CN105867137A - 基于有限时间扩张状态观测器的自抗扰控制器设计 - Google Patents

Abstract

本发明属于控制器设计领域，为使观测器跟踪误差在有限时间内收敛到原点。本发明以经典的三阶有限扩张状态观测器为例，当其满足有限时间收敛的性质时，求解观测器参数。应该理解，对于其他阶数的有限时间扩张状态观测器均可以采用此方法类似求解。本发明的技术方案是，基于有限时间扩张状态观测器的自抗扰控制器的方法，具体步骤是：1)建立三阶有限时间扩张状态观测器2)对于上述扩张状态观测器，求解扩张状态观测器参数；3)设计扰动反馈u＝(u₀‑z₃)/b，z₃≈f(y,w,t)将系统近似为二阶积分器串联型。本发明主要应用于控制器设计场合。

Description

基于有限时间扩张状态观测器的自抗扰控制器设计

技术领域

本发明属于控制器设计领域，具体涉及一种有限时间扩张状态观测器，结合扰动反馈和状态反馈设计自抗扰控制器的方法。

背景技术

作为一种新兴的控制理论，自抗扰控制在处理具有不确定性的实际工程应用系统中获得了较快的发展。自抗扰控制具有三个重要组成部分：跟踪微分器、扩张状态观测器及线性或非线性状态反馈。自抗扰控制器继承了经典控制理论和现代控制理论的优点，在不依赖具体数学模型的基础上，能够动态地抑制扰动。通过设计扩张状态观测器估计系统未知扰动并反馈补偿，再通过简单的比例微分(PD)状态反馈就可以实现很好的控制效果。

一般来讲传统扩张状态观测器分为两种，线性扩张状态观测器和非线性扩张状态观测器。尽管早期人们通过李雅普诺夫函数和自稳定理论方法获得了一些结果，但稳定性分析不能令人满意。最近几年，对扩张状态观测器研究有了一些新的进展，包括自适应扩张状态观测器得提出和稳定性证明、单输出单输出扩张状态观测器稳定性证明、多输出多输出扩张状态观测器稳定性证明。相对于传统的扩张状态观测器，有限时间扩张状态观测器的显著特点是观测误差可以在有限时间收敛到原点。通过选择一组合适的观测器参数，使扩张状态观测器满足有限时间收敛的性质。目前还没有文献涉及将有限时间观测器与扩张状态观测器结合设计自抗扰控制器的方法。因此本发明提出的基于有限时间扩张状态观测器的自抗扰控制器方法不仅具有明确的理论意义、而且具有很强的实际应用价值与现实意义。

发明内容

本发明的目的是提出基于有限时间扩张状态观测器的自抗扰控制器方法，在保证传统扩张状态观测器性能的同时，引入有限时间状态观测器，使观测器跟踪误差在有限时间内收敛到原点。本发明以经典的三阶有限扩张状态观测器为例，当其满足有限时间收敛的性质时，求解观测器参数。应该理解，对于其他阶数的有限时间扩张状态观测器均可以采用此方法类似求解。本发明的技术方案是，基于有限时间扩张状态观测器的自抗扰控制器的方法，具体步骤是：

1)建立三阶有限时间扩张状态观测器

考虑任意单输入单输出系统，写为如下形式：

y⁽ⁿ⁾(t)＝f(y^(n-1),...,y,w,t)+bu

其中y为被控输出，u为控制输入，t表示时间，b表示控制输入对输出的影响，f(y^(n-1),...,y,w,t)包含系统内部不确定性和外部扰动w，这里称之为‘总扰动’，将其简写为f(y,w,t)，它应满足和 表示f(y,w,t)对时间t的一阶导数，其中δ为常值，即扰动速度有界，y⁽ⁿ⁾表示输出y对时间t的n阶导数；

对于考虑的三阶有限时间扩张状态观测器设计，上述系统可以写为如下的状态空间形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=x_3+bu\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=\stackrel{\·}{f}(y,w,t)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中x₁＝y,是系统的状态量，x₃＝f(y,w,t)为系统的扩张状态；

设计如下的扩张状态观测器：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\χ}}_1(z_1-y)\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\χ}}_2(z_1-y)+bu\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=-{\mathrm{\χ}}_3(z_1-y)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中z₁,z₂,z₃表示扩张状态观测器的状态，χ_i(z₁-y)定义为如下非线性形式:

${\mathrm{\χ}}_i(z_1-y)={\mathrm{\β}}_{i}sign(z_1-y)|z_1-y{|}^{{\mathrm{\α}}_i},i=1,2,3$

这里应保证α_i>0,β_i>0，i＝1,2,3；其中β₁,β₂,β₃表示正定的观测器误差项系数，α₁,α₂,α₃代表误差项的指数参数且满足0<α_i<1,i＝1,2,3；假设扰动为常值扰动及误差e_i＝z_i-x_i,i＝1,2,3，对比(1)和(2)得到如下误差动态系统

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=e_2-{\mathrm{\&chi;}}_1\left(e_1\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=e_3-{\mathrm{\&chi;}}_2\left(e_1\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_3=-{\mathrm{\&chi;}}_3\left(e_1\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

将系统(3)写为如下形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}=-A\left(e\right)e---\left(4\right)$

这里e＝[e₁,e₂,e₃]T，

2)对于上述扩张状态观测器，求解扩张状态观测器参数α₁,α₂,α₃,β₁,β₂,β₃，当参数满足β₁β₂-β₃>0且的关系时，误差动态系统全局有限时间收敛，那么扩张状态观测器状态(z₁,z₂,z₃)将在有限时间内收敛到系统状态(x₁,x₂)和扩张状态x₃＝f(y,w,t)；

3)设计扰动反馈u＝(u₀-z₃)/b，z₃≈f(y,w,t)将系统近似为二阶积分器串联型：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=f(y,w,t)-z_3+u_0\&ap;u_0$

对于系统但f(y,w,t)满足全局利普西斯条件时，扩张状态观测器只需在满足和β₁β₂-β₃>0的条件下，通过适当调节参数，能够实现快速收敛。

基于三阶有限时间扩张状态观测器的自抗扰控制器的方法，对于二阶和其他高阶次的有限时间扩张状态观测器，通过相似方法设计求解。

本发明的技术效果体现在：

有限时间观测器具有很多优点：更快的收敛速度、更高的精确度、更强的抗干扰性能。通过选取适当的观测器参数，使误差动态系统满足齐次性和渐近稳定性时，得到的误差系统是全局有限时间收敛，从而实现观测器状态在有限时间内收敛到系统状态。结合传统的扩张状态观测器，构建有限时间扩张状态观测器。

本发明提出的有限时间扩张状态观测器，一方面具有有限时间观测器状态跟踪方面的优势，即观测器误差e(t)在有限收敛时间T内收敛到原点；另一方面，它也具有扩张状态观测器在动态跟踪抑制扰动的优点。通过选取扰动反馈和适当的状态反馈，使闭环系统可以在有限时间镇定。本发明构建基于有限时间扩张状态观测器的自抗扰控制器，可以极大地改善了控制系统的快速收敛性，精确度和抗扰动性。

附图说明

图1是求解有限时间扩张状态观测器参数的流程图

图2是本发明控制器的结构图

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚，以下从扩张状态观测器建立、设计原理、求解方法等几个方面来对本发明作进一步说明，下述的具体设计方法用以解释本发明，但并不限于本发明。

基于有限时间扩张状态观测器的自抗扰控制器设计方法，具体步骤如下：

1)建立三阶有限时间扩张状态观测器：

考虑任意单输入单输出系统可以写为如下形式：

y⁽ⁿ⁾(t)＝f(y^(n-1),...,y,w,t)+bu

其中y为被控输出，u为控制输入，t表示时间，b表示控制输入对输出的影响，f(y^(n-1),...,y,w,t)包含系统内部不确定性和外部扰动w，这里称之为‘总扰动’，将其简写为f(y,w,t)，它应满足和 表示f(y,w,t)对时间t的一阶导数，其中δ为常值，即扰动速度有界，y⁽ⁿ⁾表示输出y对时间t的n阶导数；

对于考虑的三阶有限时间扩张状态观测器设计，上述系统可以写为如下的状态空间形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3+bu\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=\stackrel{\&CenterDot;}{f}(y,w,t)\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中x₁＝y,是系统的状态量，x₃＝f(y,w,t)为系统的扩张状态。设计下面的扩张状态观测器：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\&chi;}}_1(z_1-y)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\&chi;}}_2(z_1-y)+bu)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-{\mathrm{\&chi;}}_3(z_1-y)\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中z₁,z₂,z₃表示扩张状态观测器的状态，χ_i(z₁-y)定义为如下非线性形式:

${\mathrm{\&chi;}}_i(z_1-y)={\mathrm{\&beta;}}_{i}sign(z_1-y)|z_1-y{|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_i},i=1,2,3;$

这里应保证α_i>0,β_i>0，i＝1,2,3；其中β₁,β₂,β₃表示正定的观测器误差项系数，α₁,α₂,α₃代表误差项的指数参数且满足0<α_i<1,i＝1,2,3；假设扰动为常值扰动及误差e_i＝z_i-x_i,i＝1,2,3，对比(1)和(2)得到如下误差动态系统

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=e_2-{\mathrm{\&chi;}}_1\left(e_1\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=e_3-{\mathrm{\&chi;}}_2\left(e_1\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_3=-{\mathrm{\&chi;}}_3\left(e_1\right)\end{array}\right.---\left(7\right)$

可以将系统(7)写为如下形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}=-A\left(e\right)e$

这里e＝[e₁,e₂,e₃]^T，

2)求解扩张状态观测器参数α₁,α₂,α₃,β₁,β₂,β₃

本发明提出的有限时间扩张状态观测器，特点是观测器状态(z₁,z₂,z₃)将在有限时间内收敛到系统的实际状态(x₁,x₂)和扩张状态x₃＝f(y,w,t)，即误差动态系统e(t)＝-A(e)e是全局有限时间收敛的。

文献“W.Perruquetti,T.Floquet,E.Moulay,Finite-timeobservers:application to securecommunication,IEEETransactions on Automatic Control,vol.53,no.1,pp.356-360,2008.”中指出：如果误差动态系统满足在权具有度d<0的齐次性，且系统满足局部渐近稳定性，那么系统是全局有限时间收敛的。注：这里表示3维正向量。

如上所述，选取适当的扩张状态观测器参数α₁,α₂,α₃,β₁,β₂,β₃，使误差动态系统满足齐次性和渐近稳定性。求解有限时间扩张状态观测器参数分为如下两步(如图1所示)：

步骤1：通过误差动态系统满足齐次性求解扩张状态观测器参数α₁,α₂,α₃,β₁,β₂,β₃之间的关系：

系统齐次性定义：系统满足度为d<0在权(r₁,r₂,...,r_n)的齐次性，如果以下条件成立：

$g_i({\mathrm{\&lambda;}}^{r_1}{x}_1,...,{\mathrm{\&lambda;}}^{r_n}{x}_n)={\mathrm{\&lambda;}}^{r_i+d}{g}_i(x_1,...,x_n),1\&le;i\&le;n,\mathrm{\&lambda;}>0$

根据齐次性定义，对系统按行进行展开：

第一行：

左侧：

右侧：

对比两式可以得到

$r_2=r_1+d,{\mathrm{\&alpha;}}_1=\frac{r_2+d}{r_1}$

依次使用这种展开的方法进行迭代，可以容易得到：

r_i+1＝r_i+d,1≤i≤2

${\mathrm{\&alpha;}}_i=\frac{r_{i+1}}{r_1},1\&le;i\&le;2$

${\mathrm{\&alpha;}}_3=\frac{r_3+d}{r_1}$

取r₁＝1,r₂＝α代入上式，这里通过依次迭代可以得到：

α₁＝α,α₂＝2α-1,α₃＝3α-2,d＝α-1

这里需要满足α_i>0,i＝1,2,3且d<0，所以

因此当α₁＝α,α₂＝2α-1,α₃＝3α-2且时

系统在权(1,α,2α-1)具有度d＝α-1的齐次性。

步骤2：通过误差动态系统满足渐近稳定进一步求解扩张状态观测器参数α₁,α₂,α₃,β₁,β₂,β₃：

根据步骤1叙述可以得到矩阵A(e)：

其中F＝|e₁|^α-1>0

文献“G.I.Lozgachev,On a method of construction ofLyapunov functions,Automation andremote control,vol.59,no.10,pp.1365-1369,1998.”中指出：对于系统如果存在矩阵使DA(e)为对称正定矩阵且对角元素d_ii≥0,i＝1,2,3，那么系统是渐近稳定的；

基于以上分析，令d₁₁＝ε₁,d₂₂＝ε₂,d₂₂＝ε₃，应满足ε_i>0，i＝1,2,3

$DA\left(e\right)=\left[\begin{array}{ccc}{D}_{11}& -d_{11}& -d_{12}\\ D_{21}& d_{12}& -d_{22}\\ D_{31}& d_{13}& d_{23}\end{array}\right]$

D₁₁＝ε₁β₁F+d₁₂β₂F²+d₁₃β₃F³

D₂₁＝-d₁₂β₁F+ε₂β₂F²+d₂₃β₃F³

D₃₁＝-d₁₃β₁F-d₂₃β₂F²+ε₃β₃F³

矩阵DA(e)为对称正定，根据矩阵对称正定性质，有如下条件(8)-(13)成立：

D₂₁＝-d₁₁ (8)

D₃₁＝-d₁₂ (9)

d₁₃＝-d₂₂ (10)

D₁₁>0 (11)

$\left|\begin{array}{cc}{D}_{11}& -d_{11}\\ D_{21}& d_{12}\end{array}\right|>0---\left(12\right)$

|DA|>0 (13)

通过条件(10)可得：

d₁₃＝-ε₂ (14)

由(8)和(9)，有

$\left\{\begin{array}{c}-{\mathrm{\&epsiv;}}_1-{\mathrm{\&epsiv;}}_2{\mathrm{\&beta;}}_2{F}^2=-d_{12}{\mathrm{\&beta;}}_{1}F+d_{23}{\mathrm{\&beta;}}_3{F}^3\\ -d_{12}+d_{23}{\mathrm{\&beta;}}_2{F}^2=-{\mathrm{\&epsiv;}}_2{\mathrm{\&beta;}}_{1}F+{\mathrm{\&epsiv;}}_3{\mathrm{\&beta;}}_3{F}^3\end{array}\right.---\left(15\right)$

计算(11)-(13)，可以推导出如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_{1}F+d_{12}{\mathrm{\&beta;}}_2{F}^2-{\mathrm{\&epsiv;}}_2{\mathrm{\&beta;}}_3{F}^3>0\\ D_{11}{d}_{12}-{\mathrm{\&epsiv;}}_1^2>0\end{array}\right.---\left(16\right)$

如果(16)始终成立，只需存在ε₂β₀₃F³均趋近于0，进一步有

ε₂＝δ＝o(F³)→0 (17)

ε₁＝η→0 (18)

将(17)(18)代入(15)，解方程得：

$d_{12}\&ap;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_3{{\mathrm{\&beta;}}_3}^2{F}^3}{{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_2-{\mathrm{\&beta;}}_3},d_{23}\&ap;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_3{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_{3}F}{{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_2-{\mathrm{\&beta;}}_3}---\left(19\right)$

由于DA(e)为对称正定，因此我们仅需满足条件：

β₁β₂-β₃>0 (20)

由上述分析，我们选择矩阵D

$D=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\&eta;}& \frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_3{{\mathrm{\&beta;}}_3}^2{F}^3}{{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_2-{\mathrm{\&beta;}}_3}& -\mathrm{\&delta;}\\ -\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_3{{\mathrm{\&beta;}}_3}^2{F}^3}{{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_2-{\mathrm{\&beta;}}_3}& \mathrm{\&delta;}& \frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_3{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_{3}F}{{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_2-{\mathrm{\&beta;}}_3}\\ \mathrm{\&delta;}& -\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_3{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_{3}F}{{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_2-{\mathrm{\&beta;}}_3}& {\mathrm{\&epsiv;}}_3\end{array}\right]$

很明显，D不是一个常数矩阵，它依赖于F，而F是关于系统误差e₁的函数。定义

$V=\underset{0}{\overset{t}{\&Integral;}}\left(DA\right(e)e,\stackrel{\&CenterDot;}{e})d\mathrm{\&tau;}=\underset{0}{\overset{t}{\&Integral;}}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{T}DA\left(e\right)ed\mathrm{\&tau;}$

作为系统的李雅普诺夫函数。明显地，该函数的导数

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{T}DA\left(e\right)e=-{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{T}D\stackrel{\&CenterDot;}{e}=-\mathrm{\&eta;}{(e_2-{\mathrm{\&beta;}}_{1}sign(e_1\left)|e_1{|}^{\mathrm{\&alpha;}}\right)}^2-\mathrm{\&delta;}{(e_3-{\mathrm{\&beta;}}_{2}sign(e_1\left)|e_1{|}^{2\mathrm{\&alpha;}-1}\right)}^2\\ -{\mathrm{\&epsiv;}}_3{(-{\mathrm{\&beta;}}_{3}sign(e_1\left)\right|e_1{|}^{3\mathrm{\&alpha;}-2})}^2<0\end{array}$

因而误差系统具有渐近稳定性。根据文献“W.Perruquetti,T.Floquet,E.Moulay,Finite-timeobservers:application to secure communication,IEEETransactions on Automatic Control,vol.53,no.1,pp.356-360,2008”的结论，因此误差动态系统是全局有限时间收敛。因而有限时间扩张状态观测器将在有限时间T收敛到系统状态和扩张状态。

虽然我们是在条件扰动为常值得到的扩张状态观测器有限时间稳定，但是通过实际的应用和大量仿真，我们发现当系统满足全局利普西斯条件时，所设计有限时间扩张状态观测器也能得到令人满意的结果；

需要强调的是，有限时间扩张状态观测器的收敛速度很大程度上依赖于参数α,β_i,β₁β₂-β₃；因此对于满足上述条件，为了获得一个较好的控制效果，我们仍需要适当调节参数α,β₁,β₂,β₃。

根据以上两个步骤的分析，给出如下定理来确定三阶扩张状态观测器的参数。

定理1：三阶有限时间扩张状态观测器如满足以下条件：

β₁β₂-β₃>0

$\frac{2}{3}<\mathrm{\&alpha;}<1;{\mathrm{\&alpha;}}_i=i\mathrm{\&alpha;}-(i-1),i=1,2,3;$

则误差系统是有限时间收敛的，进而观测器状态在有限时间T内收敛到系统状态，且有限时间T依赖于χ_i和状态初值e(0)。

本发明的目的就是采用有限时间扩张状态观测器估计扰动和系统状态，但需要强调的是，观测器的收敛速度很大程度上依赖于参数β_i,β₁β₂-β₃,α。因此为了获得一个较好的结果，对于不同的满足全局利普西斯条件的系统，需要适当调整扩张状态观测器的参数。

对于二阶有限时间扩张状态观测器，我们以推论的形式直接给出：

推论1：二阶有限时间扩张状态观测器如满足以下条件：

$\frac{1}{2}<\mathrm{\&alpha;}<1;{\mathrm{\&alpha;}}_i=i\mathrm{\&alpha;}-(i-1),i=1,2;$

误差系统是有限时间收敛的，进而观测器状态在有限时间内收敛到系统状态，且有限时间依赖于χ_i和状态初值e(0)。

3)设计扰动反馈u＝(u₀-z₃)/b，z₃≈f(y,w,t)将系统近似为二阶积分器串联型：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=f(y,w,t)-z_3+u_0\&ap;u_0$

采用自抗扰控制技术中常规的状态反馈，通过设计有限时间扩张状态观测器、扰动反馈和状态反馈的自抗扰控制器(如图2所示)，可以使闭环系统在有限时间内镇定；表示y对时间t二次导数。

所应理解的是，以上所述仅为本发明的一般步骤而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

在本控制领域的技术人员易理解，本发明以经典的三阶有限扩张状态观测器为例，当其满足有限时间收敛时，求解观测器参数。这里应该理解，对于其他阶数的有限时间扩张状态观测器均可以采用此类似的方法求解。以上所述仅为本发明的较合适的实施方法，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于有限时间扩张状态观测器的自抗扰控制器的方法，其特征是，具体步骤是：

1)建立三阶有限时间扩张状态观测器

考虑任意单输入单输出系统，写为如下形式：

y⁽ⁿ⁾(t)＝f(y^(n-1),...,y,w,t)+bu

其中y为被控输出，u为控制输入，t表示时间，b表示控制输入对输出的影响，f(y^(n-1),...,y,w,t)包含系统内部不确定性和外部扰动w，这里称之为‘总扰动’，将其简写为f(y,w,t)，它应满足和 表示f(y,w,t)对时间t的一阶导数，其中δ为常值，即扰动速度有界，y⁽ⁿ⁾表示输出y对时间t的n阶导数；

对于考虑的三阶有限时间扩张状态观测器设计，上述系统可以写为如下的状态空间形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3+bu\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=\stackrel{\&CenterDot;}{f}(y,w,t)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中x₁＝y,是系统的状态量，x₃＝f(y,w,t)为系统的扩张状态；

设计如下的扩张状态观测器：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\&chi;}}_1(z_1-y)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\&chi;}}_2(z_1-y)+bu\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-{\mathrm{\&chi;}}_3(z_1-y)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中z₁,z₂,z₃表示扩张状态观测器的状态，χ_i(z₁-y)定义为如下非线性形式:

${\mathrm{\&chi;}}_i(z_1-y)={\mathrm{\&beta;}}_{i}sign(z_1-y)|z_1-y{|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_i},i=1,2,3$

这里应保证α_i>0,β_i>0，i＝1,2,3；其中β₁,β₂,β₃表示正定的观测器误差项系数，α₁,α₂,α₃代表误差项的指数参数且满足0<α_i<1,i＝1,2,3；假设扰动为常值扰动及误差e_i＝z_i-x_i,i＝1,2,3，对比(1)和(2)得到如下误差动态系统

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=e_2-{\mathrm{\&chi;}}_1\left(e_1\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=e_3-{\mathrm{\&chi;}}_2\left(e_1\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_3=-{\mathrm{\&chi;}}_3\left(e_1\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

将系统(3)写为如下形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}=-A\left(e\right)e---\left(4\right)$

这里e＝[e₁,e₂,e₃]^T，

2)对于上述扩张状态观测器，求解扩张状态观测器参数α₁,α₂,α₃,β₁,β₂,β₃，当参数满足β₁β₂-β₃>0且α_i＝iα-(i-1),i＝1,2,3的关系时，误差动态系统全局有限时间收敛，那么扩张状态观测器状态(z₁,z₂,z₃)将在有限时间内收敛到系统状态(x₁,x₂)和扩张状态x₃＝f(y,w,t)；

3)设计扰动反馈u＝(u₀-z₃)/b，z₃≈f(y,w,t)将系统近似为二阶积分器串联型：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=f(y,w,t)-z_3+u_0\&ap;u_0.$

2.如权利要求1所述的基于有限时间扩张状态观测器的自抗扰控制器的方法，其特征是，对于但f(y,w,t)满足全局利普西斯条件时，扩张状态观测器只需在满足α_i＝iα-(i-1),i＝1,2,3和β₁β₂-β₃>0的条件下，通过适当调节参数，能够实现快速收敛。

3.如权利要求1所述的基于有限时间扩张状态观测器的自抗扰控制器的方法，其特征是，基于三阶有限时间扩张状态观测器的自抗扰控制器的方法，对于二阶和其他高阶次的有限时间扩张状态观测器，通过相似方法设计求解。