下面结合附图来描述本发明实施例的柔性机械臂的运动控制方法。

如图1所示，本发明实施例的一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂运动控制方法，包括以下步骤：

S1：基于拉格朗日法和假设模态法建立柔性机械臂动力学模型，利用奇异摄动理论将动力学模型分解不同时间尺度下的子系统，具体包括：

步骤一：建立柔性机械臂动力学模型

其中，u为系统输入，θ为机械臂旋转角，q为系统振动模态，M为正定矩阵，G_θ、G_q为非线性项，K为刚度矩阵，d为外界干扰，且d<D，D为干扰上界。具体展开为

其中，

其中，J_h为电机转矩，L为机械臂长度，m₁，m₂分别为臂杆和末端负载质量，E为弹性模量，I为截面惯性矩。

步骤二：由于柔性机械臂柔性振动相对于刚性旋转变化较快，因此，柔性机械臂系统具有双时间尺度特性。定义ε＝1/k，εz＝q，β＝εK，

k为刚度矩阵K中元素的最小值，ε为奇异摄动参数，β、z为新定义变量，得到

基于奇异摄动理论，令ε＝0，求得慢时间尺度下系统状态：

考虑外界扰动变化较慢，因此，慢变扰动仅存在于慢子系统当中。进一步求得慢子系统模型：

其中，上标s表示慢动态，u^s为慢子系统控制器输出，为慢时间尺度下θ的估计值。进一步整理合并，定义

上式可改写为：

步骤三：引入多时间尺度变量

在τ时间尺度下，慢时间尺度下系统状态可视为常量，即：

dz^s/dτ＝d²z^s/dτ²＝0

考虑柔性机械臂的双时间尺度特性，定义变量z^f＝z-z^s，在边界层区域，令ε＝0，能够得到柔性机械臂的快子系统模型：

u^f为快子系统控制器输出。根据奇异摄动理论，慢、快子系统与原系统之间的关系为：

q＝1/k(z^s+z^f)+O(ε)

其中，O(ε)为ε的高阶无穷小。从式中可以看出，柔性机械臂慢子系统状态

为原系统θ的近似，原系统振动模态近似为慢子系统状态z^s和快子系统状态z^f之和。

S2：在慢时间尺度下，基于滑模变结构控制理论设计控制器(慢控制器)，具体包括：

步骤一：本发明考虑外界干扰的存在，在慢时间尺度下基于滑模控制算法设计慢控制器，并通过设计准滑动模态抑制滑模抖振。

对于描述刚体运动的慢子系统，定义轨迹跟踪误差：

其中，e(t)为跟踪误差，θ_d为期望角度信号。

步骤二：设计滑模函数

其中，误差收敛速度取决于待定参数c，c>0。设计滑模控制器：其中，sgn(s)为符号函数，η为待定参数，D为干扰上界。

步骤三：定义Lyapunov函数

则

得：

根据LaSalle不变性原理，闭环系统渐近稳定，即当t→∞，s→0，收敛速度取决于参数η。

步骤四：由于滑模控制的不连续开关特性，容易导致系统发生抖振。为消除滑模抖振对系统影响，设计准滑动模态是一种有效的控制策略。使用饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，边界层外采用切换控制，边界层内采用线性反馈控制，使运动轨迹限制在理想滑动模态的某一邻域内，从而能够有效地避免抖振。饱和函数方程sat(s)设计为：其中，Δ为边界层，控制器改进为：

S3：在慢时间尺度下，基于最小二乘法估计柔性机械臂振动状态，具体包括：

步骤一：最小二乘法是系统辨识领域重要的研究方法之一，通过不断使用新的数据更新已获得系统参数值。其辨识模型输入输出如下：y(i)＝θ₁x₁(i)+θ₂x₂(i)+θ₃x₃(i)+...+θ_nx_n(i)，i＝1,2,3...m，其中，x_n(i)为系统在时刻i采样的第n个输入，y(i)为时刻i系统模型采样输出，θ_n为第n个待辨识参数，将上式写为矩阵形式：Y＝Xθ。其中，

m为采样输入、输出序列数，n为待辨识参数个数。

步骤二：根据最小二乘法定理，设θ估计值为

定义误差：γ＝Y-Xθ，若γ最小，则此时辨识到的θ即为最佳的拟合参数。通过差值的平方和最小化以辨识出最接近真实值的拟合参数，即：为使上式值最小，令

根据二次型极小值定理，对上式求导，令：

求得：

根据二次型求极小值充要条件，由于

上式满足正定条件。

步骤三：由模型可知，柔性机械臂振动状态包括z^s和z^f两部分，为设计快控制器必须首先获得z^s。在慢时间尺度下，本发明选择使用最小二乘法估计z^s。柔性机械臂振动量在慢时间尺度下可描述为：z^s＝a+bu^s，其中，a、b为待估计的参数。

考虑可能存在的随机误差，可将上式重写为

其中，v_i为随机误差，

为慢时间尺度下测量得到的柔性机械臂振动量数据。为第i次系迭代系统输入，根据最小二乘法，选择性能指标函数：

为使性能指标函数最小，令：

求得参数a、b的近似值：

进一步求得慢时间尺度下柔性机械臂的振动量z^s：

步骤四：根据奇异摄动理论，重构快振动状态：z^f＝k·q-z^s。

S4:在快时间尺度下，基于最优控制理论设计控制器(快控制器)，具体包括：

步骤一：描述系统振动特性的快时间尺度模型，其状态空间表达式为：

其中

步骤二：设计最优控制器：u^f＝-Kx，使得如下性能指标函数最小

其中，Q＝Q^T>0,R＝R^T>0，(A,Q^1/2)可观。

步骤三：根据最优控制理论，有：u^f＝-Kx＝-R^-1BPx，其中，K为最优反馈控制器增益，P为代数Riccati方程A^TP+PA-PBR^-1B^TP+Q＝0正定解。

步骤四：定义Lyapunov函数：V＝x^TPx，求解代数Riccati方程，对上式求微分，可得：由于R、P为对称正定矩阵，Q为正定矩阵，求得

因此，在设计的快控制器作用下，快子系统渐近稳定。

S5：基于奇异摄动理论，设计一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂运动控制器，具体包括：

将在慢时间尺度下设计的基于滑模控制的慢控制器与在快时间尺度下设计的快控制器组合得到：u(t)＝u^s(t)+u^f(t)，实现对柔性机械臂系统的运动控制。为验证该方法的有效性，本发明在Matlab环境下仿真验证该方法的有效性。本发明利用奇异摄动理论得到柔性机械臂的刚柔耦合分解模型。在慢时间尺度下，柔性机械臂的旋转角近似为刚体运动角度。考虑外界扰动对系统的影响，设计基于准滑动模态的滑模控制方法实现对柔性机械臂的轨迹跟踪控制。在快时间尺度下，利用最小二乘法重构快振动状态，设计最优控制器实现对柔性机械臂的振动抑制。选取理想跟踪轨迹θ_d＝tanh(t)，理想振动状态为0。首先，针对慢子系统(3-8)，设计式(3-19)所示的滑模控制器，选取控制器设计参数为c＝12，η＝0.5，饱和函数临界参数为Δ＝0.2。利用最小二乘法求得慢振动状态

在快时间尺度下，利用最优控制理论设计控制器实现振动抑制，选择性能指标函数相应矩阵：Q＝diag(1,0.1,1,0.1),R＝I。根据线性二次型最优控制理论，求得最优反馈增益矩阵K＝[-0.1084 -0.6578 0.1293 0.1856]。

图4为柔性机械臂运动控制仿真流程图。图5为组合控制器作用下机械臂实际运动轨迹，从图中可以看出，在本发明设计的控制器作用下，轨迹跟踪控制效果较好。图6和图7为柔性机械臂的前两阶模态振动抑制曲线，从图中可以看出，本发明设计的最优控制器作用下，柔性机械臂振动抑制效果较好。

Claims (6)

1.一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂运动控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤(1)：利用奇异摄动理论在不同时间尺度下将柔性机械臂系统分解为不同时间尺度下的子系统，在此基础上进行控制器设计；

步骤(2)：考虑外界扰动对系统影响，在慢时间尺度下基于滑模变结构设计滑模控制器，即慢控制器，实现对柔性机械臂的轨迹跟踪；

步骤(3)：采用最小二乘法估计慢时间尺度下系统的振动量，为快时间尺度系统控制器设计奠定基础；

步骤(4)：在快时间尺度下，基于最优控制理论设计振动控制器，即快控制器，实现对柔性机械臂的振动抑制；

步骤(5)：利用奇异摄动原理将步骤(2)的滑模控制器和步骤(4)的振动控制器组合，实现对柔性机械臂的组合运动控制。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤(1)分解为不同时间尺度下的子系统具体包括如下步骤：

步骤(11)：建立柔性机械臂动力学模型

其中，u为系统输入，θ为机械臂旋转角，q为系统振动模态，M为正定矩阵，G_θ、G_q为非线性项，K为刚度矩阵，d为外界干扰，且d<D，D为干扰上界；

柔性机械臂系统具有双时间尺度特性，定义ε＝1/k，εz＝q，β＝εK，k为刚度矩阵K中元素的最小值，ε为奇异摄动参数，β，z为新定义变量，得到：

步骤(12)：基于奇异摄动理论，令ε＝0，求得慢时间尺度下系统状态：

慢变扰动仅存在于慢子系统当中，进一步求得慢子系统模型：

其中，上标s表示慢动态，u^s为慢子系统控制器输出，

为慢时间尺度下θ的估计值；

步骤(13)：引入多时间尺度变量在τ时间尺度下，慢时间尺度下系统状态可视为常量，即：

dz^s/dτ＝d²z^s/dτ²＝0

考虑柔性机械臂的双时间尺度特性，定义变量z^f＝z-z^s，在边界层区域，令ε＝0，进一步得到柔性机械臂的快子系统模型：

u^f为快子系统控制器输出，根据奇异摄动理论，慢、快子系统与原系统之间的关系为：

q＝1/k(z^s+z^f)+O(ε)

其中，O(ε)为ε的高阶无穷小，从式中可以看出，柔性机械臂慢子系统状态

为原系统θ的近似，原系统振动模态近似为慢子系统状态z^s和快子系统状态z^f之和。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述步骤(2)的在慢时间尺度下基于滑模变结构设计滑模控制器，具体包括如下步骤：

步骤(21)：考虑外界干扰的存在，在慢时间尺度下基于滑模控制算法设计慢控制器，并通过设计准滑动模态抑制滑模抖振；

对于描述刚体运动的慢子系统，定义轨迹跟踪误差：

其中，e(t)为跟踪误差，θ_d为期望角度信号；

步骤(22)：设计滑模函数

其中，误差收敛速度取决于待定参数c，c>0，

设计滑模控制器：

其中，sgn(s)为符号函数，η为待定参数，D为干扰上界；

步骤(23)：定义Lyapunov函数

则得：

根据LaSalle不变性原理，闭环系统渐近稳定，即当t→∞，s→0，收敛速度取决于参数η；

步骤(24)：由于滑模控制的不连续开关特性，易导致系统发生抖振，使用饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，边界层外采用切换控制，边界层内采用线性反馈控制，使运动轨迹限制在理想滑动模态的某一邻域内避免抖振；

饱和函数方程sat(s)设计为：

其中，Δ为边界层，控制器改进为：

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述步骤(3)采用最小二乘法估计慢时间尺度下系统的振动量，为快时间尺度系统控制器设计奠定基础，具体包括如下步骤：

步骤(31)：由快、慢子系统模型可知，柔性机械臂振动状态包括z^s和z^f两部分，为设计快控制器必须首先获得z^s，在慢时间尺度下，使用最小二乘法估计z^s，柔性机械臂振动量在慢时间尺度下描述为：z^s＝a+bu^s，其中，a、b为待估计的参数；

步骤(32)：考虑可能存在的随机误差，可将上式重写为其中，v_i为随机误差，为慢时间尺度下测量得到的柔性机械臂振动量数据，

为第i次迭代系统输入，根据最小二乘法，选择性能指标函数：

步骤(33)：为使性能指标函数最小，令：

求得参数a、b的近似值：进一步求得慢时间尺度下柔性机械臂的振动量：

步骤(34)：根据奇异摄动理论，重构快振动状态：z^f＝k·q-z^s。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述步骤(4)的基于最优控制理论设计振动控制器，具体包括如下步骤；

步骤(41)：描述系统振动特性的快时间尺度模型，其状态空间表达式为：

其中

I_2×2为2×2单位矩阵；

步骤(42)：设计最优控制器：u^f＝-Kx，使得如下性能指标函数最小

其中，Q＝Q^T>0,R＝R^T>0，(A,Q^1/2)可观。

步骤(43)：根据最优控制理论，有：u^f＝-Kx＝-R^-1BPx，其中，K为最优反馈控制器增益，P为代数Riccati方程A^TP+PA-PBR^-1B^TP+Q＝0正定解；

步骤(44)：定义Lyapunov函数：V＝x^TPx，求解代数Riccati方程，对上式求微分，可得：

由于R、P为对称正定矩阵，Q为正定矩阵，求得

因此，在设计的快控制器作用下，快子系统渐近稳定。

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述步骤(5)利用奇异摄动原理将步骤(2)的滑模控制器和步骤(4)的振动控制器组合，实现对柔性机械臂的组合运动控制，具体包括如下步骤：

将在步骤(2)慢时间尺度下设计的基于滑模控制的慢控制器与步骤(4)在快时间尺度下设计的快控制器组合得到：u(t)＝u^s(t)+u^f(t)，实现对柔性机械臂系统的运动控制。

Images