CN110501904B - 一种电液伺服系统主动容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电液伺服系统主动容错控制方法。方法步骤为：首先建立双出杆液压缸位置伺服系统数学模型；然后进行匹配加性故障和模型不确定性观测器设计及分析、非匹配加性故障和模型不确定性观测器设计及分析、主动容错控制器设计；最后调节参数对电液伺服系统进行主动容错控制：调节增益使扩张状态观测器估计系统的匹配加性故障和模型不确定性，使扰动观测器估计系统的非匹配加性故障和模型不确定性，使电液位置伺服系统的位置输出跟踪期望的位置指令。本发明不仅能够使系统达到期望的跟踪效果，而且能够减少系统安装传感器的数量，具有抗干扰性强、成本低、控制电压连续的优点，更利于在工程中的实际应用。

Description

一种电液伺服系统主动容错控制方法

技术领域

本发明属于电液伺服控制技术领域，特别是一种电液伺服系统主动容错控制方法。

背景技术

电液伺服系统由于具有功率密度大、动态响应快的突出优点，广泛应用于航空、航天、兵器、工业等各种领域。近年来，随着信号处理技术、人工智能技术和控制理论等基础学科的迅速发展，液压系统故障诊断在国内外得到了广泛重视并取得了重要进展。电液伺服系统的性能和稳定性与控制器的设计密切相关，然而在系统控制器设计时未充分考虑的突发情况和异常事件，可能导致控制器满足不了系统要求，致使系统性能下降，甚至不稳定。对于一般应用于实际系统的电液伺服控制系统，相比故障类型及定位信息，更重要的是故障是否发生、对系统控制性能有何影响、通过改变控制策略等手段能否紧急恢复这些性能。显然，要想电液伺服系统在故障下仍维持系统的性能和稳定性，不仅需要原有控制器，还需采取容错控制策略(FTC)，通过容错控制可以使被控对象在故障引起性能下降的情况下仍能继续工作。因此故障检测与容错控制技术得到了广泛的关注与空前的发展。

容错控制是基于系统故障检测、诊断和控制理论的非线性智能控制方法，即使系统故障仍能保持较好的动态响应和鲁棒性能。容错控制可以分为被动容错控制和主动容错控制。其中，被动容错控制将系统故障看作干扰，利用鲁棒技术使控制器对故障发生与否不敏感；而主动容错控制则利用在线故障检测结果，做出针对性的控制器调节，以使系统性能不受故障的影响或影响减小。由以上分析可知，被动容错控制器其实质为鲁棒控制器，结构较简单、易于工程实现，但缺乏针对性，控制器设计较为保守，因而系统的整体控制性能一般；而主动容错控制则进行了针对性设计，因此可恢复系统部分甚至全部控制性能，当然由于其需要额外的故障检测环节，因而系统运算更为繁重，性能分析更为复杂。

从国内外的研究情况来看，有关电液伺服系统故障检测与容错设计的研究越来越活跃，也得到了政府部门的高度重视，但该领域尚存在如下重要问题没有得到有效解决：

一、被动容错控制策略性能很保守。在以往研究中，为了降低容错控制策略的设计难度，基于鲁棒控制技术的被动容错控制策略被广泛研究。这种被动式的设计固然给控制器工程实现带来方便，并使系统控制性能对可能发生的故障不敏感，然而，被动容错控制总是基于已知故障模式进行设计，对其他故障则不起鲁棒作用，而且考虑的故障模式越多，鲁棒控制器设计就越保守，可能恢复的性能就越少，更为严重的缺点是过于保守的被动容错控制器设计甚至不得不牺牲无故障时系统的控制性能，来确保潜在故障发生时系统的稳定。

二、缺乏行之有效的主动容错控制设计方法。虽然主动容错控制可以有针对性地恢复由故障导致的性能下降，并对无故障系统不造成任何负面影响，但其设计难度较大，稳定性分析困难，尤其是对于电液伺服系统这类高度非线性且存在较大不确定性的控制系统，如何突破这些瓶颈并实现与在线故障检测策略的有效融合、使故障检测/辨识及容错控制全自动化是更为困难的工作。

发明内容

本发明的目的在于提供一种抗干扰性强、成本低、控制电压连续的电液伺服系统主动容错控制方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种电液伺服系统主动容错控制方法，包括以下步骤：

步骤1、建立双出杆液压缸位置伺服系统数学模型；

步骤2、进行匹配加性故障和模型不确定性观测器设计及分析；

步骤3、进行非匹配加性故障和模型不确定性观测器设计及分析；

步骤4、进行主动容错控制器设计；

步骤5、调节参数对电液伺服系统进行主动容错控制。

进一步地，步骤1所述的建立双出杆液压缸位置伺服系统数学模型，具体如下：

根据牛顿第二定律得双出杆液压缸位置伺服系统的运动学方程为：

式(1)中，m和y分别表示系统负载的质量和运动位移；P_L＝P₁-P₂表示双出杆液压缸进、出油腔的压力差，其中P₁为进油腔的压力，P₂为出油腔的压力；A表示双出杆液压缸左、右两腔的有效活塞面积；B为粘性摩擦系数；

为由系统外部干扰、未建模的摩擦力以及难以建模的因素导致的总的不确定性非线性项；

双出杆液压缸执行器的负载压力动态表达为：

式(2)中，V_t、β_e、C_t、Q_L分别为双出杆液压缸的控制腔总容积、液压油弹性模量、双出杆液压缸的泄漏系数及伺服阀负载流量，其中Q_L＝(Q₁+Q₂)/2，Q₁为由伺服阀进入双出杆液压缸进油腔的液压流量，Q₂为由伺服阀流出双出杆液压缸回油腔的液压流量；Q(t)为建模误差；

由于伺服阀响应速度非常快，即伺服阀频宽远远高于系统频宽，所以伺服动态简化为比例环节，因此伺服阀负载流量方程转换为：

式(3)中，k_t表示与控制输入电压u相关的总流量增益，P_s为液压源供油压力，s(u)表示为：

针对双出杆液压缸伺服系统，由式(1)、(2)及(3)表征的非线性模型，定义系统状态变量为

则系统非线性模型的状态空间形式为：

式(5)中φ₁(x₂)＝-Bx₂/m、f(t)＝d(t,x₁,x₂)/m为不匹配加性故障和模型不确定性，

q(t)＝4β_eAQ(t)/V_t/J为匹配加性故障和模型不确定性，其中参数均为名义值且已知，参数B、m的变化造成的不确定性影响可归结到f(t)以及q(t)中；

在设计主动容错控制策略之前作出以下设定：

设定1：期望跟踪的位置轨迹x_1d∈C³并且有界，函数g(u,x₃)远离0；

设定2：函数g(u,x₃)关于x₃在实际范围内Lipschitz有界，函数φ₁(x₂)关于x₂在实际范围内Lipschitz有界，函数φ₂(x₂,x₃)关于x₂和x₃在实际范围内Lipschitz有界。

进一步地，步骤2所述的进行匹配加性故障和模型不确定性观测器设计及分析，具体如下：

首先将式(5)中的匹配加性故障和模型不确定性q(t)扩张为冗余状态x_q，即令x_q＝q(t)，同时将式(5)中的非匹配加性故障和模型不确定性f(t)重新定义为x_f＝f(t)，此时式(5)的系统状态变量x＝[x₁,x₂,x₃]^T变为x＝[x₁,x₂,x₃,x_q]^T；设定q(t)的一阶导数存在且有界，并定义

则对于式(5)，扩张后的系统非线性模型的状态方程为：

根据扩张后的状态方程(6)，设计扩张状态观测器为：

式(7)中

分别是状态x₁、x₂、x₃及冗余状态x_q的估计值，定义状态矢量

是x_f的估计值，ω_o是扩张状态观测器的带宽且ω_o＞0。

进一步地，步骤3所述的进行非匹配加性故障和模型不确定性观测器设计及分析，具体如下：

定义变量η为η＝x_f-lx₂，其中l为可以调节的正常数，并且定义η的估计值

的表达式如下所示：

式(8)中

通过下式进行更新：

通过式(8)以及式(9)设计的扰动观测器观测出非匹配加性故障和模型不确定性x_f的估计值

并且通过调节参数l最终将估计误差收敛到小于设定值。

进一步地，步骤4所述的进行主动容错控制器设计，具体如下：

定义z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，其中x_1d是期望跟踪的位置指令，并设定该指令是三阶连续可微并且有界的；定义z₂如下所示：

式(10)中k₁为正常数，α₁为稳定函数；

对式(10)关于时间进行微分，得：

定义z₃＝x₃-α₂，其中α₂为x₃的虚拟控制律，设计虚拟控制律α₂，使得虚拟控制的期望值与真实状态值之间的误差z₂小于设定值；将定义的z₃代入到式(11)中，得：

由式(12)，设计α₂为：

式(13)中α_2a为前馈补偿项，α_2s为鲁棒项，k₂为正常数；

把式(13)代入到式(12)中，得：

对定义的z₃进行求导，得：

式(15)中α_2c为α₂的可计算部分，α_2u为α₂的不可计算部分，表达式如下所示：

根据式(15)，设计出最终的主动容错控制器u为：

式(17)中u_a为前馈补偿项，u_s为鲁棒项，k₃为正常数。

进一步地，步骤5所述的调节参数对电液伺服系统进行主动容错控制，具体如下：

调节增益ω_o使扩张状态观测器估计系统的匹配加性故障和模型不确定性q(t)，调节增益l使扰动观测器估计系统的非匹配加性故障和模型不确定性f(t)，调节参数k₁、k₂以及k₃的值使电液位置伺服系统的位置输出y(t)跟踪期望的位置指令x_1d。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)选取双出杆液压缸电液位置伺服系统作为对象，建立了系统的非线性模型，同时考虑了系统的匹配和非匹配的加性故障和模型不确定性，针对匹配的加性故障和模型不确定性设计了扩张状态观测器对其进行估计，针对非匹配的加性故障和模型不确定性设计了扰动观测器对其进行估计；(2)设计的主动容错控制策略，不仅能够保证在系统存在匹配和非匹配的加性故障和模型不确定性时，使系统达到期望的跟踪效果，而且只需要提供系统的位置以及供油压力信息，能够减少系统安装传感器的数量，从而更加节约成本；(3)所设计的主动容错控制器的控制电压连续，更利于在工程中实际应用。

附图说明

图1是双出杆液压缸电液位置伺服系统的结构示意图；

图2是本发明电液伺服系统主动容错控制方法的原理示意图；

图3是本发明所设计的控制器和传统PID控制器分别作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线；

图4是电液位置伺服系统在本发明所设计的控制器控制作用下的控制输入随时间变化的曲线。

具体实施方式

结合图1、图2，本发明电液伺服系统主动容错控制方法，具体步骤如下：

步骤1、建立双出杆液压缸位置伺服系统数学模型：

以图1所示的双出杆液压缸位置伺服系统为研究对象，建立电液位置伺服系统的数学模型，根据牛顿第二定律可得系统的运动学方程为：

公式(1)m和y分别表示系统负载的质量和运动位移；P_L＝P₁-P₂表示双出杆液压缸进、出油腔的压力差，其中P₁为进油腔的压力，P₂为出油腔的压力；A表示双出杆液压缸左、右两腔的有效活塞面积；B为粘性摩擦系数；

为由系统外部干扰、未建模的摩擦力以及难以建模的因素导致的总的不确定性非线性项。

双出杆液压缸执行器的负载压力动态可以表达为：

公式(2)中V_t、β_e、C_t、Q_L分别为双出杆液压缸的控制腔总容积、液压油弹性模量、双出杆液压缸的泄漏系数及伺服阀负载流量，其中Q_L＝(Q₁+Q₂)/2，Q₁为由伺服阀进入双出杆液压缸进油腔的液压流量，Q₂为由伺服阀流出双出杆液压缸回油腔的液压流量，Q(t)为建模误差。

由于伺服阀响应速度非常快，即伺服阀频宽远远高于系统频宽，所以伺服动态可简化为比例环节，因此伺服阀负载流量方程可转换为：

公式(3)中k_t表示与控制输入电压u相关的总流量增益，P_s为液压源供油压力，s(u)表示为：

为使该控制策略的设计更具广泛性，针对双出杆液压缸伺服系统，由式(1)(2)及(3)表征的非线性模型，定义系统状态变量为

则系统非线性模型的状态空间形式为：

式(5)中φ₁(x₂)＝-Bx₂/m、f(t)＝d(t,x₁,x₂)/m为不匹配加性故障和模型不确定性，

q(t)＝4β_eAQ(t)/V_t/J为匹配加性故障和模型不确定性，其中参数均为名义值且已知，参数B、m的变化造成的不确定性影响可归结到f(t)以及q(t)中。

在设计主动容错控制策略之前作出以下设定：

设定1：期望跟踪的位置轨迹x_1d∈C³并且有界，函数g(u,x₃)远离0；

设定2：函数g(u,x₃)关于x₃在实际范围内Lipschitz有界，函数φ₁(x₂)关于x₂在实际范围内Lipschitz有界，函数φ₂(x₂,x₃)关于x₂和x₃在实际范围内Lipschitz有界。

步骤2、进行匹配加性故障和模型不确定性观测器设计及分析：

首先将公式(5)中的q(t)项扩张为冗余状态x_q，即令x_q＝q(t)，同时将公式(5)中的f(t)项重新定义为x_f＝f(t)，此时公式(7)的系统状态变量x＝[x₁,x₂,x₃]^T变为x＝[x₁,x₂,x₃,x_q]^T；设定q(t)的一阶导数存在且有界，并定义

则对于公式(5)，扩张后的系统非线性模型的状态方程为：

根据扩张后的状态方程(6)，设计扩张状态观测器为：

公式(7)中

分别是状态x₁、x₂、x₃及冗余状态x_q的估计值，并定义状态矢量

是x_f的估计值，ω_o是扩张状态观测器的带宽且ω_o＞0。

定义状态矢量

为扩张状态观测器的估计误差，由公式(6)、(7)可得估计误差的动态方程为：

定义状态矢量ζ＝[ζ₁,ζ₂,ζ₃,ζ₄]^T，其中

则可以得到缩比后的估计误差的动态方程为：

公式(9)中矩阵A₁、F₁、F₂以及F₃的表达式分别如下所示：

由矩阵A₁的定义可知其满足赫尔维茨准则，因而存在一个正定且对称的矩阵N₁，使得A₁ ^TN₁+N₁A₁＝-I成立；

由扩张状态观测器理论可知：若h(t)有界，则系统(7)的状态及干扰的估计误差总是有界的，并且存在常数δ_i,δ₄＞0,i＝1,2,3以及有限时间T₁＞0使得：

其中

为无穷小数，γ为正整数；由式(11)可知，通过增加扩张状态观测器的带宽ω_o可以使估计误差在有限时间内趋于很小的值。

步骤3、进行非匹配加性故障和模型不确定性观测器设计及分析：

定义变量η为η＝x_f-lx₂，其中l为可以调节的正常数，并且定义η的估计值

的表达式如下所示：

公式(12)中

通过下式进行更新：

通过公式(12)以及(13)设计的扰动观测器观测出非匹配加性故障和模型不确定性x_f的估计值

并且通过调节参数l最终将其估计误差收敛到很小的值。

步骤4、进行主动容错控制器设计：

定义z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，其中x_1d是期望跟踪的位置指令，并设定该指令是三阶连续可微并且有界的；定义z₂如下所示：

公式(14)中k₁为正常数，α₁为稳定函数；

对公式(14)关于时间进行微分，可得：

定义z₃＝x₃-α₂，其中α₂为x₃的虚拟控制律，设计虚拟控制律α₂，使得虚拟控制的期望值与真实状态值之间的误差z₂在零附近较小的界内；

将定义的z₃代入到公式(15)中，可得：

由公式(16)，设计α₂为：

公式(17)中α_2a为前馈补偿项，α_2s为鲁棒项，k₂为正常数；

把公式(17)代入到公式(16)中，可得：

对定义的z₃进行求导，可得：

公式(19)中α_2c为α₂的可计算部分，α_2u为α₂的不可计算部分，其表达式如下所示：

根据公式(19)，设计最终的主动容错控制器u为：

公式(21)中u_a为前馈补偿项，u_s为鲁棒项，k₃为正常数；

把公式(21)代入到公式(19)中，可得：

分析电液位置伺服系统的稳定性：

基于假设2以及φ₁(x₂)、φ₂(x₂,x₃)、g(u,x₃)的定义可知，存在已知正常数l₁、l₂、l₃以及l₄满足：

针对满足设定1及设定2的电液位置伺服系统(5)，设计干扰观测器(7)、(12)、(13)观测系统中存在的模型不确定性和加性故障，在基于此干扰观测器设计的主动容错控制策略(21)作用下，即使系统中存在模型不确定性和加性故障，仍然能够保持良好的跟踪性能。

证明：根据控制理论中系统的稳定性分析，定义误差矢量z为z＝[z₁,z₂,z₃]^T，选取Lyapunov方程V为：

基于公式(9)、(13)、(14)、(18)以及(22)，对公式(24)关于时间进行微分，可得：

对公式(25)进一步整理，可得：

公式(26)中ε、μ₁、μ₂、μ₃和k_ζ的定义分别如下所示：

μ₁＝(k₁+k₂+l)ω_o+l₁

对公式(26)经过转化，最终可得：

公式(29)中ξ的定义为ξ＝[|z₁|,|z₂|,|z₃|,|z₁|,|z₂|,|z₃|]^T，Λ的定义如下所示：

步骤5、调节参数对电液伺服系统进行主动容错控制：

调节增益ω_o(ω_o＞0)以保证扩张状态观测器准确地估计系统的匹配加性故障和模型不确定性q(t)，调节增益l(l＞0)以保证扰动观测器准确地估计系统的非匹配加性故障和模型不确定性f(t)，调节参数k₁(k₁＞0)、k₂(k₂＞0)以及k₃(k₃＞0)的值能保证电液位置伺服系统的位置输出y(t)准确地跟踪期望的位置指令x_1d。

实施例1

电液位置伺服系统参数为：负载质量m＝30kg；活塞杆面积A＝9.0478×10^-4m²；总泄漏系数C_t＝3×10^-12m³/s/Pa；供油压力P_s＝1×10⁷Pa；粘性摩擦系数B＝90N·s/m；液压油弹性模量β_e＝7×10⁸Pa；伺服阀总流量增益k_t＝1.1969×10^-8m³/s/V/Pa^-1/2；控制腔总容积V_t＝1.16×10^-4m³；在系统中加入时变外干扰d(t)＝200sin(t)N来模拟系统中的非匹配加性故障和模型不确定性，加入时变外干扰Q(t)＝1×10^-6sin(t)m³/s来模拟系统中的匹配加性故障和模型不确定性；系统期望跟踪的位置指令为曲线x_1d(t)＝sin(t)[1-exp(-0.01t³)]。

对比仿真参数：本发明所设计的控制器的参数选取为:ω₀＝50，l＝2，k₁＝500，k₂＝300，k₃＝150；PID控制器参数选取为：比例增益k_P＝3000,积分增益k_I＝2000,微分增益k_D＝5。

控制器作用效果：图3中上图表示本系统期望跟踪的位置指令随时间变化的曲线，下图表示本发明所设计的控制器(图中以DDO标识)和传统PID控制器分别作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线，从图中可以看出，本发明所设计的控制器作用下系统的跟踪误差的值明显小于PID控制器的跟踪误差，相比传统的PID控制器在跟踪性能上有很大的提高。

图4是本发明设计的主动容错控制器的控制输入随时间变化的曲线，从图中可以看出，本发明所得到的控制输入信号连续，有利于在工程实际中实施。

Claims (1)

1.一种电液伺服系统主动容错控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、建立双出杆液压缸位置伺服系统数学模型；

步骤2、进行匹配加性故障和模型不确定性观测器设计及分析；

步骤3、进行非匹配加性故障和模型不确定性观测器设计及分析；

步骤4、进行主动容错控制器设计；

步骤5、调节参数对电液伺服系统进行主动容错控制；

步骤1所述的建立双出杆液压缸位置伺服系统数学模型，具体如下：

根据牛顿第二定律得双出杆液压缸位置伺服系统的运动学方程为：

式(1)中，m和y分别表示系统负载的质量和运动位移；P_L＝P₁-P₂表示双出杆液压缸进、出油腔的压力差，其中P₁为进油腔的压力，P₂为出油腔的压力；A表示双出杆液压缸左、右两腔的有效活塞面积；B为粘性摩擦系数；

为由系统外部干扰、未建模的摩擦力以及难以建模的因素导致的总的不确定性非线性项；

双出杆液压缸执行器的负载压力动态表达为：

式(2)中，V_t、β_e、C_t、Q_L分别为双出杆液压缸的控制腔总容积、液压油弹性模量、双出杆液压缸的泄漏系数及伺服阀负载流量，其中Q_L＝(Q₁+Q₂)/2，Q₁为由伺服阀进入双出杆液压缸进油腔的液压流量，Q₂为由伺服阀流出双出杆液压缸回油腔的液压流量；Q(t)为建模误差；

由于伺服阀响应速度非常快，即伺服阀频宽远远高于系统频宽，所以伺服动态简化为比例环节，因此伺服阀负载流量方程转换为：

式(3)中，k_t表示与控制输入电压u相关的总流量增益，P_s为液压源供油压力，s(u)表示为：

针对双出杆液压缸伺服系统，由式(1)、(2)及(3)表征的非线性模型，定义系统状态变量为

则系统非线性模型的状态空间形式为：

式(5)中φ₁(x₂)＝-Bx₂/m、f(t)＝d(t,x₁,x₂)/m为不匹配加性故障和模型不确定性，

q(t)＝4β_eAQ(t)/V_t/m为匹配加性故障和模型不确定性，其中参数均为名义值且已知，参数B、m的变化造成的不确定性影响可归结到f(t)以及q(t)中；

在设计主动容错控制策略之前作出以下设定：

设定1：期望跟踪的位置轨迹x_1d∈C³并且有界，函数g(u,x₃)远离0；

设定2：函数g(u,x₃)关于x₃在实际范围内Lipschitz有界，函数φ₁(x₂)关于x₂在实际范围内Lipschitz有界，函数φ₂(x₂,x₃)关于x₂和x₃在实际范围内Lipschitz有界；

步骤2所述的进行匹配加性故障和模型不确定性观测器设计及分析，具体如下：

首先将式(5)中的匹配加性故障和模型不确定性q(t)扩张为冗余状态x_q，即令x_q＝q(t)，同时将式(5)中的非匹配加性故障和模型不确定性f(t)重新定义为x_f＝f(t)，此时式(5)的系统状态变量x＝[x₁,x₂,x₃]^T变为x＝[x₁,x₂,x₃,x_q]^T；设定q(t)的一阶导数存在且有界，并定义

则对于式(5)，扩张后的系统非线性模型的状态方程为：

根据扩张后的状态方程(6)，设计扩张状态观测器为：

式(7)中

分别是状态x₁、x₂、x₃及冗余状态x_q的估计值，定义状态矢量

是x_f的估计值，ω_o是扩张状态观测器的带宽且ω_o＞0；

步骤3所述的进行非匹配加性故障和模型不确定性观测器设计及分析，具体如下：

定义变量η为η＝x_f-lx₂，其中l为可以调节的正常数，并且定义η的估计值

的表达式如下所示：

式(8)中

通过下式进行更新：

通过式(8)以及式(9)设计的扰动观测器观测出非匹配加性故障和模型不确定性x_f的估计值

并且通过调节参数l最终将估计误差收敛到小于设定值；

步骤4所述的进行主动容错控制器设计，具体如下：

定义z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，其中x_1d是期望跟踪的位置指令，并设定该指令是三阶连续可微并且有界的；定义z₂如下所示：

式(10)中k₁为正常数，α₁为稳定函数；

对式(10)关于时间进行微分，得：

定义z₃＝x₃-α₂，其中α₂为x₃的虚拟控制律，设计虚拟控制律α₂，使得虚拟控制的期望值与真实状态值之间的误差z₂小于设定值；将定义的z₃代入到式(11)中，得：

由式(12)，设计α₂为：

式(13)中α_2a为前馈补偿项，α_2s为鲁棒项，k₂为正常数；

把式(13)代入到式(12)中，得：

定义状态矢量ζ＝[ζ₁,ζ₂,ζ₃,ζ₄]^T，其中

对定义的z₃进行求导，得：

式(15)中α_2c为α₂的可计算部分，α_2u为α₂的不可计算部分，表达式如下所示：

根据式(15)，设计出最终的主动容错控制器u为：

式(17)中u_a为前馈补偿项，u_s为鲁棒项，k₃为正常数；

步骤5所述的调节参数对电液伺服系统进行主动容错控制，具体如下：

调节增益ω_o使扩张状态观测器估计系统的匹配加性故障和模型不确定性q(t)，调节增益l使扰动观测器估计系统的非匹配加性故障和模型不确定性f(t)，调节参数k₁、k₂以及k₃的值使电液位置伺服系统的位置输出y(t)跟踪期望的位置指令x_1d。

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