CN103268067A - 一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法，涉及一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪方法，为解决目前涉及卫星指向跟踪控制器所用到的运动学参数设计不合理，不能保证卫星的运动路径最短，并且没有统一的适用于指向跟踪控制的运动学方程的问题。根据指向跟踪控制的要求定义目标系，并保证本体系相对于目标系的欧拉角最小；确定卫星本体系相对于目标系的欧拉角与欧拉轴以及他们在本体系中的运动学方程；确定拟四元数与拟四元数在本体系中的运动学方程；涉及控制器使卫星姿态能够跟踪目标姿态。本发明可广泛应用于卫星指向跟踪控制系统。

Description

一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法。

背景技术

随着航天任务的多样化，卫星对指向跟踪技术的需求越来越明显。对于低轨地面固定目标点与运动目标点进行持续成像的卫星、对地面某一固定区域进行视频成像的视频卫星、对飞行中的导弹进行跟踪拍照的侦查卫星等都需要卫星具有快速捕获目标并对目标进行持续指向跟踪的能力。

通常情况下为了能够快速的捕获目标需要卫星能够按照最短路径运行。卫星是否能够按照最短路径运行，取决于是否能够找出描述卫星运行最短路径的参数。在以往的许多文献中，人们通过一系列的假设试图避免需找描述卫星运行最短路径的参数，通常假设卫星初始状态为三轴稳定状态，并且卫星在运行过程中一直沿着欧拉轴运动。在这些假设条件的基础上，将目标坐标系定义为相对轨道坐标系为路径最短的坐标系，这样定义是因为能够运用原有姿态参数得到运动学方程，可以避免重新推导新的运动学方程。然而，对于实际运行的卫星(敏捷卫星)来讲，这些假设的条件是苛刻的，即使能够满足这些条件，对于指向跟踪问题，卫星目标点在惯性空间一直再变化，所定义的目标系也不满足这些条件，对于指向跟踪问题，卫星目标点在惯性空间一直在变化，所定义的目标系也不满足运动的每一时刻都是保证路径最短的，这样就使得卫星跟踪过程中运动的路径不是最短的。因此有必要在没有任何假设的前提下重新定义最短路径参数(拟四元数)，并推导出基于该参数的运动学方程，利用拟四元数设计控制器，使卫星姿态跟踪的路径最短，缩短控制时间。

发明内容

本发明为解决目前设计卫星指向跟踪控制器所用到的运动学参数设计不合理，不能保证卫星的运动路径最短，并且没有统一的适用于指向跟踪控制的运动学方程的问题，从而提供一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法。

一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法，它包括如下步骤：

步骤一、根据指向跟踪控制的要求定义目标系ox_ty_tz_t，并保证本体系相对于目标系ox_ty_tz_t的欧拉角最小；

步骤二、确定卫星本体系相对于目标系的欧拉轴e_bt与欧拉角Φ，表达式为：

$e_{\mathrm{bt}}=\frac{z_t\×z_b}{\sin \mathrm{\Φ}}$

Φ＝acos(z_t·z_b)

式中，z_t为目标系oz_t轴方向单位矢量，z_b为本体系的偏航轴方向单位矢量，e_bt为本体系相对于目标系的欧拉轴矢量，Φ为本体系相对于目标系的欧拉角；

步骤三、确定欧拉轴e_bt与欧拉角Φ在本体系表示的运动学方程，表达式为：

${\stackrel{\·}{e}}_{\mathrm{bt}}^b=\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b}{\tan \mathrm{\Φ}}-\frac{{\left(z_t{z}_b\right)}^b\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{e_{\mathrm{bt}}^b\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}}{\tan \mathrm{\Φ}}$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}=e_{\mathrm{bt}}^b\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b$

式中，

表示

相对于本体系的导数在本体系的分量列阵，

为本体系相对于目标系的姿态角速度在本体系的分量列阵，

表示本体系相对于目标系的欧拉轴矢量在本体系的分量列阵，z_tz_b表示矢量z_t与矢量z_b的并矢，

为3×3的矩阵，表示并矢z_tz_b在本体系的分量形式，

为欧拉角变化率；

步骤四、根据欧拉轴e_bt与欧拉角Φ定义拟四元数ρ：

$\mathrm{\ρ}=\left[\begin{array}{c}\cos \mathrm{\Φ}\\ e_{\mathrm{bt}}\sin \mathrm{\Φ}\end{array}\right]$

步骤五、根据欧拉轴e_bt与欧拉角Φ的运动学方程确定拟四元数的运动学方程在本体系的表达式为：

式中，运算符号⊙定义为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ρ}}}^b=\left[\begin{array}{ccc}{-\mathrm{\ρ}}_1& {-\mathrm{\ρ}}_2& {-\mathrm{\ρ}}_3\\ {\mathrm{\ρ}}_0& 0& {\mathrm{\ρ}}_2\\ 0& {\mathrm{\ρ}}_0& {-\mathrm{\ρ}}_1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b$

式中，ρ^b＝[ρ₀ρ₁ρ₂0]^T；

步骤六、根据步骤四定义的拟四元数ρ与步骤五得到的运动学方程设计控制器使卫星姿态能够跟踪目标姿态。

本发明实现了一种基于拟四元数为姿态参数的指向跟踪控制，能够保证卫星的运动路径最短。本发明提出的拟四元数是路径最短的姿态参数，实际应用中拟四元数容易获取。以拟四元数为姿态参数设计的指向跟踪控制器的形式简单，便于设计分析。由于拟四元数的运动学方程形式简单，以拟四元数为姿态参数设计的控制器的稳定性、鲁棒性的分析比较简单。

附图说明

图1为本发明一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法的流程图；

图2为具体实施方式一所述目标系z_t轴与本体系的关系示意图；

图3为具体实施方式一所述本体系相对于目标系的姿态角速度变化曲线；图中——代表滚动轴角速度曲线，图中

代表俯仰轴角速度曲线，图中-----代表偏航轴角速度曲线；

图4为具体实施方式一所述姿态四元数积分得到的相对于目标系的欧拉角；图中符号Φ_Q表示由四元数积分得到本体系相对于目标系的欧拉角；

图5为具体实施方式一所述拟四元数积分得到的相对于目标系的欧拉角，图中符号Φ_P表示由新姿态参数积分得到本体系相对于目标系的欧拉角；

图6为具体实施方式一所述姿态四元数积分得到欧拉角与拟四元数得到的欧拉角的差值，图中符号ΔΦ表示姿态四元数积分得到欧拉角与新姿态参数得到的欧拉角的差值。

具体实施方式

具体实施方式一、结合图1说明本具体实施方式。一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法，它包括如下步骤：

步骤一、根据指向跟踪控制的要求定义目标系ox_ty_tz_t，并保证本体系相对于目标坐标系ox_ty_tz_t的欧拉角最小；

步骤二、确定卫星本体系相对于目标系的欧拉轴e_bt与欧拉角Φ，表达式为：

$e_{\mathrm{bt}}=\frac{z_t\×z_b}{\sin \mathrm{\Φ}}$

Φ＝acos(z_t·z_b)

式中，z_t为目标系oz_t轴方向单位矢量，z_b为本体系的偏航轴方向单位矢量，e_bt为本体系相对于目标系的欧拉轴矢量，Φ为本体系相对于目标系的欧拉角；

步骤三、确定欧拉轴e_bt与欧拉角Φ在本体系表示的运动学方程，表达式为：

${\stackrel{\·}{e}}_{\mathrm{bt}}^b=\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b}{\tan \mathrm{\Φ}}-\frac{{\left(z_t{z}_b\right)}^b\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{e_{\mathrm{bt}}^b\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}}{\tan \mathrm{\Φ}}$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}=e_{\mathrm{bt}}^b\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b$

式中，

表示相对于本体系的导数在本体系的分量列阵，

为本体系相对于目标系的姿态角速度在本体系的分量列阵，

表示本体系相对于目标系的欧拉轴矢量在本体系的分量列阵，z_tz_b表示矢量z_t与矢量z_b的并失，

为3×3的矩阵，表示并矢z_tz_b在本体系的分量形式，

为欧拉角变化率；

步骤四、根据欧拉轴e_bt与欧拉角Φ定义拟四元数ρ：

$\mathrm{\ρ}=\left[\begin{array}{c}\cos \mathrm{\Φ}\\ e_{\mathrm{bt}}\sin \mathrm{\Φ}\end{array}\right]$

步骤五、根据欧拉轴e_bt与欧拉角Φ的运动学方程确定拟四元数的运动学方程在本体系的表达式为：

式中，运算符号⊙定义为

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ρ}}}^b=\left[\begin{array}{ccc}{-\mathrm{\ρ}}_1& {-\mathrm{\ρ}}_2& {-\mathrm{\ρ}}_3\\ {\mathrm{\ρ}}_0& 0& {\mathrm{\ρ}}_2\\ 0& {\mathrm{\ρ}}_0& {-\mathrm{\ρ}}_1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b$

式中，ρ^b＝[ρ₀ρ₁ρ₂0]^T；

步骤六、根据步骤四定义的拟四元数ρ与步骤五得到的运动学方程设计控制器使卫星姿态能够跟踪目标姿态。

结合图1-图6进行说明本发明的详细步骤：

一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法，它包括如下步骤：

步骤一、根据指向跟踪控制的要求定义目标系ox_ty_tz_t，并保证本体系相对于目标坐标系ox_ty_tz_t的欧拉角最小；

指向跟踪控制的要求为：要求卫星的敏感轴指向目标点，而卫星绕敏感轴的转角不进行限制。为了方便说明并且不失一般性，通常将偏航轴看作敏感轴。卫星控制的目的是：控制卫星姿态使得卫星本体系与目标系重合。由于卫星绕偏航轴的转角不受限制，因此存在无穷多个目标系能够满足指向跟踪控制的要求。而实际应用中定义的目标坐标系需要满足条件：在卫星运动过程中的任意时刻，本体系与目标系之间的欧拉转角最小。因此目标坐标系定义如下：

目标坐标系ox_ty_tz_t的原点o在卫星的质心，目标系ox_ty_tz_t的oz_t轴为目标点与卫星质心连线指向目标点方向的单位矢量，记为z_t；目标系的ox_t、oy_t轴分别由本体系的滚动轴、俯仰轴绕着z_t×z_b方向转过Φ角得到；

其中，z_b为卫星本体系偏航轴方向单位矢量，Φ为z_t与z_b的夹角。

步骤二、确定卫星本体系相对于目标系的欧拉轴e_bt与欧拉角Φ，表达式为：

$e_{\mathrm{bt}}=\frac{z_t\×z_b}{\sin \mathrm{\Φ}}$

Φ＝acos(z_t·z_b)

式中，z_t为目标系oz_t轴方向单位矢量，z_b为本体系的偏航轴方向单位矢量，e_bt为本体系相对于目标系的欧拉轴矢量，Φ为本体系相对于目标系的欧拉角；

步骤三、确定欧拉轴e_bt与欧拉角Φ在本体系表示的运动学方程，表达式为：

${\stackrel{\·}{e}}_{\mathrm{bt}}^b=\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b}{\tan \mathrm{\Φ}}-\frac{{\left(z_t{z}_b\right)}^b\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{e_{\mathrm{bt}}^b\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}}{\tan \mathrm{\Φ}}$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}=e_{\mathrm{bt}}^b\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b$

式中，

表示相对于本体系的导数在本体系的分量列阵，

为本体系相对于目标系的姿态角速度在本体系的分量列阵，

表示本体系相对于目标系的欧拉轴矢量在本体系的分量列阵，z_tz_b表示矢量z_t与矢量z_b的并失，

为3×3的矩阵，表示并矢z_tz_b在本体系的分量形式，

为欧拉角变化率；

所述步骤三、确定欧拉轴e_bt在本体系表示的运动学方程的过程为：

首先，对欧拉轴e_bt在本体系下求导得到：

$\frac{d_b{e}_{\mathrm{bt}}}{\mathrm{dt}}=\frac{({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{tb}}\×z_t)\×z_b\sin \mathrm{\Φ}-(z_t\×z_b)\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}\cos \mathrm{\Φ}}{{\sin }^2\mathrm{\Φ}}$

式中，

表示矢量&相对于本体系的导数，ω_tb为目标系相对于本体系的姿态角速度矢量；

由于对于任意矢量a、b、c有下面的关系式成立

(a×b)×c＝-c×(a×b)＝-(c×b)×a

则有

$\frac{d_b{e}_{\mathrm{bt}}}{\mathrm{dt}}=\frac{z_b\×({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}\×z_t)}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{e_{\mathrm{bt}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}}{\tan \mathrm{\Φ}}$

利用公式a×(b×c)＝(a·c)·b-(ca)·b，得到：

$\frac{d_b{e}_{\mathrm{bt}}}{\mathrm{dt}}=\frac{(z_t\·z_b)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{\left(z_t{z}_b\right)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{e_{\mathrm{bt}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}}{\tan \mathrm{\Φ}}$

式中，z_tz_b为矢量z_t与矢量z_b的并矢。带入z_t·z_b＝cosΦ，最终得到关于欧拉轴的姿态运动学方程如下：

$\frac{d_b{e}_{\mathrm{bt}}}{\mathrm{dt}}=\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}}{\tan \mathrm{\Φ}}-\frac{\left(z_t{z}_b\right)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{e_{\mathrm{bt}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}}{\tan \mathrm{\Φ}}$

将上式写成本体系下的分量形式可以表示为

${\stackrel{\·}{e}}_{\mathrm{bt}}^b=\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b}{\tan \mathrm{\Φ}}-\frac{\left(z_t^b{z}_b^b\right)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{e_{\mathrm{bt}}^b\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}}{\tan \mathrm{\Φ}}.$

所述步骤三、确定欧拉角Φ在本体系表示的运动学方程的过程为：

首先，将Φ表达成z_t与z_b的函数的形式：

cosΦ＝z_t·z_b

对方程两边同时求导(由于Φ是标量，可以再任意坐标系下求导，为了方便，在本体系下进行求导)得：

$-\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}\sin \mathrm{\Φ}=({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{tb}}\×z_t)\·z_b$

经过矢量变换，得到：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}\sin \mathrm{\Φ}=(z_t\×z_b){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}$

由于e_btsinΦ＝z_t×z_b，带入上式得到关于欧拉角Φ的运动学方程：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}=e_{\mathrm{bt}}\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}$

将上式写成本体系下的分量形式为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}=e_{\mathrm{bt}}^b\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b.$

步骤四、根据欧拉轴e_bt与欧拉角Φ定义拟四元数ρ：

$\mathrm{\ρ}=\left[\begin{array}{c}\cos \mathrm{\Φ}\\ e_{\mathrm{bt}}\sin \mathrm{\Φ}\end{array}\right]$

步骤五、根据欧拉轴e_bt与欧拉角Φ的运动学方程确定拟四元数的运动学方程在本体系的表达式为：

式中，运算符号⊙定义为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ρ}}}^b=\left[\begin{array}{ccc}{-\mathrm{\ρ}}_1& {-\mathrm{\ρ}}_2& {-\mathrm{\ρ}}_3\\ {\mathrm{\ρ}}_0& 0& {\mathrm{\ρ}}_2\\ 0& {\mathrm{\ρ}}_0& {-\mathrm{\ρ}}_1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b$

式中，ρ^b＝[ρ₀ρ₁ρ₂0]^T；

所述步骤五、根据欧拉轴e_bt与欧拉角Φ的运动学方程确定拟四元数的运动学方程的过程为：

定义ρ₀＝cosΦ，ρ_v＝e_btsinΦ，对拟四元数在本体系下进行求导，分别对ρ₀与ρ_v进行求导，首先ρ₀在本体系求导得到：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ρ}}}_0=-\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}\sin \mathrm{\Φ}={-e}_{\mathrm{bt}}\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}\sin \mathrm{\Φ}={-\mathrm{\ρ}}_v\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}$

对ρ_v在本体系求导进行求导得到：

$\frac{d_b{\mathrm{\ρ}}_v}{\mathrm{dt}}=\frac{d_b{e}_{\mathrm{bt}}}{\mathrm{dt}}\sin \mathrm{\Φ}+e_{\mathrm{bt}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}\cos \mathrm{\Φ}$

化简得到：

$\frac{d_b{\mathrm{\ρ}}_v}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}\cos \mathrm{\Φ}-\left(z_t{z}_b\right)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}=({\mathrm{\ρ}}_{0}E-z_t{z}_b)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}$

将上式在本体下进行分解，由并矢的定义可知z_tz_b在本体系的分量为：

$z_t^b\·{\left(z_b^b\right)}^T=\left[\begin{array}{ccc}{0}_3& 0_3& z_t^b\end{array}\right]$

式中，0₃表示所有元素都为0的3维列阵；由于矢量z_t在本体系下z_b轴的分量为：

$z_t^{\mathrm{bz}}=z_b\·z_t=\cos \mathrm{\Φ}={\mathrm{\ρ}}_0$

式中，

是一个标量，表示矢量z_t在本体系的z_b轴的分量；z_t在另外两轴的分量由坐标系几何关系获得，表示为：

$z_t^{\mathrm{bx}}=\sin \mathrm{\α}\·\sin \mathrm{\Φ}={-e}_{\mathrm{bt}}^{\mathrm{by}}\sin \mathrm{\Φ}={-\mathrm{\ρ}}_2$

$z_t^{\mathrm{by}}=\cos \mathrm{\α}\·\sin \mathrm{\Φ}=e_{\mathrm{bt}}^{\mathrm{bx}}\sin \mathrm{\Φ}={\mathrm{\ρ}}_1$

式中，

表示矢量a_$在坐标系&的#轴的分量，b表示本体系；

由上述计算获得得到方程：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ρ}}}^b=\left[\begin{array}{ccc}{-\mathrm{\ρ}}_1& {-\mathrm{\ρ}}_2& {-\mathrm{\ρ}}_3\\ {\mathrm{\ρ}}_0& 0& {\mathrm{\ρ}}_2\\ 0& {\mathrm{\ρ}}_0& {-\mathrm{\ρ}}_1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b.$

步骤六、根据步骤四定义的拟四元数ρ与步骤五得到的运动学方程设计控制器使卫星姿态能够跟踪目标姿态。

利用拟四元数参数可以得到类似于PD控制器的稳定的指向跟踪控制器，具体形式为

$T_c={-K}_p{\mathrm{\ρ}}_v^b-K_d{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b$

式中，T_c为控制卫星姿态所需的三轴指令力矩，

K_p为3×3的对角阵，对角阵的元素代表控制器比例系数的大小，K_d为3×3的对角阵，对角阵的元素代表控制器微分系数的大小，K_p与K_d元素取值大小与经典控制理论的PD控制器参数设计方法相同。根据步骤五得到的运动学方程，可以得到该控制器是稳定的。

具体控制的实现：在每一个控制周期内，利用卫星姿态确定系统得到姿态参数ρ^b与卫星相对于本体系的姿态角速度

结合K_p与K_d计算出指令力矩T_c的数值，将计算得到的数值T_c发送到执行机构，驱动执行机构动作，控制卫星能够准确的跟踪目标姿态。

具体对比实施例：结合图3-图6说明本具体实施例。

下面设计根据卫星的姿态跟踪控制系统的仿真，验证基于拟四元数描述的卫星相对于目标系的欧拉角最小，即拟四元数运动学方程是路径最短的。给定卫星本体系相对于目标系的姿态角速度变化曲线

根据已知的姿态角速度

在初始姿态相同的前提下，分别对姿态四元数运动学方程与基于拟四元数的运动学方程积分，可以得到两组本体系相对于目标系的欧拉角Φ_Q与Φ_P，姿态四元数积分得到欧拉角与新姿态参数得到的欧拉角的差值ΔΦ，其中ΔΦ＝Φ_Q-Φ_P基于拟四元数的运动学方程积分得到的欧拉角一直小于姿态四元数积分得到欧拉角，说明拟四元数描述的姿态是路径最短的。具体仿真结果为图3至图6。

Claims (6)

1.一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法，其特征在于它包括如下步骤：

步骤一、根据指向跟踪控制的要求定义目标系ox_ty_tz_t，并保证本体系相对于目标坐标系ox_ty_tz_t的欧拉角最小；

步骤二、确定卫星本体系相对于目标系的欧拉轴e_bt与欧拉角Φ，表达式为：

$e_{\mathrm{bt}}=\frac{z_t\×z_b}{\sin \mathrm{\Φ}}$

Φ＝acos(z_t·z_b)

式中，z_t为目标系oz_t轴方向单位矢量，z_b为本体系的偏航轴方向单位矢量，e_bt为本体系相对于目标系的欧拉轴矢量，Φ为本体系相对于目标系的欧拉角；

步骤三、确定欧拉轴e_bt与欧拉角Φ在本体系表示的运动学方程，表达式为：

${\stackrel{\·}{e}}_{\mathrm{bt}}^b=\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b}{\tan \mathrm{\Φ}}-\frac{{\left(z_t{z}_b\right)}^b\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{e_{\mathrm{bt}}^b\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}}{\tan \mathrm{\Φ}}$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}=e_{\mathrm{bt}}^b\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b$

式中，

表示

相对于本体系的导数在本体系的分量列阵，

为本体系相对于目标系的姿态角速度在本体系的分量列阵，

表示本体系相对于目标系的欧拉轴矢量在本体系的分量列阵，z_tz_b表示矢量z_t与矢量z_b的并矢，

为3×3的矩阵，表示并矢z_tz_b在本体系的分量形式，

为欧拉角变化率；

步骤四、根据欧拉轴e_bt与欧拉角Φ定义拟四元数ρ：

$\mathrm{\ρ}=\left[\begin{array}{c}\cos \mathrm{\Φ}\\ e_{\mathrm{bt}}\sin \mathrm{\Φ}\end{array}\right]$

步骤五、根据欧拉轴e_bt与欧拉角Φ的运动学方程确定拟四元数的运动学方程在本体系的表达式为：

式中，运算符号⊙定义为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ρ}}}^b=\left[\begin{array}{ccc}{-\mathrm{\ρ}}_1& {-\mathrm{\ρ}}_2& {-\mathrm{\ρ}}_3\\ {\mathrm{\ρ}}_0& 0& {\mathrm{\ρ}}_2\\ 0& {\mathrm{\ρ}}_0& {-\mathrm{\ρ}}_1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b$

式中，ρ^b＝[ρ₀ρ₁ρ₂0]^T；

步骤六、根据步骤四定义的拟四元数ρ与步骤五得到的运动学方程设计控制器，通过所述控制器对卫星进行指向跟踪控制。

2.根据权利要求1所述的一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法，其特征在于所述步骤一、根据指向跟踪控制的要求定义目标坐标系ox_ty_tz_t的过程为：

目标坐标系ox_ty_tz_t的原点o在卫星的质心，目标坐标系ox_ty_tz_t的oz_t轴为目标点与卫星质心连线指向目标点方向的单位矢量，记为z_t；目标坐标系的ox_t、oy_t轴分别由本体系的滚动轴、俯仰轴绕着z_t×z_b方向转过Φ角得到；

其中，z_b为卫星本体系偏航轴方向单位矢量，Φ为z_t与z_b的夹角。

3.根据权利要求1或2所述的一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法，其特征在于所述步骤三、确定欧拉轴e_bt在本体系表示的运动学方程的过程为：

首先，对欧拉轴e_bt在本体系下求导得到：

$\frac{d_b{e}_{\mathrm{bt}}}{\mathrm{dt}}=\frac{({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{tb}}\×z_t)\×z_b\sin \mathrm{\Φ}-(z_t\×z_b)\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}\cos \mathrm{\Φ}}{{\sin }^2\mathrm{\Φ}}$

式中，

表示矢量&相对于本体系的导数，ω_tb为目标系相对于本体系的姿态角速度矢量；

由于对于任意矢量a、b、c有下面的关系式成立

(a×b)×c＝-c×(a×b)＝-(c×b)×a

则有

$\frac{d_b{e}_{\mathrm{bt}}}{\mathrm{dt}}=\frac{z_b\×({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}\×z_t)}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{e_{\mathrm{bt}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}}{\tan \mathrm{\Φ}}$

利用公式a×(b×c)＝(a·c)·b-(ca)·b，得到：

$\frac{d_b{e}_{\mathrm{bt}}}{\mathrm{dt}}=\frac{(z_t\·z_b)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{\left(z_t{z}_b\right)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{e_{\mathrm{bt}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}}{\tan \mathrm{\Φ}}$

式中，z_tz_b为矢量z_t与矢量z_b的并矢；带入z_t·z_b＝cosΦ，最终得到关于欧拉轴的姿态运动学方程如下：

$\frac{d_b{e}_{\mathrm{bt}}}{\mathrm{dt}}=\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}}{\tan \mathrm{\Φ}}-\frac{\left(z_t{z}_b\right)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{e_{\mathrm{bt}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}}{\tan \mathrm{\Φ}}$

将上式写成本体系下的分量形式可以表示为

${\stackrel{\·}{e}}_{\mathrm{bt}}^b=\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b}{\tan \mathrm{\Φ}}-\frac{\left(z_t^b{z}_b^b\right)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b}{\sin \mathrm{\Φ}}-\frac{e_{\mathrm{bt}}^b\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}}{\tan \mathrm{\Φ}}.$

4.根据权利要求3所述的一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法，其特征在于所述步骤三、确定欧拉角Φ在本体系表示的运动学方程的过程为：

首先，将Φ表达成z_t与z_b的函数的形式：

cosΦ＝z_t·z_b

对方程两边同时求导得：

$-\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}\sin \mathrm{\Φ}=({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{tb}}\×z_t)\·z_b$

经过矢量变换，得到：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}\sin \mathrm{\Φ}=(z_t\×z_b){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}$

e_btsinΦ＝z_t×z_b，带入上式得到关于欧拉角Φ的运动学方程：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}=e_{\mathrm{bt}}\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}$

将上式写成本体系下的分量形式为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}=e_{\mathrm{bt}}^b\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b.$

5.根据权利要求1或4所述的一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法，其特征在于所述步骤五、根据欧拉轴e_bt与欧拉角Φ的运动学方程确定拟四元数的运动学方程的过程为：

定义ρ₀＝cosΦ，ρ_v＝e_btsinΦ，对拟四元数在本体系下进行求导，分别对ρ₀与ρ_v进行求导，首先ρ₀在本体系求导得到：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ρ}}}_0=-\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}\sin \mathrm{\Φ}={-e}_{\mathrm{bt}}\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}\sin \mathrm{\Φ}={-\mathrm{\ρ}}_v\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}$

对ρ_v在本体系求导进行求导得到：

$\frac{d_b{\mathrm{\ρ}}_v}{\mathrm{dt}}=\frac{d_b{e}_{\mathrm{bt}}}{\mathrm{dt}}\sin \mathrm{\Φ}+e_{\mathrm{bt}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}\cos \mathrm{\Φ}$

化简得到：

$\frac{d_b{\mathrm{\ρ}}_v}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}\cos \mathrm{\Φ}-\left(z_t{z}_b\right)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}=({\mathrm{\ρ}}_{0}E-z_t{z}_b)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}$

将上式在本体下进行分解，由并矢的定义可知z_tz_b在本体系的分量为：

$z_t^b\·{\left(z_b^b\right)}^T=\left[\begin{array}{ccc}{0}_3& 0_3& z_t^b\end{array}\right]$

式中，0₃表示所有元素都为0的3维列阵；由于矢量z_t在本体系下z_b轴的分量为：

$z_t^{\mathrm{bz}}=z_b\·z_t=\cos \mathrm{\Φ}={\mathrm{\ρ}}_0$

式中，

是一个标量，表示矢量z_t在本体系的z_b轴的分量；z_t在另外两轴的分量由坐标系几何关系获得，表示为：

$z_t^{\mathrm{bx}}=\sin \mathrm{\α}\·\sin \mathrm{\Φ}={-e}_{\mathrm{bt}}^{\mathrm{by}}\sin \mathrm{\Φ}={-\mathrm{\ρ}}_2$

$z_t^{\mathrm{by}}=\cos \mathrm{\α}\·\sin \mathrm{\Φ}=e_{\mathrm{bt}}^{\mathrm{bx}}\sin \mathrm{\Φ}={\mathrm{\ρ}}_1$

式中，

表示矢量a_$在坐标系&的#轴的分量，b表示本体系；

由上述计算获得得到方程：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ρ}}}^b=\left[\begin{array}{ccc}{-\mathrm{\ρ}}_1& {-\mathrm{\ρ}}_2& {-\mathrm{\ρ}}_3\\ {\mathrm{\ρ}}_0& 0& {\mathrm{\ρ}}_2\\ 0& {\mathrm{\ρ}}_0& {-\mathrm{\ρ}}_1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b.$

6.根据权利要求5所述的一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法，其特征在于所述步骤六、根据步骤四定义的拟四元数ρ与步骤五得到的运动学方程设计控制器的过程为：

利用拟四元数参数得到稳定的指向跟踪控制器，具体形式为：

$T_c={-K}_p{\mathrm{\ρ}}_v^b-K_d{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bt}}^b$

式中，T_c为控制卫星姿态所需的三轴指令力矩，

K_p为3×3的对角阵，对角阵的元素代表控制器比例系数的大小，K_d为3×3的对角阵，对角阵的元素代表控制器微分系数的大小，K_p与K_d元素取值大小与经典控制理论的PD控制器参数设计方法相同。

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