CN104270053A - 基于状态估计的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于状态估计的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，包括：步骤1、建立电机位置伺服系统的数学模型；步骤2、配置基于状态观测的电机输出反馈控制器；步骤3、调节基于有限时间干扰估计的鲁棒控制器中的参数使得系统满足控制性能指标。本发明的输出反馈控制方法，针对电机位置伺服系统的特点，建立了电机位置伺服系统模型；设计了基于状态观测的电机输出反馈控制器，对系统系统状态进行估计并用于控制器设计，避免了测量噪声对控制器的影响，能有效解决电机伺服系统不确定非线性问题，在上述干扰条件下系统控制精度满足性能指标，利用本发明可简化控制器的设计。

Description

基于状态估计的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法

技术领域

本发明涉及电机位置伺服控制技术领域，具体而言涉及一种基于状态估计的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法。

背景技术

直线电机将电能直接转换成直线运动机械能，不需要任何中间转换机构的传动装置。具有起动推力大、传动刚度高、动态响应快、定位精度高、行程长度不受限制等优点，因而在工业中广泛应用。然而，由于工作状况变动、外部干扰以及建模误差的缘故，实际工业过程的精确模型很难得到，因而为电机伺服系统设计高性能的控制器并不容易。

为了提高电机系统的跟踪性能，许多先进的非线性控制器进行了研究，如鲁棒自适应控制，自适应鲁棒控制(ARC)，滑模控制等等。然而，所有上述方法中使用的全状态反馈控制方法，也就是说，在运动控制中，除了需要位置信号，还需要速度和加速度信号。但对于许多应用中，由于降低成本的需要，仅位置信息可知。此外，严重的测量噪声通常会污染所测的速度和加速度信号，进而恶化实现性能的全状态反馈控制器。非线性控制应用中这些实际问题的限制，导致了PID控制至今在电机控制领域都处于主导地位。但同时不可否认，在现代工业时代的新需求下，PID越来越难以满足日益追求的高性能控制。因此，迫切需要设计非线性输出反馈控制策略。

在线性系统中，这个问题可以利用分离设计原则解决，即对可观可控的线性系统，分别设计状态反馈控制器和状态观测器就可以获得系统的输出反馈控制器。但在非线性系统，由于分离原则不再成立，利用输出反馈实现系统的镇定问题就是一个非常困难问题，近年来，非线性系统的输出反馈镇定问题得到了广泛的关注。只有系统输出是可量测的条件下如何实现控制系统的镇定是控制理论一个重要的问题。

发明内容

本发明目的在于提供一种基于状态估计的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，解决电机位置伺服系统中只有位置状态已知，而速度和加速度状态位置问题。

本发明的上述目的通过独立权利要求的技术特征实现，从属权利要求以另选或有利的方式发展独立权利要求的技术特征。

为达成上述目的，本发明所采用的技术方案如下：

一种基于状态估计的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，该方法的实现包括以下步骤：

步骤1、建立电机位置伺服系统的数学模型；

步骤2、配置基于状态观测的电机输出反馈控制器；

步骤3、调节基于有限时间干扰估计的鲁棒控制器中的参数使得系统满足控制性能指标。

进一步的实施例中，所述步骤1建立电机位置伺服系统的数学模型，其具体实现包括以下步骤：

将电机惯性负载的动力学模型方程表示为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{f}u-b\stackrel{\·}{y}-f(y,\stackrel{\·}{y},t)---\left(1\right)$

式中，y表示角位移，m表示惯性负载，k_f表示扭矩常数，u是系统控制输入，b代表粘性摩擦系数，f代表其他未建模干扰，包括非线性摩擦，外部干扰以及未建模动态；

然后，把(1)式写成下述的状态空间形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={\mathrm{\θ}}_{1}u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2-d(x,t)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，表示位置和速度的状态向量；参数集θ＝[θ₁,θ₂]^T，其中θ₁＝k_f/m，θ₂＝b/m，表示集中干扰；

由于系统参数m，k_f，b是未知的，系统是参数不确定性的，系统的未建模动态和干扰总是有界的，因而，以下假设总是成立的：

假设1：参数θ满足：

$\mathrm{\θ}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{\θ}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{\mathrm{\θ}:{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }\}---\left(3\right)$

其中θ_min＝[θ_1min,θ_2min]^T，θ_max＝[θ_1max,θ_2max]^T，它们都是已知的，此外θ_1min>0，θ_2min>0；

假设2：d(x,t)是有界的，即

|d(x,t)|≤δ_d        (4)

其中δ_d已知。

进一步的实施例中，所述步骤2的配置基于状态观测的电机输出反馈控制器，其具体实现包括以下步骤：

步骤2-1、根据前述公式(2)构建电机的状态观测器

首先，将前述状态空间形式表示的系统模型表达成如下形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={\mathrm{\θ}}_{1n}u-{\mathrm{\θ}}_{2n}{x}_2+D(x,t)\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，D(x,t)＝(θ₁-θ_1n)u-(θ₂-θ_2n)x₂-d(x,t)是一个广义干扰，代表名义系统的偏差，θ_1n和θ_2n是θ₁和θ₂的名义值；

由D(x,t)＝(θ₁-θ_1n)u-(θ₂-θ_2n)x₂-d(x,t)和假设2可知D(x,t)也是有界的，即

其中θ_m＝θ_max-θ_min，

由式(5)设计一个状态观测器，如下：

$\begin{array}{c}{e}_0=\stackrel{^^^}{x_1,}{e}_1=x_2,e_2=x_3\\ {\stackrel{\·}{e}}_0=v_0=-{\mathrm{\λ}}_0{|e_0-x_1|}^{2/3}\mathrm{sgn}(e_0-x_1)+e_1\\ {\stackrel{\·}{e}}_1=v_1=-{\mathrm{\λ}}_1{|e_1-v_0|}^{1/2}\mathrm{sgn}(e_0-v_0)+e_2\\ {\stackrel{\·}{e}}_2=v_2=-{\mathrm{\λ}}_2\mathrm{sgn}(e_2-v_1)\end{array}---\left(7\right)$

其中x₁，x₂，x₃分别表示输出位置，速度和加速度，分别为为x₁，x₂，x₃的估计值；且存在一个时间T₁，当时间t大于时间常数T₁时，其中且总是能选择足够大的参数来保证任意小的时间段T₁；

步骤2-2、设计基于状态观测的电机输出反馈控制器如下：

定义变量如下：

$\begin{array}{c}{z}_2={\stackrel{\·}{z}}_1+k_1{z}_1=x_2-x_{2\mathrm{eq}}\\ x_{2\mathrm{eq}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\stackrel{\·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1\end{array}---\left(8\right)$

其中z₁＝x₁-x_1d(t)是输出跟踪误差，k₁>0是一个反馈增益，由于G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，当z₂趋于0时，z₁必然也趋于0；

对式(8)微分并把式(5)代入，可得：

${\stackrel{\·}{z}}_2={\mathrm{\θ}}_{1n}u-{\mathrm{\θ}}_{2n}{x}_2-{\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+D(x,t)---\left(9\right)$

基于状态估计的控制器设计如下：

$\begin{array}{c}u=(u_a+u_s)/{\mathrm{\θ}}_{1n}{u}_s=u_{s1}+u_{s2}\\ u_a={\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+{\mathrm{\θ}}_{2n}{\hat{x}}_2\\ u_{s1}=-k_2({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})\end{array}---\left(10\right)$

把式(10)代入式(9)，得z₂的动态方程：

${\stackrel{\·}{z}}_2=-k_2({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})+u_{s2}+D(x,t)+{\mathrm{\θ}}_{2n}{\tilde{x}}_2---\left(11\right)$

u_s2满足如下条件：

z₂{u_s2-D}≤σ₁           (12a)

z₂u_s2≤0           (12b)

其中σ₁>0是一个设计参数，在此给出满足式(12a)和式(12b)的u_s2的一个形式：

令g为如下函数

其中是的上界，由此设计如下的u_s2

$u_{s2}=-k_{s1}{z}_2\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}-g^2{z}_2/\left({4\mathrm{\σ}}_1\right)---\left(14\right)$

其中k_s1为一个非线性增益。

进一步的实施例中，前述步骤3中，通过调节基于有限时间干扰估计的鲁棒控制器中u的参数k₁,k₂,λ₀，λ₁，λ₂，σ₁来使得系统满足控制性能指标。

由以上本发明的技术方案可知，本发明所提出的基于状态估计的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，针对电机位置伺服系统的特点，建立了电机位置伺服系统模型；本发明设计的基于状态观测的电机输出反馈控制器，对系统系统状态进行估计并用于控制器设计，避免了测量噪声对控制器的影响，能有效解决电机伺服系统不确定非线性问题，在上述干扰条件下系统控制精度满足性能指标；本发明简化了控制器设计，仿真结果表明了其有效性。

附图说明

图1为典型的电机执行装置的示意图。

图2为本发明一实施方式的基于状态估计的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法的实现流程图。

图3为干扰作用下控制器输入电压u曲线，控制器输入电压满足-10V～+10V的输入范围，符合实际应用。

图4为系统外加干扰曲线。

图5为干扰作用下的指令信号，跟踪信号和跟踪误差曲线。

图6为位置估计和估计误差曲线。

图7为速度估计和估计误差曲线。

图8为加速度估计和估计误差曲线。

具体实施方式

为了更了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图式说明如下。

如图1所示，根据本发明的较优实施例，基于状态估计的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，其特征在于，该方法的实现包括以下步骤：

步骤1、建立电机位置伺服系统的数学模型；

步骤2、配置基于状态观测的电机输出反馈控制器；

步骤3、调节基于有限时间干扰估计的鲁棒控制器中的参数使得系统满足控制性能指标。

下面结合2以及附图3-8所示，具体说明上述各步骤的实施。

步骤1、建立电机位置伺服系统的数学模型

根据牛顿第二定律，电机惯性负载的动力学模型方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{f}u-b\stackrel{\·}{y}-f(y,\stackrel{\·}{y},t)---\left(1\right)$

式中y表示角位移，m表示惯性负载，k_f表示扭矩常数，u是系统控制输入，b代表粘性摩擦系数，f代表其他未建模干扰，比如非线性摩擦，外部干扰以及未建模动态。

把(1)式写成状态空间形式，如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={\mathrm{\θ}}_{1}u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2-d(x,t)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中x＝[x₁,x₂]^T表示位置和速度的状态向量。参数集θ＝[θ₁,θ₂]^T，其中θ₁＝k_f/m，θ₂＝b/m，表示集中干扰；

由于系统参数m，k_f，b是未知的，系统是参数不确定性的，但系统的大致信息是可以知道的。此外，系统的不确定非线性d(x,t)不能明确建模的，但系统的未建模动态和干扰总是有界的。因而，以下假设总是成立的：

假设1：参数θ满足：

$\mathrm{\θ}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{\θ}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{\mathrm{\θ}:{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }\}---\left(3\right)$

其中θ_min＝[θ_1min,θ_2min]^T，θ_max＝[θ_1max,θ_2max]^T，它们都是已知的，此外θ_1min>0，θ_2min>0；

假设2：d(x,t)是有界的，即

|d(x,t)|≤δ_d        (4)

其中δ_d已知。

步骤2、配置基于状态观测的电机输出反馈控制器

具体地，本步骤的实现包括以下步骤：

步骤2-1、根据公式(2)构建电机的状态观测器

首先，系统模型(2)写成如下形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={\mathrm{\θ}}_{1n}u-{\mathrm{\θ}}_{2n}{x}_2+D(x,t)\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中D(x,t)＝(θ₁-θ_1n)u-(θ₂-θ_2n)x₂-d(x,t)是一个广义干扰代表名义系统的偏差θ_1n和θ_2n是θ₁和θ₂的名义值；

由D(x,t)＝(θ₁-θ_1n)u-(θ₂-θ_2n)x₂-d(x,t)和假设2可知D(x,t)也是有界的，即

其中θ_m＝θ_max-θ_min，

由式(5)设计一个状态观测器，如下：

$\begin{array}{c}{e}_0=\stackrel{^^^}{x_1,}{e}_1=x_2,e_2=x_3\\ {\stackrel{\·}{e}}_0=v_0=-{\mathrm{\λ}}_0{|e_0-x_1|}^{2/3}\mathrm{sgn}(e_0-x_1)+e_1\\ {\stackrel{\·}{e}}_1=v_1=-{\mathrm{\λ}}_1{|e_1-v_0|}^{1/2}\mathrm{sgn}(e_0-v_0)+e_2\\ {\stackrel{\·}{e}}_2=v_2=-{\mathrm{\λ}}_2\mathrm{sgn}(e_2-v_1)\end{array}---\left(7\right)$

其中x₁，x₂，x₃分别表示输出位置，速度和加速度，分别为为x₁，x₂，x₃的估计值；

引理1：存在一个时间T₁，当时间t大于时间常数T₁时，其中 ${\tilde{x}}_i={\tilde{x}}_i-x_i,i=\mathrm{1,2,3};$

理论上,总是能选择足够大的设计参数来保证任意小的时间段T₁。

步骤2-2、配置基于状态观测的电机输出反馈控制器如下：

定义变量如下：

$\begin{array}{c}{z}_2={\stackrel{\·}{z}}_1+k_1{z}_1=x_2-x_{2\mathrm{eq}}\\ x_{2\mathrm{eq}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\stackrel{\·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1\end{array}---\left(8\right)$

其中z₁＝x₁-x_1d(t)是输出跟踪误差，k₁>0是一个反馈增益，由于G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，当z2趋于0时，z1必然也趋于0。接下来的控制器设计，将以使z₂趋于0为主要目标；

对式(8)微分并把式(5)代入，可得：

${\stackrel{\·}{z}}_2={\mathrm{\θ}}_{1n}u-{\mathrm{\θ}}_{2n}{x}_2-{\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+D(x,t)---\left(9\right)$

基于状态估计的控制器如下：

$\begin{array}{c}u=(u_a+u_s)/{\mathrm{\θ}}_{1n}{u}_s=u_{s1}+u_{s2}\\ u_a={\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+{\mathrm{\θ}}_{2n}{\hat{x}}_2\\ u_{s1}=-k_2({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})\end{array}---\left(10\right)$

把式(10)代入式(9)，得z₂的动态方程：

${\stackrel{\·}{z}}_2=-k_2({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})+u_{s2}+D(x,t)+{\mathrm{\θ}}_{2n}{\tilde{x}}_2---\left(11\right)$

u_s2满足如下条件：

z₂{u_s2-D}≤σ₁        (12a)

z₂u_s2≤0        (12b)

其中σ₁>0是一个设计参数，在此给出满足式(12a)和式(12b)的u_s2的一个形式：

令g为如下函数

其中是的上界；

由此设计如下的u_s2

$u_{s2}=-k_{s1}{z}_2\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}-g^2{z}_2/\left({4\mathrm{\σ}}_1\right)---\left(14\right)$

其中k_s1为一个非线性增益。

结合图2所示，在接下来的步骤3中，通过调节基于有限时间干扰估计的鲁棒控制器中u的参数k₁,k₂,λ₀，λ₁，λ₂，σ₁来使得系统满足控制性能指标。

下面，本实施例采用李雅普诺夫方程对基于前述实施例涉及的控制器，验证系统稳定性。

由状态观测器(7)，设计的基于状态观测的电机输出反馈控制器(10)具有如下性质：

A.在某一时刻T₁之后，状态观测器估计的状态精确，即定义如下的李雅普诺夫方程

$V_1=\frac{1}{2}{z}_2^2+\frac{1}{2}{\tilde{x}}_2^2---\left(15\right)$

满足如下的不等式

$V\≤\exp (-2k_2(t-T_1))V\left(0\right)+\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{2k_2}[1-\exp (-2k_2(t-T_1))]---\left(16\right)$

证明：对式(15)微分，并把式(11)代入可得

${\stackrel{\·}{V}}_1=z_2{\stackrel{\·}{z}}_2+{\tilde{x}}_2{\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}}_2=-k_2{z}_2^2+z_2(u_{s2}-D)+z_2({\mathrm{\θ}}_{2n}{\tilde{x}}_2-k_2{\tilde{x}}_2)---\left(17\right)$

把式(12a)代入(17)可得

$\stackrel{\·}{V}\≤-k_2{z}_2^2+{\mathrm{\σ}}_1=-\mathrm{\λV}+{\mathrm{\σ}}_2---\left(18\right)$

对式(18)两端积分可得不等式(16)。因此控制器是收敛的，系统是稳定的。

下面结合图3-图8所示，对采用上述实施例方法的实施效果进行进一步说明。

在本示例中，仿真参数的取值如下：

m＝0.01kg·m²,k_f＝5,b＝1.25N·s/m。

取控制器参数k₁＝20,k₂＝650,σ₁＝1×10⁵，λ₀＝7,λ₁＝5,λ₂＝5.7；θ_1n＝600；θ_2n＝60。

位置角度输入信号,单位rad。

外加干扰如附图4所示。

控制律作用效果：

图3是干扰作用下控制器输入电压u曲线，控制器输入电压满足-10V～+10V的输入范围，符合实际应用。

图4是系统外加干扰曲线。

图5是干扰作用下指令信号，跟踪信号和跟踪误差曲线。

图6是位置估计和估计误差曲线。

图7是速度估计和估计误差曲线。

图8是加速度估计和估计误差曲线。

由以上图示可知，本发明的上述实施例提出的输出反馈控制方法，在仿真环境下能够准确的估计出状态值，相比PID控制器，前述实施例设计的控制器能够取得良好的控制精度。研究结果表明在不确定非线性性影响下，前述实施例提出的方法能够满足性能指标。

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。

Claims (4)

1.一种基于状态估计的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，其特征在于，该方法的实现包括以下步骤：

步骤1、建立电机位置伺服系统的数学模型；

步骤2、配置基于状态观测的电机输出反馈控制器；

步骤3、调节基于有限时间干扰估计的鲁棒控制器中的参数使得系统满足控制性能指标。

2.根据权利要求1所述的基于状态估计的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，其特征在于，所述步骤1建立电机位置伺服系统的数学模型，其具体实现包括以下步骤：

将电机惯性负载的动力学模型方程表示为：

$\stackrel{\·\·}{y}{k}_{f}u-b\stackrel{\·}{y}(y,\stackrel{\·}{y},t)---\left(1\right)$

式中，y表示角位移，m表示惯性负载，k_f表示扭矩常数，u是系统控制输入，b代表粘性摩擦系数，f代表其他未建模干扰，包括非线性摩擦，外部干扰以及未建模动态；

然后，把(1)式写成下述的状态空间形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={\mathrm{\θ}}_{1}u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2-d(x,t)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，x＝[x₁,x₂]^T表示位置和速度的状态向量；参数集θ＝[θ₁,θ₂]^T，其中θ₁＝k_f/m，θ₂＝b/m，表示集中干扰；

由于系统参数m，k_f，b是未知的，系统是参数不确定性的，系统的未建模动态和干扰总是有界的，因而，以下假设总是成立的：

假设1：参数θ满足：

$\mathrm{\θ}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{\θ}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{\mathrm{\θ}:{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }\}---\left(3\right)$

其中θ_min＝[θ_1min,θ_2min]^T，θ_max＝[θ_1max,θ_2max]^T，它们都是已知的，此外θ_1min>0，θ_2min>0；

假设2：d(x,t)是有界的，即

|d(x,t)|≤δ_d    (4)

其中δ_d已知。

3.根据权利要求2所述的基于状态估计的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，其特征在于，所述步骤2的配置基于状态观测的电机输出反馈控制器，其具体实现包括以下步骤：

步骤2-1、根据前述公式(2)构建电机的状态观测器

首先，将前述状态空间形式表示的系统模型表达成如下形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={\mathrm{\θ}}_{1n}u-{\mathrm{\θ}}_{2n}{x}_2+D(x,t)\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，D(x,t)＝(θ₁-θ_1n)u-(θ₂-θ_2n)x₂-d(x,t)是一个广义干扰，代表名义系统的偏差，θ_1n和θ_2n是θ₁和θ₂的名义值；

由D(x,t)＝(θ₁-θ_1n)u-(θ₂-θ_2n)x₂-d(x,t)和假设2可知D(x,t)也是有界的，即

其中θ_m＝θ_max-θ_min，

由式(5)设计一个状态观测器，如下：

$e_0=\stackrel{^^}{x_1}\widehat{,}{e}_1=x_2,e_2=x_3$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{e}}_0=v_0=-{\mathrm{\λ}}_0{|e_0-x_1|}^{2/3}\mathrm{sgn}(e_0-x_1)+e_1\\ {\stackrel{\·}{e}}_1=v_1=-{\mathrm{\λ}}_1{|e_1-v_0|}^{1/2}\mathrm{sgn}(e_0-v_0)+e_2\end{array}---\left(7\right)$

${\stackrel{\·}{e}}_2=v_2=-{\mathrm{\λ}}_2\mathrm{sgn}(e_2-v_1)$

其中x₁，x₂，x₃分别表示输出位置，速度和加速度，分别为为x₁，x₂，x₃的估计值；且存在一个时间T₁，当时间t大于时间常数T₁时，其中且总是能选择足够大的参数来保证任意小的时间段T₁；

步骤2-2、设计基于状态观测的电机输出反馈控制器如下：

定义变量如下：

$z_2={\stackrel{\·}{z}}_1+k_1{z}_1=x_2-x_{2\mathrm{eq}}$                         (8)

$x_{2\mathrm{eq}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\stackrel{\·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1$

其中z₁＝x₁-x_1d(t)是输出跟踪误差，k₁>0是一个反馈增益，由于G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，当z₂趋于0时，z₁必然也趋于0；

对式(8)微分并把式(5)代入，可得：

${\stackrel{\·}{z}}_2={\mathrm{\θ}}_{1n}u-{\mathrm{\θ}}_{2n}{x}_2-{\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+D(x,t)---\left(9\right)$

基于状态估计的控制器设计如下：

u＝(u_a+u_s)/θ_1n  u_s＝u_s1+u_s2

$u_a={\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+{\mathrm{\θ}}_{2n}{\hat{x}}_2---\left(10\right)$

$u_{s1}={-k}_2({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})$

把式(10)代入式(9)，得z₂的动态方程：

${\stackrel{\·}{z}}_2={-k}_2({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})+u_{s2}+D(x,t)+{\mathrm{\θ}}_{2n}{\tilde{x}}_2---\left(11\right)$

u_s2满足如下条件：

z₂{u_s2-D}≤σ₁    (12a)

z₂u_s2≤0    (12b)

其中σ₁>0是一个设计参数，在此给出满足式(12a)和式(12b)的u_s2的一个形式：

令g为如下函数

其中是的上界，由此设计如下的u_s2

$u_{s2}={-k}_{s1}{z}_2\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{-g}^2{z}_2/\left({4\mathrm{\σ}}_1\right)---\left(14\right)$

其中k_s1为一个非线性增益。

4.根据权利要求3所述的基于状态估计的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，其特征在于，前述步骤3中，通过调节基于有限时间干扰估计的鲁棒控制器中u的参数k₁,k₂,λ₀，λ₁，λ₂，σ₁来使得系统满足控制性能指标。