CN116736692A - 一种具有延迟状态约束的四旋翼无人机滑模容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于非奇异终端快速滑模的无人机主动容错控制算法。考虑带有状态约束的四旋翼无人机发生执行器部分失效故障，结合延迟预定性能函数和滑模控制，提出一种主动容错控制算法。针对执行器故障设计了一种观测器，该观测器可以在有限时间内获取系统准确的故障信息。根据约束条件设计预定性能函数和转移函数，并基于故障值完成误差转换系统，针对转换后的系统设计滑模面，从而最终构成完整的滑模容错控制器。本发明通过设计非奇异快速终端滑模面，提高了系统的收敛速度；利用预定性能函数，确保在达到预定的时间之后，飞行器的状态不会超出约束边界；由于引入了转移函数，使得飞行器在任何初始状态下都可以按时进入规定的约束范围完成路径跟踪。本发明用于一类带有状态约束和执行器故障的四旋翼无人机的容错飞行控制。

Description

一种具有延迟状态约束的四旋翼无人机滑模容错控制方法

技术领域

本发明涉及一种针对于具有动态状态约束和执行器故障的四旋翼无人机系统，设计基于延迟预定性能函数的滑模容错控制算法，属于不确定性非线性系统的主动容错控制技术领域。

背景技术

近几十年来，随着计算机技术、通信技术、材料技术等行业水平的快速发展，旋翼无人机技术也有了极大的提高。因为具有体量小，成本低，使用灵活等优点，四旋翼无人机广泛的应用在空中拍摄，货物运送，军事侦察，谷物播撒等多个领域，给人们的生活带来了极大的便利。然而，无人机的工作环境复杂，在长时间的工作和磨损后容易出现故障，由于其耦合度较高，任何小型故障或参数摄动都可能导致机体坠毁甚至人员伤亡等事故。因此，针对四旋翼无人机容错控制算法的研究已成为当前的热门话题。

容错控制大体可分为主动容错与被动容错，被动容错重点在于提高控制器的鲁棒性，从而确保在某些预先估计的故障发生时系统仍然保持稳定。被动容错没有故障诊断模块，有很多局限性。主动容错需要先在线观测故障信息，再针已发生的故障，对控制律进行重构。因为主动容错可以根据实际情况作出调整，比起被动容错控制效果更好，所能处理的故障类型也更加宽泛，因此，主动容错算法具有更大的优势，目前被应用于许多场合。

近年来，很多研究员在容错控制领域取得了不小的成果，针对四旋翼无人机的执行器失效故障，设计了很多效果良好的控制算法，如滑模控制，神经网络算法，自适应控制等等，并进行结合与改进。滑模控制算法具有鲁棒性强响应速度快等优点，在处理外部干扰和系统故障时具有很大的优势，目前常和一些故障诊断方法结合用于无人机的容错控制当中。

然而，由于无人机的工作环境复杂，或是有一些特殊工作需求，为保障安全更好地完成飞行任务，需要对其状态进行约束，例如姿态角、位置等状态往往有一个约束范围，在飞行过程中始终不得超出这个范围。而滑模控制不能很好地处理状态限制的问题，为解决这个问题，有学者提出了预定性能函数的方法。通过构造预定性能函数，给自变量设置边界和变化趋势，并以此引入新变量完成误差转换，将有约束系统转换为无约束系统，从而保证了自变量不会超出约束范围。将预定性能函数与滑模控制相结合可以很好地解决含有状态约束的无人机容错控制问题。目前，已有许多学者在做此方面的研究。

发明内容

发明目的：针对上述研究背景，提出了一种新型的针对于具有状态约束和执行器故障的四旋翼无人机系统滑模容错控制算法。设计了一种有限时间观测器，能够快速确定故障引起的系统参数摄动。考虑到实际飞行任务中存在的约束条件，为了防止响应过程中超调量过大，设计了预定性能函数，引入新的变量通过误差转换确保不违反限制条件；并设计转移函数，放宽了对无人机初始状态的需求。为保障更快的收敛速度和更好的控制效果，设计了非奇异快速终端滑模面取代传统滑模面。

技术方案：一种新型的针对具有执行器失效故障和状态约束的四旋翼无人机系统的滑模容错控制方法。其特征在于：先通过有限时间观测器监测到准确的故障值；根据状态约束条件设计预定性能函数，并考虑初始状态设计转移函数，让系统有一个调整时间，再据此完成系统转换；基于观测器获取到的故障信息对转换后的系统设计非奇异快速终端滑模代替传统滑模面，并设计控制律，最终构成容错控制器，包括如下具体步骤：

步骤1)确定系统模型和故障信息，包括如下步骤：

步骤1.1)确定系统模型，如式(1)所示：

其中，X₁＝(x，y，z，φ，θ，ψ)^T和X₂＝(u，v，w，p，q，r)^T分别表示四旋翼无人机在t时刻的位置和速度状态；U(t)＝[u₁，u₂，u₃，u₄]^T为控制输入，u_i代表每个螺旋桨转速的平方；D为无人机受到的外部扰动，D存在未知的上界；F(X₂)是已知连续的向量值函数，表示无人机的固有非线性动力学行为对无人机状态的影响；G＝diag{g₁，g₂，…，g₆}为控制通道，由无人机的具体参数决定；L_c表示输入转换矩阵；

其中，l为螺旋桨中心到机体中心的距离，c_t为螺旋桨的拉力系数，c_d为螺旋桨的扭矩系数；

步骤1.2)确定故障模型，本发明中执行器故障被建模为失效故障，当故障发生时，控制输入为U^f(t)，系统模型如式(3)所示：

其中，I为四阶单位矩阵；E(t)＝diag{σ₁，σ₂，σ₃，σ₄}为失效矩阵，σ_i表示第i个控制器的失效率，并且满足0≤σ_i＜1；当σ_i＝0时，表示第i个执行器正常工作，当0＜σ_i＜1时，第i个通道发生部分失效但还在继续工作；

步骤1.3)确定故障信息，将公式(3)中的未知项分离出来，关于X₂(t)的部分可改写为如下形式：

其中，Γ₁＝{l₁₁，l₁₂，…，l₁₆]^T为增益向量，Γ₁中的每个元素均为正实数；所有不确定项均包含在δ中，δ＝[δ₁，δ₂，…，δ₆]^T；建立观测器如式(5)所示：

其中，表示X₂的观测值，定义观测误差为/>经过简单的计算可以得到一个关于X_e的辅助系统：

将D^*作为输入，设置对应的观测器，如式(7)所示：

其中，表示D^*的观测值，/>Γ₂，Γ₃和Γ₄均为增益向量，其中元素均为正实数，k₁和k₂为两个正奇数，且满足k₁＜k₂，sig^p(x)＝sgn(x)*|x|^p，sig^p(X)＝[sig^p(x₁)，sig^p(x₂)，…，sig^p(x_n)]^T，其中，sgn(·)表示符号函数，即：

由此辅助系统中X_e的D^*和可在之内收敛，其中，l₃和l₄分别代表Γ₃和Γ₄中的最大元素，随后便可根据公式(4)计算出准确的故障信息，从而完成重构；

步骤2)确定约束条件，完成误差转换，包括如下步骤：

步骤2.1)设计预定性能函数，考虑到四旋翼无人机复杂的工作环境，容易发生碰撞或侧翻，需要对其姿态角和位置状态进行约束，约束条件如式(9)所示：

其中，分别表示下界和上界向量，公式(9)表明对任何i＝1，2，…，6都有/>分别为K(t)，X₁(t)，/>中的元素；跟踪误差定义为：

E_e＝X₁-X_d (10)

其中，X_d＝[x_1d，x_2d，…，x_6d]^T为设定的期望轨迹向量，E_e＝[e₁，e₂，…，e₆]^T，结合公式(9)，(10)分别设置对应的预定性能函数，如式(11)所示：

其中，μ_i0、μ_i∞、κ _i和/>都是正常数；

步骤2.2)设计转移函数，由于无人机的初始状态可能不在规定的边界内，需要先有一段调节时间，设每个状态的调节时间分别为T_i，并建立转移函数如式(12)所示：

其中为n阶可导函数，考虑调节阶段，将约束条件进行修改，如式(13)所示：

为确保系统符合约束条件，设计一单调递增且值域在之间的可逆函数S_i(ε)，并对跟踪误差做出如下转换：

对S_i(ε)取逆可得：

步骤3)设计滑模面：为使得无人机不受初始状态的影响，在规定时间内可以调整到约束范围之中，需确保转换误差ε_i收敛，故设计的滑模面如式(16)所示：

其中，k_i1和k_i2为正常数，为避免奇异性，p_i和q_i满足1＜q_i＜2且q_i＜p_i；sig(·)的定义与公式(7)中一样；

步骤4)设计容错控制律，首先设计李雅普诺夫函数如式(17)所示：

滑模控制律由等效控制律和切换控制律两部分组成，即：

u_i＝u_ieq+u_isw (18)

令求得等效控制律如下：

为增强系统的鲁棒性，使其收敛，令设置切换控制律如式(20)所示：

其中，z_i＝v_ie_i，L_e ⁺＝L_e ^T(L_eL_e ^T)^-1表示L_e的广义逆，λ_i和γ_i均为正常数，表示增益；

步骤5)根据多旋翼无人机系统的运行状态，选择合适的参数，完成对其的容错控制。

有益效果：本发明提出了一种针对具有状态限制和执行器失效故障的多旋翼无人机系统的滑模容错控制方法，在四旋翼无人机存在执行器部分失效故障时，结合延迟预定性能函数，提出一种滑模容错控制方法，使得无人机系统在发生执行器故障后能够正常运行；利用有限时间观测器迅速获取故障信息；设计预定性能函数和转移函数规定系统状态的约束边界，防止因超调量过大导致无人机发生碰撞或侧翻；设非奇异快速终端滑模面代替传统滑模面，用以确保高收敛速度和强鲁棒性，具有如下具体优点：

(1)设计的有限时间观测器可以快速准确地诊断出故障值，为控制器重构提供准确的信息，这使得系统对故障和扰动的敏感度更低；

(2)根据系统输出误差，设计了非奇异快速终端滑模面用以替代传统滑模面，使得系统的响应速度更快和鲁棒性更强，提高了控制算法的动态性能；

(3)设计预定性能函数并引入转移函数，从而引入新的变量完成转换，规定了各项边界，避免发生侧翻或碰撞的危险，也比一般的性能函数对初始状态的条件更宽泛。

本发明所提方法作为一种针对具有状态限制的四旋翼无人机系统执行器部分失效故障的滑模容错控制方法，具有一定的应用意义，易于实现，实时性好，准确性高，能够有效提高控制系统安全性且可操作性强，节省时间，效率更高，可广泛应用于四旋翼无人机系统的执行器故障容错控制中。

附图说明

图1是本发明方法的流程图；

图2是四旋翼模型及其坐标系示意图；

图3是Qball四旋翼无人机执行器故障时X轴方向跟踪误差曲线图；

图4是Qball四旋翼无人机执行器故障时Y轴方向跟踪误差曲线图；

图5是Qball四旋翼无人机执行器故障时Z轴方向跟踪误差曲线图；

图6是Qball四旋翼无人机执行器故障时滚转角跟踪误差曲线图；

图7是Qball四旋翼无人机执行器故障时俯仰角跟踪误差曲线图；

图8是Qball四旋翼无人机执行器故障时偏航角跟踪误差曲线图；

具体实施方式

下面结合附图对本发明做更进一步的解释。

如图1所示，一种针对具有执行器部分失效故障的四旋翼无人机的滑模容错控制方法，其特征在于：在有状态约束的无人机系统存在执行器部分失效故障时，提出一种结合延迟预定性能函数和非奇异快速终端滑模的主动容错控制方法，使得执行器故障发生时无人机系统能够正常运行，并且在任何初始状态下，都能使状态误差进入规定的约束范围内；构造了一种有限时间观测器，可以快速获取故障和干扰的信息，基于该信息完成控制算法的重构，最终构成容错控制器，包括如下具体步骤：

步骤1)确定系统模型和故障信息，包括如下步骤：

步骤1.1)确定系统模型，如式(1)所示：

其中，X₁＝(x，y，z，φ，θ，ψ)^T和X₂＝(u，v，w，p，q，r)^T分别表示四旋翼无人机在t时刻的位置和速度状态；U(t)＝[u₁，u₂，u₃，u₄]^T为控制输入，u_i代表每个螺旋桨转速的平方；D为无人机受到的外部扰动，D存在未知的上界；F(X₂)是已知连续的向量值函数，表示无人机的固有非线性动力学行为对无人机状态的影响；G＝diag{g₁，g₂，…，g₆}为控制通道，由无人机的具体参数决定；L_c表示输入转换矩阵；

其中，l为螺旋桨中心到机体中心的距离，c_t为螺旋桨的拉力系数，c_d为螺旋桨的扭矩系数；

步骤1.2)确定故障模型，本发明中执行器故障被建模为失效故障，当故障发生时，控制输入为U^f(t)，系统模型如式(3)所示：

其中，I为四阶单位矩阵；E(t)＝diag{σ₁，σ₂，σ₃，σ₄}为失效矩阵，σ_i表示第i个控制器的失效率，并且满足0≤σ_i＜1；当σ_i＝0时，表示第i个执行器正常工作，当0＜σ_i＜1时，第i个通道发生部分失效但还在继续工作；

步骤1.3)确定故障信息，将公式(3)中的未知项分离出来，关于X₂(t)的部分可改写为如下形式：

其中，Γ₁＝[l₁₁，l₁₂，…，l₁₆]^T为增益向量，Γ₁中的每个元素均为正实数；所有不确定项均包含在δ中，δ＝[δ₁，δ₂，…，δ₆]^T；建立观测器如式(5)所示：

其中，表示X₂的观测值，定义观测误差为/>经过简单的计算可以得到一个关于X_e的辅助系统：

将D^*作为输入，设置对应的观测器，如式(7)所示：

其中，表示D^*的观测值，/>Γ₂，Γ₃和Γ₄均为增益向量，其中元素均为正实数，k₁和k₂为两个正奇数，且满足k₁＜k₂，sig^p(x)＝sgn(x)*|x|^p，sig^p(X)＝[sig^p(x₁)，sig^p(x₂)，…，sig^p(x_n)]^T，其中，sgn(·)表示符号函数，即：

由此辅助系统中X_e的D^*和可在之内收敛，其中，l₃和l₄分别代表Γ₃和Γ₄中的最大元素，随后便可根据公式(4)计算出准确的故障信息，从而完成重构；

步骤2)确定约束条件，完成误差转换，包括如下步骤：

步骤2.1)设计预定性能函数，考虑到四旋翼无人机复杂的工作环境，容易发生碰撞或侧翻，需要对其姿态角和位置状态进行约束，约束条件如式(9)所示：

其中，分别表示下界和上界向量，公式(9)表明对任何i＝1，2，…，6都有/>分别为/>中的元素；跟踪误差定义为：

E_e＝X₁-X_d (10)

其中，X_d＝[x_1d，x_2d，…，x_6d]^T为设定的期望轨迹向量，E_e＝[e₁，e₂，…，e₆]^T，结合公式(9)，(10)分别设置对应的预定性能函数，如式(11)所示：

其中，μ_i0、μ_i∞、κ _i和/>都是正常数；

步骤2.2)设计转移函数，由于无人机的初始状态可能不在规定的边界内，需要先有一段调节时间，设每个状态的调节时间分别为T_i，并建立转移函数如式(12)所示：

其中为n阶可导函数，考虑调节阶段，将约束条件进行修改，如式(13)所示：

为确保系统符合约束条件，设计一单调递增且值域在之间的可逆函数S_i(ε)，并对跟踪误差做出如下转换：

对S_i(ε)取逆可得：

步骤3)设计滑模面：为使得无人机不受初始状态的影响，在规定时间内可以调整到约束范围之中，需确保转换误差ε_i收敛，故设计的滑模面如式(16)所示：

其中，k_i1和k_i2为正常数，为避免奇异性，p_i和q_i满足1＜q_i＜2且q_i＜p_i；sig(·)的定义与公式(7)中一样；

步骤4)设计容错控制律，首先设计李雅普诺夫函数如式(17)所示：

滑模控制律由等效控制律和切换控制律两部分组成，即：

u_i＝u_ieq+u_isw (18)

令求得等效控制律如下：

为增强系统的鲁棒性，使其收敛，令设置切换控制律如式(20)所示：

其中，z_i＝v_ie_i，L_e ⁺＝L_e ^T(L_eL_e ^T)^-1表示L_e的广义逆，λ_i和γ_i均为正常数，表示增益；

步骤5)根据多旋翼无人机系统的运行状态，选择合适的参数，完成对其的容错控制。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

下面以实际案例仿真说明实施方案的有效性。

为验证方法的有效性，以加拿大Quanser公司研制的四旋翼无人机控制的实验装置Qball四旋翼无人机作为本次仿真验证对象，表1为Qball的相关参数。

为建立飞行器Qball的动态模型，对四旋翼无人机Qball的结构做出简化，其简化后的结构如图2所示。四旋翼无人机Qball使用的机架为“十”字型，为便于研究分别建立机体坐标系O_b-X_bY_bZ_b和地面坐标系O_g-X_gY_gZ_g。

表1：Qball机体参数数值表

参数	名称	值
			m	机体质量	1.5kg
ω	执行器带宽	15rad/s
			Jz	偏航转动惯量	0.08kg·m2
Jx	横滚转动惯量	0.04kg·m2
			Jy	俯仰转动惯量	0.04kg·m2
ct	螺旋桨拉力系数	2.35*10-5N·m2
			cd	螺旋桨扭矩系数	5.7*10-7N·m·s2
l	机身半径(1/2轴距)	0.2m
			Tm	电机响应时间常数	0.011s

通常，四旋翼无人机存在六维度变量即(X，Y，Z，ψ，θ，φ)，其中X，Y，Z表示位移变量，ψ为偏航角，θ为俯仰角，φ为滚转角。Ω＝[p，q，r]^T和V＝[u，v，w]^T分别表示欧拉角速度和位移线速度。根据牛顿-欧拉公式，可得到系统的动力学方程：

其中k_φ，k_θ，k_ψ为拉力系数，g为重力加速度，其控制量的定义如下：

其中，u_i(i＝1，2，3，4)为螺旋桨转速的平方。

为验证控制律的有效性，根据实际情况，我们把控制律中的参数设定为：α_i＝2，β_i＝1.67，k_i1＝1，k_i2＝1，q＝5。考虑到实际应用中，通常仅有飞行器的初始横纵坐标可能在约束范围之外，需要一个调节时间，因此本实验中仅对前两个控制通道的性能函数中引入转移函数，设置初始调节时间T_a为1s，转移函数如下：

其中，i＝1，2。

设定初始欧拉角和位置坐标分别为Θ(0)＝[-0.2，0.2，0]^T(rad)，P(0)＝[-0.9，1.9，0]^T(m)，设定初始线速度和角速度分别为V(0)＝[0，0，0]^T，Ω(0)＝[0，0，0]^T，期望目标位置和姿态设置为：[x_d，y_d，z_d，ψ_d]^T＝[sin(0.2πt)，cos(0.2πt)，-0.3t，π/3]^T；考虑实际飞行中的扰动因素，设置上限为的白噪声作为干扰。不失一般性，以3号电机为例，从第11s开始注入30％的的失效故障，即E＝diag{0，0，0.3，0}。考虑Qball无人机实际飞行状况中可能受到的约束情况，针对各状态性能函数和转移函数的相关参数如表2所示：

表2：性能函数的相关参数

其中，i＝1，2，3，j＝4，5，由于偏航角与其他状态变量不同，其约束条件单独列出。

为验证所提出算法的优越性，让本方法与传统滑模控制方法向对比，图3-5为故障情况下两种控制方法的位置跟踪误差对比曲线，图6-8为故障情况下两种控制方法的姿态跟踪误差对比曲线。

从位移跟踪曲线和姿态跟踪曲线中都可以看出，两种方法都能跟踪目标曲线，最终实现收敛。相比较之下，Qball无人机在本发明所设计算法的控制下能更好地抑制执行器故障的影响，在故障观测器的帮助下，控制参数能根据具体的故障值，进行合理的调整，更具有针对性。因此，本发明所设计算法的跟踪曲线更为平滑，故障注入后的震荡幅度更小。此外，本发明在设计算法时采用快速终端滑模面，并引入了预定性能控制方法，因此本章的控制算法能有效提高系统的动态性能，具有更快的响应速度和更小的超调量。此外，从图3和图4中可以看出，通过引入转移函数对预定性能控制方法作出改进，能给无人机设置一个初始调节时间，有效解决其初始状态不在约束范围内的问题。综上，对于具有状态限制的四旋翼飞行器发生执行器故障，本案例仿真的容错控制方法行之有效。

Claims (1)

1.一种针对具有执行器部分失效故障的四旋翼无人机的滑模容错控制方法，其特征在于：在有状态约束的无人机系统存在执行器部分失效故障时，提出一种结合延迟预定性能函数和非奇异快速终端滑模的主动容错控制方法，使得执行器故障发生时无人机系统能够正常运行，并且在任何初始状态下，都能使状态误差进入规定的约束范围内；构造了一种有限时间观测器，可以快速获取故障和干扰的信息，基于该信息完成控制算法的重构，最终构成容错控制器，包括如下具体步骤：

步骤1)确定系统模型和故障信息，包括如下步骤：

步骤1.1)确定系统模型，如式(1)所示：

其中，X₁＝(x，y，z，φ，θ，ψ)^T和X₂＝(u，v，w，p，q，r)^T分别表示四旋翼无人机在t时刻的位置和速度状态；U(t)＝[u₁，u₂，u₃，u₄]^T为控制输入，u_i代表每个螺旋桨转速的平方；D为无人机受到的外部扰动，D存在未知的上界；F(X₂)是已知连续的向量值函数，表示无人机的固有非线性动力学行为对无人机状态的影响；G＝diag{g₁，g₂，…，g₆}为控制通道，由无人机的具体参数决定；L_c表示输入转换矩阵；

其中，l为螺旋桨中心到机体中心的距离，c_t为螺旋桨的拉力系数，c_d为螺旋桨的扭矩系数；

步骤1.2)确定故障模型，本发明中执行器故障被建模为失效故障，当故障发生时，控制输入为U^f(t)，系统模型如式(3)所示：

其中，I为四阶单位矩阵；E(t)＝diag{σ₁，σ₂，σ₃，σ₄}为失效矩阵，σ_i表示第i个控制器的失效率，并且满足0≤σ_i＜1；当σ_i＝0时，表示第i个执行器正常工作，当0＜σ_i＜1时，第i个通道发生部分失效但还在继续工作；

步骤1.3)确定故障信息，将公式(3)中的未知项分离出来，关于X₂(t)的部分可改写为如下形式：

其中，Γ₁＝[l₁₁，l₁₂，…，l₁₆]^T为增益向量，Γ₁中的每个元素均为正实数；所有不确定项均包含在δ中，δ＝[δ₁，δ₂，…，δ₆]^T；建立观测器如式(5)所示：

其中，表示X₂的观测值，定义观测误差为/>经过简单的计算可以得到一个关于X_e的辅助系统：

将D^*作为输入，设置对应的观测器，如式(7)所示：

其中，表示D^*的观测值，/>Γ₂，Γ₃和Γ₄均为增益向量，其中元素均为正实数，k₁和k₂为两个正奇数，且满足k_l＜k₂，sig^p(x)＝sgn(x)*|x|^p，sig^p(X)＝[sig^p(x₁)，sig^p(x₂)，…，sig^p(x_n)]^T，其中，sgn(·)表示符号函数，即：

由此辅助系统中X_e的D^*和可在之内收敛，其中，/>l₃和l₄分别代表Γ₃和Γ₄中的最大元素，随后便可根据公式(4)计算出准确的故障信息，从而完成重构；

步骤2)确定约束条件，完成误差转换，包括如下步骤：

步骤2.1)设计预定性能函数，考虑到四旋翼无人机复杂的工作环境，容易发生碰撞或侧翻，需要对其姿态角和位置状态进行约束，约束条件如式(9)所示：

其中，分别表示下界和上界向量，公式(9)表明对任何i＝1，2，…，6都有分别为K(t)，X₁(t)，/>中的元素；跟踪误差定义为：

E_e＝X₁-X_d (10)

其中，X_d＝[x_1d，x_2d，…，x_6d]^T为设定的期望轨迹向量，E_e＝[e₁，e₂，…，e₆]^T，结合公式(9)，(10)分别设置对应的预定性能函数，如式(11)所示：

其中，μ_i0、μ_i∞、κ _i和/>都是正常数；

步骤2.2)设计转移函数，由于无人机的初始状态可能不在规定的边界内，需要先有一段调节时间，设每个状态的调节时间分别为T_i，并建立漂转移函数如式(12)所示：

其中为n阶可导函数，考虑调节阶段，将约束条件进行修改，如式(13)所示：

为确保系统符合约束条件，设计一单调递增且值域在之间的可逆函数S_i(ε)，并对跟踪误差做出如下转换：

对S_i(ε)取逆可得：

步骤3)设计滑模面：为使得无人机不受初始状态的影响，在规定时间内可以调整到约束范围之中，需确保转换误差ε_i收敛，故设计的滑模面如式(16)所示：

其中，k_i1和k_i2为正常数，为避免奇异性，p_i和q_i满足1＜q_i＜2且q_i＜p_i；sig(·)的定义与公式(7)中一样；

步骤4)设计容错控制律，首先设计李雅普诺夫函数如式(17)所示：

滑模控制律由等效控制律和切换控制律两部分组成，即：

u_i＝u_ieq+u_isw (18)

令求得等效控制律如下：

为增强系统的鲁棒性，使其收敛，令设置切换控制律如式(20)所示：

其中，L_e ⁺＝L_e ^T(L_eL_e ^T)^-1表示L_e的广义逆，λ_i和γ_i均为正常数，表示增益；

步骤5)根据多旋翼无人机系统的运行状态，选择合适的参数，完成对其的容错控制。