CN105159069A - 一种压电陶瓷作动器的位移控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种压电陶瓷作动器的位移控制方法。使用本发明能够提高高精度伺服定位平台的控制精度。本发明首先对传统的PI迟滞模型进行改进，引入了两个新的参数，改进后的PI迟滞模型可以同时补偿对称性和残余的位移，且容易实现；然后，通过扰动估计器将PI迟滞补偿的误差、建模的误差以及未知的干扰这些不确定性扰动的总和实时在线地估计出来，反馈给backstepping控制器，从而可以减少backstepping控制器中常参数的数值，提高控制系统对外界干扰的鲁棒性，加强控制系统的控制效果。本发明能够保持良好的跟踪精度和鲁棒性，且整个控制系统结构简单、实施方便。

Description

一种压电陶瓷作动器的位移控制方法

技术领域

本发明涉及机电控制技术领域，具体涉及一种压电陶瓷作动器的位移控制方法。

背景技术

传统上用于微小位移定位的驱动方式通常是采用摩擦传动、丝杠传动等，但是其非线性特性强，并且结构较为复杂，难以达到体积小、高精度的控制要求。逆压电效应是一种在压电晶体极化方向上施加电场作用使其产生可控机械形变的现象。利用逆压电效应制成的压电陶瓷作动器(PiezoelectricActuator，PEA)克服了传统执行器的不足，控制精度高(稳态可达10纳米)、响应速度快(约为10微秒)、位移分辨率高、输出力大等优点。以压电陶瓷作动器为位移运动控制驱动元件的压电定位平台，已经成为精密定位系统中重要定位及驱动元件。

虽然压电材料有着诸多优点，但其固有的迟滞、蠕变等非线性特性限制了其实际应用。迟滞特性表现出多值映射性，在没有参考历史输出状态的情况下，对相同的输入信号，系统的输出会存在多值。这表明压电材料迟滞非线性的输出值既取决于当前的输入，又与历史输入情况和极值有关。这样的非线性会造成压电陶瓷的定位精度很差，影响系统的稳定性。对其建模尤其是建立动态模型十分困难，很难得到精确的数学模型。常用的非线性控制方法不能够有效地解决迟滞问题。

目前，研究人员已经对迟滞非线性的建模提出了很多种方法，但是考虑到压电作动器的迟滞非线性具有复杂、多样的特点，目前尚未有一个统一的迟滞模型。不过基本上可以概括为两类。一类是通过迟滞物理学原理建立起的迟滞模型，这种模型是借助物理量间的相关关系推导出的迟滞模型。目前，已经有研究人员对于铁磁类材料建立了迟滞模型，该种迟滞模型描述了磁感应强度和磁场强度间的关系。也有研究人员根据压电材料的物理原理，进行合理分析推导出了输出位移与输入电压间的迟滞模型。另一类是通过数学模型对迟滞现象建立起的迟滞模型。这类建模方法不去考虑迟滞现象背后的物理学原理，而是只对迟滞现象本身进行分析，并对其建立模型。基于迟滞现象的模型相较基于物理学的模型形式更加简单，因此得到了更广泛的应用。

无论用何种模型去拟合迟滞回路曲线，压电作动器的迟滞特性一般可分为两类：静态迟滞特性和动态迟滞特性。当输入信号变化较慢时，压电平台表现出静态迟滞特性，所建模型只含有迟滞特性的信息，数学表达式中除了输入输出变量外，只含有迟滞相关的信息。当输入信号变化较快时，压电平台表现出动态迟滞特性，所建模型不仅仅表现出迟滞特性，还有系统的动态特性，数学表达式中包含位移变量的导数项。

目前，在一些文献中，研究人员通常是同时对压电陶瓷位移平台的静态迟滞特性与动态迟滞特性进行建模，这样建模的优点在于模型可以更全面地反映出压电陶瓷定位平台在不同频率的输入信号激励下的相应特性，但是缺点在于控制模型中包含更多的需要辨识的参数，更复杂的辨识过程。

为了解决非线性迟滞特性对于高精度压电伺服平台带来影响，科研人员设计的控制系统可主要分成三类：基于前馈的补偿控制、基于反馈的补偿控制和同时基于前馈和反馈的控制系统。其中，对于基于前馈和反馈的控制系统来说，前馈控制可以利用实验手段获取被控对象的数据来设计补偿迟滞非线性的补偿器，抵消伺服平台的迟滞非线性，可降低后续设计反馈控制器的难度；反馈控制器可在前馈控制器的基础上，解决补偿器未补偿干净的迟滞特性及其他一些未建模的不确定性。因此，基于前馈和反馈的控制系统由于前馈控制和反馈控制的有机结合、互补优点而受到了广泛的应用。然而，由于这种控制系统同时采用了前馈控制器和反馈控制器，通常也会存在控制系统复杂，不易理解、运用等缺点。

发明内容

有鉴于此，本发明提供了一种压电陶瓷作动器的位移控制方法，能够提高高精度伺服定位平台的控制精度。

本发明的压电陶瓷作动器的位移控制方法，包括如下步骤：

步骤1，采用基于改进的PI模型的迟滞补偿器对压电陶瓷作动器的迟滞特性进行补偿，所述改进的PI模型中的PI算子为：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=\mathrm{\ω}\·max\{v\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_{1}r,min\{v\left(t\right)+{\mathrm{\η}}_{2}r,x(t-T)\left\}\right\}\\ x\left(0\right)=x_0\end{array}\right.$

改进的PI模型为：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)={\Σ}_{i=1}^n{\mathrm{\ω}}_i\·max\{v\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_{1i}{r}_i,min\{v\left(t\right)+{\mathrm{\η}}_{2i}{r}_i,x_i(t-T)\left\}\right\}\\ x\left(0\right)=x_0\end{array}\right.$

其中，x₀为压电陶瓷作动器的初始位置，x(t)为输出位移，v(t)为输入电压，r为算子阈值，T为算子的刷新时间，ω为算子的权重系数，n为算子的个数，η₁和η₂为新引入的PI参数；下标i表示第i个算子的相关参数；改进的PI模型的参数数值通过参数辨识获得；

步骤2，以迟滞补偿器的补偿误差、建立迟滞模型的模型误差、以及未知的干扰之和为总扰动Ψ(t)，利用扰动估计器将总扰动Ψ(t)估计出来，并将总扰动估计结果反馈给Backstepping控制器；

步骤3，按照backstepping控制器设计流程设计backstepping控制器，利用Backstepping控制器对步骤1迟滞补偿后的压电陶瓷作动器进行位移控制。

进一步地，所述Backstepping控制器的控制率v为：

$v=-{\mathrm{\λ}}_2\mathrm{sgn}\left(e_2\right)-e_1-{\mathrm{\λ}}_1{x}_2+{\mathrm{\λ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_d+{\stackrel{\·\·}{x}}_d-{\mathrm{\Ψ}}_{est}+2{\mathrm{\ξw}}_n{x}_2+{w_n}^2{x}_1$

其中，λ₁、λ₂为常数，x_d为压电陶瓷作动器的期望位移；x₁、x₂为系统状态变量， $x_1=x,x_2=\stackrel{\·}{x};{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2;{\stackrel{\·}{x}}_2=v+{\mathrm{\Ψ}}_{est}-2{\mathrm{\ξw}}_n{x}_2-{w_n}^2{x}_1+\widetilde{\mathrm{\Ψ}};$ sgn()为符号函数；e₁、e₂为误差项，e₁＝x₁-x_d,e₂＝x₂-α₁，α₁为对系统状态变量x₂的估计；Ψ_est为步骤2扰动估计器估计出来的总扰动估计值，为扰动估计器的估计误差；ξ为系统的阻尼系数；w_n为被控对象系统的自然频率。

有益效果：

本发明首先对传统的PI迟滞模型进行改进，引入了两个新的参数，改进后的PI迟滞模型可以同时补偿对称性和残余的位移，且容易实现；然后，通过扰动估计器将PI迟滞补偿的误差、建模的误差以及未知的干扰这些不确定性扰动的总和实时在线地估计出来，反馈给backstepping控制器，从而可以减少backstepping控制器中常参数的数值，提高控制系统对外界干扰的鲁棒性，加强控制系统的控制效果。本发明能够保持良好的跟踪精度和鲁棒性，且整个控制系统结构简单、实施方便。

附图说明

图1为本发明控制系统结构示意图。

图2为backlash算子示意图。

图3为图2中4个backlash算子相加后的形状示意图。

图4为传统PI算子拟合结果示意图。

图5为改进的PI算子拟合结果示意图。

图6为高精度伺服定位平台的完整模型示意图。

图7为仿真系统总体设计图。

图8为不同单频率正弦信号输入下两种方法的最大绝对误差对比图。

图9为复合输入信号下，基于扰动估计器的系统实际位移及其误差图。

图10为复合输入信号下，不含扰动估计器的系统实际位移及其误差图。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。

本发明提供了一种压电陶瓷作动器的位移控制方法，采用前馈加反馈的控制系统对压电陶瓷作动器进行位移控制，控制系统结构如图1所示，基于改进的PI模型的迟滞补偿器作为前馈部分对压电陶瓷作动器的非线性迟滞特性补偿为线性系统，其改善了传统PI模型拟合精度不高的缺点，能够获得更好的补偿效果；采用扰动估计器与Backstepping控制器结合的方法对压电陶瓷作动器的位移进行控制，通过扰动估计器可将系统的不确定扰动在线估计出来，进而减小Backstepping控制器中常参数的数值，改善传统Backstepping控制器的控制效果。

首先，对传统的PI模型的迟滞补偿器进行改进。Prandtl-Ishlinskii(PI)模型是由经典Preisach模型发展而来的一种描述迟滞特性的模型。该模型结构简单，利于求逆和在线逆控制器设计，应用范围广。它采用backlash算子叠加的形式来描述静态迟滞。图2为backlash算子示意图，当backlash算子的参数w和r取得不同值时，backlash算子的形状也会随之改变。例如，将图2中4个算子相加就能得到图3中的形状。因此，只要选择合适数量的算子及其参数就能拟合高精度伺服定位平台的迟滞特性。

但是利用传统PI算子为迟滞现象建立的模型，会因为算子本身的结构而缺乏精度。传统PI算子是一个中心对称图形，基于PI算子的迟滞模型最终也将是一个中心对称图形，但实际上，迟滞回路并不是一个对称图形。另一方面，传统PI算子不能很好地调节迟滞回路上下两端残余的位移，现有的解决办法有设计一个新的算子并结合传统PI算子，但是这种办法会增加模型的复杂性，增大其实现难度。

为了解决以上提到的两个问题，本发明提出了一种对传统PI算子进行改进的方法，该方法可以同时补偿对称性和残余的位移。本发明将两个新的参数引入传统PI算子。两参数可以改变算子在上行和下行的状态，这两个参数越大，算子就越会延迟上行或者下行。因此如果每个算子参数值选得合适，那么整个PI迟滞模型的灵活度和准确度就能得到大幅改善。

然后采用改进的PI模型对压电陶瓷作动器进行迟滞补偿，迟滞补偿的主要原理是首先根据被控对象的迟滞特性，得到迟滞特性的逆特性，并对逆特性建模，称之为逆迟滞模型。基于改进的PI模型的迟滞补偿器是通过求取改进PI模型的逆模型获得的，将逆迟滞模型串联在前向通路位于被控对象之前，进而达到抵消被控对象迟滞非线性，将非线性系统转化成线性系统的目的。

陶瓷压电作动器的非线性迟滞特性经迟滞补偿器补偿成线性系统后，仍还存在一些的补偿误差、未知的外界扰动以及受控系统的未建模动态等不确定性扰动，这些扰动都假定是有界的。本发明采用扰动估计器将这些不确定性扰动实时在线地估计出来，反馈给backstepping控制器，可提高控制系统对外界干扰的鲁棒性，加强控制系统的控制效果。

为此，本发明的反馈部分采用的是基于扰动估计器的Backstepping控制器：Backstepping(反步)设计方法实际上是一种递归式的设计方法，其引进的虚拟控制本质上是一种静态补偿思想，前面子系统必须通过后边子系统的虚拟控制才能达到镇定的目的，通过在每一步设计虚拟控制，使得控制器的设计变得非常规范，还可调整系统的瞬态性能。

Backstepping设计方法虽然有很多优点，但其在实际应用中也存在一些限制。它只适用于严格反馈形式的非线性系统(下三角形非线性系统或可以转化为下三角形的非线性系统)。利用Backstepping方法为控制系统设计控制器时，符号函数前的常参数需要大于用来表示系统所有不确定性的非线性函数的上界，以确保系统稳定。由于这是考虑了最坏的情况，所以会导致控制器比较保守。为了解决以上问题，本发明将扰动估计器与Backstepping控制器结合，通过扰动估计器估计系统状态方程中的未知函数，可大幅降低其上界，减小常参数的数值，可有效改善控制效果。扰动估计器与backstepping控制器的结合，既可以保持良好的跟踪精度和鲁棒性又使得整个控制系统保持了结构简单、实施方便的特点。

下面进行具体说明：

传统PI模型采用backlash算子叠加的形式来描述静态迟滞，backlash算子和PI模型的数学表达式如下：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=w\·max\{v\left(t\right)-r,min\{v\left(t\right)+r,x(t-T)\left\}\right\}\\ x\left(0\right)=x_0\end{array}\right.---\left(1\right)$

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)={\Σ}_{i=1}^n{w}_i\·max\{v\left(t\right)-r_i,min\{v\left(t\right)+r_i,x_i(t-T)\left\}\right\}\\ x\left(0\right)=x_0\end{array}\right.---\left(2\right)$

式(1)为backlash算子，式(2)为PI模型。其中，x₀为压电陶瓷作动器的初始位置，x(t)为输出位移，v(t)为输入电压，r为算子阈值，T为算子的刷新时间，w为算子的权重系数，n为算子的个数，下标i表示第i个算子的相关参数。PI模型的位移输出便是这若干个算子的加权求和，PI模型便是backlash算子叠加后的形式。

本发明对传统PI算子进行改进，可以同时补偿对称性和残余的位移。本发明将两个新的参数η₁和η₂引入传统PI算子，式(3)为改进后的PI算子，式(4)为改进后的PI模型。

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=w\·max\{v\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_{1}r,min\{v\left(t\right)+{\mathrm{\η}}_{2}r,x(t-T)\left\}\right\}\\ x\left(0\right)=x_0\end{array}\right.---\left(3\right)$

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)={\Σ}_{i=1}^n{w}_i\·max\{v\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_{1i}{r}_i,min\{v\left(t\right)+{\mathrm{\η}}_{2i}{r}_i,x_i(t-T)\left\}\right\}\\ x\left(0\right)=x_0\end{array}\right.---\left(4\right)$

使用粒子群算法分别辨识传统PI算子和本发明提出的改进的PI模型的参数，采用均方根 $\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{(x_d^i-x^i)}^2/n}$ 表示拟合精度，其中和xⁱ分别为第i个算子的期望位置与实际位置。辨识结果分别如图4和图5所示。图4和图5中黑色曲线为实际的迟滞回路两端的曲线，图4中的灰色曲线为传统PI算子拟合得到的迟滞回路两端的曲线，图5中的灰色曲线为改进的PI算子拟合得到的迟滞回路两端的曲线。对比图4和图5，可看出改进的PI算子可以很好拟合迟滞回路两端的曲线，而传统PI算子则对迟滞回路两端的曲线拟合时会留有明显残留。改进的PI算子的均方根为0.25，传统PI算子的均方根为0.97，改进的PI算子相对传统PI算子拟合精度有明显提高。

模型参数辨识完毕后，就可建立基于改进PI算子系统可等效为一个质量块-弹簧-阻尼器系统和一个非线性输入相结合的系统。

下面给出本发明的高精度伺服定位平台的控制模型：

$x^{\′\′}\left(t\right)+2{\mathrm{\ξ\ω}}_n{x}^{\′}\left(t\right)+{\mathrm{\ω}}_n^{2}x\left(t\right)=H\left\{v\left(t\right)\right\}---\left(5\right)$

其中，x(t)系统的输出位移，ξ为系统的阻尼系数，ω_n为系统的自然频率。H{}为改进的PI模型，v(t)为系统输入信号。由于压电执行器刚度很大，因此具有很高的自然频率。在低频输入时，阻尼器可以被安全地忽略，系统控制模型可简化为：

$x\left(t\right)=\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_n^2}H\left\{v\left(t\right)\right\}=\stackrel{\‾}{H}\left\{v\left(t\right)\right\}\·({\mathrm{\ω}}_n^{2}x+2{\mathrm{\ξ\ω}}_n\stackrel{\·}{x}+\stackrel{\·\·}{x})---\left(6\right)$

通过式(6)就可以辨识出非线性项H{}，首先通过输出x(t)和输入v(t)辨识出项然后把项乘以便可得到H{}。当辨识出非线性项H{}后，我们就得到了控制系统的静态迟滞模型。随后可辨识出系统的参数ξ和ω_n，从而得到控制系统完整的控制模型。该控制模型可全面地表现系统在低频输入和高频输入下的静态迟滞特性和动态迟滞特性。

对迟滞模拟求逆，设计迟滞补偿器以抵消系统的迟滞特性。结合KuhnenK等人在文献(Complexhysteresismodelingofabroadclassofhystereticactuatornonlinearities[C].Proceedingsofthe8thinternationalconferenceonnewactuators,2002:688-691.)中针对传统PI模型迟滞补偿器的设计，根据辨识出的改进的PI模型的参数，给出基于改进的PI模型迟滞补偿器的数学表达式，如式(7)所示。

$\begin{array}{c}z\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\Σ}}{H}_i^{-1}\[y,z_0\]\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\Σ}}{w}_i^{\′}\max \{v_i\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_1^i{r}_i^{\′},\min \{v_i\left(t\right)+{\mathrm{\η}}_2^i{r}_i^{\′},x(t-T)\left\}\right\}\\ w_0^{\′}=\frac{1}{w_h^0};w_i^{\′}=\frac{-w_i}{\left(\underset{j=0}{\overset{i}{\Σ}}{w}_j\right)\left(\underset{j=0}{\overset{i-1}{\Σ}}{w}_j\right)},i=1,...,n\\ r_i^{\′}=\underset{j=0}{\overset{i}{\Σ}}{w}_j(r^i-r^j)\\ x_{i0}=\underset{j=0}{\overset{i}{\Σ}}{w}_j{v}_{i0}+\underset{j=i+1}{\overset{n}{\Σ}}{w}_i{v}_{j0},i=1,...,n\end{array}---\left(7\right)$

图6为高精度伺服定位平台的完整模型示意图。图中虚线框图内部分表示使用改进PI算子描述的系统静态特性，线性系统部分为等效的质量块-弹簧-阻尼器系统，使用二阶线性系统描述系统的动态特性。v(t)表示输入信号，虚线框中Backlash1至n为使用的改进PI算子，W₁到W_n为各PI算子的权重，加权求和后即可得到项 为式(6)中的系数，H{v(t)}为输入信号为v(t)时系统的非线性项。x(t)为经过描述系统静态特性的PI算子系统和描述系统动态特性的等效的质量块-弹簧-阻尼器系统后的系统输出位移量。

考虑动态特性，将数学表达式(5)重写如式(8)所示：

$x^{\′\′}\left(t\right)+2{\mathrm{\ξ\ω}}_n{x}^{\′}\left(t\right)+{\mathrm{\ω}}_n^{2}x\left(t\right)=H\left\{v\left(t\right)\right\}+d\left(t\right)---\left(8\right)$

其中，x(t)系统的输出位移，ξ为系统的阻尼系数，ω_n为系统的自然频率。H{}为改进的PI模型，v(t)为系统输入信号，d(t)为系统未建模的动态等不确定性。

经过迟滞补偿后：

$x^{\′\′}\left(t\right)+2{\mathrm{\ξ\ω}}_n{x}^{\′}\left(t\right)+{\mathrm{\ω}}_n^{2}x\left(t\right)=v\left(t\right)+p\left(t\right)+d\left(t\right)---\left(9\right)$

项p(t)为补偿误差，将项p(t)和d(t)合并视为一个整体项Ψ(t)，数学表达式如下：

$x^{\′\′}\left(t\right)+2{\mathrm{\ξ\ω}}_n{x}^{\′}\left(t\right)+{\mathrm{\ω}}_n^{2}x\left(t\right)=v\left(t\right)+\mathrm{\Ψ}\left(t\right)---\left(10\right)$

经过扰动估计器

$x^{\′\′}\left(t\right)+2{\mathrm{\ξ\ω}}_n{x}^{\′}\left(t\right)+{{\mathrm{\ω}}_n}^{2}x\left(t\right)=v\left(t\right)+{\mathrm{\Ψ}}_{est}\left(t\right)+\widetilde{\mathrm{\Ψ}}\left(t\right)---\left(11\right)$

${\mathrm{\Ψ}}_{est}\left(t\right)=x^{\′\′}\left(t\right)+2{\mathrm{\ξ\ω}}_n{x}^{\′}\left(t\right)+{\mathrm{\ω}}_n^{2}x\left(t\right)-v(t-T)---\left(12\right)$

其中，为扰动估计器的估计误差。

下面给出backstepping控制器设计，令

$x_1=x,x_2=\stackrel{\·}{x};$

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2;$

${\stackrel{\·}{x}}_2=v+{\mathrm{\Ψ}}_{est}-2{\mathrm{\ξ\ω}}_n{x}_2-{{\mathrm{\ω}}_n}^2{x}_1+\widetilde{\mathrm{\Ψ}}$

按照backstepping控制器设计流程，采用Lyapunov方法设计控制器。假设系统的期望输出为x_d，且x_d具有二阶导数。定义误差项为

e₁＝x₁-x_d

e₂＝x₂-α₁

对误差项求导，得

${\stackrel{\·}{e}}_1={\stackrel{\·}{x}}_1-{\stackrel{\·}{x}}_d$

${\stackrel{\·}{e}}_2={\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1$

其中α₁为对系统状态变量x₂的估计，也是系统的虚拟控制量。

针对系统的第一个子系统，设Lyapunov函数为

$V_1=\frac{1}{2}{e}^2$

则

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1=e_1{\stackrel{\·}{e}}_1=e_1({\stackrel{\·}{x}}_1-{\stackrel{\·}{x}}_d)\\ =e_1{x}_2-{\stackrel{\·}{x}}_d{e}_1=e_1(e_2+{\mathrm{\α}}_1)-{\stackrel{\·}{x}}_d{e}_1\\ =e_1{e}_2-{\mathrm{\λ}}_1{e_1}^2+e_1{\stackrel{\·}{x}}_d-{\stackrel{\·}{x}}_d{e}_1\\ =-{\mathrm{\λ}}_1{e_1}^2+e_1{e}_2\end{array}$

在上式中令

${\mathrm{\α}}_1=-{\mathrm{\λ}}_1{e}_1+{\stackrel{\·}{x}}_d$

其中常数λ₁＞0，得

${\stackrel{\·}{V}}_1=-{\mathrm{\λ}}_1{e_1}^2+e_1{e}_2$

如果能使e₂→0，则根据Lyapunov稳定性理论，第一个子系统稳定。

针对第二个系统，取Lyapunov函数为

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{e_2}^2$

对V₂求导，得

${\stackrel{\·}{V}}_2={\stackrel{\·}{V}}_1+e_2{\stackrel{\·}{e}}_2$

将代入得

${\stackrel{\·}{V}}_2=-{\mathrm{\λ}}_1{e_1}^2+e_2(e_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1+v+{\mathrm{\Ψ}}_{est}-2{\mathrm{\ξw}}_n{x}_2-{w_n}^2{x}_1+\widetilde{\mathrm{\Ψ}})$

令

$e_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1+v+{\mathrm{\Ψ}}_{est}-2{\mathrm{\ξ\ω}}_n{x}_2-{{\mathrm{\ω}}_n}^2{x}_1=-{\mathrm{\λ}}_2\mathrm{sgn}\left(e_2\right)$

其中λ₂＞0，将上式代入得

${\stackrel{\·}{V}}_2=-{\mathrm{\λ}}_1{e_1}^2+e_2(-\mathrm{\λ}\mathrm{sgn}(e_2)+\widetilde{\mathrm{\Ψ}})=-{\mathrm{\λ}}_1{e_1}^2-\left({\mathrm{\λ}}_2\right|e_2|-\widetilde{\mathrm{\Ψ}}{e}_2)$

若有

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_2>\left|\widetilde{\mathrm{\&Psi;}}\right|+\mathrm{\&epsiv;}\\ -\left({\mathrm{\&lambda;}}_2\right|e_2|+|\widetilde{\mathrm{\&Psi;}}\left|e_2\right)<-\mathrm{\&epsiv;}\left|e_2\right|\end{array}$

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=-{\mathrm{\&lambda;}}_1{e_1}^2-\left({\mathrm{\&lambda;}}_2\right|e_2|-\widetilde{\mathrm{\&Psi;}}{e}_2)<-{\mathrm{\&lambda;}}_1{e_1}^2-\mathrm{\&epsiv;}\left|e_2\right|$

此时，系统满足了Lyapunov稳定性理论条件，e₁,e₂渐进稳定，解出控制率v：

$\begin{array}{c}v=-{\mathrm{\&lambda;}}_2\mathrm{sgn}\left(e_2\right)-e_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1-{\mathrm{\&Psi;}}_{est}+2{\mathrm{\&xi;\&omega;}}_n{x}_2+{{\mathrm{\&omega;}}_n}^2{x}_1\\ =-{\mathrm{\&lambda;}}_2\mathrm{sgn}\left(e_2\right)-e_1-{\mathrm{\&lambda;}}_1{x}_2+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{\&Psi;}}_{est}+2{\mathrm{\&xi;\&omega;}}_n{x}_2+{{\mathrm{\&omega;}}_n}^2{x}_1\end{array}$

下面在半实物仿真系统中验证本发明中提出的方法。

半实物仿真是把计算机与实物相连的一种仿真技术，是一种更贴近实际的仿真，称为硬件在回路仿真。它在实际工程领域仿真得到了广泛的应用，这些领域包括机电、接口、液压以及控制技术领域。半实物仿真的应用方法是在仿真实验中把研究对象难以建模的部分直接用实物代替，容易用规律描述的特性用数学模型代替。由于将实物的接入了仿真回路中，使得半实物仿真相较其他形式的仿真更真实，由于能够反映出对象的复杂特性，因此仿真结果更贴近实际，因此也有较高的可信度，为验证设计的系统提供可靠保证。本文将配置以Concurrent公司的iHawk系统和压电作动器为基础的半实物仿真平台，对本文所设计的控制系统进行半实物仿真实验。

图7为仿真系统总体设计图。基于iHawk高精度压电半实物仿真平台大致分为iHawk半实物仿真计算机和接口板卡、驱动器、实物3个部分。计算机接收反馈信号，然后进行数据处理，给出控制信号，接口板卡采用PMC-16AIO板卡，它是16位模拟输入/输出板卡，仿真计算机通过它与驱动器通信；驱动器为压电陶瓷定位平台配套使用的E-709DigitalPiezoController控制驱动器，它支持模拟量控制以及模拟反馈，与计算机板卡进行上游通信，并直接驱动定位平台；仿真实物为压电陶瓷作动器。

系统分为四个部分配合工作，实现仿真功能。板卡搭载了每秒可完成30万次转换的A/D、D/A转换器。模拟输入输出电压信号范围可配置在±2.5V，±5V，±10V。E-709数字控制器负责放大计算机给出的控制信号和收集传感器反馈信号。它接收来自iHawk仿真计算机0～10V电压信号，并将其转化为-30～130V电压信号驱动压作动器。在反馈通道上，将压电作动器的0～100μm位置信号转化为0～10V电压信号送回给iHawk计算机。压电陶瓷定位平台是德国physikinstrumente公司的P-611.2s高精度压电陶瓷定位平台，满行程为100μm，驱动电压为-20-120(V)，一般负载为+15/-5(N)，内置电阻应变片式传感器，可以将0-100μm的位移信号转换成0～10V的电压信号。

由于板卡的输出电压范围是0～10V，对应到驱动电压为-30～130V，关系如下：

压电作动器需要的电压范围是0～100V，由式(13)可得，当U_驱动的取值范围是[0,100](V)时，U_板卡的取值范围是[1.875,8.125]，而仿真控制器的输出范围也是[0,10]，这样作如下变换：

U_板卡＝0.625U_con+1.875(14)

则有，当控制器输出量范围是[0,10]时，对应的驱动电压为[0,100](V)。

控制器参数：首先确定控制周期T，扰动估计器估计扰动效果好的前提是，控制频率要快于系统动态，这就要求控制周期尽可能地小，但是另一方面，传感器带有噪声，在求微分信号时，较小的控制周期会引起较大的误差，导致控制效果变差，综合以上两点考虑，本文选择控制频率为10kHz，同时，对传感器信号进行滤波处理。其余控制参数经过反复整定列于表1中。不含扰动估计器是为了对比本发明实验效果的对照组。

表1对比实验参数表

图8、9、10为实验结果图，横坐标代表时间，单位为秒。纵坐标为位移量或位移量的误差，单位为μm。

图8为不同单频率正弦信号输入下不含扰动估计器的backstepping控制系统与含扰动估计器的backstepping控制系统的位移最大绝对误差对比图。黑色曲线代表不含扰动估计器时位移最大绝对误差随频率增加的变化，灰色曲线代表含有扰动估计器时位移最大绝对误差随频率增加的变化。横坐标代表时间，单位为秒。纵坐标为位移量的误差，单位为μm。可以看出，虽然两种方法位移最大绝对误差均随频率增加而增大，但相同频率下含扰动估计器的backstepping控制系统位移最大绝对误差明显小于不含扰动估计器的backstepping控制系统。

图9、10为复合输入信号下，以上两种方法的实际位移及其误差图。灰色代表期望位移，黑色代表实际位移，浅灰色代表位移误差。在0.5Hz输入信号下，含扰动估计器的backstepping控制系统的最大绝对位移误差为0.5μm，不含扰动估计器的控制系统的最大绝对位移误差为2.5μm。当输入信号频率上升到15Hz后，响应曲线误差分别上升到3μm和8μm。在复合信号激励下，两者的最大绝对位移误差分别为3μm和7μm。由此可见，包含扰动估计器的控制系统由于通过扰动估计器估计出了一部分不确定性，并在控制器中对其补偿，因此，降低了控制误差，改善了控制效果。综上可知，将扰动估计器与backstepping控制器结合应用可改善其控制效果，控制效果理想

由图8、9、10结果可以证明，本发明所提出的控制系统控制精度高，对系统迟滞特性的变化具有很好的适应性，对变化快的信号依然具有很强的跟踪能力。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种压电陶瓷作动器的位移控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1，采用基于改进的PI模型的迟滞补偿器对压电陶瓷作动器的迟滞特性进行补偿，所述改进的PI模型中的PI算子为：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=\mathrm{\&omega;}\&CenterDot;max\{v\left(t\right)-{\mathrm{\&eta;}}_{1}r,min\{v\left(t\right)+{\mathrm{\&eta;}}_{2}r,x(t-T)\left\}\right\}\\ x\left(0\right)=x_0\end{array}\right.$

改进的PI模型为：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)={\&Sigma;}_{i=1}^n{\mathrm{\&omega;}}_i\&CenterDot;max\{v\left(t\right)-{\mathrm{\&eta;}}_{1i}{r}_i,min\{v\left(t\right)+{\mathrm{\&eta;}}_{2i}{r}_i,x_i(t-T)\left\}\right\}\\ x\left(0\right)=x_0\end{array}\right.$

其中，x₀为压电陶瓷作动器的初始位置，x(t)为输出位移，v(t)为输入电压，r为算子阈值，T为算子的刷新时间，ω为算子的权重系数，n为算子的个数，η₁和η₂为新引入的PI参数；下标i表示第i个算子的相关参数；改进的PI模型的参数数值通过参数辨识获得；

步骤2，以迟滞补偿器的补偿误差、建立迟滞模型的模型误差、以及未知的干扰之和为总扰动Ψ(t)，利用扰动估计器将总扰动Ψ(t)估计出来，并将总扰动估计结果反馈给Backstepping控制器；

步骤3，按照backstepping控制器设计流程设计backstepping控制器，利用Backstepping控制器对步骤1迟滞补偿后的压电陶瓷作动器进行位移控制。

2.如权利要求1所述的压电陶瓷作动器的位移控制方法，其特征在于，所述Backstepping控制器的控制率v为：

$v=-{\mathrm{\&lambda;}}_2\mathrm{sgn}\left(e_2\right)-e_1-{\mathrm{\&lambda;}}_1{x}_2+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{\&Psi;}}_{est}+2{\mathrm{\&xi;w}}_n{x}_2+{w_n}^2{x}_1$

其中，λ₁、λ₂为常数，x_d为压电陶瓷作动器的期望位移；x₁、x₂为系统状态变量， $x_1=x,x_2=\stackrel{\&CenterDot;}{x};{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2;{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=v+{\mathrm{\&Psi;}}_{est}-2{\mathrm{\&xi;w}}_n{x}_2-{w_n}^2{x}_1+\widetilde{\mathrm{\&Psi;}};$ sgn()为符号函数；e₁、e₂为误差项，e₁＝x₁-x_d,e₂＝x₂-α₁，α₁为对系统状态变量x₂的估计；Ψ_est为步骤2扰动估计器估计出来的总扰动估计值，为扰动估计器的估计误差；ξ为系统的阻尼系数；w_n为被控对象系统的自然频率。