CN102692928B - 基于飞行器四元数模型的控制器区域设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于飞行器四元数模型的控制器区域设计方法，用于解决现有的控制器设计方法不能直接确定给定飞行区域整体稳定性的技术问题。该方法通过气动力、力矩方程得到给定控制目标高度和马赫数时的平衡点，采用相平面分析模型确定系统的区域稳定性，在此基础上确定反馈控制器的参数，直接对飞行器三维大迎角运动进行控制，避免了在力矩方程中忽略气动力作用等不正确近似，使得控制器在整个设计区域都能保证飞行器的稳定性，减少甚至避免了分析模型导致的不稳定、不安全飞行等问题发生。

Description

基于飞行器四元数模型的控制器区域设计方法

技术领域

本发明涉及一种飞行器控制器设计方法，特别涉及一种基于飞行器四元数模型的控制器区域设计方法。

背景技术

飞行控制的基本目的是改善飞机的稳定性和操纵性，从而提高执行任务的能力；最近几十年来，随着飞机性能的不断提高，飞行控制技术发生了很大的变化，出现了主动控制技术、综合控制技术、自主飞行控制技术等先进的飞行控制技术，飞行控制系统与航电系统出现了高度综合化的趋势。现代高性能飞机对飞行控制系统提出了更高的要求，使用古典控制理论设计先进飞机的飞行控制系统已越来越困难；为了获得更好的飞行品质，许多现代控制方法被应用到飞机飞行控制系统的设计中，如线性二次型调节器/线性二次型高斯函数/同路传递恢复(LQR/LQG/LTR)方法、定量反馈方法、动态逆方法、反馈线性化方法、反步控制方法、滑模变结构控制方法等；这些方法，需要飞行器准确的数学模型，然而，飞行器模型是一个很复杂的非线性微分方程式，人们很难得到准确的数学模型；工程上，飞机模型都是在通过风洞实验和飞行试验得到的，实际飞行控制系统设计中还要考虑以下问题：(1)在已经建立起数学模型的飞机参数发生变化或存在结构不确定时，飞行控制系统应该具有小的灵敏度响应；(2)由于控制器频带比较宽，使得飞机性能受飞机结构和执行机构动态性能变化的影响比较有小的灵敏度响应比较大；(3)反馈控制器的设计虽然对飞行员指令会得到较理想的响应，但是对于外部干扰的响应可能会是破坏性的；(4)执行部件与控制元件存在制造容差，系统运行过程中也存在老化、磨损及环境和运行条件恶化等现象；(5)在实际工程问题中，通常对数学模型要人为地进行简化，去掉一些复杂的因素；为此，非线性H∞和μ综合鲁棒控制等非线性设计方法也在飞行控制器设计中得到广泛关注；上述方法，能够得到仅适于某个给定飞行状态的控制律结构及参数，在此基础上，需要逐次对整个飞行包线内不同飞行状态下的控制律设计，得到适于不同飞行状态的控制律结构和参数，并利用不同的方法进行控制律参数及结构的调整参数规律进行设计，最后得到一个适合于整个包线的完整的飞行控制律；依赖以上控制器设计方法，设计人员不能直接确定在给定飞行区域的稳定性；文献“Hsien-Keng Chenand Ching-I Lee，Anti-control of chaos in rigid body motion，Chaos，Solitons & Fractals，2004，Vol.21(4)：957-965”直接根据飞行器通用的气动力、力矩表达式进行了相平面分析，既不考虑飞行器机型、又不考虑气动导数；论文方法偏离实际太远，给出的结果不被人们认可。

发明内容

为了克服现有控制器设计方法不能直接确定给定飞行区域整体稳定性的不足，本发明提供基于飞行器四元数模型的控制器区域设计方法，该方法通过气动力、力矩方程得到给定控制目标高度、马赫数时的飞行器平稳平飞气流迎角和配平舵面，引入气流迎角、侧滑角等状态反馈控制器，采用相平面分析模型确定系统的区域稳定性，在此基础上确定反馈控制器的参数，直接对飞行器三维大迎角运动进行控制，避免了在力矩方程中忽略气动力作用等不正确近似，使得控制器在整个设计区域都能保证飞行器的稳定性，减少甚至避免了分析模型导致的不稳定、不安全飞行等问题发生。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案：基于飞行器四元数模型的控制器区域设计方法，其特点是包括以下步骤：

1、根据四元数方程：

或 $\stackrel{\·}{e}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}0& -p& -q& -r\\ p& 0& r& -q\\ q& -r& 0& p\\ r& q& -p& 0\end{array}\right]e$

得 $2\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{e}}_1\\ {\stackrel{\·}{e}}_2\\ {\stackrel{\·}{e}}_3\\ {\stackrel{\·}{e}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{-e}_2& {-e}_3& {-e}_4\\ e_1& {-e}_4& e_3\\ e_4& e_1& -e_2\\ {-e}_3& e_2& e_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{p}\\ \stackrel{\·}{q}\\ \stackrel{\·}{r}\end{array}\right]+\left\{\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\begin{array}{ccc}{-e}_2& -e_3& {-e}_4\\ e_1& {-e}_4& e_3\\ e_4& e_1& {-e}_2\\ {-e}_3& e_2& e_1\end{array}\right]\right\}\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\cos \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}& 1\\ \sin \mathrm{\α}& -\cos \mathrm{\α}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}p\\ r\\ q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{\α}}(\·)\\ f_{\mathrm{\β}}(\·)\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{\α}}(\·)\\ f_{\mathrm{\β}}(\·)\end{array}\right]=\frac{1}{V_0}\left[\begin{array}{c}\left\{\right[g(e_1^2+e_4^2-e_2^2-e_3^2)+n_{z}g]\cos \mathrm{\α}-[2g(e_2{e}_4-e_1{e}_3)+n_{x}g\left]\sin \mathrm{\α}\right\}/\cos 20\mathrm{\β}\\ [2g(e_1{e}_2+e_3{e}_4)+n_{y}g]\cos \mathrm{\β}-[2g(e_2{e}_4-e_1{e}_3)+n_{x}g]\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right]$

和气动力、力矩模型

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{p}=\frac{I_{z}L+I_{\mathrm{zx}}N+I_{\mathrm{zx}}(I_z+I_x-I_y)\mathrm{pq}+(I_y{I}_z-I_z^2-I_{\mathrm{zx}}^2)\mathrm{qr}}{I_x{I}_z-I_{\mathrm{zx}}^2}\\ \stackrel{\·}{q}=\frac{M+(I_z-I_x)\mathrm{pr}+I_{\mathrm{zx}}(r^2-p^2)}{I_y}\\ \stackrel{\·}{r}=\frac{I_{\mathrm{zx}}L+I_{x}N+(I_x^2-I_x{I}_y+I_{\mathrm{zx}}^2)\mathrm{pq}+I_{\mathrm{zx}}(I_y-I_z-I_x)\mathrm{qr}}{I_x{I}_z-I_{\mathrm{zx}}^2}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{c}L\\ N\\ M\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{L}_{\mathrm{p\β}}(\mathrm{\α},\mathrm{\β},\stackrel{\·}{\mathrm{\β}},\mathrm{\δ})& L_{\mathrm{r\β}}(\mathrm{\α},\mathrm{\β},\stackrel{\·}{\mathrm{\β}},\mathrm{\δ})& L_{\mathrm{q\β}}(\mathrm{\α},\mathrm{\β})\\ N_{\mathrm{p\β}}(\mathrm{\α},\mathrm{\β},\stackrel{\·}{\mathrm{\β}},\mathrm{\δ})& N_{\mathrm{r\β}}(\mathrm{\α},\mathrm{\β},\stackrel{\·}{\mathrm{\β}},\mathrm{\δ})& N_{\mathrm{q\β}}(\mathrm{\α},\mathrm{\β})\\ M_{\mathrm{p\α}}(\mathrm{\α},\mathrm{\β})& M_{\mathrm{r\α}}(\mathrm{\α},\stackrel{\·}{\mathrm{\α}})& M_{\mathrm{q\α}}(\mathrm{\α},\stackrel{\·}{\mathrm{\α}})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}p\\ r\\ q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{L}_e(\mathrm{\β},\stackrel{\·}{\mathrm{\β}},\mathrm{\δ})\\ N_e(\mathrm{\β},\stackrel{\·}{\mathrm{\β}},\mathrm{\δ})\\ M_e(\mathrm{\α},\mathrm{\β},\mathrm{\δ})\end{array}\right]$

在p＝0，r＝0，q＝0，

条件下确定控制目标高度、马赫数时的配平舵面、气流迎角、给定转弯半径稳定盘旋的侧滑角的平衡点δ_s，α_s，β_s；

其中：q为俯仰角速度，α为气流迎角，β为侧滑角，

为俯仰角，

为滚转角，ψ为偏航角，p为滚转角速度，r为偏航角速度，g为重力加速度，δ为包含方向舵、副翼、升降舵、油门开度、鸭翼等在内的输入向量，I_x为绕轴x的转动惯量，I_y为绕轴y的转动惯量，I_z为绕轴z的转动惯量，I_zx＝I_xz为乘积转动惯量，V₀为空速，

M_pα(α，β)、M_rα(α，β)、

M_e(α，β，δ)为有关纵向力矩函数表达式，

L_qβ(α，β)，

N_qβ(α，β)，

为有关力矩函数表达式，n_x，n_y，n_z分别为沿飞行器机体轴系x，y，z轴的过载；δ_s，α_s，β_s分别为对应控制目标高度、马赫数时的配平舵面、气流迎角、给定转弯半径稳定盘旋的侧滑角；全申请书符号相同；

2、选取反馈控制器表达式为：

δ＝δ₀+k(α，β，p，r，q)

满足条件：p＝0，r＝0，q＝0，

α＝α_s，β＝β_s时，δ＝δ_s；

其中：δ₀为舵面输入的常数值，k(α，β，p，r，q)为反馈控制函数；

3、在给定飞行区域内，采用以下相平面分析模型：

分析系统收敛性，根据收敛性指标和平衡点条件：满足条件：p＝0，r＝0，q＝0，

α＝α_s，β＝β_s时，δ＝δ_s共同确定反馈控制器的参数。

本发明的有益效果是：通过气动力、力矩方程得到给定控制目标高度和马赫数时的平衡点，采用相平面分析模型确定系统的区域稳定性，在此基础上确定反馈控制器的参数，直接对飞行器三维大迎角运动进行控制，避免了在力矩方程中忽略气动力作用等不正确近似，使得控制器在整个设计区域都能保证飞行器的稳定性，减少甚至避免了分析模型导致的不稳定、不安全飞行等问题发生。

下面结合实施例对本发明作详细说明。

具体实施方式

以某飞行器三维模型为例。

1、该飞行器三维模型的气动力、力矩为：

$\stackrel{\·}{p}=-1.02p-0.02322r-0.01859521\mathrm{\β}+0.002145291{\mathrm{\β}}^3-0.2232{\mathrm{\δ}}_x$

$\stackrel{\·}{r}=-0.02336p-0.92r-0.0323\mathrm{\β}-0.1335{\mathrm{\δ}}_r$

$\stackrel{\·}{q}=-1.396q-4.208\mathrm{\α}-0.47{\mathrm{\α}}^2-{3.564\mathrm{\α}}^3-20.967{\mathrm{\δ}}_e+6.265{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\δ}}_e$

gn_y/V₀＝-0.40226β+0.0236β²-0.010221β³-0.035δ_r

gn_z/V₀＝-0.877α+0.47α²+3.846α³-0.215δ_e

gn_x/V₀＝-0.01265α+0.0047α³

假定e₄≠0则 $\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]=2{\left[\begin{array}{ccc}{-e}_2& {-e}_3& -e_4\\ e_1& {-e}_4& e_3\\ e_4& e_1& -e_2\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{e}}_1\\ {\stackrel{\·}{e}}_2\\ {\stackrel{\·}{e}}_3\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{p}\\ \stackrel{\·}{q}\\ \stackrel{\·}{r}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1.02& -0.02322& 0\\ -0.02336& -0.92& 0\\ 0& 0& -1.396\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-0.01859521\mathrm{\β}+0.002145291{\mathrm{\β}}^3-0.2232{\mathrm{\δ}}_x\\ -0.0323\mathrm{\β}-0.1335{\mathrm{\δ}}_r\\ -4.208\mathrm{\α}-{0.47\mathrm{\α}}^2-3.564{\mathrm{\α}}^3-20.967{\mathrm{\δ}}_e+6.265{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\δ}}_e\end{array}\right]$

$=2\left[\begin{array}{ccc}-1.02& -0.02322& 0\\ -0.02336& -0.92& 0\\ 0& 0& -1.396\end{array}\right]{\left[\begin{array}{ccc}{-e}_2& {-e}_3& -e_4\\ e_1& {-e}_4& e_3\\ e_4& e_1& {-e}_2\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{e}}_1\\ {\stackrel{\·}{e}}_2\\ {\stackrel{\·}{e}}_3\end{array}\right]+$

$\left[\begin{array}{c}-0.01859521\mathrm{\β}+0.002145291{\mathrm{\β}}^3-0.2232{\mathrm{\δ}}_x\\ -0.0323\mathrm{\β}-0.1335{\mathrm{\δ}}_r\\ -4.208\mathrm{\α}-{0.47\mathrm{\α}}^2-3.564{\mathrm{\α}}^3-20.967{\mathrm{\δ}}_e+6.265{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\δ}}_e\end{array}\right]$

满足条件：p＝0，r＝0，q＝0，

α＝α_s，β＝β_s时，

；

2、选取反馈控制器表达式为：

δ＝δ₀+k(α，β，p，r，q)

满足条件：p＝0，r＝0，q＝0，

α＝α_s，β＝β_s时，δ＝δ_s；

3、在给定飞行区域内，采用以下相平面分析模型：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{e}}_1\\ {\stackrel{\·}{e}}_2\\ {\stackrel{\·}{e}}_3\\ {\stackrel{\·}{e}}_4\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-{0.5e}_2& -0.5e_3& {-0.5e}_4\\ 0.5e_1& {-0.5e}_4& 0.5e_3\\ 0.5e_4& {0.5e}_1& {-0.5e}_2\\ -0.5e_3& 0.5e_2& {0.5e}_1\\ -\cos \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}& 1\\ \sin \mathrm{\α}& -\cos \mathrm{\α}& 0\end{array}\right]\{2\left[\begin{array}{ccc}-1.02& -0.02322& 0\\ -0.02336& -0.92& 0\\ 0& 0& -1.396\end{array}\right]{\left[\begin{array}{ccc}{-e}_2& {-e}_3& {-e}_4\\ e_1& -e_4& e_3\\ e_4& e_1& {-e}_2\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{e}}_1\\ {\stackrel{\·}{e}}_2\\ {\stackrel{\·}{e}}_3\end{array}\right]+$

$\left[\begin{array}{c}-0.01859521\mathrm{\β}+0.002145291{\mathrm{\β}}^3-0.2232{\mathrm{\δ}}_x\\ -0.0323\mathrm{\β}-0.1335{\mathrm{\δ}}_r\\ -4.208\mathrm{\α}-{0.47\mathrm{\α}}^2-3.564{\mathrm{\α}}^3-20.967{\mathrm{\δ}}_e+6.265{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\δ}}_e\end{array}\right]\}+$

$2\frac{d}{\mathrm{dt}}=\left\{\left[\begin{array}{ccc}-{0.5e}_2& -0.5e_3& {-0.5e}_4\\ 0.5e_1& {-0.5e}_4& 0.5e_3\\ 0.5e_4& {0.5e}_1& {-0.5e}_2\\ -0.5e_3& 0.5e_2& {0.5e}_1\\ -\cos \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}& 1\\ \sin \mathrm{\α}& -\cos \mathrm{\α}& 0\end{array}\right]\right\}{\left[\begin{array}{ccc}{-e}_2& {-e}_3& {-e}_4\\ e_1& -e_4& e_3\\ e_4& e_1& {-e}_2\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{e}}_1\\ {\stackrel{\·}{e}}_2\\ {\stackrel{\·}{e}}_3\end{array}\right]+$

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\{\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \left\{\right[g(e_1^2+e_4^2-e_2^2-e_3^2)/V_0-0.877\mathrm{\α}+0.47{\mathrm{\α}}^2+3.846{\mathrm{\α}}^3-0.215{\mathrm{\δ}}_e]\cos \mathrm{\α}-\\ [2g(e_2{e}_4-e_1{e}_3)/V-0.01265\mathrm{\α}+0.0047{\mathrm{\α}}^3]\sin \mathrm{\α}\}/\cos \mathrm{\β}\\ [2g(e_1{e}_2+e_3{e}_4)/V-0.40226\mathrm{\β}+0.0236{\mathrm{\β}}^2-0.010221{\mathrm{\β}}^3-0.035{\mathrm{\δ}}_r]\cos \mathrm{\β}-\\ [2g(e_2{e}_4-e_1{e}_3)/V-0.01265\mathrm{\α}+0.0047{\mathrm{\α}}^3]\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right]$

分析系统收敛性，根据收敛性指标和平衡点条件：满足条件：

p＝0，r＝0，q＝0，

α＝α_s，β＝β_s时，δ＝δ_s共同确定反馈控制器的参数为：δ_x＝0.0961β³，δ_r＝0，δ_e＝-α³/(5.883-1.758α²)。

Claims (1)

1.一种基于飞行器四元数模型的控制器区域设计方法，其特征在于包括以下步骤：

（a）根据四元数方程：

或 $\stackrel{\·}{e}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}0& -p& -q& -r\\ p& 0& r& -q\\ q& -r& 0& p\\ r& q& -p& 0\end{array}\right]e$

得 $2\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{e}}_1\\ {\stackrel{\·}{e}}_2\\ {\stackrel{\·}{e}}_3\\ {\stackrel{\·}{e}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-e_2& -e_3& -e_4\\ e_1& -e_4& e_3\\ e_4& e_1& -e_2\\ -e_3& e_2& e_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{p}\\ \stackrel{\·}{q}\\ \stackrel{\·}{r}\end{array}\right]+\left\{\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\begin{array}{ccc}-e_2& -e_3& -e_4\\ e_1& -e_4& e_3\\ e_4& e_1& -e_2\\ -e_3& e_2& e_1\end{array}\right]\right\}\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\cos \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}& 1\\ \sin \mathrm{\α}& -\cos \mathrm{\α}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}p\\ r\\ q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{\α}}(\•)\\ f_{\mathrm{\β}}(\•)\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{\α}}(\•)\\ f_{\mathrm{\β}}(\•)\end{array}\right]=\frac{1}{V_0}\left[\begin{array}{c}\left\{\right[g(e_1^2+e_4^2-e_2^2-e_3^2)+n_{z}g]\cos \mathrm{\α}-[2g(e_2{e}_4-e_1{e}_3)+n_{x}g]+n_{x}g]\sin \mathrm{\α}\}/\cos \mathrm{\β}\\ [2g(e_1{e}_2+e_3{e}_4)+n_{y}g]\cos \mathrm{\β}-[2g(e_2{e}_4-e_1{e}_3)+n_{x}g]\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right]$

和气动力、力矩模型

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{p}=\frac{I_{z}L+I_{\mathrm{zx}}N+I_{\mathrm{zx}}(I_z+I_x-I_y)\mathrm{pq}+(I_y{I}_z-I_z^2-I_{\mathrm{zx}}^2)\mathrm{qr}}{I_x{I}_z-I_{\mathrm{zx}}^2}\\ \stackrel{\·}{q}=\frac{M+(I_z-I_x)\mathrm{pr}+I_{\mathrm{zx}}(r^2-p^2)}{I_y}\\ \stackrel{\·}{r}=\frac{I_{\mathrm{zx}}L+I_{x}N+(I_x^2-I_x{I}_y+I_{\mathrm{zx}}^2)\mathrm{pq}+I_{\mathrm{zx}}(I_y-I_z-I_x)\mathrm{qr}}{I_x{I}_z-I_{\mathrm{zx}}^2}\end{array}\right.$

在p=0,r=0,q=0,

条件下确定控制目标高度、马赫数时的配平舵面、气流迎角、给定转弯半径稳定盘旋的侧滑角的平衡点δ_s,α_s,β_s；

其中：q为俯仰角速度，α为气流迎角，β为侧滑角，

为俯仰角，

为滚转角，ψ为偏航角，p为滚转角速度，r为偏航角速度，g为重力加速度，δ为包含方向舵、副翼、升降舵、油门开度、鸭翼在内的输入向量，I_x为绕轴x的转动惯量，I_y为绕轴y的转动惯量，I_z为绕轴z的转动惯量，I_zx=I_xz为乘积转动惯量，V₀为空速，M_pα(α,β)、M_rα(α,β)、

M_e(α,β,δ)为有关纵向力矩函数表达式，

L_qβ(α,β),

N_qβ(α,β),为有关力矩函数表达式，n_x,n_y,n_z分别为沿飞行器机体轴系x,y,z轴的过载；δ_s,α_s,β_s分别为对应控制目标高度、马赫数时的配平舵面、气流迎角、给定转弯半径稳定盘旋的侧滑角；

（b）选取反馈控制器表达式为：

δ=δ₀+k(α,β,p,r,q)

满足条件：p=0,r=0,q=0,

α=α_s,β=β_s时，δ=δ_s；

其中：δ₀为舵面输入的常数值，k(α,β,p,r,q)为反馈控制函数；

（c）在给定飞行区域内，采用以下相平面分析模型：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{e}}_1\\ {\stackrel{\·}{e}}_2\\ \stackrel{\·}{e_3}\\ {\stackrel{\·}{e}}_4\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-0.5e_2& -0.5e_3& -0.5e_4\\ 0.5e_1& -0.5e_4& 0.5e_3\\ 0.5e_4& 0.5e_1& -0.5e_2\\ -0.5e_3& 0.5e_2& 0.5e_1\\ -\cos \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}& 1\\ \sin \mathrm{\α}& -\cos \mathrm{\α}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{p}\\ \stackrel{\·}{q}\\ \stackrel{\·}{r}\end{array}\right]+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\left[\begin{array}{ccc}-0.5e_2& -0.5e_3& -0.5e_4\\ 0.5e_1& -0.5e_4& 0.5e_3\\ 0.5e_4& 0.5e_1& -0.5e_2\\ -0.5e_3& 0.5e_2& 0.5e_1\\ -\cos \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}& 1\\ \sin \mathrm{\α}& -\cos \mathrm{\α}& 0\end{array}\right]\right\}\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]+$ $\frac{d}{\mathrm{dt}}\left\{\frac{1}{V_0}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \left\{\right[g(e_1^2+e_4^2-e_2^2-e_3^2)+n_{z}g]\cos \mathrm{\α}-[2g(e_2{e}_4-e_1{e}_3)+n_{x}g\left]\sin \mathrm{\α}\right\}/\cos \mathrm{\β}\\ [2g(e_1{e}_2+e_3{e}_4)+e_{y}g]\cos \mathrm{\β}-[2g(e_2{e}_4-e_1{e}_3)+n_{x}g]\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right]\right\}$ 分析系统收敛性，根据收敛性指标和平衡点条件：满足条件：p=0,r=0,q=0,α=α_s,β=β_s时，δ=δ_s共同确定反馈控制器的参数。