CN104252134A - 基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法，包括以下步骤：步骤1、建立电机伺服系统数学模型；步骤2、配置自适应律对电机伺服系统中的不确定性参数进行估计；步骤3、配置扩张状态观测器对电机伺服系统的不确定性进行估计；步骤4、配置基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器；以及步骤5、确定电机伺服系统中相关参数和函数使得电机伺服系统的位置输出准确地渐进跟踪期望的位置指令，并且使电机伺服系统的输入无抖动现象产生。本发明还涉及一种基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制系统。

Description

基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法

技术领域

本发明涉及电机伺服控制领域，具体而言涉及一种基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法与系统。

背景技术

电机伺服系统由于具有响应快、传动效率高以及维护方便等众多优点，广泛应用于很多重要领域，如机床进给、机器人、火箭炮随动系统等。目前基于经典三环(电流环、速度环及位置环)控制的方法仍是工业及其它一些领域的主要方法，然而随着这些领域的快速发展，传统的基于线性理论的三环控制方法已逐渐不能满足系统的高性能需求，需要研究更加先进的控制方法。电机伺服系统存在诸多模型不确定性，这些模型不确定性包括参数不确定性和不确定性非线性。参数不确定性包括负载质量的变化、随温度及磨损而变化的液压弹性模量、粘性摩擦系数等。其他的不确定性，如外干扰、泄漏、摩擦等都不能精确建模，这些不确定性称为不确定性非线性。不确定性的存在可能会恶化期望的控制性能，甚至会使基于系统名义模型所设计的控制器不稳定。

目前针对电机伺服系统的先进控制策略，有反馈线性化、滑模以及自适应鲁棒等控制方法。在所建立的数学模型比较准确的情况下，反馈线性化控制方法可以保证系统的高性能，但在实际应用中精确建立系统的数学模型比较困难。滑模控制方法简单实用且对系统的外部干扰有一定的鲁棒性，但是通常基于一般滑模控制方法所设计的控制器往往不连续会引起滑模面的抖动，而且其不能对系统中存在参数等结构不确定性进行估计，当系统中存在大的参数等结构不确定性时将会使设计的控制器显得保守，从而使系统的性能恶化。自适应鲁棒控制方法针对系统中的参数不确定性，设计恰当的在线估计策略对其进行估计；对可能发生的外干扰等不确定性非线性，通过提高非线性反馈增益对其进行抑制进而提升系统性能。由于大的非线性反馈增益往往导致设计的保守性(即高增益反馈)，从而使其在工程使用中有一定困难。然而，当外干扰等非结构不确定性逐渐增大时，所设计的自适应鲁棒控制器会引起跟踪性能恶化，甚至出现不稳定现象。因此如何恰当地处理传统的自适应鲁棒控制器中存在的这些问题仍是研究的焦点。

总结来说，现有电机伺服系统的控制技术的不足之处主要有以下几点：

1、忽略系统的模型不确定性。电机伺服系统的模型不确定性主要有参数不确定性(负载质量的变化、电气增益、随温度及磨损而变化的粘性摩擦系数等)和不确定性非线性(如外干扰及未建模动态等)。这些不确定性的存在，可能会使基于系统名义模型所设计的控制器出现性能降阶等现象。

2、基于传统的滑模的控制方法存在抖动现象。基于传统的滑模控制方法所设计的不连续控制器容易引起滑模面的抖动，从而使系统的跟踪性能恶化。

3、当系统中存在大的扰动时基于一般的自适应鲁棒控制器存在高增益反馈现象。一般的自适应鲁棒控制器对可能发生的大的外干扰等不确定性非线性，通过大的非线性反馈增益控制予以抑制进而提升系统性能。然而大的增益反馈可能激发系统的高频动态降低系统的跟踪性能，甚至导致系统不稳定。

发明内容

为解决现有电机伺服系统控制中存在被忽略的模型不确定性、基于传统的滑模的控制方法存在抖动现象和当存在大的扰动时基于一般的自适应鲁棒控制器会出现高增益反馈现象问题，本发明的目的在于提出一种基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法与系统。

本发明的上述目的通过独立权利要求的技术特征实现，从属权利要求以另选或有利的方式发展独立权利要求的技术特征。

为达成上述目的，本发明所采用的技术方案如下：

一种基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法，包括以下步骤：

步骤1、建立电机伺服系统数学模型；

步骤2、配置自适应律对电机伺服系统中的不确定性参数进行估计；

步骤3、配置扩张状态观测器对电机伺服系统的不确定性进行估计；

步骤4、配置基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器；以及

步骤5、确定电机伺服系统中相关参数和函数使得电机伺服系统的位置输出准确地渐进跟踪期望的位置指令，并且使电机伺服系统的输入无抖动现象产生。

根据本发明的改进，还提出一种基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制系统，该系统包括第一单元、第二单元、第三单元、第四单元以及第五单元，其中：

第一单元，用于建立电机伺服系统数学模型；

第二单元，用于配置自适应律对电机伺服系统中的不确定性参数进行估计；

第三单元，用于配置扩张状态观测器对电机伺服系统的不确定性进行估计；

第四单元，用于配置基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器；以及

第五单元，用于确定电机伺服系统中相关参数和函数以使得电机伺服系统的位置输出准确地渐进跟踪期望的位置指令，并且使电机伺服系统的输入无抖动现象产生。

由以上本发明的技术方案可知，本发明的有益效果在于：选取电机伺服系统作为研究对象，以其位置输出能准确地跟踪期望的位置指令为控制目标，同时考虑了系统的参数等结构不确定性以及外干扰等非结构不确定性，并且针对参数等结构不确定性采用不连续投影函数进行估计，确保估计值在参数等结构不确定性的范围之内；对外干扰等非结构不确定性通过扩张状态观测器进行估计并进行前馈补偿；本发明所设计的基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器对同时存在参数等结构不确定性以及外干扰等非结构不确定性有良好的鲁棒作用，并能保证电机伺服系统的位置输出能准确地跟踪期望的位置指令；本发明所设计的基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器控制输出光滑连续，更利于在工程实际中应用，并通过仿真结果验证了其有效性。

附图说明

图1是本发明电机伺服系统位置控制的原理图。

图2是本发明一实施方式基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法的实现流程图。

图3是本发明所设计的控制器作用下系统参数θ₁、θ₂的估计值随时间变化的曲线。

图4是本发明所设计的控制器(图中以ARCESO标识)、自适应位置控制器(图中以AC标识)以及传统PID控制器分别作用下系统(没有扰动)的跟踪误差随时间变化的对比曲线。

图5是本发明所设计的控制器(图中以ARCESO标识)、自适应位置控制器(图中以AC标识)以及传统PID控制器分别作用下系统(加入扰动d＝5N·m)的跟踪误差随时间变化的对比曲线。

图6是本发明所设计的电机伺服系统位置控制的控制输入随时间变化的曲线。

图7是本发明一实施方式基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制系统的模块框图。

具体实施方式

为了更了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图式说明如下。

如图1、图2所示，根据本发明的较优实施例，一种基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、建立电机伺服系统数学模型；

步骤2、配置自适应律对电机伺服系统中的不确定性参数进行估计；

步骤3、配置扩张状态观测器对电机伺服系统的不确定性进行估计；

步骤4、配置基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器；以及

步骤5、确定电机伺服系统中相关参数和函数使得电机伺服系统的位置输出准确地渐进跟踪期望的位置指令，并且使电机伺服系统的输入无抖动现象产生。

作为可选的实施方式，前述方法的实现具体包括：

步骤1、建立电机伺服系统数学模型

根据牛顿第二定律且简化电机的电气动态为比例环节，建立电机伺服系统(如图1所示)的运动方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{f}u-B\stackrel{\·}{y}+d(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(1\right)$

公式(1)中，为惯性负载参数，y为惯性负载位移，k_f为力矩放大系数，u为系统的控制输入，B为粘性摩擦系数，为外干扰值；

为了便于控制器的设计，选取状态矢量为：则电机伺服系统的运动学方程可以转化为如下状态方程形式：

对于公式(2)：不确定性参数集θ＝[θ₁，θ₂]^T，其中 分别为不确定性参数集θ的估计值及估计误差， 为系统的外部干扰值；

电机伺服系统由于参数m、k_f、B的变化而存在结构不确定性，非结构不确定性也不能用明确的函数来建模；因此：

假设1：系统参考指令信号x_1d(t)是二阶连续的，且系统期望位置指令、速度指令及加速度指令都是有界的；

假设2：不确定性参数集θ满足：

θ∈Ω_θ＝{θ:θ_min≤θ≤θ_max}   (3)

公式(3)中，θ_min＝[θ_1min，θ_2min]^T,θ_max＝[θ_1max，θ_2max]^T均已知；

步骤2、配置自适应律对电机伺服系统中的不确定性参数进行估计，其实现包括：

定义不连续投影函数为：

公式(4)中i＝1,2，·_i为矢量·的第i个元素，对于两个矢量之间的运算“＜”为矢量中相应元素之间的运算；

采用自适应律为：

$\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}={\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\left(\mathrm{\Γ\σ}\right),{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\widehat{\mathrm{\θ}}\left(0\right)\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }---\left(5\right)$

公式(5)中Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，σ为自适应函数，对于任意自适应函数σ，运用投影函数(5)能保证：

$\begin{array}{cc}\left(P1\right)& \widehat{\mathrm{\θ}}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{\widehat{\mathrm{\θ}}:{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\widehat{\mathrm{\θ}}\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }\}\\ \left(P2\right)& {\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T[{\mathrm{\Γ}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\left(\mathrm{\Γ\σ}\right)-\mathrm{\σ}]\≤0,\∀\mathrm{\σ}\end{array}---\left(6\right)$

步骤3、配置扩张状态观测器对电机伺服系统的不确定性进行估计，其实现包括：

将系统状态方程中的f或扩张为冗余状态x₃，此时系统状态x变为x＝[x₁,x₂,x₃]^T,不论是哪种扩张状态的定义，可构建的扩张状态观测器是相同的，不同的定义造成的仅仅是估计误差动态的不同而已，因此在本实施例中分为两种情况，其中：

1)将x₃定义为同时定义

假设有界，则扩张后的系统状态方程为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={\widehat{\mathrm{\θ}}}_{1}u-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2{x}_2+x_3\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=h\left(t\right)\end{array}---\left(7\right)$

根据扩张后的状态方程(7)，配置扩张状态观测器为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}}_1={\hat{x}}_2-3{\mathrm{\ω}}_0({\hat{x}}_1-x_1)\\ {\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}}_2={\widehat{\mathrm{\θ}}}_{1}u-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2{x}_2+{\hat{x}}_3-3{{\mathrm{\ω}}_0}^2({\hat{x}}_1-x_1)\\ {\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}}_3=-{{\mathrm{\ω}}_0}^3({\hat{x}}_1-x_1)\end{array}---\left(8\right)$

公式(8)中，为对系统状态x的估计，分别是状态x₁、x₂及冗余状态x₃的估计值，ω₀是扩张状态观测器的带宽且ω₀＞0；

定义为扩张状态观测器的估计误差，由公式(7)、(8)可得估计误差的动态方程为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}}_1={\tilde{x}}_2-3{\mathrm{\ω}}_0{\tilde{x}}_1\\ {\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}}_2={\tilde{x}}_3-3{{\mathrm{\ω}}_0}^2{\tilde{x}}_1\\ {\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}}_3=h\left(t\right)-{{\mathrm{\ω}}_0}^3{\tilde{x}}_1\end{array}---\left(9\right)$

定义ε＝[ε₁,ε₂,ε₃]^T，则可以得到缩比后的估计误差的动态方程为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}={\mathrm{\ω}}_0\mathrm{A\ϵ}+B_3\frac{h\left(t\right)}{{{\mathrm{\ω}}_0}^2}---\left(10\right)$

公式(10)中， $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -3& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right],$ $B_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right];$

由矩阵A的定义可知其满足赫尔维茨准则，因而存在一个正定且对称的矩阵 $P=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -1\\ -\frac{1}{2}& 1& -\frac{1}{2}\\ -1& -\frac{1}{2}& 4\end{array}\right],$ 使得A^TP+PA＝-I成立；

2)将x₃定义为f，同时定义

假设有界，则扩张后的系统状态方程为：

根据扩张后的状态方程(11)，配置的扩张状态观测器与前述公式(8)相同；

定义为扩张状态观测器的估计误差，由公式(8)、(11)可得估计误差的动态方程为：

定义ε＝[ε₁,ε₂,ε₃]^T，则可以得到缩比后的估计误差的动态方程为：

公式(13)中，B₂＝[0 1 0]^T， $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -3& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right],$ $B_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right];$

若h(t)有界，则系统的状态及干扰的估计误差总是有界的并且存在常数δ_i＞0以及有限时间T₁＞0使得：

$\left|{\tilde{x}}_i\right|\≤{\mathrm{\δ}}_i,{\mathrm{\δ}}_i=o\left(\frac{1}{{{\mathrm{\ω}}_0}^{\mathrm{\μ}}}\right),i=\mathrm{1,2,3},\∀t\≥T_1---\left(14\right)$

其中μ为正整数；

由式(10)或式(13)可知，通过增加扩张状态观测器的带宽ω₀可使估计误差在有限时间内趋于很小的值，因此，在满足δ₃＜|x₃|，在位置控制器的配置中用估计值来前馈补偿系统的干扰x₃，可提高系统的跟踪性能；同时，由(9)式或(12)式及扩张状态观测器的理论可知有界；

步骤4、配置基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器，其实现包括以下步骤：

步骤4-1、定义z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，x_1d是期望跟踪的位置指令，配置控制器的目标是使电机伺服系统的位置输出x₁尽可能准确地跟踪期望跟踪的位置指令x_1d；

步骤4-2、根据公式(2)中的第一个方程将惯性负载的角速度x₂作为虚拟控制量，使方程趋于稳定状态，令x_2eq为虚拟控制量的期望值，其与虚拟控制量x₂的误差为z₂＝x₂-x_2eq，对z₁求导可得：

${\stackrel{\·}{z}}_1=x_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}=z_2+x_{2\mathrm{eq}}-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}---\left(15\right)$

公式(15)中x_2eq为： $x_{2\mathrm{eq}}={\stackrel{\·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1---\left(16\right)$

公式(16)中k₁为可调整的增益且k₁＞0，把公式(16)带入公式(15)，则：

${\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-k_1{z}_1---\left(17\right)$

由于G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，控制系统的跟踪误差z₁在零附近较小的界内也就是控制z₂在零附近较小的界内，因此需要配置控制器使z₂在零附近较小的界内；

步骤4-3、配置实际的控制器输入u，使得虚拟控制的期望值与真实状态值之间的误差z₂在零附近较小的界内或渐进趋近于零

对z₂求导可得：

公式(18)中

根据公式(18)配置电机伺服系统的控制器输入u为：

$u=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1}[-\frac{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1}{{\mathrm{\θ}}_{1\min }}{k}_2{z}_2+{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2{x}_2-{\hat{x}}_3+{\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}]---\left(19\right)$

公式(19)中k₂为可调整的增益且k₂＞0；

确定自适应函数c＞0；

步骤5、确定电机伺服系统中相关参数和函数使得电机伺服系统的位置输出准确地渐进跟踪期望的位置指令，并且使电机伺服系统的输入无抖动现象产生

确定电机伺服系统中结构不确定性参数集θ的范围即θ_min及θ_max的值，同时选取对角自适应律矩阵Γ，(Γ＞0)，及的值，并调节参数ω₀、k₁、k₂、c，其中ω₀＞0，k₁＞0、k₂＞0、c＞0，使得电机伺服系统的位置输出x₁准确地跟踪期望的位置指令x_1d，并且使电机伺服系统的输入u无抖动现象产生。

为了验证基于上述实施例所提出方法的电机伺服系统的稳定性，本实施例还做如下分析：

若系统建模误差f是常值，则系统具备渐进稳定性。若系统建模误差f是变值，则系统有一致有界稳定，且系统的跟踪误差可由控制器参数任意调节，即随着控制参数的增强，跟踪误差减小。下面分两种情况进行描述。

第一种情况：若系统建模误差f是常值，则系统具备渐进稳定性。定义x₃＝f,根据控制理论中系统的稳定性分析，选取Lyapunov方程(即李亚普诺夫方程)为：

$V=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}c{z}_2^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^T\mathrm{P\ϵ}+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\θ}}---\left(20\right)$

若f是常值，h(t)＝0,估计误差动态为：

跟踪误差动态为：

对(20)式求导可得：

$\stackrel{\·}{V}=z_1{\stackrel{\·}{z}}_1+c{z}_2{\stackrel{\·}{z}}_2+\frac{1}{2}[{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}^T\mathrm{P\ϵ}+{\mathrm{\ϵ}}^{T}P\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}]+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}---\left(23\right)$

将公式(5)、(17)、(21)及(22)带入式(23)并经过转化可得

根据τ的定义(即前述自适应函数σ的表达式)，可知：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=-k_1{z}_1^2+z_1{z}_2-\frac{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1}{{\mathrm{\θ}}_{1\min }}{k}_{2}c{z}_2^2+c{\tilde{x}}_3{z}_2-\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}_o{\left|\right|\mathrm{\ϵ}\left|\right|}^2+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}[\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}-\mathrm{\Γ\τ}]\\ \≤-k_1{z}_1^2+z_1{z}_2-k_{2}c{z}_2^2+\frac{c}{{\mathrm{\ω}}_o^2}{z}_2{\mathrm{\ϵ}}_3-\frac{1}{2}({\mathrm{\ω}}_o-1){\left|\right|\mathrm{\ϵ}\left|\right|}^2\end{array}---\left(25\right)$

如果选择c，k₁，k₂，ω₀足够大，使得下面的矩阵Λ正定，

$\mathrm{\Λ}=\left[\begin{array}{ccccc}{k}_1& -\frac{1}{2}& 0& 0& 0\\ -\frac{1}{2}& {\mathrm{ck}}_2& 0& 0& -\frac{c}{2{\mathrm{\ω}}_o^2}\\ 0& 0& \frac{1}{2}({\mathrm{\ω}}_0-1)& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{2}({\mathrm{\ω}}_0-1)& 0\\ 0& -\frac{c}{2{\mathrm{\ω}}_o^2}& 0& 0& \frac{1}{2}({\mathrm{\ω}}_0-1)\end{array}\right]$

则由此证明了系统的渐进稳定性。

第二种情况：若系统建模误差f是变值，则系统一致有界稳定，且系统的跟踪误差可由控制器参数任意调节，即随着控制参数的增强，跟踪误差减小。定义根据控制理论中系统的稳定性分析，选取Lyapunov方程为：

$V=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}c{z}_2^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^T\mathrm{P\ϵ}---\left(26\right)$

若系统建模误差f是变值，此时系统的状态估计误差动态为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}={\mathrm{\ω}}_o\mathrm{A\ϵ}+B_3\frac{h\left(t\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^2}---\left(27\right)$

跟踪误差动态为：

${\stackrel{\·}{z}}_2=-\frac{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1}{{\mathrm{\θ}}_{1\min }}{k}_2{z}_2+{\tilde{x}}_3---\left(28\right)$

对(26)式求导可得：

$\stackrel{\·}{V}=-k_1{z}_1^2+z_1{z}_2-\frac{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1}{{\mathrm{\θ}}_{1\min }}{\mathrm{ck}}_2{z}_2^2+c{z}_2{\tilde{x}}_3-\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}_o{\left|\right|\mathrm{\ϵ}\left|\right|}^2+{\mathrm{\ϵ}}^{T}P{B}_3\frac{h\left(t\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^2}---\left(29\right)$

将公式(5)、(23)及(24)带入式(27)并经过转化可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=-k_1{z}_1^2+z_1{z}_2-\frac{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1}{{\mathrm{\θ}}_{1\min }}{\mathrm{ck}}_2{z}_2^2+c{z}_2{\tilde{x}}_3-\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}_o{\left|\right|\mathrm{\ϵ}\left|\right|}^2+{\mathrm{\ϵ}}^{T}P{B}_3\frac{h\left(t\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^2}\\ \≤-k_1{z}_1^2+z_1{z}_2-{\mathrm{ck}}_2{z}_2^2+\frac{c}{{\mathrm{\ω}}_o^2}{z}_2{\mathrm{\ϵ}}_3-\frac{1}{2}({\mathrm{\ω}}_o-1){\left|\right|\mathrm{\ϵ}\left|\right|}^2+\frac{1}{2}\frac{{\left(\right|\left|P{B}_3\right|\left|{\left|h\left(t\right)\right|}_{\max }\right)}^2}{{\mathrm{\ω}}_o^4}\\ \≤-{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(\mathrm{\Λ}\right){\left|\right|z\left|\right|}^2-{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(\mathrm{\Λ}\right){\left|\right|\mathrm{\ϵ}\left|\right|}^2+\frac{1}{2}\frac{{\left(\right|\left|P{B}_3\right|\left|{\left|h\left(t\right)\right|}_{\max }\right)}^2}{{\mathrm{\ω}}_o^4}\\ \≤-{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(\mathrm{\Λ}\right){\left|\right|z\left|\right|}^2-\frac{{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(\mathrm{\Λ}\right)}{{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(P\right)}{\mathrm{\ϵ}}^T\mathrm{P\ϵ}+\frac{1}{2}\frac{{\left(\right|\left|P{B}_3\right|\left|{\left|h\left(t\right)\right|}_{\max }\right)}^2}{{\mathrm{\ω}}_o^4}\end{array}---\left(30\right)$

公式(30)中λ_min(Λ)为矩阵Λ的最小特征值，λ_max(P)为矩阵P的最大特征值。令 $\mathrm{\λ}=2{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(\mathrm{\Λ}\right)\min \{1,\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(P\right)}\},$ 则

$\stackrel{\·}{V}\≤-\mathrm{\λV}+\frac{1}{2}\frac{{\left(\right|\left|P{B}_3\right|\left|{\left|h\left(t\right)\right|}_{\max }\right)}^2}{{\mathrm{\ω}}_o^4}---\left(31\right)$

由此获得了一致有界稳定，且系统跟踪误差可由参数控制。

下面结合图3、图4、图5和图6，对上述实施例提出的控制方法做示例性的说明。

电机伺服系统参数为：惯性负载参数m＝1kg·m²；力矩放大系数k_f＝5N·m/V；粘性摩擦系数B＝1.025N·m·s/rad；加入的常值干扰d(t)＝5N·m；系统期望跟踪的位置指令为曲线x_1d(t)＝atan(sin(πt))[1-exp(-t³)]rad。

对比仿真结果：前述实施例所设计的基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器的参数选取为:θ_min＝[1，0.1]^T,θ_max＝[700，900]^T，Γ＝diag{500,30}，ω₀＝50，k₁＝100,k₂＝30,c＝500。自适应位置控制器设计为其参数选取为:θ_min＝[1，0.1]^T,θ_max＝[700，900]^T，Γ＝diag{500,30}，k₁＝100,k₂＝30。PID控制器参数选取为：k_p＝600,k_i＝300,k_d＝1。

图3是本发明所设计的基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器作用下系统(加入扰动d(t)＝5N·m时)参数θ₁、θ₂的估计值随时间变化的曲线，从图中可以看出其估计值渐渐接近于系统参数的名义值，并在名义值附近一定范围内波动，从而能够准确地将系统的参数估计出来。

控制器作用效果：图4是本发明所设计的控制器(图中以ARCESO标识)、自适应位置控制器(图中以AC标识)以及传统PID控制器分别作用下系统(没有干扰)的跟踪误差随时间变化的对比曲线，从图中可以看出，ARCESO控制作用下系统的跟踪性能明显优于AC和PID控制作用下系统的跟踪性能。图5是本发明所设计的控制器(图中以ARCESO标识)、自适应位置控制器(图中以AC标识)以及传统PID控制器分别作用下系统(加入扰动d(t)＝5N·m时)的跟踪误差随时间变化的对比曲线，从图中可以看出，ARCESO控制作用下系统即使加入扰动之后仍能保证良好的瞬态性能，其跟踪性能明显优于AC和PID控制作用下系统的跟踪性能。

图6是本发明所设计的电机伺服系统位置控制的控制输入随时间变化的曲线，从图中可以看出，本发明所得到的控制输入信号光滑连续，有利于在工程实际中应用。

根据本发明的公开，一种基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制系统100，包括第一单元101、第二单元102、第三单元103、第四单元104以及第五单元105，其中：

第一单元101，用于建立电机伺服系统数学模型；

第二单元102，用于配置自适应律对电机伺服系统中的不确定性参数进行估计；

第三单元103，用于配置扩张状态观测器对电机伺服系统的不确定性进行估计；

第四单元104，用于配置基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器；以及

第五单元105，用于确定电机伺服系统中相关参数和函数以使得电机伺服系统的位置输出准确地渐进跟踪期望的位置指令，并且使电机伺服系统的输入无抖动现象产生。

本实施例的第一单元101、第二单元102、第三单元103、第四单元104以及第五单元105，其功能、作用和效果已经在图1、2所示的实施例中做了相应的说明，故不再赘述。

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。

Claims (4)

1.一种基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、建立电机伺服系统数学模型；

步骤2、配置自适应律对电机伺服系统中的不确定性参数进行估计；

步骤3、配置扩张状态观测器对电机伺服系统的不确定性进行估计；

步骤4、配置基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器；以及

步骤5、确定电机伺服系统中相关参数和函数使得电机伺服系统的位置输出准确地渐进跟踪期望的位置指令，并且使电机伺服系统的输入无抖动现象产生。

2.根据权利要求1所述的基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法，其特征在于，前述方法的实现具体包括：

步骤1、建立电机伺服系统数学模型

根据牛顿第二定律且简化电机的电气动态为比例环节，建立电机伺服系统的运动方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{f}u-B\stackrel{\·}{y}+d(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(1\right)$

公式(1)中，为惯性负载参数，y为惯性负载位移，k_f为力矩放大系数，u为系统的控制输入，B为粘性摩擦系数，为外干扰值；

选取状态矢量为：则电机伺服系统的运动学方程可以转化为如下状态方程形式：

对于公式(2)：不确定性参数集θ＝[θ₁，θ₂]^T，其中 分别为不确定性参数集θ的估计值及估计误差， 为系统的外部干扰值；

电机伺服系统由于参数m、k_f、B的变化而存在结构不确定性，非结构不确定性也不能用明确的函数来建模；因此：

假设1：系统参考指令信号x_1d(t)是二阶连续的，且系统期望位置指令、速度指令及加速度指令都是有界的；

假设2：不确定性参数集θ满足：

θ∈Ω_θ＝{θ:θ_min≤θ≤θ_max}   (3)

公式(3)中，θ_min＝[θ_1min，θ_2min]^T,θ_max＝[θ_1max，θ_2max]^T均已知；

步骤2、配置自适应律对电机伺服系统中的不确定性参数进行估计，其实现包括：

定义不连续投影函数为：

公式(4)中i＝1,2，·_i为矢量·的第i个元素，对于两个矢量之间的运算“＜”为矢量中相应元素之间的运算；

采用自适应律为：

$\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}={\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\left(\mathrm{\Γ\σ}\right),{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\widehat{\mathrm{\θ}}\left(0\right)\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }---\left(5\right)$

公式(5)中Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，σ为自适应函数，对于任意自适应函数σ，运用投影函数(5)能保证：

$\begin{array}{cc}\left(P1\right)& \widehat{\mathrm{\θ}}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{\widehat{\mathrm{\θ}}:{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\widehat{\mathrm{\θ}}\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }\}\\ \left(P2\right)& {\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T[{\mathrm{\Γ}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\left(\mathrm{\Γ\σ}\right)-\mathrm{\σ}]\≤0,\∀\mathrm{\σ}\end{array}---\left(6\right)$

步骤3、配置扩张状态观测器对电机伺服系统的不确定性进行估计，其实现包括：

将系统状态方程中的f或扩张为冗余状态x₃，此时系统状态x变为x＝[x₁,x₂,x₃]^T,其中：

1)将x₃定义为同时定义

假设有界，则扩张后的系统状态方程为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={\widehat{\mathrm{\θ}}}_{1}u-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2{x}_2+x_3\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=h\left(t\right)\end{array}---\left(7\right)$

根据扩张后的状态方程(7)，配置扩张状态观测器为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}}_1={\hat{x}}_2-3{\mathrm{\ω}}_0({\hat{x}}_1-x_1)\\ {\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}}_2={\widehat{\mathrm{\θ}}}_{1}u-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2{x}_2+{\hat{x}}_3-3{{\mathrm{\ω}}_0}^2({\hat{x}}_1-x_1)\\ {\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}}_3=-{{\mathrm{\ω}}_0}^3({\hat{x}}_1-x_1)\end{array}---\left(8\right)$

公式(8)中，为对系统状态x的估计，分别是状态x₁、x₂及冗余状态x₃的估计值，ω₀是扩张状态观测器的带宽且ω₀＞0；

定义为扩张状态观测器的估计误差，由公式(7)、(8)可得估计误差的动态方程为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}}_1={\tilde{x}}_2-3{\mathrm{\ω}}_0{\tilde{x}}_1\\ {\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}}_2={\tilde{x}}_3-3{{\mathrm{\ω}}_0}^2{\tilde{x}}_1\\ {\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}}_3=h\left(t\right)-{{\mathrm{\ω}}_0}^3{\tilde{x}}_1\end{array}---\left(9\right)$

定义ε＝[ε₁,ε₂,ε₃]^T，则可以得到缩比后的估计误差的动态方程为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}={\mathrm{\ω}}_0\mathrm{A\ϵ}+B_3\frac{h\left(t\right)}{{{\mathrm{\ω}}_0}^2}---\left(10\right)$

公式(10)中， $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -3& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right],$ $B_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right];$

由矩阵A的定义可知其满足赫尔维茨准则，因而存在一个正定且对称的矩阵 $P=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -1\\ -\frac{1}{2}& 1& -\frac{1}{2}\\ -1& -\frac{1}{2}& 4\end{array}\right],$ 使得A^TP+PA＝-I成立；

2)将x₃定义为f，同时定义

假设有界，则扩张后的系统状态方程为：

根据扩张后的状态方程(11)，配置的扩张状态观测器与前述公式(8)相同；

定义为扩张状态观测器的估计误差，由公式(8)、(11)可得估计误差的动态方程为：

定义ε＝[ε₁,ε₂,ε₃]^T，则可以得到缩比后的估计误差的动态方程为：

公式(13)中，B₂＝[0 1 0]^T， $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -3& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right],$ $B_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right];$

若h(t)有界，则系统的状态及干扰的估计误差总是有界的并且存在常数δ_i＞0以及有限时间T₁＞0使得：

$\left|{\tilde{x}}_i\right|\≤{\mathrm{\δ}}_i,{\mathrm{\δ}}_i=o\left(\frac{1}{{{\mathrm{\ω}}_0}^{\mathrm{\μ}}}\right),i=\mathrm{1,2,3},\∀t\≥T_1---\left(14\right)$

其中μ为正整数；

由式(10)或式(13)可知，通过增加扩张状态观测器的带宽ω₀可使估计误差在有限时间内趋于很小的值，因此，在满足δ₃＜|x₃|，在位置控制器的配置中用估计值来前馈补偿系统的干扰x₃，可提高系统的跟踪性能；同时，由(9)式或(12)式及扩张状态观测器的理论可知有界；

步骤4、配置基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器，其实现包括以下步骤：

步骤4-1、定义z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，x_1d是期望跟踪的位置指令，配置控制器的目标是使电机伺服系统的位置输出x₁尽可能准确地跟踪期望跟踪的位置指令x_1d；

步骤4-2、根据公式(2)中的第一个方程将惯性负载的角速度x₂作为虚拟控制量，使方程趋于稳定状态，令x_2eq为虚拟控制量的期望值，其与虚拟控制量x₂的误差为z₂＝x₂-x_2eq，对z₁求导可得：

${\stackrel{\·}{z}}_1=x_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}=z_2+x_{2\mathrm{eq}}-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}---\left(15\right)$

公式(15)中x_2eq为： $x_{2\mathrm{eq}}={\stackrel{\·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1---\left(16\right)$

公式(16)中k₁为可调整的增益且k₁＞0，把公式(16)带入公式(15)，则：

${\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-k_1{z}_1---\left(17\right)$

由于G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，控制系统的跟踪误差z₁在零附近较小的界内也就是控制z₂在零附近较小的界内，因此需要配置控制器使z₂在零附近较小的界内；

步骤4-3、配置实际的控制器输入u，使得虚拟控制的期望值与真实状态值之间的误差z₂在零附近较小的界内或渐进趋近于零

对z₂求导可得：

公式(18)中

根据公式(18)配置电机伺服系统的控制器输入u为：

$u=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1}[-\frac{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1}{{\mathrm{\θ}}_{1\min }}{k}_2{z}_2+{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2{x}_2-{\hat{x}}_3+{\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}]---\left(19\right)$

公式(19)中k₂为可调整的增益且k₂＞0；

确定自适应函数c＞0；

步骤5、确定电机伺服系统中相关参数和函数使得电机伺服系统的位置输出准确地渐进跟踪期望的位置指令，并且使电机伺服系统的输入无抖动现象产生

确定电机伺服系统中结构不确定性参数集θ的范围即θ_min及θ_max的值，同时选取对角自适应律矩阵Γ，(Γ＞0)，及的值，并调节参数ω₀、k₁、k₂、c，其中ω₀＞0，k₁＞0、k₂＞0、c＞0，使得电机伺服系统的位置输出x₁准确地跟踪期望的位置指令x_1d，并且使电机伺服系统的输入u无抖动现象产生。

3.一种基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制系统，其特征在于，该系统包括第一单元、第二单元、第三单元、第四单元以及第五单元，其中：

第一单元，用于建立电机伺服系统数学模型；

第二单元，用于配置自适应律对电机伺服系统中的不确定性参数进行估计；

第三单元，用于配置扩张状态观测器对电机伺服系统的不确定性进行估计；

第四单元，用于配置基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器；以及

第五单元，用于确定电机伺服系统中相关参数和函数以使得电机伺服系统的位置输出准确地渐进跟踪期望的位置指令，并且使电机伺服系统的输入无抖动现象产生。

4.根据权利要求3所述的基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制系统，其特征在于，其中各模块的实现包括：

第一单元，用于建立电机伺服系统数学模型，其建立方式如下：

根据牛顿第二定律且简化电机的电气动态为比例环节，建立电机伺服系统的运动方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{f}u-B\stackrel{\·}{y}+d(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(1\right)$

公式(1)中，为惯性负载参数，y为惯性负载位移，k_f为力矩放大系数，u为系统的控制输入，B为粘性摩擦系数，为外干扰值；

选取状态矢量为：则电机伺服系统的运动学方程可以转化为如下状态方程形式：

对于公式(2)：不确定性参数集θ＝[θ₁，θ₂]^T，其中 分别为不确定性参数集θ的估计值及估计误差， 为系统的外部干扰值；

电机伺服系统由于参数m、k_f、B的变化而存在结构不确定性，非结构不确定性也不能用明确的函数来建模；因此：

假设1：系统参考指令信号x_1d(t)是二阶连续的，且系统期望位置指令、速度指令及加速度指令都是有界的；

假设2：不确定性参数集θ满足：

θ∈Ω_θ＝{θ:θ_min≤θ≤θ_max}   (3)

公式(3)中，θ_min＝[θ_1min，θ_2min]^T,θ_max＝[θ_1max，θ_2max]^T均已知；

第二单元，用于配置自适应律对电机伺服系统中的不确定性参数进行估计，其具体配置方式如下：

定义不连续投影函数为：

公式(4)中i＝1,2，·_i为矢量·的第i个元素，对于两个矢量之间的运算“＜”为矢量中相应元素之间的运算；

采用自适应律为：

$\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}={\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\left(\mathrm{\Γ\σ}\right),{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\widehat{\mathrm{\θ}}\left(0\right)\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }---\left(5\right)$

公式(5)中Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，σ为自适应函数，对于任意自适应函数σ，运用投影函数(5)能保证：

$\begin{array}{cc}\left(P1\right)& \widehat{\mathrm{\θ}}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{\widehat{\mathrm{\θ}}:{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\widehat{\mathrm{\θ}}\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }\}\\ \left(P2\right)& {\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T[{\mathrm{\Γ}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\left(\mathrm{\Γ\σ}\right)-\mathrm{\σ}]\≤0,\∀\mathrm{\σ}\end{array}---\left(6\right)$

第三单元，用于配置扩张状态观测器对电机伺服系统的不确定性进行估计，其具体配置方式如下：

将系统状态方程中的f或扩张为冗余状态x₃，此时系统状态x变为x＝[x₁,x₂,x₃]^T,其中：

1)将x₃定义为同时定义

假设有界，则扩张后的系统状态方程为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={\widehat{\mathrm{\θ}}}_{1}u-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2{x}_2+x_3\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=h\left(t\right)\end{array}---\left(7\right)$

根据扩张后的状态方程(7)，配置扩张状态观测器为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}}_1={\hat{x}}_2-3{\mathrm{\ω}}_0({\hat{x}}_1-x_1)\\ {\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}}_2={\widehat{\mathrm{\θ}}}_{1}u-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2{x}_2+{\hat{x}}_3-3{{\mathrm{\ω}}_0}^2({\hat{x}}_1-x_1)\\ {\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}}_3=-{{\mathrm{\ω}}_0}^3({\hat{x}}_1-x_1)\end{array}---\left(8\right)$

公式(8)中，为对系统状态x的估计，分别是状态x₁、x₂及冗余状态x₃的估计值，ω₀是扩张状态观测器的带宽且ω₀＞0；

定义为扩张状态观测器的估计误差，由公式(7)、(8)可得估计误差的动态方程为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}}_1={\tilde{x}}_2-3{\mathrm{\ω}}_0{\tilde{x}}_1\\ {\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}}_2={\tilde{x}}_3-3{{\mathrm{\ω}}_0}^2{\tilde{x}}_1\\ {\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}}_3=h\left(t\right)-{{\mathrm{\ω}}_0}^3{\tilde{x}}_1\end{array}---\left(9\right)$

定义ε＝[ε₁,ε₂,ε₃]^T，则可以得到缩比后的估计误差的动态方程为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}={\mathrm{\ω}}_0\mathrm{A\ϵ}+B_3\frac{h\left(t\right)}{{{\mathrm{\ω}}_0}^2}---\left(10\right)$

公式(10)中， $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -3& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right],$ $B_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right];$

由矩阵A的定义可知其满足赫尔维茨准则，因而存在一个正定且对称的矩阵 $P=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -1\\ -\frac{1}{2}& 1& -\frac{1}{2}\\ -1& -\frac{1}{2}& 4\end{array}\right],$ 使得A^TP+PA＝-I成立；

2)将x₃定义为f，同时定义

假设有界，则扩张后的系统状态方程为：

根据扩张后的状态方程(11)，配置的扩张状态观测器与前述公式(8)相同；

定义为扩张状态观测器的估计误差，由公式(8)、(11)可得估计误差的动态方程为：

定义ε＝[ε₁,ε₂,ε₃]^T，则可以得到缩比后的估计误差的动态方程为：

公式(13)中，B₂＝[0 1 0]^T，

若h(t)有界，则系统的状态及干扰的估计误差总是有界的并且存在常数δ_i＞0以及有限时间T₁＞0使得：

$\left|{\tilde{x}}_i\right|\≤{\mathrm{\δ}}_i,{\mathrm{\δ}}_i=o\left(\frac{1}{{{\mathrm{\ω}}_0}^{\mathrm{\μ}}}\right),i=\mathrm{1,2,3},\∀t\≥T_1---\left(14\right)$

其中μ为正整数；

由式(10)或式(13)可知，通过增加扩张状态观测器的带宽ω₀可使估计误差在有限时间内趋于很小的值，因此，在满足δ₃＜|x₃|，在位置控制器的配置中用估计值来前馈补偿系统的干扰x₃，可提高系统的跟踪性能；同时，由(9)式或(12)式及扩张状态观测器的理论可知有界；

第四单元，用于配置基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制器，其具体配置方式如下：

步骤4-1、定义z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，x_1d是期望跟踪的位置指令，配置控制器的目标是使电机伺服系统的位置输出x₁尽可能准确地跟踪期望跟踪的位置指令x_1d；

步骤4-2、根据公式(2)中的第一个方程将惯性负载的角速度x₂作为虚拟控制量，使方程趋于稳定状态，令x_2eq为虚拟控制量的期望值，其与虚拟控制量x₂的误差为z₂＝x₂-x_2eq，对z₁求导可得：

${\stackrel{\·}{z}}_1=x_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}=z_2+x_{2\mathrm{eq}}-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}---\left(15\right)$

公式(15)中x_2eq为： $x_{2\mathrm{eq}}={\stackrel{\·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1---\left(16\right)$

公式(16)中k₁为可调整的增益且k₁＞0，把公式(16)带入公式(15)，则：

${\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-k_1{z}_1---\left(17\right)$

由于G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，控制系统的跟踪误差z₁在零附近较小的界内也就是控制z₂在零附近较小的界内，因此需要配置控制器使z₂在零附近较小的界内；

步骤4-3、配置实际的控制器输入u，使得虚拟控制的期望值与真实状态值之间的误差z₂在零附近较小的界内或渐进趋近于零

对z₂求导可得：

公式(18)中

根据公式(18)配置电机伺服系统的控制器输入u为：

$u=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1}[-\frac{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1}{{\mathrm{\θ}}_{1\min }}{k}_2{z}_2+{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2{x}_2-{\hat{x}}_3+{\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}]---\left(19\right)$

公式(19)中k₂为可调整的增益且k₂＞0；

确定自适应函数c＞0；

第五单元，用于确定电机伺服系统中相关参数和函数以使得电机伺服系统的位置，输出准确地渐进跟踪期望的位置指令，并且使电机伺服系统的输入无抖动现象产生，具体地，该单元用于确定电机伺服系统中结构不确定性参数集θ的范围即θ_min及θ_max的值，同时选取对角自适应律矩阵Γ，Γ＞0，及的值，并调节参数ω₀、k₁、k₂、c，其中ω₀＞0，k₁＞0、k₂＞0、c＞0，使得电机伺服系统的位置输出x₁准确地跟踪期望的位置指令x_1d，并且使电机伺服系统的输入u无抖动现象产生。