CN104656453A - 一种基于非相似余度作动系统缓变故障的被动容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于非相似余度作动系统缓变故障的被动容错控制方法，包括步骤一：实际系统的状态空间方程建模；步骤二：确定带有缓变故障模块的实际系统；步骤三：确定目标跟踪系统；步骤四：确定动态误差系统；步骤五：确定容错增广系统；步骤六：确定基于凸面体理论的等价系统；步骤七：求解容错控制器与目标系统未知参数矩阵；本发明隶属于被动容错控制技术范畴，只要保证被控对象的参数浮动在一定范围内，不需要对被控对象作故障检测，减少了控制器的计算负载。

Description

一种基于非相似余度作动系统缓变故障的被动容错控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于非相似余度作动系统缓变故障的被动容错控制方法，具体设计一种由液压作动器(Hydraulic Actuator,HA)和电静液作动器(Electro-Hydrostatic Actuator,EHA)所组成的非相似冗余混合作动系统(Hybrid Actuation System,HAS)的缓变故障的被动容错控制方法，属于自动化控制技术领域。

背景技术

随着现代商用客机向越来越大型化的方向发展，飞机作动系统的可靠性要求也越来越高。为了提高作动系统的可靠性，避免共因故障，国外先进飞机设计公司开始采用新型分布式非相似冗余混合作动系统新体系。其中，由功率电传作动系统和传统的阀控液压伺服作动系统所组成的非相似冗余混合作动系统(HAS)，兼具了传统液压作动系统的快速、大功率和功率电传作动系统高效率、高可靠性的优点，将会是未来大型飞机作动系统的发展趋势。

但是当HAS的泄漏和流量增益等缓变故障仍然是不可避免的，在一定程度上，由于此类缓变故障的影响，HAS出现性能降级，若控制器在出现缓变故障的情况下扔保持原参数不变，驱动效率和控制精度将受到影响。

发明内容

本发明的目的在于，针对HAS的缓变型故障进行抗干扰被动容错控制律的设计，选取HA主动EHA从动的工作模式，将EHA作为外负载进行建模。HA存在的油液泄漏，流量增益变化等缓变型故障视为系统结构的不确定性，建立状态空间模型。对系统的不确定项作出范数有界假设，利用凸面体理论，分析控制原系统的四个临界系统，通过设计合理有效的参考跟踪模型，用Lyapunov能量函数理论以及线性矩阵不等式(LMI)方法求解满足缓变型故障可被动容错的控制律。

本发明提供了一种基于非相似余度作动系统缓变故障的被动容错控制方法，包括步骤如下：

步骤一：实际系统的状态空间方程建模；

由作动系统各环节方程，通过合理选状态变量建立状态空间方程；

步骤二：确定带有缓变故障模块的实际系统；

缓变故障引起实际系统状态空间方程的矩阵参数呈现不确定性，由原系统中出现缓变故障的相关系数确定缓变故障模块；

步骤三：确定目标跟踪系统；

构造含有待解参数矩阵的目标系统，其形式为原实际系统的等价观测器形式；

步骤四：确定动态误差系统；

利用实际系统与目标跟踪系统的具体形式作差得到含有故障模块的动态误差系统；

步骤五：确定容错增广系统；

由含有故障模块的实际系统与动态误差系统联立构造待处理的增广系统作为新的研究对象，作为控制律求取的基础；

步骤六：确定基于凸面体理论的等价系统；

由于所处理的原实际系统包括诱导出的容错增广系统，均含有不确定性矩阵，本发明为使得控制算法得以进行，基于凸面体理论进行系统分析，并利用四个确定性临界子系统将原被控对象进行等价替换；

步骤七：求解容错控制器与目标系统未知参数矩阵；

利用李雅普诺夫稳定性理论和线性矩阵不等式方法求解出缓变故障存在条件下的容错控制器以及目标系统的待解参数矩阵；

本发明的优点在于：

(1)隶属于被动容错控制技术范畴，只要保证被控对象的参数浮动在一定范围内，不需要对被控对象作故障检测，减少了控制器的计算负载。

(2)利用凸面体理论对系统模型进行分析，对于故障模块的建模不受匹配条件的限制。

(3)在缓变故障存在的前提下，采用此被动容错控制后的被控系统可在一定程度上减少控制效率的下降。

(4)对于控制器参数的求解，在保证被控系统稳定的基础上用线性矩阵不等式(LMI)作为约束条件，利用matlab优化求解，具有较快的求解速度。

附图说明

图1是非相似余度作动系统并行驱动舵面的示意图；

图2是模型参考控制方法的结构示意图；

图3是本发明基于模型参考控制方法的增广容错控制系统结构图；

图4是外界干扰与系统输出基于传递函数关系的示意图；

图5是实际系统的四个缓变故障临界情形示意图；

图6是目标跟踪系统在本发明控制器参数下的状态响应曲线图；

图7是带有缓变故障的实际系统在本发明控制器参数下的状态响应曲线图；

图8是本发明的方法流程图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

本发明针对的对象是由HA和EHA构成的非相似余度作动系统，该余度技术由于其能够避免共因故障，提高系统可靠性等优点，正在逐步被应用到A380等大型商用民机，其并行推动舵面的示意图如图1所示一般工况下，该作动系统只用HA对舵面进行驱动，指令输入信号u_h通过伺服阀驱动电路传递到液压能源系统，液压能源系统根据相应指令信号作用于HA，HA通过一定的位移实现舵面相应角度的偏转；特殊工况下(如需要实现快速大角度的驱动时)，EHA也参与驱动，指令输入信号u_e通过电机驱动电路传递到驱动电机，利用电机实现EHA的相应位移，进而实现舵面相应角度的偏转。

一种基于非相似余度作动系统缓变故障的被动容错控制方法，如图8所示，具体包括以下几个步骤：

步骤一：实际系统的状态空间方程建模：

对于HA主动EHA被动的工作模式由牛顿第二定律可得：

$M{\stackrel{\·\·}{x}}_h=A_h{P}_h-B{\stackrel{\·}{x}}_h-k_d{x}_h-F_L$

其中，M＝m_h+m_e+m_d；B＝B_h+B_e+B_d。式中，m_h、m_e、m_d——HA液压缸活塞、EHA液压缸活塞、舵面上的等效质量；B_h、B_e、B_d——HA液压缸、EHA液压缸、舵面的等效粘性阻尼系数；P_h——HA的液压缸的负载压力；x_h——HA的液压缸活塞的位移；k_d——舵面受到的空气负载的弹性刚度；F_L——舵面受到的空气负载的瞬时脉冲干扰；A_h——HA液压缸活塞的有效面积。

HA液压缸的流量连续性方程为：

$Q_h=A_h{\stackrel{\·}{x}}_h+\frac{V_h}{4E_h}{\stackrel{\·}{P}}_h+C_l{P}_h$

式中，Q_h——HA液压缸的负载流量；V_h——HA液压缸的总容积；E_h——HA有效体积弹性模量；C_l——HA液压缸的泄露系数。

电液伺服阀的流量控制方程为：

Q_h＝K_vK_qu-K_cP_h

式中，K_v——电液伺服阀的比例系数；K_q——流量增益；K_c——流量-压力系数；u——HA的输入信号。

根据以上分析，设x_h、v_h、P_h分别为HA主动/EHA被动工作模式下系统的实际状态变量，可得实际系统的状态方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_h=v_h\\ {\stackrel{\·}{v}}_h=-\frac{k_d}{m_h+m_e+m_d}{x}_h-\frac{B_h+B_e+B_d}{m_h+m_e+m_d}{v}_h\\ +\frac{A_h}{m_h+m_e+m_d}{P}_h-\frac{1}{m_h+m_e+m_d}{F}_L\\ {\stackrel{\·}{P}}_h=-\frac{4E_h{A}_h}{V_h}{v}_h-\frac{4E_h{K}_{\mathrm{ce}}}{V_h}{P}_h+\frac{4E_h{K}_v{K}_q}{V_h}u\end{array}\right.$

对以上状态方程进行参数化处理，定义系统参数θ_i(i＝1,2,3,4,5,6)和d。得到：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_h=v_h\\ {\stackrel{\·}{v}}_h=-{\mathrm{\θ}}_1{x}_h-{\mathrm{\θ}}_2{v}_h+{\mathrm{\θ}}_3{P}_h-d\\ {\stackrel{\·}{P}}_h=-{\mathrm{\θ}}_4{v}_h-{\mathrm{\θ}}_5{P}_h+{\mathrm{\θ}}_{6}u\end{array}\right.$

其中： ${\mathrm{\θ}}_1=\frac{k_d}{m_h+m_e+m_d},{\mathrm{\θ}}_2=\frac{B_h+B_e+B_d}{m_h+m_e+m_d},{\mathrm{\θ}}_3=\frac{A_h}{m_h+m_e+m_d},{\mathrm{\θ}}_4=\frac{4E_h{A}_h}{V_h},{\mathrm{\θ}}_5=\frac{4E_h{K}_{\mathrm{ce}}}{V_h},$ ${\mathrm{\θ}}_6=\frac{4E_h{K}_v{K}_q}{V_h};$ 系统中的干扰项确定为 $d=\frac{1}{m_h+m_e+m_d}{F}_L.$

由以上形式得到状态空间形式的实际系统方程 $\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{0}x+B_{0}u+w_0\\ y=\mathrm{Cx}\end{array}\right.$

其中：

$A_0=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -{\mathrm{\θ}}_1& -{\mathrm{\θ}}_2& {\mathrm{\θ}}_3\\ 0& -{\mathrm{\θ}}_4& -{\mathrm{\θ}}_5\end{array}\right],B_0=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\mathrm{\θ}}_6\end{array}\right],w_0=\left[\begin{array}{c}0\\ -d\\ 0\end{array}\right],$ C为系统的输出系数矩阵。

步骤二；确定带有缓变故障模块的实际系统

由于缓边故障的存在，导致系统参数呈现不确定性的变化，部分参数具有不确定性，由具体具有不确定性的参数确定系统的故障模块为：

${\mathrm{\ΔA}}_0=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\θ}}_2& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\Δ\θ}}_5\end{array}\right]{\mathrm{\ΔB}}_0=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\mathrm{\Δ\θ}}_6\end{array}\right]$

其中，ΔA₀、ΔB₀可分别视为原系统矩阵A₀和B₀参数误差浮动，以此来表征系统的缓变故障，由于故障类型是缓变型的，导致部分系统参数发生漂移，因此，故障模块的设定和建模方法是合理的。

由此可将含有缓变故障的实际系统方程写为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=(A_0+{\mathrm{\ΔA}}_0)x+(B_0+{\mathrm{\ΔB}}_0)u+w_0\\ y=\mathrm{Cx}\end{array}\right.$

此系统的输入采用状态反馈

u＝Kx(t)

其中K为状态反馈增益矩阵。

选取合适的采样周期T进行离散化，则：

$\frac{x(\mathrm{tT}+T)-x\left(\mathrm{tT}\right)}{T}=(A_0+{\mathrm{\ΔA}}_0)x\left(\mathrm{tT}\right)+(B_0+{\mathrm{\ΔB}}_0)\mathrm{Kx}\left(\mathrm{tT}\right)+w_0$

其中，T为离散化采样周期、t为系统当前的采样时刻；

将以上方程整理：

x(tT+T)＝[T(A₀+ΔA₀)+I]x(tT)+T(B₀+ΔB₀)Kx(tT)+Tw₀

此处I为变换后的与系统系数矩阵同维数的单位矩阵。

方便起见，离散后的方程不在出现离散周期，令

A＝TA₀+I；ΔA＝TΔA₀；B＝TB₀；ΔB＝TΔB₀；w＝Tw₀

最终确定离散形式的表征缓变故障的实际系统方程形式为：

$\left\{\begin{array}{c}x(t+1)=(A+\mathrm{\ΔA})x\left(t\right)+(B+\mathrm{\ΔB})u\left(t\right)+w\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Cx}\left(t\right)\end{array}\right.$

步骤三：确定目标跟踪系统

为实现对以上带有缓边故障的系统的有效控制，本发明设计了含有待解参数矩阵的形如观测器形式的目标跟踪系统如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{x}(t+1)=A\stackrel{\‾}{x}\left(t\right)+B\stackrel{\‾}{u}\left(t\right)+L(y\left(t\right)-\stackrel{\‾}{y}\left(t\right))\\ \stackrel{\‾}{y}\left(t\right)=C\stackrel{\‾}{x}\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，与分别为目标跟踪系统的状态变量和输出变量，系统的部分参数矩阵A,B,C与实际系统参数矩阵相同，矩阵L待求解确定。

此目标系统设计的意义在于使得原故障系统具有可并行跟踪的目标，并且将跟踪误差信息作为重要因素考虑在控制律设计方法中，图2为模型参考控制方法示意图：被控对象为原系统和目标系统，通过有效的跟踪控制机制以双闭环的形式同时对原系统和目标系统进行反馈控制，最终实现两个系统的状态同步。

步骤四：确定动态误差系统

为实现实际系统对于目标系统的有效跟踪，本发明中通过含有故障模块的实际系统与目标系统作差，得到动态误差系统，通过同时对误差系统的镇定控制实现实际系统对目标系统的有效跟踪：

选取目标系统和实际系统之间的误差状态：

$\begin{array}{c}e(t+1)=x(t+1)-\stackrel{\‾}{x}(t+1)\\ =(A+\mathrm{\ΔA})x\left(t\right)+(B+\mathrm{\ΔB})u\left(t\right)+w\left(t\right)-A\stackrel{\‾}{x}\left(t\right)-B\stackrel{\‾}{u}\left(t\right)-L(y\left(t\right)-\stackrel{\‾}{y}\left(t\right))\\ =(A+\mathrm{BK}-\mathrm{LC})e\left(t\right)+(\mathrm{\ΔA}+\mathrm{\ΔBK})x\left(t\right)+w\left(t\right)\end{array}$

其中，e(t)表示目标系统与实际系统之间的误差状态变量。

步骤五：确定容错增广系统

通过变更被控对象，实现容错控制器的有效求取，以下选取合理变量得到新形式的增广系统被确定为新的被控系统：

定义新的状态增广系统状态变量ξ(t)＝[x(t) e(t)]^T，可得有关此变量的状态方程：

$\left[\begin{array}{c}x(t+1)\\ e(t+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A+\mathrm{\ΔA}+(B+\mathrm{\ΔB})K& 0\\ \mathrm{\ΔA}+\mathrm{\ΔBK}& A+\mathrm{BK}-\mathrm{LC}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ e\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}w\left(t\right)\\ w\left(t\right)\end{array}\right]$

以上增广系统的具体结构如图3所示：此增广系统的结构以状态空间方程的具体模块组合表示，包含带有缓变故障的实际系统以及需要跟踪的目标系统，通过两者之间的状态误差建立联系并形成动态误差系统，针对具有此结构的增广系统，本发明以实现故障实际系统对目标系统的跟踪为目标，求解容错控制算法。

将以上系统定义为 $\mathrm{\ξ}(t+1)=(A_f+B_f\stackrel{\‾}{K}+C_L)\mathrm{\ξ}\left(t\right)+\stackrel{\‾}{w}\left(t\right),$ 定义 $\mathrm{\η}\left(t\right)=\stackrel{\‾}{C}\mathrm{\ξ}\left(t\right)$ 即得到完整形式的增广系统，其中系统中各矩阵为：

$A_f=\left[\begin{array}{cc}A+\mathrm{\ΔA}& 0\\ \mathrm{\ΔA}& A\end{array}\right],B_f=\left[\begin{array}{cc}B+\mathrm{\ΔB}& 0\\ \mathrm{\ΔB}& B\end{array}\right],\stackrel{\‾}{w}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}w\left(t\right)\\ w\left(t\right)\end{array}\right]C_L=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -\mathrm{LC}\end{array}\right],\stackrel{\‾}{K}=\left[\begin{array}{cc}K& 0\\ 0& K\end{array}\right],$

$\stackrel{\‾}{C}=\left[\begin{array}{cc}C& 0\\ 0& C\end{array}\right]$

步骤六：确定基于凸面体理论的等价系统

对于不确定性系统的处理，本发明提出新的模型分析方法如下：

ΔA与ΔB表示系统的不确定性部分，是用来表征系统的可容性错误的鲁邦项，对于给定需要满足的性能指标γ，此处的性能指标描述了外界干扰通过传递函数对系统输出的影响程度，如图4所示：外界干扰w通过传递函数G(s)作用后，有系统输出y，在数量关系上，若对三者取范数，G(s)所具有的特性赋予了系统所具有的性能γ，对此系统设计满足||y(t)||≤γ||w(t)||的状态反馈控制律u(t)＝Kx(t)。

由于ΔA与ΔB表征作动系统的缓变型故障项，而这种缓变型故障在一定程度以内对系统来说是可容性错误，因此可以做出如下的假设表征这种可容错条件||ΔA||≤Δa，||ΔB||≤Δb，对于不确定项ΔA与ΔB引入缓变系数ρ_A∈(-1,+1)与ρ_B∈(-1,+1)，则原不确定性状态空间模型可重新表征为：

$\left\{\begin{array}{c}x(t+1)=(A+{\mathrm{\ρ}}_A\mathrm{\Δa}{I}_A)x\left(t\right)+(B+{\mathrm{\ρ}}_B\mathrm{\Δb}{I}_B)u\left(t\right)+w\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Cx}\left(t\right)\end{array}\right.$

其中：Δa与Δb表征各故障参数浮动的范数上界，缓变系数ρ_A与ρ_B表征各故障参数的变动趋势，I_A与I_B是与A和B分别同维的非零元用1×10ⁿ替换的矩阵，n具体通过对应元素的数量级确定。考虑缓变系数的极限情形，如图5所示：根据实际缓变故障在所建模的系统中的表征，相应的引入了ρ_A和ρ_B两个缓变系数，根据两个缓变系数均在-1和1之间的变动趋势，得到了系统满足容错条件的限制前提，形成具有四个临界的凸面体，本发明基于对确定性临界系统的控制实现对原不确定性系统的控制，其具体依据如下：

若控制增益矩阵K可使得矩阵组A_L+B_LK实现稳定，则对于不确定性可控矩阵组(A+ΔA B+ΔB),矩阵K也能实现其稳定。其中

A_L∈{A+ΔaI_A,A-ΔaI_A}，B_L∈{B+ΔbI_B,B-ΔbI_B}

原因在于若A_L+B_LK稳定，即该矩阵的所有特征值均具有负实部：Reλ_i(A_L+B_LK)＜0,取相似变换矩阵T₁将矩阵A_L+B_LK进行对角化，可保证不改变其特征值:

${T_1}^{-1}(A_L+B_{L}K)T_1={\mathrm{\Λ}}_L+\left({\hat{B}}_L\hat{K}\right)$

上式右端矩阵的特征值即λ(A)_i±Δa+λ(BK)_i±λ(B)_i·Δb具有负实部。对于(A+ΔA B+ΔB)，用矩阵K反馈后的矩阵用相似变换矩阵T₂对角化，其特征值可表示为λ(A)_i+ρ_A·Δa+λ(BK)_i+ρ_B·λ(B)_i·Δb，由于ρ_A∈(-1,+1)，ρ_B∈(-1,+1)可得结论：

$\mathrm{Re}{\mathrm{\&lambda;}}_i(A+\mathrm{\&Delta;A}+(B+\mathrm{\&Delta;B})K)\&le;\mathrm{Re}{\mathrm{\&lambda;}}_i({\mathrm{\&Lambda;}}_L+\left({\hat{B}}_L\hat{K}\right))<0$

上式中λ(.)相应矩阵的特征值，Reλ(.)表征相应特征值的实部；

步骤七：求解容错控制器与目标系统未知参数矩阵

本发明将控制器参数设计的原则以如下定理的形式进行阐述：

对于由存在缓变故障的实际系统和作差所得的误差系统组成的增广系统，若存在对称正定矩阵以及另外的两个矩阵和满足如下形式的不等式：

$\left[\begin{array}{cccc}-\stackrel{\&OverBar;}{X}& 0& A_f^i\stackrel{\&OverBar;}{X}+B_f^i\stackrel{\&OverBar;}{Y_1}+\stackrel{\&OverBar;}{Y_2}& \stackrel{\&OverBar;}{X}\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& I& 0\\ *& *& -\stackrel{\&OverBar;}{X}& 0\\ *& *& *& -{\left({\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\stackrel{\&OverBar;}{C}\right)}^{-1}\end{array}\right]<0$

其中： $A_f^i\&Element;\left\{\begin{array}{cc}{A}_f^1& A_f^2\end{array}\right\},B_f^i\&Element;\left\{\begin{array}{cc}{B}_f^1& B_f^2\end{array}\right\},$

$A_f^1=\left[\begin{array}{cc}A+\mathrm{\&Delta;a}{I}_A& 0\\ \mathrm{\&Delta;a}{I}_A& A\end{array}\right],B_f^1=\left[\begin{array}{cc}B+\mathrm{\&Delta;b}{I}_B& 0\\ \mathrm{\&Delta;b}{I}_B& B\end{array}\right],A_f^2=\left[\begin{array}{cc}A-\mathrm{\&Delta;a}{I}_A& 0\\ -\mathrm{\&Delta;a}{I}_A& A\end{array}\right],B_f^2=\left[\begin{array}{cc}B-\mathrm{\&Delta;b}{I}_B& 0\\ -\mathrm{\&Delta;b}{I}_B& B\end{array}\right],$

$\stackrel{\&OverBar;}{P}=\left[\begin{array}{cc}P& 0\\ 0& P\end{array}\right],{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_1=\left[\begin{array}{cc}{Y}_1& 0\\ 0& Y_1\end{array}\right],{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_2=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& Y_2\end{array}\right],{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_1=\left[\begin{array}{cc}{X}_1& 0\\ 0& X_1\end{array}\right]$

(注：上式中所得的线性矩阵不等式为本发明所得控制算法的限制条件形式，该形式为对控制参数的限制，是控制器参数的确定依据，其中相应的字母含义为所推导出的具体表达形式)

则可得到如下的结论：

1.控制增益矩阵能够渐进地镇定增广系统，并使得系统满足额外的性能 $\mathrm{\&gamma;}:\left|\right|\mathrm{\&eta;}\left(t\right)\left|\right|\&le;\mathrm{\&gamma;}\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)\left|\right|;$

2.控制增益矩阵K＝Y₁X^-1＝Y₁P能够渐进地镇定带有缓变故障的不确定性实际系统，并使得系统满足额外的性能γ：||y(t)||≤γ||w(t)||；

3.观测器系统可以作为带有缓变故障的实际系统的理想目标系统，并且系统参数按照如下方式选取L＝Y₂X^-1C^-1＝Y₂PC^-1

以上结论的得出依据如下：

选取如下形式的李雅普诺夫函数如下：

$V\left(\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\right)={\mathrm{\&xi;}}^T\left(t\right)\stackrel{\&OverBar;}{P}\mathrm{\&xi;}\left(t\right)={\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ e\left(t\right)\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}P& 0\\ 0& P\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ e\left(t\right)\end{array}\right]$

计算如下形式的差分

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;V}\left(\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\right)=\mathrm{\&xi;}(t+1)-\mathrm{\&xi;}\left(t\right)={\mathrm{\&xi;}}^T(t+1)\stackrel{\&OverBar;}{P}\mathrm{\&xi;}(t+1)-{\mathrm{\&xi;}}^T\left(t\right)\stackrel{\&OverBar;}{P}\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ ={[(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)]}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}[(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)]-{\mathrm{\&xi;}}^T\left(t\right)\stackrel{\&OverBar;}{P}\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ ={\mathrm{\&xi;}}^T\left(t\right)[{(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)-\stackrel{\&OverBar;}{P}]\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{w}}^T\left(t\right)\stackrel{\&OverBar;}{P}\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)+2{\mathrm{\&xi;}}^T\left(t\right){(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)\end{array}$

为满足额外的抗干扰性能，计算如下项：

$E\left[{\mathrm{\&eta;}}^T\left(t\right)\mathrm{\&eta;}\left(t\right)\right]-{\mathrm{\&gamma;}}^2\left[{\stackrel{\&OverBar;}{w}}^T\left(t\right)\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)\right]={\mathrm{\&xi;}}^T\left(t\right){\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\stackrel{\&OverBar;}{C}\mathrm{\&xi;}\left(t\right)-{\mathrm{\&gamma;}}^2{\stackrel{\&OverBar;}{w}}^T\left(t\right)\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)$

联立以上的两项：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;V}\left(\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\right)+E\left[{\mathrm{\&eta;}}^T\left(t\right)\mathrm{\&eta;}\left(t\right)\right]-{\mathrm{\&gamma;}}^2\left[{\stackrel{\&OverBar;}{w}}^T\left(t\right)\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)\right]\\ ={\mathrm{\&xi;}}^T\left(t\right)[{(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)+{\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\stackrel{\&OverBar;}{C}-\stackrel{\&OverBar;}{P}]\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+2{\mathrm{\&xi;}}^T\left(t\right){(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)\\ +{\stackrel{\&OverBar;}{w}}^T\left(t\right)(\stackrel{\&OverBar;}{P}-{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I)\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)<0\end{array}$

将变量选取为 $\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)={\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&xi;}\left(t\right)& \stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)\end{array}\right]}^T,$ 以上结果对应如下形式的矩阵不等式

$\left[\begin{array}{cc}{(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)+{\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\stackrel{\&OverBar;}{C}-\stackrel{\&OverBar;}{P}& {(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I+\stackrel{\&OverBar;}{P}\end{array}\right]<0$

将以上结果变形

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-\stackrel{\&OverBar;}{P}+{\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\stackrel{\&OverBar;}{C}& 0\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K})& {(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}\\ *& \stackrel{\&OverBar;}{P}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cc}-\stackrel{\&OverBar;}{P}+{\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\stackrel{\&OverBar;}{C}& 0\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)}^T\\ I\end{array}\right]\stackrel{\&OverBar;}{P}\left[\begin{array}{cc}{A}_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L& I\end{array}\right]<0\end{array}$

应用Schur补引理可将以上的结果变形为

$\left[\begin{array}{ccc}-\stackrel{\&OverBar;}{P}+{\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\stackrel{\&OverBar;}{C}& 0& {(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)}^T\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& I\\ *& *& -{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}\end{array}\right]<0$

为得到线性矩阵不等式，用对等式左右两边进行左右乘变换进行线性化：

$\left[\begin{array}{ccc}-{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}+{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\stackrel{\&OverBar;}{C}{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}& 0& {{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)}^T\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& I\\ *& *& -{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}\end{array}\right]<0$

继续将以上结果进行拆分

$\left[\begin{array}{ccc}-{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}& 0& {\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}{(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)}^T\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& I\\ *& *& -{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}\\ 0\\ 0\end{array}\right]{\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\stackrel{\&OverBar;}{C}\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}& 0& 0\end{array}\right]<0$

再次应用Schur补引理可得

$\left[\begin{array}{cccc}-{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}& 0& {\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}{(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)}^T& {\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& I& 0\\ *& *& -{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}& 0\\ *& *& *& -{\left({\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\stackrel{\&OverBar;}{C}\right)}^{-1}\end{array}\right]<0$

由于A_f和B_f是不确定性矩阵，用相应的和进行替换，同时即得。

对于带有缓变故障的实际系统，其状态x(t)是增广系统状态ξ(t)＝[x(t) e(t)]^T的一个分量，由于能够镇定增广系统，则其分量K可以镇定其子系统，原因如下：

$\left[\begin{array}{cc}K& 0\\ 0& K\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Y}_1& 0\\ 0& Y_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{X}^{-1}& 0\\ 0& X^{-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Y}_1& 0\\ 0& Y_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}P& 0\\ 0& P\end{array}\right]$

第一行即表明K＝Y₁X^-1＝Y₁P，同理对于性能指标满足的如下条件：

$\mathrm{\&gamma;}:\left|\right|\mathrm{\&eta;}\left(t\right)\left|\right|\&le;\mathrm{\&gamma;}\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)\left|\right|\&DoubleLeftRightArrow;\mathrm{\&gamma;}:\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{C}\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\left|\right|\&le;\mathrm{\&gamma;}\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)\left|\right|\&DoubleLeftRightArrow;\mathrm{\&gamma;}:\left|\right|\left[\begin{array}{cc}C& 0\\ 0& C\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ e\left(t\right)\end{array}\right]\left|\right|\&le;\mathrm{\&gamma;}||\begin{array}{c}w\left(t\right)\\ w\left(t\right)\end{array}||$

第一行可得 $\mathrm{\&gamma;}:\left|\right|\mathrm{Cx}\left(t\right)\left|\right|\&le;\mathrm{\&gamma;}\left|\right|w\left(t\right)\left|\right|\&DoubleLeftRightArrow;\mathrm{\&gamma;}:\left|\right|y\left(t\right)\left|\right|\&le;\mathrm{\&gamma;}\left|\right|w\left(t\right)\left|\right|,$ 即得。

在控制器作用下，增广系统是渐进稳定的，即表明每个分量均是渐进稳定的由以上条件可得出即，目标系统是有效和稳定的，目标系统的参数矩阵可按如下方式确定

$C_L{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}=C_L\stackrel{\&OverBar;}{X}=\stackrel{\&OverBar;}{Y_2}\&DoubleLeftRightArrow;\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& \mathrm{LC}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{P}^{-1}& 0\\ 0& P^{-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& Y_2\end{array}\right]$

由第二行可得 ${\mathrm{LCP}}^{-1}=Y_2\&DoubleLeftRightArrow;L=Y_2{X}^{-1}{C}^{-1}=Y_2{\mathrm{PC}}^{-1},$ 即得。

针对控制器的有效性验证：

此步骤中用matlab对本发明控制方法的有效性进行验证，非相似余度作动系统的各参数取定如下表所示：

参数	取值	单位
			Kd	4.57×105	N/m
mh	55	Kg
			me	55	Kg
md	600	Kg
			Bh	10000	Ns/m
Be	10000	Ns/m
			Bd	2300	Ns/m
Ah	1.47×10-3	m2

Eh	8.0×108	Pa
			Vh	0.1	m3
Kc	1.75×10-11	(m3/s)/Pa
			Cl	1.0×10-11	(m3/s)/Pa
Kv	1.52×10-4	m/A
			Kq	2.7	m2/s

由以上参数计算得出状态空间形式的系统各矩阵如下

$A_0=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1287.3239& -31.4085& 2.0704\&times;{10}^{-6}\\ 0& -47.04\&times;{10}^6& -0.88\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 13.1328\&times;{10}^6\end{array}\right]C={10}^{-5}\&times;\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

γ＝3 Δa＝1 Δb＝0.01

由以上数据可计算得

K＝[-0.000001844091798 3.581871299906632 -0.000003762225591]

将目标系统和实际系统的状态响应进行比对，图6所示，可知目标系统在本发明的控制参数下，在0.2秒以内达到了稳态，同时，图7所示，实际系统在缓变故障存在的条件下，响应变得迟钝，但达到稳态的时间仍然被控制在了1秒以内。

Claims (1)

1.一种基于非相似余度作动系统缓变故障的被动容错控制方法，具体包括以下几个步骤：

步骤一：实际系统的状态空间方程建模：

设x_h、v_h、P_h分别为HA主动/EHA被动工作模式下系统的实际状态变量，实际系统的状态方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_h=v_h\\ {\stackrel{.}{v}}_h=-\frac{k_d}{m_h+m_e+m_d}{x}_h-\frac{B_h+B_e+B_d}{m_h+m_e+m_d}{v}_h\\ +\frac{A_h}{m_h+m_e+m_d}{P}_h-\frac{1}{m_h+m_e+m_d}{F}_L\\ {\stackrel{.}{P}}_h=-\frac{{4E}_h{A}_h}{V_h}{v}_h-\frac{{4E}_h{K}_{\mathrm{ce}}}{V_h}{P}_h+\frac{{4E}_h{K}_v{K}_q}{V_h}u\end{array}\right.$

其中：x_h为HA的液压缸活塞的直线位移、v_h为HA作动筒的直线响应速度、P_h为HA液压缸的负载压力；m_h、m_e、m_d——HA液压缸活塞、EHA液压缸活塞、舵面上的等效质量；B_h、B_e、B_d——HA液压缸、EHA液压缸、舵面的等效粘性阻尼系数；k_d——舵面受到的空气负载的弹性刚度；F_L——舵面受到的空气负载的瞬时脉冲干扰；A_h——HA液压缸活塞的有效面积；Q_h——HA液压缸的负载流量；V_h——HA液压缸的总容积；E_h——HA有效体积弹性模量；C_l——HA液压缸的泄露系数；K_v——电液伺服阀的比例系数；K_q——流量增益；K_c——流量-压力系数；u——HA的输入信号；

对以上状态方程进行参数化处理，定义系统参数θ_i和d，i＝1,2,3,4,5,6，得到：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_h=v_h\\ {\stackrel{.}{v}}_h=-{\mathrm{\&theta;}}_1{x}_h-{\mathrm{\&theta;}}_2{v}_h+{\mathrm{\&theta;}}_3{P}_h-d\\ {\stackrel{.}{P}}_h=-{\mathrm{\&theta;}}_4{v}_h-{\mathrm{\&theta;}}_5{P}_h+{\mathrm{\&theta;}}_{6}u\end{array}\right.$

其中： ${\mathrm{\&theta;}}_1=\frac{k_d}{m_h+m_e+m_d},{\mathrm{\&theta;}}_2=\frac{B_h+B_e+B_d}{m_h+m_e+m_d},{\mathrm{\&theta;}}_3=\frac{A_h}{m_h+m_e+m_d},{\mathrm{\&theta;}}_4=\frac{{4E}_h{A}_h}{V_h},{\mathrm{\&theta;}}_5=\frac{{4E}_h{K}_{\mathrm{ce}}}{V_h},$ ${\mathrm{\&theta;}}_6=\frac{{4E}_h{K}_v{K}_q}{V_h};$ 系统中的干扰项确定为 $d=\frac{1}{m_h+m_e+m_d}{F}_L;$

由以上形式得到状态空间形式的实际系统方程 $\left\{\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}=A_{0}x+B_{0}u+w_0\\ y=\mathrm{Cx}\end{array}\right.$

其中：

$A_0=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -{\mathrm{\&theta;}}_1& -{\mathrm{\&theta;}}_2& {\mathrm{\&theta;}}_3\\ 0& -{\mathrm{\&theta;}}_4& -{\mathrm{\&theta;}}_5\end{array}\right],B_0=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\mathrm{\&theta;}}_6\end{array}\right],w_0=\left[\begin{array}{c}0\\ -d\\ 0\end{array}\right],$ C为系统的输出系数矩阵；步骤二：确定带有缓变故障模块的实际系统

具有不确定性的参数确定系统的故障模块为：

${\mathrm{\&Delta;A}}_0=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\&Delta;\&theta;}}_2& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\&Delta;\&theta;}}_5\end{array}\right]{,\mathrm{\&Delta;B}}_0=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\mathrm{\&Delta;\&theta;}}_6\end{array}\right]$

其中，ΔA₀、ΔB₀为原系统矩阵A₀和B₀参数误差浮动；

含有缓变故障的实际系统方程写为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}=(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)x+(B_0+{\mathrm{\&Delta;B}}_0)u+w_0\\ y=\mathrm{Cx}\end{array}\right.$

此系统的输入采用状态反馈

u＝Kx(t)

其中K为状态反馈增益矩阵；

选取合适的采样周期T进行离散化，则：

$\frac{x(\mathrm{tT}+T)-x\left(\mathrm{tT}\right)}{T}=(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)x\left(\mathrm{tT}\right)+(B_0+{\mathrm{\&Delta;B}}_0)\mathrm{Kx}\left(\mathrm{tT}\right)+w_0$

其中，T为离散化采样周期、t为系统当前的采样时刻；

将以上方程整理：

x(tT+T)＝[T(A₀+ΔA₀)+I]x(tT)+T(B₀+ΔB₀)Kx(tT)+Tw₀

此处I为变换后的与系统系数矩阵同维数的单位矩阵；

令：

A＝TA₀+I；ΔA＝TΔA₀；B＝TB₀；ΔB＝TΔB₀；w＝Tw₀

最终确定离散形式的表征缓变故障的实际系统方程形式为：

$\left\{\begin{array}{c}x(t+1)=(A+\mathrm{\&Delta;A})x\left(t\right)+(B+\mathrm{\&Delta;B})u\left(t\right)+w\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Cx}\left(t\right)\end{array}\right.$

步骤三：确定目标跟踪系统

目标跟踪系统为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{x}(t+1)=A\stackrel{\&OverBar;}{x}\left(t\right)+B\stackrel{\&OverBar;}{u}\left(t\right)+L(y\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{y}\left(t\right))\\ \stackrel{\&OverBar;}{y}\left(t\right)=C\stackrel{\&OverBar;}{x}\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，与分别为目标跟踪系统的状态变量和输出变量，系统的部分参数矩阵A,B,C与实际系统参数矩阵相同，矩阵L待求解确定；

步骤四：确定动态误差系统

选取目标系统和实际系统之间的误差状态：

$\begin{array}{c}e(t+1)=x(t+1)-\stackrel{\&OverBar;}{x}(t+1)\\ =(A+\mathrm{\&Delta;A})x\left(t\right)+(B+\mathrm{\&Delta;B})u\left(t\right)+w\left(t\right)-A\stackrel{\&OverBar;}{x}\left(t\right)-B\stackrel{\&OverBar;}{u}\left(t\right)-L(y\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{y}\left(t\right))\\ =(A+\mathrm{BK}-\mathrm{LC})e\left(t\right)+(\mathrm{\&Delta;A}+\mathrm{\&Delta;BK})x\left(t\right)+w\left(t\right)\end{array}$

其中，e(t)表示目标系统与实际系统之间的误差状态变量；

步骤五：确定容错增广系统

设新的状态增广系统状态变量ξ(t)＝[x(t) e(t)]^T，有关此变量的状态方程：

$\left[\begin{array}{c}x(t+1)\\ e(t+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A+\mathrm{\&Delta;A}+(B+\mathrm{\&Delta;B})K& 0\\ \mathrm{\&Delta;A}+\mathrm{\&Delta;BK}& A+\mathrm{BK}-\mathrm{Lc}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ e\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}w\left(t\right)\\ w\left(t\right)\end{array}\right]$

将以上系统设为 $\mathrm{\&xi;}(t+1)=(A_f+B_f\stackrel{\&OverBar;}{K}+C_L)\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right),$ 设 $\mathrm{\&eta;}\left(t\right)=\stackrel{\&OverBar;}{C}\mathrm{\&xi;}\left(t\right)$ 即得到完整形式的增广系统，其中系统中各矩阵为：

$A_f=\left[\begin{array}{cc}A+\mathrm{\&Delta;A}& 0\\ \mathrm{\&Delta;A}& A\end{array}\right],B_f=\left[\begin{array}{cc}B+\mathrm{\&Delta;B}& 0\\ \mathrm{\&Delta;B}& B\end{array}\right],\stackrel{\&OverBar;}{w}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}w\left(t\right)\\ w\left(t\right)\end{array}\right]C_L=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -\mathrm{LC}\end{array}\right],\stackrel{\&OverBar;}{K}=\left[\begin{array}{cc}K& 0\\ 0& K\end{array}\right],$ $\stackrel{\&OverBar;}{C}=\left[\begin{array}{cc}C& 0\\ 0& C\end{array}\right]$

步骤六：确定基于凸面体理论的等价系统

外界干扰w通过传递函数G(s)作用后，有系统输出y，在数量关系上，若对三者取范数，G(s)所具有的特性赋予了系统所具有的性能γ，对此系统设计满足||y(t)||≤γ||w(t)||的状态反馈控制律u(t)＝Kx(t)；

ΔA与ΔB表征作动系统的缓变型故障项，假设表征这种可容错条件||ΔA||≤Δa，||ΔB||≤Δb，对于不确定项ΔA与ΔB引入缓变系数ρ_A∈(-1,+1)与ρ_B∈(-1,+1)，则原不确定性状态空间模型重新表征为：

$\left\{\begin{array}{c}x(t+1)=(A+{\mathrm{\&rho;}}_A\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{aI}}_A)x\left(t\right)+(B+{\mathrm{\&rho;}}_B\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{bI}}_B)u\left(t\right)+w\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Cx}\left(t\right)\end{array}\right.$

其中：Δa与Δb表征各故障参数浮动的范数上界，缓变系数ρ_A与ρ_B表征各故障参数的变动趋势，I_A与I_B是与A和B分别同维的非零元用1×10ⁿ替换的矩阵，n具体通过对应元素的数量级确定；

步骤七：求解容错控制器与目标系统未知参数矩阵

对于由存在缓变故障的实际系统和作差所得的误差系统组成的增广系统，若存在对称正定矩阵以及另外的两个矩阵和满足如下形式的不等式：

$\left[\begin{array}{cccc}-\stackrel{\&OverBar;}{X}& 0& A_f^i\stackrel{\&OverBar;}{X}+B_f^i\stackrel{\&OverBar;}{Y_1}+\stackrel{\&OverBar;}{Y_2}& \stackrel{\&OverBar;}{X}\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& I& 0\\ *& *& -\stackrel{\&OverBar;}{X}& 0\\ *& *& *& -{\left({\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\stackrel{\&OverBar;}{C}\right)}^{-1}\end{array}\right]<0$

其中： $A_f^i\&Element;\left\{\begin{array}{cc}{A}_f^1& A_f^2\end{array}\right\},B_f^i\&Element;\left\{\begin{array}{cc}{B}_f^1& B_f^2\end{array}\right\},$

$A_f^1=\left[\begin{array}{cc}A+\mathrm{\&Delta;a}{I}_A& 0\\ \mathrm{\&Delta;a}{I}_A& A\end{array}\right],B_f^1=\left[\begin{array}{cc}B+\mathrm{\&Delta;b}{I}_B& 0\\ \mathrm{\&Delta;b}{I}_B& B\end{array}\right],A_f^2=\left[\begin{array}{cc}A-\mathrm{\&Delta;a}{I}_A& 0\\ -\mathrm{\&Delta;a}{I}_A& A\end{array}\right],B_f^2=\left[\begin{array}{cc}B-\mathrm{\&Delta;b}{I}_B& 0\\ -\mathrm{\&Delta;b}{I}_B& B\end{array}\right],$ $\stackrel{\&OverBar;}{P}=\left[\begin{array}{cc}P& 0\\ 0& P\end{array}\right],{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_1=\left[\begin{array}{cc}{Y}_1& 0\\ 0& Y_1\end{array}\right],{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_2=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& Y_2\end{array}\right],{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_1=\left[\begin{array}{cc}{X}_1& 0\\ 0& X_1\end{array}\right]$

得到如下各控制参数确定方法：

控制增益矩阵K＝Y₁X^-1＝Y₁P能够渐进地镇定带有缓变故障的不确定性实际系统，并使得系统满足额外的性能γ:||y(t)||≤γ||w(t)||；观测器系统作为带有缓变故障的实际系统的理想目标系统，并且系统参数按照如下方式选取L＝Y₂X^-1C^-1＝Y₂PC^-1。